Staatsexamensklausur Mathematik für Studiengang L 3 Frühjahr

Staatsexamensklausur Mathematik für Studiengang L 3
Frühjahr 2008
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben (Nr. 13 und Nr. 14!) sind zu bearbeiten.
13 Mathematikunterricht in den Klassen 5 bis 10
Bearbeiten Sie entweder Teil (13.1) oder Teil (13.2)
(13.1) Aktivitäten beim Lösen einer geometrischen Konstruktionsaufgabe
Aufgabe:
Gegeben sind drei Längen c, hc und r.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit
AB = c, Abst(C;AB) = hc, Umkreisradius von ABC = r.
a) Erstellen Sie zur Aufgabe eine Planfigur (Freihandskizze genügt).


Wie gehen Sie dabei vor?
Was ist der Zweck der Planfigur?
b) Erläutern Sie am Beispiel der Aufgabe die heuristische Regel
„Lasse eine Bedingung weg“ (Methode der Ortslinien)
zum Erzeugen einer Lösungsidee.
c) Erläutern Sie zwei der folgenden Aktivitäten zur logischen Analyse der Lösung einer
Konstruktionsaufgabe:



Durchführbarkeit,
Richtigkeit,
Lösungsvielfalt
(13.2) Buchstabenrechnen
a) Algebraische Terme


Erklären Sie, wann zwei Terme T1(x) und T2(x) mit der Variablen x zueinander
gleichwertig (äquivalent) sind und wann nicht.
Entscheiden Sie, ob die Terme
T1(x) =
(x 2  4) 2
und
T2(x) = x2  4
über der Menge der reellen Zahlen zueinander gleichwertig (äquivalent) sind.
Begründen Sie Ihre Einschätzung.
b) Gleichungen
Gegeben ist die Gleichung über der Menge der reellen Zahlen:
x7
2 x 1
 x 5  14  4  x 2
Hinweis: Zum Bearbeiten der folgenden Fragen und Aufträge müssen Sie die
Gleichung nicht lösen.


Was meint die Aufforderung, „löse die Gleichung“?
Beschreiben Sie allgemein, was eine
Äquivalenzumformung,
Gewinnumformung,
Verlustumformung
einer Gleichung bewirkt.
14 Grundvorstellungen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Bearbeiten Sie entweder Teil (14.1) oder Teil (14.2) oder Teil (14.2).
(14.1) Analysis
a) Formulieren Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung schülergerecht.
b) Erläutern Sie den Nutzen des Hauptsatzes für das
 Berechnen von Integralen,
 Herleiten von Integrationsregeln,
 Einführen „neuer“ Funktionen.
c) Erläutern Sie am Beispiel der Funktion
f:    mit f(x) = exp(- x2),
wie man zu einer gegebenen reellen Funktion f mit Hilfe der Integralrechnung eine
Stammfunktion konstruieren kann.
(14.2) Lineare Algebra / Analytische Geometrie
a) Weshalb sind lineare Gleichungssysteme in Kursen zur Linearen Algebra / Analytischen Geometrie „unverzichtbar“?
b) Was muss ein Schüler zu linearen Gleichungssystemen wenigstens wissen und können?
 Welchen Einfluss auf die Antwort haben Taschencomputer?
c) Wie kann man ein lineares Gleichungssystem für 3 Variable geometrisch veranschaulichen?
 Erfasst diese Veranschaulichung auch die Lösungsmenge des Systems?
(14.3) Stochastik
Aufgabe:
Eine Münze wird 100-mal geworfen und fällt 65-mal auf „Zahl“, 35-mal auf die andere Seite. Kann man sagen, die Münze sei unfair?
a) Erläutern Sie am Beispiel der vorstehenden Aufgabe die grundlegenden Ideen des
Testens von Hypothesen mit den Mitteln der Stochastik.
(Eine numerische Lösung der Aufgabe ist nicht verlangt)



Welche Annahmen trifft man?
Wie argumentiert man? Welche Schlüsse lassen sich (nicht) ziehen?
Was bedeuten Aussagen der Art „mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % gilt ... “?
b) Was sollte ein Schüler zum Testen von Hypothesen wenigstens wissen und können?
Welche Fachbegriffe der Stochastik muss der Schüler jedenfalls beherrschen?
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Herbst 2008
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben (Nr. 13 und Nr. 14) sind zu bearbeiten.
Bei beiden Aufgaben können Sie wählen:
Bei Aufgabe 13: (13.1) oder (13.2)
Bei Aufgabe 14: Eines der drei Themenbereiche
13 Mathematikunterricht in den Klassen 5 bis 10
Bearbeiten Sie entweder Teil (13.1) oder Teil (13.2)
(13.1) Handeln, Konstruieren und Beweisen im Geometrieunterricht
Zum Satz von der Winkelsumme im Dreieck gibt es (neben anderen) die folgenden Hinführungen:
(1) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Reiße dessen Ecken ab. Lege diese zu einem
gestreckten Winkel zusammen.
(2) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Falte, wie in den Zeichnungen angegeben.
C
N
A
M
B
(3) Ergänze ein Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCD. Konstruiere ein Parkett mit
dem Grundbaustein ABCD. Zeichne in das Parkett die zur Geraden AC parallelen Gitterlinien ein. Markiere gleich große Winkel in der entstehenden Figur. Untersuche die
Winkel, deren Scheitel in einem Gitterpunkt zusammenstoßen.
a) Was sollte jeder Schüler über den Satz von der Winkelsumme im Dreieck - und allgemeiner: im Vieleck - wissen? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Vergleichen Sie die Hinführungen (1) bis (3) mindestens unter folgenden Aspekten:
 Veranschaulichen des Satzes
 Handlungsorientierung des Geometrieunterrichts
 Einsicht gewinnen in die Allgemeingültigkeit des Satzes
 Unterstützen von Zielen des Geometrieunterrichts
 Verträglichkeit mit den Forderungen aus a).
(13.2) Positive und negative Zahlen
Die hessischen Lehrpläne Mathematik aller Schularten für die Jahrgangsstufen 5 bis 10 verlangen für einen erfolgreichen Abschluss der Jahrgangstufe 10 erworbene Qualifikationen und
Kenntnisse zu den Grundrechenarten mit rationalen (im Gymnasium auch mit reellen) Zahlen.
Damit stellt sich die Frage: Welche (Grund-) Vorstellungen soll der Schüler zu positiven und
negativen Zahlen erwerben? Bearbeiten Sie diese Frage in Bezug auf folgende Details:
a) Beschreiben Sie stichwortartig didaktische Modelle zum Einführen positiver und negativer
Zahlen!
b) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Multiplizierens und Dividierens positiver
und negativer Zahlen.
c) Wie kann man dem Schüler klar machen, dass die Setzungen
Plus · Minus = Minus
Minus · Plus = Minus
Minus · Minus = Plus
vernünftig sind?
14 Aufgaben im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Ein deutsches Schulbuch für den Mathematikunterricht in Grundkursen der Sekundarstufe II
bietet für die Themenbereiche
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie und Stochastik
Aufgaben zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur an.
Wählen Sie zum Bearbeiten der folgenden Aufträge einen der drei Themenbereiche:
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie oder Stochastik
Nachstehend finden Sie für jeden der drei Themenbereiche eine typische Aufgabe:
(1) Aufgabenbeispiel für die Analysis:
Die Gerade zu der Gleichung 16x + 9y =54 ist Tangente des Graphen der Funktion fa,b mit
a
fa,b (x) =
+b
x
2
Bestimme Funktionen fa,b mit den genannten Eigenschaften. Zeichne den Graphen für a = 3 und
b = 2.
Für positive a und b gibt es Rechtecke, bei denen je zwei Ecken auf den Graphen von fa,b und auf der
x-Achse (Rechtsachse) liegen. Gibt es Rechtecke dieser Art mit kleinstem Umfang? Begründe!
(2) Aufgabenbeispiel für die Lineare Algebra / Analytische Geometrie:
Gegeben sind die Punkte A(-82-4), B(01010) und C(2-618).
(a) Gib für die durch A, B und C bestimmte Ebene E eine Parameterdarstellung und eine Normalenform an.
(b) Zeige, dass die Strecken AB und BC gleich lang sind und einen rechten Winkel einschließen.
Bestimme den Punkt D so, dass ABCD ein Quadrat ist.
(c) Zeige, dass ABCDS mit S (5-33) eine gerade Pyramide beschreibt.
(3) Aufgabenbeispiel für die Stochastik:
Eine Erdölbohrung ist mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,12 fündig.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Ölgesellschaft bei 10 Bohrungen mindestens einen Erfolg?
b) Wie viele Bohrungen müssen vorgenommen werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg größer als 0,5 ist?
(14) a Skizzieren Sie einen Lösungsweg für die angegebene Aufgabe dieses Bereiches.
(Rechnungen sind nicht erforderlich)
(14) b Erläutern Sie, welche grundlegenden Begriffe und Verfahren des gewählten Themenbereiches in der zugehörigen Beispielaufgabe einzusetzen sind.
(14) c Geben Sie eine zentrale Idee aus dem gewählten Themenbereich an, die durch die
Aufgabe nicht erfasst ist und erläutern Sie diese zentrale Idee.
Geben Sie für diese Idee ein Aufgabenbeispiel (ohne Lösung) an.
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Frühjahr 2009
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben (Nr. 13 und Nr. 14) sind zu bearbeiten.
Bei beiden Aufgaben können Sie wählen:
Bei Aufgabe 13: entweder (13.1) oder (13.2)
Bei Aufgabe 14: Einen der drei Themenbereiche
13 Mathematikunterricht in den Klassen 5 bis 10
Bearbeiten Sie entweder Teil (13.1) oder Teil (13.2)
13.1 Begriff der Achsen- / Spiegelsymmetrie
Symmetriebegriffe durchziehen den gesamten Mathematikunterricht, vom „schönen“ Ausmalen von Bildern im Anfangsunterricht bis zu Symmetrieuntersuchungen bei Funktionen
in der Analysis. Wir betrachten hier nur Spiegelsymmetrien in der Geometrie.
In Schulbüchern für die Grundschule und für die Sekundarstufe I findet man viele Aktivitäten zur Spiegel- und Achsensymmetrie:
(1) Symmetrische Objekte (Zangen, Scheren, ...) zeigen und auf Symmetrien untersuchen
(2) Mit Formenplättchen spiegelsymmetrische Figuren legen, geeignete Figuren achsensymmetrisch ausmalen, nachzeichnen, fortsetzen
(3) Symmetrische Figuren durch Ausschneiden aus gefaltetem Papier herstellen
(4) In Bildern symmetrischer Objekte Symmetrieachsen suchen
(5) Achsensymmetrische Figuren mit Hilfe der Ortslinienfunktion einer dynamischen
Geometrie-Software zeichnen
13.1.a: Weshalb entsteht bei den Aktivitäten (1), …, (5) „Spiegelsymmetrisches“?
Wo hat man sich jeweils einen Spiegel zu denken (falls angemessen)?
13.1.b: Machen Sie einen Vorschlag zur unterrichtlichen Einführung des Begriffs
„achsensymmetrische (spiegelsymmetrische) Figur“ der ebenen Geometrie!
Welche der Aktivitäten (1), …, (5) eignen sich für die verschiedenen Phasen zum Einführen dieses Begriffs? Begründen Sie Ihre Entscheidungen!
13.1.c: Geben Sie eine schülergerechte Definition des Begriffs „achsensymmetrische /
spiegelsymmetrische Figur“.
13.2 Gleichungslehre
Die Unterrichtseinheit quadratische Gleichungen ist in einem neuen
Schulbuch wie folgt aufgebaut:
1. Lösen quadratischer Gleichungen durch planmäßiges Probieren
2. Grafisches Lösen quadratischer Gleichungen
3. Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen
13.2.a: Skizzieren Sie jede der drei Lösungsmethoden anhand der Gleichung:
2
x – 2x – 3 = 0
13.2.b: Wie kann man dabei elektronische Rechenhilfsmittel (Graphik-Taschenrechner,
Tabellenkalkulationsprogramme, Computeralgebra-Systeme) einsetzen?
13.2.c: Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Welche Rolle spielt die Probe beim
Lösen einer Gleichung?
13.2.d: Wählen Sie zwei der drei Abschnitte 1., 2., 3. der oben skizzierten Unterrichtseinheit des Schulbuchs aus! Welche Lehrziele lassen sich in den von Ihnen gewählten Abschnitten verfolgen?
Aufgaben im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Der Mathematikunterricht in der gymnasialen Sekundarstufe II umfasst drei Themenbereiche: Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie und Stochastik.
Im „Abschlussprofil am Ende der Qualifikationsphase“ des Hessischen Lehrplanes Mathematik für den Gymnasialen Bildungsgang („G8“) werden verbindliche Inhalte angegeben, die am Ende der Qualifikationsphase jedenfalls bekannt sein sollen.
Für jedes der Stoffgebiete „Analysis“, „Lineare Algebra/Analytische Geometrie“ und „Stochastik“ wird nachstehend ein zentraler Aufgabentyp aus dem Abschlussprofil angegeben.
Analysis: Extremwertaufgaben
Lineare Algebra/Analytische Geometrie: Abstandsbestimmungen
Stochastik: Berechnungen mit Summen- und Produktregel
Wählen Sie für das Folgende einen der drei Themenbereiche aus und bearbeiten Sie für
diesen Themenbereich die folgenden Teilaufgaben!
14.a: Geben Sie die dem gewählten Aufgabentyp zugrunde liegenden zentralen Begriffe
der Gymnasialmathematik an (maximal 4 zentrale Begriffe)!
14.b: Geben Sie für den gewählten Aufgabentyp zwei Beispiele an und erläutern Sie
kurz, wie diese Aufgaben zu lösen sind! Belegen Sie dabei, dass die von Ihnen in 14.a genannten zentralen Begriffe in den beiden Aufgaben wichtig sind!
14.c: Erläutern Sie kurz (eventuell mit Beispiel), wie der Einsatz von Taschenrechnern
und Computern samt entsprechender Software die schulische Behandlung Ihrer Beispielaufgaben in 14.b beeinflusst!
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Herbst 2009
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben (Nr. 13 und Nr. 14) sind zu bearbeiten.
Bei beiden Aufgaben können Sie wählen:
Bei Aufgabe 13: (13.1) oder (13.2)
Bei Aufgabe 14: Eines der drei Themenbereiche
13 Mathematikunterricht in den Klassen 5 bis 10
Bearbeiten Sie entweder Teil (13.1) oder Teil (13.2)
(13.1) Geometrieunterricht
In einem Schulbuch der Sekundarstufe I findet sich im Anschluss an die Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras folgende Konstruktionsaufgabe (*):
(*) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Länge der Hypotenuse c von 4 cm und einer Länge der Kathete a von 6 cm.
a) Skizzieren Sie eine Schüler-Lösung dieser Aufgabe (einschließlich Beweis der Korrektheit
der Lösung)!
b) Erläutern Sie anhand der Aufgabe (*) die Begriffe Anfangs- und Zielkonfiguration einer
Konstruktionsaufgabe sowie den Begriff der für eine Konstruktionsaufgabe zuge-
lassenen Hilfsmittel!
c) Geben Sie zwei didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben außer der
„Förderung der Zeichenfertigkeit“ an, die eine Lehrerin/ein Lehrer mit der Aufgabe
(*) verfolgen könnte! Erläutern Sie, inwiefern diese beiden Ziele mit der Aufgabe (*)
verfolgt werden können!
d) Nennen Sie zwei weitere didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben (wiederum außer „Förderung der Zeichenfertigkeit“)! Geben Sie zu den beiden Funktionen je eine Beispielaufgabe an!
(13.2) Gleichungen umformen
Der hessische Lehrplan Mathematik für den gymnasialen Bildungsgang (Version „G8“)
verlangt im „Anschlussprofil von der Jahrgangsstufe 9G in die gymnasiale Oberstufe“
Qualifikationen und Kenntnisse zu verschiedenen Themen der Schulalgebra.
a) Beschreiben Sie kurz die zentralen Begriffe, die in den Klassen 5 bis 9 des Gymnasiums dem Umgang mit Termen und Gleichungen zugrunde liegen.
b) Bruchgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable in einem Nenner der Gleichung steht. Beschreiben Sie stichwortartig die besonderen Maßnahmen und Vorkehrungen, die beim algebraischen Lösen von Bruchgleichungen
durchzuführen sind.
c) Wie kann man den Schülerinnen/Schülern klar machen, dass insbesondere bei
Bruchgleichungen nach dem algebraischen Lösen der Gleichungen Proben der erhaltenen Lösungen notwendig sind. Geben Sie eine Beispielaufgabe hierfür an!
d) Geben Sie zwei weitere Lösungsverfahren (außer dem algebraischen Lösen der
Gleichungen) an, die im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I üblich sind. Erläutern Sie kurz die Verfahrensweise bei Ihren beiden weiteren Lösungsverfahren!
14 Aufgaben im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
In Schulbüchern für den Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe finden sich Aufgaben für die Themenbereiche
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie und Stochastik.
Wählen Sie zum Bearbeiten der folgenden Aufträge einen der drei Themenbereiche:
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie oder Stochastik
Nachstehend finden Sie für jeden der drei Themenbereiche eine typische Aufgabe:
(1) Aufgabenbeispiel für die Analysis:
Die Bevölkerung eines Staates wächst in einem Jahr um 8 %. In wie viel Jahren wird sie sich
verdoppeln / verdreifachen / auf das n-fache der Bevölkerung zu Beginn der Messperiode anwachsen?
(2) Aufgabenbeispiel für die Lineare Algebra / Analytische Geometrie:
a) Lösen Sie die drei nachstehenden Linearen Gleichungssysteme (LGS)!
(Hinweis für die Klausur: Die LGS sind so gewählt, dass sie keine / genau eine / unendlich viele Lösungen haben!)
2x + 3y – 4z = -4
2y – z = 1
3x
+ z= 6
2x + 3y – 4z = -4
2y – z = 1
2x + 5y – 5z = -3
2 x + 5y – 5z = 2
0,4x + y – z = 0
2,4x + 6y – 6z = 5
b) Deuten Sie die Lösungsmengen aus Aufgabe a) geometrisch!
(3) Aufgabenbeispiel für die Stochastik:
Drei Parallelklassen haben 18 (10), 20 (8) bzw. 25 (12) Schülerinnen und Schüler. In Klammern ist für jede Klasse die Anzahl der Schülerinnen angegeben. Aus diesen drei Klassen wird
zufällig eine Person gewählt, die eine SchülerIN ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt die
ausgewählte Schülerin aus den einzelnen drei Klassen?
(14) a Skizzieren Sie einen Lösungsweg für die angegebene Aufgabe dieses Bereiches, der gegen Ende der gymnasialen Oberstufe angemessen ist! (Rechnungen/Ergebnisse sind nicht
erforderlich)
(14) b Welche Konsequenzen ergeben sich für die Aufgabenlösung, wenn ein Computer-AlgebraSystem (CAS) benutzt werden darf?
(14) c Erläutern Sie, welche grundlegenden Begriffe und Verfahren des gewählten Themenbereiches in der zugehörigen Beispielaufgabe einzusetzen sind.
(14) d Geben Sie eine zentrale Idee aus dem gewählten Themenbereich an, die durch die
Aufgabe nicht erfasst ist und erläutern Sie diese zentrale Idee.
Geben Sie für diese Idee ein Aufgabenbeispiel (ohne Lösung) an.
Staatsexamensklausur Mathematik für Studiengang L 3
Frühjahr 2010
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben (Nr. 13 und Nr. 14) sind zu bearbeiten.
Bei beiden Aufgaben können Sie wählen:
Bei Aufgabe 13: (13.1) oder (13.2)
Bei Aufgabe 14: Eines der drei Themenbereiche
13 Mathematikunterricht in den Klassen 5 bis 10
Bearbeiten Sie entweder Teil (13.1) oder Teil (13.2)
(13.1) Geometrieunterricht
Im Internet findet sich nachstehende Anleitung zum Beweis des Satzes des Pythagoras.
a) Entwickeln Sie aus der Anleitung einen schülergerechten Beweis für eine Gymnasialklasse!
Schreiben Sie Ihren Beweis auf!
b) Führen Sie Gründe für das Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I an und erläutern Sie diese kurz!
c) Schätzen Sie Ihren Beweis in Bezug auf die in b) genannten Gründe für das Beweisen im Mathematikunterricht ein!
(13.2) Rechnen mit Brüchen – Zahlbereichserweiterungem
geteilt
durch 3
2 mal
Die obenstehende Grafik stellt eine Multiplikationsaufgabe dar.
a) Geben Sie an, welche Multiplikationsaufgabe dargestellt ist und erläutern Sie, wie man aus
dieser Darstellung eine Regel für das Multiplizieren zweier Bruchzahlen entwickeln kann. Geben
Sie diese Regel an!
b) Beschreiben Sie kurz mindestens je einen innermathematischen- und einen umweltbezogenen
Grund, warum man auf die Erweiterung von natürlichen Zahlen zu den nicht-negativen rationalen
Zahlen nicht verzichten möchte!
c) In höheren Klassenstufen erweitert man die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen. Beschreiben Sie kurz mindestens einen Grund für diese Erweiterung!
14 Aufgaben im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
In Schulbüchern für den Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe finden sich Aufgaben
für die Themenbereiche
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie und Stochastik.
Wählen Sie zum Bearbeiten der folgenden Aufträge einen der drei Themenbereiche:
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie oder Stochastik
Nachstehend finden Sie für jeden der drei Themenbereiche eine typische Aufgabe:
(1) Aufgabenbeispiel für die Analysis:
Betrachten Sie den nebenstehenden Ausschnitt
des Graphen einer ganz-rationalen Funktion f.
Der Ausschnitt zeigt die Lage aller Nullstellen und
lokalen Extremstellen der Funktion f.
Geben Sie eine Funktionsgleichung mit minimalem
Grad für f an und begründen Sie Ihren Vorschlag!
(2) Aufgabenbeispiel für die Lineare Algebra /
Analytische Geometrie:
a) Von den drei nachstehend durch Gleichungen bestimmten Ebenen sind genau zwei zueinander
parallel. Finden Sie die beiden parallelen Ebenen!
E1: 2x – 3y + 4z = 2
E2: 4x – 6y + 10z = 4
E3: 6x + 12z = 9y
b) Berechnen Sie den Abstand der beiden zueinander parallelen Ebenen!
(3) Aufgabenbeispiel für die Stochastik:
Auf einer Vanille-Soßen-Tüte liest man: „Geben Sie 25g Zucker hinzu (2 Esslöffel)“. Eine Kontrolle
ergab: Das Gewicht (in Gramm) von Zuckerportionen, die mit „zwei Esslöffeln“ abgemessen werden, ist normalverteilt mit μ= 28,3 und σ=5,2 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Soße mit mindestens 35 g Zucker zubereitet wird?
(14) a Skizzieren Sie einen Lösungsweg für die angegebene Aufgabe dieses Bereiches, der gegen Ende der gymnasialen Oberstufe angemessen ist! (Rechnungen/Ergebnisse sind nicht
erforderlich)
(14) b Welche Konsequenzen ergeben sich für die Aufgabenlösung, wenn ein Computer-AlgebraSystem (CAS) benutzt werden darf?
(14) c Erläutern Sie, welche grundlegenden Begriffe und Verfahren des gewählten Themenbereiches in der zugehörigen Beispielaufgabe einzusetzen sind.
(14) d Geben Sie eine zentrale Idee aus dem gewählten Themenbereich an, die durch die
Aufgabe nicht erfasst ist und erläutern Sie diese zentrale Idee.
Geben Sie für diese Idee ein Aufgabenbeispiel (ohne Lösung) an.
Aufgaben im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I
Aufgabe 13a: Geometrie – Konstruktionsaufgabe
1 Konstruktionsaufgabe
2 Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen Umkreisradius die Länge 3 cm hat. Außerdem soll der Innenwinkel des Dreiecks bei A 60° messen.
3 Lösungsskizze
4 Konstruktionstext
5 5.1 A ist ein freier Basispunkt
5.2 B ist ein Punkt, der von A 6 cm Abstand hat
5.3 c ist die Strecke AB.
5.4 s ist ein Strahl mit Anfangspunkt A, der mit c einen Winkel der Größe 60° bildet
5.5 k ist der Thaleskreis über der Strecke AB.
5.6 C ist der Schnittpunkt von k und s
5.7 Dreieck ABC
Klausur-Aufgabe:
Lesen Sie bitte die obenstehende Aufgabenstellung und Lösungsskizze genau durch
und bearbeiten nachstehende Aufgaben!
a) Zeigen Sie, dass der Konstruktionstext in den Zeilen mit der Nummer 5 eine korrekte Lösung der Konstruktionsaufgabe aus Nummer 2 beschreibt!
b) Geben Sie die geometrischen Kenntnisse an, die zur Lösung der Konstruktionsaufgabe nötig sind (jeweils mit kurzer Erläuterung)!
c) Geben Sie zwei didaktische Funktionen außer „Förderung der Zeichenfertigkeit“
an, die die Aufgabe haben kann (bitte mit kurzer Erläuterung, inwiefern die Aufgabe diese Funktion haben kann)!
d) Nennen Sie eine weitere didaktische Funktion von Konstruktionsaufgaben im Allgemeinen (Nennung mit kurzer Erläuterung genügt; wiederum außer „Förderung
der Zeichenfertigkeit“)!
Aufgabe 13b: Algebra – Lösen von Gleichungen
1 Aufgabe
2 Ein Geflügelzüchter möchte an einem geraden Fluss eine möglichst große, rechteckige Lauffläche für seine Gänse umzäunen. Dafür steht ein Zaun der Länge100 m zur Verfügung.
3 Lösungsskizze (Anfang)
4 Mit a und b als Seitenlängen des Zauns (in m) und F der umzäunten Fläche (in m2) ergibt sich
5 100 = a+2b, also: a = 100 -2b
6 F = a·b, also ergibt sich als Zielfunktion F(b) = (100 -2b)·b
Klausur-Aufgabe:
Lesen Sie bitte die obenstehende Aufgabenstellung und den Anfang einer Lösungsskizze genau durch und bearbeiten nachstehende Aufgaben!
a) Erläutern Sie am Beispiel der obenstehenden Aufgabenlösung die drei „Aspekte“
von Variablen: Gegenstandsaspekt, Einsetzungsaspekt, Kalkülaspekt.
b) Geben Sie Weiterführungen der Lösungsskizze an, die in der Sekundarstufe I
möglich sind. Schätzen Sie dabei ein, in welcher Schulart die von Ihnen skizzierte
Lösung möglich ist.
c) Beschreiben Sie für die Sekundarstufe I eine Lösung mithilfe eines grafikfähigen
Taschenrechners oder eines Computeralgebrasystems.
Aufgaben im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Der Mathematikunterricht in der gymnasialen Sekundarstufe II umfasst drei Sachgebiete: Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie und Stochastik.
Der Hessische Lehrplan Mathematik für den Gymnasialen Bildungsgang („G8“) von
2010 nennt im Abschlussprofil am Ende der Qualifikationsphase als verbindliche Inhalte
für das Sachgebiet
Analysis: „Stammfunktion“ (incl. Anwendungen)
Lineare Algebra/Analytische Geometrie: „Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme, Lösungsverfahren, Lösungsmenge“
Stochastik: „Erwartungswert“ und „Varianz“
Aufgabe 14
Wählen Sie für das Folgende eines der drei Sachgebiete aus und bearbeiten Sie für
dieses Sachgebiet die folgenden Teilaufgaben!
(14a) Beschreiben Sie (stichwortartig) eine für Grundkurse geeignete Einführung des
Sachverhalts!
(14b) Welche (Grund-) Vorstellungen sollen die Schüler damit verbinden? Welche
Kenntnisse sollen die Schüler erwerben?
(14c) Geben Sie zwei Aufgaben zu dem Sachverhalt an, welche die Schülerinnen und
Schüler im Abitur bearbeiten können sollen!
Staatsexamensklausur Mathematik für Studiengang L 3
Herbst 2011
Didaktik der Mathematik
Beide Aufgaben (Nr. 13 und Nr. 14) sind zu bearbeiten.
Bei beiden Aufgaben können Sie wählen:
Bei Aufgabe 13: (13.1) oder (13.2)
Bei Aufgabe 14: Eines der drei Themenbereiche
13 Mathematikunterricht in den Klassen 5 bis 10
Bearbeiten Sie entweder Teil (13.1) oder Teil (13.2)
(13.1) Konstruieren, Beweisen und Begriffsbildung im Geom.-unterricht
Im Internet (z.B. unter http://www.hirnwindungen.de/wunderland/grundkons/parallel.html)
findet sich folgende Anleitung für die Konstruktion einer Parallelen zu einer Geraden g
durch einen Punkt P, der nicht auf der Geraden g liegt.
(1) Wähle einen beliebigen Punkt H auf der Geraden g.
(2) Zeichne den Kreis k1 um P durch H.
(3) Zeichne den Kreis k2 um H durch P.
(4) K sei einer der Schnittpunkte des Kreises k2 mit der Geraden g.
(5) Zeichne den Kreis k3 um K durch H.
(6) Q ist (neben H) der zweite Schnittpunkt der Kreise k1 und k3.
(7) Die Gerade h durch P und Q ist parallel zur Geraden g.
a) Beurteilen Sie diese Lösung! Falls die Lösung korrekt ist, beweisen Sie die Korrektheit.
Falls sie nicht korrekt ist, begründen Sie Ihr Urteil (etwa mit einem Gegenbeispiel).
b) Lässt sich die Konstruktion bei jeder Wahl des Punktes H auf der Geraden g
durchführen?
c) Welche Vierecksart entsteht mit dem Viereck PHKQ? Begründen Sie Ihre
Einschätzung!
d) Welche Rolle kann die Konstruktionsaufgabe im Rahmen der Begriffsentwicklung zu
symmetrischen Vierecken spielen? Geben Sie eine solche Rolle an und erläutern Sie
diese!
(13.2) Algebra: Modellieren
Im Internet (z.B. http://www.matheboard.de/archive/11875/thread.html) findet sich folgende
Seerosen-Aufgabe :
Eine Seerosenart verdoppelt täglich die von ihr bedeckte Teichfläche. Am Anfang wird eine
Seerose (dieser Art) in einen Teich gepflanzt. Nach 30 Tagen ist der ganze Teich bedeckt. …
Nach wie vielen Tagen ist der Teich bedeckt, wenn man am Anfang 2 Seerosen (derselben
Sorte) anstatt einer pflanzt?
a) Lösen Sie die „Seerosen-Aufgabe“ durch Rechnen und mit Hilfe einer Formel und
erläutern Sie Ihre Lösung!
b) Viele Lernende (auch Erwachsene!) bieten als Lösung der Seerosenaufgabe die Zahl
15 an. Erläutern Sie, warum diese Lösung falsch ist und stellen Sie begründete
Vermutungen an, warum die Lernenden diese falsche Lösung angeben!
c) Erläutern Sie am Beispiel der Seerosenaufgabe und seiner Lösung und Fehllösung aus
Teil b) das Modellieren im Mathematikunterricht.
14 Grundlegende Begriffe im Math.-unterricht der Sekundarstufe II
Der Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe beschäftigt sich mit drei großen
Themenbereichen. Wählen Sie zum Bearbeiten der folgenden Aufträge einen der drei
Themenbereiche:
Analysis, Lineare Algebra / Analytische Geometrie oder Stochastik.
Nachstehend ist für jeden der Themenbereiche ein zentraler mathematischer Begriff benannt:
Analysis: bestimmtes Integral
Lineare Algebra / Analytische Geometrie: lineares Gleichungssystem
Stochastik: Hypothesentest
Wählen Sie einen der drei Themenbereiche und bearbeiten die folgenden Aufträge:
14a: Skizzieren Sie für den von Ihnen gewählten Themenbereich einen unterrichtlichen
Zugang zu dem genannten zentralen Begriff!
14b: Formulieren Sie für den von Ihnen gewählten Themenbereich zwei zentrale
Aussagen, in denen der entsprechende Begriff vorkommt und die üblicherweise in der
gymnasialen Oberstufe behandelt werden! Erläutern Sie die Stellung der Aussagen im
Unterricht der gymnasialen Oberstufe!
14c: Formulieren Sie für den von Ihnen gewählten Bereich eine Aufgabe, die in der
gymnasialen Oberstufe behandelt werden kann und in welcher der entsprechende zentrale
Begriff in außermathematischen Kontexten vorkommt! Erläutern Sie Ihre Wahl der
Aufgabe.