Blatt 3

Mathematik II
Blatt 3
Sommersemester 2006
Prof. Dr. W. Rump
für Wirtschaftswissenschaftler
21) Gegeben seien die beiden Ebenen

3






2








1




2



E 1 : x =  5  + λ  3  + µ  2 ,






1
2
3




E2 : x = 
2








1



+ s  2  + t  1 .
2 





−4
0
1
a) Bestimmen Sie Gleichungsdarstellungen der Ebenen E1 und E2 .
b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2 .
c) Untersuchen Sie, ob die Gerade g auf der Ebene E3 mit der Gleichungsdarstellung
E3 : x + y + 2z = −8
liegt.
d) Gegeben sei die Gerade h durch



4




3





h : x =  3  + µ 0  .




−1
2
Zeigen Sie, dass sich g und h nicht schneiden. Warum sind g und h nicht parallel?
e) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden e, die senkrecht zu den beiden
Geraden g und h verläuft und beide Geraden schneidet. In welchen Punkten A und
B schneidet e die Geraden g und h? Wie groß ist der Abstand von g und h?
22) Man berechne den Winkel zwischen der Geraden g : x = s (9, −12, 20)>
a) den Koordinatenachsen,
b) den Koordinatenebenen,

c) der Ebene x1 + 2x2 = 5,
(s ∈ IR) und
0






16





d) der Ebene x = s  1  + t  0  (s, t ∈ IR).




−9
1
23) Gegeben seien die Geraden g und h sowie der Punkt P (8, 2, 6):



2






0



g : x =  1  + t  −1  =: a + tu,




1
1



2






1



h : x =  6  + s  0  =: b + sv.




2
−1
a) Berechnen Sie den Winkel zwischen u und v.
b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E1 , welche die Gerade
g enthält und parallel zu h ist. Welche Koordinaten hat der Lotfußpunkt des Lotes
von P auf E1 ?
–2–
c) Wie lautet die Parameterdarstellung der Ebene E2 , die senkrecht zu E1 ist und h
enthält?
d) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden e der beiden Ebenen
E1 und E2 .
e) Welchen Abstand besitzen die (parallelen) Geraden h und e?
24) Im IR4 seien die Vektoren

a1 =







1


2 

0 

1



,
a2 =







4


−1 

3 

1



,
a3 =







2


5 

8 

0



,
a4 =







7



−5 

−2 

3

gegeben. Man prüfe, ob a1 , a2 , a3 , a4 linear abhängig sind, und ermittle gegebenenfalls
einen linearen Zusammenhang zwischen ihnen.
25) Bestimme Sie den Rang der Matrix

A :=







−3
2 −5
−9 −12 
.

6
6 

−2
2
−3

1 −1


5 −4 −14 −13
Ergänzungen zu Abschnitt 10.6: Den Schnittpunkt zweier Geraden g1 : x = a1 + λr1
und g2 : x = a2 + µr2 gewinnt man über die Lösung des LGS a1 + λr1 = a2 + µr2 mit den
Unbekannten λ und µ. Ist dieses LGS nicht lösbar, so schneiden sich die beiden Geraden nicht.
Ist es lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, so fallen beide Geraden zusammen.
Die Schnittgerade x = a + λr zweier Ebenen E1 : x · n1 = d1 und E2 : x · n2 = d2 im
IR3 gewinnt man über die Lösung des LGS, das von den beiden Ebenengleichungen gebildet
wird, wenn man a als spezielle Lösung des inhomogenen LGS und r als Fundamentallösung des
zugehörigen homogenen LGS wählt. Ist das inhomogene LGS nicht lösbar, so sind die beiden
Ebenen parallel, sind zwei Unbekannte frei wählbar, so fallen beide Ebenen zusammen.
Den Durchstosspunkt einer Geraden x = a + λr durch eine Ebene x · n = d im IR 3
gewinnt durch Einsetzen der Geradendarstellung in die Ebenengleichung: (a + λr) · n = d. Dies
ist eine Bestimmungsgleichung für die Unbekannte λ. Ist diese Gleichung nicht lösbar, so sind
Gerade und Ebene parallel, ist sie lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, so liegt die Gerade in der
Ebene.
Der Winkel zwischen den Geraden g1 und g2 , wenn sie sich schneiden, ist bestimmt durch:
!
|r · r |
cos α = 1 2 , α ∈ [0, π/2].
|r1 ||r2 |
Der Winkel zwischen den Ebenen E1 und E2 , wenn sie sich schneiden, ist bestimmt durch:
!
|n · n |
cos β = 1 2 , β ∈ [0, π/2].
|n1 ||n2 |