Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
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Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!
ANALYSIS:
Funktionsuntersuchung
Funktionsarten:
a) ganzrationale Funktionen
b) e-Funktionen
c) trigonometrische Funktionen
Tangenten- und Normalenbestimmung
Ortskurven
Gemeinsame Punkte von Kurvenscharen
Integrale und Flächenberechnung
Mittelwert / Rotationskörper
Extremwertaufgaben
Aufstellen von Funktionsgleichungen
LINEARE ALGEBRA:
Der Rang einer Matrix
Lösbarkeitskriterien von linearen Gleichungssystemen
Homogene lineare Gleichungssysteme
Inhomogene lineare Gleichungssysteme
Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme
ANALYTISCHE GEOMETRIE:
Vektoren im R3
Lineare (Un-) Abhängigkeit
Geraden und Ebenen im R3 (Parameter- und Koordinatendarstellung)
Schnitt von Geraden und Ebenen (im R3)
Vorteile der Koordinatenform
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG:
LAPLACE-Wahrscheinlichkeiten
Mehrstufige ZE / Pfadregel
Bedingte Wahrscheinlichkeit / Vierfeldertafel
Unabhängigkeit von Ereignissen
Zufallsvariablen
Erwartungswert und Varianz
1
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
2
FUNKTIONSUNTERSUCHUNG
Nur bei e-Funktionen interessant: Asymptoten
a) waagrechte Asymptoten, wenn
lim f ( x ) = a
=> Asymptote: y = a (pos. x-Bereich)
x→ + ∞
lim f ( x )
x→ − ∞
= b
=> Asymptote: y = b (neg. x-Bereich)
Existiert kein Grenzwert, dann gibt es auch keine waagrechte Asymptote.
b) evtl. aber eine schiefe Asymptote, wenn f (x) eine Summe von Ausdrücken
ist, von denen einer gegen 0 geht, z.B. f (x) = 2x + e-x
-x
lim f ( x ) = 2x (da e gegen 0 geht!)
=> y=2x ist schiefe Asymptote
x→ + ∞
Für x→ - ∞ ex. hier kein Grenzwert
Ableitungen
f ’, f ’’, f ’’’ Ableitungsregeln beachten:
Potenzregel : f (x) = xn
⇒
⇒
Produktregel : f (x) = u(x)⋅v(x)
Kettenregel : f (x) = u(v(x))
⇒
Symmetrie
f (-x) = -f (x) ⇒
f (-x) = f (x) ⇒
=> keine As. (im neg. x-Bereich)
f ’(x) = n⋅xn-1
f ’(x) = u’(x)⋅v(x) + u(x)⋅v’(x)
f ’(x) = v’(x)⋅u’(v(x))
Punktsymmetrie zu O (= Ursprung)
Achsensymmetrie zur y-Achse
Nullstellen
f (x) = 0
Extrempunkte
f ’(x) = 0
Wendepunkte
f ’’(x)=0
f ’’(Ergebnis) > 0
f ’’(Ergebnis) < 0
f ’’(Ergebnis) = 0
=>
=>
=>
f ’’’(Ergebnis) ≠ 0
f ’’’(Ergebnis) = 0
Tiefpunkt
Hochpunkt
Sattelpunkt
=>
=>
Wendepunkt
KEIN Wendepunkt
Alternative Kriterien für f ’’’ ≠ 0:
a) Vorzeichenwechsel von f ’’ an der Stelle, wo f ’’ = 0 ist
oder noch besser (!!!):
b) (Ergebnis) ist nur einfache Lösung von f ’’ = 0 => Wendepunkt
(Ergebnis) ist mehrfache Lösung von f ’’ = 0
=> KEIN Wendepunkt
Wer liefert was?
- f(x)
„liefert“
den y-Wert (an der Stelle x)
- f’(x) „liefert“
die Steigung (an der Stelle x)
(f’>0 => f(x) ist monoton steigend, f’<0 => f(x) ist monoton fallend)
- f’’(x) „liefert“
die Krümmung (an der Stelle x)
(f’’>0 => f ist linksgekrümmt, f’’<0 => f ist rechtsgekrümmt),
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
3
Da der größte Teil der „Kurvendiskussion“ mit dem GTR gemacht werden kann, wird es
immer wichtiger, Schaubilder nicht zu zeichnen, sondern zu „interpretieren“. Ein paar
Beispiele dazu:
Beispiel 1: Die Abbildung zeigt das Schaubild einer
Exponentialfunktion. Diese kann durch einen der drei
folgenden Funktionsterme beschrieben werden:
g1(x)=a-b.ex+1
g2(x)=(ax-b).e-x+1
g3(x)=(ax+b).ex+1
Begründe, welche Terme zur Beschreibung ungeeignet
sind!
Lösung: Für g1 gilt z.B.: g1 ist für b<0 streng monoton wachsend, für b>0 streng monoton fallend. Das Schaubild ist weder
das eine noch das andere.
Für g3 gilt z.B.: g3(x)→0 für x→-∞ und |g3(x)|→∞ für x→∞, was beides beim Schaubild nicht der Fall ist.
Also kann das Schaubild nur durch g2(x) beschrieben werden.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispiel 2: Es sei
f(x)=-x³ + 5x²-4,5x + 2
Gib an, welches der beiden folgenden Schaubilder nicht zu einer Stammfunktion von f(x) gehören kann und
begründe die Antwort.
Schaubild von f(x)
Schaubild 1
oder
Schaubild 2
Lösung: f(x) hat z.B. bei 2,9 eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel von + nach -). D.h., dass F(x) bei etwa 2,9 einen
Extrempunkt (Hochpunkt) haben muss! Schaubild 2 hat kurz vor 4 einen Hochpunkt und kann deshalb nicht zu einer
Stammfunktion von f gehören.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispiel 3: Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion f, ihre Ableitung f’ und eine Stammfunktion F. Ordne
die Schaubilder jeweils zu.
S1
S2
S3
Lösung: Wäre S1 f(x), dann müsste F(x) bei -3 einen Extrempunkt haben. Dies hat keines der Schaubilder, also
ist S1 nicht das Schaubild von f(x).
Wäre S3 f(x), dann müsste wegen des Tiefpunktes bei x=0 f’ dort eine Nullstelle haben. Dies hat ebenfalls keines
der anderen Schaubilder, also kann S3 auch nicht das Schaubild von f(x) sein.
S2 ist das Schaubild von f(x)
Damit muss f’ bei -1 eine Nullstelle haben => S3 ist das Schaubild von f’
S1 ist das Schaubild von F(x) (Extrempunkt, wo f eine Nullstelle hat, also bei -2!)
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
4
TANGENTEN- UND NORMALENBESTIMMUNG
Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(af(a)) der Kurve.
y = mx + b wobei m = f ’(a) => Punkt und m einsetzen => b ausrechnen
Beispiel 1:
Berechne die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f ( x ) =
f ' ( x ) = tx − t
2
Lösung:
P (2 23 t )
t 3
x − tx an der Stelle x=2.
3
m = f ’(2) = 3t
2
3
t = 3t⋅2+b
16
b = 23 t - 6t = − 3 t
=>
Tangentengleichung: y = 3t⋅x
− 163 t
Variationen: Wendetangente, Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse, Tangente in den Nullstellen.
1
1
Für NORMALEN gilt der gleiche Rechenweg, es ist lediglich zu beachten, dass m Normale = −
=−
mTangente
f ' (a )
(oder
m Normale ⋅ mTangente = −1 )
Lege von einem Punkt P(ab) außerhalb der Kurve die Tangenten an das
Schaubild von f (x).
Man nimmt an, der Berührpunkt sei bekannt: B(u|f (u)).
Die Steigung der Tangenten ist einerseits: m = f ’(u)
und andererseits
Gleichsetzen
=>
f ’(u) =
Tangente in B berechnen (siehe
f ( u) − b
u−a
m=
=>
f ( u) − b
u−a
auflösen nach u
=>
).
Beispiel 2:
Von P( 23 -1) sollen die Tangenten an das Schaubild von
f ( x ) = 14 x 2 gelegt werden.
Lösung:
( I ) m = 21 u
( II ) m =
u +1
u +1
2
1
4
u − 23
2
1
4
1
2
u=
=>
1
2
u − 43 u − 41 u − 1
u − 23
2
2
u − 3u − 4 = 0
2
u1 = −1
u2 = 4
=>
1
2
1
4
Damit sind Berührpunkte:
u( u − 23 ) = 41 u + 1
2
u − 43 u − 1 = 0
2
B1 ( −1 41 )
B2 ( 4 4)
und die Tangenten:
t1 :
y = − 21 x − 14
t2 :
y = 2x − 4
B
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
5
ORTSLINIEN (ORTSKURVEN)
Ortslinien können immer nur dann entstehen, wenn eine Kurvenschar gegeben ist.
Bestimme die Ortskurve aller???-punkte.
a) Gewünschten Punkt (je nach Aufgabe) allgemein in Abhängigkeit vom
Kurvenparameter (meist t) ausrechnen.
b) Zwei Gleichungen aufstellen
(I)
x = errechnete x-Koordinate
(II) y = errechnete y-Koordinate
c) (I) nach t (dem Parameter) auflösen und in (II) einsetzen => Gleichung der
Ortskurve
Beispiel 1:
2
Gegeben ist die Kurvenschar f t ( x ) = − x + 4tx mit x ∈ R und t ∈ R
Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte der Schar?
Lösung:
f '( x ) = −2 x + 4t
−2 x + 4 t = 0
⇒
x = 2t
2
E ( 2t 4t )
( I ) x = 2t
x
aus ( I ): t =
2
2
( II ) y = 4t
in ( II ): y = x
Beispiel 2:
1 2
f ( x ) = e −tx , mit x ∈ R und t ∈ R
t
Gegeben ist die Funktion
Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte, wenn t alle zulässigen Werte durchläuft?
Lösung:
f ' ( x ) = − 2 x ⋅ e − tx f ' ' ( x ) = ( 4 tx 2 − 2 ) ⋅ e − tx
2
2
Wendepunkt ( e ) :
4 tx 2 − 2 = 0 ⇒ x1, 2 = ±
1
2t
(beides sind einfache Lösungen, also sind beide Wendepunkt e ! )
W1 (
1
2t
1
t
−1
⋅ e 2 )W 2 ( −
1
2t
1
t
−1
⋅e 2)
Ortskurve :
1
−1
aus ( I ) :t =
in ( II ) : y = 2 e 2 ⋅ x 2
1
2
−
2x
( II ) y = 1t ⋅ e 2
(I ) x =
1
2t
2
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
6
GEMEINSAME PUNKTE VON KURVENSCHAREN
Zeige, dass alle Kurven der gegebenen Schar ... Punkte gemeinsam haben.
Zwei Kurven mit t1 und t2 (t1≠t2) miteinander schneiden (meist fällt t dann raus,
2
2
wobei oft die 3. bin. Formel benutzt wird: t1 -t2 =(t1+t2)(t1-t2))
→ gemeinsame Punkte aller Kurven
alternativ: Die allgemeine Kurve ft mit einer bestimmten schneiden (z.B. t=0 oder
t=1) → gemeinsame Punkte aller Kurven
Beispiel 1:
2
Zeige, dass sich je 2 Schaubilder der Schar f t ( x ) = 41 x ⋅ ( x − t ) , x,t∈R, in genau 2 Punkten schneiden.
Lösung:
1
4
x ⋅ ( x − t1 ) 2 = 14 x ⋅ ( x − t2 ) 2 (t1 ≠ t2!!! )
1
4
x ⋅ (( x − t1 ) 2 − ( x − t2 ) 2 ) = 0 ⇒ x1 = 0
( x − t1 ) 2 − ( x − t2 ) 2 = 0
x 2 − 2t1 x + t12 − ( x 2 − 2t2 x + t22 ) = 0
2 x ⋅ (t2 − t1 ) = t22 − t12 : (t2 − t1 )
2 x = t2 + t1 ⇒ x2 =
⇒ S1 (0 0) und S2 (
[Das geht, weil t1 ≠ t2 ist !!!]
t2 + t1
2
t2 + t1 t22 − t12
)
2
16
Beispiel 2:
Zeige, dass die Schaubilder der Funktionen
Lösung:
x ⋅ etx = x ⋅ e x
f t ( x ) = x ⋅ e tx , x,t∈R, nur einen gemeinsamen Punkt besitzen.
(t ≠ 1 da t2 = 1!!! )
x ⋅ (e tx − e x ) = 0 ⇒ x1 = 0
e tx − e x = 0
e tx = e x
tx = x
x ⋅ (t − 1) = 0 ⇒ x2 = 0
( nix Neues )
t = 1 ( was aber laut Voraussetzung nicht sein darf ! )
⇒ keine weiteren gemeinsamen Punkte außer S( 0 0)
Beispiel 3: Untersuche, ob die Schaubilder der Funktion ft(x)=tx²-t.sin(
1
1
3
x)+
, x∈R, t∈R
2 20 200
gemeinsame Punkte besitzen.
Lösung: t1x²-t1.sin(
1
1
1
3
1
3
x)+
= t2x²-t2.sin( x- )+
2 20 200
2 20 200
=>
(mit GTR) => keine Lösung => keine gemeinsamen Punkte vorhanden
x²- sin(
1
1
x)=0
2 20
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(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
INTEGRALE UND FLÄCHENBERECHNUNG
Bestimme die Fläche, die Kf mit der x-Achse im Bereich von x=a bis x=b
einschließt.
Entweder sind a und b gegeben oder es handelt sich um die Nullstellen von f.
b
A=
∫ f ( x)dx = [F ( x)]
b
a
= F (b) − F (a )
Funktionsterm genau anschauen!
a
Beispiel 1:
Berechne die Fläche, die das Schaubild von
f ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x mit der x-Achse einschließt.
Lösung:
x(x − 8 x + 16) = 0
2
Nullstellen:
4
∫
⇒ A = (x − 8 x + 16x ) dx =
3
2
[
1
4
x1 = 0
⇒
x − 83 x + 8 x
4
3
]
x 2,3 = 4 ± 0
2 4
0
⇒
x2 = 4
=
0
= 41 ⋅ 4 − 83 ⋅ 4 + 8 ⋅ 4 − ( 41 ⋅ 0 − 83 ⋅ 0 + 8 ⋅ 0 ) =
4
= 64 −
3
512
3
2
4
+ 128 − 0 =
64
3
3
2
FE
Bestimme die Fläche, die Kf mit Kg im Bereich von x=a bis x=b einschließt.
Entweder sind a und b gegeben oder es handelt sich um die Schnittpunkte von f
und g. (Beachte: Es wird immer von links nach rechts integriert!)
b
A = ∫ (obere Kurve - untere Kurve)dx = ... ( s.o.)
Gesuchte Fläche
a
Beispiel 2:
a) Zeige, dass
F ( x) = 54 e 2x − 12 x ⋅ e 2 x eine Stammfunktion von f ( x) = (2 − x) ⋅ e 2x ist.
b) Die Schaubilder von f ( x ) = 2e und g ( x ) = x ⋅ e
Fläche. Berechne deren Inhalt A(u) sowie lim A( u ) .
2x
2x
sowie die Gerade x=u (mit u<2) begrenzen eine
u→ − ∞
Lösung:
Schnittpunkt von f und g :
2e 2x = x ⋅ e 2x
(2 − x) ⋅ e 2x = 0 : e 2 x (≠ 0) → 2 − x = 0 → x = 2
2
A(u ) = ∫ (2 − x) ⋅ e 2x dx = (Stammfunktion muss angegeben sein)
[
u
5
4
e 2x − 12 x ⋅ e 2 x
lim A(u )= 14 e 4
u →−∞
]
2
u
= 54 e 4 − e 4 − ( 54 e 2u − 12 u ⋅ e 2u ) = 14 e 4 − 54 e 2u + 12 u ⋅ e 2u
7
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
8
MITTELWERT / ROTATION VON FLÄCHEN
Der Mittelwert m der Funktionswerte einer Funktion f auf einem Intervall
b
m=
[a;b] wird berechnet durch
1
⋅ f ( x )dx .
b − a ∫a
Beispiel: Der Temperaturverlauf (in °C) eines bestimmten Vorganges in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) wird
durch eine Kurve näherungsweise dargestellt. Die Beobachtung begann zum Zeitpunkt t=2 und wurde 8 Stunden
lang durchgeführt. Die (Temperatur-) Kurve hat die Gleichung
f(t)=-0,261t²+3,119t+15 .
Bestimme die Durchschnittstemperatur während des Beobachtungszeitraumes.
Lösung:
10
1
1
m=
⋅ ∫ − 0,261t ² + 3,119t + 15dt = ⋅ 183,408 = 22,926 (°C )
10 − 2 2
8
Das Flächenstück, das f(x) mit der x-Achse einschließt, rotiert von x=a bis x=b
um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
b
V =π⋅∫
=>
a
[ f (x)] dx
2
Beispiel 1: Die Fläche zwischen dem Schaubild von f mit f(x)=1+sin(x) auf [0;1,5π] und der x-Achse rotiert um
die x-Achse. Beschreibe den entstehenden Rotationskörper und berechne dessen Volumen.
Lösung:
Der Rotationskörper hat die Form einer liegenden Blumenvase und das Volumen
1,5π
V= π ⋅
∫ [1+ sin( x )] dx = 16,05 FE
2
(mit GTR)
0
Beispiel 2: Ein Sektglas „entsteht“ durch Rotation des Schaubildes der Funktion f ( x ) =
1
5
( 6 x − 12) im
Bereich von x=2 bis x=10 um die x-Achse. Erstelle eine Skizze.
a) Wie viele Volumeneinheiten (VE) Sekt gehen in das Glas, wenn es randvoll gemacht wird?
(Die „Klugscheißer“-Antwort lautet natürlich „0, da alles herausläuft“, aber das Glas wird selbstverständlich vorher aufgestellt !!!)
b) In welche Höhe (vom Glasboden aus gemessen) müsste der Eichstrich angebracht werden, damit bis dorthin
genau 100 VE im Glas sind?
Lösung:
a) V = π ⋅
2
10 1
192π
(
6
x
−
12
)
≈ 120,637 VE (mit GTR oder ohne!)
dx =
∫ 5
5
2
u 1
12
3
b) V = π ⋅ ∫
(6 x − 12) dx = 100 (hier „versagt“ leider der GTR!!!) → π ⋅ u 2 − u = 100 →
5
5
5
2
500
2
u − 4u −
= 0 → u1=9,553 (u2<0)
Der Eichstrich müsste in 9,553 LE Höhe angebracht werden.
3π
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
9
EXTREMWERTAUFGABEN
Bestimme u so, dass irgendwas maximal oder minimal wird
wie müssen bestimmte Punkte liegen, damit irgendwas maximal wird
bestimme den maximalen??? von irgendwas.
oder
oder
Was soll extremal werden? (Strecke, Dreiecksfläche, Rechtecksumfang, ...)
Zielfunktion Z(u) für das "Was" aufstellen (evtl. Nebenbedingungen beachten). - Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen (falls nicht angegeben)!
Extrema der Funktion Z berechnen (siehe Funktionsuntersuchung )
Randwerte bestimmen
Fragestellung der Aufgabe anschauen und evtl. die gefragte Größe noch
berechnen, bzw. die gestellte(n) Frage(n) beantworten!
Beispiel 1:
2
Die Gerade x=u schneidet das Schaubild der Funktion f ( x ) = − x + 4 x im Punkt P, die x-Achse im Punkt
Q. Berechne u so, dass der Dreiecksinhalt ein Maximum annimmt und gib den maximalen Flächeninhalt des
entsprechenden Dreiecks an.
Was soll extremal werden ?
→ Dreiecksfläche ( 12 ⋅ g ⋅ h)
g = u und h = f (u )
⇒
A(u ) = 12 u ⋅ f (u ) = 12 u ⋅ ( −u 2 + 4u )
Zielfunktion :
A(u ) = − 12 u 3 + 2u 2
A' (u ) = − 23 u 2 + 4u
A' ' (u ) = −3u + 4
Definitionsbereich ( = Grenzen für Randwerte) :
0≤u≤4
Extrema bestimmen :
− 23 u 2 + 4u = 0 ⇒ u ⋅ ( − 23 u + 4) u1 = 0 u2 =
8
3
A' ' (0) = 4 > 0 ⇒ Minimum
A' ' ( 83 ) = −4 < 0 ⇒ Maximum
Randwerte (Werte am Rand des Definitionsbereiches) :
A(0) = 0 A( 4) = 0
Maximale Fläche :
128
Amax = A( 83 ) =
FE
27
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
10
− 14 ⋅ x
Beispiel 2: Der Punkt P(uv) mit u≥0 liegt auf dem Schaubild von f ( x ) = 2e
. Die Tangente in P an das
Schaubild begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne u so, dass der Inhalt dieses Dreiecks
extremal wird. Um was für ein Extremum handelt es sich?
Was soll extremal werden ?
→ Dreiecksflä che ( 21 ⋅ g ⋅ h)
wobei g = x - Wert des Tangentenschnittpunktes mit der x - Achse
und
h = y - Achsenabschnitt der Tangente
⇒ es sind zunä chst die Gleichung der Tangente und deren Nullstelle zu berechnen
Tangente:
2e
− 41 u
P(u 2 e
= − 21 ⋅ e
− 41 u
− 41 u
m t = f ' ( u ) = − 21 ⋅ e
)
⋅u +b
⇒
b=e
− 41 u
− 41 u
u
( 2 + ) [ = h !!!] ⇒
2
Schnittpunkt der Tangenten mit der x - Achse: y = 0
y = m⋅ x + b
einsetzen in
⇒
y = − 21 ⋅ e
x= 4+u
− 41 u
⋅x+e
− 41 u
[ = g !!!]
Zielfunktion:
A( u) = 21 ⋅ ( 4 + u) ⋅ e
−4u
1
2
1
u
u
− u
( 2 + ) = e 4 ( 4 + 2u +
)
2
4
A' ( u ) = e
−4u
1
(1 −
u
2
)
8
Definitionsbereich:
0≤u≤∞
Extrema berechnen:
−4u
1
e
(1 −
u
2
8
)=0
⇒
u =8
2
⇒
u1 = 8 ( ≈ 2,83)
( u1 = − 8 ) ∉ ∆
Art des Extremums (zur Abwechslung einmal mit Vorzeichenwechsel von f ' ' ):
(1 − 21 ) > 0 zwischen 2 und 3 Vorzeichenwechsel von f ' von + nach
⇒ Art des Extremums: Maximum
−3
f ' ( 3) = e 4 (1 − 98 ) < 0
f ' ( 2) = e
−2
1
Randwerte:
A( 0) = 2
lim A( u) = 0
u →∞
Maximale Flä che:
Amax = A( 8 ) = 8,77 FE
(!!! Da keine rechte Grenze angegeben ist !!!)
u
(2 + )
2
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
11
AUFSTELLEN VON FUNKTIONSGLEICHUNGEN
Es sind verschiedene Bedingungen angegeben
Eine Funktion ?-ten Grades hat ... (verschiedene Bedingungen).
oder
Eine Funktion hat die Form ... . Sie ... (verschiedene Bedingungen).
Bestimme die Funktionsgleichung.
1. Allgemeinen Funktionsterm incl. 1. und 2. Ableitung aufschreiben (falls nicht
angegeben!)
2. Bedingungen auswerten und Gleichungen mit f, f ’ oder f ’’ bilden
3. (Lineares) Gleichungssystem aufstellen
4. (Lineares) Gleichungssystem lösen
5. Funktionsgleichung hinschreiben
Bedingungen beachten! (... geht durch P, ... ist Hoch-, Tief-, Extrem-,
Wendepunkt, ... berührt, ... hat die Steigung, ... ist parallel zu, ...)
Beispiel 1:
Das Schaubild Kt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ft hat im Ursprung eine waagrechte Tangente und im
Punkt Pt(t0), [t≠0], die Steigung 3. Bestimme ft.
Allgemeine Form der Funktion:
f ( x ) = ax + bx + cx + d
3
2
f ( 0) = 0
⇒
(II) f ' ( 0) = 0
⇒
(I)
(III) f ( t ) = 0
⇒
(IV) f ' ( t ) = 3
⇒
f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c
f ' ' ( x ) = 6ax + 2b
2
c=0
−b
aus (III): a =
3
2
at + bt = 0
t
2
3at + 2bt = 3
d=0
f ( x) =
Beispiel 2:
2
In der Funktion f ( x ) = ( x
die x-Achse bei -1 berührt.
in (IV): b = -
3
t
2
⋅x −
3
3
t
x
3
t
-b
(a= )
t
→ a=
3
t
2
2
+ ax + b ) ⋅ e − x sind a und b so zu bestimmen, dass das Schaubild der Funktion
Allgemeine Form der Funktion:
2
f ( x ) = ( x + ax + b) ⋅ e
(I)
f ( −1) = 0
(II) f ' ( −1) = 0
−x
2
f ' ( x ) = ( − x + 2 x − ax + a − b ) ⋅ e
−x
⇒ (1- a + b) ⋅ e = 0
(a=b+1)
aus (I): a = b + 1 in (II): b = 1 → a = 2
⇒ - 3 + 2a - b = 0
2
f ( x ) = ( x + 2 x + 1) ⋅ e
−x
*********************************************************************
Es ist eine Reihe von Punkten angegeben (Wertetabelle mit Punktepaaren)
Die Lösung erhält man durch REGRESSION! - (Dies geht mit dem GTR!)
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
Beispiel:
Gegeben ist die Wertetabelle
0
1
2
4,1
3,9
3,1
3
2,1
4
1,55
5
2,0
6
3,8
12
7
8,3
8
15,4
Es soll nun eine Funktion gefunden werden, die diese Werte möglichst gut repräsentiert. Dazu lässt man sich die
Punkte erst einmal aufzeichnen.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1) Die Eingabe der Werte in Listen
(am besten L1 und L2!) erfolgt mit ;
→
→b→
→ -0
WICHTIG: Natürlich müssen in beiden Listen gleich viele Werte eingetragen werden!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Mit -. schaltet man nun Plot1 auf On:
→
Alternative:
.→
b→
→
→ -0
b→
mit $ auf Plot1 →b→
Plot1 wird dunkel und damit
eingeschaltet.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Ein Druck auf 6 zeigt jetzt die Lage der eingegebenen Punkte.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Jetzt muss man sich für die Art der Regressionskurve entscheiden. Welche es gibt, zeigt
;š →
Von der Linearen Regression 4: LinReg (= Gerade) geht es bis C: SinReg
(= eine Sinus-Funktion).
Für unser Beispiel wählen wir eine Funktion 3. Grades, also „6:CubigReg“. Am Bild(Bemerkung: Man könnte jetzt dahinter
schirm steht jetzt lediglich:
noch, mit Komma getrennt, zwei Listen angeben (also etwa so: CubicReg L3,L4), mit
denen der GTR rechnen soll, aber wenn wir L1 und L2 benutzen, brauchen wir das
nicht, denn diese beiden werden automatisch benutzt!!!)
Drückt man jetzt b, so berechnet der TI die Regressionskurve und zeigt die
Koeffizienten unserer Kurve 3. Grades an.
→
Sehr Nützlich: Gibt man hinter dem
noch eine y-Variable an, also z.B.
so wird
die Funktion in dieser y-Variable gespeichert! (y-Variablen erhält man über 2"b…)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5) (Eigentlich unnötig, aber…) Manchmal will man wissen, ob die berechnete Kurve die gegebenen Punkte gut
oder weniger gut repräsentiert. Dazu gibt es Maßzahlen (sie heißt r, r² und R²). Standardmäßig werden diese
nicht berechnet, man kann sie aber im „Funktionen-Catalog“ einschalten:
-_ (= CATALOG) und dann bis zum Befehl
runterscrollen.
Führt man jetzt die Regression durch, erscheinen unter den Koeffizienten der Funktion
(je nach der Art der Regression, die man gewählt hat) noch Werte r, r² und/oder R².
Bei uns ist R²=0.9996743797) was sehr, sehr gut ist. R² heißt Bestimmtheitsmaß.
→
Allgemein gilt: Je näher diese Diagnosewerte bei 1 liegen, desto besser ist die Regression.
Werte > 0,75 sind gut, darunter nicht. (Wer mehr wissen will → TI-Handbuch, Seite 12-23)
Bemerkung: Dieses Maß (das in unseren Aufgaben keine Rolle spielt) ist hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt.
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
13
DER RANG EINER MATRIX
Welchen Rang hat die Matrix A?
Der Rang einer Matrix ist die kleinste Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen
Zeilenvektoren von A, die durch die elementaren Umformungen erzeugt werden
können!
Bestimmung des Ranges:
Matrix auf Dreiecksform bringen und die Zeilen zählen, die keine Nullzeilen
sind.
Beispiel:
1
2
Welchen Rang hat die Matrix A =
3
5
−1
2
−3
2
1
14
−8
4
2
1
?
9
−2
1 −1 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
2 − 3 2 1 ⋅ (− 1)
3 1 14 9
⋅ (− 1)
5 − 8 4 − 2
⋅ (− 1)
1
0
0
0
−1
2
1
2
0
0
0
0
2
1 −1 2
2
3 ⋅ 4 ⋅3
0 1
0 − 4 − 8 − 3 ⋅ (− 1)
0 3
⋅ (− 1)
6 12
1
0
0
0
−1
2
1
2
0
0
0
0
2
3
9 ⋅1
−3 ⋅3
2
3
9
0
Die letzte Zeile
wird zu einer
Nullzeile
1442443
Der Rang von A
ist 3 (Rg A =3)
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
14
LÖSBARKEITSKRITERIEN VON LGS
Wann ist das LGS A⋅x=b (mit n Unbekannten) eindeutig, mehrdeutig oder
unlösbar?
Man vergleicht den Rang der Koeffizientenmatrix A (Rg A) mit dem Rang der
erweiterten Koeffizientenmatrix (Rg (Ab)).
Für inhomogene LGS gilt dann:
Das LGS ist
eindeutig lösbar wenn
mehrdeutig lösbar wenn
unlösbar wenn
Rg A = Rg (A b) = n
Rg A = Rg (A b) < n
Rg A < Rg (A b)
Für homogene LGS gilt dann:
Das LGS ist
eindeutig lösbar wenn
mehrdeutig lösbar wenn
Rg A = n
Rg A <n
(da bei homogenen LGS immer Rg A = Rg (A b), entfällt die 3. Möglichkeit)
Lösungsweg:
Gleichungssystem auf Dreiecksform bringen.
Nullstellen des linken Terms der letzten Zeile berechnen
Prüfen, ob für die ausgerechneten Werte auch der rechte Term Null wird.
(⇒ vorläufiges Ergebnis)
Eventuelle Ausnahmewerte für t einzeln prüfen (Diagonale!).
Endgültiges Ergebnis formulieren.
Beispiel:
2
t + 2
1
3
Für welche Werte von t hat das LGS 3 2t + 2
−1 ⋅ x = 7
t
− 4
4
1
genau eine
unendlich viele Lösung(en)?
keine
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
1
t + 2 3 ⋅ 3 ⋅ t (t ≠ 0!!!)
2
3 2t + 2 − 1 7 ⋅ (− 1)
t
4
1 − 4
⋅ (− 1)
Ein Blick auf das mittlere Element der
2. Zeile zeigt, daß für t = 2 dort eine Null
steht ! Damit ergibt sich die Frage, ob mit
Zeile 2 und 3 eine Nullzeile erzeugt
1
2
t+2
3
3t + 7
2 Hinschauen!!!
0 4 − 2t
0 2t − 4 t 2 + 2t − 1 3t + 4 Hinschauen!!!
werden kann !!!!!
Für t = 2 ergibt sich :
1
2
t+2
3
3t + 7
2 ⋅1
0 − 2(t − 2 )
0 2(t − 2 ) t 2 + 2t − 1 3t + 4 ⋅ 1
1
0
0
2
t+2
3
1
3t + 7
2
0 − 2(t − 2 )
0
0
t 2 + 5t + 6 3(t + 6 )
1 2 4 3
0 0 13 2 ⇒ unlösbar für t = 2
0 0 0 − 116
1
2
t+2
3
0 − 2(t − 2 )
3t + 7
2 ←!!!
(1
(t2+3
0
t +42
2 )(t43
+ 3) 31
2 )
0
Term1
Term 2
Nullstellen von Term 1 sind - 2 und - 3
Da - 2 ebenfalls Nullstelle von Term 2
2
0
0
4 3
13 2 ⋅ 20
20 12 ⋅ (− 13)
Merke:
Immer, wenn als erstes Element in einer Zeile der
Dreiecksmatrix ein Ausdruck mit Parameter steht, kann
es weitere Sonderfälle (= mehrdeutig oder unlösbar)
geben!!!
ist ⇒ für t = -2 ergibt sich eine Nullzeile
⇒ LGS mehrdeutig lösbar für t = -2
Für t = -3 ist Term 2 NICHT 0
⇒ LGS unlösbar für t = -3
Ergebnis:
Das LGS ist
mehrdeutig lösbar
unlösbar
eindeutig lösbar
15
für
für
für
t = -2
t = -3 und t = 2
t ∈ R\{-3 ; -2 ; 2}
(oder t ∈ {-3 ; 2})
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
16
HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
Für welche Werte von t ist das homogene LGS ... nichttrivial lösbar?
Besonderheiten von homogenen LGS:
Es gibt IMMER eine Lösung, nämlich die "Triviallösung", den Nullvektor!
EIN HOMOGENES LGS KANN NIE UNLÖSBAR SEIN!!!
Als zweite Möglichkeit bleibt nur noch der Fall, dass es ∞ viele Lösungen
gibt (= d.h. es ist nichttrivial lösbar!!!)
Beispiel:
t
9
− 3
Für welche Werte von t ist das hom. LGS − t
3 3 ⋅ x = o nichttrivial lösbar? Gib die Lösung für t=1
0 − 2t 0
an.
Sonderfälle:
− 3 t 9 0 ⋅ t
− t 3 3 0 ⋅ (− 3)
0 − 2t 0 0
t = 3:
t
9 0
− 3
2
0 t − 9 9t − 9 0 ⋅ 2t
0 − 2t
0 0 ⋅ t 2 − 9 (t ≠ ±3 !!!)
t
9
− 3
0
2
9t − 9 0
0 t −9
2
0
0
18t − 18t 0
− 3 3 9 0
0 0 18 0 ⇒ nur trivial lösbar
0 − 6 0 0
t = -3 :
− 3 − 3 9 0
0 0 − 36 0 ⇒ nur trivial lösbar
0 6
0 0
t
9
− 3
0
2
0 t − 9 9t − 9 0
0
0
18t (t − 1) 0
Das LGS hat ∞ viele Lösungen für t = 0
und t = 1 )
Damit ist das Gleichungssystem nichttrivial lösbar für t ∈ {0;1}
Lösung für t = 1 :
Wir setzen x 3 = a (da die 3. Zeile eine Nullzeile ist)
− 3 1 9 0
0 − 8 0 0 ⇒ In die 2. Zeile eingesetzt ⇒ - 8x 2 = 2 ⇒ x 2 = 0
0 0 0 0 Dies in die 1. Zeile ⇒ -3x + 1 ⋅ 0 + 9 ⋅ a = 0 ⇒ x = 3a
1
1
(HINWEIS: Die Lösung entspricht
3a
x= 0
a
0
3
geometrisch einer Geraden im R³!!! x = 0 + a ⋅ 0 )
0
1
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
17
INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
Für welche Werte von t hat das inhomogene LGS ... genau eine, unendlich viele,
gar keine Lösung?
Inhomogene Gleichungssysteme können auch unlösbar sein!
Beispiel:
t
1 1
t + 2
t genau eine, unendlich viele, keine
Für welche Werte von t hat das inhom. LGS t 2t
0 ⋅x =
1
t
+
1
−
2
−
t
Lösung?
⋅1
t t + 2 ⋅ t
1 1
0 t ⋅ (− 1)
t 2t
1 t + 1 − 2 − t
⋅ (− 1)
t t+2
1 1
2 2
0 − t t t + t ⋅1
0 − t t + 2 2 t + 2 ⋅ (− 1)
t
t+2
1 1
2
2
t +t
0 − t 2 t
0 0 t − t − 2 t2 − t − 2
1
0
0
1
−t
0
t
t+2
2
2
t
t +t
←!!!
t + 1)(t − 2 ) (t + 1)(t − 2 )
(1
4243 14243
Term 1
Term 2
Nullstelle n von Term 1 sind - 1 und 2.
Da dies ebenfalls Nullstelle n von Term 2
sind ⇒ für t = -1 und t = 2 ergibt sich eine
Nullzeile ⇒
LGS mehrdeutig lösbar für
t = -1 und t = 2
Ein Blick auf den Wert in der Mitte der Matrix
ergibt für t = 0 einen weiteren Sonderfall (s.o. bei
Lösbarkeit skriterien von LGS! )
Sonderfall t = 0 :
1 1 0 2
0 0 0 0 ⇒ LGS mehrdeutig lösbar
1 1 − 2 0
Das inhomogene lineare Gleichungssystem ist
also mehrdeutig lösbar für t ∈ {0;-1;2} und
eindeutig lösbar für alle anderen Werte von t.
Der Fall, daß das LGS unlösbar ist tritt für
kein t ein !
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
ÜBER- UND UNTERBESTIMMTE LGS
Überbestimmte Gleichungssysteme
Gib den Lösungsvektor des LGS ... an.
Ein überbestimmtes ist ein LGS mit mehr Gleichungen als Unbekannten.
Da man keine quadratische Form hat, kann man diese nur dann erreichen, wenn
die "überzähligen" Zeilen durch die elementaren Matrizenumformungen zu
Nullzeilen gemacht werden können! Ist dies nicht möglich, so ist das LGS
unlösbar, ist dies möglich, dann gibt es die schon bekannten Möglichkeiten!
⇒ eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder unlösbar!
Beispiel 1:
t
2
1
3
2 10 4t + 2 x1 2t + 6
Für welche Werte von t hat das LGS
eine Lösung?
0
0
4 ⋅ x2 = 1
− 1 − 5 − 2t − 5 x 3 − 4 − t
6
6t + 6
3
9
1
2
0
−1
3
1
0
0
0
0
3 ⋅2 ⋅1 ⋅3
4t + 2 2t + 6 ⋅( -1)
4
1
−2 t − 5 −4 − t
⋅1
6t + 6 9
⋅( -1)
1
0
0
0
0
3
−2t − 2 −2t ⋅1
4
1
⋅( −3t − 6)
− t − 5 −1 − t ⋅( −2 )
−3t − 6 0
⋅( -4)
1
0
0
0
0
2
t
10
0
−5
6
2
−6
0
−3
0
t
t ≠ −2
2
−6
0
0
0
2
−6
0
0
0
−2 t − 2 −2 t
4
1 ⋅( −2)
8
2 ⋅1
0 −3t − 6
t
3
−2 t − 2 −2 t
4
1
0
0
0 −3t − 6 Nullzeile nur für t = -2
t
3
(Der Sonderfall t = -2 muß später mit dieser
t = -2 war aber ausgeschlossen worden =>
Matrix gesondert untersucht werden !)
für t ≠ -2 ist das LGS nicht lösbar !
Prüfung für t = -2 ergibt zwei Nullzeilen ⇒
Das System ist (nur) für t = -2 lösbar.
Beispiel 2:
− 4 3
2
x1
− 4 ⋅ = 0 ?
Welche Lösungen hat das LGS 5
x
2
1 2 5
− 4 3 2 ⋅ 5 ⋅1
5 − 4 0 ⋅ 4
2
1 5 ⋅ 2
− 4 3 2
0 − 1 10 ⋅ 5
0
5 12 ⋅ 1
− 4 3 2
0 − 1 10
0
0 62
⇒ Die 3. Zeile kann nicht zur Nullzeile
gemacht werden ⇒ Das LGS ist unlösbar
18
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
19
Unterbestimmte Gleichungssysteme
Gib den Lösungsvektor des LGS ... an.
Ein unterbestimmtes ist ein LGS mit weniger Gleichungen als Unbekannten.
Da man keine quadratische Form hat, kann man diese höchstens durch Ergänzen
von Nullzeilen herstellen. Nullzeilen bedeuten aber (fast (*)) immer unendlich
viele Lösungen! ⇒ ein unterbestimmtes LGS hat (fast (*)) immer unendlich viele
Lösungen! Man bringt also das LGS so weit als möglich auf "Dreiecksform" und
berechnet dann wie üblich den Lösungsvektor.
Achtung:
(*)
Dieses „fast“ bedeutet, dass es Ausnahmen gibt! Ein LGS mit einer Nullzeile kann auch unlösbar sein;
wenn sich nämlich bei der Berechnung der „Dreiecksform eine Zeile ergibt, die in der Koeffizientenmatrix
nur Nullen hat, im Ergebnisvektor jedoch nicht ( 0 0 0 | 3 )!
Sicher ist nur eines: Ein unterbestimmtes LGS kann nie eindeutig lösbar sein!
Beispiel:
x1
3 3 4 6 0
x2
Gib den Lösungsvektor des LGS − 1 3 − 2 2 ⋅ = 2 an.
5 0 2 1 x 3 − 1
x
4
3 3 4 6 0 ⋅1 ⋅ 5
−1 3 − 2 2 2 ⋅ 3
5 0 2 1 − 1 ⋅ (− 3)
3 3
4
6 0
0 12 − 2 12 6 ⋅ 5
0 15 14 27 3 ⋅ (− 4 )
3 3
4
6 0
0 12 − 2 12 6
0 0 − 66 − 48 18
3 3
4
6 0
0 12 − 2 12 6 : 2
0 0 − 66 − 48 18 : 6
(Damit die Zahlen kleiner werden !)
3 3 4
6 0
0 6 − 1 6 3
0 0 − 11 − 8 3
Wir setzen x 4 = a
(da die 4. Zeile eine Nullzeile wäre ! )
⇒ −11x3 − 8a = 3 ⇒ x 3 =
⇒ 6 x2 − 1 ⋅
⇒ 3x1 + 3 ⋅
⇒ x1 = −
8a + 3
11
11
+ 6a = 3 ⇒ x 2 =
18 − 29a
33
8a + 3
+ 4⋅
8a + 3
11
18 − 29a
33
+ 6a = 0
23a + 10
11
23a + 10
−
11
18 − 29a
Damit ist der Lösungsvektor x =
33
8a + 3
11
a
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
20
VEKTOREN IM R3
Was sind Vektoren?
- Vektoren kann man als Verschiebungen (Translationen) ansehen. Ein Vektor hat eine Länge
und eine Richtung (wie eine Schiebung).
- Ortsvektoren sind solche, die vom Ursprung ausgehen und damit Punkte im Koordinatensystem festlegen. Jeder Punkt P legt also einen Ortsvektor fest.
- Vektoren werden auch durch 2 Punkte (Anfangs- und Endpunkt) festgelegt. Punktkoordinaten werden waagerecht, Vektorkoordinaten senkrecht geschrieben [P(1|2|3)].
- Eine Linearkombination von Vektoren a, b, c ist eine Summe/Differenz von Vielfachen
dieser Vektoren, also z.B.
4⋅a +5⋅b + 2⋅c oder 2,3⋅a -5⋅b + 12⋅c oder a - c oder r⋅a +s⋅b + t⋅c
- Vektoren sind nichts anderes als sx1-Matrizen, also s Zeilen und nur eine Spalte, daher kann
man mit Vektoren rechnen wie mit Matrizen und es gelten die gleichen Rechenregeln wie für
Matrizen!
Beispiel a):
Bestimme die Koordinaten des Vektors a vom Punkt A(1|-5|0) zum Punkt
B(4|-5|0). Bestimme ebenfalls den Vektor b von B nach A.
Lösung:
4 1 4 −1 3 →
1 4 1 − 4 − 3
AB = a = − 5 − − 7 = − 5 − ( −7) = 2 BA = b = − 7 − − 5 = − 7 − ( −5) = − 2 ( =− a! )
0 3 0 − 3 − 3
3 0 3−0 3
→
Beispiel b):
Bestimme den Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke pq mit P(4|0,7| − 2 )
und Q(12|-1,3| 3 2 ).
Lösung:
Mittelpunkt der Strecke PQ:
x1M =
x2 M
4 + 12
=8
2
0,7 + ( −1,3)
=
= −0,3
2
x3 M =
− 2 +3 2
= 2
2
⇒ M(8 | -0,3 | 2 )
⇒
xM
8
= − 0,3
2
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
LINEARE (UN-) ABHÄNGIGKEIT
Was ist und wann sind Vektoren „linear abhängig“ („linear unabhängig“)?
Zwei Vektoren a und b sind linear abhängig (kurz: l.a.), wenn einer ein Vielfaches
des anderen ist, d.h. wenn es eine Zahl t∈R gibt, sodass gilt
a = t ⋅b
a) Drei Vektoren a, b, c sind l.a., wenn einer der drei als Linearkombination der
beiden anderen darstellbar ist, d.h. wenn es Zahlen s und t∈R gibt, sodass gilt
a = s ⋅ b + t ⋅ c oder b = s ⋅ a + t ⋅ c oder c = s ⋅ a + t ⋅ b
(Merke: Nicht jeder der drei, sondern nur einer muss durch die anderen darstellbar sein!!!)
Da dies in der Praxis hieße, dass man drei LGS (wenn auch einfache) zu
lösen hätte, überlegte man sich etwas anderes:
b) Drei Vektoren a, b, c sind l.a., wenn sich der Nullvektor aus den dreien auf
nichttriviale Weise erzeugen lässt, d.h. wenn das homogene LGS
a⋅x1+ b ⋅x2+ c ⋅x3 =o
unendlich viele Lösungen besitzt.
(Natürlich gilt: sie sind linear unabhängig (kurz l.u.), wenn nur die Triviallösung existiert!)
Dies ist aber genau dann der Fall, wenn (und das ist nun endgültig das einfachste!)
c) der Rang der aus den drei Vektoren gebildeten Matrix < 3 ist!!!
Vier (und mehr) Vektoren sind (im R3!!) immer linear abhängig!
(Das sieht im R4 oder R7 natürlich ganz anders aus!)
Folgerungen:
Beispiel a):
1. Der Nullvektor ist immer linear abhängig!!!
(da er sich auf nichttriviale Weise mit sich selbst darstellen lässt, z.B.: o=2⋅ o )
2. Ein einzelner Vektor a (≠o)ist immer linear unabhängig.
(da der Nullvektor sich nur trivial aus a erzeugen lässt, denn nur 0⋅a= o )
1
4
6
Prüfe, ob die Vektoren a = 2 ,b = 5 und c = 9 linear unabhängig sind.
3
6
12
Lösung:
1 4
6 ⋅ ( −2) ⋅ ( −3)
Rg A = 2<3
1 4 6
1 4 6
A= 2 5 9
⇒ 0 − 3 − 3 ⋅ 2 ⇒ 0 − 3 − 3 ⇒ also sind a , b , c
⋅ 1
⋅1
3 6 12
0 − 6 − 6 ⋅ ( −1)
0 0 0 linear abhängig
Beispiel b):
Für welche Werte von t sind die Vektoren
1
2
1
a = 2t ,b = 2t , c = 1
0
1
0,5t
nicht linear unabhängig?
Lösung:
1
2
1 ⋅ (−2t ) t ≠ 0 1 2
1
1
l.a. wenn
1 2
2
A = 2t 2t 1
⇒ 0 − 2t − 2t + 1 ⋅ 1 ⇒ 0 − 2t
− 2t + 1 ⇒ t − 2t + 1 = 0
⋅ 1
2
0
1
0
,
5
t
0
1
0
,
5
t
⋅
2
t
0
0
t
− 2t + 1
t =1
Sonderfall: t=0 in die erste Matrix eingesetzt ergibt => Rg A = 3 => die drei Vektoren sind l.u.
ERGEBNIS: a, b, c sind nicht linear unabhängig (also linear abhängig!) nur für t=1.
(Puh, das war jetzt rein sprachformuliertechnischerweise gesehen nicht gerade unschwer!)
21
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
22
GERADEN UND EBENEN IM R3
Parameterform von Geraden.
Geraden werden dargestellt durch einen Ortsvektor a (=Aufpunkt) und einen
Richtungsvektor r:
x = a + t ⋅r
(t∈R)
Für jeden Wert von t ergibt x den Ortsvektor eines Punktes, der auf der Geraden
liegt.
BEACHTE:
Jeder Punkt der Geraden kann als Aufpunkt benutzt werden!
Jedes Vielfache des Richtungsvektors kann ebenfalls als
Richtungsvektor benutzt werden!
===> Es gibt unendlich viele Parametergleichungen einer Geraden
Beispiel a):
Bestimme eine Gleichung für die Gerade g, die durch die Punkte P(1|2|3) und
Q(2|-1|5) geht.
Lösung:
AlsAufpunktnimmtmaneinender beidenPunkte(welcherist egal!), sagen wirP. 2 1 1
AlsRichtungsvektornimmt manden Vektor vonP nachQ, nennen wirihn a : a = − 1 − 2 = − 3
5 3 2
1
1
Damitist eineGleichungder Geradeng : x = 2 + t ⋅ − 3 (t ∈ R)
3
−
Parameterform von Ebenen.
Ebenen werden dargestellt durch einen Ortsvektor a (=Aufpunkt) und zwei
Richtungsvektoren, b und c
x = a + r ⋅b + s ⋅c
(r,s∈R)
Für alle Wertepaare von r und s ergibt x den Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene
liegt.
BEACHTE:
Jeder Punkt der Ebene kann als Aufpunkt benutzt werden!
Jede Linearkombination der Richtungsvektoren kann ebenfalls
als Richtungsvektor benutzt werden!
===> Es gibt unendlich viele Parametergleichungen einer Ebene
Beispiel a): Bestimme eine (Parameter-) Gleichung der Ebene E durch die Punkte P(1|2|3),
Q(2|-1|5) und R(-2|0|4).
Lösung:
Als Aufpunkt nimmt man wieder einen der drei Punkte (welcher ist egal, sagen wir P.
1
Als Richtungsvektoren nehme ich die Vektoren von P nach Q (a) und von P nach R (b).
a = − 3 (von vorhin)
Von Q nach R ginge natürlich auch, wichtig ist nur, dass insgesamt alle drei Punkte
benutzt werden!
2
b=
− 2 1 − 3
1
1
− 3
0 − 2 = − 2 Damit ist eine Gleichung der Ebene: x = 2 + r ⋅ − 3 + s ⋅ − 2 (r,s ∈R)
3
2
1
4 3 1
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
23
Koordinatenform von Ebenen.
Zur Erinnerung: Die Gleichung
a x1+b x2+c x3=d
beschreibt eine Ebene, falls die Koeffizienten a, b, c nicht alle 0 sind.
Die Frage ist, wie kommt man von der Parameterdarstellung (mit Vektoren) auf die
Koordinatendarstellung (mit Punktkoordinaten) und umgekehrt?
PARAMETERDARSTELLUNG
KOORDINATENDARSTELLUNG
1. Bringe (subtrahiere) den Ortsvektor (Aufpunkt) nach links.
2. Fasse das Ganze als (überbestimmtes!) LGS mit den 2 Variablen (r und s) auf, und
mach aus der dritten Koeffizienten-Zeile eine Nullzeile.
3. Die dritte Zeile der Erweiterung muss =0 sein, damit steht dort im Prinzip die Koordinatengleichung.
4. Schreibe die korrekte Koordinatengleichung der Ebene hin (Konstante rechts von =).
KOORDINATENDARSTELLUNG
PARAMETERDARSTELLUNG
1. Löse die Koordinatengleichung nach x1, x2 oder x3 auf (was am leichtesten geht!).
2. Setze für die anderen beiden r und s.
3. Schreibe den Vektor x hin (das „Gerüst“ einer Ebenengleichung).
4. „Trenne“ die Vektoren in Aufpunkt und 2 Richtungsvektoren, so dass sich die
Parametergleichung ergibt.
Beispiel 1:
1
1
1
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene x = 2 + r ⋅ 0 + s ⋅ 2
0
1
3
x1 1
1
1
1
1
1
Lösung:
x = 2 + r ⋅ 0 + s ⋅ 2 ⇒ x2 = 2 + r ⋅ 0 + s ⋅ 2
0
1
3
1
3
x 0
3
1 1
x1 − 1
x1 − 1
1
1 1 1 x1 − 1 ⋅ 1
x
r
s
x
x
−
2
=
⋅
0
+
⋅
2
⇒
0
2
−
2
>
0
2
−
2
⋅ 1
2
2
2
x
1
3
1
3
⋅
(
−
1
)
0
−
2
x
x
x
−
−
1
3
3
1 3 ⋅ 1
1 1
x1 − 1
x1 + x 2 − x 3 − 3 = 0 ist eine Ebenengleichung !
0
2
x
−
2
⇒
2
oder besser
E: x1 + x 2 − x 3 = 3
0 0 x + x − x − 3
1
2
3
Beispiel 2:
34
2
4
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene x = 5 + r ⋅ 5 + s ⋅ 7 .
15
7
9
x 34
2
4
1
Lösung: x 2 = 5 + r ⋅ 5 + s ⋅ 7
x 15
7
9
3
x1 − 34
x1 − 34
2
4 2 4 x1 − 34 ⋅ ( −5)⋅ ( −7) 2 4
x
−
5
=
r
⋅
5
+
s
⋅
7
⇒
5
7
x
−
5
⋅
2
⇒
0
−
6
−
5
x
+
2
x
+
160
⋅ ( −5)
2
2
2
1
x − 15
7
9
7
9
⋅
2
0
−
10
x
−
15
− 7 x1 + 2 x3 + 208 ⋅ 3
3
3
2 4
x1 − 34
4 x1 − 10 x 2 + 6 x3 − 176 = 0 ist eine Ebenengleichung !
0 − 6 − 5 x + 2 x 2 + 160 ⇒
oder besser
E :4 x1 − 10 x 2 + 6 x3 = 176
0 0 4 x − 101 x + 6 x − 176
1
2
3
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
Beispiel 3:
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene
Lösung 1:
(*) x3 = 6 - 2x1 + 3x2
x1 = r und x2 = s in (*) eingesetzt ergibt
x3 = 6 - 2r + 3s
0
1
0
x1
r
als Vektor geschrieben: x2 =
s
⇒ x = 0 + r ⋅ 0 + s ⋅ 1
6
- 2
3
x 6 - 2r + 3s
3
Lösung 2:
(**) 2x1 = 3x2 - x3 +6
24
2x1 - 3x2 + x3 = 6
3
1
x2 − x3 + 3
2
2
3
1
x1 = r − s + 3
x2 = r und x3 = s in (**) eingesetzt ergibt
2
2
als Vektor geschrieben:
=>
x1 =
3
− 1
3
3
− 1
3
x1 3 + 23 r − 12 s
!!!
2
2
r
⇒ x = 0 + r ⋅ 1 + s ⋅ 0
⇒
x = 0 + r ⋅ 2 + s ⋅ 0
x2 =
0
x
0
1 " erweitern"
0
0
2
s
3
(Es ist leicht zu zeigen, dass beide Lösungswege dieselbe Ebene ergeben! Schnitt der beiden
Ebenen ergibt ihre Gleichheit! Es ist also egal, nach welcher Variablen man auflöst.)
Beispiel 4:
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene
Lösung:
x3 =
5
11
=>
mit x1 = r und x2 = s
5x3 = 11
ergibt sich
1
0
x1 r
0
x
=
s
⇒
x
=
0
+
r
⋅
0
+
s
⋅
1
2
0
0
11
x 11
3 5
5
Beispiel 5:
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene
Lösung:
Jetzt müssen
Beispiel 6:
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene
Lösung:
x1 = x2 !!! Mit x2 = r und x3 = s
ergibt sich
=>
0
1
0
1
0
x1 r
x2 = r ⇒ x = 0 + r ⋅ 1 + s ⋅ 0 oder besser x = r ⋅ 1 + s ⋅ 0
x s
0
0
1
0
1
3
x1 = 0
x2 = r und x3 = s sein, da x1 fest ist!!! =>
0
0
0
0
0
x1 0
=
⇒
=
=
⋅
x
r
x
0
+
r
⋅
1
+
s
⋅
0
oder
besser
x
r
1
+
s
⋅
0
2
0
1
x s
3
0
0
1
x1 - x2 = 0
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
25
SCHNITT VON GERADEN UND EBENEN (IM R3)
Bestimme die Lage der Geraden g1 und g2 zueinander?
1) (a) Zunächst prüft man, ob der Richtungsvektor von g2 ein Vielfaches des
Richtungsvektors von g1 ist (ob sie l.a. sind). Ist dies der Fall, dann sind die Geraden parallel
oder identisch!
(b) Liegt dann (z.B.) der Aufpunkt von g1 auch auf g2 =>
g1 = g2
sonst =>
g1 ║ g2
2) Sind die Richtungsvektoren l.u., dann setzt man g1 und g2 gleich und löst das entstehende
Gleichungssystem. An der Anzahl der Lösungen ist dann abzulesen, ob die Geraden sich (in
einem Punkt) schneiden oder windschief liegen.
2
1
Beispiel a): Prüfe die Lage von g1: x = 1 + r ⋅ 0
0
0
1
1
und g2: x = 2 + r ⋅ 1 zueinander.
3
1
Lösung:
1
1
a) Die Richtungsvektoren 0 und 1 sind l.u., da keiner ein Vielfaches des anderen ist.
0
1
Damit sind die Geraden weder identisch noch parallel. ⇒ gleichsetzen
2
1 1
1
b) 1 + r ⋅ 0 = 2 + s ⋅ 1
0
0 3
1
Beachte, daß die beiden Geraden - Parameter verschieden sein müssen !!!
1 −1 1
1
1 2 − 1
1
− 1 1
⇒ r ⋅ 0 − s ⋅ 1 = 1 − 2 ⇒ r ⋅ 0 + s ⋅ − 1 = − 1 ⇒ 0 − 1 − 1 ⋅1 ⇒
0 − 1 − 3 ⋅ (-1)
0
1 0 − 3
0
− 1 − 3
1 − 1 1
0 − 1 − 1
0 0 2
⇒ unlösbar ⇒ g1 und g 2 schneiden sich nicht ⇒ Sie liegen windschief zueinander.
4
− 1
2
1
Beispiel b): Gegeben sind ga: x = − 5 + r ⋅ a und ha: x = − 4 + s ⋅ 1 mit a∈R.
2
2a
4
2
Bestimme a so, dass sich die Geraden schneiden. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt S?
Lösung:
− 1 2 1 1 2 ⋅ ( − a )⋅ ( −2) a ≠ 0
1
1 4
− 1
2
− 5 + r ⋅ a = − 4 + s ⋅ 1 ⇒ r ⋅ a − s ⋅ 1 = 1 ⇒ a − 1 1 ⋅ 1
⋅1
2a − 2 2 − 2a − 2
2a
2
2 2
4
1
2 ⋅ ( − a )
1
2
1
1
(*) eindeutig lösbar wenn - 4 a + 8 = 0
0 − a − 1 − 2a + 1 ⋅ 2 ⇒ 0 − a − 1 − 2a + 1
⇒a = 2
0 2( − a − 1) − 6 ⋅ ( −1) 0
0 − 4a + 8
1 1 2 ⋅ ( −2) 1 1 2
1 1 2
Sonderfall : a = 0 0 − 1 1
⇒ 0 − 1 1 ⋅ ( −2) ⇒ 0 − 1 1 unlösbar
2 0 − 2 ⋅1
0 − 2 − 6 ⋅1
0 0 − 8
1 1 2
4
−1 3
schneiden sich (*)
− 3s = −3
⇒
⇒ 0 − 3 − 3
S : x S = − 4 + 1 ⋅ 1 = − 3 ⇒ S (3 | −3 | 6)
für a = 2
2
2 ⋅ 2 6
0 0 0 s = 1
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
26
Welche Lage hat die Gerade g bezüglich der Ebene E?
Dies ist der einfachste (???) Fall von Schnittproblemen, da keine Sonderfälle und
Ausnahmen zu prüfen oder zu berücksichtigen sind!
Man setzt g und E gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. An der
Anzahl der Lösungen ist dann abzulesen, wie g zu E liegt. 3 Fälle sind möglich:
unlösbar
=>
g║E
(kein Schnittpunkt)
mehrdeutig lösbar =>
g ∈E
(≅ g liegt in E)
eindeutig lösbar
=>
g schneidet E in einem Punkt (dem Durchstoßpunkt)
Beispiel a):
1
1
Zeige, dass die Gerade g: x = 2 + r ⋅ 0 nicht in der Ebene
4
2
2
1
0
1
− 1
1
E: x = 0 + s ⋅ 2 + t ⋅ − 1 liegt. Gib den Durchstoßpunkt von g durch E an.
Lösung:
1 − 1
0
1
1
0 1
2
1
0 + s ⋅ 2 + t ⋅ − 1 = 2 + r ⋅ 0 ⇒ s ⋅ 2 + t ⋅ − 1 − r ⋅ 0 = 2
2 3
1
− 1
2
1 4
− 1
1
(Man beachte, daß der Geradenvektor an letzter Stelle steht ! Dieser Trick " beschleunigt" am Ende ! )
s
t
r
1 0 − 1 − 1 ⋅ ( −2 ) ⋅ 1
2 − 1 0 2 ⋅1 ⇒
−1 1 − 2 3
⋅1
s
t
r
1 0 − 1 − 1
1 0 − 1 − 1
Das LGS ist
0
−
1
2
4
⋅
1
⇒
0 − 1 2 4 eindeutig lösbar !
0 1 − 3 2 ⋅ 1 0 0 − 1 6
Damit schneidet die Gerade g die Ebene in einem Punkt. Berechnung des Durchstoßpunktes P :
Jetzt wirkt sich der Trick vom Anfang aus,
denn r kommt als erster Parameter raus und − r = 6 ⇒ r = −6
das reicht schon, um in g einzusetzen !!!
1
1 − 5
in g eingesetzt
⇒
xS = 2 − 6 ⋅ 0 = 2
4
2 − 8
(s und t könnte man jetzt zur Probe auch noch ausrechnen und in die Gleichung von E einsetzen.
Es muß dann der gleiche Ortsvektor rauskommen). Damit ist der Durchstoßpunkt P(-5 | 2 | -8).
− 2
4
Beispiel b): Gib die Durchstoßpunkte von g: x = 4 + t ⋅ 2 durch die 3 Koordinatenebenen an.
7
− 3
Lösung:
Die Gleichungen der K.ebenen : E x1x2
1
0
1
0
0
0
: x = a ⋅ 0 + b ⋅ 1 E x1x3 : x = a ⋅ 0 + b ⋅ 0 E x2 x3 : x = a ⋅ 1 + b ⋅ 0
0
0
0
1
0
1
Um diese Durchstoßpunkte zu berechnen könnte man g mit jeder der 3 Ebenen schneiden = mühsam. Schneller
geht es, wenn man berücksichtigt, daß jeweils eine der Schnittpunktkoordinaten = 0 sein muß, je nachdem, mit
welcher der Koordinatenebenen man schneidet : mit E x1x2 muß x3
= 0 sein, mit E x1x3 x2 = 0, mit E x2 x3 x1 = 0
Schnitt mit E x1x2 : (die x 3 - Koordinate muß 0 sein ⇒) 7 − 3t = 0 ⇒ t =
⇒ S12 ( 223 | 263 | 0)
7
3
Schnitt mit E x1x3 : (die x 2 - Koordinate muß 0 sein ⇒) 4 + 2t = 0 ⇒ t = −2 ⇒ S13 ( −10 | 0 | 13)
Schnitt mit E x2 x3 : (die x 1 - Koordinate muß 0 sein ⇒)
2 + 4t = 0 ⇒ r =
1
2
⇒ S 23 (0 | 5 | 112 )
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
27
Wie liegen 2 Ebenen E1 und E2 zueinander?
Man setzt wieder E1 und E2 gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.
Notgedrungen entsteht dadurch ein unterbestimmtes Gleichungssystem, d.h.
immer (?) unendlich viele Lösungen!?!
Es gibt 3 Möglichkeiten:
1. Die Ebenen sind parallel
2. Die Ebenen sind identisch
3. Die Ebenen schneiden sich (in einer Geraden!)
Ist das entstehende Gleichungssystem unlösbar, dann sind die Ebenen parallel.
Ist das Gleichungssystem lösbar, dann erkennt man am Rang der entstehenden
Dreiecksmatrix, wie die Ebenen liegen:
Rang = 3
=>
E1xE2 = g
(Schnittgerade)
Rang = 2
=>
E1=E2
(identisch)
4
1
4
2
1
1
Beispiel a): Gegeben sind E1: x = − 1 + p ⋅ 0 + q ⋅ 7 und E2: x = − 3 + r ⋅ 1 + s ⋅ 2 mit a∈R.
5
4
9
− 1
3
a
Für welchen Wert von a stellen beide Gleichungen dieselbe Ebene dar?
Lösung:
4
1
4 2
1
1
1
4
1
1 − 2
− 1 + p ⋅ 0 + q ⋅ 7 = − 3 + r ⋅ 1 + s ⋅ 2 ⇒ p ⋅ 0 + q ⋅ 7 − r ⋅ 1 − s ⋅ 2 = − 2 ⇒
5
4
9 − 1
3
a
4
9
3
a − 6
1 4 −1 −1 − 2 ⋅ 4
1 4 −1 −1 − 2
1 4 −1 −1 − 2
⇒ 0 7 − 1 − 2 − 2 ⋅1 ⇒ 0 7 − 1 − 2 − 2
0 7 −1 − 2 − 2
4 9 − 3 − a − 6 ⋅ (−1) 0 7 − 1 a − 4 − 2 ⋅ (−1)
0 0 0 2 − a 0
Nur für a = 2 ergibt sich noch eine Nullzeile ⇒ nur für a = 2 sind 2 der 4 Parameter (p, q, r, s) beliebig ⇒
nur für a = 2 ist der Rang der Koeffizientenmatrix = 2 ⇒ nur für a = 2 ist die Schnittmenge eine Ebene ⇒
für a = 2 sind die Ebenen gleich.
− 1
1
2
Beispiel b): Für jedes t∈R ist durch Et: x = 0 + p ⋅ 2 + q ⋅ 1 eine Ebene gegeben.
− 2
2 − 2t
4 − t
Zeige, dass alle Ebenen eine Gerade g gemeinsam haben und gib eine Gleichung von g an.
Lösung:
1
2 −1
1
2
1
2
1
2 0
−1
0 + p ⋅ 2 + q ⋅ 1 = 0 + r ⋅ 2 + s ⋅ 1 ⇒ p ⋅ 2 + q ⋅ 1 − r ⋅ 2 − s ⋅ 1 =0
−2
2 − 2t1
4 − t1 −2
2 − 2t 2
4 − t 2
2 − 2t1
4 − t 1
2 − 2t 2
4 − t 2 0
1
2
2 − 2t
1
1
0
0
2
1
1
4 − t1
2
2 − 2t2
2
−3
1
0
0
2 ⋅ ( t 2 − t1 )
2 0 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( 2 − 2 t1 ) 1
1 0 ⋅1
⇒ 0
0
4 − t 2 0
⋅ ( − 1)
2
1
2
−3
− 3 t1
0
−3
t 2 − 4 t1
2 ⋅ ( t 2 − t1 )
0
0 ⋅ ( − t1 ) ⇒
0 ⋅ 1
2 0 da t 1 ≠ t 2 nach Voraussetz ung ist der
2 ⋅ ( t 2 − t1 ) ⋅ r + ( t 2 − t1 ) ⋅ s = 0
− 3 0 Rang dieser Mat rix immer 3, daher
⇒ s = − 2 r ( in E t einsetzen)
t 2 − t1 0 gibt es immer eine Schnittger ade !
1
1
1
2 1
2 1
− 3
⇒ Schnittger ade g : x = 0 + r ⋅ 2 − 2 r ⋅ 1 = 0 + r ⋅ ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 = 0 + r ⋅ 0
− 2
2 − 2t
4 − t − 2
4 − t − 2
− 6
2 − 2t
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
28
VORTEILE DER KOORDINATENFORM (KF)
1) Schnitt von 2 Ebenen wird leichter (→ nur ein unterbestimmtes LGS zu
lösen)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen
E1: 4x1 + 6x2-11x3 = 23 und E2: x1-x2-x3 = 0
Lösung:
4 6 − 11 23
1 −1 −1 0
→
1 0 − 0,7 2,3
0 1 − 1,7 2,3
2,3
1,7
0
1
2,3 + 1,7 a
→ x = 2,3 + 0,7 a
a
→
Schnittgerade x = 2,3 + a ⋅ 0,7
2) Schnitt von Ebene (in KF ) und Gerade (in PF) wird auf eine einfache Gleichung reduziert (→ Geraden“scheiben“ in die Ebenengleichung einsetzen)
4
5
7
− 1
Beispiel: Untersuche die Lage von g: x = 4 + r ⋅ 1 und zur Ebene E: 4x1 + 3x2-5x3 = 11
Lösung:
x2 = 4+r
x3 = 7-r
in die Ebene einsetzen →
9
4(4+5r) + 3(4+r)-5(7-r) = 11 →
r=
14
Mit diesem r kann der Schnittpunkt (= Durchstoßpunkt) durch die Ebene berechnet werden:
Von der Geraden: x1 = 4+5r
4
5
101
9 1
x = 4 + ⋅ 1 = 65
7 14 − 1 14 89
→
S(
101 65 89
| | )
14 14 14
3) Spurpunkte, bzw. Spurgeraden sind sehr leicht bestimmbar
Beispiel: Wo durchstoßen die drei Koordinatenachsen die Ebene E: 7x1-11x2+5x3 = 14 ?
Lösung:
x1 -Achse:
x2 = x3 = 0 →
7x1 = 14
x2 -Achse:
x1 = x3 = 0 → -11x2 = 14
x2 -Achse:
x1 = x2 = 0 →
5x3 = 14
→
x1 = 2
→
14
x2 = −
11
14
x1 =
5
→
→
→
→
S1(2|0|0)
14
S2(0| − |0)
11
14
S1(0|0| )
5
(Die Spurgeraden ergeben sich aus den Geraden durch je zwei Spurpunkte!)
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
29
LAPLACE- WAHRSCHEINLICHKEITEN
Von „Laplace-Wahrscheinlichkeit“ spricht man bei Zufallsexperimenten, bei
denen alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Gleichverteilung).
Z.B. Münzwurf mit idealer Münze, Würfeln mit idealem Würfel, usw.)
P( A) =
Es gilt für ein Ereignis A:
Anzahl aller für A " günstigen" Ergebnisse
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Beispiel:
Eine Lostrommel enthält 100 Lose, jedes 10. davon ist ein Gewinn.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das 1. gezogene Los ein Gewinn ?
b) Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn man bereits 10 Lose gezogen hat und alle 10
Nieten waren ?
c) Wieviele Nieten müsste man mindestens herausnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit für
einen Gewinn beim ersten Los größer als 20% ist?
Lösung:
a) P(1. Los ist ein Gewinn)=
10
100
b) P(10 Nieten gezogen, 11. ist ein Gewinn)=
c) P(Gewinn)=
Anzahl Gewinne
Anzahl Lose
10
100 − n
> 0,2
0,2n > 10
=
10
100 − n
10 1
=
90 9
und das soll > 20% also >0,2 sein
->
10>0,2.(100-n)
->
n>50
->
10> 20-0,2n
->
Man müsste also mindestens 51 Nieten herausnehmen!
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
30
MEHRSTUFIGE ZE / PFADREGEL
Führt man bei einem Zufallsexperiment eine Tätigkeit mehrfach hintereinander aus, so spricht
man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Z.B. mehrfaches Ziehen einer Kugel aus
einer Urne, mehrfaches würfeln, ... Solche Experimente stellt man am besten in einem Baum
dar.
WICHTIG: Es ist dabei zu unterscheiden, ob mit oder ohne „zurücklegen“ agiert wird!
Dabei gilt die Pfadregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades.
Beispiel: Aus einer Urne mit 3 weißen und 4 schwarzen Kugeln werden drei Kugeln gezogen.
a) mit Zurücklegen
w = weiße Kugel, s = schwarze Kugel
w
3
7
3
7
4
7
4
7
s
3
7
4
7
3
7
4
7
w
s
w
s
3
7
4
7
4
7
3
7
3
7
4
7
w
s
w
s
w
s
w
s
Beispiele für die Pfadregel:
3 3 3 27
P(www)= ⋅ ⋅ =
7 7 7 343
P(wsw)=
b) ohne Zurücklegen
3 4 3 36
⋅ ⋅ =
7 7 7 343
2
6
w
4
6
3
7
4
7
s
s
3
6
3
6
4
5
3
5
2
5
2
5
w
s
1
5
3
5
3
5
2
5
w
s
w
s
w
s
w
s
3 2 1 1
⋅ ⋅ =
7 6 5 35
P(www)=
P(wsw)=
w
3 4 2 4
⋅ ⋅ =
7 6 5 35
Um z.B. die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man genau 2 weiße Kugeln zieht, muss
man mehrere Pfade des Baumes addieren.
P(genau 2 Kugeln sind w) = P(sww) + P(wsw) + P(wws) =
=
4 3 3 3 4 3 3 3 4 108
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
7 7 7 7 7 7 7 7 7 343
4 3 2 3 4 2 3 2 4 12
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
7 6 5 7 6 5 7 6 5 35
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
31
BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT / VIERFELDERTAFEL
1) „Bedingte Wahrscheinlichkeit“ heißt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
wissen will, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B schon eingetreten ist.
Nicht zu verwechseln damit, dass die zwei Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten müssen!
P(A ∩ B)
PA(B) =
P(A)
ist die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist
Beispiel 1: In einer Urne befinden sich 6 rote Kugeln, die die Zahlen 1 bis 6 tragen und 6 weiße Kugeln, die
die Zahlen 1 bis 6 tragen. Es wird ein Mal eine Kugel gezogen.
2 1
6 1
=
P(die Kugel ist rot)=
=
12 6
12 2
1
(beides gleichzeitig eingetroffen!!!)
P(es ist eine rote 6)=
12
P(es ist eine 6)=
Das sind alles noch keine bedingten Wahrscheinlichkeiten!!! Aber jetzt:
Man weiß, dass die gezogene Kugel die 6 trägt => Mit welcher W. ist sie rot?
1
Pman zog eine 6(man zog eine rote Kugel)=
P ( man zog eine 6, die zudem noch rot war )
P ( man zog eine 6)
1
= 12 =
2
2
12
(Wenn man schon weiß, dass die Kugel eine 6 ist, dann gibt es nur noch 2 Möglichkeiten, nämlich rot oder weiß)
oder andersherum:
Man weiß, dass die gezogene Kugel rot ist => Mit welcher W. trägt sie die 6?
1
Pman zog eine rote Kugel(man zog eine 6)=
P ( man zog eine 6, die zudem noch rot war )
P ( man zog eine rote Kugel )
1
= 12 =
1
6
2
(Wenn man hingegen weiß, dass die Kugel rot ist, dann gibt es immerhin noch 6 Möglichkeiten, nämlich 1, 2, 3 ,4 ,5, 6)
Beispiel 2: Bei der letzten Wahl entfielen 30% der Stimmen auf die Partei „Fortschritt“, 60% der Stimmen auf
die Partei „Gerechtigkeit“ und 10% auf die Partei „Zukunft“. Unter den Wählern waren Jungwählerinnen und wähler und Altwählerinnen und -wähler. Jungwählerinnen und -wähler waren bei der Partei „Fortschritt“ 2% ihrer
Wähler, bei der Partei „Gerechtigkeit“ 1% ihrer Wähler und bei der Partei „Zukunft“ 15% ihrer Wähler. Man hat
eine Jungwählerin vor sich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Partei „Zukunft“ gewählt hat?
Lösung:
F: Partei „Fortschritt“
J: Jungwählerinnen und -wähler
G: Partei „Gerechtigkeit“ A: Altwählerinnen und -wähler
Z: Partei „Zukunft“
2
100
F
30
100
60
100
G
98
100
1
100
99
100
10
100
Z
15
100
85
100
PJ(Z) =
J
10 15
⋅
100
100
=
30 2
60 1
10 15
⋅
+
⋅
+
⋅
100 100 100 100 100 100
A
J
A
=
J
A
P( Z ∩ J )
P( J )
gesucht: PJ(Z)
5
≈ 0,56 = 56%
9
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
32
2) Viele Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit lassen sich sehr leicht mit einer
VIERFELDERTAFEL lösen. Voraussetzung ist, dass man eine solche Tafel mitgeliefert
bekommt oder genügend Informationen hat, eine solche zu erstellen!
Dann jedoch muss man das Ergebnis nur aus der Tabelle ablesen.
Wichtig: Es geht immer um zwei Merkmale in zwei Ausprägungen!
Beispiel 1: Zweihundert Personen wurden auf Tierallergie untersucht. Das Ergebnis zeigt nebenstehende Tabelle. Es bedeutet H:
Hundeallergie, K Katzenallergie.
Dieter aus der Gruppe geht mit seinem Hund spazieren, als er Heidi
(die auch in der Gruppe war) trifft, die auf einer Parkbank mit einer
Katze schmust. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich zu
ihr setzen kann? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heidi
fluchtartig wegrennt?
H
H
K
56
45
101
K
50
49
99
106
94
200
(Wir gehen natürlich davon aus, dass dazusetzen bzw. wegrennen ausschließlich allergiebedingt vorkommt! ;-))
Lösung:
Dieter kann sich setzen mit:
P
Heidi muss flüchten mit:
P
H
( K )=
K
(H)=
49
≈ 52 %
94
50
≈ 50 %
99
Beispiel 2:
In 25% einer Produktionsmenge von Ü-Eiern befindet sich ein einteiliges Spielzeug, in einem Fünftel davon ist
dies eine Figur aus dem neusten Disneyfilm. 60% der Eier enthalten ein mehrteiliges Spielzeug, das nichts mit
dem Film zu tun hat.
a) Durch Schütteln kann man bei einem Ei feststellen, dass es mehrere Teile enthält. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ei etwas aus dem Disneyfilm enthält?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, irgendetwas aus einem Kinofilm zu bekommen, wenn man 10 Eier kauft?
Lösung:
E= einteilig
M=mehrteilig
a) Pmehrere Teile(Film)=
D= aus einem Disney-Film
N=nicht aus einem Disney-Film
15 1
=
75 5
(in %)
D
N
E
5
20
25
M
15
60
75
20
80
100
10
80
≈0,893
100
b) P(mind. 1 Film)= 1-P(kein Film)=1-
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
33
UNABHÄNGIGKEIT VON EREIGNISSEN
Aus der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich direkt der sogenannte
allgemeine Multiplikationssatz:
P(A∩B) = P(A).PA(B)
(also nichts
großartig Neues).
Dieses benutzt man nun, um zu prüfen, ob zwei Ereignisse voneinander unabhängig sind!
Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander unabhängig, wenn gilt
P(A∩B) = P(A).P(B)
andernfalls heißen A und B voneinander abhängig.
(Dies nennt man wegen der „Herkunft“ von oben auch den speziellen Multiplikationssatz.)
Beispiele:
1) Ein idealer Würfel wird zweimal geworfen.
a) Es sei A: “Die Augensumme ist 10“ und B: “Zweimal dieselbe Augenzahl“.
3
1
6
1
1
Dann ist
P(A) =
=
; P(B) =
=
; P(A∩B) =
36 12
36 6
36
3 1
1
Da aber P(A).P(B)=
⋅ =
verschieden von P(A∩B) ist, sind die Ereignisse A und B voneinander
36 6 72
abhängig.
b) Es sei C: „Eine 6 im zweiten Wurf“ und D: „Die Augensumme ist 7“
6
1
6
1
1
Dann ist
P(C) =
=
; P(D) =
=
; P(C∩D) =
36 6
36 6
36
Hier gilt also P(C).P(D) = P(C∩D) , d.h. die Ereignisse C und D sind unabhängig voneinander.
2) Der Engländer GALTON (übrigens ein
Vetter von Charles Darwin, der sich unter
anderem auch mit Wahrscheinlichkeitsrechnung befasste) untersuchte den Zusammenhang der Augenfarbe an 1000 Vater-SohnPaaren. Seine Ergebnisse gibt die Tabelle
wieder. Sind A und B unabhängig voneinander?
P(A) =
622
1000
; P(B) =
619
; P(A).P(B) =
1000
also sind A und B voneinander abhängig.
A: Vater helläugig
B: Sohn helläugig
B
B
A
471
151
622
A
148
230
378
619
381
1000
385,018
1000
≠
471
1000
= P(A∩B)
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
34
ZUFALLSVARIABLEN
Viele Zufallsexperimente liefern als Ergebnis Zahlen, weshalb man auf die Idee kam,
Zufallsvariablen einzuführen.
Eine Zufallsvariable X nimmt bei jedem Ergebnis einen Zahlenwert xi an, ordnet also jedem
Ergebnis eine Zahl zu.
Anstatt P(Ereignis) sagt man dann
P(X=...)
Beispiele:
1) Es wird ein Mal mit einem idealen Würfel gewürfelt.
a) Die Zufallsvariable X gebe die gewürfelte Zahl an.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 gewürfelt wird sagt man jetzt anstatt P(5) :
P(X=5)
b) Die Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der Würfe an, bis eine 6 gewürfelt wird.
P(X=1) hieße also P(im ersten Wurf kommt eine 6)
c) Die Zufallsvariable Z gebe die Summe der gewürfelten Zahlen an, bis eine 6 gewürfelt wird.
Das Ereignis X=3 hieße hier:
beim zweiten Wurf kam eine 6 nachdem im ersten Wurf eine 3 kam
oder beim dritten Wurf kam die 6, nachdem zuerst eine 1 und dann eine 2 kam
oder beim dritten Wurf kam die 6, nachdem zuerst eine 2 und dann eine 1 kam
2) Eine Urne enthalte 2 rote und 2 weiße Kugeln, die nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden. Die
Zufallsvariable X gebe die Zahl der Züge an, bis beide roten Kugeln gezogen sind.
Die Verteilung der Zufallsvariablen X kann man gut in einer Tabelle darstellen:
Ergebnisse ei
Wert von X
P(ei)
wwrr
4
wrwr
4
wrrw
3
rrww
2
rwrw
3
rwwr
2
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Das ergibt die Verteilung der Zufallsvariable X mit
xi
2
3
4
P(X=xi)
1
6
1
3
1
2
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X muss also erst geklärt werden:
- Was soll X sein? (Wie ist X definiert?
- Welche Werte kann X annehmen?
3) Ein Sportschütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 die Scheibe. Er hat höchstens 4 Versuche und hört nach
dem ersten Treffer auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er 0-, 1-, 2-, 3-, 4mal daneben?
X=Anzahl der Fehlschüsse
xi
P(X=xi)
0
0,8
1
0,2.0,8
=0,16
2
0,2². 0,8
=0,032
3
0,2³.0,8=
0,0064
4
0,24=
0,0016
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
35
ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ
A) Erwartungswert
Vor allem bei (Glücks-) Spielen interessiert, ob die Chancen, etwas zu gewinnen größer sind,
als die, etwas zu verlieren. Da dies nicht immer so einfach zu sagen ist, wie bei einem
einfachen Münzwurf, hat man den ERWARTUNGSWERT eingeführt, der einem sagt,
welchen Gewinn man erwarten kann (wenn man sehr, sehr oft unter exakt gleichen
Bedingungen spielt!!!).
Er gibt so etwas wie den durchschnittlich zu erwartenden Gewinn an!
Definition: Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte x1 ,x2 , ..., xn annehmen kann, so heißt
die reelle Zahl E(X) mit
E(X) = x1.P(X=x1) + x2.P(X=x2) + ... + xn.P(X=xn)
Erwartungswert der Zufallsvariablen X.
Der Erwartungswert wird oft auch mit dem griechischen Buchstaben µ (lies: Mü) bezeichnet.
Merke: Ein Glücksspiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler
gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für alle Spieler gleich
groß ist.
Beispiel: Ein Spieler zahlt einen Euro Einsatz und wirft drei ideale Würfel. Erscheint dabei die 6 ein-, zwei- oder
dreimal, so erhält er seinen Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1 bzw. 2 bzw. 3 Euro. Erscheint
keine 6, so ist der Einsatz verloren.
a) Zeige, dass das Spiel nicht fair ist.
b) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
Lösung: a) Wir berechnen den Erwartungswert mit Hilfe einer Tabelle. X sei der Gewinn.
Anzahl der Sechsen
xi
P(X=xi)
xi.P(X=xi)
Summe
(= Gewinn)
0
1
-1
(Einsatz ist weg)
+1
3
5
≈ 0,5787
6
2
5 1
3. ⋅ ≈ 0,3472
6 6
-0,5787
+0,3472
E(X)=-0,0789
2
2
+2
3.
5 1
⋅ ≈ 0,0694
6 6
+0,1388
3
3
+3
1
≈ 0,0046
6
+0,0138
Da E(X)<0 ist, ist lohnt sich das Spiel für den Spieler nicht, bzw. es ist (zu seinen Ungunsten) nicht fair.
b) Damit E(X)=0 ist, rechnen wir mit einem allgemeinen Einsatz z. Es muss gelten:
0 = -0,5787.z + 0,3472 + 0,1388 + 0,0138 und damit z ≈ 0,86€ und das Spiel wäre fair.
Mathematik
(Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes
36
B) Varianz
Die Varianz (bzw. die Standardabweichung) ist ein Parameter, um die Qualität der
Abweichung von einem zu erwartenden Mittelwert zu beurteilen.
Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte xi annimmt, so heißt die reelle Zahl V(X) mit
V(X) = (x1-E(X))².P(X=x1) + (x2-E(X))².P(X=x2) + ... + (xn-E(X))².P(X=xn)
die Varianz der Zufallsvariablen X, wobei
Bemerkung: S(X)=
V ( X ) heißt Standardabweichung von X und wird auch mit dem griechischen Buchstaben
σ (lies: Sigma) bezeichnet, die Varianz heißt entsprechend σ².
Beispiel: Zwei Maschinen A und B schneiden Stahlstifte auf vorgeschriebene Längen zu. Bei einer Einstellung
der Maschinen auf eine Solllänge von 10,0 mm ergaben Untersuchungen über auftretende Abweichungen
folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die anfallenden Längen:
Maschine A:
xi
P(xi)
9,8
0,1
9,9
0,1
10
0,6
10,1
0,1
10,2
0,1
xi
P(xi)
9,8
0,1
9,9
0,2
10
0,4
10,1
0,2
10,2
0,1
Maschine B
Welche der Maschinen arbeitet zuverlässiger, bzw. welche würdest du kaufen?
Lösung:
Berechnet man für beide Maschinen den Erwartungswert, so ergibt sich in beiden Fällen 10,0 mm. D.h. bei
beiden Maschinen ist auf lange Sicht die Länge der Stifte 10 mm. Man braucht ein weiteres
Entscheidungskriterium.
Die Varianzen beider Maschinen ergeben
VA(X) = (9,8-10)².0,1 + (9,9-10)².0,1 + (10-10)².0,6 + (10,1-10)².0,1 + (10,2-10)².0,1 = 0,010
und
VB(X) = (9,8-10)².0,1 + (9,9-10)².0,2 + (10-10)².0,4 + (10,1-10)².0,2 + (10,2-10)².0,1 = 0,012.
Man wird also Maschine A vorziehen, denn die einzelnen Solllängen weichen weniger vom Erwartungswert ab
als bei Maschine B. Maschine A arbeitet also „zuverlässiger“.
Als Standardabweichung ergibt sich: σX = 0,1 und σY = 0,1095445. Der Wert der Standardabweichung für
Maschine A ist kleiner als für B.
