2.4 - Einführung Prozentrechnung

Einführung Prozentrechnung
Der Begriff „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet wörtlich übersetzt “vom“ (= pro)
“Hundertstel” (= centum) und wird abgekürzt mit dem Zeichen %.
Beispiel: Trifft ein Basketballspieler von 100 Würfen 80-mal, so ist seine Trefferquote 80 von 100 oder 80 %.
Spieler-Vergleich (NBA Finals Most Valuable Player)
2012: LeBron James hat bei 96 Versuchen 72 Treffer,
Zum Vergleich bringt man alles auf den
2011: Dirk Nowitzki hat bei 80 Versuchen 68 Treffer,
gleichen Nenner. Zur Vereinheitlichung
2010: Kobe Bryant hat bei 50 Versuchen 41 Treffer.
bieten sich dabei Hundertstel an oder
Wer hat die beste Trefferquote?
Prozentwerte!
Anteile (Quoten) werden als Brüche geschrieben:
68
41
LeBron James: 72
96 = 72 : 96 = 0,75 = 75% , Dirk Nowitzki: 80 = 85% , Kobe Bryant: 50 = 82%
Zusammenfassung
In der Prozentrechnung nennt man in diesen Beispielen
- die Anzahl der Versuche (alle) den Grundwert G,
- die Anzahl der Treffer den Prozentwert P,
- den Zähler des Hundertstelbruches den Prozentsatz p.
Übrigens: Anteile lassen sich auf verschiedene Arten angeben!
75
als Bruch: z.B. 43 , als Hundertstelbruch: 100
, als Dezimalbruch: 0,75 oder in Prozent: 75%
Es gilt die Formel:
Grundwert i Prozentsatz (in %) = Prozentwert
in Zeichen: G ⋅ p % = P
Grundgleichung 1
Ist der Grundwert und der Prozentsatz gegeben, so lässt sich der Prozentwert
also mit der Grundgleichung G i p% = P berechnen.
-40%
Wie viel kostet das Trikot (s. Bild) jetzt?
79,95€ ⋅ (100% − 40% ) = 79,95€ ⋅ 0,6 = 47,97€
DFB Home Trikot
79,95€
Grundgleichung 2
Ist der Grundwert und der Prozentwert gegeben, so lässt sich der Prozentsatz mit der
umgeformten Grundgleichung berechnen:
P
= p%
G
Das iPhone4 kostete bei Markteinführung 629.- Euro Im Internet ist es nun für 499.- Euro zu
haben. Um wie viel Prozent ist der Preis gesunken?
499€
= 0,7933 ≈ 79% , also ist der Preis um ca. 21% gesunken.
629€
Grundgleichung 3:
Ist der Prozentwert und der Prozentsatz gegeben, so lässt sich der Grundwert auch mit der
umgeformten Grundgleichung berechnen:
G=
P
P
= ⋅ 100 (die Formel ergibt sich leicht aus dem Dreisatz (s. Bsp.))
p% p
Im Fundbüro sind im letzten Jahr 20645 Fundstücke an ihre Besitzer zurückgegeben
worden. Das waren 42% aller gefundenen Gegenstände. Wie viele Gegenstände wurden im
letzten Jahr insgesamt im Fundamt abgegeben?
42% ≙ 20645 ⇔ 1% ≙
20645
20645
⇔ 100% ≙
⋅ 100 = 49155 Fundstücke
42
42
Bemerkung:
Den Grundwert plus den Prozentwert bezeichnet man als vermehrten Grundwert V+
Den Grundwert minus den Prozentwert als verminderten Grundwert V_ . Dabei gilt:
p
p
V+ = G + P = G + 100
⋅ G = (1 + 100
) ⋅ G und V− = G − P = G − 100p ⋅ G = (1 − 100p ) ⋅ G
Ein Plasma-Fernseher kostet 2100.- Euro zuzüglich 19% Mehrwertsteuer.
Bei Barzahlung gewährt der Händler 3% Skonto. Was kostet der Fernseher?
19
2100€ ⋅ (1 + 100
) ⋅ (1 − 1003 ) = 2100€ ⋅ 1,19 ⋅ 0,97 = 2424,03€
Preis mit
Mehrwertsteuer
Skonto
Man sieht sofort: Es spielt keine Rolle, ob man erst die Mehrwertsteuer und dann
Skonto berechnet oder umgekehrt.