Aufgaben zur Theoretischen Mechanik (Sommersemester 2008)

Institut für Physik
Dr. G. Manzke
11. Juli 2008
Aufgaben zur Theoretischen Mechanik
(Sommersemester 2008)
1. Die Bewegung eines Massenpunktes lässt sich mit Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) beschreiben.
Der Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z) lautet: x = ρ · cos ϕ,
y = ρ · sin ϕ, z = z, ρ2 = x2 + y 2.
a) Finden Sie einen Ausdruck für die Komponenten der Geschwindigkeit ~r˙ = (ẋ, ẏ, ż) in
Zylinderkoordinaten ! Beachten Sie, dass die Zylinderkoordinaten selbst von der Zeit
abhängen !
m 2
b) Zeigen Sie, dass die kinetische Energie T =
[ẋ + ẏ 2 + ż 2 ] in Zylinderkoordinaten die
2
m 2
folgende Form hat: T =
[ρ̇ + ρ2 ϕ̇2 + ż 2 ]
2
c) Zeigen Sie, dass die z-Komponente des Drehimpulses Lz = m[xẏ − y ẋ] in Zylinderkoordinaten die folgende Form hat: Lz = mρ2 ϕ̇
2. Berechnen Sie die Arbeit, die gegen die Kraftfelder
a) F~ (~r) = −k~r,
b) F~ (~r) = ~a × ~r,
~a = (a, 0, 0), a = const.
verrichtet werden muss, um einen Massenpunkt vom Ort P1 (0, y1, z1 ) zum Ort P2 (0, y2, z2 )
in der y-z-Ebene entlang zweier paralleler Strecken zur y- und z-Achse zu verschieben:
a) zuerst auf einem Weg parallel zur y-Achse und dann parallel zur z-Achse,
b) zuerst auf einem Weg parallel zur z-Achse und dann parallel zur y-Achse.
Berechnen Sie rotF~ (~r) für das Kraftfeld b)!
Kommentieren Sie Ihre Ergebnissse!
3. Berechnen Sie zu folgenden Potentialen V (~r) die zugehörigen Kraftfelder F~ (~r) = −gradV (~r)
und zeigen Sie anschließend, daß jeweils rotF~ (~r) = 0 gilt:
γ mM
k
b) V (~r) = mgz, c) V (~r) = −
, (k, g, γ, m, M) = const.
a) V (~r) = r 2 , r = |~r|,
2
r
Hinweis: Verwenden Sie (Aufgabe 3.a) und 3.c))
∂f (r)
∂f (r) ∂r
∂r
=
= f ′ (r) ,
∂x
∂r ∂x
∂x
∂r
=?
∂x
4. Lösen Sie das Bewegungsproblem des freien Falls eines Körpers aus der Höhe h (ohne LuftReibung) mit Hilfe des Energiesatzes. Beachten Sie, dass für eindimensionale Bewegungen
der Energiesatz wie folgt umgestellt werden kann (siehe Vorlesung):
t − t0 =
Zx
x0
dx
q
2
[E
m
− V (x)]
; x(t0 ) = h
5. Zur Beschreibung der Eigenschaften eines zweiatomigen Moleküls wird oft ein Lenard-JonesPotential herangezogen:
√
b
a
V (r) = − 6 + 12 , (r = x2 + y 2 + z 2 - Abstand der Atome).
r
r
Dabei sind a und b molekülspezifische Konstanten (a > 0, b > 0).
a) Skizzieren Sie das Potential als Funktion des Abstandes der Atome !
b) Berechnen Sie die interatomare Kraft F~ (~r) = F (r) ~rr und skizzieren Sie F (r) als Funktion des Abstandes.
c) Die beiden Atome können Schwingungen um ihre Gleichgewichtslage r0 (|F~ (r~0 )| =
F (r0 ) = 0) ausführen. Bestimmen Sie die Frequenz dieser Eigenschwingungen, indem
Sie die Kraft um die Gleichgewichtslage in eine Taylorreihe entwickeln:
F (r) = F (r0 ) + (r − r0 ) F ′(r0 ).
Hinweis: Die Kraftkonstante k (es gilt F (r) = −k r + const.) ergibt sich dabei einfach
aus der Ableitung der Kraft an der Gleichgewichtslage: k = −F ′ (r0 ).
6. Bei der Bewegung im Zentralkraftfeld ist eine der möglichen Bahnformen die Ellipse (siehe
Vorlesung vom 23.04.2008). Leiten Sie die Polargleichung der Ellipse aus deren geometrischer
Definition her :
Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P , für die die Summe des Abstandes von
2 festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) konstant (r + r ′ = 2a) ist. (siehe Skizze)
y
P
r
,
a
r
e=ε⋅ a
F
1
M
r =
φ
F
x
p
1 + ε cos φ
p = a (1 − ε2 )
2
7. Führen Sie eine Kurvendiskussion des effektiven Potentials, das bei der Bewegung im Zentralkraftfeld auftritt (siehe Vorlesung), durch!
γmM
β
α
l2
−
= 2 −
Vef f (r) =
2
2mr
r
r
r
Bestimmen Sie die Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, das Verhalten im Unendlichen und
die Polstellen. Skizzieren Sie Vef f (r).
8. Beschreiben Sie die Bewegung von Erde (me , ~re ) und Mond (mm , ~rm ) vom Sonnensystem
aus gesehen (Sonne ruht im Mittelpunkt des Koordinatensystems). Berücksichtigen Sie die
zwischen den einzelnen Himmelskörpern (Erde, Mond, Sonne) wirkenden Gravitationskräfte.
a) Formulieren die Newtonschen Grundgleichungen für die Bewegung von Erde und Mond!
Welche äußeren bzw. inneren Kräfte treten auf ?
b) Formulieren Sie Gesamt-Drehimpuls und Gesamt-Energie ! Warum sind beide Größen
~
auch Erhaltungsgrößen ? (Beweisen Sie dazu dL/dt
= 0 und dE/dt = 0 und zeigen Sie
dabei, dass sich die Drehmomente der inneren Kräfte kompensieren !)
9. Gekoppelte Federschwinger
Zwei Massen (m1 , m2 ) seien miteinander durch eine Feder (Federkonstante k) elastisch gekoppelt und jeweils über eine weitere elastische Feder (Federkonstante K) zwischen zwei
Wänden festgehalten. Die Ruhelagen seien bei den Punkten a,b (siehe Skizze). Lösen Sie
die Newtonschen Grundgleichungen für die Bewegung der Massen m1 , m2 (eindimensionale
Bewegung, Schwerkraft vernachlässigen) !
a) Formulieren Sie die Newtonschen Grundgleichungen für die Bewegung der beiden Massen. Es ist günstig, neue Koordinaten x′1 = x1 − a und x′2 = x2 − b einzuführen.
Zeigen Sie, daß sich die Bewegungsgleichungen für x′1 und x′2 durch Einführung von
Relativ- und Schwerpunkt-Koordinaten im Fall m1 = m2 = m entkoppeln lassen! Es
entstehen Gleichungen vom Typ
Ẍ + Ω2 X = 0;
ẍ + ω 2 x = 0;
Ω2 = K/m
für die Schwerpunktkoordinate und
ω 2 = (2k + K)/m für die Relativkoordinate.
b) Lösen Sie die beiden Gleichungen für die Relativ- und Schwerpunkt-Bewegung allgemein.
c) Zeigen Sie, dass man folgende spezielle Lösung x1 (t) und x2 (t) für den Fall gleicher
Massen und unter den Anfangsbedingungen x1 (0) = a+∆, x2 (0) = b, ẋ1 (0) = ẋ2 (0) = 0
erhält:
Ω−ω
Ω+ω
Ω−ω
Ω+ω
t cos
t und x2 (t) = b − ∆ sin
t sin
t
x1 (t) = a + ∆ cos
2
2
2
2
Interpretieren Sie das Ergebnis !
10. Behandeln Sie das 2-Körperproblem mit den Lagrange’schen Gleichungen II. Art !
a) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion für das 2-Körperproblem ! (siehe Vorlesung,
Abschnitt 2.4)
b) Führen Sie Relativ- und Schwerpunktkoordinaten ein !
c) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für die Relativ- und Schwerpunktkoordinaten mit
Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen II. Art her ! (Die entstehenden Bewegungsgleichungen entsprechen den Newton’schen Grundgleichungen für die Relativ- und SchwerpunktBewegung.)
11. Berechnen Sie die Wirkung beim schrägen Wurf vom Abwurf von der Erdoberfläche bis zum
Aufprall des Körpers.
a) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion für die Bewegung im Schwerefeld der Erde (ebene Bewegung, F~ = (0, −mg, 0), z(t) = 0) !
b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen II. Art
her und lösen Sie diese unter den Anfangsbedingungen für einen schrägen Wurf mit
der Anfangsgeschwindigkeit v0 und dem Abwurfwinkel α ! (Das Resultat lässt sich in
g
folgender Form schreiben: x = v0 cos α · t, y = v0 sin α · t − t2 )
2
c) Setzen Sie die Lösungen ( x(t), y(t) und ẋ(t), ẏ(t) ) in die Lagrangefunktion ein und
berechnen Sie die Wirkung !
d) Berechnen Sie die Wirkung für eine geradlinig gleichförmige Bewegung auf einer horizontalen Geraden vom Anfangs- zum Endpunkt, den der Körper nach der gleichen Zeit
wie beim schrägen Wurf erreicht. (Die Lagrange-Funktion bleibt unverändert, nur die
Bahn soll sich ändern). Vergleichen Sie die Resultate von c) und d) mit der Aussage
des Hamiltonprinzips !
12. Lösen Sie das Bewegungsproblem des ebenen mathematischen Pendels mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen II. Art !
a) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion und die
Bewegungsbeschränkung in kartesischen Koordinaten !
b) Führen Sie ebene Polarkoordinaten ein ! Beachten Sie, dass hier der Winkel ϕ gegen die y-Achse
gemessen wird ! Formulieren Sie die LagrangeFunktion und die Bewegungsbeschränkung mit
den ebenen Polarkoordinaten ! Welches ist die generalisierte Koordinate ?
x
ϕ
l
c) Leiten Sie die Bewegungsgleichung für die generalisierte Koordinate mit Hilfe der Lagrange’schen
Gleichungen II. Art her !
d) Lösen Sie die Bewgungsgleichung für den Fall kleiner Auslenkungen des Pendels und mit der Anfangsbedingung, dass es zum Zeitpunkt t = 0 um
den Winkel ϕ(t = 0) = ϕ0 ausgelenkt und in Ruhe
(ϕ̇(t = 0) = 0) ist !
m
y
13. Lösen Sie das Bewegungsproblem des ebenen mathematischen Pendels mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen I. Art !
a) Verwenden Sie die Lagrange-Funktion aus Aufgabe 12. a), b) und formulieren Sie die
Lagrange’schen Gleichungen I. Art mit ebenen Polarkoordinaten ! Leiten Sie die Bewegungsgleichung für die generalisierte Koordinate und eine Gleichung zur Bestimmung
des Lagrange’schen Multiplikators λ durch Einsetzen der Lagrange-Funktion in die Lagrange’schen Gleichungen I. Art her !
b) Bestimmen Sie die verallgemeinerte Zwangskraft Gr und daraus die beiden Komponenten der Zwangskraft in x- und y-Richtung Zx , Zy ! (Gr = −m r ϕ̇2 − m g cos ϕ)
Interpretieren Sie das Ergebnis !
14. Welche Form muss eine Rutsche haben, damit in einem Notfall Passagiere in kürzester Zeit
aus dem Flugzeug gelangen (Brachystochronen-Problem)?
Wie muss die Bahnkurve eines Pendels sein, damit die Schwingungsdauer auch bei großen
Ausschlägen unabhängig vom Pendelausschlag ist (Tautochronen-Problem)?
Die Antwort lautet: Die Form einer nach oben geöffneten Zykloide !
Behandeln Sie die Bewegung eines Massenpunktes auf einer nach oben offenen Zykloide im
Schwerefeld der Erde mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen II. Art!
[Die (nach unten geöffnete) Zykloide ist die ebene Kurve, die ein Punkt auf dem Umfang
eines Kreises mit dem Radius R bei dessen Abrollen auf einer ebenen Unterlage beschreibt,
x = Rβ − R sin β, y = R(1 − cos β), β− Parameter,Winkel]
y
2R
R
b=R β
β
y(β)
b
0
0
x(β)
b
2R
4R
6R
x
a) Leiten Sie die obige Parameterdarstellung der Zykloide her!
b) Formulieren sie die Lagrange-Funktion für die Bewegung eines Massenpunktes auf einer nach oben geöffneten Zykloide im Schwerefeld der Erde (F~ = −mg~ey ) mit der
generalisierten Koordinate β !
c) Leiten Sie die Bewegungsgleichung für die generalisierte Koordinate mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen II. Art her:
1
g
sin β(β̇ 2 − ) = 0
2
R
d) Zeigen Sie, dass man unter Beachtung von 1 − cos β = 2 sin2 β/2, sin β = 2 cos β/2 ·
sin β/2 und mit der Substitution u = cos β/2 folgende Bewegungsgleichung für u(t)
erhält:
g
ü +
u = 0
4R
Inwiefern ist damit das Tautochronen-Problem gelöst ?
(1 − cos β)β̈ +
15. Trägheitstensor einer dreieckigen Platte
a
y
~
a) Zeigen Sie, dass die Berechnung des Schwerpunkt R
einer homogenen, dreieckigen Platte (Dicke d, gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit der Schenkellänge a, siehe Skizze) folgendes ergibt:
y=a−x
a−x
Z
Z
Zd/2
Za
1
1
~
dV ~r =
dy ~r
dz dx
R =
V
V
−d/2
0
0
0
~ = (a/3, a/3, 0)
R
0
a
x
b) Verschieben Sie den Schwerpunkt der Platte in den Ursprung (keine Drehung) und
zeigen Sie, dass man für den Trägheitstensor Ii,j :
Ii,j
m
=
V
Z
h
dV r 2 δi,j − xi xj
i
m
=
V
Z


y 2 + z 2 −xy
−xz

−yz 
dV  −yx x2 + z 2

−zx
−zy
x2 + y 2
für den Fall d << a (dünne Platte) folgendes erhält:
Ii,j
2 1 0
= I0  1 2 0  ,
0 0 4


mit: I0 =
ma2
36
c) Zusatzaufgabe (nicht abgeben)
Bestimmen Sie die Lage der Hauptachsen ! Lösen Sie dazu das Eigenwertproblem des
Trägheitstensors. Berechnen Sie den Trägheitstensor im Hauptachsensystem !
16. Unwucht eines Rades
Die Figureachse ~n eines Rades sei gegen seine Drehachse ω
~ um den Winkel α verdreht (siehe
Skizze). Bestimmen Sie das Drehmoment und die auf die Achslager wirkenden Kräfte !
a) Fassen Sie das Rad als zylindrische Scheibe der
Dicke d, der Masse m und dem Radius R auf
und berechnen Sie die Trägheitsmomente für die
Hauptträgheitsachsen ~ex , ~ey , ~ez , die ein Rechtssystem
(kartesisches Kordinatensystem) bilden. Die Vektoren ~ex ,Z~ey liegen in derZScheibenebene. Z
Ixx = y 2 dm, Iyy = x2 dm, Izz = (x2 +y 2 ) dm,
verwenden Sie: dm = σρ dρ dϕ, σ = Flächendichte
b) Formulieren Sie die Eulerschen Gleichungen für den
Fall |~ω | = const. und bestimmen Sie das Drehmoment und die auf die Achslager wirkenden Kräfte.
Der Mittelpunkt des Rades soll in der Mitte zwischen
den Achslagern liegen.
17. Die Lagrange-Funktion für die Bewegung eines Körpers auf einer geneigten Ebene (F~ =
(0, −mg, 0), Bewegungsbeschränkung y = x tan α) in generalisierten Koordinaten (ρ, z) ist:
i
m h 2
L=
ρ̇ + ż 2 − mg ρ sin α
2
a) Bestimmen Sie die generalisierten Impulse und die Hamiltonfunktion !
b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten mit Hilfe der
kanonischen Gleichungen her !
18. Die Lagrange-Funktion für die Bewegung eines Körpers im Zentralkraftfeld in sphärischen
io
h
Polarkoordinaten ist:
m n 2
L=
ṙ + r 2 sin2 ϑ ϕ̇2 + ϑ̇2 − V (r).
2
a) Bestimmen Sie die zu den sphärischen Polarkoordinaten zugehörigen verallgemeinerten
Impulse pr , pϑ , pϕ .
b) Zeigen Sie, daß man für die Hamilton-Funktion
H=
p2ϕ
p2r
p2
+ ϑ2 +
+ V (r) erhält.
2m 2mr
2mr 2 sin2 ϑ
19. Zeigen Sie, dass die folgenden Poisson-Klammern gelten:
a) {lx , pz } = −py
b) {lx , ly } = lz und {lz , lx } = ly
Formulieren Sie dazu den Drehimpuls ~l = (lx , ly , lz ) in kartesischen Koordinaten mit den
zugehörigen generalisierten Impulsen.
20. Die Phasenbahnen eines harmonischen Oszillators sind Ellipsen, die der Gleichung
E = p2 /2m + mω 2 q 2 /2 genügen.
a) Bestimmen Sie die Halbachsen!
b) Berechnen Sie das sogenannte Phasenintegral J =
Ellipse im Phasenraum ergibt!
H
pdq, das die gesamte Fläche der
c) Im Rahmen der klassischen Physik kann die Energie eines harmonischen Oszillators
und damit auch das Phasenintegral beliebige Werte (E ≥ 0) annehmen. Die erste
klare Quantenhypothese bestand
H in der Forderung, dass das Phasenintegral nur diskrete
Werte annehmen kann: J = pdq = nh, wobei h das Planck’sche Wirkungsquantum
ist und n = 1, 2, 3, .... Leiten Sie daraus eine Gleichung für die möglichen Werte der
Energie eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators her !
21. Im Rahmen der klassischen Mechanik ist die minimale Energie des harmonischen Oszillators
E = p2 /2m + mω 2 q 2 /2 = 0, wenn p = 0, q = 0.
In der Mikrophysik sind Ort und Impuls gleichzeitig nicht scharf meßbar, d. h. die minimalen Werte für beide kanonisch konjugierte Observable sind die verbleibenden Unschärfen ∆q
und ∆p.
Bestimmen Sie die die minimale Energie des harmonischen Oszillators unter Berücksichtigung der Heisenberg’schen Unschärferelation (∆p)2 · (∆q)2 ≥ h̄2 /4 !