Ableitung der Lagrange`schen Gleichungen 2. Art
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Maschinendynamik – Vorlesung 13 Carsten Behn Technische Universität Ilmenau Fachgebiet Technische Mechanik WB 2300 / [email protected] 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art Motivation – Zusammenhang zwischen Impulssatz und Prinzip von D‘Alembert für den Massenpunkte (keine Ableitung) Prinzip: Die Bewegung eines materiellen Punktes vollzieht sich gerade so, dass Prinzip von D‘Alembert für den starren Körper: 21.01.2016 Folie 03 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art verkürzend: verallgemeinerte Kraft 21.01.2016 Folie 04 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art Nutzen von: 1. Helmholtz-Identität (1HI): Beweis: 2. Helmholtz-Identität (2HI): ohne Beweis / Bemerkung: Vertauschung der Differentationsreihenfolge 21.01.2016 Folie 05 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art Nun: Klärung des Terms Also gilt: 21.01.2016 Folie 06 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art Ausgangspunkt: 21.01.2016 Folie 07 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art vorerst: oder 21.01.2016 Folie 08 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art 21.01.2016 Folie 09 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.3 Ableitung der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art mit der Definition der Lagrange-Funktion und der Kraftklasseneinteilung folgt: für nicht-konservative Systeme für konservative Systeme 21.01.2016 Folie 10 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13 7.4 Auflaufplan für Beispielaufgaben Schritt 1: Koordinatensystem und Nullniveau Schritt 2: a) Bestimmung des Freiheitsgrades b) Wahl der verallgemeinerten Koordinaten Schritt 3: Klassifikation des Systems – konservativ / nicht-konservativ Schritt 4: Aufstellen der Orts- Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren der Körper des Systems Schritt 5: a) kinetische Energie T des Gesamtsystems aufstellen b) potentielle Energie U des Gesamtsystems aufstellen c) Lagrange-Funktion L:=T-U aufstellen Schritt 6: - konservatives System -> Schritt entfällt - nicht-konservatives System: a) Dissipationsfunktion D aufstellen b) Berechnungsvorschrift für Klasse 4 aufstellen Schritt 7: Ableiten der Bewegungsdifferentialgleichungen mittels der Berechnungsvorschrift der Lagrange‘schen Gleichungen 2. Art ---------------------Schritt 8: Probe – a) Existenz von Untersystemen, und b) Linearisierungen Schritt 9: (numerische) Lösung der Bewegungsdifferentialgleichungen 21.01.2016 Folie 11 C. Behn: Maschinendynamik – Vorlesung 13
