Übungsaufgaben zum Thema quadratische Gleichungen

Übungsaufgaben zur Vergleichsarbeit über die Inhalte der Klasse 9
9.1 Quadratische Gleichungen
Aufgabe 9.1.1: Löse folgende quadratische Gleichungen möglichst einfach, aber
o h n e die solve-Funktion deines Taschenrechners. Schreibe dazu jeden einzelnen Schritt des
Lösungsweges auf.
a) (4x  6 ) (4x + 0,2) =0
b) 5x 2 10x  0
c) x 2  20x  100
d) x 2  8 x  20
e) 3 x 2  24 x  21  0
f)
1 2
x  3x  7  0
4
Aufgabe 9.1.2: Das Rechteck mit den Seitenlängen 4m und 3m
soll in ein Quadrat und drei Rechtecke wie im Bild zerlegt werden.
Dabei soll der Flächeninhalt der grauen Fläche (Rechteck und
Quadrat zusammen) 7m 2 sein. Wie lang kann die Quadratseite
gewählt werden?
Stelle eine Gleichung auf und formuliere die einschränkende Bedingung.
9.2 Quadratische Funktionen
Aufgabe 9.2.1: Durch welche Abbildungen ist der Graph der Funktion f aus der Normalparabel
entstanden? Gib den Scheitelpunkt an:
a) f(x)= (x-1)2+4
b) f(x)= – 2 (x+3)2 – 3,5
2
c) f(x)=x + 6x – 3
d)f(x)= –2x2 + 8x – 16
Aufgabe 9.2.2: Gib eine Funktionsgleichung der erhaltenen Parabel an:
a) Die Normalparabel wurde um 2 nach rechts und um 4 nach oben verschoben.
b) Die Normalparabel wurde mit dem Faktor 1,5 in y-Richtung gestreckt, an der x-Achse gespiegelt und um 4 nach unten verschoben.
c) Die Normalparabel wurde um 3 nach links und um 2 nach oben verschoben und schließlich mit
dem Faktor 0,5 in y-Richtung gestreckt.
d) Die Normalparabel wurde um 3 nach links verschoben, an der y-Achse gespiegelt, um 2 nach
oben verschoben und schließlich mit dem Faktor 4 in y-Richtung gestreckt.
e) Die Parabel mit der Gleichung y=x2+3 wird um 2 nach links und um 5 nach unten verschoben.
Aufgabe 9.2.3: Von einer Parabel sind folgende Eigenschaften bekannt. Fertige eine Skizze an
und gib eine Funktionsgleichung an.
a) Die Parabel entstand aus der Normalparabel (nur) durch Verschieben. Sie hat den Scheitelpunkt S(-2/5).
b) Die Parabel entstand aus der Normalparabel (nur) durch Verschieben. Sie hat die Gerade mit
der Gleichung x=3 als Symmetrieachse und verläuft durch den Punkt P(2/2).
c) Zunächst wurde die Normalparabel mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt und dann verschoben. Die erhaltene Parabel verläuft durch die Punkte P1(-1/5) und P2(3/5).
Aufgabe 9.2.4:
Gib jeweils eine Funktionsgleichung an! 
(Hinweis: Eine Kästchenlänge entspricht eine Einheit.)
Aufgabe 9.2.5: Für welche Zahl ist das Produkt aus der um 6
verkleinerten Zahl und dem Dreifachen der ursprünglichen
Zahl am kleinsten?
9.3 Trigonometrie
Aufgabe 9.3.1: Skizziere jeweils das Dreieck ABC und berechne die fehlenden Winkelgrößen und Seitenlängen!
a)
 = 90°
b)
 = 90°
c)
γ = 90°
γ = 46°
 = 28°
a = 2,1dm
a = 12cm
c = 8cm
c = 25cm
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Aufgabe 9.3.2: Von der 23,8 m hohen Plattform eines Leuchtturms aus
sieht man mit einem Fernrohr ein vor Anker liegendes Schiff unter dem
Tiefenwinkel 12,9°.
Wie weit ist das Schiff horizontal entfernt, wenn sich das Fernrohr 1,60m
über der Plattform befindet?
Aufgabe 9.3.3: Von einem Drachenviereck (siehe Abbildung) sind bekannt:  = 70°, AB = 5,2 cm und AC = 12,3 cm.
Berechne BC und BD auf eine Dezimale und γ auf 1° genau!
Aufgabe 9.3.4: Eine Leiter der Länge 4,70 m wird an eine senkrechte
Wand gelehnt.
Ihr Fußpunkt muss mindestens 1m, aber höchstens 2 m von der Wand entfernt sein.
Zwischen welchen Werten kann sich der Winkel zwischen Fußboden und Leiter „bewegen“?
Aufgabe 9.3.5: Ein Geländewagen kann in den einzelnen Gängen folgende Steigungen überwinden: 1. Gang 80%, 2. Gang 55%, 3. Gang 28% und 4. Gang 20%.
a) Gib jeweils den maximalen Steigungswinkel an.
b) Der Geländewagen soll den Höhenunterschied 100 m überwinden. Wie lang muss die (vom
Kilometerzähler angezeigte) Fahrstrecke mindestens sein, wenn er durchgehend den 3. Gang [den
2. Gang] benutzt?
Aufgabe 9.3.6: Um die Breite eines Flusses zu messen, hat man
unmittelbar an einer Uferseite eine Strecke| AB | = 80 m abgesteckt
und den Winkel  = 38° gemessen. Berechne die Flussbreite.
9.4 Figuren und Körper“ (Kreis, Zylinder, Kegel)
Formeln für den Kreis (A: Flächeninhalt; U: Umfang des Kreises) siehe rechten Kasten
Aufgabe 9.4.1: Berechne die fehlenden Größen!
r
d
U
a)
2,56 m
b)
0,5 cm
c)
d)
23,7 mm
A
26,3 dm2
Aufgabe 9.4.2: Miss den Durchmesser eines 1-Eurostücks.
a) Berechne Inhalt und Umfang.
b) Das 1-Eurostück fällt herunter und rollt 6,5 m weit. Wie oft hat es sich beim Rollen gedreht?
Aufgabe 9.4.3: Um ein kreisförmiges Wasserbecken mit der Fläche 123 m2 soll ein 1,35 m breiter
Spazierweg angelegt werden.
Wie groß sind die Kosten, wenn 1 m2 48,20 EUR kostet?
Aufgabe 9.4.4: Ein Quadrat und ein Kreis haben jeweils denselben Flächeninhalt 40 m2. Berechne den Umfang beider Figuren.
Aufgabe 9.4.5: Eine im Durchmesser 24 cm große Pizza kostet 7 €.
Der Durchmesser wird nun verdoppelt und die Pizza soll dann 27,50 € kosten.
Begründe, ob dieser Preis „mathematisch“ gerechtfertigt ist!
Aufgabe 9.4.6: In einen zylinderförmigen, oben offenen Blechbehälter mit dem Durchmesser 60
cm und der Höhe 1 m werden 50 Liter Wasser eingefüllt.
a) Wie viel m2 Blech benötigt man für die Herstellung des Behälters (ohne Deckel und Verschnitt)?
b) Wie viel Prozent des Behälters sind gefüllt?
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Aufgabe 9.4.7:
1 2
r ·h (Kegelvolumen) nach h und nach r um.
3
b) Ein Kegel hat das Volumen 100 cm 3 und die Höhe 10 cm. Berechne den Radius der Grundfläa) Stelle die Formel V =
che.
9.5 Strahlensätze
Aufgabe 9.5.1:
Berechne die Länge der Strecke g.
Es ist: a = 3,2cm; h = 7,5cm; c = 4,2cm
Aufgabe 9.5.2:
Die Höhe h1 eines Turms kann man mit Hilfe der Schattenlänge eines Stabes mit der Länge BD bestimmen. Hierzu wird
der Stab senkrecht so aufgestellt, dass das Ende seines
Schattens mit dem Schattenende des Turms zusammenfällt
(A).
Bestimme die Turmhöhe, wenn gilt:
s1 = 65 m, s2 = 3 m, h2 = 2 m
Aufgabe 9.5.3: Bestimme die Breite a eines Kanals, wenn folgende Strecken gemessen werden:
b = 12m, c = 30m und d = 22m
Aufgabe 9.5.4: In einem Dachgiebel mit h = 3,20m und s = 3,50 m soll
in H = 2,10 m Höhe (gemessen vom Boden des Dachgiebels) eine Decke eingezogen werden.
Welche Länge x hat die schräge Wand in dem entstehenden Raum?
9.6 Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 9.6.1: Bestimme die Lösungsmenge der folgenden
Gleichungssysteme mit einem beliebigen rechnerischen Lösungsverfahren (ohne TR)!
a)
x  19  3y
10x  7y  5
b)
3x  4y  13
x  7y  21
c)
6x  4y  6
- 3x  2y  3
d)
 4x  5y  12
100x  125y  275
Aufgabe 9.6.2: Bestimme die Lösungsmenge des
folgenden Gleichungssystems graphisch im nebenstehenden Koordinatensystem 
y  3x  1
y  x  3
Aufgabe 9.6.3:Herr Meier leiht sich ein Auto, der
Preis setzt sich zusammen aus einer Leihgebühr
pro Tag und den Kosten pro gefahrenem Kilometer. Herr Meier muss für 3 Tage, an denen er insgesamt 356 km fährt, 318,60 € bezahlen. Etwas
später leiht er dieselbe Automarke für vier Tage,
in denen er allerdings nur 275 km zurücklegt, und
zahlt 305 €. Stelle ein Gleichungssystem auf und
berechne die Leihgebühr pro Tag und die Kosten
pro Kilometer mit dem TR (Antwortsatz!).
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Lösungen der Übungsaufgaben für den 9. Jahrgang
9.1 Quadratische Gleichungen
1. a) L = {0,05 ; 1,5} (Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist!)
b) L = {0 ; 2}
c) L = {10}
d) L = {2 ; 10}
e) L = {7 ; 1} f) L = {14 ; 2}
2
2. x + (4  x)(3  x) = 7 mit 0 cm < x < 3 cm
Mögliche Seitenlängen des Quadrates sind 1 cm bzw. 2,5 cm.
9.2 Quadratische Funktionen
1. a) S(1 / 4) Verschiebung um 1 Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben
b) S(3 / 3,5) Verschiebung um 3 Einheiten nach links, Streckung mit dem Faktor 2 in yRichtung (bzw. Spiegelung an der x-Achse, Streckung mit dem Faktor 2), Verschiebung um 3,5
Einheiten nach unten.
c) S(3 / 12) Verschiebung um 3 Einheiten nach links und 12 Einheiten nach unten
d) S(2 / 8) Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts, Streckung mit Faktor -2 in y-Richtung, Verschiebung um 8 Einheiten nach unten
2. a) f(x) = (x  2) + 4
2
c) f(x) = 0,5(x + 3) + 1
2
e) f(x) = (x + 2)  2
2
2
3. a) f(x) = (x + 2) + 5
2
b) f(x) = 1,5x  4
2
d) f(x) = 4(x + 3) + 8
(Beachte die Reihenfolge der Abbildungen!)
b) f(x) = (x  3) + 1
c) f(x) = 2(x  1)  3
2
2
2
4. a) f(x) = 2(x+3) – 4
b) f(x) = - (x – 4) + 5
2
2
c) f(x)= 1,5(x – 1) - 2
5. Zahl: 3
9.3 Trigonometrie
1. a) c = 8,63 cm; b = 8,34 cm;  = 44°
b) a = 4,25 cm; b = 9,06 cm; γ = 62°
c) b = 13,58 cm;  = 32,9°;  = 57,1°
2. ca. 111 m
3. Achtung!  ist der „ganze“ Winkel.  ist nicht gleich 90°, also muss erst die Hälfte von BD berechnet
werden!
BD = 5,97 cm; AE = 4,26 cm; CE = 8,04 cm; BC = 8,58 cm; γ ≈ 41°
4. Zwischen 64,8° und 77,7° (keine proportionale Zuordnung Abstand → Winkelgröße!).
5. a) tan() = 0,80   = 38,7° [28,8°; 15,6°; 11,3°]
b) mindestens 372 m [208 m]
6. 62,5 m
9.4 „Figuren und Körper“
1.
r
d
U
A
2
a)
0,407 m
0,814 m
2,56 m
0,52 m
2
b)
0,25 cm
0,5 cm
1,57 cm
0,196 cm
2
c)
2,89 dm
5,78 dm
18,16 dm
26,3 dm
2
d)
23,7 mm
47,4 mm
148,9 mm
1765 mm
2. Offizielle Angabe: Durchmesser d = 23,25 mm
2
a) A = 424,6 mm ; u = 73,04 mm b) Anzahl n = s/u = 6500 mm / 73,04 mm ≈ 89
2
2
3. Innenradius 6,26 m; Außenradius 7,61 m; Gesamtflächeninhalt 181,9 m ; Wegfläche 58,9 m ;
Kosten 2839 €.
4. Quadrat: u = 25,3 m
Kreis: u = 22,42 m
5. Der doppelte Durchmesser führt zum vierfachen Flächeninhalt, d.h. die Pizza müsste 28 € kosten,
2
wenn bei beiden Pizzen der Preis pro cm gleich wäre.
2
6. a) 2,17 m Blech (ohne Verschnitt) b) VBehälter = 282,7 Liter; 50 Liter/282,7 Liter ∙ 100% = 17,7%
7.
a) h 
3V
r 2
r
3V
h
b) r = 3,09 cm
9.5 Strahlensätze
1. g ≈ 9,84 cm 2. h1 ≈ 43,33 m
3. a = 36 m (
d ac

)
b
a
4. s ≈ 2,30 m
9.6 Lineare Gleichungssysteme
1. a) IL = {(4|5)}
b) IL = {(7|2)}
c) x = 2/3∙y +1
d) IL = { }
2. IL = {(0,5|2,5)}
3. 3. Mit x: Leihgebühr pro Tag und y: Kosten pro Kilometer gilt 3x + 356y = 318,60 sowie
4x + 275y = 305.
Lösung: x = 35, y = 0,6 d.h. die Leihgebühr pro Tag beträgt
35 €, die Kosten pro Kilometer betragen 60 Cent.
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