3 Bewegungen und Kinematik

3
3.1
Bewegungen und Kinematik
Einleitung und Grundbegriffe
In der Mechanik interessieren wir uns für Bewegungsabläufe und Kräfte. Die Kräfte werden
wir im nächsten Kapitel behandeln, ebenso wie Kräfte zu Bewegungen führen. Das wird das
Thema der Dynamik sein. Im Moment beschränken wir uns auf die Beschreibung von Bewegungen, die Kinematik. Diese Bewegungen können sehr unterschiedlicher Natur sein. Das geht von
der Futtersuche der Cataglyphis, über das Springen einer Heuschrecke, bis zur Bewegung von
Elektronen in einem Teilchenbeschleuniger oder der Sonne um das Zentrum der Galaxis. Das
faszinierende ist, dass alle diese Bewegungen den gleichen Gesetzmässigkeiten unterliegen. Bei
allen fragen wir uns, wann ist das Ding dessen Bewegung wir beschreiben wo? Um diese Fragen
zu beantworten und welche Grössen wir zur Beschreibung brauchen, gehen wir schrittweise vor.
Wir untersuchen zunächst, welches die minimalen Anforderungen sind, damit wir eine Bewegung vollständig beschreiben können. Der einfachste Fall den wir betrachten können ist eine
Bewegung die nur in einer Richtung stattfinden kann. Damit wollen wir beginnen.
44
3.2
Geradlinige Bewegung
Wir schränken vorerst die beobachteten Bewegungen ein auf Fälle, wo die Bewegung geradlinig
ist, also nur in eine Richtung geht. Dies kann entlang der Horizontalen passieren wie bei einem
Auto auf ebener Strasse, in der Vertikalen wie beim Fall oder entlang einer geneigten Ebene.
Die Ursache der Bewegung interessiert uns im Moment nicht. Ferner soll das sich bewegende
Objekt als ein fester Körper bewegen und nicht rotieren, also entweder betrachten wir ein extrem
kleines, nahezu punktförmiges Teilchen oder ein ausgedehntes Objekt, bei dem alle Teile starr
miteinander verbunden sind.
Wenn wir wissen wollen, wo ein Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt ist, es also lokalisieren
wollen, müssen wir die Position relativ zu einem Referenzpunkt feststellen. Das ist wie bei der
Streckenmessung im letzten Kapitel, wo wir die Länge eines Stabes über die Messung zweier
Positionen bestimmt haben. Diesen Referenzpunkt nennt man häufig den Ursprung (origo: O)
einer Achse, hier sagen wir die x−Achse:
-
x
O
Die Position entlang dieser Achse, der Ort x, wird in Vielfachen eines Achsenabschnitts (z.
B. 1 cm) gemessen. In welcher Richtung sich das Objekt bewegt wird durch das Vorzeichen
angegeben:
negative Richtung
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
6
positive Richtung
+x
7
[cm]
Bewegt sich ein Objekt von einem Ort x1 zu einem anderem Ort x2 , so ist die Ortsveränderung
(Verschiebung):
∆x = x2 − x1
(3.41)
Mit dem Symbol ∆ bezeichnen wir immer die Änderung der entsprechenden Grösse. Die Ortsveränderung sollte nicht mit dem zurückgelegtem Weg verwechselt werden :
1
3
-
5
∆x = 4 cm, Weg = 4 cm
1
3
-
5
∆x = 2 cm, Weg = 6 cm
3
5
∆x = −4 cm, Weg = 4 cm
1
Bei der hier betrachteten geradlinigen Bewegung braucht es nur eine einfache Zahl, um den
Ort anzugeben, eine Koordinate. Ebenfalls braucht es nur eine Zahl um die Ortsveränderung
anzugeben. Es handelt sich um eine eindimensionale Bewegung. Es gibt einen Freiheitsgrad.
Man sagt hier auch, dass Ort und Ortsveränderung durch einen Skalar gegeben sind.
Im nächsten Unter-Kapitel werden wir dann allgemeinere Bewegungen im Raum betrachten.
Dort braucht es im Allgemeinen drei Zahlen, um einen Ort anzugeben, die drei Koordinaten.
45
Die Ortsveränderung wird ebenfalls durch drei Zahlen (drei Koordinaten oder Betrag und Richtung) angegeben. Im dreidimensionalen Raum ist die Ortsveränderung eine (dreidimensionale)
Vektorgrösse.
Zurück zu den geradlinigen Bewegungen: Eine kompakte Form geradlinige Bewegungen darzustellen, ist ein Diagramm, das x als Funktion der Zeit t darstellt. Als Beispiel zeigt uns Abbildung
3.28 die Höhe über dem Boden, die das in Abbildung 3.29 gezeigte Gürteltier während seines
Sprungs erreicht.
Abbildung 3.28: Sprunghöhe über dem Boden x [m] in Funktion der Zeit t [s] für das
springende Gürteltier
Abbildung 3.29: Aufgeschrecktes Gürteltier
Das Diagramm in Abbildung 3.28 beschreibt nicht nur die Bewegung, sondern offenbart auch
wie schnell sich das Gürteltier bewegt. Mehrere physikalische Grössen sind mit der Aussage “wie
schnell” assoziiert. Eine ist die mittlere Geschwindigkeit
∆x
x2 − x1
Ortsveränderung
v=
=
=
(3.42)
∆t
t2 − t1
Zeitintervall
Die mittlere Geschwindigkeit (velocity) entspricht der Steigung tan α der Geraden, die den Anfangspunkt x1 (t1 ) mit dem Endpunkt x2 (t2 ) des Intervalls verbindet. Auch v wird erst durch
Betrag und Richtung bestimmt. Das Vorzeichen von v wird durch ∆x bestimmt, da bei einer
Messung zu aufeinanderfolgenden Zeiten ∆t immer positiv ist.
Die mittlere Schnelligkeit
s=
zurückgelegter Weg
Zeitintervall
46
(3.43)
ist eine weitere Art, wie die Phrase “wie schnell” ausgelegt werden kann. Im in Abbildung 3.28
eingezeichneten Weg des Gürteltiers bis zum Maximum sind die Definitionen von v und s gleich.
Wenn wir den Rückweg auch betrachten, ist dem nicht mehr so: dann ist v = 0 wegen ∆x =
0. Schliesslich landet das Tier am Startpunkt. Andererseits ist s für den Aufstieg und Fall
gleich, einfach umgekehrt. “Wie schnell” kann aber auch bedeuten, wie schnell bewegt sich
ein Objekt in einem bestimmten Zeitpunkt, was ist seine momentane Geschwindigkeit. Diese
momentane Geschwindigkeit definieren wir als den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit,
wenn das Zeitintervall immer kleiner wird.
v = (momentane) Geschwindigkeit = lim
∆t→0
∆x
dx
≡
∆t
dt
(3.44)
Der Zusatz “momentan” wird in der Physik in der Regel weggelassen. Nennen wir x2 = x(t), t2 =
t und x1 = x(t0 ), t1 = t0 , dann ist die Geschwindigkeit zur Zeit t0 gegeben durch
v(t0 ) = lim
t→t0
x(t) − x(t0 )
dx
≡
|t=t0
t − t0
dt
(3.45)
Mathematisch gesehen heisst dieser Grenzwert die Ableitung oder Differentiation der Funktion
x(t) an der Stelle t0 . Das ist die Geschwindigkeit v(t0 ). Geometrisch entspricht die Ableitung der
Steigung der Tangente an die Kurve x(t) im Punkt t0 (siehe Abbildung 3.30), statt der Steigung
der Gerade zwischen t1 und t2 :
v(t0 ) = lim
t→t0
x(t) − x(t0 )
= tan α0
t − t0
(3.46)
Abbildung 3.30: Geometrische Bedeutung der Ableitung: Übergang
vom Differenzenquotienten zum
Differentialquotienten
entspricht
dem Übergang von der Steigung
der Sekanten zur Steigung der
Tangenten.
Für die Zeit-Ableitung werden auch alternativ die Bezeichnungen
dx
, oder ẋ
dt
(3.47)
verwendet. Der Betrag der Geschwindigkeit ist die Schnelligkeit. Für unser Gürteltier (Abbildung
3.28) können wir durch Messung der Steigung der Tangente die Geschwindigkeit ermitteln. Es
ergibt sich die in Abbildung 3.31 dargestellte Geschwindigkeitskurve.
Wenn wir uns z.B. den Weg einer Cataglyphis anschauen, dann können wir die Unterschiede
in den verschiedenen Betrachtungsweisen von ”wie schnell”besser veranschaulichen. Einerseits
47
v6
6a
[m/s2 ]
@
←@
[m/s]
@
@
2
Abbildung 3.31: Geschwindigkeit [m/s] (linke Skala)
und Beschleunigung [m/s2 ]
(rechte Skala) des Gürteltiers (Abbildungen 3.28 und
3.29).
0.1
-2
10
@ v(t)
@
@
@
@
@ ↓ Max. Höhe
@
0.3 @
0.5
@
@
@
@
a(t)
@
@
-
0.7
t [s]
→ -10
@
@
@
@
ist die Schnelligkeit und die Geschwindigkeit nicht dieselbe. Ebenso ändert sich der Wert der
mittleren Geschwindigkeit je nachdem mit welcher Zeitauflösung wir schauen und wir können
den Grenzwert für die momentan-Geschwindigkeit bestimmen. Bei der Cataglyphis müssen wir
ausserdem zwei Richtungen betrachten, da sich die Ameise in einer Ebene bewegt. Das werden
wir im nächsten Kapitel eingehender behandeln.
Wenn ein Objekt seine Geschwindigkeit ändert, sprechen wir von Beschleunigung. Im täglichen
Leben bedeutet Beschleunigung normalerweise Geschwindigkeitszunahme, in der Physik enthält
dieser Begriff sowohl Zu- wie Abnahme, also auch das Abbremsen. Die mittlere Beschleunigung
(acceleration) a wird definiert als
v2 − v1
∆v
=
(3.48)
a=
t2 − t1
∆t
Analog zur Definition der momentanen Geschwindigkeit definieren wir als momentane Beschleunigung
dv
v(t) − v(t0 )
dv
a=
oder präziser
a(t0 ) = lim
=
|t=t0
(3.49)
t→t0
dt
t − t0
dt
Die Beschleunigung a(t) ist gegeben durch die Steigung der Tangente an die Kurve v(t).
3.2.1
Vertikaler Sprung oder Wurf
Bei dem Gürteltier (Abbildung 3.31), das senkrecht nach oben springt, handelt es sich um eine
eindimensionale Bewegung in vertikaler Richtung. Es bewegt sich zuerst nach oben, und dann
wieder nach unten. Im Geschwindigkeitsdiagramm ist v(t) eine Gerade, d. h. die Steigung der
Kurve ist konstant und negativ: a = −9.8 m/s2 (Gravitationsbeschleunigung auf der Erdoberfläche). Die Geschwindigkeit ist zuerst positiv (nach oben) und dann negativ (nach unten).
Die Umkehroperation des Differenzierens ist das Integrieren. So wie man v(t) und a(t) durch
Differenzieren von x(t) bzw. v(t) erhält, kann man umgekehrt x(t) und v(t) durch Integrieren
48
von v(t) bzw. a(t) erhalten:
t
Z
v(t) =
Z
a(t0 )dt0 + v(t0 )
t
x(t) =
t0
v(t0 )dt0 + x(t0 )
(3.50)
t0
v(t) ist eine Stammfunktion von a(t), x(t) ist eine Stammfunktion von v(t). Wir haben die
Integrationsvariable t0 getauft, um sie von der oberen Grenze des Integrals t zu unterscheiden.
Für den Spezialfall konstanter Beschleunigung erhalten wir
Z t
a(t) = a0
⇒ v(t) =
a0 dt0 + v(t0 ) = a0 (t − to ) + v(t0 )
(3.51)
t0
⇒ v(t) = a0 t + v0
t0 = 0, v(0) = v0
Z
t
x(t) =
0
0
Z
t
0
Z
t
a0 (t − to )dt +
v(t )dt + x(t0 ) =
t0
0
t0
v(t0 )dt0 + x(t0 )
(3.52)
(3.53)
t0
a0
(t − t0 )2 + v(t0 )(t − t0 ) + x(t0 )
2
a0
t0 = 0, v(0) = v0 , x(0) = x0
⇒ x(t) = t2 + v0 t + x0
2
s
√
x(t)
t0 = 0, v(0) = 0, x(0) = 0
⇒t= 2
a0
x(t) =
(3.54)
(3.55)
(3.56)
Die Skalenabhängigkeit dieser Beziehung haben wir im letzten Kapitel auch schon aus Dimensionsanalyse bestimmt, aber jetzt wissen wir was der relevante Vorfaktor ist! Wenn wir den Verlauf
von v(t) und a(t) gegen die Zeit auftragen, wie wir dies am Beispiel des Gürteltiers in Abbildung
3.31 getan haben, dann lässt sich das Integral auch aus der graphischen Darstellung bestimmen.
Abbildung 3.32 zeigt, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve dem zurückgelegten Weg
entspricht.
3.2.2
Experimentelles Beispiel
Zum Abschluss betrachten wir als Beispiel die Bewegung eines reibungsfrei gleitenden Reiters
auf einer Luftkissenschiene (Abbildung 3.33). Im ersten Fall (Abbildung 3.34) läuft der Reiter
ohne Beschleunigung (also mit konstanter Geschwindigkeit) bis zum Ende der Schiene, wo durch
den Stoss mit der Begrenzung die Bewegungsrichtung und die Geschwindigkeit umgekehrt wird,
der Reiter also kurz beschleunigt wird.
Im zweiten Fall (Abbildung 3.35) ist der Reiter an den beiden Enden mit einer dünnen Feder
befestigt, so wird er immer mit einer Kraft zum Ausgangspunkt zurückgezogen je weiter weg er
geht. Die Bewegung des Reiters kann mit einer elektrischen Messvorrichtung registriert werden.
In festen Zeitabständen wird die Position gemessen. Die beiden Abbildungen zeigen zwei solche
Messungen. Durch Berechnen des Differenzenquotienten kann die Geschwindigkeit numerisch
ermittelt werden, ebenso aus den Geschwindigkeitsdifferenzen die Beschleunigung.
49
v0 6
Abbildung 3.32: Geschwindigkeitsverlauf für eine konstante Beschleunigung. Die
schraffierte Fläche entspricht
dem zwischen der Zeit t0 und
der Zeit t zurückgelegten
Weg. tE markiert das Ende der Bewegung, für das
Gürteltier aus Abbildung
3.28 die Rückkehr zum Boden. Da die Steig- und
Fallhöhe gleich sind, ist die
Fläche der beiden Dreiecke
oberhalb und unterhalb der
Achse gleich.
@
@
v(t)
@
v0 − a0 t
@
@
@
@
@
@
@ ↓ Max. Höhe
@
t0
t
@
@
@
@
@
@
@
tE
-
t
@
@
@
@
Abbildung 3.33: Luftkissenschiene.
50
Abbildung 3.34: Messprotokoll für den mit konstanter Schnelligkeit auf der Luftkissenschiene
sich hin- und herbewegenden Reiter.
Im ersten Fall, ohne Beschleunigung erhalten wir experimentell die Beziehungen, die wir oben für
den Spezialfall konstanter Beschleunigung behandelt haben. Jedenfalls überall, ausser an den
Enden, wo sich die Bewegungsrichtung umkehrt und wir eine Beschleunigung haben müssen.
überall sonst ist a(t) = 0, v(t) = v0 auf dem Hinweg und v(t) = −v0 auf dem Rückweg. Das
heisst, wir messen eine lineare Zunahme bzw. Abnahme des Ortes mit der Zeit für den Hinbzw. Rückweg. Die Tatsache, dass der Reiter immer wieder die gleiche Strecke zwischen den
beiden Enden zurücklegt, macht seine Bewegung zu einer periodischen Bewegung, hier durch die
Sägezahnkurve repräsentiert.
Die zweite Messung zeigt ebenfalls eine periodische Bewegung. Wir erkennen in der Kurve eine
Sinus- bzw. Cosinusfunktion. Nennen wir die Zeit, die der Reiter für den Hin- und Rückweg
braucht die Periode T , die maximale Distanz vom Zentrum der Schiene, die der Reiter erreicht
A, dann können wir die gemessene Kurve durch die folgende Funktion beschreiben:
2π
2π
t) = A cos(ωt)
ω≡
(3.57)
T
T
Man überzeugt sich leicht, dass x = A ist für die Zeiten t = 0, t = T und für alle weiteren Zeiten
t = nT , mit n = ganze Zahl. Durch Differenzieren finden wir
x(t) = A cos(
2π
v(t) = dx = − 2π
T A sin( T t) = −ωA sin(ωt)
dt
2
2
a(t) = dv = − 4π2 A cos( 2π
T t) = −ω A cos(ωt)
dt
T
51
(3.58)
Diese Zusammenhänge werden durch die Messprotokolle bestätigt. Die neu eingeführte Grösse
ω nennt man auch die Kreisfrequenz. Je gösser ω ist, desto grösser ist die Amplitude der Geschwindigkeit und der Beschleunigung. Das haben wir experimentell auch gesehen. Interessant
an diesem Fall ist vor allem, dass hier die Position x(t) und die Beschleunigung a(t) die gleiche
Zeitabhängigkeit haben und einander direkt proportional sind, also x(t) ∝ a(t). Das wird uns
in Kapitel 4.3. noch eingehend beschäftigen, denn das beschreibt den Fall einer der Auslenkung
proportionalen Kraft.
Abbildung 3.35: Messprotokoll für den sich periodisch an eine Feder gekoppelt hin- und herbewegenden Reiter auf der Luftkissenschiene.
3.3
Bewegung in zwei und drei Dimensionen
Die Bewegungen, die wir beschreiben wollen beschränken sich aber bei Weitem nicht nur auf
einfache eindimensionale Fälle. Wir haben in der Einleitung schon das Beispiel der Cataglyphis
und ihrer Bewegungen kennengelernt. Diese finden in einer Ebene der Wüste statt und damit
in zwei Dimensionen. Dazu reicht es nicht mehr wenn wir nur die Zeitabhängikeit der Position
einer Richtung betrachten. Wie in Fig. 3.37 gezeigt, können wir die Bewegung mit Hilfe von zwei
Abhängigkeiten beschreiben. Das heisst, der Ort der Ameise wird durch einen zweidimensionalen
Vektor beschrieben.
Auch das Gürteltier wird genauer betrachtet nicht direkt in die Höhe springen, sondern sich in
der Ebene auch noch ein wenig bewegen. Also brauchen wir für solche Bewegungen eigentlich
52
Abbildung 3.36: Der Weg einer Cataglyphis auf der Futtersuche. Zugehöriges Weg-Zeit Diagramm.
sogar drei Richtungen (oder Koordinaten) die wir beschreiben werden. Anders ausgedrückt, der
Ort im Allgemeinen wird in unserer Beschreibung ein dreidimensionaler Vektor sein.
3.3.1
Vektoren
Wie wir bei der Beschreibung der Bewegung der Cataglyphis gesehen haben, müssen wir die
Ebene in zwei Koordinaten unterteilen. Sehr oft sind das zwei Richtungen, die senkrecht aufeinander stehen. Dann spricht man von kartesischen Koordinaten (nach Rene ı̈ch denke also bin
ich”Descartes). Da die beiden Richtungen senkrecht aufeinander stehen, ist eine Bewegung in
die eine Richtung nie auch eine Bewegung in die andere. Darum können wir die Bewegung auch
einfach als das Paar der Bewegungen beschreiben. Dieses Paar, zusammengefasst in eine Grösse
ist der Vektor der Bewegung. Die einzelnen Richtungen sind die Komponenten des Vektors.
Wenn man alle Komponenten zusammennimmt und jeweils in ihre Richtung gehen lässt erhält
man die Gesamtrichtung des Vektors sowie seinen Betrag. Wenn ich je einen Schritt nach rechts
und √
nach vorne gehe habe ich mich diagonal nach vorne rechts bewegt und zwar eine Distanz
von 2 Schritten.
Wir schreiben den Vektor als Summe seiner Komponenten (im zweidimensionalen Fall x, y und
den kartesischen Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 :
~r = x ~e1 + y ~e2
(3.59)
Hier ist die Länge des Vektors gegeben durch
|~r| =
p
x2 + y 2
53
(3.60)
und die Richtung durch
tanθ =
y
x
(3.61)
Abbildung 3.37: Der Beschleunigungsmesser im Mittelohr. Die drei ineinander verschlungenen Röhren des Vestibular-Organs messen die drei Komponenten der Beschleunigung über die
Trägheit des Endolymphs.
Da wir uns in einer dreidimensionalen Welt bewegen, müssen wir um unseren Bewegungszustand zu bestimmen auch drei Komponenten der Beschleunigung messen, also die Komponenten ax , ay , az . Dies geschieht beim Menschen im Innenohr, mit einer Kombination aus drei
Kreisförmig geformten Röhren, dem Vestibularorgan. Diese drei Vestibulen stehen jeweils senkrecht aufeinander und bilden so die Basis zur Messung der drei Komponenten der Beschleunigung, die auf unseren Kopf wirkt. Was passiert ist, dass bei einer Beschleunigung des Kopfes
die Flüssigkeit in den Vestibulen, der Endolymph, zu fliessen beginnt. Wir werden im nächsten
Kapitel sehen woher das kommt. Die Trägheit der Flüssigkeit führt dazu, dass sie der Beschleunigung des Kopfes nicht direkt folgt. Der so induzierte Fluss bewirkt dann eine Kraft auf die
Capulae, die unten in den Röhren befestigt sind. Diese Capulae sind mit Neuronen verbunden,
die das Signal der Messung weitergeben.
3.3.2
Differenzieren des Orts- und Geschwindigkeitsvektors
Wie gesagt, werden im dreidimensionalen Raum Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als
Vektoren dargestellt. Um wie oben diskutiert die Bewegung zu beschreiben, müssen wir also den
Ortsvektor ableiten. Dabei stellt sich die Frage:
Wie leitet man einen Vektor ab?
Vektoren sind ja eine spezielle Art von mehrwertigen Funktionen von mehreren Variablen. Hier
betrachten wir Vektorfelder im engeren Sinne als eine dreiwertige Funktion ~r(x, y, z) die an
54
jedem Punkt im dreidimensionalen Raum definiert ist. Der Vektor soll ausserdem sich im Laufe
der Zeit ändern können, es ist also
~r = ~r(x, y, z, t)
(3.62)
Wir hatten ja oben den Vektor als Summe seiner Komponenten rx , ry , rz und den kartesischen
Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 geschrieben:
~r = rx ~e1 + ry ~e2 + rz ~e3
(3.63)
Auf diese Formel können wir die Summen- und Produkteregel anwenden. Wir nehmen ausserdem
an, dass die Einheitsvektoren fest im Raum stehen und sich nicht bewegen. Dann werden nur
noch die Komponenten nach der Zeit abgeleitet und somit
∂ry
∂~r
∂rx
∂rz
=
~e1 +
~e2 +
~e3
∂t
∂t
∂t
∂t
(3.64)
Wir schreiben partielle Ableitungen, weil der Vektor und damit die Komponenten ja nicht nur
von der Zeit, sondern auch vom Ort abhängen können.
Als spezielles Beispiel betrachten wir den Ortsvektor und seine Ableitungen:
Bewegt sich ein Teilchen entlang einer beliebig verlaufenden Bahn im Raum, so markieren wir
seine Position relativ zu einem Referenzpunkt durch den Ortsvektor ~r. Ein Beispiel dafür stellt
auch der Pfad der Cataglyphis in Fig. 3.37 dar. Idealisiert haben wir einen kurzen Abschnitt
einer solchen Kurve nocheinmal in Fig. 3.3.2 gezeigt.
~r enthält die Information über den Abstand zum Referenzpunkt: OA ≡ |~r| = Länge des Ortsvektors und die
Richtung im Raum. ~r ist zeitabhängig.
Der Ortsvektor ist also zeitabhängig:
~r(t) = x(t) ~e1 + y(t) ~e2 + z(t) ~e3
(3.65)
Die Ableitung nach der Zeit des Ortsvektors ergibt die Geschwindigkeit ~v , zweimaliges Ableiten
die Beschleunigung ~a:
~v (t) =
d~r(t)
dx(t)
dy(t)
dz(t)
=
~e1 +
~e2 +
~e3
dt
dt
dt
dt
55
(3.66)
~a(t) =
d2~r(t)
d2 x(t)
d2 y(t)
d2 z(t)
=
~
e
+
~
e
+
~e3
1
2
dt2
dt2
dt2
dt2
(3.67)
Wir dürfen hier normale Ableitungen schreiben, da die Grössen jetzt alle nur von der Zeit
abhängen!
3.3.3
Beispiele: Schuss, Sprung und Wurf
In diesem Abschnitt betrachten wir die Bewegung eines Objekts während eines freien Falls. In
vertikaler Richtung haben wir die Situation schon beschrieben und das Objekt wird durch die
Anziehungskraft der Erde konstant nach unten beschleunigt, in horizontaler Richtung ist die
Beschleunigung null während des Flugs oder des Falls, weil wir vom Luftwiderstand absehen
wollen.
ay = −g
ax = 0
(3.68)
Am Anfang der Bewegung hat das Objekt die Geschwindigkeit
~v0 mit den Komponenten
vx = v0 cos θ0 und vy = v0 sin θ0
(3.69)
Die Starthöhe zur Zeit t = 0 sei y0 . Der Einfachheit halber wählen wir den Ursprung der
x−Achse am Startort: x0 = 0. Durch Anwendung der Formeln für die geradlinige Bewegung
und den Spezialfall konstanter Beschleunigung erhalten wir:
vy = v0 sin θ0 − gt
g
y = yo + v0 t sin θ0 − t2
2
vx = v0 cos θ0
x = v0 t cos θ0
(3.70)
(3.71)
Die Gleichung der Bahnkurve, die Wurfparabel, die die Flughöhe y als Funktion der Flugdistanz
x angibt erhält man aus den obigen Beziehungen durch Eliminieren der Zeit:
y = y0 + tan θ0 x −
g
x2
2v02 cos2 θ0
(3.72)
Die maximale Höhe erreicht das Objekt, wenn vy = 0 gilt, also zur Zeit t = v0 sin θ0 /g:
ymax − y0 =
56
v02 sin2 θ0
2g
(3.73)
Da Steigzeit und Fallzeit gleich sind, erreicht das Objekt seine Ausgangshöhe wieder zur Zeit
t = 2v0 sin θ0 /g und erreicht dort eine Weite:
xmax =
2v02 sin θ0 cos θ0
v 2 sin 2θ0
= 0
g
g
(3.74)
Aus der obigen Formel schliesst man, dass die Weite am grössten wird, wenn der Abflugwinkel
θ0 = 45◦ beträgt, und dass man die gleiche Weite erreicht, wenn θ0 = α/2 bzw. θ0 = 90◦ − α/2
gewählt wird.
Abbildung 3.38 zeigt uns den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor an verschiedenen Stellen der Bahnkurve. Während ~a immer die gleiche Richtung und Grösse hat, ändert sich
die Richtung und Grösse von ~v kontinuierlich. Die Komponente vx ist konstant, die Komponente
vy ändert während des Fluges ihr Vorzeichen.
Abbildung 3.38: Richtung und Grösse des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors an
verschiedenen Punkten der Flugbahn.
Beispiel: das Gürteltier: Das photographierte Tier von Abbildung 3.29 erreicht nach 0.2 s
eine Höhe von 0.544 m. Wie lange ist es in der Luft und welche maximale Höhe erreicht es ?
Wir nehmen an, das Tier springt senkrecht nach oben (θ0 = 90◦ ). Dann können wir aus y =
v0 t − g2 t2 mit den gegebenen Zahlen v0 = 3.70 m/s ermitteln (g = 9.81 m/s2 ). Bei einer Zeit
von t = v0 /g = 0.377 s erreicht das Tier seine maximale Höhe von v02 /(2g) = 0.698 m. Diese
Befunde sind in der graphischen Darstellung von Abbildung 3.28 enthalten.
Die parabolische Form der Wurfparabel wird auch dazu verwendet um Schwerelosigkeit über
einen nicht allzu kurzen Zeitraum zu simulieren. Im freien Fall ist man schwerelos. Das heisst
es wirkt nur die Erdanziehung auf einen. Wir werden im nächsten Kapitel genauer sehen was
das heisst. Wenn man sich also in ein Flugzeug begibt und damit die Flugbahn einer Parabel
fliegt, dann wirkt auf alle Insassen nur noch die Schwerkraft, da sie sich auf der gleichen Kurve
wie ein frei fallendes Objekt befinden. In dieser Situation kann man dann während so etwa 20
Sekunden Experimente in der Schwerelosigkeit ausführen.
3.4
Bewegung entlang einer Kreisbahn
Ein häufig in der Natur auftretender Spezialfall einer ebenen, zweidimensionalen Bewegung ist
der, wo sich das Objekt auf einer Kreisbahn bewegt, denken wir z. B. an die Planetenbah57
nen, die meistens in guter Näherung Kreise sind, das Verhalten von Fahrzeugen in Kurven,
die von Skifahrern durchfahrenen Mulden oder überfahrenen Kuppen, und ähnliches mehr. Die
Kreisbahn ist auch deshalb interessant, weil die beschriebenen Situationen, auch wenn sie keine
ideale Kreisbahn sind, doch sehr gut (mindestens lokal) durch eine Kreisbahn angenähert werden
können.
Eine Kreisbahn ist definiert durch den Ortsvektor ~r, mit dem Ursprung des Koordinatensystems
im Zentrum des Kreises und einem konstanten Abstand (dem Radius des Kreises). Es gilt:
r = |~r(t)| = konst
(3.75)
Aber ~r(t) ist natürlich nicht konstant, der Ortsvektor dreht sich im Kreise herum, er ändert
ständig seine Richtung. Ebenso ~v (t) = d~r/dt.
Ein interessanter Spezialfall der Kreisbewegung ist der wenn die Schnelligkeit konstant ist, d.h.
der Geschwindigkeitsvektor ist immer gleich lang (auch wenn er seine Richtung ändert).
3.4.1
Konstante Schnelligkeit
Konstante Schnelligkeit bedeutet |~v | = v = const., d. h. der Betrag der Geschwindigkeit ändert
sich nicht, nur deren Richtung.
Wir berechnen vorerst
~r · ~r = r2 = konst
⇒
dr2
=0
dt
(3.76)
Aber es gilt auch die Produkteregel:
0=
dr2
d~r
d~r
=
· ~r + ~r ·
= 2~v · ~r
dt
dt
dt
(3.77)
Dabei bedeuten die Punkte immer das Skalarprodukt. Damit haben wir bewiesen, das ~v ⊥ ~r,
wie in der Skizze dargestellt: Die Richtung der Geschwindigkeit ist identisch mit der Richtung
der Tangente an die Bahn, an den Kreis mit Radius r.
v(t)
r(t)
Wie gross ist die Beschleunigung ~a = d~v /dt? Wir betrachten vorerst den Fall, wo der Betrag der
Geschwindigkeit konstant ist, also
v = |~v (t)| = konst
(3.78)
58
und wenden den analogen Trick wie oben an:
~v · ~v = v 2 = konst
⇒
dv 2
=0
dt
(3.79)
und wieder nach der Produkteregel
0=
dv 2
d~v
d~v
=
· ~v + ~v ·
= 2~a · ~v
dt
dt
dt
(3.80)
Offenbar gilt ~a ⊥ ~v . Da wir uns in der Ebene bewegen muss demnach ~a und ~r parallel oder
v ·~
r)
antiparallel sein. Wie wir gerade gesene haben gilt: ~v · ~r = 0. Damit gilt auch 0 = d(~dt
und
nach der Produktregel
d(~v · ~r)
d~v
d~r
0=
=
· ~r + ~v ·
= ~a · ~r + v 2
(3.81)
dt
dt
dt
Dividieren durch r und Umsortieren ergibt
~a ·
~r
v2
=−
r
r
(3.82)
Das Skalarprodukt ~a · ~rr gibt die Komponente von ~a in Richtung ~r an. Die Beschleunigung zeigt
also gegen den Mittelpunkt des Kreises (!), man nennt sie auch Zentripetalbeschleunigung. Sie
hat den Betrag aN = v 2 /r.
v(t)
a(t)
Diese Beschleunigung heisst auch Zentripetalbeschleunigung. Der Index N deutet an, dass die
Richtung der Zentripetalbeschleunigung senkrecht (normal) zur Bahn ist.
Die Komponente der Beschleunigung parallel zur Bahn heisst die Tangentialkomponente aT . Für
die Kreisbahn mit konstanter Schnelligkeit gilt
aT = 0
da sich die Schnelligkeit, sprich die Geschwindigkeit entlang der Bahn ja nicht ändert.
59
(3.83)