Rumpfskript zum Brückenkurs

Rumpfskript zur Vorlesung Mathematik-Brückenkurs
1/86
Mathematik Brückenkurs
im Fachbereich Informatik & Elektrotechnik
Rumpfskript V7
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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2/86
Inhaltsverzeichnis
1
Mengen ................................................................................................5
1.1
Grundbegriffe und Definitionen ................................................................................. 5
1.2
Mengenrelationen ..................................................................................................... 7
2
Zahlensysteme .................................................................................... 13
2.1
Reelle Zahlen............................................................................................................ 13
2.2
Komplexe Zahlen...................................................................................................... 27
3
Rechenoperationen ............................................................................. 36
3.1
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen ............................................................................. 36
3.2
Binomischer Lehrsatz ............................................................................................... 46
4
Vollständige Induktion ........................................................................ 53
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3/86
5
Gleichungen ........................................................................................ 56
5.1
Gleichungen 1. Grades mit einer Variablen .............................................................. 57
5.2
Gleichungen 2. Grades mit einer Variablen .............................................................. 57
5.3
Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen.................................................... 60
5.4
Zerlegung in Linearfaktoren ..................................................................................... 61
5.5
Wurzelgleichungen .................................................................................................. 67
5.6
Betragsgleichungen .................................................................................................. 71
5.7
Ungleichungen ......................................................................................................... 75
6
Lösungen zu den Übungsaufgaben....................................................... 79
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4/86
Ziel:
Mathematische Vorbereitung auf das Hochschulstudium im Fachbereich Informatik & Elektrotechnik an der
Fachhochschule Kiel.
Hinweis:
Grundlagen der Geometrie (Lehrsätze der elementaren Geometrie und grundlegende geometrische Körper)
werden in diesem Brückenkurs nicht behandelt und werden vorausgesetzt.
Zielgruppe:
Erstsemester im Fachbereich Informatik & Elektrotechnik
Literatur:
•
Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1, Vieweg Verlag
•
Papula, Mathematische Formelsammlung, Vieweg Verlag
•
Schäfer, Mathematik-Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Harri Deutsch Verlag
•
jedes einschlägige Lehrbuch der Ingenieurmathematik
Equation Section 1
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1
Mengen
1.1
Grundbegriffe und Definitionen
Definition:
5/86
Eine Menge ist eine Zusammenfassung einzelner wohl unterschiedener Objekte (Elemente)
zu einer Grundgesamtheit.
Beispiel:
•
Menge der natürlichen Zahlen,
•
Menge der Einwohner in Deutschland,
•
Menge der Studenten in diesem Semester u.ä.
Schreibweise:
Falls x ein Objekt der Menge M ist:
Falls x kein Objekt der Menge M ist:
x ∈ M ( x ist Element von M )
x ∉ M ( x ist nicht Element von M )
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6/86
Analytische Darstellungsformen:
{x|0 < x < 2 ∧ x ∈ }
•
Beschreibend:
M = {x |Eigenschaften von x} , z.B.
•
Aufzählend:
M = {1, 2, 3, 4}
(endliche Menge)
M = {1, 4,9,16, 25,....}
(unendliche Menge)
•
Leere Menge:
M ={
}
auch: M =
M
=
{∅}
Graphische Darstellung: Mengendiagramm (Venn-Diagramm):
M
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1.2
Mengenrelationen
1.2.1
Teilmengen
7/86
M1 ist eine Teilmenge von M , wenn jedes Element von M1 auch Element von M ist.
Definition:
Schreibweise: M1 ⊂ M
Sprechweise: „ M1 ist in M enthalten“ oder „ M1 ist Teilmenge von M “
M
M1
Beispiel:
=
M
{2, 3,7, 4, 5}
=
M1
{7, 4, 5}
⇒
M1 ⊂ M
=
M
{2, 3,7, 4, 5}
=
M1
{7, 4, 5,1}
⇒
M1 ⊄ M , da 1 ∉ M
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1.2.2
8/86
Gleichheit zweier Mengen
Definition:
Zwei Mengen M1 und M2 heißen genau dann gleich, wenn beide Mengen die gleichen
Elemente besitzen.
M1 = M2 ⇔ M1 ⊂ M2 ∧
M2 ⊂ M1
Symbole:
⇔
dann und nur dann, wenn …
∧ (∩)
(logisches) und
⊂
Teilmenge von (aus)
∨ (∪)
(logisches) oder
∈
Element von (aus)
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1.2.3
9/86
Mengenoperationen
1.2.3.1 Vereinigung zweier Mengen (Vereinigungsmenge)
Definition:
Zur Vereinigung M zweier Mengen M1 und M2 gehören genau die Elemente, die mindestens
in einer der beiden Mengen M1 oder M2 liegen.
Schreibweise: M= M1 ∪ M2
bzw.
M=
{x| x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 }
Sprechweise: „ M1 vereinigt mit M2 “
M2
M1
M
= M1 ∪ M2
Anmerkung:
M
= M1 ∪ M2 wird auch Disjunktion (Verbindung) genannt.
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10/86
1.2.3.2 Durchschnitt zweier Mengen (Schnittmenge)
Definition:
Zum Durchschnitt M zweier Mengen M1 und M2 gehören genau die Elemente, die sowohl in
M1 als auch in M2 liegen.
Schreibweise: M= M1 ∩ M2
bzw.
M=
{x|x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 }
Sprechweise: „ M1 geschnitten mit M2 “
M1
M2
M
= M1 ∩ M2
Anmerkung:
M
= M1 ∩ M2 wird auch Konjunktion (Verknüpfung) genannt.
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11/86
1.2.3.3 Differenz zweier Mengen (Differenzmenge, Restmenge)
Definition:
Zur Differenzmenge M zweier Mengen M1 und M2 gehören genau diejenigen Elemente von
M1 , die nicht gleichzeitig auch in M2 enthalten sind.
= M1 \ M2
Schreibweise: M
bzw.
M
=
{x|x ∈ M1 ∧ x ∉ M2 }
Sprechweise: „ M1 ohne M2 “
M2
M1
M = M1 \ M2
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12/86
Übungsaufgaben
1)
Berechnen Sie die Mengen M1 = A \ B und=
M2 A \ ( A ∩ B ) mit
A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4,6,8,10} .
2)
Formulieren Sie eine Schreibweise für die Menge M deren Elemente x entweder in der Menge M1
oder in der Menge M2 , aber nicht in der Schnittmenge von M1 und M2 liegen (" Exklusiv - Oder ").
3)
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Betrachten des Mengendiagramms:
a) A ∪ ( A \ B)
b) A ∩ ( A \ B)
c) A \( A ∪ B)
d) B ∪ ( A \ B)
e) A \( B \ A)
f) A \( A \ B)
Formelabschnitt 2
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2
Zahlensysteme
2.1
Reelle Zahlen
2.1.1
Natürliche Zahlen
Menge der natürlichen Zahlen:
13/86
 = {0,1, 2, 3, 4, 5,....}
=
\{0} {1, 2, 3, 4, 5,....}
 * =
Hinweis:
 bzw.  * sind abzählbar unendlich
Rechenregeln (Axiome)
•
Die Addition zweier natürlicher Zahlen a ∈  und b ∈  ist unbeschränkt ausführbar.
c= a + b existiert stets mit c ∈ 
Es gelten:
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Das Kommutativgesetz:
a+b=b+a
Das Assoziativgesetz:
a + ( b + c ) = ( a + b) + c
Das Monotoniegesetz:
a<b ⇒ a+c <b+c
mit a , b , c ∈ 
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•
14/86
Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen a ∈  und b ∈  ist unbeschränkt ausführbar.
c= a ⋅ b existiert stets mit c ∈ 
Es gelten:
Das Kommutativgesetz:
a⋅b = b⋅a
Das Assoziativgesetz:
a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b) ⋅ c
Das Monotoniegesetz:
a < b ⇒ a⋅c < b⋅c
Das Distributivgesetz:
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
c∈ *
Zusammenhang Addition – Multiplikation: a ⋅ b= a
+ a+
a +
a + ⋅⋅⋅⋅ +
a
b−mal
n
⋅ a ⋅
a = a
a ⋅⋅⋅⋅
a
n−mal
Anmerkung:
Binomische Formeln: ( a ± b ) =a 2 ± 2a b + b 2 (allg. binomische Formel siehe später)
2
( a + b) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
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15/86
•
Die Subtraktion (=Umkehrung der Addition) ist im Bereich der natürlichen Zahlen nur beschränkt
ausführbar: c = a - b ist nur definiert für b ≤ a .
•
Die Division (=Umkehrung der Multiplikation) ist im Bereich der natürlichen Zahlen nur sehr beschränkt
ausführbar: c =
Beispiel:=
c
a
ist nur definiert, wenn b Teiler von a ist.
b
24
= 4
6
(ACHTUNG: Die Division durch 0 ist prinzipiell ausgeschlossen!)
Anmerkung:
Wegen der Beschränktheit der Subtraktion in  ( c= a − b nur erlaubt für b ≤ a ) wurde das Zahlensystem
erweitert.
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2.1.2
16/86
Ganze Zahlen
Erweiterung der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.
Menge der ganzen Zahlen: = {....., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}
Vorzeichenregeln:
Definition:
Hinweis:
a + ( − a) = 0
−( − a) =
a
a − ( − b) = a + b
a ⋅ ( − b) =
−a ⋅ b
a
Absoluter Betrag a = 
−a
falls a ≥ 0
falls a < 0
a ist stets positiv.
Beispiele:
5 = 5 weil a= 5 > 0
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−7 = −( −7) = 7
weil a =−7 < 0
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17/86
Folgerungen:
a⋅b = a ⋅ b
a + b ≤ a + b " Dreiecksungleichung"
Rechenregeln:
•
Die Addition, Multiplikation und Subtraktion sind im Ganzzahlbereich  eindeutig definiert.
Es gelten das
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
bzgl. der o.g. Rechenoperationen
Anmerkung
Die Division ist in  nur eingeschränkt möglich, daher Erweiterung des Zahlenbereichs
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2.1.3
18/86
Rationale Zahlen
Erweiterung des Zahlenbereiches um Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen
a
b
( a ∈  ; b∈  * )
darstellen lassen.

a
*
Die Menge der rationalen Zahlen  =
 x | x = mit a∈  und b∈  
b


Rechenregeln:
Multiplikation
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Addition und Subtraktion
a c a⋅d ± b⋅c
± =
b d
b⋅d
Division
a c a⋅d
: =
b d b⋅c
Kürzen und Erweitern:
a⋅d a
a a⋅c
= bzw. =
b⋅d b
b b⋅c
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Satz:
19/86
Bei der Division zweier ganzer Zahlen ergibt sich in der Regel eine unendlich periodische
Dezimalzahl.
4
Beispiel:
= 1,=
333.... 1, 3
3
Hinweis:
Die rationalen Zahlen  sind bezüglich der Grundrechenarten (mit Ausnahme der Division durch 0 ) abgeschlossen; es gelten die vorgenannten Gesetze. Bei gewissen Rechenoperationen (z.B. Wurzelziehen, Logarithmieren
etc.) ist der Zahlenbereich  erweiterungsbedürftig.
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2.1.4
20/86
Irrationale Zahlen
Erweiterung der rationalen Zahlen  um die Menge der irrationalen Zahlen zum reellen Zahlenbereich  .
Beispiele:
1) Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck
c
a
⇒ c =2
⋅
b
Pythagoras:
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c 2 = 12 + 12 = 2
c
1
⋅
1
2
c=
a2 + b2
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2) Ist
21/86
2 eine rationale Zahl? Nein! Beweis über Widerspruch:
(2.1)
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22/86
Unterscheidung 2 Arten irrationaler Zahlen:
•
Algebraisch irrationale Zahlen:
Treten auf bei der Lösung algebraischer Gleichungen
mit rationalen Koeffizienten an x n + an−1x n−1 + ..... + a1x + a0 =
0.
Bsp.: x 2 − 2 = 0 ⇒ x =
•
2 ≈ 1, 4142
Transzendent irrationale Zahlen; z.B. π , e , ln (2) etc.
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2.1.5
23/86
Übersicht und Zahlengerade
Übersicht über die bisherigen Zahlenarten:
Natürliche Zahlen
 = {0; 1; 2; 3; }
Ganze Zahlen
=
{0; ± 1; ± 2; ± 3; }
Gebrochene Zahlen
1
1
1
= 0,=
2;
0, 33=
;
0,14287 
5
3
7
Rationale
Zahlen

Reelle
Zahlen

Algebraisch irrationale Zahlen
=
2 1,=
4142 ;
3 1,73205
Tranzendente Zahlen
Irrationale
Zahlen
e ; π ; sin(10°)
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Zahlengerade:
24/86
Darstellung der reellen Zahlen auf der „Zahlengeraden“
π
2
−3
=
a0 1
−2
−1
0
2
1
3
( a ≠ 0)
Sonderfälle:
0 ⋅ 0 = 0 ⇒ 0n = 0
0
0⋅a = 0 ⇒ = 0
a
n
Division durch 0 ist verboten!
0 = 0;
00,2 = 0
Folgende Ausdrücke sind nicht definiert:
0 −2 ; 0 0 ;
0
2
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25/86
Übungsaufgaben
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
4)
7 a −  3a − ( 7 + 5b ) +  a − ( 4 − 6b ) − ( 2a + 7 b ) =
5)
(a + b − c) ⋅ (a − b − c) =
7)
( 49a + 42a + 9) =
(144a − 81b ) : ( 27b + 36a ) =
8)
3 ⋅ ( a + b + c ) − 5 ⋅ ( a + b) − c − 2 ⋅ (b − c − a) =
9)
5 5 1 14 71
+ − +
+
=
18 6 3 27 81
10)
a
a
+
−2=
a−1 a+1
11)
1
a =
1 1
−
a a2
6)
2
4
2
2
1−
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12)
1
1 − ab =
1
1−
1 − ab
13)
1−
26/86
a+
1
1− a⋅
1
1+
=
b
a
14)
b2 − a2
=
−a − b
15)
3a − 1 3
− =
4a − 1 4
16)
1 + a 4 − a 2 a − 8 3a + 7
−
−
+ 2
=
a −1 1− a
1+ a
a −1
17)
 x
y  1 1
 2 − 2  :  −  =
x  x y
y
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2.2
27/86
Komplexe Zahlen
Die reellen Zahlen sind in Bezug auf Grundrechenarten abgeschlossen.
Aber:
Es gibt Rechenoperationen, die im Bereich der reellen Zahlen nicht möglich sind.
Beispiel:
Finde eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich −9 ist, also x 2 = −9
→ nicht möglich.
Einführung einer neuen Art von Zahlen: Imaginäre Zahlen
2.2.1
Einführung der imaginären Einheit j
Definition:
Die imaginäre Einheit j ist eine Zahl, deren Quadrat gleich −1 ist.
j2 =
− 1 → j = −1
Anmerkung:
In Mathematik/Physik wird die imaginäre Einheit üblicherweise mit i bezeichnet, also i=
In der Elektrotechnik: j= −1
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−1
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28/86
Einführung neuer Begriffe:
•
Multipliziert man die imaginäre Einheit j mit einer reellen Zahl b , so entsteht die imaginäre Zahl j ⋅ b ,
also z.B. 3 j , j 2 , − 5 j ,
•
Durch Zusammensetzung einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl entsteht eine komplexe Zahl
z = a + j⋅b
•
( a , b ∈ )
Man bezeichnet
a als den Realteil von z :
o
o
•
2
j etc.
3
b als den Imaginärteil von z :
a = Re(z) und
b = Im( z)
Zu z = a + j ⋅ b gehört die konjugiert komplexe Zahl z* = a − j ⋅ b
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2.2.2
•
29/86
Rechenregeln
Gleichheit:
Zwei komplexe Zahlen a + j b und c + j d sind gleich, wenn a = c und b = d ist
(Realteile gleich und Imaginärteile gleich)
•
Addition und Subtraktion:
Komplexe Zahlen werden addiert (subtrahiert), indem ihre Realteile sowie ihre Imaginärteile addiert
(subtrahiert) werden.
Beispiel:
(2.2)
© Prof. Dr. C. Neumann
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•
30/86
Multiplikation:
Wird durchgeführt nach den Rechenregeln für reelle Zahlen unter Beachtung j 2 = −1
(2.3)
© Prof. Dr. C. Neumann
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•
31/86
Division:
Vorgehensweise: Nenner durch Multiplikation mit seiner konjugiert komplexen Zahl reell machen
(2.4)
© Prof. Dr. C. Neumann
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32/86
Spezielle Werte:
j 0 = 1;
j1 = j ;
j 2 = −1;
j 3 = jj 2 = − j ;
j 4 = 1;
j 4 n = 1;
1 j
=
= − j;
j j2
1
1
= 2 =
= −1;
−1
j
j −1 =
j −2
(1 + j ) = (1 + j ) (1 + j )
4
2
2
(
= 1 + 2 j + j2
) = (2j)
2
2
= −4
4n
n +1
j 4=
jj=
j;
Hinweis: Vergleiche Kapitel „Komplexe Zahlen“ der Vorlesung Mathematik 1.
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2.2.3
33/86
Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene (C.F. Gauß 1777-1855; „princeps mathematicorum“)
Darstellung reeller Zahlen auf Zahlengerade
Darstellung komplexer Zahlen in der
Gaußschen Zahlenebene
Im( z)
y
π
2
−3
−2
−1
0
1
z= x + j y
2
3
ϕ
x
Re( z)
Kartesische (algebraische) Darstellung einer komplexen Zahl
z= x + j y ;
x = Re {z} ;
y = Im {z} ;
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34/86
Trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl:
Verwendung von Polarkoordinaten:
x=
r ⋅ cos ϕ ; y =
r ⋅ sin ϕ
z= x + jy
= r ⋅ cos ϕ + j ⋅ r ⋅ sin ϕ
= r (cos ϕ + j ⋅ sin ϕ )
Bezeichnungen:
=
r
z=
x 2 + y 2 :=Betrag der komplexen Zahl (Satz des Pythagoras)
y
ϕ = arctan   := Argument, Winkel oder Phase von z
x
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35/86
Übungsaufgaben
4
18)
 1
1 
+j
Berechnen Sie 
 .
2
 2
19)
Berechnen Sie
20)
Man bringe die komplexe =
Zahl z r(cos ϕ + j sin ϕ ) auf die Form z = a + j ⋅ b mit r = 6 und ϕ= 60° .
21)
=
z r(cos ϕ + j sin ϕ ) . Wie lauten r und ϕ ?
Man bringe z= 3 − j 3 auf die goniometrische Form
3 − 5j
sowie (2 + 3 j )3 .
2 + 3j
Formelabschnitt 3
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3
Rechenoperationen
3.1
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
a
⋅ a ⋅
a ⋅⋅
⋅ ⋅a = a n
36/86
( a = Basis; n = Exponent, Hochzahl)
n− mal
Ausgangspunkt: an = b
( b = Numerus)
Fallunterscheidung:
an = b
•
Potenzieren:
a , n gegeben; b gesucht:
•
Radizieren:
n
a b=
b , n gegeben; a gesucht: =
•
Logarithmieren:
a , b gegeben; n gesucht:
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1
n
b
n = log a b
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3.1.1
Potenzen
(
Rechenregeln: m, n ∈  * ; a , b ∈ 
Multiplikation
am ⋅ an =
a m+ n
a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n
n
37/86
m
?
a ⋅b =
)
Division
am
1
m− n
=
=
a
an
a n− m
an  a 
=
 
bn  b 
1
a−m = m
a
n
(b ≠ 0)
Potenz
(a ) = a
(a =
) a=
m
n
n
n
m⋅n
n⋅n
2
( )
an ≠ an
2
Hinweis:
Für a > 0, b > 0 gelten die Potenzregeln auch für beliebige reelle Exponenten
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3.1.2
38/86
Wurzeln
(
Rechenregeln: m, n ∈  * ; a ≥ 0, b ≥ 0
)
n
a⋅b =
n
a
=
b
n
m
=
a
© Prof. Dr. C. Neumann
n
a
n
b
a =
nm
n
n
a⋅nb
(b > 0)
m
an ;
1
1
m
m
=
a = a ⋅n
n
m⋅n
a
a+b ≠ n a + n b
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3.1.3
39/86
Logarithmen
( b = Numerus, a = Basis, n = Exponent)
Ausgangspunkt: an = b
Logarithmus:
„Mit welcher Zahl muss a potenziert werden, um b zu erhalten?“
Ursprünglich erklärt für n ∈  ; Verallgemeinerung: n → x ∈ 
Definition:
Rechenregeln:
a x = b → x = log a b
(mit a > 0; a ≠ 1)
Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist der Exponent x , mit dem a potenziert werden
muss, um den Numerus b zu erhalten.
( a > 0,
u > 0, v > 0, k ∈  , n ∈  *
log a ( u=
⋅ v ) log a (u) + log a (v)
u
log=
log a (u) − log a (v)
a 
v
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)
( )
log a uk = k ⋅ log a (u)
1
⋅ log a (u)
n
log ( a + b ) ≠ log a + log b
log a n u =
V7
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40/86
Abkürzende Schreibweisen:
Basis 10 :
log 10 ( u ) := lg ( u )
„briggscher-„ oder „dekadischer Logarithmus“
Basis e :
log e ( u ) := ln ( u )
„logarithmus naturalis“ oder „natürlicher Logarithmus“
Basis 2 :
log 2 ( u ) := lb ( u ) auch : ld ( u )
„binärer Logarithmus“
Besondere Ausdrücke und Zusammenhänge:
( )
1=
( a a)
=
log b 1 0=
b0 1
log
=
aa
1
 1

log b 0 → −∞  ∞ → 0 
b

(
x
log
x=
ax ax
=
aa
© Prof. Dr. C. Neumann
)
V7
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41/86
Umrechnung von der Basis a in die Basis b


log r
1
log b r =a =
K ⋅ log a r  K = =
const 
log a b
log a b


Spezialfälle:
lg r
Basiswechsel 10 → e : ln r = =
2, 3026 ⋅ lg r
lg e
© Prof. Dr. C. Neumann
ln r
Basiswechsel e → 10 : lg r = =
0, 4343 ⋅ ln r
ln 10
V7
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42/86
Übungsaufgaben
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
−2
22)
 x3 
x5
 −1  ⋅ −3 =
y
y 
23)
1 − 2 a 2 3a − 2
3
− n− 2 + n− 3 =
n
a
a
a
24)
4 3
x2 ⋅
6
x10 + 9 y 6 4 y12 =
b2
=
a2
25)
a⋅ 1+
26)
3
27)
a⋅b⋅ 3
28)
a x+ y ⋅ a x− y =
a b
⋅
=
b a
1
1
− 2 =
2
a
b
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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29)
b7 x + 5 y
b 4 x−5 y
−
b6 y +8 x
b5 x− 4 y
43/86
=
3
2
30)
 1
 2
6⋅−  + 5⋅−  =
 3
 3
31)
 nx+ a 
a
=
 nx 


32)
(n + x)
33)
16 a6 ⋅ b7 ÷ 4 a 4 ⋅ b 5 =
34)
3
c
35)
3
4
⋅ 4 (n + x) =
5
x x −4 x =
a) 2n3 x−2 a ⋅ nx+ a + 3a 2 x−3 y ⋅ 5a 3 x+ y =
 a2 
b)  3 
x 
 
−2
−1
 2x2 
⋅  2  ⋅ 2ax −4 =
 5a 


© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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u5 b
u3 u + v
a
36)
a) lg 6
37)
log
38)
lg 3
39)
3 
1
1
lg a + 2 lg c −  lg b 3 + lg a 2  =
2
3

40)
1
1
lg a 2 − ab + b 2 + lg ( a + b ) =
2
2
41)
a
lg   + lg ( ab ) − 2 lg ( a − b ) =
b
42)
log 5 x = −2
43)
lg
(x ⋅ y)
a
=
b) log a
2 a + b ⋅ a3 ⋅ b2
3
c ⋅ (a + c)
2
c) log c
44/86
c7 − c4
b
=
ac 2
=
bd
(
)
1
=
10
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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45/86
44)
Finden Sie die Basis b , für die gilt: logb 16 = log 6 36
45)
Zeigen Sie: a 4 log a b = b 4
46)
Mit welchem Faktor muss man einen natürlichen Logarithmus multiplizieren, um den entsprechenden
dekadischen Logarithmus zu erhalten?
47)
Die Gleichung A ⋅ BC⋅lg D+ E =
F ist nach B bzw. nach D aufzulösen.
48)
Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen:
1
a) 2 lg x − lg y
2
x
y
b) lg   + lg ( x ⋅ y ) − 3 lg ( x − y )
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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3.2
46/86
Binomischer Lehrsatz
Der Ausdruck a ± b heißt „Binom“ und ist Summe oder Differenz 2er „Monome“.
Bildet man Potenzen des Binoms, so ergibt sich durch Ausmultiplizieren:
( a + b) 0 =
1
( a + b)1 = 1 ⋅ a + 1 ⋅ b
( a + b) 2 = 1 ⋅ a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + 1 ⋅ b 2
( a + b) 3 = 1 ⋅ a 3 + 3 ⋅ a 2 ⋅ b + 3 ⋅ a ⋅ b 2 + 1 ⋅ b 3


© Prof. Dr. C. Neumann



V7
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47/86
Gesetzmäßigkeit über das Pascalsche Dreieck (Blaise Pascal 1623 – 1662):
( a + b)
0
1
( a + b)
1
( a + b)
2
( a + b)
3
( a + b)
4
( a + b)
5
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
⇒ ( a + b ) = 1 ⋅ a 5 + 5 ⋅ a 4 ⋅ b1 + 10 ⋅ a 3 ⋅ b 2 + 10 ⋅ a 2 ⋅ b 3 + 5 ⋅ a1 ⋅ b 4 + 1 ⋅ b 5
5
Man erkennt:
© Prof. Dr. C. Neumann
Die erste und letzte Zahl einer Zeile ist immer 1
Die anderen Zahlen ergeben sich als Summe der jeweils links und rechts darüber stehenden
Zahlen der Zeile zuvor.
V7
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48/86
Andere Berechnung der Koeffizienten:
(3.1)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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49/86
Einführung von Kurzschreibweisen (Euler 1707-1783):
(3.2)
( a=
+ b) n
( a − b) n =
n
 n
∑  k  a n− k ⋅ b k
k =0 

n
 n
k =0
 
∑ (−1)k  k  an−k ⋅ bk
mit n, k ∈  *
mit n, k ∈  *
 n
 n  n
=
 Binomialkoeffizienten mit =
 =
 1
k
 0   n
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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50/86
Anmerkungen:
Weitere Kurzschreibweise: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅n := n !
(Lies: „ n -Fakultät“)
Aus der Definition folgt sofort: (n + 1)! = 1
⋅ 2
⋅ 3
⋅ 4 ⋅⋅⋅⋅
n ⋅ (n + 1) = (n + 1) ⋅ n !
n!
 n
Damit gilt für die Binomialkoeffizienten   :
k
 n
 
k
=
 n
⇒ 
k
(
)
(
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ n − ( k − 1)
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ n − ( k − 1)
=
k!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ k
(
)
)
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ n − ( k − 1) ⋅ ( n − k ) ⋅ (n − k − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
n!
k !(n − k ) !
© Prof. Dr. C. Neumann
k ! ⋅ ( n − k ) ⋅ (n − k − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
( n, k ∈  ; n ≥ k )
*
V7
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51/86
Spezialfälle:
(3.3)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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52/86
Übungsaufgaben
49)
Berechnen Sie:
53)
 13 
 10 
a)   b)  
4
5
k =0 

ist zu beweisen.
Man setze im binomischen
Lehrsatz a= b= 1 .
Entwickeln Sie (3 p 2 − 2 q )4 .
51)
Wie lautet der konstante Term - also der
54)
Term, der kein x enthält -
52)
 n
Anleitung:
50)

in  2x 2 +

n
∑  k  = 2n
 n  n  n
Man zeige:   +   +   + ⋅⋅⋅⋅ = 2n−1
 0  2  4
Anleitung:
9
1
?
x 
Man setze im binomischen
Lehrsatz a = 1 und b = −1 und verwende
3 17
Wie lautet der 5. Term in (2 + 2 x )
vorhergehende Aufgabe.
?
55)
Welchen Koeffizienten hat der Term im
Ausdruck ?
Formelabschnitt (nächster)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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4
53/86
Vollständige Induktion
(lat. inducere = hinführen)
Grundlegendes Beweisverfahren in Logik und Mathematik
Anwendbar auf Aussagen, die aus einer Folge von Teilaussagen bestehen, also ein gewisses „ n “ enthalten.
Vorgehensweise:
1)
Beweis für das (i.a.) kleinste n , für das die Aussage gelten soll, auf direktem Weg.
2)
Induktionsannahme: Aussage gelte für ein festes, aber beliebiges n
3)
Zeigen, dass wenn die Aussage für n gilt, sie auch für n + 1 gelten muss
(Schluss von n auf n + 1 )
Beispiel:
Eine Behauptung lautet: Für alle n ≥ 1 gilt
n
∑ k2 =
k =1
© Prof. Dr. C. Neumann
1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
6
V7
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54/86
Beweis:
(4.1)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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55/86
Übungsaufgaben
56)
Beweisen Sie durch " Schluss von n auf n + 1 " ( vollständige Induktion ), dass gilt:
a)
n
∑ ( 6 k − 5 )=
n(3n − 2)
k =1
2
c) 1 + 2 + 2 +  2
57)
n−1
n
= 2 −1
 n(n + 1) 
b) 1 + 2 + 3 +  + n =
 2 


3
3
3
3
1 − xn
d) 1 + x + x + 
=
+x
1− x
2
n−1
2
( x ≠ 1)
Beweisen Sie durch „Schluss von n auf n + 1 " (vollständige Induktion), dass der Ausdruck x 2 n − y 2 n
durch ( x + y) teilbar ist ( n ∈  ; x , y ∈  ) .
Formelabschnitt (nächster)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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5
56/86
Gleichungen
Einteilung der Gleichungen z.B. nach
•
Anzahl der auftretenden Variablen
o Gleichung mit einer Variablen
o Gleichung mit zwei Variablen, etc.
•
Art der Verknüpfung der Variablen und Zahlen
algebraischen Gleichungen:
rationale Rechenoperationen +, -, *, / und das Radizieren (=Wurzelziehen) existieren endlich oft, ohne dass
die Variable im Exponenten erscheint,
•
•
an x n + an−1x n−1 + ..... + a1x + a=
0
0
(n ∈  ; alle ai (=
i 1,..., n) reell)
Polynom
Falls n = 1 :
Falls n = 2 :
Gleichung 1. Grades
Gleichung 2. Grades, etc.
transzendente Gleichungen, z.B.
sin x − cos x =
1;
© Prof. Dr. C. Neumann
2 3 x +7 = 5 x + 2 ;
2 ln( x + 3) =x + sin x ;
etc.
V7
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5.1
Gleichungen 1. Grades mit einer Variablen
Die Gleichung a ⋅=
x+b 0
5.2
57/86
( a ≠ 0) hat genau eine Lösung x = x1 = −
b
a
Gleichungen 2. Grades mit einer Variablen
a ⋅ x2 + b =
⋅x+c 0
b
c
( a ≠ 0) stets überführbar in x 2 + ⋅ x + =
0
a
a


p
q
(5.1)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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58/86
Vietascher Wurzelsatz (François Viète 1540-1603): x1 + x2 =
− p und x1 ⋅ x2 =
q


D1 = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 

bzw.
Diskriminante: Ausdruck unter der Wurzel
  Diskriminante

2
 p
=
D2   − q 

2
Es ergeben sich 3 Typen von Lösungen:
•
D > 0:
2 reelle Lösungen x1 und x2 mit x1 ≠ x2
•
D=0 :
1 reelle Lösung x=
x=
x
1
2
•
D < 0:
keine reellen Lösungen (komplexe Lösungen)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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59/86
Beispiele
(5.2)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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5.3
60/86
Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen
n=3
analytische Lösungen (Cardanische Formel) vorhanden; aber umständlich in der Anwendung.
n=4
analytische Lösungen vorhanden; sind aber für die Praxis kaum brauchbar.
n>4
keine analytischen Lösungen möglich, nur numerisch lösbar.
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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5.4
61/86
Zerlegung in Linearfaktoren
Algebraische Gleichung 2. Grades a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c =
0
Zuweisung:
Polynom f ( x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c
Nullstellen des Polynoms:
(5.3)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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62/86
Algebraische Gleichung 3. Grades a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d =0
(5.4)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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Für ein Polynom n-ten Grades
Satz 1:
63/86
f ( x) = an x n + an−1x n−1 + ..... + a1x + a0
gelten folgende Sätze:
Besitzt das Polynom f ( x) an der Stelle x = x1 eine Nullstelle, so gilt: f ( x=
) ( x − x1 ) g( x)
( x − x1 ) heißt Linearfaktor
g( x) = reduziertes Polynom
Satz 2:
Ein Polynom n − ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen
Satz 3:
Besitzt
f ( x) = an x n + an−1x n−1 + ..... + a1x + a0
genau n reelle Nullstellen, so gilt:
f=
( x) an ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( x − xn )
Satz 4:
Fundamentalsatz der Algebra (C.F. Gauß, Dissertation 1799)
Eine algebraische Gleichung n − ten Grades hat stets n Wurzeln
(diese sind evtl. komplex und evtl. mehrfach)
Satz 5:
Hat eine Gleichung . n − ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung, so
ist diese als Teiler in dem absoluten Glied enthalten (Vieta)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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64/86
(5.5)
Hinweis:
Bei einer doppelten ( n − fachen) Nullstelle tritt der zugehörige Linearterm doppelt ( n − fach) auf.
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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65/86
Übungsaufgaben
Lösen Sie die Gleichungen nach x auf:
58)
a)
x
x
−=
b
+b
a−b
a+b
f) ( a − b ) − x 2 =
b)
a+x
x+1
+ a = a⋅
+1
x
a+x
g)
c) 2 ⋅  x ⋅ ( 2 x + a ) − a 2  = ( 2 x − 1) ⋅ ( 2 x − a )


59)
d)
4x + 3
x − 3 3x + 8
−1= 4 −
+
− 4, 25
3
6
4
e)
2x + 1
6
x − 2 x −1
+
=
+
9
x+2
2
3
2
h)
( x − a) ⋅ ( x − a + b)
3 1
1
− =
2 6 2 1
+
3 x
20 + x 9 x 2 + x + 2 5 − 3x 10 − 4 x
−
= −
x+1
2x − 2
3x + 3
6x2 − 6
Lösen Sie die quadratischen Gleichungen
a) (3x − 7) ⋅ ( x + 2) =
0
c) x 2 + 5 x + 6 =
0
b) 3x 2 + 5 x =
0
d) 3x 2 − 5 x + 4 =
0
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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60)
( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) =4 ⋅ ( x + 2 )
2
66/86
61)
Gegeben sei x 2 + 2 ⋅ ( k + 2) ⋅ x + 9 k =
0.
Für welches k fallen die Nullstellen dieser
quadratischen Gleichung zusammen?
62)
Ermitteln Sie die Lösungen (Wurzeln) der kubischen Gleichung x 3 − 3x 2 + 3x + 7 =
0
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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5.5
67/86
Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen:
Die Unbekannte x tritt in Wurzelausdrücken auf.
Lösungsverfahren:
1) Wurzelausdruck isolieren (evtl. mehrere Schritte nötig)
2) Quadrieren (bzw. potenzieren)
3) Nach der Unbekannten x auflösen
4) Probe ist Teil der Lösung!
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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68/86
Beispiel:
(5.6)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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69/86
Übungsaufgaben
Lösen Sie die Gleichungen nach x auf
63)
3−2 x =
−4
73)
2 x + 19 + 5 =
0
16 2 x−2 = 2 3 x−2
64)
x −1 + x +8 =
9
74)
65)
16 + 3 7 x − 5 =
2 7
75)
3 x −7 = 9 x + 4
66)
x + 3 + 2 (x − 4) =
76)
3
2
 
67)
2 x − 3 + 5 − 3x =
0
68)
x + 15 − 10 − x =
1
69)
x + 1 + 2x + 3 − 8x + 1 =
0
70)
3
15
x+3
77)
28 − 2 x − 3 =
3
71)
( 3n + x ) ⋅ (
72)
7 + 3 2x + 4 =
16
© Prof. Dr. C. Neumann
)
x − 2n =−
x n
2
x+1
2
= 
3
p = p0 ⋅ e
−3
− ρ ⋅g⋅h
p0
n−1
 n
T1  p1
78)
=
 
T2  p2 
→h= ?
=
→n ?
79)
2 ln x = ln 16
80)
lg ( 2 x + 3=
) lg ( x − 1) + 1
81)
5 lg x= 2 ⋅ 3lg x
V7
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82)
lg x 2= 3 ⋅ lg 4
83)
ln
84)
lg ( x − 1) + lg=
3 lg x − 1
1+ x
=a
1− x
© Prof. Dr. C. Neumann
(
2
)
70/86
(
) (
ax + 1 + lg
85)
lg
86)
1
1 1
+ =ln x
ln x 2 2
)
ax − 1 − 2 lg ( ax − 1) − 1 =
0
V7
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5.6
71/86
Betragsgleichungen
Die Unbekannte x tritt unter dem Absolutzeichen auf.
Lösung erfolgt über Fallunterscheidung
a
a =
−a
falls a ≥ 0
falls a < 0
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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Beispiel:
72/86
x − 1 =− x 2 + 5
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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73/86
(5.7)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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74/86
Übungsaufgaben
Für welche x ∈  gilt:
87)
x2 − x =
24
89)
x +1 = x −1
88)
x2 − 2 =
x
90)
2 x + 4 =− x 2 − x − 6
© Prof. Dr. C. Neumann
(
)
V7
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5.7
75/86
Ungleichungen
Beispiel:
2x + 5 > 9
Gesucht: x = ?
Regeln:
•
Addition oder Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten der Ungleichung ist erlaubt.
•
Multiplikation oder Division der Ungleichung mit einer positiven Zahl c > 0 ist erlaubt.
•
Multiplikation oder Division einer Ungleichung mit einer negativen Zahl c < 0 ändert das Relationszeichen:
>
<


≥
≤
aus 
wird 
<
>
≤
≥
Hinweis:
Die Lösungen sind oft Intervalle.
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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Beispiel:
76/86
Für welche x gilt: 2 x + 5 ≤ x + 4 ?
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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77/86
(5.8)
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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78/86
Übungsaufgaben
Für welche x ∈  gilt:
91)
x2 − x − 2 ≤ 0 ?
94)
x2 − 9 < x − 1
92)
( x − 1)
95)
93)
x2 + x − 1 ≥ 0
x −1
<1
x+1
2
≤ x
© Prof. Dr. C. Neumann
V7
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6
79/86
Lösungen zu den Übungsaufgaben
Mengen:
M2 {=
1, 3}
{1, 3};=
1)
=
M1
2)
=
M
3)
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Betrachten des Mengendiagramms:
{x|( x ∈ M
1
M1
}
∨ x ∈ M2 ) ∧ x ∉ ( M1 ∩ M2 )
a) A
e) A
b) A \ B
f) A ∩ B
c) {
}
d) A ∪ B
Vereinfachen von Ausdrücken
4)
3a + 4 b + 3
7)
4 a 2 − 3b
5)
a 2 − 2ac − b 2 + c 2
8)
−4 ( b − c )
6)
(7a + 3)
2
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V7
Rumpfskript zur Vorlesung Mathematik-Brückenkurs
80/86
Bruchrechnung:
9)
10)
176
81
2
a2 − 1
14)
a−b
15)
−1
4 ⋅ ( 4 a − 1)
−2a 2 + 18 a + 4
a2 − 1
11)
a
16)
12)
a 2b − a − 1
ab
17)
−
13)
a2
a2 − a − b
y
x
−1−
y
x
Komplexe Zahlen
18)
−1
20)
3+3 3⋅j
19)
−9 19
−
j ; − 46 + 9 j
13 13
21)
r=
2 3; ϕ =
−30°
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81/86
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
22)
y
x
23)
1
an
24)
x+y
25)
a2 + b2
26)
6
b
a
27)
3
ab b 2 − a 2
28)
a 2x
29)
0
30)
2
31)
nc
(
32)
(n + x)
33)
4a b
34)
−3 x =
35)
a) 2n4 x−a + 15a 5 x−2 y
36)
a)
)
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2
b)
5
a
1
1

5 lg u + lg b − a ( lg x + lg y )

6
2

b) 3 log a u +
(
1
log a ( u + v ) − 1
2
)
c) 4 + log c c 3 − 1 − log c b
37)
log 2 +
1
log ( a + b ) + 3 log a + 2 log b
2
1
− log c − 2 log ( a + c )
3
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38)
1
 lg a + 2 lg c − lg b − lg d 
3
39)
 c2 
lg  
b
40)
lg
41)
 a 
lg 

a−b
42)
x=
(
a3 + b3
)
2
1
25
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82/86
1
2
43)
−
44)
b=4
45)
identische Ausdrücke
46)
=
k lg
=
e
1
ln 10
1
C
⋅
lg
 D+ E
F
47)
B =
; D 10
=

 A
48)
lg F − lg A − E⋅lg B
C⋅lg B


x2 

a) lg
b) lg
 ( x − y )3 
y


x2
V7
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83/86
Binomischer Lehrsatz
49)
Berechnen Sie:
a) 715
b) 252
50)
81p8 − 216 p6 q +
51)
672
3
4
2 2
216 p q − 96 p q
+ 16q 2
52)
2380 ⋅ 217 x12
53)
Behauptung stimmt
54)
Behauptung stimmt
55)
1080
Vollständige Induktion
56)
Behauptungen stimmen
57)
Behauptung stimmt
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84/86
Gleichungen
Lösen Sie die Gleichung nach x auf
58)
a) a 2 − b 2
d) 3
b) −1
e)
c) x =
a
2
b
−40
; 4 f) a − b;
2
11
g) 12
h)
−17
; −2
2
Quadratische Gleichungen:
59)
a)
7
−5
; −2 b) 0,
3
3
c) −3, −2 d)
62)
60)
3; −1; −2
61)
4;1
5 ± j 23
6
x0 =
−1; x1,2 =
2± j 3
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85/86
Wurzel-, Exponential- u. logarithm. Gleichungen
63)
49
4
76)
2
77)
p0
p
ln 0
ρg p
64)
17
65)
3
66)
6
67)
2
68)
1
69)
3
79)
4
70)
2
80)
71)
25n2
13
8
81)
22,75
72)
5
2
82)
±8
73)
keine Lösung
83)
74)
2
ea − 1
ea + 1
75)
−15
84)
2
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ln
78)
ln
p2
p1
T1
p
− ln 1
T2
p2
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85)
11
10a
86/86
86)
e 2 ; e −1
Betragsgleichungen
87)
−4, 42443; 5, 42443
89)
0
88)
1; 2
90)
−2; 1
94)
−3,702 < x < −2, 372
∧ 2,702 < x < 3, 372
95)
x > −1
Ungleichungen
91)
−1 ≤ x ≤ 2
92)
3− 5
3+ 5
≤x≤
2
2
93)

−1 − 5
−1 + 5 
∨x≥
 x| x ≤

2
2 

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