Experimentelle Physik I – Formelsammlung

Experimentelle Physik I - Formelsammlung
Christian Pommranz, WS 2011/2012
Experimentelle Physik I – Formelsammlung
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung........................................................................................................................................ 2
1.1 Was ist Physik?........................................................................................................................ 2
1.2 Physikalische Größen und Maßeinheiten..........................................................................2
1.3 Messfehler............................................................................................................................... 2
2 Mechanik......................................................................................................................................... 2
2.1 Mechanik von Massepunkten.............................................................................................. 2
2.1.1 Kinematik, Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung.............................2
2.1.2 Die Newtonschen Gesetze, der Begriff der Kraft....................................................3
2.1.3 Erhaltungssätze der Mechanik.................................................................................... 3
2.1.4 Stoßprozesse.................................................................................................................. 4
2.1.4.1 Elastische Stöße..................................................................................................... 4
2.1.4.2 Inelastische Stöße.................................................................................................. 4
2.1.4.3 Schiefer zentraler Stoß......................................................................................... 5
2.1.5 Reibung............................................................................................................................ 5
2.1.6 Harmonische Schwingungen........................................................................................ 5
2.1.6.1 Deterministisches Chaos...................................................................................... 7
2.1.7 Drehbewegungen, Drehmoment, Drehimpuls und Trägheitsmoment................7
2.1.8 Die Planetenbahnen und die Keplerschen Gesetze.................................................8
2.1.9 Rotierende Bezugssysteme......................................................................................... 8
2.2 Mechanik starrer (ausgedehnter) Körper..........................................................................8
2.3 Wellenausbreitung in der Mechanik.................................................................................10
2.3.1 Die Wellengleichung................................................................................................... 10
2.3.2 Gruppengeschwindigkeit........................................................................................... 11
2.3.3 Fourierreihenentwicklung.......................................................................................... 11
2.3.4 Der Doppler Effekt...................................................................................................... 12
2.4 Hydromechanik.................................................................................................................... 12
2.4.1 Statik.............................................................................................................................. 12
2.4.2 Dynamik......................................................................................................................... 12
2.4.3 Differentielle Formulierung der Hydrodynamik....................................................13
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1 Einleitung
1.1 Was ist Physik?
1.2 Physikalische Größen und Maßeinheiten
1.3 Messfehler
N
∑ ti
Arithmetischer Mittelwert: <t >:= i=1
N
Standardabweichung der Einzelmessung: σt :=
√
N
∑ (ti−< t>)2
i=1
√∑
N
Standardabweichung des Mittelwerts: σ< t > =
Andere Form von σt : σt =
√
i=1
N
(t i−< t >)2
=
N
N
N
N
i=1
i=1
i=1
σt
√N
(∑ t 2i −2< t > ∑ t i +∑ <t >2 )
N
= √< t >−< t>2
2
√
∂ G )2 σ2 +( ∂G )2 σ 2+...
Fehlerfortpflanzung: Größe G(x,y,...) σG = (
x
y
∂x
∂y
2 Mechanik
2.1 Mechanik von Massepunkten
2.1.1 Kinematik, Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung
t
dx
Geschwindigkeit: v :=
mit Umkehrung x (t)=x0 +∫ v (t ')dt '
dt
t
mit x (t=t 0 )=x 0
0
Impuls: p :=m⋅v
t
dv
Beschleunigung: a :=
mit Umkehrung v (t)=v 0 +∫ a(t ')dt '
dt
t
0
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mit v (t=t 0)=v 0
2.1.2 Die Newtonschen Gesetze, der Begriff der Kraft
In Intertialsystemen gilt (Newtonsche Axiome):
1. Trägheitsgesetz:
Jeder Körper, auf den keine Kräfte wirken, verharrt im Zustand der
Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung (d.h. ⃗
v =const ).
2. Aktionsgesetz:
⃗ ⃗
dp
=F
dt
3. actio = reactio
F⃗12=−F⃗21
m m
Das Gravitationsgesetz: F⃗21=−γ 1 2 2 ⃗r̂ mit ⃗r Verbindungsvektor
∣⃗r∣
zwischen Massenpunkt 1 und 2 und γ≈6,670⋅10−11
m3
kg⋅s2
⃗
Spezialfall Gravitation in Erdnähe mit F=−m⋅g⋅
e⃗z ,
m
m
24
g=−γ 2Erde ≈9,82 2 , mErde≈5,97⋅10 kg und
R Erde
s
6m
RErde ≈6,371⋅10
f (n) ( x0 )
⋅(x−x 0 )
n!
n=0
∞
Taylorreihenentwicklung: f ( x)=∑
Hookesches Gesetz: F=−Dx
2.1.3 Erhaltungssätze der Mechanik
Arbeit: Arbeit = Kraft x Weg
Δ W=: ⃗
F⋅Δ ⃗r
(Kraftkomponente tangential zum Weg)
r⃗2
W12=∑ ⃗
F( ⃗
ri )⋅Δ ⃗
ri →
i
t2
∫ ⃗F(⃗r )⋅d ⃗r
r⃗1
=
∫ ⃗F(⃗r (t))⋅ddtr ⋅dt
⃗
(Wegintegral)
t1
T
⃗ f := ∂ f , ∂ f , ∂f Gradient einer Funktion f ( ⃗r )
grad(f ) := ∇
∂ x ∂ y ∂z
⃗ x⃗
rot ⃗f := ∇
f := ∂ f z− ∂ f y , ∂ f x − ∂ f z , ∂ f y− ∂ f x Rotation
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(
)
(
)
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eines Vektors ⃗f ( ⃗r )
Ein Kraftfeld ⃗
F( ⃗r ) ist Konservativ ⇔ Das Arbeitsintegral ist
wegunabhängig ⇔ rot ⃗
F=0 ⇔ ∃V : ⃗
F=−grad V . V = pot. Energie
Energieerhaltung: Annahme: ⃗
F ist konservativ
r⃗2
r⃗2
W12=∫ −⃗
F⋅d ⃗r =
r⃗1
∫ grad V⋅d ⃗r
= V( r⃗2 )−V( r⃗1 )
r⃗1
r⃗2
alternativ: W12=−∫
r⃗1
d⃗
p d ⃗r
1
1
2
2
⋅ ⋅dt = m v⃗1 − m v⃗2
dt dt
2
2
1
1
2
2
⇒ V ( r⃗1 )+ m v⃗1 =V( r⃗2 )+ m v⃗2 ⇔ E kin +Epot = const.
2
2
Leistung: P:=
dW
dt
Impulserhaltung: In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine
Erhaltungsgröße.
2.1.4 Stoßprozesse
2.1.4.1 Elastische Stöße
Es gelten Energie- und Impulserhaltung.
(m −m2 )v 1 +2m2 v 2
(m −m1 ) v2 + 2m1 v1
⇒ v1 '= 1
analog v 2 '= 2
m1 +m2
m1 +m2
Spezialfälle:
1. m1 =m2 , v 1 ≠0 , v 2 =0 ⇒ v1 '=0 , v 2 '=v1
2. m2 →∞ , v 2 =0 , v 1 ≠0 ⇒ v1 '=−v1 , v 2 '=0
1
2
3. v 2 =0 , m2 =2m1 ⇒ v1 '=− v1 , v 2 '= v 1
3
3
4. v 2 =−v 1 , m1 =m2 ⇒ v1 '=v 2 , v 2 '=v1
2.1.4.2 Inelastische Stöße
1
1
2 1
2
2 1
2
m1 v1 + m2 v2 = m1 v 1 ' + m2 v 2 ' +Δ W
2
2
2
2
Spezialfall: total inelastischer Stoß: v 1 '=v2 '=v '
m v + m2 v2
m1 m2
Impulserhaltung: v '= 1 1
⇒ Δ W=
⋅( v −v )2
m1 + m2
2(m1 +m2 ) 1 2
Modifizierte Energieerhaltung:
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2.1.4.3 Schiefer zentraler Stoß
Mit m2 ≫m1 : Einfallswinkel = Ausfallswinkel
2.1.5 Reibung
F R=μ FN , auf schiefer Ebene: FN=cos(α)⋅F G , FT =sin (α)⋅F G
Beim ruhenden Körper gilt FR=−FT bis FT > μH FR ⇒ tan(α) > μ H
Gleitreibungskoeffizient stets kleiner als Haftreibungskoeffizient: μG < μ H
Stokessche Reibung: F⃗R=−γ S ⃗
v
Freier Fall mit Reibung: Bewegungsgleichung:
dv γ s
+ ⋅v=−g
dt m
t
m⋅g
−
m
Lösung: v (t)=− γ (1−e τ ) mit τ= γ
s
s
2.1.6 Harmonische Schwingungen
Allgemeine Bewegungsgleichung: m
d2 x
dx
+ γs
+ Dx=FExt
2
dt
dt
Freie Schwingungen: F Ext =0
2
ohne Reibung: γs =0 ⇒ m
⇒ ω=±
√
d x
+ Dx=0
2
dt
D
Kreisfrequenz [ ω aus Ansatz x (t)=A⋅cos(ω t) ]
m
2π
T= ω Periodendauer
1
f= = ω Frequenz
T 2π
mit Reibung: m
d2 x
dx
+ γs
+ Dx=0
2
dt
dt
√
γs
γ2s
D
mit Ansatz x (t)=A⋅e ⇒ a=−
±
−
2
2m
4m m
Was passiert, wenn der Radikant negativ wird?
Mit √ −1=:i imaginäre Einheit:
γs
γ 2s
γ
D
⇒ a=−
±i
−
= − s ±iω = ℜ(a)±i ℑ(a) = x + iy
2
2m
m 4m
2m
at
√
Einschub: Aus Darstellung in komplexer Zahlenebene:
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x=∣a∣⋅cos(ϕ) , y=∣a∣⋅sin(ϕ)
2
y
2
2
Umkehrung: ∣a∣ =x + y , tan(ϕ)=
x
iϕ
Eulersche Formel: e =cos(ϕ)+isin(ϕ)
√
γ2s
D
Eigenfrequenz: ω=
−
<
m 4m2
•
•
•
√
D
für γs >0
m
Schwingfall:
γ2s
D
aperiodischer Grenzfall:
−
=0
m 4m2
γ2s
D
Kriechfall:
−
<0
m 4m2
Stangenpendel:
FT
d2 s
ds
s
,
, mit α= ⇒ s=α⋅l
sin(α)=
m 2 = F T +F R = −m⋅g⋅sin(α)−γ s
dt
l
FG
dt
d 2 α γs dα g
+ ⋅
+ ⋅sin (α) = 0
m dt
l
dt2
2
d α γs dα g
Mathematisches Stangenpendel:
+ ⋅
+ ⋅α = 0 für sin( α)≈α
2
m dt
l
dt
2
d x γ s dx D
Federpendel:
+ ⋅ + x=0
dt 2 m dt m
Physikalisches Stangenpendel:
d2 x
+ Dx=F 0⋅cos(Ω t)
2
dt
F0
m
D
spezieller Ansatz: x (t)=A⋅cos(Ωt) ⇒ A= 2
mit ω=
2
m
ω −Ω
Periodische Anregung ohne Dämpfung: m
√
Resonanzkatastrophe: Wie kommt es zu A →∞ ?
Selbe Bewegungsgleichung, dabei sei Ω=ω=
Ansatz: x (t)=t⋅A⋅sin (ω t) ⇒
x (t)=
F0
⋅t⋅sin(ω t)
2mw
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F
A= 0
2mw
√
D
m
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2.1.6.1 Deterministisches Chaos
Bewegungsgleichung harmonisch getriebenes physikalisches Pendel:
2
d α γs d α g
1
+ ⋅ + ⋅sin( α)= ⋅F0⋅cos (Ωt)
2
m
dt
l
ml
dt
→ Probleme werden zu schwer, um sie analytisch zu lösen
→ Computerexperiment (Ursprüngliche Fragestellung: α (t)=? ,
Reduzierte Fragestellung: α (t=n⋅T)=x n=? mit n∈ℕ
Annahme: x n lässt sich schreiben als: x n =f ( xn−1 ) (diskrete, rekursive
Abbildung, nicht immer möglich)
Stellt man den Anfangswert x 0 binär dar, erkennt man (Treppenform
im Vorlesungsmitschrieb):
→ x N wird durch N-te Stelle von x 0 bestimmt
→ Irgendwann werden winzige Abweichungen sehr groß
→ Exponentielles Anwachsen einer Anfangsabweichung
→ Differenz ϵ zwischen x 0 und x 0 + ϵ wird zu ϵ⋅eN⋅λ zwischen f N (x0 )
und f N (xo +ϵ) mit Liapunov-Exponent λ
→ ϵ⋅eN⋅λ =∣f N (x o+ ϵ)−f N (x 0 )∣
N−1
1
→ λ=lim ∑ ln (∣f '(xN )∣)
N →∞ N n=0
•
•
•
λ <0 : stabiles Verhalten
λ=0 : indifferentes Verhalten
λ >0 : deterministisch chaotisches Verhalten
2.1.7 Drehbewegungen, Drehmoment, Drehimpuls und Trägheitsmoment
Winkel: ϕ=ω⋅t
[Analogie: x=v⋅t ]
⃗ aus „Rechte-Hand-Regel“
Richtung von ω
Kreisbahn: ⃗r (t)=r⋅ cos (ω t)
sin (ω t)
(
)
v (t)=r⋅ω⋅ −sin(ωt) , v=r⋅ω und ⃗
Geschwindigkeit: ⃗
v =ω×
⃗ ⃗r
( cos(ωt) )
Drehimpuls: ⃗
[Analogie: ⃗
L := ⃗r ×⃗
p, ⃗
L=θ ω
⃗
p =m⋅⃗
v]
In abgeschlossenen System Gesamtdrehimpuls erhalten.
⃗
⃗ ⃗
dp
⃗ ⃗r ×F
⃗ und d L =M
⃗
Drehmoment: M:=
[Analogie:
=F ]
dt
dt
m
2
Bewegungsenergie: Erot = θ ω
[Analogie: Ekin= v 2 ]
2
2
Trägheitsmoment: θ=m⋅r 2
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2.1.8 Die Planetenbahnen und die Keplerschen Gesetze
m2
m1
m r⃗ +m2 r⃗2
⃗+
⃗ := 1 1
⃗r , r⃗2=R
⃗r mit Schwerpunkt R
und
m1 + m2
m1 + m2
m1 +m2
Relativvektor ⃗r := r⃗1 −r⃗2
⃗
d2 R
Schwerpunkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit:
=0
dt2
m m
m m
1 1 1
d2
= +
m 2 ⃗r =−γ 1 3 2 ⃗r mit m= 1 2 reduzierte Masse mit
m
m1 m2
m
+
m
dt
∣⃗r∣
1
2
⃗+
r⃗1=R
Keplersche Gesetze:
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren gemeinsamen
Brennpunkt die Sonne liegt.
2. Der von der Sonne zum Planeten gezogene Radiusvektor überstreicht
1
dA 1 ⃗ d ⃗r 1 ⃗
L
in gleichen Zeiten gleiche Flächen. dA= ∣⃗r ×d ⃗r∣ ,
= r×
=
2
dt 2
dt 2 m
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
Kuben der großen Halbachsen. T 2 ∝a3 bzw. T 2 ∝r 3 im Kreis.
∣
∣
2.1.9 Rotierende Bezugssysteme
Scheinkräfte: [gestrichene Größen aus rotierendem System gesehen,
ungestrichene aus Inertialsystem]
d
'
⃗ =⃗v '+ ω
v
⃗ ×⃗r oder symbolisch
=d + ω×
⃗
dt
dt
Beschleunigung: ⃗
a '=⃗a −2 ω
⃗ ×⃗v '−⃗
ω ×( ω
⃗ ×⃗r )
mit Coriolis-Beschleunigung a⃗C =−2 ω
⃗ ×⃗
v'
2
und Zentrifugal-Beschleunigung a⃗Z =−⃗
ω ×( ω
⃗ ×⃗r ) , aZ =ω ⋅r
v2
2
Zentrifugalkraft: FZ =mω ⋅r=m
r
2.2 Mechanik starrer (ausgedehnter) Körper
N
∑ mi ⃗r i
⃗ i=1
Schwerpunkt: R=
M
N
mit Gesamtmasse M=∑ mi
i=1
⃗ ∫
oder in Integraldarstellung: R=
3
ρ( ⃗r )⋅⃗r d x
mit Massendichte ρ
M
⃗ 2 1 N
⃗ 2 1
d⃗
ri ' 2
1
dR
1
dR
Kinetische Energie: Ekin= M
+ ∑ mi
= M
+ θ ω 2 mit
2
dt
2 i=1
dt
2
dt
2
( )
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( )
( )
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N
Trägheitsmoment θ :=∑ mi r 2i =
∫ r 2 dm
i=1
=
K
∫ r2 ρ dV
K
dabei r i Abstand Massenpunkt Drehachse und dV Volumenelement
wichtige Trägheitsmomente:
1
• Würfel: θWürfel = mL 2
6
1
• Vollzylinder: θ Vollzylinder= mR 2
2
Satz von Steiner: Für Drehachsen nicht durch den Schwerpunkt mit
a Abstand der Drehachse von der Schwerpunktsdrehachse:
2
θa =θs +Ma mit θs Trägheitsmoment für Drehachse durch cM
2
Trägheitstensor: Bei Drehbewegungen von Massenpunkten galt ⃗
L=mr =θ⋅⃗
ω , es
galt also ⃗
L∥⃗
ω . Allgemein gilt das nicht! Deshalb Trägheitstensor.
⇒⃗
L=θ⋅⃗
ω mit
(
∑ mi( y2i +z2i ) −∑ mi x i y i
i
i
θ := −∑ mi xi y i ∑ mi ( x 2i +z2i )
i
−∑ mi xi zi
i
−∑ mi yi zi
i
−∑ m i x i z i
i
−∑ mi yi zi
i
i
)
∑ mi (x 2i + y 2i )
i
Trägheitstensor
Trägheitsmomente: (=Diagonalelemente)
θ xx=∑ mi (y 2i +z 2i ) , θ yy =∑ mi (x 2i +z 2i ) und θzz =∑ mi ( x 2i + y2i )
i
i
i
Deviationsmomente: (=Nicht-Diagonalelemente)
θ xy=θ yx=−∑ mi x i yi , θ yz=θ zy =−∑ mi y i zi und θzx =θ xz =−∑ mi x i z i
i
i
i
θ ist eine symmetrische Matrix
Eigenvektoren von θ : (bzw. Hauptträgheitsachsen): ω
⃗ mit ⃗
L=θ ω
⃗ ∥ω
⃗
Bestimmung von Eigenvektoren und Eigenwerten:
⃗
⃗ Eigenvektor
L=θ ω
⃗ =const.⋅ω
⃗ =λ⋅⃗
ω mit λ Eigenwert und ω
• Triviale Lösung: ω
⃗ =0
• Nichttriviale Lösung: (θ−λ⋅1) ω
⃗ =0 mit ω
⃗ ≠0
→ Die drei Gleichungen müssen linear abhängig sein, also maximal
zwei linear unabhängige Gleichungen.
→ det(θ−λ⋅1)=0 liefert Eigenwerte und mit diesen dann die
Eigenvektoren.
→ Eine nxn Matrix mit reelen Komponenten hat n linear
unabhängige, zueinander orthogonale Eigenvektoren.
Die drei linear unabhängigen, zueinander orthogonalen Eigenvektoren
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können als neue kartesische Basis verwendet werden: ⃗r =x1 ω⃗1 + x2 ω
⃗2 + x3 ω
⃗3
mit den Hauptträgheitsachsen ω⃗1 , ω⃗2 und ω⃗3 . In dieser Basis ist der
(
λ1 0 0
Trägheitstensor in Diagonalform: θ '= 0 λ2 0
0 0 λ3
)
Nutation: Bewegung der Rotationsachse um die Drehimpulsachse
d⃗
L d'
⃗
⇒
= (θ '⋅⃗
ω)+ ω
⃗ ×(θ '⋅⃗
ω )=M
dt dt
In Komponenten also: (Eulersche Kreiselgleichungen):
λ 1 ω̇1 + ω2⋅λ3⋅ω3 −ω 3⋅λ2⋅ω2 =M1
λ 2 ω̇2 + ω3⋅λ1⋅ω1 −ω 1⋅λ3⋅ω3 =M2
λ 3 ω̇3 + ω1⋅λ2⋅ω2 −ω 2⋅λ1⋅ω1 =M3
Nutation: M1=M2 =M3 =0
Präzession: Zusätzliche Drehung der Drehimpulsachse um die Figurenachse
dϕ
M
=: ω p =
⇒ M=ωp⋅L
dt
L
2.3 Wellenausbreitung in der Mechanik
Gekoppelte Schwingungen
[Experiment: 2 Massenpunkte zwischen 3 Federn]
Bewegungsgleichungen:
m ẍ1 =−Dx 1 +D(x 2 −x 1 ) und m ẍ2 =−Dx 2 −D( x2 −x1 )
mit Ansatz x 1/ 2=A 1/ 2 cos(ω t ) : ⇒ω +=√ 3Ω und ω− =Ω mit Ω=
ω− : mittlere Feder wird nicht ausgelenkt (symmetrisch)
ω+ : mittlere Feder wird maximal gestreckt (antisymmetrisch)
√
D
m
Auch Überlagerungen der Eigenschwingungen sind Lösungen:
a+b
a−b
]
x 1 (t)=A (sin(ω 1 t)+sin (ω2 t)) [mit sin( a)+ sin(b)=2⋅sin
⋅cos
2
2
ω 1 +ω2
ω1 −ω2
⇒ x1 (t)=2⋅A⋅sin
⋅t ⋅cos
⋅t
2
2
⏟
⏟
( ) ( )
(
mittlereFrequenz
) (
Schwebungsfrequenz
)
2.3.1 Die Wellengleichung
2
2
∂ X (x ,t)− 1 ⋅ ∂ X (x ,t)=0 Wellengleichung (homogene, lineare, partielle
2
2
2
∂x
c ∂t
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DGL mit konstanten Koeffizienten)
Ansatz: X (x , t)=f (kx±ω t)
Dispersionsrelation w(k): ω=c⋅k
Phasengeschwindigkeit: c= ω gleichförmige Bewegung der Welle mit c
k
Da Wellengleichung linear → Superpositionsprinzip gilt.
Beispiel: X 1 ( x , t)=sin(kx+ ω t) , X 2 ( x , t)=sin(kx−ω t) Lösungen der DGL
⇒ X( x , t )=2⋅A⋅sin (kx)⋅cos(ω t ) → stehende Welle
2π
2π
k= λ mit λ Wellenlänge,
ω=
T
Beispiel: X 1 (x , t)=sin(kx−ω t) , X 2 (x , t)=sin(kx−ω t+ϕ)
mit Phasenverschiebung ϕ
ϕ
ϕ
⇒ X( x , t)=2⋅A⋅sin kx−ω t+ ⋅cos
2
2
⇒ ϕ=(2n+ 1)⋅π ⇒ X (x ,t)≡0 mit n∈ℕ destruktive Interferenz
⇒ ϕ=2n⋅π ⇒ X (x ,t)=2⋅A⋅sin(...) konstruktive Interferenz
(
) ( )
2.3.2 Gruppengeschwindigkeit
Wir hatten ω=
⋅k mit c=c (ω) in vielen Körpern.
c(ω)
⏟
dispersive Wellen
[
cos (a)+cos(b)=2⋅cos
Additionstheorem
( a+b2 )⋅cos ( a−b
2 )]
Besteht die Lösung der Wellengleichung aus einem schnell und einem
langsam oszillierenden Teil, so ist
dx w
•
= =c Phasengeschwindigkeit (schnell oszillierender Anteil)
dt k
dω
• v gr =
Gruppengeschwindigkeit (langsam oszillierender Anteil)
dk
2.3.3 Fourierreihenentwicklung
X=a⋅cos(kx+ω t)+b⋅sin(kx+ω t)
f (t)=X ( x=0,t)
∞
∞
n=1
n=1
f (t)=a0 + ∑ an⋅cos(n⋅ω t)+ ∑ b n⋅sin(n⋅ωt) ist periodische Funktion mit
2π
Kreisfrequenz ω und Periode T= ω
T
an = 2 ∫ f (t)⋅cos(n ω t)dt
T 0
Fourieranalyse:
T
b n=
2
∫ f (t)⋅sin (n ω t) dt
T0
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2.3.4 Der Doppler Effekt
•
Bewegter Beobachter
Dispersionsrelation: ω =c=λ⋅f
k
Zeit zwischen Maxima: T B= λ
c + vB
( vc )
Beobachtete Frequenz: f B=f Q 1+
•
B
Bewegte Quelle
1
f B=f Q⋅
v
1− Q
c
2.4 Hydromechanik
2.4.1 Statik
Druck: P=
FN
A
m⋅g
=ρ⋅g⋅h
A
Auftriebskraft: FA =F2 −F1=ρ⋅g⋅Δ h⋅A Körper schwimmt: FA ≥m⋅g
Prinzip von Archimedes: Masse der verdrängten Wassers = Masse des
schwimmenden Körpers
⃗ des Körpers unterhalb von
Stabile Schwimmlage für Schwerpunkt R
Schwerpunkt R⃗F des verdrängten Wassers (bei „stehendem“ Körper)
Schweredruck: PG =
Barometrische Höhenformel: P=P0⋅e
−ρ 0⋅g
⋅h
P0
ρ P
, da ρ =
[Physik III]
0
P
0
1 dV
Quantifizierung durch Kompressibilität κ :=− ⋅
z.B.
V dP
2
m
H2 O⇒ κ=5⋅10−10
N
F
F
Hydraulische Presse: P= 1 = 2
A1 A2
2.4.2 Dynamik
Kontinuitätsgleichung: Wegen Massenerhaltung gilt bei Inkompressibilität
A 1⋅v1 =A2⋅v 2 =const
Bernoulli-Gleichung:
P
⏟ + 12 ρ v 2 + ρ⋅g⋅h
⏟ =const
Betriebsdruck ⏟
Staudruck
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Schweredruck
Experimentelle Physik I - Formelsammlung
Christian Pommranz, WS 2011/2012
Schweredruck bei Luft meist vernachlässigbar (Auftrieb beim Flügel,
Magnus-Effekt etc.)
dv
Ns
Reibung: FR=η⋅A⋅
mit Voskosität η in 2 =Pa⋅s (materialspezifisch und
dx
m
temperaturabhängig)
Beispiel: Zylinder:
dv
FR=η⋅2 π l r
dr
Stationarität:
Nach Integration mit Randbedingung v (R)=0 :
P −P
⇒ v (r)= 1 2⋅(R 2 −r 2 )
4 ηl
Flüssigkeitsmenge pro Zeitintervall:
dm
=∫ ρ⋅v⋅dA
dt
2.4.3 Differentielle Formulierung der Hydrodynamik
⃗ ( ⃗r ,b)
Ziel: Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes v
∂ρ
Kontinuitätsgleichung:
+div(ρ⋅⃗
v )=0
∂t
∂⃗
v ⃗ ⃗ ⃗
⃗ (P+ρ⋅g⋅z)
Eulersche Bewegungsgleichung: ρ
+( v⋅∇ ) v =−∇
∂t
(
)
⃗ ×⃗v =0 Potentialströmungen
v )= ∇
1. Beispiel: ⃗
v ( x , y ,z ,t) mit rot( ⃗
2
2
2
Δ Φ=0=div(grad(Φ))= ∂ 2 Φ + ∂ 2 Φ+ ∂ 2 Φ
∂x
∂y
∂z
2. Beispiel: mit Stationarität, d.h. ∂ ⃗v=0
∂t
⃗
v2
⇒ ρ +ρ⋅g⋅z+P=const Bernoulli-Gleichung
2
Annahmen:
• Stationarität
• Potentialströmungen
• keine Reibung
• Inkompressibilität
3. Beispiel: Oberflächenwellen (Schwerewellen)
Starte von
d2 f
2
Ansatz: Φ=f (z)cos (kx−ω t) ⇒
−k f (z)=0
2
dz
Ansatz: f (z)=A⋅ekz ⇒ Φ( ⃗r ,t)=A⋅ekz cos(kx−ωt)
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Experimentelle Physik I - Formelsammlung
Christian Pommranz, WS 2011/2012
−A⋅ekz⋅k sin(kx−ω t)
⃗ Φ=
⇒ ⃗v =∇
0
kz
A⋅k⋅e cos (kx−ω t)
Für große Flüssigkeitstiefen im Vergleich zur Wellenlänge und für
kleine Amplituden im Vergleich zur Wellenlänge löst dieser Ansatz die
Eulersche Bewegungsgleichung unter der Bedingung:
ω2 =k⋅g Dispersionsrelation der Oberflächenwellen
(
)
Flachwasserfall: ω =c=√ g⋅h mit Wassertiefe h → dispersionslose
k
Wellen → „Brecher“ am Strand
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