PHYSIK III Serie 11, Musterlösung

PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
Serie 11, Musterlösung
1. Plattenkondensator
~ =
~ = ~j + ∂ E~ vereinfacht sich im Vakuum zu c2 ∇×B
a) Die vierte Maxwellgleichung c2 ∇×B
ε0
∂t
~
∂E
~
. Mit ihr können wir das B-Feld
aus dem elektrischen Feld bestimmen. Für den
∂t
V
Plattenkondensator gilt: E = d .
(
ZZ
I
ZZ
πr2 · d1 ∂V∂t(t) r < R
∂V
(t)
1
!
2
2
2
~
~
~
dS =
c
∇ × B dSn = c
B d~s = c B · 2πr =
S
Γ
S d ∂t
πR2 · d1 ∂V∂t(t) r ≥ R
( r ∂V (t)
r<R
2dc2 ∂t
=⇒ B(r, t) =
2
R ∂V (t)
r≥R
2drc2 ∂t
b)
i. V (t) = V0
⇒
B(r, t) = 0
ii. V (t) = V0 · sin(ωt)
⇒
B(r, t) =
r·V0 ω
·
2dc2
R2 ·V0 ω
2drc2
cos(ωt) r < R
· cos(ωt) r ≥ R
c) Wir betrachten den Fall des zeitlich nicht konstanten Potenzials und mitteln über eine
Periode T :

r·V0 ω 2 1
Zt+T

·2
r<R
2
2dc
1
2
2
< B 2 (r) >t =
B 2 (r, t) dt =
 R ·V02ω · 1 r ≥ R
T
2drc
t
2
2. Energiedichte
~
~ =
Bei ebenen Wellen gilt zwischen dem elektrischen Feld und dem B-Feld
die Beziehung B
√
~k×E
~
~ = E0 sin w t − z · ~ey , B
~ = B0 sin w t − z · ~ex und B0 = 1 E0 = 0 µ0 E0
. Mit E
ω
v
v
c
erhalten wir folgende Ausdrücke für die Energiedichte einer ebenen Welle:
r
r
E
D
E
1 D ~ 2
1
1 E0 · B0
1 0
0
t
2~ 2
2
2
~
0 E + 0 c B )
= 0 E
= 0 E0 = 0 √
=
E0 · B0 =
hE · Bit .
ū =
2
2
2
0 µ0
2 µ0
µ0
t
t
Der mittlere Energietransport durch eine Einheitsfläche pro Einheitszeit ist gegeben durch:
r
D
E
1
1
µ0 t
2
~ ×B
~ | = 0
hSit = 0 c | E
hE · Bit =
u = c · ut .
0 µ0
µ0 0
t
3. Energiestromdichte
Die Energieausstrahlung aus dem Volumen V ist
I
Z
~
~ dV = 0 , da S
~ = −0 c2 EB~ey .
S d~σ = ∇ · S
∂V
V
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4. Hall-Effekt
a) Die freien Elektronen bewegen sich entgegengesetzt zur Stromrichtung, d.h. entlang der
negativen y-Richtung. Mit Hilfe der ’rechten-Hand-Regel’ sehen wir, dass die Lorentzkraft entlang der positiven x-Achse zeigt. Somit werden Elektonen in diese Richtung ab~
gelenkt, und zwar solange bis die Ladungsverteilung ein E-Feld
erzeugt, das die LorentzKraft genau kompensiert. Die Ladungen verteilen sich also wie in der Skizze bereits durch
~
’+’ und ’-’ angedeutet wurde. Wir nehmen an, dass das B-Feld
auch im Inneren der Pro~
be homogen ist und damit muss auch das E-Feld homogen sein. Wir können dann die
Hall-Spannung wie folgt berechnen:
Z
UH = −
~ · d~l = E a
E
Weiter ist die Stromdichte (wir betrachten nur die Beträge, da die Richtungen aus der
Geometrie klar sind):
j = qnv
I = j ac
⇒ I = qnvac
!
FL = q v B = q E
Also
qvB =
UH
I
B=q
nac
a
⇔ UH =
BI
ncq
b) Einsetzen der Zahlenwerte in (1) liefert für den Kupferfilm UH = 0.625 µV und
c) für das Germanium-Plättchen UH = 2.2 mV.
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5. Unipolare ”Induktion”
Die Spannung zwischen dem Plattenzentrum und dem Rand ist ein Effekt der Lorentz-Kraft.
Diese wirkt (ähnlich wie beim Hall-Effekt) auf die bewegten freien Ladungsträger in der Platte.
Sie ist damit keine Induktionsspannung im Sinn des Faraday’schen Induktionsgesetzes.
a) In der rotierenden Scheibe hat ein Elektron am Radius r die tangentiale Geschwindigkeit v = ωr. Im Magnetfeld wird es also wegen der Lorentz-Kraft in radialer Richtung
abgelenkt und zwar gegen das Zentrum. (Wegen der rechten-Hand-Regel und der negativen Ladung des Elektrons). Dies wird so lange passieren, bis die Ladungsverteilung ein
elektrisches Feld generiert, welches die Lorentz-Kraft in der ganzen Scheibe kompensiert:
~ = −q E
~
q(~v × B)
⇒ |ωrB0 | = |E(r)|
Die Kraft des elektrischen Feldes muss (für Elektronen) nach aussen zeigen,
~
d.h. E(r)
= −|E(r)|~er .
Die Spannung berechnen wir wie oben als Integral über das elektrische Feld:
ZR
U =−
0
~
E(r)
· d~l =
ZR
ZR
|E(r)|dr =
0
1
ω B0 r dr = ω B0 R2
2
0
b) Die Tatsache, dass der Magnet rotiert, hat auf das Magnetfeld keinen Einfluss. Somit
haben wir in der Scheibe immer noch dasselbe homogene Magnetfeld wie in a), jedoch
rotiert die Scheibe nicht, somit sind die Elektronen (im Mittel) in Ruhe, es wirkt keine
Lorentz-Kraft und damit gibt es auch keine Spannung.
c) Wie oben spielt die Rotation des Magneten keine Rolle. Die Scheibe rotiert hier jedoch
und wir haben wieder dieselbe Spannung wie in a).
Ein paar Bemerkungen zu diesem Experiment:
• Als Faraday dieses Experiment durchführte, erwartete er, dass die Fälle a) und b) gleich
sein sollten, da er die Relativbewegung von Magnet und Scheibe für entscheidend hielt,
wie das ja in der Induktion der Fall ist, wo nur die Flussänderung in einer Leiterschlaufe
wichtig ist. - Er kannte noch keine Elektronen.
• Dieses Experiment wird von manchen Leuten als ”Beweis für die Existenz des Äthers” und somit gegen die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und die spezielle Relativitätstheorie
missbraucht, da es scheinbar ein absolutes Bezugssystem (dasjenige des Äthers) gibt in
welchem das Magnetfeld ”lebt” und nur die Rotation der Scheibe gegenüber diesem
Bezugssystem ausschlaggebend für die Spannung ist.
• In Wahrheit muss man jedoch berücksichtigen, dass die Lorentz-Kraft ein relativistischer
Effekt ist: sie rührt daher, dass die Elektronen in ihrem Ruhesystem (d.h. in einem
Bezugssystem, das sich mit ihnen mitbewegt) nicht ein B-Feld, sondern nur ein E-Feld
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~ Im Labor sieht es dann so aus, als spürten sie eine Kraft
sehen und damit eine Kraft q E.
~ Deshalb kommt es auf die Bewegung der Elektronen gegenüber dem B-Feld an.
q~v × B.
Eine konstante Bewegung des gesamten Systems (Magnet und Scheibe) führt übrigens
zu keiner Spannung: In einem Koordinatensystem, das sich mit dem System mitbewegt,
befinden sich Magnet uns Scheibe in Ruhe und wir haben dort den Fall: keine Rotation
des Magneten, keine Rotation der Scheibe ⇒ keine Spannung.
Die Tatsache, dass ein Strom ein Magnetfeld erzeugt, ist auch ein relativistischer Effekt
auf derselben Grundlage: Im Bezugssystem der als Strom fliessenden Elektronen existiert
nur ihr eigenes E-Feld, im Laborsystem transformiert sich dieses dann in ein B-Feld.
Mehr dazu gibt’s in der relativistischen Elektrodynamik, innerhalb welcher man erkennt, dass die Maxwellgleichungen eine Konsequenz der Lorentz-invarianten Kontinuitätsgleichung sind. - z. B. im 4. Semester, in der theoretischen ElektrodynamikVorlesung.
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6. Eindringzeit des magnetischen Feldes
~
a) Ein abrupt an einen elektrisch leitenden Körper angelegtes B~
Feld dringt nicht instantan ein, weil eine B-Feld-Änderung im
~
Körper Wirbelströme hervorruft, welche dem angelegten B-Feld
entgegenwirken. In unserem Fall heisst das, dass die magnetische Flussdichte aus der Platte herausgedrängt wird. Unmittelbar nach dem Einschalten des externen Feldes haben wir da~ = 0, insbesondere
mit im Inneren der Platte immernoch B
Bz = 0. Ausserhalb ist Bz 6= 0. Damit ist in einer Umgebung
der oberen und unteren Ränder der Platte ∂z Bz 6= 0. Wegen
~ = ∂x Bx + ∂y By + ∂z Bz = 0 muss also ∂x Bx + ∂y By 6= 0: es
∇·B
scheint also, als hätten wir eine Quelle für das Feld in der x − yEbene unter der Platte und eine entsprechende Senke darüber:
Die magnetischen Feldlinien werden um die Platte herumgelenkt, wie in der Abbildung
zum Zeitpunkt t = 0 gezeigt. Nun könnte das Feld entweder von der Seite oder von
unten/oben in die Platte eindringen. Wie wir in Teilaufgabe b) sehen werden, dringt das
~
B-Feld
von der Seite her ein.
b) Unter Vernachlässigung des Maxwell’schen Verschiebungsstroms erhält man die Diffusi~
onsgleichung der Aufgabe 3 aus Serie 10 und damit für die z-Komponente des B-Feldes
2
1
1
∂2
∂2
∂
∂
Bz (~r, t) =
4Bz (~r, t) =
+
+
Bz (~r, t) .
(2)
∂t
µ0 σ
µ0 σ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~
Die Wegen der Stetigkeit des B-Feldes
am Rand der Platte (es ist µPlatte = µ0 ) ist
i
a
die Randbedingung Bz = Bz (i =innerhalb und a =ausserhalb der Platte). Um die
Diffusionsgleichung zu lösen macht man einen Separationsansatz:
Bz (~r, t) = R(~r) T (t)
(3)
Für die in x- und y-Richtung unendlich ausgedehnte Platte kann man aus Symmetriegründen argumentieren, dass weder x- noch y-Abhängigkeiten aufteten können. Damit ist in (2) ∂/∂x = ∂/∂y = 0 und in (3) vereinfacht sich R(~r) zu B0 Z(z). Für die
Zeitabhängigkeit machen wir einen Exponentialansatz, T (t) = exp(−t/τm ). Wir haben
also folgenden Ansatz gefunden:
t
Bz (~r, t) = B0 e− τm · Zm (z) .
(4)
Einsetzen von (4) in (2) liefert:
t
t
∂
1 ∂2
B0 e− τm · Zm (z) =
B0 e− τm · Zm (z)
2
µ0 σ ∂z
∂t
2
t
t
1 ∂
1
B0 e− τm · Zm (z) = − B0 e− τm · Zm (z)
2
µ0 σ ∂z
τm
2
∂
µ0 σ
Zm (z) = −
Zm (z)
2
∂z
τm
5
(5)
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Gleichung (5) beschreibt das Eigenwertproblem zu den Eigenwerten τm , die alle reell und
positiv sind. Für jedes τm ist also (5) die Gleichung eines harmonischen Oszillators und
wir haben für die Zm (z) die Lösungen
r
r
µ0 σ
µ0 σ
z + bm sin
z.
Zm (z) = am cos
τm
τm
Die vollständige Lösung ist die Superposition der einzelnen Lösungen zu den verschiedenen Eigenwerten.
r
r
X − t µo σ
µo σ
τ
m
Bz (z, t) =
e
z + bm sin
z
· am cos
τm
τm
m
Die Reihe der Koeffizienten am und bm sind durch die Anfangsbedingung Bz (z, t = 0)
bestimmt. Die Eindringzeit ist durch den grössten Wert für τm bestimmt.
~ = ∂ Bz,m ≡ 0. Dies führt in (5)
Im Falle der unendlich ausgedehnten Platte gilt ∇ · B
∂z
q
zu µτ0mσ = 0. Der einzige mögliche Wert für das grösste τm ist somit τmax = ∞.
Wir haben also gesehen, dass für die in der x-y-Ebene unendlich ausgedehnte Platte die
Eindringzeit unendlich wird. Für eine qualitative Abschätzung des Verhaltens können
wir annehmen, dass
∂
1
∼
∂t
τ
und ∆ ∼
1
,
l2
Wobei τ die charakteristische Zeit und l die charakteristische lineare Dimension des
Problems sind. Wenn wir diese Beziehungen in der Diffusiongleichung (2) verwenden,
erhalten wir folgenden Zusammenhang zwischen τ und l:
1
1 1
Bz (~r, t) ∼
Bz (~r, t)
τ
µ0 σ l 2
Also
r
l∼
τ
µ0 σ
(6)
Für eine endliche Leitfähigkeit σ der Platte erkennen wir, dass mit τ = τmax → ∞ auch
l → ∞ geht. Im Fall der in der x-y-Ebene unendlich ausgedehnten Platte geht jedoch
nur ihr Radius, nicht aber ihre Dicke gegen unendlich. Somit ist die charakteristische
Ausdehung für das Eindringen des Feldes der Radius der endlichen Platte (und nicht
ihre Dicke) und wir können daher schliessen, dass das Feld von der Seite in die endliche
Platte eindringt, wie unter a) bereits vermutet.
Aus (6) können wir weiterhin erkennen, dass im Fall einer supraleitenden Platte (σ → ∞)
die charakteristische Zeit τ divergiert, auch wenn die grösste Dimension l beschränkt
~
bleibt: Ein Supraleiter drängt das B-Feld
aus seinem Inneren hinaus. (Meissner -Effekt)
6