Brüche - Mathematik

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Brüche
Bruchzahlen
Durch Bruchzahlen lassen sich z. B. Teile eines Ganzen darstellen. Besonders
anschaulich kann man dies an Flächen sehen (siehe weiter unten). Bruchzahlen sind
eine andere Schreibweise für Quotienten (Quotient ist das Ergebnis beim
Teilen/Dividieren). Die Menge dieser Zahlen bezeichnet man als B (Bruchzahlen),
später als _ (Quotienten), hierzu gehören dann aber auch noch die Dezimalbrüche.
Schreibweise:
1
(gesprochen: ein Viertel)
4
Die obige Zahl nennt man Zähler, den Strich in der Mitte Bruchstrich und die untere
Zahl Nenner. Das gesamte Gebilde nennt man entweder Bruchzahl oder kurz einfach
Bruch.
Wie kann man sich jetzt z. B.
1
vorstellen?
4
Man stelle sich ein Rechteck vor, mit der Flächengröße 1. Nun wird dieses in vier
Teile geteilt, dann hat man vier Viertel. Ein Viertel ist also eins dieser vier
Flächenstücke.
3
einer Fläche haben möchte? – Man zerlegt die
5
Fläche in fünf gleichgroße Teilflächen und nimmt von den fünf einfach drei. Nun hat
3
man
(grün markiert) dieser Fläche. Die anderen zwei Teile (zwei Fünftel) bleiben
5
zurück (blau markiert).
Was tut man, wenn man z. B.
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Folgende Brüche gibt es:
Stammbrüche:
1 1 1
; ; ...
2 3 4
Hier ist der Zähler immer 1.
Echte Brüche:
4 3 5
; ; ...
6 6 7
Hier ist der Zähler kleiner als der Nenner.
Unechte Brüche:
9 13 8
; ; ...
6 6 7
Hier ist der Zähler größer als der Nenner. Unechte Brüche kann man auch als
9
3
gemischte Zahlen darstellen: = 1
6
6
Erweitern von Brüchen
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multipliziert. Die Zahl, mit der erweitert wurde, ist hier mit einem nach oben
geöffneten Bogen über dem Gleichheitszeichen dargestellt.
Beispiel:
2 5 2 ⋅ 5 10
=
=
3 3 ⋅ 5 15
Kürzen von Brüchen
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert.
Beispiel:
75 75 : 25 3
=
=
∩ 100 : 25
100 25
4
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Ordnen von Brüchen
Brüche lassen sich leicht der Größe nach ordnen, wenn sie
a) den gleichen Nenner besitzen oder
b) den gleichen Zähler haben.
Beliebige Brüche muss man erst durch Erweitern oder Kürzen anpassen, damit sie
den gleichen Nenner (oder auch Zähler) bekommen, bevor man sie der Größe nach
ordnen kann.
Beispiele:
3 5
1) <
8 8
2)
2 2
>
3 4
3)
4 5
16 15
> , da
>
6 8
24 24
Addieren und Subtrahieren von Bruchzahlen
Man addiert (oder subtrahiert) zwei nennergleiche Brüche, indem man die Zähler
addiert (oder subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Beispiele:
2 5 7
+ =
8 8 8
7 5
2
−
=
15 15 15
Beim Addieren (oder Subtrahieren) ungleicher Nenner muss man die Brüche erst
durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner bringen. Danach kann man die
Zähler addieren (oder subtrahieren), wobei man den gemeinsamen Nenner
beibehält.
Beispiele:
2 4 10 12 22
+ =
+
=
3 5 15 15 15
1 2 5 4
1
− = − =
2 5 10 10 10
Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen
Multiplizieren
Wenn man einen Bruch mit einer beliebigen Zahl multipliziert, wird einfach der Zähler
mit der Zahl malgenommen. Bei Bruch mal Bruch wird der Zähler mal dem Zähler
und der Nenner mal dem Nenner genommen. Tipp: Häufig kann man noch vor dem
Ausrechnen kürzen.
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Beispiele:
1
3
⋅3 =
1.
8
8
1 5 1⋅ 5
5
⋅ =
=
2.
8 6 8 ⋅ 6 48
Dividieren
Wenn man einen Bruch durch eine beliebige Zahl dividiert, wird einfach der Nenner
mit der Zahl multipliziert. Einen Bruch durch einen weiteren Bruch zu rechnen (gilt
auch für Doppelbruch) macht man, indem man den Bruch mit dem Kehrwert
(Austausch von Zähler und Nenner) des anderen Bruch multipliziert.
Beispiele:
1
1
1
:3 =
=
1.
8
8 ⋅ 3 24
1
1 5
1 6 1⋅ 3
3
=
: = 8 = ⋅ =
2.
5
8 6
8 5 4 ⋅ 5 20
6
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