MaKL10-05Stochastik1Beliebt!

MATHEMATIK KLASSE 10
STOCHASTIK 1
2.3.8, 2013-2014
H. Knopf
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Dieses Material ist ausschließlich für den unterrichtsbegleitenden Einsatz bestimmt. Dieses Dokument stellt keinen Ersatz für den Unterricht dar. Die Teilnahme an den Unterrichtsveranstaltungen ist zwingend erforderlich. Die Lektüre
der im Anhang angegebenen Literatur wird dringend empfohlen. Jede weitere
Nutzung – insbesondere Vervielfältigung jeglicher Art – bedarf der ausdrücklichen Zustimmung des Autors.
Wie jede Publikation ist auch diese nicht gänzlich frei von Fehlern. Die Benutzung erfolgt auf eigene Gefahr und ohne Gewähr für die Folgen.
Titelbild: Jakob I. Bernoulli (1655-1705), Carl Friedrich Gauß(1777-1855) /1/,
/2/, /3/
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S. 2
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
5
STOCHASTIK 1 ........................................................................................................................................ 4
5.1
GRUNDBEGRIFFE DER STOCHASTIK ......................................................................................................... 4
5.1.1
Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit ............................................................................................. 5
5.1.2
Das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei ein- und mehrstufigen Zufallsexperimenten
(bedingte Wahrscheinlichkeiten) .................................................................................................................. 9
5.1.2.1
5.1.2.2
5.2
KOMBINATORIK .................................................................................................................................... 15
5.2.1
Permutationen ........................................................................................................................... 15
5.2.2
Auswahlprobleme ...................................................................................................................... 17
5.2.2.1
5.2.2.2
5.3
Einstufige Zufallsexperimente ............................................................................................................... 9
Mehrstufige Zufallsexperimente .......................................................................................................... 10
Variationen .......................................................................................................................................... 17
Kombinationen .................................................................................................................................... 18
BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN .................................................................................................... 23
5.3.1
Verknüpfungen von Ereignissen ................................................................................................ 23
5.3.1.1
5.3.1.2
Mengen ................................................................................................................................................ 23
Verknüpfungen von Ereignissen ......................................................................................................... 25
5.3.2
Bedingte Wahrscheinlichkeit ..................................................................................................... 26
5.3.3
Die Vierfeldertafel ..................................................................................................................... 28
5.4
REGISTER KLASSE 10: STOCHASTIK 1 ................................................................................................... 33
5.5
VERZEICHNIS DER ABBILDUNGEN, TABELLEN, QUELLTEXTE UND DEFINITIONEN KLASSE 10:
STOCHASTIK 1 .................................................................................................................................................. 34
5.6
QUELLEN KLASSE 10: STOCHASTIK 1.................................................................................................... 37
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5 Stochastik 11
5.1 Grundbegriffe der Stochastik
Vorgänge, die zufällig ablaufen, deren Eintreffen nicht vorhersagbar sind, haben
seit jeher einen besonderen Reiz auf die Menschen ausgeübt Die Stochastik beschäftigt sich mit zufälligen Ereignissen und deren Gesetzmäßigkeiten. Der Begriff Stochastik stammt vom griechischen Wort στoχαστικὴ τέχνη (sprich:
stochastike techne)2 ab und bedeutet so viel wie die „Kunst des Vermutens“ oder
„Ratekunst“3. Die Tatsache, dass etwas zufällig abläuft, nicht vorhersehbar eintritt, bedeutet nicht, dass es keine Gesetzmäßigkeiten gibt oder man keinerlei
Aussagen über diese zufälligen Ereignisse machen kann.
Abbildung 1: Blaise Pascal (16231662) /4 /
Abbildung 2: Pierre de Fermat
(1607-1665) /5/
Abbildung 3: Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow
(1903-1987) /6/
Obwohl bereits im Altertum und im Mittelalter einige Erkenntnisse über Zufallsprozesse bekannt waren, bildete sich erst ab dem 17. Jahrhundert die
Stochastik systematisch heraus Als Geburtsstunde gilt ein Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahre 1654. Das Lehrbuch Andrei
Kolmogorows „Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ brachte im
Jahr 1933 die Fundamente der Stochastik zu einem vorläufigen Abschluss.
In den folgenden Kapiteln sollen die bereits bekannten Gesetze des Zufalls noch
einmal aufgefrischt bzw. erweitert werden.
1
Nach RRL 2003.
Lateinisch: ars coniectandi
3
laut Wikipedia
2
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5.1.1 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Grundlage für alles Weitere sind die folgenden Begriffe: Ereignisse, welche wir
untersuchen werden, die zufällig eintreten, wollen wir Zufallsereignis nennen
und eine den Vorgang Zufallsexperiment.
Das Ereignis A hat immer ein sogenanntes Gegenereignis A , welches das vollkommene Gegenteil von A sein soll. Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes
zum Ereignis A werden durch eine Menge dargestellt (Beispiel 1).
Beispiel 1: Ereignis und Gegenereignis
Ereignis A
Gegenereignis A
Würfeln: mögliche Ergebnisse des Experimentes 1, 2,3, 4,5,6
Es wird keine „1“ gewürfelt (oder
Würfeln einer „1“: A  1
gleichbedeutend ‚Es wird eine „2“,
„3“, „4“, „5“ oder „6“ sein.‘):
A  2,3, 4,5, 6
Würfeln einer geraden Augenzahl: Würfeln einer ungeraden Augenzahl:
A  2, 4,6
A  1,3,5
Werfen einer Münze: mögliche Ergebnisse Kopf , Zahl  K , Z 
Werfen von „Kopf“: A  K 
Werfen von „Zahl“ A  Z 
Will man eine Aussage machen, wie hoch die Chancen sind, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, so kann man ein Zufallsexperiment machen und Ergebnisse
notieren.
Beispiel 2: Würfel-Experiment (1)
Es wird mit einem Würfel 10x gewürfelt. Gesucht ist die Chance, dass eine „6“
auftritt. Hierbei könnte als Ergebnis herauskommen, dass die „6“ genau 5x auftrat.
Definition 1: Absolute Häufigkeit
Die Angabe, wie häufig ein Ereignis auftrat, heißt absolute Häufigkeit H.
In einem weiteren Experiment soll nun häufiger gewürfelt werden.
Beispiel 3: Würfel-Experiment (2)
Es wird mit einem Würfel 20x gewürfelt. Gesucht ist die Chance, dass eine „6“
auftritt. Hierbei könnte bei 10 Würfen die „6“ ebenfalls genau 5x auftrat.
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Die absolute Häufigkeit von Beispiel 2 und Beispiel 3 ist nicht vergleichbar.
Zwar trat das gewünschte Ereignis in beiden Fällen 5x auf, jedoch wurde bei
Beispiel 3 doppelt so häufig gewürfelt.
Um die Chance abzuschätzen muss man die Zahl der Würfe einbeziehen und
benutzt dazu die sogenannte relative Häufigkeit h.
Definition 2: relative Häufigkeit
Die Angabe, wie häufig ein Ereignis im Verhältnis zur Gesamtzahl n aller Versuche auftrat, heißt relative Häufigkeit h oder prozentuale Häufigkeit.
h
H H
 100%
n n
(1)
Die relative Häufigkeit im Beispiel 2 und Beispiel 3 ist
h
5 1
5 1
  0,5  50% bzw. h 
  0, 25  25% .
10 2
20 4
Die beiden Ergebnisse sind natürlich sehr unterschiedlich. Ist die Chance eine
„6“ zu würfeln wirklich 50%? Das wird niemand ernsthaft glauben, da die Erfahrung etwas anderes besagt.
Besser ist es, wenn man nicht durch Versuche die Chancen bestimmt sondern
durch eine Berechnung.
Hierzu untersuchen wir, wie oft kommt unser gewünschtes Ereignis vor und
welche Ereignisse sind möglich?
Beispiel 4: Wahrscheinlichkeit des Würfelns einer „6“
gewünschtes Ereignis („6“ würfeln):
6
mögliche Ereignisse (eine „1“, eine „2“, ... „6“ würfeln):
1, 2,3, 4,5,6
Häufigkeit des gewünschten Ereignisses:
Häufigkeit der möglichen Ereignisse:
1
6
Wenn wir nun das Verhältnis von der Zahl der gewünschten Ereignisse zu den
möglichen bilden, kommen wir zu einer neuen Größe, der sogenannten Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist nicht davon abhängig, wie oft man ein
Zufallsexperiment wiederholt, da man theoretisch alle möglichen Verläufe des
Experiments beachtet und man dies in das Ergebnis einfließen lässt.
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Definition 3: Wahrscheinlichkeit
Das Verhältnis der Anzahl der gewünschten Ereignisse zur Zahl der möglichen
Ereignisse heißt Wahrscheinlichkeit P.
Anzahl günstiger Ereignisse
Anzahl möglicher Ereignisse
Anzahl günstiger Ereignisse
P  A 
100%
Anzahl möglicher Ereignisse
P  A 
(2)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt bei
0  P  1 oder 0%  P  100%
Satz 1
Für das Ereignisses A mit Wahrscheinlichkeit P  A und sein Gegenereignis A
mit der Wahrscheinlichkeit P  A gilt
 
P  A  P A  1
(3)
 
(4)
P A  1  P  A
(5)
also auch
P  A  1  P A
 
Mit der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auf die zu erwartende Häufigkeit von Ereignissen bestimmt werden.
Definition 4: Erwartungswert
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X gibt an, wie häufig ein Auftreten
der Zufallsgröße zu erwarten ist.
Wenn P(X) die Wahrscheinlichkeit von X ist, so gilt für den Erwartungswert
E(X) bei einer Stichprobe von n Elementen:
(6)
E X   n P X 
Beispiel 5: Billiguhren
Wenn 10% (P=0,1) der Uhren fehlerhaft sind, so kann ein Händler beim Kauf
von 10000 Stück mit E  10.000  0,1  1.000 fehlerhaften Uhren rechnen.
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Wenn z.B. die Wahrscheinlichkeit einer Explosion in einem Atomkraftwerk bei
einer Wahrscheinlichkeit von 1:1.000.000 liegt, heißt das zwar, dass in der Regel nur 1x in 1.000.000 Jahren eine Explosion vorkommt, aber es wären auch
2 Explosionen möglich in 2.000.000 Jahren. Hierbei könnte die 1. Explosion
heute auftreten und die 2. schon morgen oder in 3 Wochen oder in
500.000 Jahren.
Satz 2:
Die Wahrscheinlichkeit P gibt an, mit welcher Chance ein bestimmtes zufälliges
Ereignis auftritt. Es wird nichts über den Zeitpunkt des Auftretens gesagt.
Es gibt aber auch Ereignisse, die auf jeden Fall eintreten werden. Man nennt sie
sichere Ereignisse und bezeichnet sie mit Ω (sprich Omega).
Ein Ereignis, welches niemals auftritt, heißt unmögliches Ereignis ∅.
Definition 5
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1, die des unmöglichen Ereignisses ist Null.
P   1
(7)
P    0
Wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht genau bestimmen
kann, so kann man bei einer großen Zahl von Versuchen auch die relative Häufigkeit als Näherungswert benutzen.
Satz 3: Gesetz der großen Zahl
Für eine große Zahl von Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit des Ereignisses E der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E an.
hgroß  E   P  E 
(8)
Beispiel 6: Würfel-Experiment (3)
Es wird mit einem Würfel 100.000x gewürfelt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine „6“ auftritt.
Hierbei könnte bei Würfen die „6“ 16.500x auftreten.
h
16.500
 0,165  16,5%
100.0000
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P  6 
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1
 0,167  16,7%
6
hP
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5.1.2 Das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei ein- und mehrstufigen Zufallsexperimenten (bedingte Wahrscheinlichkeiten)
Wenn man ein Zufallsexperiment nur einmal ausführt, so nennt man dies ein
einstufiges Zufallsexperiment. Im letzten Kapitel hatten wir schon einige Beispiele, für die wir die Wahrscheinlichkeit bestimmt hatten. An dieser Stelle sei
nochmals ein Beispiel aufgeführt, ehe wir zu mehrstufigen Experimenten übergehen.
5.1.2.1 Einstufige Zufallsexperimente
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit bei Zufallsexperimenten bestimmen wollen,
hilft es manchmal sehr, wenn man versucht, sich den Sachverhalt zu veranschaulichen. Hierzu kann man z.B. sogenannte Baudiagramme benutzen. In einem solchen Diagramm, stellt man alle möglichen Ausgänge des Experiments
dar.
Diese Diagramme beginnen oben mit einem Startpunkt, den man Wurzel oder
Root nennt. Dieser Punkt wird gelegentlich auch ohne Bezeichnung gelassen
oder man schreibt mit einer Kurzbezeichnung hinein, um welchen Vorgang es
sich handelt (Abbildung 4).
Abbildung 4: Baumdiagramm für einen 1-stufigen Würfelversuch (ausführliche Form)
In der Abbildung 5 kann jetzt leicht ablesen, welches Ausgänge des Versuches
günstig sind und welche nicht. Ebenso sieht man die Gesamtzahl der möglichen
Ergebnisse.
Abbildung 5: Baumdiagramm für einen 1-stufigen Würfelversuch: Würfeln einer geraden Augenzahl
In Abbildung 5 ist das Würfeln einer geraden Augenzahl dargestellt. Man sieht
leicht, dass es 6 mögliche Ereignisse gibt und dass 3 davon günstig sind (rot
markiert). Folglich berechnet man die Wahrscheinlichkeit so:
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P 2, 4,6 
3
 0,5  50%
6
Die Baumdiagramme haben die Eigenschaft, dass sie sehr schnell groß und unübersichtlich werden. Man muss schließlich alle Möglichkeiten darstellen.
In der Abbildung 6a sehen wir das Baudiagramm für folgendes Szenarium:
In einer Urne befinden sich 2 weiße und 3 rote Kugeln, aus der eine Kugel blind
gezogen werden soll. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu
ziehen?
Abbildung 6: Baumdiagramm für Urnen-Versuch
a) detaillierter Baum
b) zusammengefasster Baum
Da es nur wenige Farben gibt, der Baum aber trotzdem sich schon stark auffächert, versucht man den Baum schlank zu halten, indem man gleichartige Zweige des Baums zusammenfasst (Abbildung 6b).
An die Zweige des Baums schreibt man, wie oft z.B. weiße Kugeln (2 von 5)
und wie oft rote Kugeln (3 von 5) gezogen werden können. Der Vorteil besteht
darin, dass dies gleich der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse ist.
5.1.2.2 Mehrstufige Zufallsexperimente
Oft ist es so, dass ein Zufallsexperiment mehrfach wiederholt wird. Z.B. bei der
Ziehung der Lottozahlen (6 aus 49) werden aus einem Behälter Kugeln mit Zahlen gezogen. Die Ziehung der Zahlen bzw. Kugeln erfolgt nacheinander. Die
Chance für eine bestimmte Kugel ändert sich bei jeder Ziehung, da sich in diesem Beispiel die Kugelanzahl mit jedem Vorgang verringert.
Abbildung 7
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Für das Beispiel 6 aus 49 ist ein Baumdiagramm zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit ungeeignet, da die Zahl der Möglichkeiten sehr hoch ist (dazu
später mehr). Stattdessen kehren wir wieder zur Urne mit verschiedenfarbigen
Kugeln zurück.
Beispiel 7: Urne mit weißen und roten Kugeln
Aus einer Urne mit 2 weißen und 3 roten Kugeln soll nacheinander ohne Zurücklegen jeweils eine Kugel gezogen werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) zwei weiße Kugeln gezogen werden?
b) zwei rote Kugeln gezogen werden?
Zur Lösung des Problems kann ein Baum gezeichnet werden (Abbildung 8).
Abbildung 8: detaillierter Baum
Man sieht, dass es insgesamt 20 mögliche Varianten gibt, wenn in zwei Stufen
Kugeln gezogen werden (Abbildung 8). Hiervon sind aber nur 2 Möglichkeiten
vorhanden, dass nacheinander nur weiße Kugeln kommen (Abbildung 9). Die
Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Kugeln ergibt sich also so:
P W ,W  
2 1

20 10
Abbildung 9
Für zwei rote Kugeln nacheinander bekommt man in ähnlicher Weise 6 mögliche Ausgänge des Versuches. Für die Wahrscheinlichkeit erhält man folglich:
P R, R 
6
3

20 10
Die Abbildung 8 bis Abbildung 9 ermöglichen zwar das bequeme Auszählen
und damit ein einfaches Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, jedoch ufern schon
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bei zwei Stufen und nur zwei Farben die Bäume aus. Daher sind die kompakten
Formen viel besser geeignet, da sie viel Raum sparen (Abbildung 10). Man kann
die Wahrscheinlichkeit hier ebenso bestimmen.
Abbildung 10: kompakter Baum
1. Versuch
2. Versuch
Abbildung 11: Lösungen im Baumdiagramme in kompakter Form
Da in der kompakten Form der Bäume die Auffächerung fehlt, bekommt man
die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse durch Multiplikation der Nenner der
Kantenbeschriftungen und die Zahl der günstigen Fälle durch Multiplikation der
Zähler.
2 1 2
1
3 2 6
3
P W ,W    
  0,1  10% bzw. P R, R   
  0,3  30%
5 4 20 10
5 4 20 10
Die Kantenbeschriftungen im Baumdiagramm entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der dargestellten Ereignisse. Außerdem ist es so, dass die Ereignisse, die
einem Pfad durch den Baum folgen, voneinander abhängig sind.
Daraus kann man folgende Regel ableiten:
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Satz 4: Pfadregel/ Produktregel für abhängige Ereignisse
Für die n Ereignisse E1 bis En mit den Wahrscheinlichkeiten P1 bis Pn , die voneinander abhängig sind, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Pfadregel/Produktregel
P E1 , E2 ,
, En   P1  P2 
 Pn
(9)
Bei Ereignissen, die nicht voneinander abhängig sind, gilt die sogenannte Summenregel:
Satz 5: Summenregel für unabhängige Ereignisse
Für die n Ereignisse E1 bis En mit den Wahrscheinlichkeiten P1 bis Pn , die voneinander unabhängig sind, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit aus dem
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Pfadregel/Produktregel
P E1 , E2 ,
, En   P1  P2 
 Pn
(10)
Als Beispiel für unabhängige Ereignisse können wir das Beispiel 7 abwandeln,
in dem bei sonst gleichen Bedingungen nach einem anderen Ereignis gefragt
wird.
Beispiel 8
Aus einer Urne mit 2 weißen und 3 roten Kugeln soll nacheinander ohne Zurücklegen jeweils eine Kugel gezogen werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unabhängig von der Reihenfolge eine
weiße und eine rote Kugel gezogen wird?
Abbildung 12: rote oder weiße Kugeln
Die Abbildung 12 zeigt deutlich, dass es zwei verschiedene Pfade gibt, um die
Ereignisse darzustellen. Wenn zuerst eine weiße und dann eine rote Kugel
kommt, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür aus der Pfadregel:
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S. 13
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2 3 6
3
P W , R   

5 4 20 10
Für die andere Reihenfolge gilt:
3 2 6
3
P R,W    

5 4 20 10
D.h. für diese beiden Fälle wird die Pfadregel angewendet, da hier das 2. Ereignis, nämlich die Auswahl der Kugel, vom 1. Ereignis abhängt.
Ob aber die Reihenfolge „weiße Kugel-rote Kugel“ sein wird oder „rote Kugelweiße Kugel“, hängt nicht voneinander ab. Daher wird im 2. Schritt die Summenregel angewendet.
P W , R  R,W    P W , R  P R,W  
3 3

10 10
6 3
   60%
10 5

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5.2 Kombinatorik
Um die Wahrscheinlichkeit ermitteln zu können, benötigt man die Anzahl aller
möglichen Fälle, die bei einem Zufallsversuch auftreten können. Wie wir gesehen haben, kann man dazu als Hilfsmittel die Baumdiagramme benutzen. Jedoch
stoßen diese Diagramme schnell an ihre Grenzen. Im folgenden Kapitel wollen
einige ausgewählte Szenarien kennenlernen, bei denen Baumdiagramme ungeeignet sind und wir werden Formeln kennenlernen, mit denen die Anzahl aller
möglichen Fälle berechnet werden kann.
5.2.1 Permutationen
Ein häufig auftretendes Problem ist die Frage, wie viele Möglichkeiten existieren um n Elemente einer Menge anzuordnen. Als Beispiel soll hierbei helfen, die
Gesetzmäßigkeiten zu erkennen.
Beispiel 9
Die Buchstaben des Wortes HAUS sind durcheinander
geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man
mit geschlossenen Augen die Buchstaben wieder richtig ordnet.
Keine Wiederholung von Buchstaben!
Lösung mittels Baumdiagramm: Wir können das Anordnen der Buchstaben als ein Zufallsexperiment betrachten, welches in 4 Stufen abläuft, da vier Buchstaben anzuordnen sind (Abbildung 13).
Abbildung 13: Permutationen und lexikographische Anordnung
Lösung: Es gibt 24 Möglichkeiten die Buchstaben anzuordnen aber nur 1 richtige Lösung.
P
1
 0,0417=4,17%
24
Die Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Auswählen der Buchstaben beträgt ca.
4,2%.
Man sieht leicht, dass ein solches Diagramm komplex ist und dass man für ein
längeres Wort auf keinen Fall diese Methode einsetzen kann.
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Wir analysieren jetzt den Baum, um Gesetzmäßigkeiten zu finden, die uns bei
größeren Problemen helfen sollen ohne Baum auszukommen.
1. In der ersten Stufe des Experiments existieren 4 Auswahlmöglichkeiten.
2. Bei der 2. Stufe existieren nur noch 3 Möglichkeiten.
3. Die 3. Stufe ermöglicht nur noch 2 verschiedene Möglichkeiten.
4. Die 4. Stufe hat nur noch 1 Möglichkeit.
Abbildung 14
Stufe
Verzweigungen
1
4
2
3
3
2
4
1
Berechnung
4  3  2 1  24
Wenn wir links die Liste der möglichen Worte (Abbildung 13) durchzählen, erhalten wir ebenfalls 24 Möglichkeiten.
Bei Worten mit 4 Buchstaben, die sich nicht wiederholen, gibt es 4  3  2 1  24
Möglichkeiten. Bei Worten mit 3 Buchstaben, die sich nicht wiederholen, sind
es 3  2 1  6 Möglichkeiten usw.
Diese Produkte nennt man Fakultät und man schreibt abkürzend 4  3  2 1  4!
(sprich: 4 Fakultät)
0!  1 (per Definition festgelegt)
1!  1
2!  2 1  2
3!  3  2 1  6
4!  4  3  2 1  24
5!  5  4  3  2 1  120
6!  6  5  4  3  2 1  720
7!  7  6  5  4  3  2 1  5040
8!  8  7  6  5  4  3  2 1  40.320
9!  9  8  7  6  5  4  3  2 1  362.880
10!  10  9  8  7  6  5  4  3  2 1  3.628.800
…
Für große n berechnet man n! mit Hilfe der Formel von Stirling::
n
n !  2 n   
e
für große n n 
n
(11)
bzw.
n
n !  2 n   
e
für große n n 
n
1
1 


1 
2 
 12n 288n  (12)
Der Taschenrechner berechnet die Fakultäten nur bis ca. 69!
Definition 6
Eine Anordnung von n Elementen auf n Positionen ohne Wiederholung heißt
Permutation. Die Anzahl der Permutationen berechnet sich aus
(13)
P  n   Pn  n!  n   n  1   n  2   3  2 1
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5.2.2 Auswahlprobleme
Nicht immer soll aus einer Grundgesamtheit eine vollständige Auswahl getroffen und in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden, so wie es bei den
Permutationen war. In diesem Kapitel wird aus einer Gesamtheit nur ein Teil der
Elemente ausgewählt.
5.2.2.1 Variationen
Bei Variationen wird aus einer Grundgesamtheit nur ein Teil der Elemente ausgewählt, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Ziffern 2 nacheinander ohne Zurücklegen
auszuwählen und eine zweistellige Zahl zu bilden? (2 aus 5)
Beispiel 10
Lösung 1: Baumdiagramm
Abbildung 15
Das Zählen der Pfade liefert als Ergebnis: 20 Möglichkeiten.
Wie schon angemerkt, sind die Baumdiagramm nur für wenige ausgewählte
Beispiele geeignet, da sie schnell sehr groß werden. Für Berechnungen ist Definition 7 hilfreich:
Definition 7
Eine Auswahl von k Elementen aus n Elementen (k<n) mit Berücksichtigung
der Reihenfolge heißt Variation.
Die Anzahl der Möglichkeiten ohne Wiederholung berechnet sich aus
V  n, k   Vnk 
n!
 n  k !
(14)
Die Anzahl der Möglichkeiten mit Wiederholung berechnet sich aus
W
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V  n, k   WVnk  nk
(15)
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Beispiel 11
Lösung 2 zu Beispiel 10 : Rechnung
Auswahl 2 aus 5 ohne Wiederholung
1
5!
5! 5  4 3  2 1
 
 5  4  20
3  2 1 1
 5  2 ! 3!
5.2.2.2 Kombinationen
Wenn bei einem Auswahlproblem die Reihenfolge keine Rolle spielt, so spricht
man von einer Kombination.
Definition 8
Eine Auswahl von k Elementen aus n Elementen (k<n) ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge heißt Kombination.
Die Anzahl der Möglichkeiten ohne Wiederholung berechnet sich aus
C  n, k   Cnk 
Kombination o.W.
n
n!
 
 n  k  !k !  k 
(16)
n
Der Ausdruck   heißt Binomialkoeffizient.
k 
Die Anzahl der Möglichkeiten mit Wiederholung berechnet sich aus
Kombination m.W.
W
C  n, k   W Cnk 
 n  k  1!   n  k  1
 n  1!k !  k 
(17)
Die Binomialkoeffizienten lassen sich mit Hilfe der Gleichung (16) berechnen
oder aus dem Pascalschen Dreieck bestimmen. Das Pascalsche Dreieck wird
ebenfalls benutzt, um Binome höheren Grades in Summen umzuformen.
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S. 18
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Tabelle 1
a  b
1
a  b
2
a  b
3
a  b
4
a  b
5
a  b
0
=1
1
1
1
1
1
1
1
3
5
6
2
4
 a 2  2ab  b2
1
3
6
10
15
ab
1
4
10
20
 a 3  3a 2 b  3ab2  b3
1
5
15
 a 4  4a 3b  6a 2 b2  4ab3  b4
1
 a 5  5a 4 b  10a 3b2  10a 2 b3
1
6
5ab4  b5
1
Die einzelnen Werte aus dem Pascalschen Dreieck nennt man auch Binomial 4  4  4  4  4
koeffizienten und schreibt für diese in der Kurzform z.B.   ,   ,   ,   ,  
 0  1  2  3  4
 4
  wird so ausgesprochen: 4 über 0 und bedeutet, dass man den 1. Koeffizien0
ten (die Nummern beginnen mit Null) für ein Binom zur 4. Potenz meint. Hierbei werden die Koeffizienten mit Null beginnend nummeriert.
Also für ein Binom zur 4. Potenz heißen die Koeffizienten
 4
 4
 4
 4
 4
   1,    4,    6,    4,    1
0
1
 2
 3
 4
oder für ein Binom zur 5. Potenz
5
 5
5
 5
 5
 5
   1,    5,    10,    10,    5,    1
0
1
 2
 3
 4
 5
Das Pascalsche Dreieck kann man sich leicht merken und kann die Binomialkoeffizienten bestimmen, indem man das Dreieck zeichnet.
Für Polynome höheren Grades ist das allerdings eine aufwendige Angelegenheit. Viele Taschenrechner4 bieten deshalb
eine Funktion zur Berechnung der Binomialkoeffizienten.
Abbildung 16: SHARP EL-531WH: Binomialkoeffizient
Der Sharp-Taschenrechner EL-531 WH hat die Funktion nCr
(zweite Belegung der Tastatur in orange) zur Berechnung der
Binomialkoeffizienten.
4
Am BGW ist z.Z. der Sharp EL-531 WH neben dem Casio fx-991 ES im Einsatz.
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Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Abbildung 17: Casio fx-991 ES
Für den Taschenrechner Casio fx-991 ES
gibt es die Funktion nCr ebenfalls (zweite
Belegung der Tastatur in braun)
Zur verwendeten Symbolik im folgenden
Beispiel 12: Für die folgenden Rechenablaufpläne werden Zahlen normal als Zahlen
(inklusive Komma) geschrieben. Tasten werden mit Hilfe von
Klammern z.B. [:] oder [x] oder [=] oder [nCr] geschrieben.
Beispiel 12: Berechnung der Binomialkoeffzienten mittels des Taschenrechners Sharp EL 531 WH
Bestimme für ein Binom der 5. Potenz die Bimialkoeffizienten.
 5  5  5   5  5   5
 Gesucht sind die Koeffizienten   ,   ,   ,   ,   ,  
 0   1   2   3  4   5
 Lösung: Taschenrechnerfunktion5: nCr (Zweitbelegung der Taste 5)
5
 Rechenablaufplan für   : 5[2nd][nCr]0[=] Ergebnis: 1
0
5
 Rechenablaufplan für   : 5[2nd][nCr]3[=] Ergebis: 10
 3
Beispiel 13: Berechnung der Binomialkoeffzienten mittels des Taschenrechners Casio fx-991 ES
 Lösung: Taschenrechnerfunktion6: nCr (Zweitbelegung der TasteP)
5
 Rechenablaufplan für   : 5 qP 0 = Ergebnis: 1
0
5
 Rechenablaufplan für   :5 qP 0 = Ergebis: 10
 3
Mit dem Taschenrechner bekommt man recht schnell das Ergebnis: die Binomi5
 5
5
 5
 5
 5
alkoeffizienten lauten:    1,    5,    10,    10,    5,    1
0
1
 2
 3
 4
 5
Einschlägige Tafelwerke (siehe Literaturanhang) liefern Tafeln mit den Binomialkoeffizienten.
5
Tastenangaben beziehen sich auf den Sharp EL-531 WH.
Tastenangaben beziehen sich auf den Casio fx-991 ES.
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6
S. 20
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Übung 1
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Pferderennen von 10 Pferden
die ersten 3 Plätze genau in der richtigen Reihenfolge vorherzusagen?
Lösung:
Reihenfolge
V103 
wichtig,
keine
Wiederholung:
Variation
10!
10  3!
10! 10  9  8  7  6  5  4  3  2 1


7!
1 7  6  5  4  3  2 1
1
 720
P  Platz123  
1
 0,001389=0,14%
720
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 39 einen Sechser zu
bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 6 aus 49?
Lösung: Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung  Kombination
C396 
 39 
39!
 
 39  6 !6!  6 
39! 39  38  37  36  35  34  33  32  31 3  2 1


1
33!6!
33  32  31 3  2 1  6!
13

19
39  38  37  36
1
1
21
63
1
7
 35  34
1
17
1
6  5  4  3  2 1
 13 19  37  3  7 17
 3.262.623
P 6er 39  
1
3.262.623
 3, 06501854 107  3, 06501854 105%
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S. 21
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
6
C49

 49 
49!
 
 49  6 !6!  6 
49!
43!6!
 13.983.816

P 6er 49  
1
13.983.816
 7,15112384 108  7,15112384 106 %
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S. 22
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
5.3.1 Verknüpfungen von Ereignissen
5.3.1.1 Mengen
Viele Geschehnisse bestehen nicht aus einem einzelnen Ereignis vielmehr setzen
sie sich aus mehreren Ereignissen zusammen. Diese Ereignisse können zusammen auftreten oder es tritt nur ein Ereignis der beiden auf. Für eine Beschreibung des Geschehnisses ist es zweckmäßig, wenn man die verknüpften Ereignisse mathematisch beschreiben kann.
Hierbei benutzt man die Schreibweisen, die auch in der Mengenlehre üblich
sind, da zufällige Ereignisse ebenfalls als Mengen aufgefasst werden können.
Definition 9: Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen
Objekten aus unserer Anschauung oder unserem Denken zu einem Ganzen. Die
zusammengefassten Objekte heißen Elemente der Menge.
Definition 10: Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch
in B enthalten ist.
Abbildung 18
Abbildung 19
A
B
A= B
- A ist eine echte Teilmenge A  B - A ist eine Teilmenge von B
von B
oder gleich B
A B
Definition 11:
Zwei Mengen A und B heißen elementfremd (disjunkt), wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
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S. 23
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Definition 12:
Die Vereinigung der Mengen A und B Schreibweise: A  B  , ist die Menge aller
Elemente, die in A oder B enthalten sind.
Abbildung 20
Abbildung 21
A
A
B
Vereinigungsmenge
AB
Durchschnittsmenge
B
AB
Definition 13:
Der Durchschnitt der Mengen A und B Schreibweise: A  B  , ist die Menge aller
Elemente, die in A und B enthalten sind.
Definition 14:
Die Komplementärmenge von A Schreibweise: A , ist die Menge aller Elemente,
die nicht in A enthalten sind.
Abbildung 22: Komplementärmenge
A
A
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S. 24
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5.3.1.2 Verknüpfungen von Ereignissen
Mit Hilfe der soeben eingeführten Mengen lassen sich verschiedene Ereignisse,
die in einem gewissen Zusammenhang stehen veranschaulichen bzw. exakt mathematisch beschreiben. In der Tabelle 2 sind die möglichen Verbindungen von
Ereignissen kurz zusammengestellt.
Tabelle 2: Verknüpfung von Ereignissen
Verknüpfung der SchreibEreignisse
weise
Ereignis A und
Gegenereignis A
Mengendiagramm
Beispiel
Abbildung 23

A: Beim Würfeln tritt eine
„1“ auf. A  1

A  2,3, 4,5, 6

A: Beim Würfeln tritt eine
gerade Augenzahl auf.
A
Es tritt das Ereig- A  B
nis A und das
Ereignis B auf.
A
Abbildung 24
A
B
A  2, 4, 6

B  4,5, 6
AB
Es tritt das Ereig- A  B
nis A oder das
Ereignis B auf.
Abbildung 25
A
B

A  B  4, 6

A: Beim Würfeln tritt eine
gerade Augenzahl auf.
A  2, 4, 6

AB
Zwei Ereignisse A  B  
A und B sind unvereinbar
(d.h.
sie treten nicht
zugleich auf).

A  B  1, 2, 4, 6

A: Beim Würfeln tritt eine
gerade Augenzahl auf.
A  2, 4, 6
B

B: Beim Würfeln tritt eine
ungerade Augenzahl auf.
B  1,3,5

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B: Beim Würfeln tritt eine
Augenzahl kleiner 3 auf.
B  1, 2
Abbildung 26
A
B: Beim Würfeln tritt eine
Zahl größer 3 auf.
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A und B können nicht gleichzeitig auftreten
S. 25
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5.3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unter bedingter Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B, die voneinander
abhängen, versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausgang vom 1. Vorgang den Ausgang des zweiten Vorgangs beeinflusst.
Beispiel 14: unabhängige Ereignisse
Eine Frau bekommt nacheinander zwei Kinder.
Abbildung 27
Die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. nach der Geburt eines Mädchens ein Junge
geboren wird, ist nicht anders als wenn die Reihenfolge anders herum wäre.
Beim Kartenspielen ist das anders, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 15: abhängige Ereignisse
In einem Kartenspiel bestehend aus 4 Karten, sei ein Ass dabei. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit ein Ass zu ziehen?
Abbildung
Start
28:
Abbildung 29
Abbildung 30
Abbildung 31
1
.
4
1
Nach dem Ziehen der ersten Karte (Abbildung 29) ist die Chance für ein Ass ,
3
1
während sie nach dem Ziehen der 2. Karte beträgt. Für die letzte Karte steigt
2
Vor dem 1. Ziehen (Abbildung 28) ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass
die Wahrscheinlichkeit dann auf 1.
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S. 26
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Abbildung 32
Man erkennt schnell, dass der Ausgang des vorherigen Vorgangs die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ereignisses beeinflusst7.
Den Wert für die bedingte Wahrscheinlichkeit erhält man entweder aus dem
Baumdiagramm (Abbildung 33) oder aus den folgenden Formeln (19) oder (20).
Abbildung 33: Baumdiagramm zur bedingten Wahrscheinlichkeit
P  A  B






P A B
P A B
P A B
(Bezeichnungen in Abbildung 33: P_A(B)  PA ( B) , … P_A(B)=PA ( B) )
Aus der Abbildung 33 ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit P  A  B  mit
P  A  B   P  A  PA  B 
(18)
Wenn wir Formel (18) nach PA  B  umstellen, ergibt sich eine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung von A. Analog geht man
vor, wenn man die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung von
B bestimmen will.
7
Im Jahre 1962 veröffentlichte der amerikanische Mathematiker Edward O. Thorp (geb. 1932) in seinem Buch
„Beat the Dealer“ ein System, welches auf der Basis der bedingten Wahrscheinlichkeit beruht, um die Gewinnchancen beim Glücksspiel „Black Jack“ (abgeleitet aus dem Spiel „Siebzehn und vier“ oder „Vingt et un“) zu
verbessern. – Die Spielbanken änderten daraufhin die Spielregeln.  siehe Thorp 1962, Thorp 1966, Wikipedia
2011 Thorp und Wikipedia 2011 Black Jack
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S. 27
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Definition 15: bedingte Wahrscheinlichkeit
Es seien A und B zwei Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten P  A  0 und
P  B   0 . Dann gilt für die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P  A | B   PB  A 
P  B | A  PA  B  
P  A  B
P  B
P  A  B
P  A
(19)
(20)
P  A | B   PB  A = Wahrscheinlichkeit P(A) unter der Bedingung von B
P  B | A  PA  B  = Wahrscheinlichkeit P(B) unter der Bedingung von A
5.3.3 Die Vierfeldertafel
Bei statistischen Untersuchungen werden oft mehrere Merkmale von zufälligen
Prozessen untersucht und man interessiert sich dafür, ob es einen Zusammenhang gibt. Am Beispiel von Prozessen mit zwei Merkmalen soll eine Methode
erklärt werden, wie bedingte Wahrscheinlichkeiten durch relative Häufigkeiten
abgeschätzt werden können.
Wir nehmen an, dass es zwei Merkmale M1 und M2 gibt, die Untersucht werden
sollen. Das könnten z.B. der Besitz eines Fahrrades und das Geschlecht des Besitzers sein. Das Ereignis A bzw. A könnte für das Auftreten des Geschlechts
stehen und das Ereignis B bzw. B für den Besitz des Fahrrades.
Abbildung 34
Abbildung 34 bedeutet:
Ereignis A: Merkmal M1 tritt auf; Ereignis A : Merkmal M1 tritt nicht auf
Ereignis B: Merkmal M2 tritt auf; Ereignis B : Merkmal M2 tritt nicht auf
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Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
In der Tabelle 3 haben die Formelzeichen folgende Bedeutung:
Häufigkeit von A unter der
Bedingung von B
n A, B
n A, B
Häufigkeit von A unter
der Bedingung von B
n A, B
nB
Häufigkeit von B
nB
n A, B
Häufigkeit von A unter
der Bedingung von
nA
Häufigkeit von A
nA
Häufigkeit von
n
Summe
B
A unter
der Bedingung von B
Häufigkeit von B
Häufigkeit von
A
Tabelle 3: Vierfeldertafel allgemein
Merkmal M2
B
Merkmal M1
Summe
A
n A, B
B
n A, B
A
n A, B
n A, B
nA
nB
nB
n
nA
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann:
P  A 
nA
n
PA  B   P  B | A 
 


PA B  P B | A 
(21)
n A, B
(22)
nA
n A, B
(23)
nA
Wenn wir die Tafel auf das Beispiel mit dem Fahrrad und Geschlecht anwenden,
so könnte bei einer Befragung von 1000 Personen8 eventuell folgendes Ergebnis
auftauchen:
Beispiel 16
Tabelle 4: Vierfeldertafel: Besitz eines Fahrrades in Abhängigkeit vom Geschlecht in absoluten Zahlen
Geschlecht
8
♂
♀
Fahrradbesitz
Fahrrad
Kein Fahrrad
468
52
432
48
900
100
Summe
520
480
1000
siehe Sill et al. 2004; S. 102
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S. 29
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Wenn eine Frau ein Fahrrad besitzt kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
432
 0,9 aus näherungsweise bestimmt werden.
480
Die Wahrscheinlichkeit eines männlichen Fahrradbesitzers P  ♂, Fahrrad  ergibt
mit P1  P ♀, Fahrrad  
sich mit P2  P  ♂, Fahrrad  
486
 0,9
520
Eine Frau ohne Fahrrad wäre dann P3  P ♀, keinFahrrad  
48
 0,1
480
Dass ein Mann kein Fahrrad besitzt wäre dann P4  P  ♂, keinFahrrad  
52
 0,1
520
Die Wahrscheinlichkeiten für den Fahrradbesitz unter der Bedingung des Geschlechts ist in beiden Fällen gleich, d.h. der Fahrradbesitzt ist unabhängig vom
Geschlecht.
Man hätte den Zusammenhang analog auch über den Nichtbesitz ermitteln können.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten können in der Praxis zur Erkenntnisgewinnung
genutzt werden. Z.B. führt ein Arzt ein Gespräch mit seinem Patienten. Durch
dieses Gespräch erfährt der Arzt die ersten Fakten über die Krankheit. Da der
Patient keine medizinische Ausbildung besitzt, sind seine Angaben eher ungenau und die erste Diagnose des Arztes ist nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit P  G  richtig.
Jetzt lässt der Arzt Untersuchungen machen z.B. des Blutes. Hierbei wird mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit P U  ein weiteres Krankheitssymptom festgestellt oder auch nicht.
Jetzt kann der Arzt mit einer neuen Wahrscheinlichkeit eine Hypothese aufstellen, welche Krankheit der Patient wohl hat.
Aus der Vierfeldertafel kann ein Baumdiagramm gewonnen werden bzw. aus
einem Baumdiagramm lässt sich leicht eine Vierfeldertafel ableiten. Im Weiteren folgen dazu einige Beispiele.
Beispiel 17: Tests in der Medizin Quelle: Roolfs 2011
Bei einem medizinischen Test wird mit 80% Sicherheit erkannt, dass ein Patient
erkrankt ist. Bei Gesunden wird zeigt der Test zu 2% irrtümlich die Krankheit
an. Es sei bekannt, dass 0,1% der Bevölkerung an der untersuchten Krankheit
erkrankt sind.
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S. 30
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Für dieses Bsp. soll die Darstellung in einem Baumdiagramm bzw. über eine
Vierfeldertafel erarbeitet werden.
Lösung: Baum-Diagramm
In der Medizin wird von positiven und negativen Testergebnissen in einer oft
missverstandenen Weise gesprochen: In Tests wird ein bestimmtes Merkmal
untersucht. Man fragt hierbei, ob es auftritt.
POSITIV bedeutet, dass das Merkmal anzutreffen war.
NEGATIV bedeutet, dass das Gesuchte nicht auftrat.
Zur Lösung des Problems im Beispiel kann das Auftreten der Krankheit sowie
das Testen auf die Krankheit als Baumdiagramm in 2 Stufen darstellen.
Abbildung 35: ein Baumdiagramm für medizinischen Test
1. Stufe: Auftreten der
Krankheit
2. Stufe: Test positiv9 bei
kranken Patienten
Test positiv bei gesunden
Patienten
0,08%
1,998%
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einem Kranken den Erreger findet?
Die Fragestellung kann mittels Pfadregel (Produktregel) beantwortet werden:
P  krank , Test    P  krank   P Test  
 0, 001 0,8
 0, 0008  0, 08%
Damit kann das erste Feld der Vierfeldertafel ausgefüllt werden.
Abbildung 36: Vierfeldertafel (1)
positiv (+)
Test
Krankheit
krank
Gesund
80%•0,1%=0,08%
oder
0,8•0,001=0,0008
Summe
negativ ( - )
Für den Fall, dass ein Gesunder ein positives Testergebnis bekommt, kann man
analog dem Pfad aus Abbildung 35 folgen:
9
Test positiv: d.h. der Test findet einen Krankheitserreger
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Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
P  gesund , Test    P  gesund   P Test  
 0,999  0, 02
 0, 01998  1,998%
Abbildung 37: Vierfeldertafel (2)
positiv (+)
Test
Krankheit
krank
Gesund
80%•0,1%=0,08%
99,9%•2%=1,998%
oder
oder
0,8•0,001=0,0008
0,999•0,02=0,01998
Summe
2,078%
0,02078
negativ ( - )
Der Vollständigkeit wegen berechnen wir noch die fehlenden Felder der Tafel,
in denen erkennbar ist, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass für einen
Kranken der Test versagt (negativer Befund) und seine Krankheit unerkannt
bleibt bzw. dass ein Gesunder ein negatives Testergebnis bekommt.
Abbildung 38: ein vollständiger Baum
Kranker mit negativem Befund:
P  krank , Test    P  krank   P Test  
Gesunder mit negativem Befund:
P  gesund , Test    P  gesund   P Test  
 0, 001 0, 2
 0,999  0,98
 0, 0002  0, 02%
 0,97902  97,9%
Abbildung 39: Vierfeldertafel (3)
positiv (+)
Test
negativ ( - )
Summe
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Krankheit
krank
gesund
80%•0,1%=0,08%
99,9%•2%=1,998%
oder
oder
0,8•0,001=0,0008
0,999•0,02=0,01998
0,0002=0,02%
0,97902=97,9%
0,001=0,1%
0,999=99,9%
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Summe
2,078%
0,02078
0,97922=97,922%
100%
S. 32
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
5.4 Register Klasse 10: Stochastik 1
Auswahlprobleme 17
Baudiagramm 9, 10
Baumdiagramm 9, 10, 11, 12, 15,
17, 27
bedingte Wahrscheinlichkeit 26, 27,
28
Bernoulli 2, 38
Binom 19, 20
Binomialkoeffizient 18, 19
Binomialkoeffizient mit dem
Taschenrechner berechnen 19
Binomialkoeffizient mit
Pascalschem Dreieck bestimmen
19
disjunkt 23
Durchschnitt 24
Durchschnittsmenge 24
elementfremd 23
Ereignis 5, 6, 7, 8, 13, 14
Ereignis, abhängiges 13
Ereignis, sicheres 8
Ereignis, unabhängiges 13
Ereignis, unmögliches 8
Erkenntnisgewinnung 30
Fermat 4, 38
Formel von Stirling 16
Gauß 2
Gegenereignis 5, 7
Gesetz der großen Zahl 8
Häufigkeit, absolute 5
Häufigkeit, relative 6
Hypothese 30
Kolmogorow 4
Kombination 18
Kombination mit Wiederholung 18
Kombination ohne Wiederholung
18
Kombinationen 18
Mathematik_Klasse10_05-Stochastik1_on1314 * März 2014 V2.3.8
Kombinatorik 15
Komplementärmenge 24
lexikographische Anordnung 15
Menge 5, 15, 23, 24
Näherungswert 8
Pascal 4, 38
Pascalsches Dreieck 18
Permutation 16
Permutationen 15, 16, 17
Pfadregel 13, 14
Produktregel 13
Stirling 16
Stochastik 4, 33, 34, 37
Summenregel 13, 14
Teilmenge 23
Urne 10, 11, 13
Variation 17
Variation mit Wiederholung 17
Variation ohne Wiederholung 17
Variationen 17
Vereinigung 24
Vereinigungsmenge 24
Verknüpfungen von Ereignissen 23,
25
Vierfeldertafel 28, 29
Wahrscheinlichkeit 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 15, 21, 26, 27, 28, 30
Wahrscheinlichkeit abhängiger
Ereignisse 13
Wahrscheinlichkeit unabhängiger
Ereignisse 13
Zeitpunkt des Auftretens 8
Zufallsereignis 5
Zufallsexperiment 5, 6, 9, 10, 15
Zufallsexperiment, einstufiges 9
Zufallsexperiment, mehrstufiges 9,
10
Zufallsexperimente 9
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S. 33
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
5.5 Verzeichnis der Abbildungen, Tabellen, Quelltexte und Definitionen
Klasse 10: Stochastik 1
Abbildungen:
Abbildung 1: Blaise Pascal (1623-1662) /4 / ........................................................ 4
Abbildung 2: Pierre de Fermat (1607-1665) /5/.................................................... 4
Abbildung 3: Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903-1987) /6/ ................... 4
Abbildung 4: Baumdiagramm für einen 1-stufigen Würfelversuch (ausführliche
Form) ............................................................................................................. 9
Abbildung 5: Baumdiagramm für einen 1-stufigen Würfelversuch: Würfeln
einer geraden Augenzahl ............................................................................... 9
Abbildung 6: Baumdiagramm für Urnen-Versuch ............................................. 10
Abbildung 7 ......................................................................................................... 10
Abbildung 8: detaillierter Baum.......................................................................... 11
Abbildung 9 ......................................................................................................... 11
Abbildung 10: kompakter Baum ......................................................................... 12
Abbildung 11: Lösungen im Baumdiagramme in kompakter Form ................... 12
Abbildung 12: rote oder weiße Kugeln ............................................................... 13
Abbildung 13: Permutationen und lexikographische Anordnung ...................... 15
Abbildung 14 ....................................................................................................... 16
Abbildung 15 ....................................................................................................... 17
Abbildung 16: SHARP EL-531WH: Binomialkoeffizient ................................. 19
Abbildung 17: Casio fx-991 ES .......................................................................... 20
Abbildung 18 ....................................................................................................... 23
Abbildung 19 ....................................................................................................... 23
Abbildung 20 ....................................................................................................... 24
Abbildung 21 ....................................................................................................... 24
Abbildung 22: Komplementärmenge .................................................................. 24
Abbildung 23 ....................................................................................................... 25
Abbildung 24 ....................................................................................................... 25
Abbildung 25 ....................................................................................................... 25
Abbildung 26 ....................................................................................................... 25
Abbildung 27 ....................................................................................................... 26
Abbildung 28: Start ............................................................................................. 26
Abbildung 29 ....................................................................................................... 26
Abbildung 30 ....................................................................................................... 26
Abbildung 31 ....................................................................................................... 26
Abbildung 32 ....................................................................................................... 27
Abbildung 33: Baumdiagramm zur bedingten Wahrscheinlichkeit.................... 27
Abbildung 34 ....................................................................................................... 28
Abbildung 35: ein Baumdiagramm für medizinischen Test ............................... 31
Abbildung 36: Vierfeldertafel (1) ....................................................................... 31
Abbildung 37: Vierfeldertafel (2) ....................................................................... 32
Mathematik_Klasse10_05-Stochastik1_on1314 * März 2014 V2.3.8
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Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Abbildung 38: ein vollständiger Baum ............................................................... 32
Abbildung 39: Vierfeldertafel (3) ....................................................................... 32
Definitionen:
Definition 1: Absolute Häufigkeit ......................................................................... 5
Definition 2: relative Häufigkeit ........................................................................... 6
Definition 3: Wahrscheinlichkeit .......................................................................... 7
Definition 4: Erwartungswert ................................................................................ 7
Definition 5............................................................................................................ 8
Definition 6.......................................................................................................... 16
Definition 7.......................................................................................................... 17
Definition 8.......................................................................................................... 18
Definition 9: Menge ............................................................................................ 23
Definition 10: Teilmenge .................................................................................... 23
Definition 11: ...................................................................................................... 23
Definition 12: ...................................................................................................... 24
Definition 13: ...................................................................................................... 24
Definition 14: ...................................................................................................... 24
Definition 15: bedingte Wahrscheinlichkeit ....................................................... 28
Gleichungen, Formeln
H H
 100%
(24) ........................................................................................ 6
n n
Anzahl günstiger Ereignisse
P  A 
Anzahl möglicher Ereignisse
(25)........................................................ 7
Anzahl günstiger Ereignisse
P  A 
100%
Anzahl möglicher Ereignisse
h
 
P  A  1  P  A
P  A  1  P  A
P  A  P A  1
E X   n P X 
P   1
P    0
(26) ............................................................................................ 7
(27) ............................................................................................ 7
(28) ............................................................................................ 7
(29) ............................................................................................ 7
(30) .................................................................................................... 8
hgroß  E   P  E 
(31) ............................................................................................ 8
Pfadregel/Produktregel P E1 , E2 , , En   P1  P2   Pn (32) .............................. 13
Pfadregel/Produktregel P E1 , E2 , , En   P1  P2   Pn (33) .......................... 13
P  n   Pn  n!  n   n  1   n  2   3  2 1 (34) ........................................................ 16
V  n, k   Vnk 
W
n!
 n  k !
V  n, k   WVnk  nk
(35)................................................................................... 17
(36) ...................................................................................... 17
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Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Kombination o.W. C  n, k   Cnk 
Kombination m.W.
W
P  A  B   P  A  PA  B 
P  A | B   PB  A 
P  B | A  PA  B  
P  A 
nA
n
C  n, k   W Cnk 
 n  k  1!   n  k  1
(38) ........................ 18
 n  1!k !  k 
(39) ............................................................................... 27
P  A  B
P  B
P  A  B
P  A
(40) ........................................................................ 28
(41) ........................................................................ 28
(42) .................................................................................................. 29
PA  B   P  B | A 
 
n
n!
   (37) ....................................... 18
 n  k  !k !  k 


PA B  P B | A 
n A, B
nA
n A, B
nA
(43)................................................................................. 29
(44)................................................................................. 29
Tabellen:
Tabelle 1 .............................................................................................................. 19
Tabelle 2: Verknüpfung von Ereignissen ............................................................ 25
Tabelle 3: Vierfeldertafel allgemein ................................................................... 29
Tabelle 4: Vierfeldertafel: Besitz eines Fahrrades in Abhängigkeit vom
Geschlecht in absoluten Zahlen................................................................... 29
Tabelle 5: Literaturquellen .................................................................................. 37
Tabelle 6: Bildquellen ......................................................................................... 38
Übung 1 ............................................................................................................... 21
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S. 36
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
5.6 Quellen Klasse 10: Stochastik 1
Tabelle 5: Literaturquellen
Appelhans et al. 1991 Appelhans, S.; Klingen, C.; Scheele, U.: 10. Schuljahr. Grundkurs. Westermann
Schulbuchverlag, 1991.
Paetec Tafelwerk Becker 2003 Becker, F.-M.: Formelsammlung. Bis zum Abitur ; Formeln, Tabellen,
Wissenswertes ; Version 2.1. Duden-Paetec-Schulbuchverl, Berlin, 2003.
Bittner 1973 Bittner, R.: Mathematik in Übersichten. Wissensspeicher für die Klassen 8 bis 10. Volk u.
Wissen, Berlin, 1973.
Bittner 1977 Bittner, R.: Kompendium der Mathematik. Volk u. Wissen, Berlin, 1977.
Busch et al. 1996
Busch, E.; Schmid, A.: Lambacher-Schweizer Mathematik 10. Ausgabe für
Sachsen-Anhalt. Klett-Schulbuchverl., Stuttgart, 1996.
Gellert et al. 1981
Gellert, W., Hersg; Kästner, H., Hersg; Neubert, S., Hersg: Lexikon der
Mathematik. Bibliogr. Inst., Leipzig, 1981.
Kantel et al. 2008
Kantel, I.; Lojewski, H. v.: Stochastik. Formeln und Tabellen ; Sekundarstufen I
und II ; Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik. Paetec Ges. für Bildung und
Technik, Berlin, 2008.
Kultusministerium Sachsen-Anhalt 2003 Rahmenrichtlinien Mathematik Land Sachsen-Anhalt. RRL
Mathematik. Mai 2003, 2003.
Lauter et al. 1995
1995.
Lauter, J.; Jahnke, T.: Mathematik Gymnasiale Oberstufe. Cornelsen, Berlin,
Mader et al. 1983
Mader, O.; Richter, D.: Wissensspeicher Mathematik. Differentialrechnung Integralrechnung - Vektorrechnung ; d. Wichtigste bis zum Abitur in Stichworten u.
Übersichten. Volk und Wissen, Berlin, 1983.
Maibaum 1987 Maibaum, G.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Volk und Wissen, Berlin, 1987.
Passon 2009 Passon, O.: Vierfeldertafel, Baumdiagramm und der AIDS-Test.
http://www.psiquadrat.de/downloads/AIDS-loesung.pdf, 22.03.2011.
Roolfs 2011 Roolfs, G.: Vier-Felder-Tafel. http://nibis.ni.schule.de/~lbsgym/klasse9pdf/VierFelderTafel.pdf, 22.03.2011.
Sill et al. 2004 Sill, H.-D., Hersg et al.: Lehrbuch Mathematik 10 Sachsen-Anhalt G. DUDEN PAETEC,
2004.
Thorp 1962 Thorp, E. O.: Beat the dealer. A winning strategy for the game of twenty-one ; a scientific
analysis of the world-wide game known variously as blackjack, twenty-one, vingt-et-un,
pontoon and Van John. Blaisdell, New York, 1962.
Thorp 1966 Thorp, E. O.: Beat the dealer. A winning strategy for the game of twenty one. Vintage
Books, New York, 1966.
2010
Wikipedia: Rekursion – Wikipedia. http://de.wikipedia.org/wiki/Rekursiv, 11.04.2010.
2010
Wikipedia: Limes (Grenzwall) – Wikipedia. http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_(Grenzwall),
04.05.2010.
Wikipedia 2010 Wikipedia: Prinzip von Cavalieri – Wikipedia.
http://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri, 17.10.2010.
Wikipedia 2010 Wikipedia: Zylinder (Geometrie) – Wikipedia.
http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie), 31.10.2010.
Mathematik_Klasse10_05-Stochastik1_on1314 * März 2014 V2.3.8
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S. 37
Mathematik Klasse 10: Stochastik 1
Wikipedia 2011 Thorp Wikipedia: Edward O. Thorp.
http://de.wikipedia.org/w/index.php?oldid=79319746, 22.03.2011.
Wikipedia 2011 Black Jack Wikipedia: Black Jack – Wikipedia.
http://de.wikipedia.org/w/index.php?oldid=86058110, 09.03.2011.
Tabelle 6: Bildquellen
1
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_
Friedrich_Gauss.jpg/468px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg
2
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/b/bb/Jakob_Bernoulli
3
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Bino
mial_distribution_pmf.svg/434pxBinomial_distribution_pmf.svg.png
4
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/4/4d/Pascal_Blaise.jpeg
5
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Pierre_de_Fe
rmat.jpg
6
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/4/43/Andrej_Nikolajewit
sch_Kolmogorov.jpg
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