Vielecke und Körper 1
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DOWNLOAD Bernhard Bäcker Vielecke und Körper 1 Kompetenzorientierte Aufgaben zum Anforderungsbereich „Reproduzieren“ Downloadauszug aus dem Originaltitel: Einleitung Mathematikunterricht vorzubereiten hat sich innerhalb der letzten Jahre stark verändert: Aufgabenstellungen müssen kompetenzorientiert sein, den Bildungsstandards Rechnung tragen. Gleichzeitig ist es weiterhin notwendig, zu differenzieren, den sehr unterschiedlichen Leistungs- und Niveauständen der Schüler gerecht zu werden und diese vorab zu ermitteln. Ein weiterer wichtiger Aspekt – der nicht neu ist: Die Schüler sollen lernen, selbstständig zu arbeiten und bei Schwierigkeiten nicht gleich aufzugeben, sondern sich Hilfen zu organisieren. Dieses Material soll Sie darin unterstützen, diesem Anforderungspaket gerecht zu werden. Orientierung an den Bildungsstandards/Kompetenzorientierung Alle Aufgaben sind klassifiziert nach den in den Bildungsstandards vorgegebenen enen Anforderungsbereien. Alle chen: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern/Reflektieren. Allerdings muss man chneidunge geben kann. beachten, dass es zwischen den Anforderungsbereichen immer auch Überschneidungen hematischen Kompet Eine Übersicht darüber, welche Aufgabe welche allgemeinen mathematischen Kompetenzen (s. S. 3f.) er Aufga ben beinhal fördert, finden Sie auf den Seiten 10f. Diese Zuordnung der Aufgaben beinhaltet die gleiche Schwierigeiche Nicht imme keit wie die Zuordnung zu den Anforderungsbereichen: immer ist sie e eindeutig möglich. ung v gaben na Insgesamt aber haben Sie eine Aufgabensammlung vorr sich liegen liegen, mit der Sie gezielt Aufgaben nach swählen könn en. Anforderungsbereich und Kompetenzen auswählen können. Ermittlung der Leistungsstände ngsstände und Differenzierung Di ng Die Ermittlung der Leistungsstände tungsstände ist ü über d die Auswertungsbögen nm möglich öglich (S. 6, 7). Z Zum um einen können sich die Schüler damit se selbst differenzierten Überblick über ihre und Kenntnisse verelbst einen diffe ber ihr re Fähig Fähigkeiten u schaffen und sehen, welc welche Inhalte sie noch weiter üben müssen sie noch zusätzliche Erkläfen un e Inhal en mü ssen bzw. wo s benötigen, gleichzeitig sehen sie aber auch,, was sie sch schon rungen benöti gen, gleichz on alles können. Zum anderen erhalten Überblick Ihrer Schüler. können Sie einen Über blick über das Leistungsprofil rofil Ihre chüler. So kön nnen Sie, aber auch die Schüler selbst, weitere sein, dass man an „der richtigen Stelle“ übt. Besonders eitere Aufgaben Aufgab gezielt auswählen und sicher sein wenn Schüler selbst organisieren und dafürr v verantwortlich sind, welche Aufgaben/Themen nn sich S nd selbst dafü sie bearbeiten, besteht ansonsten ear nsten die Gefahr, fahr, dass sie genau das üben, was sie schon gut können. Mithilfe der Auswertungsbögen und klassifizierten Aufgaben ist qualitative Differenzierung möglich: Starrtungsbö en un ke Schüler können Aufgaben bearbeiten, die neue Aspekte berühren, während Schwächere önnen komplexe Aufg noch Grundlagen bzw. üben, aber alle arbeiten an der gleichen Thematik weiter. Damit wird rundlage erarbeiten b auch vermieden, dass man die stärkeren Schüler dadurch langweilt, einfach nur mehr Aufgaben zu rmieden, d ass m berechnen, sie quas quasi für ihre Leistungsstärke bestraft. Was macht man nun, wenn die starken Schüler auch die anspruchsvollen Aufgaben berechnet haben und im Grunde keine weiteren Übungsaufgaben benötigen, schwächere Schüler hingegen aber noch Zeit brauchen? Zum einen kann man sich dann natürlich auf die Suche machen, nach noch anspruchsvolleren Aufgaben. Aber ist dies sinnvoll? Vielmehr sollte überlegt werden, wie man diese „Experten“ in den Unterricht einbinden kann, indem man ihre Kompetenzen nutzt: Sie können als Helfer fungieren und schwächere Schüler bei der Bearbeitung ihrer Aufgaben unterstützen. So durchdringen die starken Schüler den Stoff noch einmal von einer anderen Seite – denn Vermittlung von Wissen/Verbalisierung stellt andere Anforderungen in den Mittelpunkt. Die schwächeren Schüler können eine weitere Hilfequel- Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 1 Einleitung le nutzen – und gleichaltrige Schüler finden oftmals die „besseren“ Worte als der Lehrer. Natürlich müssen die Experten dafür sensibilisiert werden, dass Helfen nicht das Vorsagen der Lösung bedeutet! Nicht vergessen sollte man: Auch Sie profitieren von diesem System, werden entlastet. Sie können sich gezielt und mit mehr Ruhe der Förderung Einzelner widmen oder auch Aufgaben der Schüler auswerten und neue Übungspakete zusammenstellen. Die Tipp-Karten stellen einen weiteren Baustein der qualitativen Differenzierung dar: Manche Schüler sind in der Lage, die Aufgaben ohne diese zu lösen, andere nutzen diese Hilfe und können dadurch auch Aufgaben eines höheren Anforderungsbereiches lösen. Und die nächste Aufgabe „schaffen“ sie dann vielleicht ohne Tipp-Karte. Wobei: Sich Hilfen zu suchen und diese effektiv zu nutzen stellt eine ganz u nutz eigene, nicht zu unterschätzende Kompetenz dar (s. u.). Selbstständiges Arbeiten/Durchhaltevermögen Wer kennt es nicht: Spätestens bei der ersten Hürde im Lösungsprozess ösungsp ozess bomb bombardieren die Schüler den Lehrer mit Fragen. Ihnen fehlt oft allein die Idee, der Ansatz, die Lösung zu finden, und sie ha haben e, de nsatz, um d ie Lösun nicht das Durchhaltevermögen, weiter selbstständig Lehdig zu überlegen. Sie fordern sofort die Hilfe fe des L rers ein, der ihnen den richtigen Lösungsansatz Dadurch hat die Lehrkraft ansatz liefern efern soll. Dad ehrkraft keine e Zeit, sich intensiv um die Schüler „zu kümmern“, tatsächlich bedürfen. n“, die tatsäc hlich einer ausführlicheren Hilfestellung ilfestellung b dürfen. Denn die meisten Schüler könnten sehr wohl selbstständig lösen, aber nten die Aufgaben se stän ösen, a ber es ist ja so viel einfacher. Hier setzen das oben beschriebene Experten Tippkarten an. ben beschri bene „Helfer-System“ durch h Ex Exp en sowie die Tipp Vor allem mithilfe der Tippkarten kann das selbstständige Arbeiten verstärkt gefördertt werden. Auch eiten verstä rkt geförde Formelsammlungen, Schulbücher, Hilfequelle Verfügung stehen. Nutzt gen, Sch hulbücher, das Internet … sollten als Hilfeque quelle lle zu zur Verfü ein Schüler diese Quellen, sollte dies nicht als „Schwäche“ gewertet werden. ese Quellen äche“ g ewertet we rden Denn: Sich „die richtige“ organisieren, nachzuschlagen, zu re recherchieren dadurch die Aufgabe lösen zu können, ist Hilfe zu organ sieren, nac hieren und da durch d anspruchsvolle Kompetenz und sehr wichtig für persönliche und berufliche Zukunft! Formeln eine anspruch volle Ko hr wichti ür die persön li auswendig nachrangig betrachtet werden. uswendig zu können, sollte demgegenüber über als nac rangig b Wenn auf den Auswertungsbögen na bögen also abgefragt gefra wird, ob eine Hilfe genutzt wurde, so müssen die Schüler wissen, dass das Nutzen einer Hilfe nicht negativ bewertet wird. utzen eine cht n Kann ein Schüler ohne Hilfe lösen, ist dies natürlich toll, aber an dieser Stelle sollte man eher hüle er Aufgaben o hne H darauf achten, o ob ein Schüler, der zu einem falschen Ergebnis kam, Hilfen genutzt hat. Falls nicht, sollte daran mit gearbeitet it ihm gearb beitet werden! Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 2 Einleitung Allgemeine mathematische Kompetenzen und die drei Anforderungsbereiche im Fach Mathematik1 Die Aufgaben jeder DIN-A5-Aufgabenkarte wurden jeweils einem Anforderungsbereich zugeordnet – zu erkennen an der Anzahl der Punkte rechts in der Kopfzeile der Karte: • = Anforderungsbereich I • • = Anforderungsbereich II • • • = Anforderungsbereich III Darüber hinaus wird für jede Aufgabe angegeben, welche allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit ihnen geübt bzw. angewendet werden. Die Ein- und Zuordnung orientiert sich dabei natürlich an den aktuellen Bildungsstandards für das Fach Mathematik (Mittlerer Schulabschluss). Dennoch: Nicht immer s). De ist eine strikte Einteilung in die Anforderungsbereiche möglich, z. T. hängt diese natürlich auch von der e natü Lerngruppe ab. Genauso verhält es sich bei den allgemeinen Kompetenzen. (K 1) Mathematisch argumentieren Dazu gehört: – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch („Gibt …?“, „Wie verändertt sich… sich…?“, kteris ch sind („Gi bt es …?“ „Ist das immer so …?“) und Vermutungen begründet ründe äußern, – mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Beweise), keln (w e Erlä uterungen Begründungen, en, Beweise) ) – Lösungswege beschreiben und begründen. ründen. (K 2) Probleme mathematisch sch lösen Dazu gehört: – vorgegebene und selb selbst Probleme bearbeiten, bst formulierte P – geeignete Hilfsmittel, Strategien und Prinzi Prinzipien Problemlösen auswählen und eignet heuristische Hilfsmi pien zum Probl anwenden, Plausibilität Ergebnisse überprüfen sowie das Finden vo von Lösungsideen und die Lösungswege – die Plausibil tät der Er üfen sow nL reflektieren. (K 3) Ma Mathematisch modellieren eren Dazu gehört: – den Bereich oder Situation, er die Sit uation die modelliert werden sollen, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, onen übersetzen – in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, m jeweili en mathema – Ergebnisse dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und bnisse in d em ent prüfen. 1 Vgl.: Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 04.12.2003: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, S. 8ff. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 3 Einleitung (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Dazu gehört: – verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, – Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, – unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln. (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Dazu gehört: – mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, beiten – symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, mgekehr – Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, – mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, sinnvoll und verechner, Software) sin ständig einsetzen. (K 6) Kommunizieren Dazu gehört: – Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse bnisse dokumentieren, okumentieren, verständlich darstellen arstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter er Medien, – die Fachsprache adressatengerecht gerecht verwenden, – Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten ver verstehen überprüfen. u mathem erst en und üb berprüfen Die Anforde Anforderungsbereiche allgemeinen mathematischen Kompetenzen ungsbereic der a matischen Kompe tenz Es lassen sich Anforderungsbereiche un unterscheiden: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen h drei Anfor heiden: Repr oduzier sowie Verallge Verallgemeinern Allgemeinen nehmen Anspruch und kognitive Komplexität meinern und Reflektieren.. Im Allg einen nehme von Anforderungsbereich zu Anforderungsbereich zu. on Anforderu gsbereich zu Anforderungsbereich I: Reproduzieren rd eprodu Dieser Anforderungsbereich umfasst die W Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden ere ch um Begriffen, Sätzen und Verfa Verfahren hren in einem abgegrenzten Gebiet und einem sich wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen rungsbereich II Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigorderung keiten und Fä Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 4 Einleitung Daraus ergibt sich folgende Ausdifferenzierung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen: Reproduzieren Zusammenhänge herstellen Verallgemeinern und Reflektieren (K 1) Mathematisch argumentieren. Dazu gehört: – Routineargumentationen wiedergeben (wie Rechnungen, Verfahren, Herleitungen, Sätze, die aus dem Unterricht vertraut sind) – komplexe Argumentationen erläutern – überschaubare mehrschrittige Arguoder entwickeln mentationen erläutern oder entwickeln – verschiedene Argumentationen be– Lösungswege beschreiben und werten begründen – mit Alltagswissen argumentieren – Ergebnisse bzgl. ihres Anwendungskontextes bewerten – Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen erläutern – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind und Vermutungen begründet äußern (K 2) Probleme mathematisch lösen. Dazu gehört: – Routineaufgaben lösen („sich zu helfen wissen“) – einfache Probleme mit bekannten – auch experimentellen – Verfahren lösen – Probleme bearbeiten, deren Lösung die Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln, Strategien und Prinzipien erfordert – Probleme selbst formulieren – die Plausibilität von Ergebnissen nissen überprüfen – anspruchsvolle Probleme bearbeiten chsvolle Prob – das Finden und die nden von Lösungsideen Lösun Lösungswege reflektieren Lösun swege reflektie (K 3) Mathematisch modellieren. Dazu gehört: – vertraute und direkt erkennbare Modelle nutzen – einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt mathematische Objekte zuordnen – Resultate am Kontext prüfen fen – Modellierungen, die mehrere Schritte lierungen, d e mehr e Schr erfordern, vornehmen rfordern, vornehm n – Ergebnisse Modellierung interErg bnisse einer Mo l pretieren der Ausgangssituatipreti en und an de on prüfen pr n – einem mathematischen Modell passende send Situationen zuordnen – komplexe oder er unvertraute Situationen S ationen modellieren –v verwendete mathematische Modelle ete ma hematische Mod (wie Formeln, Darstellun(w ormeln Gleichungen, ichungen, Da von Zuordnungen, Zeichnungen, gen v n Zuordnung en, Z strukturierte Darstellungen, Ablaufplästruktu ierte Darstel ne) reflektieren und kritisch beurteilen e) refle tieren u (K 4) Mathem Mathematische Darstellungen verwenden. Dazu gehört: sche Darstel gen ve Darstellungen – vertraute und geübte eübte Darste Objekten und von mathematischen mathemati chen Obje oder nutzen Situationen anfertigen anf – Beziehungen Darstellungsnge zwischen chen Darstellun sformen erkennen und n erkenn nd zwischen den Darstellungsformen wechseln ellungsforme wechse eigene Darstellungen entwickeln –e – verschiedene Formen der Darstellung zweckentsprechend beurteilen – nicht vertraute Darstellungen lesen und ihre Aussagekraft beurteilen (K 5) Mit symbolischen, formalen Elementen der Mathematik umgehen. Dazu gehört: en und technischen hen E – Routineverfahren verwenden nden – Lösungss und Kontrollverfahren aus- – Lösungs- und Kontrollverfahren hin– mit vertrauten Formeln sichtlich ihrer Effizienz bewerten führen meln und SymSymbolen umgehen – Möglichkeiten und Grenzen der Nuten – symbolische und formale Sprache in – mathematische Forzung mathematischer Werkzeuge natürliche Sprache übersetzen und tische Werkzeuge Werkzeuge (wie F melsammlungen, reflektieren umgekehrt mmlungen Taschenrechner, aschenrechn Software) Situationen nutzen, in – mit Variablen, Termen, Gleichungen, e) in Situation en nut denen ihr Einsatz geü geübt wurde Funktionen, Tabellen und Diagrammen arbeiten – mathematische Werkzeuge verständig auswählen und einsetzen (K 6) Kommunizieren. Dazu gehört: – einfache mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich ausdrücken – aus kurzen, einfachen mathematikhaltigen Texten, Grafiken und Abbildungen Informationen entnehmen – auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen reagieren Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag – Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse verständlich darstellen – komplexe mathematikhaltige Texte, Grafiken und Abbildungen sinnentnehmend erfassen – die Fachsprache adressatengerecht verwenden – auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten eingehen – mit Fehlern konstruktiv umgehen – komplexe mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich präsentieren – komplexe mathematische Texte sinnentnehmend erfassen – Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten bewerten 5 Karte Inhalt/Ziel Leitidee eitid Auswertungsbogen (Lehrkraft) I II III derungsAnforderungsbereich eich TippTipp-Karte Sonstige Hilfen benutzt? Faz Fazit: Anmerkungen Einleitung Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 6 Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag Richtig gelöst? Hilfen benutzt? Hilfen benutzt? – Partnerarbeit (PA) – Helfer – Tippkarte – Nachschlagewerk – Allein Karte Laufkarte (Schüler) Schwierigkeiten? – Ich hatte Schwierigkeiten mit … – Ich konnte die Aufgaben nicht lösen, weil … Schwierigkeiten? Sonstiges Nachricht Einleitung 7 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe In der 7./8. Klasse der Realschule vertiefen die Schüler im Bereich „Raum und Form“ ihre Vorstellungen von ebenen Figuren und von Körpern, indem sie Dreiecke, Vierecke, Vielecke und Prismen (Netze, Schrägbilder) skizzieren und konstruieren. Sie entdecken und erkunden Eigenschaften von ebenen Figuren und Körpern und lernen, deren geometrische Beziehungen in Lösungsprozessen argumentativ zu nutzen. Das erworbene Wissen über Klassifizierungsmerkmale erlaubt den Schülern, geometrische Figuren aus ihrer Umwelt sachgerecht zu gruppieren und in eindeutiger Weise zu beschreiben. In diesem Buch wird das Thema „Raum und Form“ in zwei Bereiche geteilt: – Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe, – Vielecke und Körper. Während der erste Bereich im Wesentlichen dem elementaren geometrischen Basiswissen für ebene n Basis Figuren mit seiner entsprechenden Begrifflichkeit zugeordnet werden muss, ss, bedient sich der zweite Bereich der Kenntnisse aus dem ersten Bereich. Es wird darin die Betrac Betrachtung geometrischer Eigenhtung geome schaften und Zusammenhänge von einfachen Dreiecken auf Vielecke erweitert. Bei der Betrachtung elecke erwe eitert. Be von Körpern wird auch die dritte Dimension mit einbezogen. Dementsprechend nb en. Deme tsprechend sind auch die Aufgaben ausgesucht und gestaltet worden. Geometrische Grundkonstruktionen truktionen und und -begriffe -b Zuordnung der allgemeinen n Kompete Kompetenzen zen zzu den Aufgaben Unter dem übergeordneten „Geometrische Grundkonstruktionen üben die Schüler eten Thema „Geo t ktionen und -begriffe“ üb anhand der Aufgaben wichtigen Unterthemen: gaben die e folgenden wic – Winkelarten (Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel) bestimmen, Winkelart (Scheitelw kel, Ne nkel, W echselwin el) b von ebenen Figuren Gerade, Strecke, Winkel, Schenkel, – bei der Beschreibung Beschreibung v re die Begriffe Punkt, Punkt, Gera Scheitelpunkt, achsensymmetrisch verwenden, Scheitelpun t, Grad, parallel, senkrecht, cht, achs symmetrisch hv – Dreiecke anhand der Achsensymmetrie (gleichseitig, gleichschenklig) und anhand der Winkelgröße an ie (gleichse ig, gleich (spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig) klassifizieren, spitzwink winklig) klassif i – Winkel Winkelmaße ermit ermitteln, nk konstruieren und Winkel – Winkel mithilfe des Win Winkelsummensatzes kelsum es iim Dreieck und der Sätze über Scheitel-, Neben-, Stufenund Wechselwinkel bestimmen, nkel besti mmen – Planfiguren Konstruktionsvorbereitung oder als Hilfe zur Problemlösung zeichnen, en als als Konstruktio nsvo – den Satz des Thales Begründung der Eigenschaft „rechtwinklig“ anwenden, hales zur Be – Dreiecke Zirkel, Lineal, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware konstruieren, cke mit Zirk el Lin – Beispiele Dreieckskonstruktionen, die nicht lösbar oder nicht eindeutig lösbar sind, werden untere für Drei sucht, – die Kongruenz von Dreiecken als Deckungsgleichheit beschreiben, – kongruente Dreiecke mit der Angabe von (SWS), (WSW), (SSW) und (SWW) konstruieren, – besondere Linien im Dreieck (Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhen, Inkreis, Umkreis, Schwerpunkt) werden konstruiert, – geometrische Bewegungen (Achsenspiegelung, Parallelverschiebung, Drehung) werden konstruiert. Dieses Thema „Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe“ ist der Leitidee „Raum und Form“ zuzuordnen. In den Bildungsstandards Mathematik wird diese inhaltsbezogene Kompetenz folgendermaßen beschrieben: „Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt, …, stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, …, analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene …, beschreiben und begründen Eigenschaften Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 8 Vielecke und Körper Vielecke und Körper Zuordnung der allgemeinen Kompetenzen zu den Aufgaben Unter dem übergeordneten Thema „Vielecke und Körper“ üben die Schüler anhand der Aufgaben die folgenden wichtigen Unterthemen: – Systematisierung der Vierecke (Haus der Vierecke) erkennen, – Vierecke (Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez, Drachen) charakterisieren, – als Vorbereitung für eine Konstruktion oder Problemlösung Figuren skizzieren, – Vierecke mit Zirkel, Lineal, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware konstruieren, – Höhen im Parallelogramm und Trapez zur Konstruktion nutzen, – Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen anwenden (z. B. Winkelsummenen (z satz), – bei der Begründung von Eigenschaften von Vierecken mit der Symmetrie, den Winke Winkelsätzen oder der Kongruenz argumentieren, – die Winkelsumme im Viereck und im Vieleck durch Zerlegen in Dreiecke berechnen, b – zusammengesetzte ebene Figuren in geometrische Grundformen do n zerlegen, – Eigenschaften von regelmäßigen Vielecken bene benennen, n, – regelmäßige Vielecke konstruieren, – Skizzen, Ansichten, Netze, Schrägbilder und M Modelle Körpern (geraden Prismen, Quadern, Würodelle von Körpe rismen, Qua adern, W feln, Pyramiden, Zylindern, Kegeln) erkennen, b benennen nenne und anfertigen, – mit geeigneten Maßstäben arbeiten, ten, – Eigenschaften von Körpern benennen, n erkennen und benenn – Vorstellungen zu Umfang, Oberfläche, Mantelfläche und Rauminhalt (Volumen) mfang, Fläche, Ob fläc aumi halt (Volum men) nutzen, – rechnerische Beziehungen Seitenlängen, Flächeninhalt herstellen, eziehu ungen zwischen S inhalt und d Vol Volumen he – mit den Begriffen Elementen „Ecke“, „Kante“, „Se „Seitenfläche“, „gegenüberliegende Fläche“, griffen und Eleme tenfläche“ „geg „Grundfläche“, „Deckfläche“ und „Einheitswürfel“ operieren. „Grundfläc e“, „Deckflä Das Thema „V „Vielecke und Körper“ ist derr Leitidee „„Raum Form“ zuzuordnen. In den Bildungsstanaum und F dards Mathematik wird das Themengebiet inhaltsbezogenen Kompetenzen folgendermaßen rds Mathem et unter den in nhal beschrieben: „Die Schülerinnen erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in hrieb en und Schüler hüler erkenn der Umwelt, operieren gedanklich anklich mit Strecken, ecke Flächen und Körpern, stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem atensystem dar, stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper entsprechenden Darstellungen, analysieren und klassifizieren geometrische p r aus ihren e ntspre Objekte der Ebe Ebene Raumes, beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geoe und des Ra metrischer und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusamher Objekte (…) un menhängen, wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen n, wende an, … , zeichnen chnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware, untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen, …“ (Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss, S. 11). Viele Aufgaben zur Leitidee „Raum und Form“ – insbesondere zum Themengebiet „Vielecke und Körper“ – berühren auch die Leitideen „Zahl“ und „Messen“ und sind häufig nur so als Aufgabenstellung sinnvoll. Die geometrischen Betrachtungen, Analysen, Klassifizierungen und Konstruktionen von Vielecken und Körpern fordern von den Schülern unterschiedliche allgemeine bzw. prozessbezogene Kompetenzen, die sich bei einzelnen Aufgaben überlagern können. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 9 Vielecke und Körper Anforderungsbereich: Karte 1 Aufgabe K1 K2 K3 K4 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x 5 x x 6 x Anforderungsbereich: nforderun K1 1a K2 K3 x 1b x 1c x 2a 2b x x x x K4 4 K5 x x x x x x x x x x 3 x x 4 x x K K1 1a K2 K3 3 x 1b K5 x x x x x x 2a, 2b, 2c x x K1 1a, 1b, 1c x 1e, 1f K2 K3 K4 x x x x x x x K5 K6 Anforderungsbereich: Karte 5 Aufgabe K6 Anforderungsbereich: Karte 4 1d x K4 1c Aufgabe e K6 Anforderungsbereich: Karte 3 Aufgabe K6 x Karte 2 Aufgabe K5 K1 1a, 1b, 1c, 1d Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag K2 x K3 K4 K5 K6 x 10 Vielecke und Körper Anforderungsbereich: Karte 6 Aufgabe K1 1a, 1b, 1c, 1d K2 K3 x K4 Anforderungsbereich: Aufgabe K1 K2 1a, 1b x 2a, 2b, 2c, 2d 3a, 3b, 3c, 3d, 3e K3 K4 K5 x x x x x x x x x x x Aufgabe K1 1 x x 2 x x K2 K3 K K4 K5 K1 1 K2 K3 x K4 K5 K6 x x x x Anforderungsbereich: Karte 10 K1 K2 K3 K4 K5 1 x x x 2 x x x K6 Anforderungsbereich: Karte 11 Aufgabe K6 Anforderungsbereich: Anforder An Karte 9 Aufgabe K6 Anforderungsbereich: ereich: Karte 8 2 K6 x Karte 7 Aufgabe K5 K1 K2 K3 1 K4 K5 K6 x 2 x x Anforderungsbereich: Karte 12 Aufgabe K1 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f x Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag K2 K3 x K4 K5 K6 x 11 Vielecke und Körper Anforderungsbereich: Karte 13 Aufgabe K1 K2 1a, 1b x x K3 K4 K5 K6 x Anforderungsbereich: Karte 14 Aufgabe K1 K2 1a, 1b x x x 2a, 2b x x x 3 x x Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag K3 K4 x K5 K6 x 12 Vielecke und Körper 1 Zeichne das Rechteck mit den Maßen a = 4 cm und b = 2,5 cm und zeichne alle Symmetrieachsen ein. Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 2,5 cm und zeichne alle Symmetrieachsen ein. Zeichne alle Symmetrieachsen eines symmetrischen (gleichschenkligen Trapezes). Zeichne eine Raute mit der Seitenlänge s = 4 cm. Zeichne auch alle Symmetrieachsen ein. Konstruiere ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 3,8 cm und b = 1,6 cm. Finde mindestens drei Möglichkeiten, um das Rechteck durch Einzeichnen einer Strecke in zwei we deckungsgleiche Flächen zu teilen. Zeichne die Möglichkeiten in dein Heft. Wie viele Symmetrieachsen hat das folgende Parallelogramm? Vielecke und nd Körper 2 Zeichne d die P Punkte A(2 | 2), B(4 | 1),, C(5 | 2) iin ein Koordina Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte einem Dreieck. Ergänze einen sodass ABC zu e en Punkt D, s odas das Viereck ABCD achsensymmetrisch zur Strecke AC symm C ist. a) Schreibe die Koordinaten dinaten von D auf. uf. b) Sind die Diagonalen im Vie Viereck ABCD gleich lang? c) Welche Form Vierecks liegt vor? F eines Vi re Zeichne Punkte chne die Pu nkte E(0 | 3), F(2 | 2), G(3,5 | 3) in ein Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte und ergänze einen Punkt H, sodass ein Parallelogramm entsteht, das die Strecke e EFG u EG als D Diagonale hat. a) Gib die Koordinaten des Punktes H an. b) Ist das Viereck EFGH achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch? Konstruiere ein Parallelogramm mit den Seiten a = 4 cm und b = 5,5 cm sowie der Diagonalen e = 5 cm. Zeichne eine Raute mit den Diagonalen e = f = 3,5 cm. Beschreibe dein Vorgehen bei der Konstruktion. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 13 Vielecke und Körper 3 Konstruiere das Viereck ABCD mit den im Folgenden angegebenen Werten. Vorausgesetzt werden die üblichen Bezeichnungen im Viereck (siehe Abbildung). b = 2,6 cm; c = 6,2 cm; d = 7,8 cm; γ = 80°; δ = 65°. a) Fertige zunächst eine Planfigur an. b) Gib eine detaillierte Konstruktionsbeschreibung an. c) Führe die Konstruktion aus. Konstruiere jeweils ein Viereck. Vorausgesetzt werden üblichen Bezeichnungen im Viereck. etzt w den die übli chen B a) α = 40°; β = 70°; a = 6,2 cm; b = 2,4 cm; d = 4,4 cm b) α = 61°; δ = 82°; AB = 5,8 cm;; CD = 3,1 cm; cm AD = 6,0 cm c) β = 65°; γ = 120°; AB = 6,5 cm; BC C = 4,5 cm; CD = 4,0 cm Vielecke und nd Körper 4 Konstruiere Parallelogramme werden die üblichen BezeichKonstruie die di folgenden f gramme ABCD. A CD. Vorausgesetzt Vorausg nungen ((siehe Abbildung). a) α = 120°; a = 4,2 cm; d = 3,6 cm b) β = 110°; a = 4,5 cm; b = 2,8 cm c) α = 100°; BC = 5,0 cm; CD = 5,0 cm d) δ = 85°; AB = 28 mm; AD = 58 mm e) a = 6,4 cm; b = 2,7 cm; AC = 5,8 cm f) β = 40°; a = 3,8 cm; ha = 15 mm Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 14 Vielecke und Körper 5 Konstruiere die folgenden Trapeze ABCD. Vorausgesetzt werden die üblichen Bezeichnungen (siehe Abbildung). a) α = 40°; β = 70°; a = 4,8 cm; d = 3,1 cm 3 cm b) α = 128°; β = 68°; a = 5,3 cm; b = 3,3 c) γ = 108°; δ = 90°; BC = 5,9 cm; CD = 2,3 cm m; h = 3,5 cm d) a = 3,6 cm; c = 2,6 cm;; d = 4,5 cm; Vielecke und nd Körper 6 Konstruie Konstruiere di die ffolgenden symmetrischen Drachen Vorausgesetzt werden die üblichen schen Dra hen ABCD. V Bezeichnungen (siehe Abbildung). Bezeichn a) a = 3,8 cm; b = 5,1 cm; AC = 6,2 cm b) a = 4,5 cm; b = 2,2 cm; β = 125° c) AD = 4,0 cm; BC = 3,9 cm; δ = 105° d) a = 6,8 cm; α = 60°; δ = 40° Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 15 Vielecke und Körper 7 Ein Quadrat hat die Seitenlänge 4 cm. a) Wie groß ist der Umfang dieses Quadrats? b) Wie groß wäre der Umfang, wenn die Seitenlängen doppelt so groß wären? Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. a) Rechteck: a = 6 cm; b = 8,5 cm b) Quadrat: a = 7,5 cm c) Parallelogramm: a = 6,5 cm; b = 1,9 cm; ha = 1,4 cm d) Trapez (mit a parallel zu c): a = 5,7 cm; b = 5,3 cm; c = 2,5 cm; d = 4,8 cm; ha = 3,9 cm Berechne die fehlende Größe. a) Quadrat mit A = 196 m2; a = ?; u = ? b) Rechteck mit u = 120 m; b = 8 m; a = ?; A = ? c) Raute mit A = 160 dm2; e = 10 dm; f = ? 0 mm2; f = 30 m mm; e = ? d) Achsensymmetrischer Drachen mit A = 3 360 ,1 cm; c = 4,8 c m; u = 16,2 cm; A = 14,35 cm m2; ha = ?; d = ? e) Trapez mit a = 3,4 cm; b = 4,1 cm; Vielecke und nd Körper 8 Aus welch welchem N Netz kannst du durch Zusamme Zusammenfalten abgebildeten Würfel herstellen? falten den ab A B C D L C L B Kennzeichne eichn die Ecken des Würfelnetzes, die beim Falten des Netzes auf die markierte Ecke treffen. A Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag B C D 16 Vielecke und Körper 9 Zeichne das Schrägbild eines Quaders mit den folgenden Maßen: a = 4,2 cm; b = 3,6 cm; c = 5,4 cm. Welche Unterschiede gibt es zwischen den beiden „Schrägbildern“ von Quadern? Fülle die Textlücken mit A oder B. A B Bei dem Schrägbild siehst du auf die Deckfläche. eD äche. Bei dem Schrägbild siehst du von unten auff die Grundf Grundfläche. ten a Bei dem Schrägbild siehst du außen linke Seitenfläche. u von auß en auf die link Bei dem Schrägbild siehst ehst du von außen auf die rechte Seitenfläche. ei che. Vielecke und nd Körper 10 Zeichne zzu dem Schrägbild ein Netz Heft. z in dein H t. Verwende die Maße aus der Abbildung. Zeichne folgenden Netz ein Schrägbild in dein Heft. chne zu dem m fol Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 17 Vielecke und Körper 11 Welche Körper sind durch die folgenden Netze dargestellt? Vervollständige die abgebildeten Netze von Prismen mit den passenden Flächen. Es gibt mehr als eine Möglichkeit. Vielecke und nd Körper 12 Ordne die folgenden Sätze den Körpern pern zu. hat 6 gleich große quadratische Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten. a) Der Körper K adratische Flä ch und 12 Kanten. Die sich gegenüberliegenden Flächen b) Der Körper hat 6 Flächen, ächen, 8 Ecken n un sind gleich große Flächen. oße rrechteckige echtec hen c) Der Körper mehr Flächen besitzen. Die Grundfläche hat 3 oder mehr Ecken. per kann 4 oder oder me Die Seitenflächen dreieckige Flächen, die in einer Spitze zusammengeführt werden. e Seite nflächen sind dr d) Der Körper hat 2 K Kreise als Grund- und Deckfläche sowie ein Rechteck als Mantelfläche. e) Derr Körper Körpe hat einen Kreis als Grundfläche und eine Spitze. f) Der Körper besitzt 2 gleich große Dreiecke und 3 Rechtecke. Er hat 9 Kanten und 6 Ecken. Pyramide Zylinder Würfel Quader Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag Dreiecksprisma Kegel 18 Vielecke und Körper 13 Vergleiche die Rauminhalte und Oberflächen der Figuren. a) Wie groß ist der Rauminhalt der einzelnen Figuren (gemessen in „Anzahl Würfel“)? b) Wie groß ist die Oberfläche der Figuren (gemessen in „Anzahl Quadrate“)? Vielecke und nd Körper 14 4 Ein Würfe Würfel hat die Kantenlänge von a = 5 cm cm. den Oberflächeninhalt des Würfels an. a) Gib de wenn man die Kantenlänge a verdoppelt? b) Welchen Oberflächeninhalt ninha hat der er Würfel, w Die Kantenlängen eines Quaders sind: n ein es Qua d a = 3 cm; b = 4 cm und c = 5 cm. a) Bestimme Oberflächeninhalt des Quaders. mm me den Oberfl ächen el Prozent iist der Oberflächeninhalt des Quaders größer, wenn man die Kanten b) Um wie v viel eweils verdreifacht? verd if jeweils Berechne hne d den Oberflächeninhalt des folgenden Prismas. • Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 19 Vielecke und Körper 1 Lösung Das Parallelogramm hatt keine Symmetrieach Symmetrieachse. Vielecke und nd Körper 2 Lösung Viereck Konstruktion Parallelogramm a) D(4 | 3) b) Nein c) Es ist ein symmetrimetri scher Drachen. rache Viereck ereck a) H(1,5 ,5 | 4) b) Das Vie Viereck EFGH ist punktsymmetrisch. Raute zeichnen mit Konstruktionsbeschreibung 1. Zeichne die Strecke e = 3,5 cm mit A und C. 2. Zeichne den Mittelpunkt M dieser Strecke und die Mittelsenkrechte ein. 1 3. Zeichne einen Kreisbogen um M mit dem Radius 2 · f = 1,75 cm. Der Kreisbogen schneidet die Senkrechte in B und D. 4. Verbinde anschließend die Punkte A, B, C und D. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 20 Vielecke und Körper 3 Lösung Konstruktion allgemeines Viereck a) b) 1. Zeichne die Strecke d mit den c) Endpunkten A und D. 2. Trage den Winkel δ an d im Punkt D mit dem Schenkel c an, es ergibt sich der Eckpunkt C. 3. Trage den Winkel γ an c im Punkt C mit dem Schenkel b an, es ergibt sich der Eckpunkt B. 4. Verbinde die Punkte A und B. Konstruktion allgemeines Viereck a) Vielecke und nd Körper 4 b) c) Lösung Konstrukt Konstruktion P Parallelogramme Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 21 Vielecke und Körper 5 Lösung Konstruktion Trapeze a) c) b) d) zwei Lösungen Vielecke und nd Körper 6 Lösung Konstrukt Konstruktion D Drachen a) b) c) d) Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 22 Vielecke und Körper 7 Lösung Quadrat a) u = 4 · 4 cm = 16 cm b) u = 4 · 8 cm = 32 cm Umfang und Flächeninhalt a) u = 2 · 6 cm + 2 · 8,5 cm = 29 cm; A = 6 cm · 8,5 cm = 51 cm2 b) u = 4 · 7,5 cm = 30 cm; A = 7,5 cm · 7,5 cm = 56,25 cm2 c) u = 2 · 6,5 cm + 2 · 1,9 cm = 16,8 cm; A = 6,5 cm · 1,4 cm = 9,1 cm2 d) u = (5,7 + 5,3 + 2,5 + 4,8) cm = 18,3 cm; A= 1 2 · (5,7 + 2,5) · 3,9 cm2 = 15 15,99 cm2 Fehlende Größen bei Vierecken a) 196 m2 = a · a ⇒ a = 14 m; u = 4 · 14 m = 56 m b) 120 m = 2 · a + 2 · 8 m ⇒ a = 52 m; A = 8 m · 52 m = 416 m2 c) 160 dm2 = d) 360 mm2 = 1 2 1 2 · 10 dm · f ⇒ f = 32 dm · e · 30 mm ⇒ e = 24 mm e) 16,2 cm = 3,4 cm + 4,1 cm + 4 4,8 8 cm + d ⇒ d = 3,9 cm; 14,35 cm2 = 1 2 · (3,4 cm + 4,8 cm cm) · ha ⇒ ha = 3,5 cm Vielecke und nd Körper 8 Lösung Würfelnet Würfelnetz herstellen. Aus Netz Net B kann man den abgebildeten eten Würfel herst Würfelnetze A Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag B C D 23 Vielecke und Körper 9 Lösung Schrägbild eines Quaders „Schrägbilder“ Bei dem Schrägbild A siehst du auf die Deckfläche. ckfläc . Bei dem Schrägbild B siehst du von unten auff die Grundfläch Grundfläche. ten a G Bei dem Schrägbild B siehst du von linke Seitenfläche. uv on außen auf die lin Bei dem Schrägbild A siehst von außen auf die rechte Seitenfläche. ehst du vo enfläc Vielecke und nd Körper 10 Lösung Zeichnung Quadernetz d Zeichnung Schrägbild Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 24 Vielecke und Körper 11 Lösung Zuordnung Körper und Netze Die Netze entsprechen in der Reihenfolge der Abbildungen folgenden Körpern: Pyramide mit quadratischer Grundfläche, Quader, Kegel, Zylinder, Dreiecksprisma Prismennetze Alle Abbildungen lassen sich noch auf andere Weisen zu Prismennetzen vervollständigen, es handelt sich aber jeweils immer um dasselbe Prisma. Vielecke und nd Körper 12 Lösung Körper Würfel a) Würfe b) Quader c) Pyramide der d) Zylinder e) Kegel ieckspris f) Dreiecksprisma Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 25 Vielecke und Körper 13 Lösung Rauminhalte und Oberflächen a) Rauminhalt A: 12 Würfel Rauminhalt B: 12 Würfel Rauminhalt C: 12 Würfel Rauminhalt D: 12 Würfel b) Oberfläche A: 38 Quadrate Oberfläche B: 32 Quadrate Oberfläche C: 72 Quadrate Oberfläche D: 50 Quadrate Vielecke und nd Körper 14 Lösung Oberfläch Oberflächeninhalt h eines Würfels a) O = 6 · 5 cm · 5 cm = 150 cm2 Der Oberflächeninhalt des Würfels D s beträgt 15 150 cm2. b) O = 6 · 10 cm · 10 cm = 6 600 cm2 Bei Verdoppelung oppelung d der er Kan Kantenlänge beträgt der Oberflächeninhalt des Würfels 600 cm2. Oberflächeninhalt rflächeninhalt eines Quaders Q a) O = 2 · 3 cm · 4 c cm + 2 · 3 cm · 5 cm + 2 · 4 cm · 5 cm = 94 cm2 Derr Oberflä Oberflächeninhalt des Quaders beträgt 94 cm2. b) O = 2 · 9 cm · 12 cm + 2 · 9 cm · 15 cm + 2 · 12 cm · 15 cm = 846 cm2 Der Oberflächeninhalt des Quaders ist um 800 Prozent größer, wenn man die Kanten jeweils verdreifacht. Oberflächeninhalt eines Prismas O = 4,2 cm · 4,2 cm + 4,2 cm · 2,3 cm + 4,2 cm · 3,2 cm + 4,2 cm · 2,1 cm 1 + 2 · 2 · (4,2 cm + 3,2 cm) · 2,1 cm = 65,1 cm2 Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 65,1 cm2. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 26 Vielecke und Körper 1 Tipps Zu Beginne die Zeichnung mit der langen Seite. Die beiden kurzen Seiten stehen an den beiden Endpunkten senkrecht auf dieser Seite. Es gibt eine horizontale und eine vertikale Symmetrieachse. Die Symmetrieachsen sind jeweils parallel zu den Seiten des Rechtecks. Zu Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten. Die Seiten stehen senkrecht aufeinander. feinande Es gibt vier Symmetrieachsen. Zu Zeichne zunächst die untere Seite eines Trapezes. des symmetrischen Trapeapeze Die beiden Winkel W n Trape zes an den Endpunkten dieser Seite sind g gleich groß. Seite, die der unteren gegenüberch gro ß. Die Seite ren Seite g egenübe liegt, ist eine Parallele. Es gibt eine Symmetrieachse. Zu Alle Seiten gleich lang. n der Raute sind ind gle zwei Symmetrieachsen. Jede Symmetrieachse durch zwei gegenüberliegende Es gibt zw ei Symmetr eachse verläuft durc Eckpunkte. Eckpunkte Zu Wo musst du das Rec Rechteck hteck tteilen, damit mit zzwei gleich große Flächen entstehen? Zu Versuche uche eine Linie Linie so durch die Figur zu legen, dass du die dabei entstehenden Teilfiguren aufeinanderfalten erfalten kannst. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 27 Vielecke und Körper 2 Tipps Zu a) Der Punkt D muss den gleichen Abstand zu AC haben wie B. Zu b) Miss die Längen der Strecken AC und BD und vergleiche. Zu c) Überlege, welche Formen von Vierecken du kennst, und vergleiche die vorliegende Figur nacheinander mit den bekannten Vierecken. Ist es ein Quadrat, ein Rechtec Rechteck, k, ein …? Zu a) EF und GH müssen parallel sein. Auch FG u und parallel sein. d EH müssen pa Zu b) Kannst du eine Symmetrieachse einzeichnen, an der die Figur dann gespiegelt wird? mmetrieachse ein c ur d nn ge spiegelt wir d? Kannst du die Schnittpunkt der beiden Diagonalen drehen, das dass sie die ie Figur um den Schnitt onalen so s dreh drehen ursprüngliche wieder überdeckt? ursprün che Figur w der üb Zu Diagonale e schneiden sich im Punkt C. Den Zeichne zunächst die Seite a. Die Seite ite b und die D Punkt C bekommst du als Sch Schnittpunkt zweier Kreise (um A und um B). kt zw Die Seite c muss zur S Seite eite a parallel sein. ein Zu Die Diagonalen gonalen stehen senkrecht aufeinander und schneiden einander in der Mitte. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 28 Vielecke und Körper 3 Tipps Zu a) Zeichne ein beliebiges Viereck ABCD und kennzeichne die bekannten Elemente mit einer Farbe oder zeichne sie dicker. Zu b) und c) nt sind. Beginne mit einer gegebenen Strecke, an der auch Winkel liegen, die bekannt Zu Beginne mit einer gegebenen Strecke, an der zwei Winkel liegen, bekannt en, die be ekannt sind. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 29 Vielecke und Körper 4 Tipps Zu a) Beginne die Konstruktion mit der Seite a und dem Winkel α. Zu b) Beginne die Konstruktion mit der Seite a und dem Winkel β. Zu c) eißt du also über γ? Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß. Was weißt Welche Seiten schließen den Winkel γ ein? Zu d) Zwischen den Seiten AB und AD liegt der Winkel von α. Dafür er Wi kel α. α Berechne die Winkelgröße ße v Dafür ist es hilfreich zu wissen, dass die Innenwinkelsumme Viereck 360° beträgt und die gegenübe gegenüberliewinkelsumme im V iegenden Winkel gleich groß sind. Damit ist d. Der Der Winkel δ ist is bekannt. bek s auch β bekannt. bekannt. Jetzt kannst ka du auch α berechnen. Zu e) Zeichne die Punkte d e Diagonale mit den Endpunkten A und C. Die P nkte B und D sind die Schnittpunkte von Kreisbögen Kreisbögen mit den Radien a und nd b. Zu f) Beginne die Konstruktion trukt on mit mi der Seite e a und dem Winkel β. Zeichne die Seite c parallel zu a im Abstand ha. Damit erhäl erhältst st du den Schnittpunkt C. ere dic h, dass die ge Erinnere dich, gegenüberliegenden Seiten im Parallelogramm gleich lang sind. Somit bekommst du auch de den Punkt D. ommst d Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 30 Vielecke und Körper 5 Tipps Zu a) Beginne die Konstruktion mit der Seite a und den beiden anliegenden Winkeln. Damit lässt sich auch die Seite d zeichnen. Die Seite c ergibt sich dadurch, dass sie eine Parallele zur Seite a ist. Die Länge der Seite c ergibt sich durch den Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von β. Zu b) Beginne die Konstruktion mit der Seite a und den beiden anliegenden Winkeln. keln. Damit lässt sich auch die Seite b zeichnen. Die Seite c ergibt sich dadurch, dass sie eine Parallele zur Seite a ist. Die Länge der Seite c ergibt sich durch den Schnittpunkt mit dem freien Schenkel v von α. Zu c) Beginne die Konstruktion mit der Seite CD und de den beiden anli anliegenden sich gende Winkeln. Damit lässt ässt sic auch die Seite BC zeichnen. Die Seite AB ergibt sich ibt sic h dadurch, dass sie eine Parallele zzur ur Seite CD ist. Die Länge der Seite AB ergibt durch Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von δ. bt sich dur h den Schnit eien Schenke Zu d) Beginne die Konstru Konstruktion uktion mit der Seite Se a. Die gegenüberliegende egende e parallele aralle Seite c soll von der Seite a den ein (wünsche (wünschenswerter Weise sehr viel länn Abstand h haben. Zeichne diese Parallele ele ei nswe ger als die d e Seite c). Der D Kreisbogen um A mit dem Radius d liefert zzwei Schnittpunkte mit der eingezeichneten Parallelen. Deshalb gibt zwei Lösungen. gezeichne en Paralle ibt es zw Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 31 Vielecke und Körper 6 Tipps Zu a) Zeichne die Diagonale AC. Die Eckpunkte B und D erhältst du durch das Zeichnen von Kreisbögen um A und C. Zu b) en Winkel β. KreisBeginne die Konstruktion mit den Seiten a und b sowie dem eingeschlossenen bögen um A und C liefern dir den Eckpunkt D. Zu c) In dem Drachen sind die benachbarten Seiten BC und DC gleich Deshalb ich lang. De shalb kannst du die Konstruktion mit AD und DC sowie dem eingeschlossenen Winkel beginnen. Das Zeichnen gesc senen Win kel beginne n von Kreisbögen ergibt die weiteren Elemente des Drachen. s Dra en. Zu d) Beginne die Konstruktion n mit der Seite Se te a sowie dem Winkel α. Warum Waru weißt du, wie lang d sein muss? Erinnere dich Winkell δ. ch an die Eigenschaften Eigensc ften von Drachen. Dann zeichne ichne den Winke δ Da die Größe von δ bekann bekannt zeichne nt ist, ist auch die Größe von γ bekannt;; zeich hne e den Winkel γ. Die freien Schenkel dieser beide beiden Winkel schneiden einander im Punkt n Winke mP nkt C. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 32 Vielecke und Körper 7 Tipps Zu a) Benutze die Umfangsformel des Quadrats u = 4a. Zu b) Benutze die Umfangsformel des Quadrats u = 4a. Zu a) me des Benutze die Umfangsformel des Rechtecks u = 2a + 2b und die Flächenformel Rechtecks A = a · b. Zu b) henformel des Quadra Benutze die Umfangsformel des Quadrats u = 4a und die Flächenformel Quadrats A = a2. Zu c) amms u = 2a + 2b und die Flächenformel des es Parall Benutze die Umfangsformel des Parallelogramms Parallelogramms A = a · ha. Zu d) formel des Trapezes Tra ezes u = a + b + c + d und di ie F chenforme el des Trapezes Benutze die Umfangsformel die Flächenformel 1 A = 2 · (a + c) · ha. Zu a) ormel des Quadrats A = a2 ein und suche eine Zahl für a, die Setze den Wert für A in die Flächenformel mit sich selbst multipliziert A ergibt. se Setze den gefundenen Wert in die Umfangsformel mfangsformel des Quadrats u = 4a ein und berechne. Zu b) Setze die Werte e für u und und b in die Umfangsformel des Rechtecks ein und berechne a. Benutze dann die Fl Flächenformel Rechtecks A = a · b, um A zu berechnen. ächenformel des des R Zu c) Setze die Werte We für A und e in die Flächenformel der Raute A = Umstellen der Formel den Wert für f. 1 2 · e · f ein und berechne durch Zu d) Setze die Werte für A und f in die Flächenformel der Raute A = Umstellen der Formel den Wert für e. 1 2 · e · f ein und berechne durch Zu e) Setze die Werte für a, b, c und u in die Umfangsformel des Trapezes u = a + b + c + d ein und 1 berechne d. Benutze dann die Flächenformel des Trapezes A = 2 · (a + c) · ha zur Berechnung von ha. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 33 Vielecke und Körper 8 Tipps Zu Beachte: Beim abgebildeten Würfel zeigen die Spitze des Dreiecks und die Spitze des Pfeils auf dieselbe Kante. Wo findest du diese Situation bei den Netzen? Zu n zwei Quadrate Als Hilfe markiere ein bestimmtes Quadrat des Würfelnetzes mit „u“ für „unten“, links und rechts von diesem Quadrat mit „l“ für „links“ und „r“ für „rechts“. Falte jjetzt in Gedanken die beiden Quadrate „l“ und „r“ hoch. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 34 Vielecke und Körper 9 Tipps Zu Zeichne ein Rechteck mit der waagerechten Kante a und der senkrechten Kante b in dein Heft. Beim Zeichnen der Kante c musst du die Verkürzung der Kante auf die Hälfte der wirklichen Länge beachten. Außerdem ist die Kante unter dem Winkel von 45° abzutragen. Nicht sichtbare Kanten musst du gestrichelt darstellen. Zu Wo ist für dich die Grundfläche oder Deckfläche, die linke oder rechte Seitenfläche enfläch erkennbar? Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 35 Vielecke und Körper 10 Tipps Zu Überlege dir, wie viele Rechtecke mit den Maßen 2 cm mal 3 cm, wie viele mit den Maßen 2 cm mal 5 cm und wie viele mit den Maßen 3 cm mal 5 cm vorhanden sind. Lege bei der Zeichnung entsprechend lange Kanten aneinander. Zu Miss die drei unterschiedlich langen Kanten des Netzes. Verwende die längste und zweitlängste gste u Kante als Seitenlängen des vorderen Rechtecks des Schrägbildes. Denke e daran, die dritte Seite verkürzt und in einem Winkel von 45° darzustellen. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 36 Vielecke und Körper 11 Tipps Zu Nimm bei der ersten Figur das Quadrat als Grundfläche und falte die anderen Flächen in Gedanken zusammen. Nimm bei der zweiten Figur die zweite Fläche von links in der mittleren Reihe als Grundfläche. Nimm bei der dritten Figur den Kreis als Grundfläche, falte die linke Fläche hoch, sodass sich der Bogen vollständig um den Kreis legt. Nimm einen der Kreise als Grundfläche, den anderen als Deckfläche. Das Rech Rechteck kannst du mit seiner langen Seite vollständig um den Kreis „wickeln“. Nimm das mittlere Rechteck als Grundfläche, klappe in Gedanken alle anderen Fläc Flächen nach oben. Zu Nimm jeweils eine Fläche der Figur als feste Grund Grundfläche läche an. Falte die anderen ren Flächen in Gedanken nach oben und überlege Flächen noch fehlen, damit geschlossener e dann, wie viele iele F mit ein geschl sener Körper entsteht. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 37 Vielecke und Körper 12 Tipps Zu Gehe systematisch vor. Vergleiche die erste Aussage und die darin beschriebenen Eigenschaften mit dem ersten aufgelisteten Körper. Trifft mindestens eine Eigenschaft nicht zu, vergleiche die Aussage mit dem nächsten angegebenen Körper und so weiter. Treffen alle Eigenschaften zu, hast du den richtigen Körper gefunden. Dann verfährst du in gleicher Weise mit der nächsten Aussage. Dieses Verfahren führst du bis zur letzten Aussage durch. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 38 Vielecke und Körper 13 Tipps Zu a) Die Rauminhalte bekommst du durch Auszählen der Würfel. Du darfst dabei die Würfel nicht vergessen, die nicht sichtbar sind. Zu b) ch die Flächen, die Zähle nur die Flächen (Quadrate), die nach außen sichtbar sind. Beachte auch auf der Abbildung nicht zu sehen, aber im realen Modell von außen sichtbar sind. ar sin Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 39 Vielecke und Körper 14 Tipps Zu a) Alle sechs Seiten des Würfels haben den gleichen Flächeninhalt. Benutze die Oberflächenformel des Würfels. Zu b) Wie groß ist die Kantenlänge? Benutze die Oberflächenformel des Würfels. Zu a) Benutze die Oberflächenformel des Quaders. Zu b) Wie lauten die veränderten Werte? Setze diese Werte Oberflächenformel Quaders e die e We te in die O mel des Qua ders ein und berechne den veränderten Oberflächeninhalt. erflächeninhalt. Anschließend berechne ausgehend Oberflächeninhalt aus hend von dem Ob rflä us Aufgabe abe a) mit dem Dreisatz die prozentuale Erhöhung. öhung Zu Teilflächen Prismas, die berechnet werden müssen, sind vi vier Rechtecke und zwei TrapeDie Teilflä chen des P rden müssen und hinten). Benutze dazu die Fläch Flächeninhaltsformeln. Summiere anschließend die Teilze (vorn un d hinten) inhaltsformeln S flächen. Bernhard Bäcker: Vielecke und Körper 1 © Persen Verlag 40 ® Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt ertung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ungen m it. ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit. © 2012 Persen Ver Verlag, ag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH rfachverlage Gmb Alle Rechte vorbehalten. hte vorbeha n. Das Werk als Ganzes sow sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in sein seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. 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