Ableseungenauigkeiten werden toleriert.

1. Das Wiener Riesenrad ist eine Sehenswürdigkeit ünd ein
Wahrzeichen Wiens. Es würde 1897 zür Feier des 50. Thronjübilaüms Kaiser Franz Josephs I. errichtet ünd war zür damaligen Zeit das großte Riesenrad der Welt.
Die Hohe einer Kabine über dem Erdboden wahrend der
Fahrt wird für eine bestimmte Geschwindigkeit dürch die
Fünktion ℎ mit
2𝜋
ℎ(𝑡) = 30,5 ⋅ sin ( ⋅ (𝑡 − 1,25)) + 34,3
5
beschrieben (Zeit 𝑡 in min, Hohe ℎ(𝑡) in m).
Der Graph der Fünktion ist in der folgenden Abbildüng dargestellt:
a) Ermitteln Sie dürch eine Rechnüng, in welcher Hohe sich die Kabine zü Beginn der Fahrt
befindet!
2𝜋
ℎ(0) = 30,5 ⋅ sin (
5
⋅ (0 − 1,25)) + 34,3 = 𝟑, 𝟖 m
b) Lesen Sie aüs der Grafik ab, wie lange eine Fahrt (eine volle Umdrehüng) daüert ünd welche maximale Hohe dabei erreicht wird!
Die Fahrt dauert 5 Minuten, es wird dabei eine maximale Höhe von 64,8 m erreicht.
(Ableseungenauigkeiten werden toleriert.)
c) Die beste Sicht über die Stadt hat man ab einer Hohe von 50 m über dem Erdboden.
 Erklaren Sie (schriftlich ünd/oder dürch eine verstandliche Skizze), wie man mithilfe
des Graphen schatzen kann, wie lange das bei der dargestellten Fahrt der Fall ist!
Die gesüchte Zeitdaüer ist die Lange der Sehne, die der
Graph von ℎ im Intervall [0; 5] von der Geraden 𝑦 = 50
abschneidet.
 Ermitteln Sie rechnerisch exakt, wie lange die Kabine hoher als 50 m ist!
Ermitteln der Losüngen der Gleichüng 30,5 ⋅ sin (
2𝜋
5
⋅ (𝑡 − 1,25)) + 34,3 = 50 in der
Nahe von 𝑡 = 1,5 bzw. 𝑡 = 3,5:
Lösung hier mit GeoGebra
CAS ermittelt; mehr dazu
nächstes Jahr.

Die Kabine ist also 3,32 − 1,68 = 𝟏, 𝟔𝟒 Minuten lang hoher als 50 m.
2. Der internationale America’s Cup ist die bekannteste ünd alteste noch heüte aüsgetragene Segelregatta.
Die Segel der neüen America’s Cup-Boote haben die Form eines Trapezes. Dabei schließen das Oberliek ünd das Unterliek
mit dem Vorliek jeweils einen rechten Winkel ein (siehe Abbildüng).
a) Erstellen Sie eine Formel für den Winkel, den Achterliek
ünd Oberliek miteinander einschließen!
Verwende das orange markierte Dreieck.
Es gilt:
cos 𝛼′ =
Vorliek
Achterliek
somit:
Vorliek
)
𝛼 ′ = cos −1 (
Achterliek
ünd:
𝜶 = 𝟗𝟎° + 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 (
Vorliek
)
Achterliek
(Auch andere Lösungen mit sin oder tan sind möglich!)
b) Das Vorliek ist 29 m lang, das Unterliek 11 m ünd das Oberliek 4 m.
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Pythagoras oder der Winkelfünktionen, welche
Lange das Achterliek hat!
Achterliek = √292 + (11 − 4)2 ≈ 𝟐𝟗, 𝟖𝟑 m
Standseilbahn
Aufgabennummer: A_001
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
Die Schlossalmbahn in Bad Hofgastein ist eine Standseilbahn. Die Höhe der Talstation beträgt
843 Meter (m) über dem Meeresspiegel (ü. d. M.), die Höhe der Bergstation beträgt 1 302 m
ü. d. M., die direkte Verbindungsstrecke zwischen Talstation und Bergstation hat eine Länge
von 1 251 m.
a)
Übertragen Sie den Text in eine passende Skizze, die mit den gegebenen Größen vollständig zu beschriften ist.
Berechnen Sie den Steigungswinkel der direkten Verbindungsstrecke zwischen Talstation und Bergstation.
b)
Bei einer Neuplanung der Bahn überlegt man, den Steigungswinkel der Standseilbahn
zu verkleinern, wobei der zu überwindende Höhenunterschied unverändert bleibt.
Erklären Sie, wie man die Steigung der direkten Verbindungsstrecke zwischen Talstation und Bergstation in Prozent (%) ermitteln kann.
Erklären Sie anhand einer passenden Formel, wie sich die Verringerung der Steigung
auf die Streckenlänge auswirkt.
c)
Die Schlossalmbahn besitzt 2 Wägen, wobei sich jeweils ein Wagen bei der Bergstation
befindet, wenn der andere bei der Talstation steht. In einem Wagen der Schlossalmbahn werden maximal 100 Personen befördert. Die Fahrzeit von der Talstation zur
Bergstation beträgt 3,51 Minuten (min). Berechnen Sie, wie viele Personen maximal pro
Stunde von der Tal- zur Bergstation befördert werden können, wenn pro Fahrt zum Einund Aussteigen zusammen durchschnittlich 3,72 Minuten gebraucht werden.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Standseilbahn
2
Möglicher Lösungsweg
a)
sin =
h
s
s = 1 251 m
T
α ≈ 21,5°
e
B
h = 459 m
A
Oder:
Nach Berechnung von e über den Lehrsatz des Pythagoras ist auch die Verwendung von Cosinus oder Tangens möglich.
b) Berechnung von e:
e = s2 – h2
h
Das Verhältnis ∙ 100 gibt die Steigung in % an.
e
Oder:
tan =
h
e
Der Tangens des Neigungswinkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Multipliziert man dieses mit 100, erhält man die Steigung in %.
h bleibt gleich groß, das heißt, Veränderungen können nur bei e vorgenommen werden. Damit
der Tangens von α kleiner wird, muss e vergrößert werden.
Damit verbunden ist, dass die Streckenlänge ebenfalls größer wird, weil die Beziehung
s = h² + e² gilt.
(Die Argumentation mithilfe von sin α oder cos α ist ebenfalls möglich.)
c)
In 7,23 min (Fahrzeit plus Ein- und Aussteigen) können 100 Personen zur Bergstation transportiert werden.
60
7,23
≈ 8,299
Das bedeutet, in 60 min können 8 Fahrten durchgeführt und daher maximal 800 Personen
transportiert werden.
Wetterballon
Aufgabennummer: A_008
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
Wetterballon
z
A
13,06º
20,2º
368 m
x1
y
x
s
Startplatz
a)
Interpretieren Sie die Grafik und finden Sie einen passenden Angabetext, aus dem
diese Skizze entwickelt werden kann.
b)
Berechnen Sie die Flughöhe x des Ballons in Metern (m).
c)
Der Ballon steigt vom Startplatz aus mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von
2,3 Metern pro Sekunde (m/s) senkrecht nach oben. Stellen Sie die Funktion, die die
Höhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, grafisch dar. Lesen Sie die Höhe ab, die
der Ballon nach einer halben Stunde erreicht.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wetterballon
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Ein Ballon schwebt über dem Erdboden. Eine Messstation befindet sich auf einem Berghang in
einer Position 368 m über der Ebene, auf der der Startplatz liegt. Von dort visiert man den Mittelpunkt eines Wetterballons unter dem Höhenwinkel α = 13,06° und den Startplatz senkrecht
unter dem Ballon unter dem Tiefenwinkel β = 20,2° an.
Aus diesen Messwerten soll die Flughöhe des Ballons bestimmt werden.
(Die Aufgabe ist offen, es ist auch ein anderer Text möglich, der zur Skizze passt.)
b)
y=
368
tan(20,2)
y = 1 000,20
x2 = 1 000,2 ⋅ tan(13,06)
x2 = 232,02
368 + 232,02 ≈ 600
Die im Augenblick der Messung vorliegende Höhe h des Ballons beträgt ungefähr 600 m.
Die Aufgabe kann auf anderen Wegen, z. B. mit Sätzen des allgemeinen Dreiecks, berechnet
werden, auch wenn Letztere nicht im Kompetenzkatalog für Teil A enthalten sind.
c)
s = v ⋅ t = 2,3t
s in m, t in s
Einschätzung der Definitionsmenge: Man braucht 30 Minuten = 1 800 s.
Ablesung: Nach einer halben Stunde hat der Ballon eine Höhe von ungefähr 4 100 m erreicht
(berechneter Wert: 4 140 m).
Bei Grafikrechnern genügt eine Handskizze, daher wird der abgelesene Wert nur gerundet ermittelt sein. Falls jemand die Höhe berechnet, so ist das auch gültig, nur muss sie in der Grafik eingezeichnet sein.
Mountainbike
Aufgabennummer: A_015
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Eine der europaweit steilsten Downhillstrecken für Mountainbiker/innen findet man in der Nordkette bei Innsbruck. Sie führt von der Seegrube (1 905 Meter über dem Meeresspiegel) zur
Hungerburg (875 Meter über dem Meeresspiegel).
a)
Die Seilbahn, die die Biker/innen nach oben befördert, hat – bei angenommener geradliniger Verbindung zwischen der Seegrube und der Hungerburg – eine Länge von ungefähr 2 885 Metern (m).
– Bestimmen Sie auf Grad gerundet den Steigungswinkel der Bahnlinie zwischen der
Hungerburg und der Seegrube.
b)
Die Downhillstrecke für die Mountainbiker/innen ist 4 200 m lang. Im Jahr 2011 lag die
Rekordzeit für die Bewältigung der Rennstrecke bei 9 Minuten und 27 Sekunden.
– Berechnen Sie für diesen Fall die durchschnittliche Geschwindigkeit des Bikers in
Kilometern pro Stunde (km/h).
c)
Die Rennstrecke von der Seegrube zur Hungerburg ist sehr steil und hat Felssprünge
und Stufen. Es gibt daher dort kurze Streckenabschnitte mit einem Gefälle von 100 %
und mehr.
– Erklären Sie anhand einer Skizze, was man unter einem Gefälle von 100 % versteht.
– Geben Sie die Größe des zugehörigen Winkels an.
– Schätzen Sie ab, auf wie viel Prozent Gefälle auf einem weniger steilen Abschnitt der
eingezeichnete Winkel in untenstehender Abbildung ungefähr schließen lässt.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Mountainbike
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Eine Skizze ist nicht erforderlich:
Das Modell geht von einem rechtwinkeligen Dreieck aus.
Der Winkel α bei H wird berechnet: sin α =
1 030
2 885
= 0,357 → α ≈ 20,9°
Der durchschnittliche Anstieg der Seilbahn beträgt rund 21°.
b)
Strecke s = 4 200 m, t = 9,45 min
s
v = = 444,44 m/min = 26,67 km/h
t
Die durchschnittliche Geschwindigkeit beim Bergab-Fahren beträgt ca. 27 km/h.
c)
Ein Gefälle von 100 % bedeutet, dass der Tiefenwinkel 45° beträgt, weil dann das Verhältnis von
vertikalem zu horizontalem Abstand zwischen 2 Punkten auf der Strecke gleich –1 ist.
(Falls mit dem positiven Anstieg mit 45° argumentiert wird, so ist das grundsätzlich ebenfalls
richtig.)
Der Winkel im Bild beträgt grob geschätzt –15°.
tan(–15) = –0,267
Der eingezeichnete Winkel weist auf ein Gefälle von ungefähr 227 % hin.
Glaspyramide des Louvre
Aufgabennummer: A_040
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Die Glaspyramide des Louvre ist eine quadratische Pyramide mit einer Basislänge von
35,42 Metern (m) und einer Höhe von 21,65 m.
a)
– Berechnen Sie den Mantel M der Pyramide. Geben Sie das Ergebnis auf 2 Dezimalstellen gerundet in Quadratmetern (m2) an.
b)
– Argumentieren Sie anhand der Formel, wie sich das Volumen verändert, wenn die
Basislänge der Pyramide verdoppelt wird.
c)
Eine Seitenfläche besteht aus 18 Dreiecken und 153 Rauten und nimmt eine Glasfläche
von 486 m2 ein. Die Glasfläche einer Raute ist doppelt so groß wie jene eines Dreiecks.
– Berechnen Sie die Glasfläche eines dreieckigen Glassegments.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Glaspyramide des Louvre
2
Möglicher Lösungsweg
a … Basislänge der Pyramide
h … Höhe der Pyramide
a)
tan α=
ha =
21,65
17,71
h
sin (50,72)
α=50,72°
= 27,969…
ha ≈ 27,97 m
Mantel: M = 4∙
M ≈ 1 981,35 m
a∙ha
2
≈ 1 981,35
2
Der Mantel der Pyramide beträgt 1 981,35 m2.
b)
Die Basislänge a steht in der Volumenformel mit dem Exponenten 2. Eine Verdopplung der
Seitenlänge führt daher zu einer Vervierfachung des Volumens.
c)
x … Glasfläche eines rautenförmigen Segments
x
153 ∙ x + 18 ∙ = 486
2
x ≈ 3 m2
Die Glasfläche eines dreieckigen Segments beträgt 1,5 m2.
2.6 Sicherung mathematischer Grundkompetenzen
2.6
K2.1
Sicherung mathematischer Grundkompetenzen
Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
a)
b)
c)
d)
e)
K2.2
richtig
falsch
䊐
䊐
䊐
䊐
䊐
䊐
䊐
䊐
䊐
䊐
Der Sinuswert eines spitzen Winkels entspricht dem Verhältnis Hypotenuse zu Gegenkathete.
Der Tangenswert eines Winkels im 1. Quadranten ist immer größer-gleich seinem Sinuswert.
Ein Dreieck ist durch die Angabe zweier Seiten und eines Winkels immer eindeutig bestimmt.
Der Cosinuswert eines Winkels ist stets ⬍ 1.
In jedem Dreieck hängt die Größe eines Winkels nur vom Verhältnis zweier Seitenlängen ab.
Stelle jeweils die entsprechende Formel für das abgebildete Dreieck auf.
a) Abhängigkeit des Winkels e von den Längen der Seiten d und e:
b) Berechnung der Seite f bei gegebenem Winkel v und gegebener Seite d:
c) Berechnung des Winkels v. bei gegebenen Längen von e und f:
K2.3
Eine a Meter lange, senkrecht stehende Messlatte wirft in der Ebene einen s Meter langen Schatten. Bestimme eine Formel
zur Berechnung der Sonnenhöhe a (⫽ Einfallswinkel der Sonnenstrahlen am horizontalen Boden).
a⫽
K2.4
Kreuze das richtige Ergebnis an. Eine Statue unbekannter Höhe h wirft bei einer Sonnenhöhe a einen s Meter langen Schatten.
Mit welcher Formel kann die Höhe der Statue berechnet werden?
䊐h⫽
K2.5
s
sin (a)
䊐h⫽
tan (a)
s
s
tan (a)
b)
䊐 h ⫽ s ⋅ tan (a)
䊐h⫽
s
cos (a)
䊐 h ⫽ s ⋅ cos (a)
c)
d)
sin (a) ⫽
sin (a) ⫽
sin (a) ⫽
sin (a) ⫽
cos (a) ⫽
cos (a) ⫽
cos (a) ⫽
cos (a) ⫽
tan (a) ⫽
tan (a) ⫽
tan (a) ⫽
tan (a) ⫽
Bestimme graphisch/rechnerisch die Winkel mit den gegebenen Eigenschaften.
a)
K2.7
䊐h⫽
Zeichne in die Einheitskreise jeweils sin (a), cos (a) und tan (a) ein und bestimme deren Werte.
a)
K2.6
䊐 h ⫽ s ⋅ sin (a)
b)
c)
d)
sin (a) ⫽ 0,7
cos (a) ⫽ ⫺0,3
tan (a) ⫽ ⫺1,1
sin (a) ⫽ ⫺0,5 a 僆 QIV
a⫽
/
a⫽
/
a⫽
/
a⫽
a⫽
/
a⫽
/
a⫽
/
/
Begründe die folgenden Zusammenhänge graphisch.
a) cos(a) ⫽ ⫺cos (180° ⫺ a)
sin (a)
cos (a)
b) sin 2(a) ⫹ cos 2 (a) ⫽ 1
c) tan (a) ⫽
Begründung:
Begründung:
75