fernuniversit¨at in hagen fachbereich

FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN
FACHBEREICH
WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT
Matrikelnummer
Name:
Vorname:
Klausur im Grundstudium: STATISTIK
Termin: 29. März 2006 , 18.00 - 20.00 Uhr
Prüfer: Prof. Dr. Hermann Singer
Gesamtpunktzahl:
Note:
Datum:
Unterschrift des Prüfers:
Hinweise zur Bearbeitung der STATISTIK-Klausur:
1. Bitte lesen Sie diese Hinweise vollständig und aufmerksam durch,
bevor Sie mit der Bearbeitung beginnen.
2. Die Klausur besteht aus 15 Aufgaben, die in 120 Minuten zu
bearbeiten sind. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie
• ein vollständiges Klausurexemplar mit 18 Seiten,
• einen LOTSE-Markierungsbogen.
erhalten haben.
3. Bevor Sie mit der Bearbeitung der Klausuraufgaben beginnen,
füllen Sie bitte den Identifikationsteil des Markierungsbogens aus
und tragen Sie Ihren Namen, Ihre Anschrift und Ihre Matrikelnummer ein.
Gehen Sie bei der weiteren Ausfüllung des Markierungsbogens
so vor, wie Sie es von den Einsende- und Selbstkontrollarbeiten
gewohnt sind.
Hinweis:
Ausschließlich Ihre Markierungen auf dem LOTSE-Markierungsbogen sind für die Bewertung Ihrer Klausur ausschlaggebend (Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt!). Erfahrungen haben gezeigt, daß Sie spätestens 20
Min. vor Abgabe der Klausur mit dem Markieren beginnen sollten. Kontrollieren Sie am besten noch einmal Ihre Markierungen,
bevor Sie den Markierungsbogen abgeben. Bedenken Sie auch,
dass, wenn Sie keine oder alle Alternativen markieren, die
Aufgabe mit null Punkten bewertet wird.
4. Bei jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Anzahl der Punkte
angegeben.
5. Insgesamt können Sie 150 Punkte (gleich 100 Prozentpunkte) erreichen. Mit 75 Punkten bzw. 50 Prozentpunkten haben Sie die
Klausur bestanden.
6. Die Klausur besteht aus drei numerischen Aufgaben und zwölf
Multiple-Choice-Aufgaben. Sind die numerischen Aufgaben richtig, erhalten Sie die volle Punktzahl, ansonsten werden Null Punkte vergeben.
Die Bewertung der Multiple-Choice-Aufgaben erfolgt nach folgendem Prinzip:
Richtige Antworten sind zu markieren, falsche Antworten sind
2
nicht zu markieren. Für jede korrekte Markierung/Nicht-Markierung werden 1/5 der maximalen Punktzahl vergeben, für jede
inkorrekte Markierung/Nicht-Markierung werden 1/5 der maximalen Punktzahl abgezogen. Die minimal erreichbare Punktzahl
jeder Aufgabe beträgt Null Punkte.
Beispiel: Sind A und B richtig und es wurden A, B und C markiert, gibt es bei einer Aufgabe mit 10 zu vergebenden Punkten
6 Punkte (für A, B, D und E - A und B sind korrekt markiert
worden, D und E sind korrekt nicht markiert worden - gibt es 8
Punkte, C ist inkorrekt markiert worden, so dass 8 - 2 = 6 Punkte
übrig bleiben).
7. Bitte benutzen Sie für etwaige Zwischenrechnungen usw. nur die
Rückseiten der Aufgabenblätter.
8. Als Hilfsmittel sind alle Kurseinheiten einschl. Glossar, sowie die
von der FernUniversität versandten Einsende- und Selbstkontrollarbeiten samt Musterlösungen zugelassen. Die Materialien dürfen
Unterstreichungen und Notizen enthalten. Zusätzlich eingeheftete
eigene Aufzeichnungen gelten als Täuschungsversuch (ein eingeheftetes Inhaltsverzeichnis ist erlaubt).
Die Benutzung eines Taschenrechners ist lediglich gestattet,
wenn das betreffende Modell
- nicht programmierbar ist,
- keine Texte oder Formeln speichern kann,
- nicht drahtlos mit anderen Geräten kommunizieren kann,
- über keine alphanumerische Tastatur verfügt,
- kein grafisches Display (z.B. zur Darstellung von Funktionsgrafen) besitzt.
9. Abzugeben ist nur der Lotse-Markierungsbogen. Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt.
10. Wenn Sie die Klausur bestanden haben, erhalten Sie von der
FernUniversität einen Schein, auf dem die Note vermerkt ist. Der
Bearbeitungsvorgang, bis Sie diesen Schein erhalten, nimmt erfahrungsgemäß einen Zeitraum von mindestens 8 Wochen in Anspruch.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
3
Aufgabe 1
(10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Zur Darstellung nominaler Merkmale ist das Histogramm besonders gut geeignet.
B Die grafische Darstellung qualitativer Merkmale sollte mittels eines Stabdiagramms erfolgen.
C Es ist nicht sinnvoll klassierte quantitative Merkmale mittels eines
Polygonzuges darzustellen.
D Bei einem Histogramm handelt es sich um ein Flächendiagramm.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
4
Aufgabe 2
(10 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Merkmalswerte xi und die dazugehörigen
Häufigkeiten des metrisch messbaren Merkmals X:
xi
2 3 4 5 6 8
h(xi ) 3 1 2 1 1 4
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Der Median beträgt 4,5 und der Modus nimmt den Wert 4 an.
P
B Die Summe (xi − c)2 mit den obigen Werten xi wird für c = 5
minimal.
P
C Die Summe (xi − c)2 mit den obigen Werten xi wird für c = 4, 5
minimal.
D Der sogenannte Quartilsabstand (x̃0,75 − x̃0,25 ) beträgt 5.
E Der Quartilsabstand beträgt 6.
5
Aufgabe 3
(10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Liegt bezüglich eines Merkmals keine Konzentration vor, so ist die
zugehörige Lorenzkurve eine Parallele zur waagerechten Achse.
B Die Ordinatenwerte einer Lorenzkurve liegen im Intervall [0;1].
C Eine Lorenzkurve kann nur für gruppierte Merkmale gezeichnet
werden.
D Das normierte Lorenz’sche Konzentrationsmaß ist stets kleiner als
der Gini-Koeffizient.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
6
Aufgabe 4
(10 Punkte)
In einem Betrieb soll eine neue Sekretärin eingestellt werden. Zwei Angestellte A und B testen die 7 Bewerberinnen unabhängig voneinander
und stellen dann eine Rangliste auf.
1 2 3 4 5 6 7
Rang ri von A 5 7 1 3 4 6 2
Rang si von B 3 6 1 2 4 7 5
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient ist ein Maß für den
Grad des Zusammenhangs zweier quantitativer Merkmale.
B Der Wert für rs beträgt 0,714 (gerundet).
C Der Wert für rs beträgt 0,875 (gerundet).
D Es gilt 0 ≤ rs ≤ 1.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
7
Aufgabe 5
(10 Punkte)
Gegeben sei folgende Zeitreihe:
Jahr
Werte
1 2 3 4 5 6
7 11 6 10 14 12
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Bei Berechnung aller gleitender Dreierdurchschnitte ergibt sich
die Reihe 9; 8,5; 8; 12; 13.
B Bei Berechnung aller gleitender Dreierdurchschnitte ergibt sich
die Reihe 8; 9; 10; 12.
C Die Berechnung der gleitenden Durchschnitte ist für ungerade
Ordnungen problematischer als für gerade.
D Durch die Bildung gleitender Durschnitte der Ordnung 3 kann
man die saisonale Komonente ausschalten, wenn die Anzahl der
Beobachtungen einer Saisonperiode 3 entspricht.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
8
Aufgabe 6
(10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Ein Preisindex für 2000 zur Basis 1995 von 1,25 bedeutet, dass
die Preise pro Jahr um durchschnittlich 5% gestiegen sind.
B Ein Preisindex für zwei Güter, die mit gleichen Mengen in den
Index eingehen, bleibt stets unverändert, wenn sich der Preis des
einen Gutes verdoppelt und der des anderen halbiert.
C Der Preisindex nach Laspeyres verwendet im Zähler und im Nenner die Preise der Basisperiode als Gewichtungsfaktoren.
D Der Mengenindex nach Paasche ist gleich dem entsprechenden
Preisindex nach Laspeyres.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
9
Aufgabe 7
(10 Punkte)
X1 , ..., X24 seien Zufallsvariablen mit E(Xi ) = −1 und Var(Xi ) = 1
(i = 1, ..., 24). X̄ bezeichne das arithmetische Mittel von X1 , ..., X24 .
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A E(X̄) = −1/24
B Var(X̄) = 1/24
P
C E( Xi ) = −24
P
D E(1/23 (Xi − X̄)2 ) = 1
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
10
Aufgabe 8
(10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Jede Verteilungsfunktion ist eine stetige Funktion.
B Für die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
gilt stets: F (x) < 1 für alle x ∈ R.
C Für die Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt
stets: f (x) ≤ 1 für alle x ∈ R.
D Für die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
gilt stets: F (x1 ) − F (x2 ) ≥ 0, falls x1 ≥ x2 .
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
11
Aufgabe 9
(10 Punkte)
Ein Geschäftsmann, der täglich (Montag-Freitag) in seinem Stammlokal zu Mittag isst, entscheidet sich jeweils vor dem Essen durch einen
Würfelwurf, welches der sechs angebotenen Mittagsgerichte er nimmt.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Die Wahrscheinlichkeit, dass der Geschäftsmann zweimal in der
Woche Menü 1 isst beträgt 0,1608 (gerundet).
B Die Wahrscheinlichkeit, dass der Geschäftsmann dreimal in der
Woche Menü 2 ist beträgt 0,8393 (gerundet).
C Die Wahrscheinlichkeit, dass der Geschäftsmann höchstens viermal in der Woche Menü 4 isst beträgt 0,402 (gerundet).
D Die Wahrscheinlichkeit, dass der Geschäftsmann mindestens zweimal in der Woche Menü 5 isst beträgt 0,8393 (gerundet).
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
12
Aufgabe 10
(10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen über Schätzfunktionen sind richtig?
(x aus 5)
A Von zwei gegebenen linearen Schätzfunktionen ist die Schätzfunktion mit der größeren Varianz nicht effizient.
B Effiziente Schätzfunktionen minimieren den mittleren quadratischen Fehler unter allen unverzerrten Schätzfunktionen.
C Eine erwartungstreue Schätzfunktion mit minimaler Varianz ist
effizient.
D Lineare Schätzfunktionen sind stets erwartungstreu.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
13
Aufgabe 11
(10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Der Median einer Standardnormalverteilung ist 0.
B Ist Z eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, so gilt P (−2 ≤
Z ≤ 2) = 0, 9545 (gerundet).
C Seien Z1 und Z2 unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen. a und b seien zwei reele Zahlen, die die Bedingung
a + b = 1 erfüllen (a > 0, b > 0). Dann ist auch Z := aZ1 + bZ2
standardnormalverteilt.
D Seien X1 und X2 unabhängig normalverteilte Zufallsvariablen
mit
p
den Parametern µ1 = µ2 = 4 und σ1 = σ2 = 1/2. Dann ist
X := X1 − X2 standardnormalverteilt.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
14
Aufgabe 12
(10 Punkte)
In einem Stahlwerk werden zwei verschiedene Methoden zur Stahlhärtung angewandt. Es soll überprüft werden, ob die Qualität des
Stahls von der angewandten Methode abhängig ist. Dazu wird bei einer
einfachen Stichprobe von Stahlelementen eine Belastungsprobe durchgeführt. Das Ergebnis ist in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:
Probe bestanden
Probe nicht bestanden
Methode A Methode B
35
45
5
15
Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 0, 05, ob die Qualität als unabhängig von der Härtungsmethode angesehen werden kann.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(x aus 5)
A Der χ2 -Unabhängigkeitstest eignet sich zur Überprüfung der Fragestellung.
B Da χ2∗ < χ2 (0, 95; 1), muss H0 abgelehnt werden.
C Als Testgröße erhält man: χ2∗ = 2, 34375.
D Die Nullhypothese Unabhängigkeit der Methoden “kann nicht
”
abgelehnt werden.
E Keine der Aussagen A - D ist richtig.
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Aufgabe 41
(10 Punkte)
Bei einem zweimotorigen Flugzeug fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,1 das
rechte Triebwerk aus, mit Wahrscheinlichkeit 0,2 fällt das linke Triebwerk aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Triebwerke ausfallen, beträgt 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein
Triebwerk ausfällt?
(numerisch)
P=
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Aufgabe 42
(10 Punkte)
Die tägliche Nachfrage einer Kaffeesorte sei normalverteilt mit den Parametern µ = 500 kg und σ 2 = 25 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass innerhalb 9 Geschäftstage die Gesamtnachfrage größer als 4518 kg
ist (4 Nachkommastellen)?
(numerisch)
P=
17
Aufgabe 43
(10 Punkte)
Zugrundegelegt wird eine normalverteilte Zufallsvariable X. Eine Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang n = 26 ergab die Werte x̄ = 140
und s = 25. Es wurde für µ das Konfidenzintervall [133, 42; 146, 58]
berechnet. Bestimmen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit α.
(numerisch)
α=
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