Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić

Stochastik, Sommersemester 2014
Prof. Dr. I. Veselić
Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher
Hausaufgabe 10
Abgabe am 16.6. oder am 18.6. in der Übung
Aufgabe 1. Berechnen Sie Erwartungwert und Varianz für eine
(a) Bernoulli-verteilte, (b) binomialverteilte, (c) geometrisch verteilte, (d) Poisson-verteilte,
(e) uniform verteilte, (f) exponentialverteilte bzw. (g) normalverteilte
Zufallsvariable.
Aufgabe 2. Die i-te Randverteilung der gemeinsamen Verteilung µ(X1 ,...,Xn ) von X1 , . . . , Xn : Ω → R
ist die Verteilung µXi von Xi .
Es seien X und Y zwei reellwertige Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit
der gemeinsamen Dichtefunktion f : R2 → [0, ∞),
(
f (x, y) =
2e−x−y
0
falls 0 < x < y,
sonst.
Bestimmen Sie die Randverteilungsdichten. Sind X und Y unabhängig?
Aufgabe 3. Pierre-Simon hat sich auf eine Partie Kniffel eingelassen und braucht zum Sieg noch einen
Kniffel. Um die Spannung zu erhöhen, hat er um einen nicht unbeträchtlichen Betrag gewettet, dass
er diesen Kniffel mit Einsen erzielt. Das Spiel funktioniert folgendermaßen. Pierre-Simon hat in einem
Würfelbecher fünf Würfel. Nach dem ersten Wurf kommen alle Würfel, die keine Eins zeigen, zurück
in den Becher. Insgesamt kann er drei Mal würfeln. Pierre-Simon gewinnt das Spiel und seine Wette,
wenn am Ende fünf Einsen auf dem Tisch liegen. Berechnen Sie Pierre-Simons Gewinnchancen.
Aufgabe 4. Das Wetter in Gotham City kennt nur drei Lagen: Sonne, Nebel und Hagel. Am heutigen
Montag scheint die Sonne.
(a) Die Ganoven nehmen an, dass das Wetter an verschiedenen Tagen unabhängig ist, und finden mit
Hilfe einer Statistik heraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag Sonne scheint,
8/15 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit für Nebel ist 4/15, und die Wahrscheinlichkeit für Hagel ist
3/15. Diese Information wollen sie für einen zweitägigen Coup am Mittwoch und Donnerstag der
aktuellen Woche nutzen. Geben Sie die Verteilungen der Zufallsvariablen
X := Wetter am Mittwoch
und Y := Wetter am Donnerstag
so wie deren gemeinsame Verteilung an.
(ý) Batman hat von den Plänen der Ganoven Wind bekommen. Er modelliert das Wetter als stationäre
Markovkette und hat folgende Übergangswahrscheinlichkeiten ermittelt:
P(Y = j | X = i)
i = Hagel
i = Nebel
i = Sonne
j = Hagel
0
1/4
1/4
j = Nebel
0
1/2
1/4
j = Sonne
1
1/4
1/2
Zeigen Sie, dass Batmans Modell und das der Ganoven insofern zusammenpassen, als dass die
Wetterverteilung der Ganoven sich nach Batmans Modell selbst reproduziert.
(c) Welche Verteilung ermittelt Batman für X und Y am (sonnigen) Montag?
(d) Wie sieht die gemeinsame Verteilung von X und Y nach Batmans Modell aus?