Vektorgeometrie
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Vektorgeometrie
Roger Burkhardt
FHNW / Hochschule für Technik
Steinackerstrasse 5
5210 Windisch
28. Dezember 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Vektoren und Translationen . . .
1.1.1 Addition von Pfeilen . . .
1.1.2 Multiplikation eines Pfeils
1.2 Definition von Vektoren . . . . .
1.2.1 Ortsvektoren . . . . . . .
1.2.2 Verbindungsvektoren . . .
1.2.3 Betrag eines Vektors . . .
. . . . . .
. . . . . .
mit einem
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Skalar
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2
2
3
4
4
4
5
6
2 Rechenoperationen
2.1 Grundrechenarten . . . . . . . . .
2.1.1 Addition von Vektoren . . .
2.1.2 Multiplikation eines Vektors
2.1.3 Subtraktion von Vektoren .
2.2 Produkte . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Skalarprodukt . . . . . . . .
2.2.2 Vektorprodukt . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
mit einem
. . . . . .
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Skalar
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8
8
8
9
10
13
13
19
3 Anwendung der Vektorrechnung
3.1 Geraden und Ebenen . . . . . .
3.1.1 Parametergleichungen .
3.1.2 Koordinatengleichungen
3.2 Grundprobleme . . . . . . . . .
3.2.1 Schnittprobleme . . . .
3.2.2 Abstandsprobleme . . .
der Geometrie
. . . . . . . . . .
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23
23
23
25
27
27
29
in
. .
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. .
4 Aufgaben
34
4.1 Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
1
1.1
Einführung
Vektoren und Translationen
In einem zweidimensionalen (R2 bzw. xy-Ebene) oder dreidimensionalen (R3 )
Raum können wir Punkte durch ihre Koordinaten beschreiben. Dies geschieht
meistens durch die Angabe der Koordinaten in einem geordneten Paar (xp , yp ) ∈
R2 bzw. eines Tripels (xp , yp , zp ) ∈ R3 . Dabei bezeichnet die x-Koordinate die
Verschiebung des Punktes in Richtung der x-Achse gegenüber dem Ursprung.
Analoges gilt für die y-Koordinate und die z-Koordinate.
y
xp
P(xp , yp )
yp
Jedem Punkt in der xy-Ebene oder im R3 werden auf diese Weise eindeutig seine
Koordinaten zugeordnet. Anstelle der Koordinaten könnte man den Punkt noch
auf verschiedene andere Arten beschreiben. So ist auch die Beschreibung durch
einen Pfeil der vom Ursprung zum Punkt führt eine eindeutige Beschreibung:
Bevor wir diese Beschreibung weiter untersuchen wollen wir zwei einfache Rechenoperationen mit solchen Pfeilen untersuchen. Dies sind die Addition zweier
Pfeile und die Multiplikation mit einem Skalar (reellen Zahl):
2
1.1.1
Addition von Pfeilen
Einen Pfeil verstehen wir als eine Verschiebung. Verschieben wir ein Objekt
geradlinig in eine Richtung um eine feste Distanz, so werden alle Punkte des
Objektes auf diese Art verschoben. D.h. jeder Punkt wird entlang eines Pfeiles
verschoben und für die verschiedenen Punkte sind die verschiedenen Pfeile bis
auf den Ort gleich (die Pfeile stimmen in der Richtung und der Länge überein):
v
Eine geradlinige Verschiebung (nennt man auch Translation) kann also durch
einen Pfeil beschrieben werden. Wie sieht es nun aus, wenn mehrere solcher
Verschiebungen nacheinander ausgeführt werden? Denken wir uns eine erste
Verschiebung v und eine zweite Verschiebung w die nacheinander ausgeführt
werden. Das Resultat dieser beiden Verschiebungen hätten wir auch durch eine
einzige Verschiebung s = v + w erzielen können:
v
w
→
→
→
s =v +w
Unter der Summe zweier Pfeile (Translationen) verstehen wir den Pfeil (die
Translation), der vom Startpunkt des ersten Pfeils zum Endpunkt des zweiten
Pfeils führt. Alternativ gilt auch folgendes: Zwei Pfeile definieren ein Parallelogramm. Unter der Summe der beiden Pfeilen versteht man die Diagonale in
diesem Parallelogramm.
v
→
→
→
s =v +w
→
→
s =v +w
→
→
→
→
w
w
w
v
v
3
1.1.2
Multiplikation eines Pfeils mit einem Skalar
Wir haben weiter vorne gesehen das ein Pfeil durch seine Richtung und seine Länge definiert ist. Wir definieren die Multiplikation eines Pfeils mit einem
Skalar (reellen) Zahl als Operation, welche die Richtung beibehält und nur die
Länge des Pfeils verändert. Dabei gibt der Betrag des Skalars den Streckungsfaktor des Pfeils an. Zudem definieren wir, dass wenn der Skalar negativ ist die
Richtung des Pfeils gerade umgekehrt wird:
→
−v
1.2
1.2.1
→
2v
v
→
3v
Definition von Vektoren
Ortsvektoren
Mit diesen Vorkenntnissen führen wir nun die Ortsvektoren ein. Dazu denken
wir uns zwei Pfeile ex und ey (im R3 noch den Pfeil ez ). Diese beiden Pfeile
sollen die Länge Eins haben und der Pfeil ex soll die Richtung der positiven
x-Achse haben und der Pfeil ey die Richtung der positiven y-Achse. Nun lässt
sich ein Pfeil der vom Ursprung zu einem Punkt P (xp , yp ) führt, als Summe der
beiden Pfeile xp ex und yp ey beschreiben. Diese Summe nennen wir Ortsvektor
→
−
rp .
4
R2
zp
y
yp
z
R3
z p⃗
ez
P (x p , y p )
P (x p , y p , z p )
yp⃗
ey
1
ey
r P= x p ⃗
ex+ y p ⃗
ey
⃗
x p⃗
ex
e⃗x 1
xp
ez
1
x
1
x
xp
r P= x p ⃗
e x+ y p ⃗
e y +z p ⃗
ez
⃗
ey
1
yp⃗
ey
yp
y
ex
x p⃗
ex
Bemerkung: Wenn wir mit Vektoren arbeiten so kennzeichnen wir diese Grössen
dadurch aus, indem wir über den Namen des Vektors einen Pfeil (von Links nach
Rechts) zeichnen. Den Ortsvektoren geben wir immer den Namen r mit dem
Namen des Punktes den wir beschreiben als Index. Die beiden Pfeile ex und ey
lassen sich auch als Ortsvektoren schreiben (Ortsvektoren zu den Punkten (1, 0)
und (0, 1)). Da dies jedoch ganz spezielle Vektoren (Basisvektoren) sind geben
−
−
wir ihnen die folgenden Namen: →
ex und →
ey . Es gilt somit:
→
−
−
−
rp = xp →
ex + yp →
ey
Für obige Summe wählt man meistens die folgende Kurzschreibweise:
xp
→
−
−
−
rp = xp →
ex + yp →
ey =
yp
Dabei bezeichnet die Zahlen in der Klammer die Komponenten des Vektors.
Merke: Die Komponenten eines Vektors beschreiben die Teilverschiebungen in
die entsprechenden Richtungen. Diese entsprechen bei einem Ortsvektor gerade
den Koordinaten des Punktes, der durch den Ortsvektor beschrieben wird!
1.2.2
Verbindungsvektoren
Möchte man die gegenseitige Lage zweier Punkte beschreiben, so kann dies durch
eine Translation geschehen, die den einen Punkt in den anderen überführt. Diesen Pfeil bezeichnen wir als Verbindungsvektor oder einfach nur als Vektor:
5
y
B( x B , y B)
AB
⃗v =⃗
A( x A , y A )
1
ey
x
ex 1
⃗
Bemerkung: Vektoren bezeichnet man meist mit Kleinbuchstaben mit einem
Pfeil über dem Variablennamen. Möchte man einen Vektor speziell als Verbindungsvektor kennzeichnen, so wählt man als Variablennamen oft auch Startund Endpunkt des Vektors.
Wir suchen nun eine Beschreibung für einen Verbindungsvektor. Wenn wir die
beiden Punkte kennen so kennen wir auch ihre Ortsvektoren. Möchten wir also
die Translation vom Punkt A zum Punkt B beschreiben, so können wir die−
→
−→
−
→
se Translation auch als Summe der Translation A0 = (−1) −
r→
A und 0B = rB
beschreiben. Es gilt also:
−−→ −
−
→
AB = r→
B − rA
y
1
ey
B( x B , y B)
AB=⃗
r B− ⃗
rA
⃗v =⃗
A( x A , y A )
rB
⃗
rA
⃗
x
ex 1
⃗
1.2.3
Betrag eines Vektors
Wir haben gesagt, dass Vektoren durch die Grössen Richtung und Länge beschrieben werden. Zur Richtung werden wir später kommen, hier in diesem Abschnitt wollen wir die Länge eines Vektors untersuchen.
Denken wir uns zwei Punkte A und B der xy-Ebene. Diese beiden Punkte
−−→
−
erzeugen den Vektor →
v = AB. Wir sagen nun, dass die Länge des Vektors der
6
Distanz zwischen den beiden Punkten entspricht. Die Distanz können wir mit
Hilfe des Pythagoras berechnen:
p
−
d = ∆x2 + ∆y 2 = |→
v|
y
B( x B , y B)
d =∣⃗v∣=√ Δ x 2 +Δ y 2
A( x A , y A )
Δx
Δy
1 ey
x
ex 1
⃗
Üblicherweise nennt man die Länge eines Vektors den Betrag des Vektors. Wir
definieren:
vx
→
−
Definition: Unter dem Betrag des Vektors v =
versteht man die reelle
vy
Zahl:
vx q
→
−
= vx2 + vy2
| v | := vy −
Analog dazu können wir den Betrag eines Vektors →
w ∈ R3 definieren:
z
d =∣⃗
w∣=√ d 21+Δ z 2 =√ Δ x 2 +Δ y 2+Δ z 2
w
⃗
1 Δx
ez
1
ex
Δz
d 1= √ Δ x 2+Δ y 2
Δy
y
ey 1
x
wx
−
Definition: Unter dem Betrag des Vektors →
w = wy versteht man die
wz
reelle Zahl:
wx q
→
−
| w | := wy = wx2 + wy2 + wz2
wz 7
2
2.1
2.1.1
Rechenoperationen
Grundrechenarten
Addition von Vektoren
−
→
−
→
Beispiel: An einer Masse m greifenzweiKräfte F1 und
F2 an.
Bestimme die
−
→
−
→
1
1
resultierende Kraft. Dabei sei F1 =
und F2 =
. Wir haben im
2
−1
letzten Abschnitt gesehen, dass die Addition von Pfeilen (Translationen) gerade
den Pfeil ergibt, der die Summe der beiden einzelnen Translationen beschreibt.
Die beiden gegebenen Kraftvektoren können wir ebenfalls als Summe von je
zwei Translationen betrachten (Verschiebung in x- bzw. y-Richtung). Insgesamt
haben wir also vier Translationen:
−−→
−
→
−
→
Fres = F1 + F2
|{z}
|{z}
→+2−
→
→ −−
→
e
e
e
(−
(−
x
y)
x ey )
Nun können wir die Verschiebungen in x- und y-Richtung einzeln betrachten:
−−→
−
−
−
−
F = (→
e +→
e ) + (2→
e −→
e )
res
Wir finden somit:
y
x
x
−−→
−
−
Fres = 2→
ex + →
ey =
y
y
2
1
()
⃗
F 1= 1
2
⃗
F 1=1 ⃗
e x +2 ⃗
ey
()
⃗
F res=⃗
F 1+ ⃗
F 2= 2
1
⃗
F res=2⃗
e x +1 ⃗
ey
m
x
( )
⃗
F 2= 1
−1
⃗
F 2 =1⃗
e x −1 ⃗
ey
8
vx
wx
−
−
Definition: Die Summe zweier Vektoren →
v =
und →
w =
ist
vy
wy
−
−
−
der Vektor →
s =→
v +→
w welcher die Translation beschreibt, die man durch das
nacheinander Ausführen der beiden einzelnen Translationen erhält. In Komponentenschreibweise gilt:
vx
wx
vx + wx
→
−
−
−
s =→
v +→
w =
+
=
vy
wy
vy + wy
Für die Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz
→
−
−
−
−
v +→
w =→
w +→
v
und das Assoziativgesetz
→
−
−
−
−
−
−
u + (→
v +→
w ) = (→
u +→
v)+→
w
2.1.2
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Beispiel: Auch in der Physik werden Vektoren oft eingesetzt. Viele physikalische Grössen haben neben der skalaren Eigenschaft (ihr Betrag, Grösse) noch
eine Richtung in der sie wirken. Daher eignen sich Vektoren sehr gut für ihre
Beschreibung. Die physikalischen Gesetze lassen sich mit den Vektoroperationen
ausdrücken. Betrachten wir z.B. das Newtonsche Gesetz (die Beschleunigung,
die eine Masse erfährt ist proportional zur einwirkenden Kraft) F = ma. In dieser Formel sind die Kraft F und die Beschleunigung a gerichtete Grössen und
die Masse m eine skalare Grösse. Die vektorielle Beschreibung lautet nun:
→
−
−
F = m→
a
Die vektorielle Beschreibung bringt nun neben dem skalaren Zusammenhang
der Beträge auch zum Ausdruck, dass die Beschleunigung die gleiche Richtung
wie die wirkende Kraft aufweist. Dabei hat der skalare Faktor vor der Beschleunigung nur eine Streckung/Stauchung zur Folge.
y
a=
⃗
1⃗
F
m
⃗
F
m
x
9
vx
−
Definition: Das Produkt einer Zahl k ∈ R mit einem Vektor →
v =
vy
−
−
ist der Vektor →
p = k→
v welcher die Translation beschreibt, die man durch
−
Streckung/Stauchung mit dem Faktor k der Translation →
v erhält. In Komponentenschreibweise gilt:
→
−
−
p = k→
v =k
Es gilt:
vx
vy
=
kvx
kvy
−
−
−
|→
p | = |k →
v | = |k| |→
v|
Weiter gelten die Distributivgesetze:
−
−
−
−
k (→
v +→
w ) = k→
v + k→
w
−
−
−
(k + s) →
v = k→
v + s→
v
2.1.3
Subtraktion von Vektoren
Bevor wir die Subtraktion von Vektoren betrachten wollen wir zwei spezielle
Arten von Vektoren kennenlernen:
Der Nullvektor Wenn wir die Summe der drei Seitenvektoren eines Dreiecks
bilden, bedeutet dies, dass wir die drei Translationen entlang der Seiten um das
Dreieck ausführen um schlussendlich wieder beim Startpunkt zu sein. Die Summe von Vektoren ist nun die Translation welche die Summe der Translationen
der einzelnen Vektoren beschreibt. In diesem Fall erhalten wir eine Translation um den Betrag Null (über die Richtung lässt sich nichts aussagen!). Einen
−
Vektor mit dem Betrag Null nennen wir einen Nullvektor →
o.
C
⃗b=⃗
CA
a =⃗
BC
⃗
a + ⃗b+⃗c =⃗
⃗
BB= ⃗0
A
B
AB
⃗c =⃗
10
−
−
Kehrvektor Jeder Vektor →
v besitzt einen Kehrvektor −→
v . Dabei haben der
gegebene Vektor und der dazugehörige Kehrvektor den gleichen Betrag und
entgegengesetzte Richtung. Es gilt:
−
−
−→
v = (−1) →
v
−
Wir können auch sagen, dass der Kehrvektor von →
v die Translation von diesem
Vektor wieder umkehrt oder dass die Summe eines Vektors mit seinem Kehrvektor den Nullvektor ergibt:
→
−
−
−
v + (−→
v)=→
o
Das dritte Newton’sche Axiom (actio=reactio) ist ein sehr wichtiges physikali−→
sches Gesetz. Dieses Gesetz besagt, wenn ein Gegenstand 1 mit der Kraft F12 auf
einen Gegenstand 2 einwirkt, dass der Gegenstand 2 mit der entgegengesetzten
−→
−→
Kraft F21 = −F12 auf den Gegenstand 1 einwirkt.
⃗
F 21=−⃗
F 12
1
2
⃗
F 12
−
−
Definition: Unter der Subtraktion der Vektoren →
s und →
m versteht man den
→
−
→
−
→
−
−
Vektor d = s − m, welcher durch die Addition des Vektors →
s mit dem Kehr→
−
vektor − m definiert ist. Formal:
→
−
sx
mx
sx − mx
→
−
→
−
d = s −m=
−
=
sy
my
sy − my
Wir wollen die Differenz zweier Vektoren graphisch darstellen:
11
⃗b
a
⃗
−⃗
a
−⃗b
a
⃗
⃗b
−⃗
a
a − ⃗b
⃗
−⃗b
−⃗b
⃗b−⃗
a
⃗b
a
⃗
−a⃗
Verbindungsvektor Weiter vorne haben wir Verbindungsvektoren mittels
der Subtraktion definiert:
−−→ −
−
→
AB = r→
B − rA
In komponentenschreibweise sehen wir, dass die Komponenten des Verbindungsvektors gerade die Differenz der Koordinaten der Punkte sind:
−−→ −
xB
xA
xB − xA
−
→=
AB = r→
−
r
−
=
B
A
yB
yA
yB − yA
Merke: Die Komponenten des Verbindungsvektors erhält man durch die Subtraktion der entsprechenden Koordinaten des Endpunktes minus derjenigen des
Startpunktes.
Beispiel: Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A (1, 1), B (3, 0) und
C (5, 4). Wir wollen den Ortsvektor des Schwerpunktes bestimmen. Wir wissen,
dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden (Schwerelinien) im Verhältnis 1 : 2
teilt. Somit können wir den Ortsvektor zum Schwerpunkt wie folgt beschreiben:
−
−
→ −→ −
→ 2 −−→
r→
S = rB + BS = rB + BE
3
Dabei ist E der Mittelpunkt auf der Strecke AC. Diesen Punkt können wir mit
den gegebenen Ortsvektoren wie folgt beschreiben:
1 −
−
−
→ 1 −→ −
→ 1 (−
−
→
−
→
r→
r→
(r→
E = rA + AC = rA +
C − rA ) =
A + rC )
2
2
2
12
Somit gilt:
2 −
−
−
→
−
→ 2 1 (−
−
→
−
→
r→
= −
r→
(r→
r→
S
B +
E − rB ) = rB +
A + rC ) − rB
3
3 2
1 −
1
1
3
5
→
−
→
−
→
=
(rA + rB + rC ) =
+
+
1
0
4
3
3
9 3
3
=
=
5
5
3
3
y
rC
⃗
C
E
A
rA
⃗
⃗
⃗
BE AD D
S
rS
⃗
x
B
rB
⃗
2.2
2.2.1
Produkte
Skalarprodukt
Definition und geometrische Interpretation Die Definition des Skalarprodukts lautet:
→
−
−
Definition: Unter dem Skalarprodukt
der beiden Vektoren →
a und b versteht
→
−
−
→
−
−
man die reelle Zahl →
a ◦ b := |→
a | b cos (ϕ) ∈ R, wobei ϕ der Zwischenwinkel
zwischen den beiden Vektoren bezeichnet.
Wir wollen diese Zahl einmal in untenstehender Skizze suchen. Wenn wir die
Endpunkte der beiden Vektoren auf den jeweils anderen Vektor projezieren,
enstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Länge der Projektionen können wir
13
mittels der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck einfach bestimmen:
→
−
−
−
−
|→
a b | = |→
a | cos (ϕ)
Projektion von →
a auf b
|
Merke: Das Skalarprodukt zweier normal zueinanderstehender Vektoren verschwindet!
Gesetze
Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Gesetze:
• Kommutativgesetz:
→
−
→
− −
→
−
a ◦ b = b ◦→
a
• Distributivgesetz:
→
− − →
→
− − →
→
−
c =−
a ◦ b +→
a ◦ −c
a ◦ b +→
•
→
→
−
−
−
−
a ◦ b
(k →
a ) ◦ s b = ks →
Mit Hilfe dieser Gesetze können wir nun auch das Skalarprodukt für Vektoren
in komponentenschreibweise herleiten:
→
−
ax
bx
→
−
a ◦ b =
◦
ay
by
→
−
→
−
−
−
= (a e + a e ) ◦ (b →
e +b →
e )
x x
y y
x x
y y
−
−
−
−
−
−
−
−
(ax →
ex ) ◦ (bx →
ex ) + (ax →
ex ) ◦ (by →
ey ) + (ay →
ey ) ◦ (bx →
ex ) + (ay →
ey ) ◦ (by →
ey )
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
= ax bx (ex ◦ ex ) +ax by (ex ◦ ey ) +ay bx (ey ◦ ex ) +ay by (ey ◦ ey )
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
=
=1
=0
=0
=1
= ax bx + ay by
Winkel zwischen zwei Vektoren
zwei Vektoren berechnen:
Wir können nun den Winkel zwischen
→
−
→
−
a ◦ b
cos (ϕ) =
− →
−
|→
a | b Beispiel: Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A (1, 1), B (3, 0) und
C (5, 4). Wir wollen die Innenwinkel dieses Dreiecks berechnen. Dazu benötigen
wir die Seitenvektoren (Verbindungsvektoren der Eckpunkte):
−−→ −
2
→
−
→
−
→
a = BC = rC − rB =
4
→
−
−→ −
−4
→
−
→
b = CA = rA − rC =
−3
−→ −
2
→
−c = −
→
−
→
AB = rB − rA =
−1
14
Nun können wir die Winkel berechnen (Achtung: Von einem Vektor müssen wir
immer den Kehrvektor in der Formel einsetzen, damit der Zwischenwinkel mit
dem Innenwinkel übereinstimmt!):
→
− →
−c
5
−
b
◦
√
= arccos
= 63. 432◦
α = arccos →
− −
5 5
c|
− b |→
→
−
−c ) a ◦ (−→
0
√
√
β = arccos
= 90◦
=
arccos
−
−c |
|→
a | |−→
20 5
→
−
→
−
−
a
◦
b
20
→
√
γ = arccos
= 26. 565◦
− = arccos
→
−
205
|− a | b y
⃗
BC
rC
⃗
C
γ
⃗
BC
−⃗
BC
⃗
CA
A
rA
⃗
γ
⃗
CA
−⃗
CA
α
β
⃗
AB
rB
⃗
x
B
⃗
BC
α
⃗
CA
⃗
AB
β
−⃗
AB
⃗
AB
Richtung eines Vektors Um die Richtung eines Vektors zu beschreiben bestimmen wir die Winkel zwischen diesem Vektor und den Basisvektoren. Dazu
−
denken wir uns einen beliebigen Vektor mit der Länge Eins (|→
v | = 1). Nun
finden wir:
vx
1
→
−
→
−
v ◦ ex
cos (α) = →
= v y ◦ 0 = vx
−
|−
v | |→
ex |
vz
0
vx
0
→
−
−
v ◦→
ey
v
1 = vy
cos (β) = →
=
◦
y
−
|−
v | |→
ey |
vz
0
vx
0
→
−
−
v ◦→
ez
v
0 = vz
cos (γ) = →
=
◦
y
−
|−
v | |→
ez |
vz
1
cos (α)
−
⇒→
v = cos (β)
cos (γ)
15
2
2
2
v = vx +vy +vz =1
z
cos (b ) =
v o ey
= vy
v ey
cos (g ) =
g
v o ez
v ez
= vz
æ v
ç
v = ç v
ç v
è
b
a
cos (a ) =
v o ex
v ex
x
y
z
ö
÷
÷
÷
ø
y
= vx
x
Wenn wir uns unter der Richtung eines Vektors die Zwischenwinkel, welcher
der Vektor mit den Basisvektoren einschliesst verstehen, so können wir z.B.
einen Vektor des dreidimensionalen Raums durch seine drei Komponenten oder
durch die Angabe des Betrags des Vektors und der drei Zwischenwinkel zu den
Koordinatenachsen beschreiben. Es zeigt sich nun aber, dass die Angabe eines
der drei Zwischenwinkel überflüssig ist. Wir sind von einem beliebigen Vektor
der Länge Eins ausgegangen und somit gilt:
2
−
|→
v | = v 2 + v 2 + v 2 = cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) = 1
x
y
z
Bemerkung: Die Beschreibung mittels Betrag und nur zwei Zwischenwinkel
ist jedoch nicht eindeutig (Lösung einer quadratischen Gleichung!).
Betrag und Skalarprodukt Wir haben den Betrag weiter vorne schon eingeführt. Doch wir könnten den Betrag auch auf die folgende Art definieren (wird
auch häufig gemacht):
√
−
→
−
−
|→
v| =
v ◦→
v
v
u
u vx
vx
u
= t vy ◦ vy
vz
vz
q
=
vx2 + vy2 + vz2
Beispiel: Als Anwendung dieses Sachverhalts beweisen wir den Cosinussatz aus
der Trigonometrie:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos (γ)
16
−−→
−
Dazu definieren wir in einem beliebigen Dreieck ABC die Seite a als →
a = CB
→
−
−→
und die Seite b als b = CA. Nun lässt sich die Seite c wie folgt beschreiben:
−
−→ − →
→
−c = −
AB = →
a − b
Und nun gilt:
→
−c ◦ →
−c
−c |2
|→
c2
→
− − →
−
→
−
a − b ◦ →
a − b
→
− →
−
→
−
−
−
−
= →
a ◦→
a + b ◦ b − 2→
a ◦ b
→
→
2
− − 2
−
−
a | b cos (γ)
= |→
a | + b − 2 |→
=
= a2 + b2 − 2ab cos (γ)
B
a = CB
c = a -b
g
C
A
b = CA
Projektionen und Zerlegungen In der Definition des Skalarproduktes sagten wir, dass das Skalarprodukt dem Produkt der Länge der Projektion des
ersten Vektors auf den zweiten mit der Länge des zweiten Vektors entspricht:
→
→
−
− →
−
−
a ◦ b = b
|→
a | cos (ϕ)
{z }
|
|{z}
Länge des
Länge der Projektion
zweiten Vektors
Dies machen wir uns nun zu Nutze, um Vektoren in eine Richtung zu Projezieren.
→
−
−
Wir wollen die Projektion des Vektors b auf →
a als Vektor beschreiben. Für die
Länge der Projektion erhalten wir:
→
−
→
→
−
a ◦ b
− −
b→
=
b
cos
(ϕ)
=
a
−
|→
a|
→
−
Nun multiplizieren wir den Einheitsvektor e mit der gefundenen Projektia
onslänge:
→
− −
→
−
−
→
−
−
→ →
a ◦ b →
a
a ◦ b →
−
−
b→
=
=
a
a
−
−
→
−
−
|→
a | |→
a|
a ◦→
a
17
⃗b
a⃗
⃗
ba
φ
a ∘ ⃗b
⃗
∣⃗
b a∣=∣⃗b∣cos (φ)=
∣⃗
a∣
a ∘ ⃗b
⃗
⃗
b a=∣⃗
ba∣⃗
e a= 2 ⃗
a
∣⃗
a∣
Beispiel: Eine Masse m befindet sich auf einer um den Winkel α geneigten
→
−
Ebene. Wir wollen die Gewichtskraft G so in zwei Summanden zerlegen, dass
der eine Summand senkrecht und der zweite Summand tangential zur Oberfläche steht. Dazu projezieren wir den Vektor der Gewichtskraft einerseits in
tangentiale und normale Richtung zur Oberfläche:
0
− sin (α)
→
− →
◦
−mg
cos (α)
−→ −→
G ◦−
n →
− sin (α)
mg cos (α) sin (α)
−
G⊥ = Gn = →
n =
=
−
cos (α)
−mg cos2 (α)
1
|−
n | ◦ |→
n|
0
− cos (α)
→
− →
◦
−
−mg
− sin (α)
−
→ −
→
G◦ t →
−mg cos (α) sin (α)
−
−
cos
(α)
t =
Gk = Gt = →
=
− →
−
− sin (α)
−mg sin2 (α)
1
t ◦ t 18
y
m
(
⃗
Gt
)
−cos(α )
⃗n =
sin(α )
⃗
Gn
α
(
)
⃗t = −sin(α )
−cos(α)
2.2.2
x
(−mg0 )
⃗
G=
Vektorprodukt
Definition und geometrische Interpretation
Es gilt:
→
−
−
Definition: Unter dem Vektorprodukt der beiden Vektoren →
a , b ∈ R3 versteht
→
−
−
−
man den Vektor →
v = →
a × b ∈ R3 , welcher die folgenden drei Bedingungen
erfüllt:
−
• →
v steht senkrecht auf den beiden Faktoren, d.h. es gilt:
→
−
−
v ◦→
a
→
−
→
−
v ◦ b
=
0
=
0
v = a ´ b
b
a
−
• der Betrag von →
v entspricht der Fläche des Parallelogramms das von den
−
beiden Faktoren aufgespannt wird (ϕ ist der Zwischenwinkel zwischen →
a
→
−
und b ):
→
− −
−
|→
v | = |→
a | b sin (ϕ)
19
a
b
A = a ´ b = a b s i n (j
) b
h = b sin (j )
j
a
→
−
−
−
• →
a , b und →
v bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Dabei bilden
drei Vekteron ein Rechtssystem, wenn durch Drehung des ersten Vektors
zum zweiten der dritte Vektor eingeschraubt wird (oder rechte Hand Regel:
Daumen = erster Vektor, Zeigefinger = zweiter Vektor, Mittelfinger =
dritter Vektor).
Gesetze Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Gesetze:
– Antikommutativgesetz:
→
−
→
− −
→
−
a × b =−b ×→
a
– Assoziativgesetz:
→
−
→
−
−
−
(n→
a ) × m b = nm→
a × b
– Distributivgesetz:
→
− − →
→
− − →
→
−
a × b +→
c =−
a × b +→
a × −c
20
Mit Hilfe der Gesetze können wir das Vektorprodukt auch in komponentschreibweise berechnen:
ax
bx
−
−
−
−
−
−
ay × by = (ax →
ex + a y →
ey + az →
ez ) × (bx →
e x + by →
e y + bz →
ez )
az
bz
−
−
−
−
−
−
e × bx →
ex + az →
ez × bx →
ex +
= ax →
e ×b →
e +a →
| x {z x x} y y
→
−
=0
−
−
−
−
−
−
ez × by →
ey +
ax →
e x × by →
ey + ay →
e y × by →
ey +az →
{z
}
|
→
−
=0
−
−
−
−
−
−
ax →
e x × bz →
ez + ay →
e y × bz →
ez + a z →
e ×b →
e
| z {z z z}
→
−
=0
=
−
−
−
−
−
−
e ×→
e +a b →
ay bx →
ey × →
ex +az bx →
e ×→
e +
| z {z x} x y | x {z y}
| {z }
−
−→
ez
−
→
e
y
→
−
e
z
−
−
−
−
−
−
az by →
ez × →
ey +ax bz →
e ×→
e +a b →
e ×→
e
| x {z z} y z | y {z z}
| {z }
→
−−
e
x
→
−−
e
y
−
→
e
x
−
−
−
(ay bz − az by ) →
ex + (az bx − ax bz ) →
ey + (ax by − ay bx ) →
ez
ay bz − az by
= az bx − ax bz
ax by − ay bx
=
Beispiel: Wir wollen das Vektorprodukt der
1
→
−
→
−
a = 2 , b =
3
beiden Vektoren
3
2
1
bestimmen:
−4
2∗1−2∗3
3
1
→
−
→
−
a × b = 2 × 2 = 3∗3−1∗1 = 8
−4
3
1
1∗2−3∗2
Beispiel: Bestimme einen Vektor der normal zu den beiden Vektoren
1
1
→
−
→
−
a = 1 , b = 2
1
3
steht und die Länge Eins hat. Wir bestimmen zuerst einen Vektor der
normal steht (mit dem Vektorprodukt):
1
1
1
→
−
→
−
−
n =→
a × b = 1 × 2 = −2
1
3
1
21
Dieser Vektor hat die Länge:
q
√
2
−
|→
n | = 12 + (−2) + 12 = 6
Nun multiplizieren wir den gefundenen Vektor mit dem Kehrwert seiner
Länge:
1
√
→
−
6
n
= − √26
→
−
|n|
√1
6
Der Kehrvektor des obigen Resultates ist eine zweite mögliche Lösung:
− √16
→
−
n
−→
= √26
−
|n|
1
− √6
Flächenberechnung Die Flächenberechnung ist eine wichtige Anwendung des Vektorproduktes. Der Betrag des Flächenproduktes entspricht
ja gerade dem Flächeninhalt des durch die Faktorvektoren aufgespannte
Parallelogramm. Somit lassen sich z.B. auch gut Dreiecksflächen berechnen:
Beispiel: Wir suchen den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten
A (1, 1), B (3, 0) und C (5, 4). Da das Vektorprodukt nur im R3 definiert
ist, fügen wir bei den drei Punkten noch die z-Koordinate 0 hinzu. Es gilt
nun:
1 −−→ −→
F =
AB × AC 2
1 −
−
→
−
→ −
→
|(r→
=
B − rA ) × (rC − rA )|
2
3
1
5
1
1
0
1
4
1
−
×
−
=
2
0
0
0
0
2
4 1
−1
3
=
×
2 0
0
0
1
0
=
2
10 10
=
=5
2
22
3 Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie
Im Rahmen dieser Einführung in die Vektoralgebra und Vektorgeometrie
betrachten wir exemplarisch die Objekte Gerade und Ebene. Diese Objekte lassen sich mit Vektoren sehr einfach beschreiben. Im weiteren werden
einige weiterführende Anwendungen gezeigt (Schnitt- und Abstandsprobleme). Damit ist dieses Gebiet natürlich längst nicht abgehandelt. Neben
den Objekten Gerade und Ebene findet man noch viele weitere Objekte
(Kreis, Kugel, Ellipse, usw.) welche ebenfalls in der Vektorgeometrie ihren
festen Platz haben.
3.1
Geraden und Ebenen
3.1.1
Parametergleichungen
Unter einer Geraden versteht man die Menge aller Punkte, die die Gleichung
→
−
−
−
r =→
r0 + t→
a
−
erfüllen. Dabei bezeichnet →
r einen variablen Ortsvektor auf die Gera→
−
−
de, r einen festen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden, →
a einen
0
Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. Wenn für den Parameter ein Wert eingesetzt wird, erhält man einen bestimmten Ortsvektor,
der zu einem Punkt auf der Geraden zeigt. Im dreidimensionalen Raum
gibt es (eigentlich) nur diese Möglichkeit eine Gerade zu beschreiben. Wir
werden sehen, dass im zweidimensionalen Raum auch eine parameterfreie
Beschreibung existiert. Die Beschreibung von Raumkurven mit Parametern findet man häufig in der Physik mit der Zeit als Parameter.
23
z
a
r = r0 + t a
P0
y
r0
x
Beispiel: Wir suchen die Gerade durch die beiden Punkte A(1, 1, 2) und
B(4, −2, 0). Den Richtungsvektor entspricht dem Verbindungsvektor der
beiden Punkte:
1
3
4
→
−
−
→ −2 − 1 = −3
a =−
r→
B − rA =
2
−2
0
Als festen Punkt kann man den Punkt A wählen und erhält somit:
x
1
3
−
g:→
r = y = 1 + t −3
z
2
−2
Beispiel: Bestimme die Punkte auf der Geraden für die Parameterwerte
1, 2 und 3:
x
1
3
4
→
−
r = y = 1 + 1 −3 = −2
z
2
−2
0
x
1
3
7
→
−
r = y = 1 + 2 −3 = −5
z
2
−2
−2
x
1
3
10
→
−
r = y = 1 + 3 −3 = −8
z
2
−2
−4
Eine Ebene lässt sich ähnlich wie eine Gerade beschreiben. Es braucht
jedoch zwei Richtungen und somit zwei Parameter:
→
−
→
−
−
−
r =→
r0 + t→
a +sb
24
z
a
ta
r0
b
sb
r = r0 + t a + sb
y
x
Beispiel: Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(1, 1, 2), B(4, −2, 0)
und C(0, 1, 5). Die Richtungsvektoren entsprechen den Verbindungsvektoren:
−1
3
→
−
−
→
−
−
→
→
−
a = AB = −3 , b = AC = 0
−3
−2
Als festen Punkt kann man den Punkt A wählen und erhält somit:
−1
3
1
x
−
ε:→
r = y = 1 + t −3 + s 0
−3
−2
2
z
Beispiel: Bestimme den Punkt auf der Ebene für die Parameterwerte
t = 2 und s = −4:
11
−1
3
1
x
→
−
r = y = 1 + 2 −3 + (−4) 0 = −5
10
−3
z
2
−2
3.1.2
Koordinatengleichungen
−
Sei →
n ein Vektor der normal zur Geraden (im R2 ) bzw. Ebene (im R3 )
steht. Nun steht dieser Vektor natürlich auch normal zu jedem Vektor der
−
parallel zur Geraden bzw. Ebene liegt. Sei weiter ein Ortsvektor →
r0 zu
einem Punkt auf der Geraden bzw. Ebene und ein (variabler) Ortsvektor
→
−
r auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden bzw. Ebene gegeben, so ist
−
−
der Verbindungsvektor (→
r −→
r0 ) dieser beiden Punkte sicher parallel zur
Geraden bzw. Ebene. Dies führt nun auf die Normalengleichung:
→
−
−
−
n ◦ (→
r −→
r0 ) = 0
25
n
r - r0
r0
r
Sei nun (für eine Ebene):
nx
x
x0
→
−
−
−
n = ny , →
r = y ,→
r0 = y0
nz
z
z0
Wir finden somit:
nx
ny
nz
→
−
−
−
n ◦ (→
r −→
r0 ) = 0
x0
x
◦ y − y0 = 0
z
z0
nx (x − x0 ) + ny (y − y0 ) + nz (z − z0 )
=
0
nx x + ny y + nz z + (−nx x0 − ny y0 − nz z0 ) =
|{z}
|{z}
{z
}
|{z}
|
0
A
B
C
D
Ax + By + Cz + D
=
0
Beispiel: Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(1, 1, 1), B(2, 3, 4)
und C(0, −1, 5). Wir bestimmen die beiden Verbindungsvektoren:
1
−1
→
−
−
−
→
−
→
→
−
a = AB = 2 , b = AC = −2
3
4
Das Vektorprodukt dieser beiden Verbindungsvektoren liefert den Normalenvektor der Ebene (steht normal auf der Ebene):
1
−1
14
→
−
→
−
−
n =→
a × b = 2 × −2 = −7
3
4
0
26
Die Ebenengleichung lautet somit:
→
−
−
−
n ◦ (→
r −→
r0 ) = 0
14
x−1
−7 ◦ y − 1 = 0
0
z−1
14x − 7y − 7 = 0
3.2
3.2.1
Grundprobleme
Schnittprobleme
In diesem Abschnitt wollen wir die im letzten Abschnitt beschriebenen Objekte miteinander schneiden. Wir suchen also die Menge der Punkte die auf
allen zu schneidenden Objekten liegen. Da es verschiedene Möglichkeiten
gibt die Objekte zu beschreiben, gibt es auch verschieden Möglichkeiten
das Schnittobjekt zu bestimmen. Wir betrachten drei mögliche Fälle:
Beispiel: Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebenen e:
2
1
x
−
g : →
r = y = −1 + t −1
3
2
z
x
1
−1
4
−
ε : →
r = y = 1 + u 3 + v 0
z
0
1
2
Schnittprobleme löst man dadurch, dass ein gesuchter Schnittpunkt auf
allen zu schneidenden Objekten liegen muss, d.h. die Koordinaten des
gesuchten Schnittpunktes erfüllen alle gegebenen Gleichungen. Da hier
also die Koordinaten gleich sein müssen, können wir sie gleichsetzen:
−1
4
1
2
1
−1 + t −1 = 1 + u 3 + v 0
2
0
1
3
2
2+t
1 − u + 4v
−1 − t = 1 + 3u
3 + 2t
u + 2v
Die beiden Vektoren sind
nenten übereinstimmen:
genau dann gleich, wenn die jeweiligen Kompot + u − 4v
−t − 3u
2t − u − 2v
27
=
=
=
−2
2
−3
In diesem linearen Gleichungssystem kann man nun nach den Parametern
auflösen, welche in den gegebenen Gleichungen eingesetzt den gesuchten
Schnittpunkt ergeben:
7
1
5
t = − ;u = − ;v = −
4
12
24
1
1
−1
4
2
1
4
5
7
1
−
−1 − −1 = 1 − 3 − 0 = 3
r→
S =
4
4
12
24
2
1
2
3
0
− 21
Beispiel: Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden
x
1
4
→
−
r = y = 2 + t 1
z
1
0
mit der Ebene
ε : 2x − y + 3z + 5 = 0
Hier haben wir nun für das eine Objekt eine Beschreibung mittels Parameter und für das zweite Objekt eine Beschreibung mittels Koordinatengleichung. Hier bestimmen wir das Schnittobjekt durch einsetzen der
Parameterform in der Koordinatengleichung:
2x − y + 3z + 5
=
0
2 (1 + 4t) − (2 + t) + 3 (1 + 0t) + 5
=
0
7t + 8
=
0
t = −
8
7
Mit dem berchneten Parameter erhalten wir nun den Schnittpunkt:
25
1
−7
x
4
8
→
−
r = y = 2 − 1 = 67
7
1
z
0
1
Beispiel: Wir suchen die Schnittgerade der beiden Ebenen
ε1
: x+y+z+1=0
ε2
: x − y + 2z − 3 = 0
Hier sind beide Objekte mittels Koordinatengleichung gegeben. Wir erhalten somit ein (lineares) Gleichungssystem:
x+y+z+1=0 x − y + 2z − 3 = 0 Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystem beschreibt nun das Schnittobjekt:
2 − 3z z − 4
3
,
,z
L = (x, y, z) ∈ R :
2
2
28
Dies entspricht der Geraden:
2−3z
3
x
1
−2
2
y = z−4 = −2 + z 1
2
2
z
0
z
1
3.2.2
Abstandsprobleme
Nun betrachten wir Abstandsprobleme. Bei einem Abstandsproblem sucht
man in der Regel die kürzeste Entfernung zwischen zwei Objekten (Punkte, Geraden und Ebenen). Denken wir uns als Beispiel eine Gerade und
einen Punkt der nicht auf dieser Geraden liegt. Verbinden wir nun einzelne
Punkte der Geraden mit dem festen Punkt so haben diese Verbindungsvektoren eine bestimmte Länge. Wir suchen nun einerseits den Punkt auf der
Geraden so, dass der so entstehende Verbindungsvektor minimale Länge
aufweist. Diesen Punkt mit kürzester Entfernung bezeichnet man meist
als Fusspunkt. Neben dem Fusspunkt intressiert oft auch nur die kürzeste
Entfernung.
Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen um solche Abstandsprobleme
zu lösen. Anhand von drei Beispielen betrachten wir die drei häufigsten
Ansätze:
Beispiel: Gegeben sei die Gerade g und der Punkt P (1, 2, 3). Wir suchen
den Fusspunkt und die kürzeste Entfernung der beiden Objekte.
0
1
−
g:→
r = 1 + t −1
1
1
g
F
29
d
P
Da der gesuchte Punkt auf der Geraden liegt machen wir folgenden Ansatz:
0
1
−
→
rF = 1 + tF −1
1
1
Nun finden wir den folgenden Verbindungsvektor:
1 − tF
−−→ −
−
→ 1+t
F P = r→
F
P − rF =
2 − tF
Damit der Verbindungsvektor minimale Länge aufweist, muss er senkrecht
zur Geraden stehen. Wenden wir das Skalarprodukt an:
1 − tF
1 + tF
2 − tF
−−→ →
−
a = 0
F P ◦
1
◦ −1 = 0
1
−3tF + 2 = 0
2
tF =
3
Und somit lautet der gesuchte Fusspunkt:
0
1
2
−
1 + −1 =
r→
F =
3
1
1
2
3
1
3
5
3
Und für die Distanz:
−−→
d = F P =
s √
2 2
2
1
4
1
18 √
+
+
=
= 2
3
3
3
3
Beispiel: Bestimme die kürzeste Entfernung zwischen der Geraden g und
dem Punkt P (1, 1, 1).
x
2
−1
−
g:→
r = y = 3 + t −1
z
4
1
Dieses Problem könnte man analog lösen wie die vorherige Aufgabe. Wir
verwenden nun jedoch zwei verschiedene Möglichkeiten die Fläche des
Dreiecks P QS zu berechnen:
30
P
h=d
F
S
Q
Die Fläche des Dreiecks lässt sich einerseits mit dem Vektorprodukt berechnen:
1 −→ −−→
A = QS × QP 2
Andererseits lässt sich die Fläche mit der Formel Grundlinie mal Höhe
durch 2 bestimmen:
1 −→
A = QS h
2
Durch das Gleichsetzen der beiden Formeln finden wir eine Gleichung in
der wir nach der Distanz d auflösen können:
−→ −−→
−
→
−
QS × QP |→
a × (−
r→
P − r0 )|
−→
d=
=
−
|→
a|
QS 31
Nun müssen wir nur noch einsetzen:
−1
1
2
−1 × 1 − 3
−
→
−
1
1
4
|→
a × (−
r→
P − r0 )|
d =
=
→
−
|a|
−1 −1
1
−1
5
−1 −1 × −2
−4
r
1
1
−3 42 √
√
√
=
=
=
= 14
3
3
3
In einem dritten Beispiel zu den Abstandsproblemen werden wir die Hesse’sche Normalform betrachten:
Beispiel: Wir suchen die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt Q und der
−
−
Ebene →
n ◦(→
r −−
r→
P ) = 0. Da die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt
−−→
Q und der Ebene normal zur Ebene steht, ist der Verbindungsvektor QF
−
parallel zum Normalenvektor →
n . Sei die Distanz gleich d, so gilt:
→
−
−−→
n
QF = ±d →
|−
n|
−
r→
F
→
−
n
= −
r→
Q±d →
|−
n|
Der Punkt F beschreibt dabei den Fusspunkt auf der Ebene. Da dieser
Punkt auf der Ebene liegt können wir ihn in der Ebenengleichung einsetzen. Wir erhalten so:
→
−
−
→
n ◦ (−
r→
F − rP ) = 0
→
−
n
→
−
−
→
r→
n ◦ −
−
r
= 0
Q±d →
P
|−
n|
→
−
−
n ◦→
n
→
−
−
→
n ◦ (−
r→
= 0
Q − rP ) ± d
→
−
|n|
2
−
|→
n|
= ∓d →
−
|n|
→
−
−
→
n ◦ (−
r→
Q − rP )
d = ±
→
−
|n|
→
−
−
→
n ◦ (−
r→
Q − rP )
Der Zähler des letzten Ausdrucks ist nun nichts anderes als die Normalform
der Ebene mit dem Punkt Q eingesetzt. Es gilt somit:
Hesse’sche Normalform: Dividiert man die Normalengleichung einer
Ebene bzw. einer Geraden durch den Betrag des Normalenvektors, so
32
erhält man die Hesse’sche Normalform der Ebenen- bzw. der Geradengleichung:
→
−
−
n ◦ (→
r −−
r→
P)
=0
→
−
|n|
Diese Gleichung hat nun die Eigenschaft die kürzeste Entfernung eines
Punktes zu der Ebene bzw. der Geraden anzugeben. Dazu muss der Punkt
in der Ebenen- bzw. Geradengleichung eingesetzt werden. Durch das Einsetzen des Punktes erhalten wir:
→
−
−
→
n ◦ (−
r→
Q − rP )
d=±
→
−
|n|
Man erhält ein positives Resultat, wenn der Punkt auf der Seite des Objektes liegt, auf die der Normalenvektor zeigt. Angernfalls wird das Resultat
negativ.
+
n
Nun suchen wir die kürzeste Entfernung des Ursprungs von der Geraden
mit der Koordinatengleichung:
2x + 13y − 12 = 0
Als erstes bestimmen wir die Hessesche Normalform. Dazu benötigen wir
den Normalenvektor. Aus der Koordinatengleichung lassen sich die Komponenten des Normalenvektors direkt ablesen (Koeffizienten vor den Variablen):
2
→
−
n =
13
33
Wir erhalten somit:
2x + 13y − 12
√
22 + 132
2x + 13y − 12
√
173
=
0
=
0
Den Abstand des Ursprungs erhalten wir durch einsetzen des Punktes
0 (0, 0):
2 ∗ 0 + 13 ∗ 0 − 12
√
173
= ±d
d =
4
12
√
= 0. 912
173
Aufgaben
1. Aufgabe
Gegeben sei der Ortsvektor
4
→
−
r = −2
5
Spiegle diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-Ebene, der xzEbene, der yz-Ebene, der x-Achse, der y-Achse, der z-Achse und dem
Ursprung.
2. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
7
−2
−3
0
5
→
−
→
−
−c = 5 , d = −2 , →
−
→
−
a = 2 , b = 4 ,→
e = 1
3
2
8
1
0
Berechne:
(a)
(b)
(c)
→
−
→
−
a + b
−
→
−c − 2→
−
d − 4→
e
→
− − →
→
−
→
−
a + b −→
a + −c − b
Löse die Gleichungen:
34
(a)
→
− →
− − →
→
−
→
−
−
−
−
x +→
a − b + d +→
x = −
a − b + (→
e −→
x)
(b)
11
2→
−
−
a +→
x
33
=
− →
5→
b −−
x 17
17
3. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
1
1
3
−5
→
−
−
→
−
−c = 0 , →
a = 2 , b = 1 ,→
d = 12
−2
1
−4
0
(a) Berechne:
→
− − − →
−
− − →
− →
−
−c |→
a | , b , |→
c | , d , →
a + b , →
a − b + 4→
(b) Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor.
4. Aufgabe
Bestimme den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden
der durch die Punkte P1 (1, 2, 3), P2 (2, 3, 1), P3 (−3, 0, 2) und Q1 (3, 2, 1),
Q2 (−1, −2, −3), Q3 (0, 1, 2) definierten beiden Ebenen.
5. Aufgabe
Gegeben sei die Gerade g
−3 + 4t
→
−
r = 3 − 7t
5 − 7t
g:
und der Punkt P (2, 1, −3). Bestimme:
(a) den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den
Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung
besizt.
(b) die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP
gleichseitig wird.
6. Aufgabe
Im Dreieck A (3, −2, 1), B (2, 7, 5), C (−1, 3, 12) sind die Längen der
Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen.
7. Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren
5
7
→
−
→
−
a = 8 , b = 1
2
3
35
→
−
→
−
−
(a) Bestimme k so, dass →
a + k b normal auf b steht.
(b) Bestimme einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden
gegebenen Vektoren steht.
8. Aufgabe
Weise nach, das die beiden Parametergleichungen:
5+t
→
−
r = 8 + 3t
−1 − 2t
4 − 2s
→
−
r = 5 − 6s
1 + 4s
dieselbe Gerade darstellen.
9. Aufgabe
Bestimme den (kürzesten) Abstand und die Fusspunkte der beiden
Geraden
−1 − 3t
→
−
g1 :
r = −2 + 8t
3 + 5t
1 + 5s
→
−
g2 :
r = −2 + 3s
−4 + 14s
10. Aufgabe
Es seien die beiden Geraden
g1
:
3x − y + 2 = 0
g2
:
2x + y − 8 = 0
gegeben. Bestimme:
(a) Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden.
(b) Die Gleichung der Winkelhalbierenden.1
11. Aufgabe
Im Punkt Q (1, 0, −5) sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht.
Bestimme die Richtung die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen
Spiegel
s : 5x − 2y + z + 3 = 0
den Punkt P (3, 1, 5) anzustrahlen.2
1 Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!).
2 Spiegle den Punkt P an der Ebene.
36
12. Aufgabe
(a) Gegeben sind die Geraden
−3 + t
−
g : →
r = 1 + 2t
5 − 2t
−2 + 3s
−
h : →
r = −3 + s
4+s
Bestimme die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g
parallel ist.
(b) Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : 3x + 6y + 6z − 50 = 0. Die
Projektion des Dreiecks in die xy-Ebene habe den Flächeninhalt
Axy = 20. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
4.1
Lösungen der Aufgaben
1. Aufgabe
Gegeben sei der Ortsvektor
4
→
−
r = −2
5
Spiegle diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-Ebene, der xzEbene, der yz-Ebene, der x-Achse, der y-Achse, der z-Achse und dem
Ursprung.
Lösung:
−
r→
=
xy
→
−
rx
=
→
−
ro
=
4
4
−4
−2 , −
2 ,−
2
r→
r→
xz =
yz =
−5
−5
−5
−4
4
−4
−
−
−2 , →
ry = −2 , →
rz = 2
5
−5
−5
4
−2
5
2. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
5
7
−2
−3
0
→
−
→
−
→
−
−c = 5 , d = −2 , →
−
a = 2 , b = 4 ,→
e = 1
3
2
8
1
0
37
Berechne:
(a)
→
−
→
−
a + b
Lösung:
5
7
12
→
−
→
−
a + b = 2 + 4 = 6
3
2
5
(b)
−
→
−c − 2→
−
d − 4→
e
Lösung:
4
0
−3
−2
→
−
→
−c − 2 d − 4→
−
e = 5 −2 −2 − 4 1 = 13
6
0
1
8
(c)
→
→
−
− − →
→
−
a + b −→
a + −c − b
Lösung:
5
7
5
−2
7
−2
−
→
−
→
−
→
→
→
→
a+ b −−
a + −
c − b = 2 + 4 − 2 + 5 − 4 = 5 = −
c
3
2
3
8
2
8
Löse die Gleichungen:
(a)
− − →
→
−
→
− →
−
−
→
−
−
x = −
a − b + (→
e −→
x)
x +→
a − b + d +→
Lösung:
→
− →
− −
→
−
−
x +→
a − b + d +→
x
−
3→
x
→
−
x
=
=
=
=
=
38
→
−
→
−
−
−
a − b + (→
e −→
x)
→
−
→
−
e − d
→
−
1 →
−
e − d
3
0
−3
1
1
−2
−
3
0
1
1
1
− 31
(b)
11
2→
−
−
a +→
x
33
=
− →
5→
−
b − x 17
17
Lösung:
− →
5→
2→
−
−
a +→
x
=
b −−
x 17
11
33
17
→
−
2→
−
−
−
a + 11→
x = 5 b − 17→
x
3
→
−
2−
−
28→
x = 5b − →
a
3
→
−
1
→
−
−
x =
15 b − 2→
a
84
5
7
1
4
− 2 2
=
15
84
3
2
95
=
84
2
3
2
7
3. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
1
1
3
−5
→
−
→
−
→
−
−c = 0 , d = 12
a = 2 , b = 1 ,→
−2
1
−4
0
(a) Berechne:
→
− − − →
−
− − →
− →
−
−c |→
a | , b , |→
c | , d , →
a + b , →
a − b + 4→
Lösung:
−
|→
a| =
→
− b =
−c | =
|→
→
− d =
→
− →
a + b =
−
→
−
→
−c =
a − b + 4→
−
v
u
u 1
1
√
√
u
→
−
−
a ◦→
a = t 2 ◦ 2 = 1 + 4 + 4 = 3
−2
−2
√
√
1+1+1= 3
√
9 + 0 + 16 = 5
√
25 + 144 + 0 = 13
q
√
2
2
2
(1 + 1) + (2 + 1) + (−2 + 1) = 14
1
1
3
12
√
2 − 1 + 4 0 = 1 = 506
−2
1
−4 −19 39
(b) Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor.
Lösung:
→
−
ea
=
→
−
eb
=
→
−
ec
=
→
−
ed
=
1
1
3
1 →
1
−
a = 2 = 23
→
−
3
|a|
−2
− 23
1
1
√ 1
3
1
3
1
0
5
−4
−5
1
12
13
0
4. Aufgabe
Bestimme den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden
der durch die Punkte P1 (1, 2, 3), P2 (2, 3, 1), P3 (−3, 0, 2) und Q1 (3, 2, 1),
Q2 (−1, −2, −3), Q3 (0, 1, 2) definierten beiden Ebenen.
Lösung:
Normalenvektoren bestimmen:
−−→ −−−→
−
→ = −
n
P1 P 2 × P1 P3
p
−→
−→ −→
= (−
r→
P − rP ) × (rP − rP )
2 1 3 1
−4
1
= 1 × −2
−1
−2
−5
= 9
2
−
−
−
→
−−−→
−
n→
Q = Q1 Q2 × Q1 Q3
−4
−3
= −4 × −1
−4
1
−8
= 16
−8
Ebenengleichungen:
→ ◦ (→
−
p:−
n
r −−
r→
p
p1 ) = 0
40
−5x + 9y + 2z = 19
−
q:−
n→ ◦ (→
r −−
r →) = 0
Q
Q1
−x + 2y − z = 0
Schnittgerade:
−5x + 9y + 2z = 19
−x + 2y − z = 0
⇒ x − 13z = −38
y − 7z = −19
L = {(x, y, z) : (13z − 38, 7z − 19, z)}
bzw.
−38
13
→
−
r = −19 + t 7
0
1
Schnittwinkel (Winkel zwischen den Normalenvektoren):
−
→◦−
→
n
p nQ
α = a cos −
→| |−
→
|n
p nQ |
21
−1
√
√
= a cos
110 6
= 0. 61387
5. Aufgabe
Gegeben sei die Gerade g
−3 + 4t
→
−
r = 3 − 7t
5 − 7t
g:
und der Punkt P (2, 1, −3). Bestimme:
(a) den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den
Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung
besizt.
Lösung:
−−→
Der Verbindungsvektor P F steht senkrecht zum Richtungsvektor
41
der Geraden:
−−→ →
PF ◦ −
a
−
→
−
(r − −
r→) ◦ →
a
F
P
−
−
→
−
(→
r0 + t→
a −−
r→
P) ◦ a
−
−
t→
a ◦→
a
=
0
=
0
=
0
→
−
→
−
= (−
r→
P − r0 ) ◦ a
1 −
→ →
−
→
−
t = →
2 (rP − r0 ) ◦ a
−
|a|
5
4
1
−2 ◦ −7
=
114
−8
−7
15
=
19
3
−3
4
19
−
3 + 15 −7 = − 48
r→
F =
19
19
5
−7
− 10
19
Und noch die Distanz:
3
2
−−→ 1948
= 4. 6848
1
d = P F = − 19
−
− 10
−3 19
(b) die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP
gleichseitig wird.
Lösung:
Mit der Lösung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge des Dreiecks:
2
2
2
s = √ h = √ d = √ 4. 6848 = 5. 4095
3
3
3
Die beiden Punkte A und B sind nun gleich weit von F entfernt:
3
4
1. 1712
19
−
−
→ s→
−
− 48 + 5. 4095 √ 1 −7 = −4. 2996
r→
A = rF + ea =
19
2
2
114
−7
−2. 2996
− 10
19
3
4
−. 8554
19
s
5.
4095
1
−
−
→
→
−
−7 = −. 75305
− 48 −
√
r→
B = rF − ea =
19
2
2
114
10
−7
1. 2469
− 19
6. Aufgabe
Im Dreieck A (3, −2, 1), B (2, 7, 5), C (−1, 3, 12) sind die Längen der
Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen.
42
Lösung:
Seitenlängen:
→
−
a
=
a
=
→
−
b
=
b =
→
−c
=
c =
2
−1
3
−
−
→ 7 − 3 = 4
r→
B − rC =
5
12
−7
√
√
→
−
| a | = 9 + 16 + 49 = 74
3
−4
−1
−
−
→ 3 − −2 = 5
r→
C − rA =
12
1
11
→
√
− √
b = 16 + 25 + 121 = 162
3
3
0
−
−
→ −2 − 7 = −9
r→
A − rB =
1
5
−4
√
√
→
−
| c | = 0 + 81 + 16 = 97
Seitenhalbierende:
3
1→
−
−c = 1 4 +
a +→
2
2
−7
1√
1√
9 + 196 + 225 =
430
2
2
−4
− →
1→
1
b +−
a = 5 +
2
2
11
√
1√
1
4 + 169 + 9 =
182
2
2
0
−
1→
1
−c + →
b = −9 +
2
2
−4
√
1
1√
64 + 1 + 324 =
389
2
2
→
−
sa
=
sa
=
→
−
sb
=
sb
=
→
−
sc
=
sc
=
3
0
2
−9 = −7
−4
− 15
2
1
3
4 = 13
2
−7
− 32
−4
−4
5 = 12
11
9
Winkel:
→
− →
−c
b
◦
= a cos √ 89√ = 0. 78133
= a cos − →
− →
162 97
b |−c |
→
−
−c
a ◦→
8
= a cos − →
= a cos √ √ = 1. 4762
−
→
−
| a || c |
74 97
→
−
→
−
a ◦ b
69
→
√ √
= a cos −
− = a cos 74 162 = 0. 88899
→
−
| a | b
α
β
γ
43
7. Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren
5
7
→
−
→
−
a = 8 , b = 1
2
3
→
−
→
−
−
(a) Bestimme k so, dass →
a + k b normal auf b steht.
Lösung:
→
− →
−
→
−
a +k b ◦ b = 0
5
7
7
8 + k 1 ◦ 1 = 0
2
3
3
7
5 + 7k
8+k ◦ 1 = 0
2 + 3k
3
59k + 49 = 0
k
= −
49
59
(b) Bestimme einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden
gegebenen Vektoren steht.
Lösung:
Einen Normalenvektor:
22
7
5
→
−
→
−
−
n =→
a × b = 8 × 1 = −1
−51
3
2
Länge anpassen:
22
9 →
9
→
−
−
−1
n0 = ± →
n = ±√
|−
n|
3086
−51
8. Aufgabe
Weise nach, das die beiden Parametergleichungen:
5+t
→
−
r = 8 + 3t
−1 − 2t
4 − 2s
→
−
r = 5 − 6s
1 + 4s
44
dieselbe Gerade darstellen.
Lösung:
Parallele Richtungsvektoren:
1
−2
3 = k −6 ⇒ k = − 1
2
−2
4
Der Punkt (5, 8, −1) liegt auch auf der unteren Geraden:
4 − 2s
5
5 − 6s = 8 ⇒ s = − 1
2
1 + 4s
−1
9. Aufgabe
Bestimme den (kürzesten) Abstand und die Fusspunkte der beiden
Geraden
−1 − 3t
→
−
g1 :
r = −2 + 8t
3 + 5t
1 + 5s
→
−
g2 :
r = −2 + 3s
−4 + 14s
Lösung:
Der Verbindungsvektor steht normal auf beiden Geraden:
1 + 5s
−1 − 3t
2 + 5s + 3t
−−−→
−2 + 3s − −2 + 8t =
3s − 8t
F1 F2 =
−4 + 14s
3 + 5t
−7 + 14s − 5t
−3
−−−→
8
F1 F2 ◦
5
79s − 98t
5
−−−→
3
F1 F2 ◦
14
230s − 79t
⇒s=
=
0
=
41
=
0
=
88
1795
826
,t = −
5433
5433
45
Fusspunkte:
−1
826
−
r→
= −2 −
F1
5433
3
1
1795
−
r→
= −2 +
F2
5433
−4
985
− 1811
−3
8 = − 17474
5433
12169
5
5433
14408
5
5433
1827
3 = − 1811
3398
14
5433
Distanz:
−−−→
F1 F2
=
d =
14408
5433
1827
− 1811
3398
5433
985
− 1811
− − 17474 =
5433
12169
5433
17363
5433
11993
5433
8771
− 5433
4. 2062
10. Aufgabe
Es seien die beiden Geraden
g1
:
3x − y + 2 = 0
g2
:
2x + y − 8 = 0
gegeben. Bestimme:
(a) Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden.
Lösung:
Schnittpunkt:
6
28
3 −1
x
−2
=
⇒ x = ,y =
2 1
y
8
5
5
Schnittwinkel (zwischen den Normalenvektoren der beiden Geraden):
3
2
−
→
−
→
n1 =
, n2 =
−1
1
−
→
−
→
n1 ◦ n2
5
α = a cos −
= a cos √ √ = 0. 7854
→
−
→
|n1 | |n2 |
10 5
(b) Die Gleichung der Winkelhalbierenden.3
Lösung:
Hesse’sche Normalformen:
HN F (g1 )
:
HN F (g2 )
:
3x − y + 2
√
=0
10
2x + y − 8
√
=0
5
3 Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!).
46
Winkelhalbierende (Summe bzw. Differenz der Hesse’schen Normalformen):
ω1
:
ω2
:
3x − y + 2 2x + y − 8
√
√
+
=0
10
5
3x − y + 2 2x + y − 8
√
√
−
=0
10
5
11. Aufgabe Im Punkt Q (1, 0, −5) sei eine punktförmige Lichtquelle
angebracht. Bestimme die Richtung die ein Lichtstrahl haben muss,
um über einen Spiegel
s:
5x − 2y + z + 3 = 0
den Punkt P (3, 1, 5) anzustrahlen.4
Lösung:
s
P
P'
Wir spiegeln zuerst den Punkt P am Spiegel:
d →
−
−
r→
n
= −
r→
P0
P −2 →
−
|n|
5∗3−2∗1+5+3
3
5
√
25+4+1
−2
= 1 − 2√
25 + 4 + 1
5
1
3
5
21
= 1 − 2 −2
30
5
1
−4
= 19
5
18
5
4 Spiegle
den Punkt P an der Ebene.
47
Die Richtung des Lichtstrahls:
−4
−5
1
−−→0
− 0 = 19
QP = 19
5
5
18
43
−5
5
5
12. Aufgabe
(a) Gegeben sind die Geraden
−3 + t
−
g : →
r = 1 + 2t
5 − 2t
−2 + 3s
−
h : →
r = −3 + s
4+s
Bestimme die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g
parallel ist.
Lösung:
– Punkt der Ebene:
−3
−
1
r→
P =
5
– Normalenvektor:
3
4
1
→
−
n = 2 × 1 = −7
1
−5
−2
– Ebene:
→
−
−
n ◦ (→
r −−
r→
P) = 0
4
x+3
−7 ◦ y − 1 = 0
−5
z−5
4x − 7y − 5z + 44 = 0
(b) Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : 3x + 6y + 6z − 50 = 0. Die
Projektion des Dreiecks in die xy-Ebene habe den Flächeninhalt
Axy = 20. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösung:
48
– Winkel zwischen Ebene und Projektion:
0
3
0 ◦ 6
1
6
α = arccos
0 3
0 6
1 6
6
= arccos
= 0. 84107
9
– Jede Seite (oder jede Distanz) wird durch die Projektion um
den gleichen Faktor gekürzt. Dieser Faktor ist gleich:
cos (α) =
2
3
– Daher wird die Fläche bei der Projektion um diesen Faktor
im Quadrat verkleinert. Es gilt daher:
Axy
A
49
2
2
A
=
3
9
=
Axy = 45
4
