K - bei DuEPublico
Werbung
6.4 SPANNUNGS- UND STROMQUELLEN 6.4.1 ERSATZQUELLEN 6.4.2 ERSATZSPANNUNGSQUELLE FÜR EINE REALE QUELLE 6.4.3 ERSATZSTROMQUELLE FÜR EINE REALE QUELLE: 6.4.4 ZWEI BATTERIEN PARALLEL GESCHALTET 6.4.5 ANPASSUNG 6.5 GRUNDZÜGE DER ELEKTRIZITÄTSLEITUNG 6.5.1 GRUNDZÜGE DER ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IM VAKUUM 6.5.2 GRUNDZÜGE DER ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IN GASEN 6.5.3 GRUNDZÜGE DER ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IN FLÜSSIGKEITEN 6.5.3A ELEKTROLYSE 6.5.3B FARADAYSCHE GESETZE 6.5.3C ANMERKUNG: ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IM MENSCHLICHEN KÖRPER 6.5.4 GALVANIK 6.5.4A ELEKTROCHEMISCHE SPANNUNGSREIHE (CHEMISCHE VORGÄNGE AN ELEKTRODEN) 6.5.4B GALVANI-ELEMENTE 6.5.4C POLARISATION DER ELEKTRODEN 6.5.5 GRUNDZÜGE DER ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IN FESTKÖRPERN 6.5.5A ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IN METALLEN 6.5.5B ELEKTRIZITÄTSLEITUNG IN DEN WICHTIGSTEN HALBLEITERN 6.5.5C WIDERSTANDSTHERMOMETER 6.6 ENTSTEHUNG VON SPANNUNGEN AN GRENZFLÄCHEN 6.6.1 ENTSTEHUNG VON DIFFUSIONSSPANNUNGEN AN GRENZFLÄCHEN 6.6.2 GRENZFLÄCHENSPANNUNG UND SEEBECK-EFFEKT (SEEBECK 1770-1831) 6.6.3 PELTIER-EFFEKT 6.6.4 MEMBRANSPANNUNG 6.6.5 GLEICHGEWICHTSPOTENTIAL 6.6.6 BERECHNUNG DES GLEICHGEWICHTSPOTENTIALS AUS DER NERNSTSCHEN GLEICHUNG 50 50 50 51 52 54 54 54 56 57 58 58 59 60 60 61 61 62 62 62 63 63 63 64 64 64 65 65 7. MAGNETFELDER UND ELEKTRISCHE STRÖME 67 7.1. 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 67 67 68 68 69 70 70 72 73 75 76 76 78 79 79 LORENTZKRAFT (WIEDERHOLUNG) MAGNETFELD EINES GERADEN LEITERS DAS AMPERESCHE GESETZ MAGNETFELD EINER LANGEN SPULE HALLEFFEKT MAGNETISCHER FLUß φ KRAFTWIRKUNGEN AUF EINEN MAGNETISCHEN DIPOL MASSENSPEKTROSKOPIE ODER SPEZIFISCHE LADUNG EINES ELEKTRONS ELEKTROMAGNETISCHE INDUKTION LENZSCHE REGEL INDUKTIVITÄT SELBSTINDUKTION DIE ENERGIE DES MAGNETISCHEN FELDES DREHSPULGALVANOMETER DAS BIOT-SAVARTSCHE GESETZ Seite 50 6.4 Spannungs- und Stromquellen 6.4.1 Ersatzquellen U0: Leerlaufspannung = Gemessene Spannung an einer unbelasteten Batterie UK: Klemmenspannung = Spannung an den Klemmen der Batterie bei Belastung IK: Klemmenstrom A V Die Leerlaufspannung U0 sei 4,5 V. Dann ergibt sich in Abhängigkeit von der Last bei einer Batterie folgende Meßreihe: UK 4,50 4,45 4,40 4,35 4,30 IK 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 U0 - UK = Ui 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 U0-UK = Ri IK 0,05 = Ri ⋅ 0,1 ⇒ Ri = 0,5 0,1 = Ri ⋅ 0,2 ⇒ Ri = 0,5 Ui/IK 0,50 0,50 0,50 0,50 Man ordnet der Quelle einen Innenwiderstand zu: U0 − U K = Ui = R iI K ⇒ UK = U0 − R iIK Uk wird umso kleiner, je größer I wird. Zum Rechnen wird eine reale Spannungsquelle durch eine idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 und einem Innenwiderstand Ri ersetzt. 6.4.2 Ersatzspannungsquelle für eine reale Quelle oder Seite 51 U 0 = R ges I K = (R i + R a )I K IK = U0 Ri + Ra U K = R aI K = U 0 − R iI K UK = U0R a Ri + R a UK = U0 − R iIK Leistung: N = U K ⋅ I K = R a I K2 = R a 6.4.3 U 20 in Watt (R a + R i )2 Ersatzstromquelle für eine reale Quelle: Behauptung: Folgende Ersatzstromquelle verhält sich an den Klemmen wie eine Ersatzspannungsquelle. oder I0 ist die Stromstärke der idealen Stromquelle oder der Kurzschlußstrom. Leerlauf, d.h. es ist kein Verbraucher angeschlossen: Seite 52 I0 : Kurzschlußstrom, bzw. Strom der idealen Stromquelle I0 = Ii ⇒ U0 = RiI i und U0 = RiI0 Belastung Ii + IK = I0 UK + IK = I0 Ri UK + R iI K = R iI 0 = U 0 UK = U0 − RiIK UK = RaIK U 0 =R a I K +R i I K =( R a +R i ) ⋅ I K Ii + I K = I 0 UK + IK = I0 Ri UK + R iI K = R iI 0 = U 0 UK = U0 − R iIK Man vergleiche die unterstrichenen Formeln mit denen des vorhergehenden Kapitels! 6.4.4 Zwei Batterien parallel geschaltet Problem: Zwei identische Batterien mit der gleichen Spannung werden parallel geschaltet. Seite 53 Über den Strom kann man nicht so einfach eine Aussage machen. Aus diesem Grunde benutzt man Ersatzstromquellen. oder: Es gilt (s.o.): U K = U 0 − R i I K = I 0 R i − R i I K I = 2I 0 UK = U0 − IK ⋅ Ri = RB 2 I0 = U0 RB RB 2 Die Leerlaufspannung hat sich nicht geändert. Der Innenwiderstand ist jedoch nur noch halb so groß! Seite 54 6.4.5 Es gilt: Anpassung UK = U0R a Ri + R a Wenn R a >> R i ⇒ U K ≈ U 0 Wenn R i >> R a ⇒ I K ≈ IK = und U0 Ri + Ra (Spannungsanpassung). U0 Ri (Stromanpassung) Wann ist nun die Leistung N maximal? N = UKIK = 2 0 U 02 ⋅ 2 0 2 0 Ra Ri U Ra U Ra U Ra = = = 2 2 2 2 (R i + R a ) R a Ra Ra 2 R i 1 + R i ⋅ 1 + R i ⋅ 1 + R R R i i i Für Ra = Ri wird N maximal! (Leistungsanpassung). Dies kann wie folgt gezeigt werden. U 20 ⋅ N= Ra Ri R R i ⋅ 1 + a Ri Setzt man x = 2 Ra folgt: Ri N ⋅ Ri x = =y 2 U0 (1 + x )2 ( ( dy d −2 = x ⋅ (1 + x ) dx dx ) ) = 1 ⋅ (1 + x ) −2 + (− 2 ) (1 + x ) ⋅ x −3 dy (1 + x ) − 2x = dx (1 + x )3 (1 + x )3 0 = 1 + x − 2 x = 1 − x ⇒ x =1 x= Ra N ⋅ Ri 1 = 1 ⇒ R a = R i und = ⇒ Ri U 02 4 N= U 02 4 ⋅ Ri 6.5 Grundzüge der Elektrizitätsleitung 6.5.1 Grundzüge der Elektrizitätsleitung im Vakuum Zur Elektrizitätsleitung im Vakuum müssen Elektronen vorhanden sein. Die in Metallen nahezu frei beweglichen Elektronen sind durch Kräfte an den Metallkörper gebunden. Gegen diese Kräfte muß zur Loslösung der Elektronen aus dem Metallkörper Arbeit, die man Austrittsarbeit nennt, geleistet werden. Die für die Austrittsarbeit notwendige Energie kann thermische Energie (Erhitzen des Drahtes), Strahlungsenergie (das die von einer elektromagnetischen Seite 55 Welle transportierte Energie) oder kinetische Energie (die durch Stoß mit anderen Elektronen übertragen wird) sein. Ist die zugeführte Energie E größer als die Austrittsarbeit W führt das Elektron die Differenzenergie E - W in Form von kinetischer Energie mit sich. (Diese Überlegungen gelten übrigens analog für die Loslösung von Elektronen aus einem Atom; dann heißt die Loslösearbeit Ionisierungsarbeit). Freie Elektronen bewegen sich in Richtung ihrer Geschwindigkeit. Wenn ein elektrisches Feld vorhanden ist, folgen die Elektronen den Feldlinien. Unter Glühemission versteht man den Austritt von Elektronen aus einem Metall durch Zuführung von thermischer Energie (Glühelektrischer Effekt s.3.5). Man bringt einen Draht in einen "Heizkreis", der von einer "Heizbatterie" gespeist wird, zum Glühen. Oft verwendete Materialien sind: Platin, Wolfram, Molybdän, Tantal oder Bariumoxyd. Der Glühvorgang muß in einem Vakuum stattfinden, da sonst der Draht im Sauerstoff der Luft verbrennen würde (Temperatur über 2000 K). Unter Photoemission versteht man die Loslösung von Elektronen aus Metallen durch Zuführung von Strahlungsenergie. Versuche zeigen, daß Licht Elektronen aus Metall freisetzt. Quantitative Messungen ergeben, daß die Energie E der Strahlung proportional der Frequenz f der Strahlung ist. (Es wird hier die Kenntnis vorausgesetzt, daß unter Strahlung (Licht) elektromagnetische Wellen zu verstehen sind). E = h f in J Die Proportionalitätskonstante h heißt Plancksche Wirkungskonstante: -34 h = 6,625 ⋅ 10 Js Nur relativ energiereiches Licht (d.h. kurzwelliges bzw. hochfrequentes Licht) vermag Elektronen auszulösen. Im freien Raum können nur elektrische oder magnetische Kräfte auf die Elektronen wirken. Wegen der geringen Masse der Elektronen werden die Gravitationswechselwirkungen vernachlässigt. Wenn ein elektrisches Feld vorhanden ist, werden infolge der elektrischen Kraft Fc die Elektronen entlang den Feldlinien des Feldes E beschleunigt. Dadurch wird ihre kinetische Energie Ek erhöht. Für diesen Energiegewinn der Elektronen gilt: Ek = ∫ dW C dWc = q E ds = q dφ φ Ek = q U in J Ek : Kinetische Energie der Ladungsträger in J Wc: Beschleunigungsarbeit an Ladungen im elektrischen Feld in J q: Ladung in C E: Elektrische Feldstärke in V/m φ: Potential in V U: Potentialdifferenz in V Die Ladung eines Elektrons ist gleich e = 1,602 ⋅ 10-19 C. Der Energiegewinn eines Elektrons ist daher: Ek = e U in J Seite 56 Trotz trickreicher Versuchsanordnungen ist es nicht gelungen, eine kleinere Ladungsmenge als die des Elektrons zu messen. Man muß daher annehmen, daß die Ladung in der Natur gequantelt vorkommt und daß die kleinste Ladungsmenge (sowohl positiv als auch negativ) gleich -19 1,602⋅10 C ist. Ein Elektronenvolt (Kurzzeichen 1 eV) ist die Energiemenge, die die kleinste in der Natur vorkommende Ladungsmenge durch die Beschleunigungsspannung 1 Volt gewinnt. -19 1 eV = 1,602⋅⋅10 -19 C ⋅ 1 V = 1,602⋅⋅10 J Unter Kathode versteht man den Minuspol unter Anode den Pluspol einer Spannungsquelle. In einer Elektronenstrahlröhre werden Elektronen, die an einer Kathode austreten, durch eine Spannung U zwischen Kathode und Anode beschleunigt. Damit an der Kathode Elektronen austreten können, muß die Kathode als Glühdraht ausgebildet sein und an einer Heizspannung liegen. Die beschleunigten Elektronen treffen mit ihrer kinetischen Energie auf einen Leuchtschirm, dabei wird die kinetische Energie in für uns sichtbare Strahlung verwandelt. Auf dem Weg zwischen Kathode und Leuchtschirm werden die Elektronen durch den sogenannten Wehnelt-Zylinder gebündelt (damit ein homogener Elektronenstrahl entsteht; es wird dabei die Kraftwirkung auf Elektronen im elektrischen Feld ausgenutzt), dann durchfliegen sie die lochförmige Anode und zwei senkrecht zueinander angebrachte Plattenpaare. Zwischen den Plattenpaaren liegen veränderliche Spannungen. Mit der Kraftwirkung auf Elektronen im homogenen Feld der Plattenpaare können die Elektronen zu einem bestimmten Punkt des Leuchtschirmes gelenkt werden. Dies ist das Prinzip der Elektronenstrahlröhre. 6.5.2 Grundzüge der Elektrizitätsleitung in Gasen Ein Gas besteht in der Regel aus neutralen Atomen oder Molekülen. Unter Ionisation versteht man die Loslösung von Elektronen aus einem Molekül oder Atom. Es entstehen Elektronen und positiv geladene Atom- oder Molekülreste, die man Ionen nennt. Die Loslösearbeit wird durch Energiezufuhr gedeckt. Wie bei der Loslösung von Elektronen aus Metallen, kommt dafür Strahlungsenergie, thermische Energie und kinetische Energie, die bei Stößen übertragen wird, in Frage. Sobald Ladungsträger erzeugt sind, wird ein Gas leitend. Unter Elektronenlawine versteht man die Erscheinung, daß Elektronen auf ihrem Weg im elektrischen Feld zwischen Kathode und Anode durch ein Gas mehrmals mit Gasmolekülen stoßen und Elektronen auslösen. Voraussetzung ist, daß die Elektronen sich im Mittel jeweils weit genug ohne Stöße bewegen können, um infolge der Beschleunigungsspannung genügend kinetische Energie zu besitzen, um beim Stoß die Ionisationsarbeit leisten zu können. Von einem Elektron kann durch Stoßionisation eine Elektronenlawine ausgelöst werden. Die wesentlich massereicheren Ionen bewegen sich zur Kathode und können dort weitere Elektronen auslösen. Infolge der Elektronenlawine fließt ein starker Strom, der durch einen Vorwiderstand begrenzt werden kann. Unter Gasentladung versteht man den Durchgang von Strom durch ein Gas, das sich im elektrischen Feld zwischen zwei Spannungspolen befindet. Man unterscheidet zwischen selbständiger und unselbständiger Entladung. Bei der selbständigen Entladung werden während des Entladevorgangs neue Ladungsträger durch Stoßionisation oder thermische Anregung erzeugt. Voraussetzung ist, daß zu Beginn auf natürliche Weise einige Ladungsträger erzeugt werden. Dies ist stets der Fall, da durch natürli3 che radioaktive und Höhenstrahlung z.B. in 1 cm Luft je Sekunde rd. 10 Moleküle ionisiert werden. Seite 57 Damit durch Stoßionisation Ladungsträger entstehen, müssen die freie Weglänge, das ist der mittlere Weg zwischen zwei Stößen, und die angelegte Spannung groß genug sein, daß eine Elektronenlawine im untersuchten Gas entsteht. Stehen genug Ladungsträger zur Verfügung, kann die Spannung so weit gesenkt werden, daß für jedes Elektron, das an der Anode aufgefangen wird, gerade noch ein neues durch Stoßionisation entsteht. Die folgende Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen mittlerer freier Weglänge l, der Spannung U und der kinetischen Energie Ek des Elektrons mit der Ladung e, der Masse m und der Geschwindigkeit v. (E Feldstärke): Ek = 1/2 m v2 = e U = e E l in J Zur Vergrößerung von l muß die Zahl der Gasmoleküle, d.h. der Druck, verringert werden. Bei der unselbständigen Gasentladung wird auf künstliche Weise für die Elektronenerzeugung gesorgt; z.B. durch eine Glühkathode. Prinzip der Ionisationskammer: Eine Ionisationskammer dient zum Nachweis von ionisierender Strahlung. Sie besteht aus einem Gasvolumen zwischen einem Elektrodenpaar, an dem eine Spannung liegt. Wenn durch die ionisierende Strahlung im Gas zwischen den Elektroden Ionen und Elektronen erzeugt werden, fließt ein Strom, der gemessen werden kann. 6.5.3 Grundzüge der Elektrizitätsleitung in Flüssigkeiten Unter Dissoziation versteht man die Aufspaltung von Molekülen. Im Zusammenhang mit der Elektrizitätsleitung interessiert die elektro-chemische Dissoziation. Dabei zerfallen die Moleküle der wäßrigen Lösungen von Säuren, Basen und Salzen in positive (Kationen) und negative (Anionen) Ionen. Dadurch wird die Lösung elektrisch leitend. Im Feld zwischen zwei Elektroden werden die Kationen zur Kathode und die Anionen zur Anode hin beschleunigt. Wegen der Reibung mit neutralen Molekülen stellt sich eine der angelegten Spannung proportionale Driftgeschwindigkeit der Ionen ein. Beispiele: + - Kochsalz (NaCl) zerfällt in Wasser in Na und Cl . Die + und - Zeichen geben an, wieviel Elementarladungen mit dem Ion verbunden sind (+ heißt 1 positive Elementarladung). Man schreibt: + - NaCl -> Na + Cl Wassermoleküle (H2O) haben ein starkes Dipolmoment und dissoziieren zu einem sehr kleinen + Bruchteil in H und OH : + - H2O -> H + OH + Ionen können sich an andere Ionen oder Moleküle anlagern. Z.B. lagert sich das H Ion oft an H2O Moleküle an + + H + H2O -> H3O Weitere Beispiele: ++ CuSO4 -> Cu + SO4 + - HCl -> H + Cl -- Seite 58 H2SO4 6.5.3a -> + 2H + SO4 -- Elektrolyse Unter Elektrolyt versteht man eine durch einen gelösten Stoff stromleitend gewordene Flüssigkeit. Unter Elektrolyse versteht man die Stromleitung durch Flüssigkeiten. Die Stromleitung ist mit chemischen Prozessen an den Elektroden verbunden. Erläuterung: Die Ladungsträger bei der Elektrolyse sind die Ionen. Kationen, die zur Kathode wandern, nehmen an der Kathode die ihnen fehlenden Elektronen auf und werden zu neutralen Molekülen oder Atomen. Analoges geschieht an der Anode. Die neutralen Moleküle gehen entweder wieder in Lösung oder lagern sich an den Elektroden an oder scheiden sich (z.B. als Gas) ab. Man darf sich aber den Vorgang nicht so einfach vorstellen, daß die Ionen eines dissoziierten Moleküls direkt zu den Elektroden wandern. Das geschieht zwar auch, aber oft kommt es auch zu Zwischenreaktionen z.B. mit den Wassermolekülen und zu Sekundärreaktionen, nachdem -die neutralen Moleküle entstanden sind. Z.B. gibt das Ion SO4 seine zwei Elementarladungen an die Anode ab. Zwei neutrale Moleküle SO4 reagieren mit dem Wasser H2O, und es entsteht 2H2SO4 + O + O. Die Sauerstoffatome O reagieren miteinander und bilden Sauerstoffgas, das sich an der Anode abscheidet. Welche Reaktionen im einzelnen wirklich ablaufen, klärt die Chemie. 6.5.3b Faradaysche Gesetze Faradaysche Gesetze der Elektrolyse Unter Wertigkeit versteht man die Zahl der von einem Ion transportierten Ladungen. Beispiel: ++ Cu hat die Wertigkeit 2. Unter Äquivalentgewicht G oder valarer Masse versteht man den Quotienten molarer Masse M durch Wertigkeit Z. G = M/Z in kg/mol -3 Beispiel: Ein Mol Kupfer (Cu) hat die Masse 63,54 ⋅ 10 kg. Die molare Masse von Kupfer ist -3 -1 ++ daher 63,54⋅10 kg mol . Die Wertigkeit des Cu Ions ist 2. Es folgt: Das Äquivalentgewicht des Kupferions ist: -3 -1 31,77 ⋅ 10 kg mol . Unter Grammäquivalent G versteht man die Stoffmenge, deren Masse in Gramm gleich dem Äquivalentgewicht ist. (1 Grammäquivalent Kupfer ist gleich 31,77). Grammäquivalente werden in der Einheit val angegeben. Die Einheit val ist mit der Einheit mol dimensionsgleich. Erstes Faradaysches Gesetz Bei der Elektrolyse stellt man fest: Die abgeschiedene Masse m eines Stoffes ist proportional zu der durch den Elektrolyt geflossenen Ladung Q. Die Proportionalitätskonstante heißt elektro-chemisches Äquivalent Ä. m = Ä Q in kg Seite 59 Erläuterung: Bei der Elektrolyse dienen Ionen als Ladungsträger. Je Ion gelangt stets sowohl die Masse als auch die Ladung des Ions zu der jeweiligen Elektrode. Da die Masse und die Ladung des Ions konstant ist, muß natürlich auch das Verhältnis Masse zu Ladung des neutralisierten Ions konstant sein. Zweites Faradaysches Gesetz Die Ladung Q, die zur Abscheidung eines Grammäquivalents Gr eines beliebigen Stoffes benötigt wird, ist konstant. Die Konstante heißt Faraday-Konstante F. Q/Gr = F = 96486,7 ± 0,5 Coulomb/Grammäquivalent Beispiel: Ein Grammäquivalent von Kupfer ist Gr = 31,77 g. Wenn sich an einer Elektrode 100 g Kupfer abscheiden, dann sind 100/31,77 = 3,12 Grammäquivalent abgeschieden worden und eine Ladungsmenge von 3,12 ⋅ F geflossen. Erläuterung: Mit der Kenntnis der Elementarladung e und den erläuterten Vorstellungen über die Elektrolyse ist das 2. Faraday-Gesetz eine Selbstverständlichkeit. Als es aufgestellt wurde, kannte man aber die Größe der transportierten Ladung nicht. Durch die Formulierung der Faraday-Gesetze wurde es möglich, auf die atomistische Natur der Ladung zu schließen und den Wert der Elementarladung e zu bestimmen. Für einwertige Ionen ergibt sich e aus dem Quotienten F durch Teilchenzahl in einem Mol (NA: Avogadrosche Konstante). -19 e = F/NA = 1,602⋅10 6.5.3c C Anmerkung: Elektrizitätsleitung im menschlichen Körper Der Widerstand des menschlichen Körpers ist kein ohmscher; er wird mit wachsenden Spannungen kleiner. Er hängt außerdem von dem Stromweg durch den Körper und der Feuchtigkeit der Haut ab. Der Widerstand schwankt zwischen 0,5 kΩ und 6 kΩ, teilweise kann er auch 500 kΩ betragen. Führt der Stromweg zur Erde, erhöhen dicke Schuhsohlen oder isolierende Teppiche den Gesamtwiderstand. Elektrolyse-Erscheinungen, die vor allem die Zellwände betreffen, sind die Ursache der schädlichen Wirkungen des Stroms auf den menschlichen Körper. Ströme über 100 mA, die durch den Herzmuskel fließen, sind in der Regel tödlich. Gleichströme von 40 mA und Wechselströme (werden später behandelt) über 6 mA lassen Muskeln verkrampfen, so daß man angefaßte Leitungen nicht mehr loslassen kann. Um Stromwege über den Brustkorb zu vermeiden, sollte man in Hochspannungsbereichen mit einer Hand in der Hosentasche arbeiten. Außerdem gilt es Feuchtigkeit zu vermeiden und gut gegen den Erdboden isoliert zu sein. (Ströme fließen wegen der Kirchhoffschen Gesetze immer am stärksten durch den kleinsten Widerstand). Beispiele: a) Bei einem Körperwiderstand von 2 kΩ soll die Stromstärke nicht größer als 25 mA sein. Die Spannung einer Spannungsquelle darf dann nicht größer als (U = R I) 2 ⋅ 103 Ω ⋅ 25 -3 ⋅ 10 A = 50 Volt sein. b) Man faßt eine Wechselspannungsquelle von 220 Volt an. Der Körperwiderstand beträgt bei dieser Spannung wenigstens 1 kΩ. (Er sinkt mit höheren Spannungen !). Dann fließt Seite 60 3 ein Strom von 220 V/10 Ω = 0,220 A. D.h. unter ungünstigen Bedingungen ist ein solcher "elektrischer Schlag" tödlich. Gott sei Dank ist der Körperwiderstand meist höher (3 kΩ). Um Unfälle zu vermeiden hier einige Überlegungen zu Sicherheitsaspekten, Erdung und Schutzleiter. In der Steckdose des städtischen Stromnetzes (Wechselspannung) liegt ein Pol im Mittel auf 220 Volt und zwei Pole auf 0 Volt Potential gegen die Erde. Der eine der beiden 0-Volt-Pole wird zum Elektrizitätswerk zurückgeführt, während der andere, der sogenannte Erdpol, direkt mit der Erde (Verankerung einer Metallplatte im Erdboden) verbunden wird. Der Erdpol heißt auch Schutzleiter. Zum Betrieb von elektrischen Geräten wird der Stromkreis zwischen dem 220 V-Pol und dem mit dem E-Werk verbundenen 0 V-Pol aufgebaut. Dieser Stromkreis ist gegen die Umgebung (Mauern, Gehäuse) isoliert. Alle Gehäuseteile, die man berühren kann, werden mit dem Erdpol über einen guten Leiter verbunden. Dadurch wird erreicht, daß Ströme statt über den Körper über den Leiter zur Erde fließen, falls durch einen technischen Fehler das Gehäuse auf einem höheren Potential liegen sollte. Beispiel: Eine Badewanne wird durch Kupferleitungen mit großem Querschnitt mit der Erde verbunden. Dadurch können Kriechströme, die durch defekte Leitungen in den Wänden entstehen können, direkt zur Erde abgeleitet werden. Durch diese Erdung können allerdings wegen der großen Leitfähigkeit des Badewassers und des großflächigen Kontaktes von Körpern mit dem Wasser Unfälle durch Isolationsfehler in Elektrogeräten, die mit dem Wasser in Kontakt kommen, nicht vermieden werden. Verunreinigtes Wasser ist im übrigen ein sehr guter Leiter. 6.5.4 Galvanik 6.5.4a Elektrochemische Spannungsreihe (chemische Vorgänge an Elektroden) Taucht man Elektroden aus einem bestimmten Stoff in einen Elektrolyt gehen Ionen des Stoffes in Lösung. Die abgespaltenen Elektronen verbleiben in der Elektrode. Die zur Lösung notwendige Energie liefern chemische Prozesse (Wechselwirkungen im atomaren Bereich). Die abgespaltenen Elektronen bilden mit den in Lösung gegangenen Ionen eine elektrische Doppelschicht, in der sich ein elektrisches Feld und damit eine Spannung ausbildet. Der Lösungsvorgang hört auf, sobald die chemische Energie gleich der Arbeit gegen das elektrische Feld ist. Für jede Kombination Elektrode-Elektrolyt bildet sich eine charakteristische Spannung, die Galvani-Spannung heißt, aus. Sie läßt sich allerdings nicht messen (Warum?). Man kann aber den Unterschied zwischen zwei Spannungen zweier verschiedener Elektrode-Elektrolyt-Kombinationen messen. Man mißt solche Spannungsdifferenzen nach der Vorschrift, daß eine Normalelektrode und eine Elektrode aus einem bestimmten chemischen Element in eine Lösung, die 1 g - Ion des bestimmten Elements je Liter enthält, getaucht werden. Als Normalelektrode wird eine von Wasserstoff umspülte Platinelektrode verwendet. Es wurden folgende Differenzspannungen ermittelt: Elektrode Li Na Fe Ni H2O Cu Ag Hg Spannung in V -3,02 -2,92 -0,44 -0,25 0,00 0,345 0,80 0,86 Seite 61 6.5.4b Galvani-Elemente Ein Galvani-Element ist eine Stromquelle auf elektro-chemischer Basis. Es ist eine Gleichspannungsquelle. Erläuterung: Im Prinzip kann man die im vorigen Punkt genannten Differenzen zwischen den Galvani-Spannungen dazu benutzen, um Gleichspannungsquellen - eben Galvani-Elemente - zu bauen. Verbindet man die verschiedenen Elektroden des Galvani-Elementes mit einem Leiter, bewegen sich im Elektrolyt die Ionen der Elektrode, an der sich die größere Galvani-Spannung ausbildet, in der Lösung zur anderen Elektrode. Gleichzeitig bewegen sich die Elektronen im Leiter in die entgegengesetzte Richtung. Die Bewegung beider Ladungsträgerarten ergeben den Gleichstrom. Der Stromfluß hört auf, sobald keine Ionen mehr in Lösung gehen können. Die Spannung beträgt bei galvanischen Elementen einige wenige Volt (z.B. Westonelement bei o 20 C, 1,01865 V; Taschenlampenbatterie 3 V). Sobald ein galvanisches Element an einen Stromkreis angeschlossen wird, entlädt und erschöpft es sich. Es kann nicht wieder aufgeladen werden zum Unterschied zu Akkumulatoren. Ein Akkumulator ist ein Speicher von elektrischer Energie auf Grund elektrochemischer Vorgänge. Akkumulatoren wie zum Beispiel Autoakkumulatoren sind Gleichspannungsquellen und können wieder aufgeladen werden. Der gebräuchlichste Akkumulator ist der Bleiakku. Jede Zelle des Bleiakkumulators liefert etwa 2 V. In einem Autoakku sind daher 6 Zellen hintereinandergeschaltet, um die verlangten 12 V bereitzustellen. 6.5.4c Polarisation der Elektroden Bei der Elektrolyse treten Gegenspannungen (relativ zur angelegten Spannung) auf, die mit chemischen Veränderungen an den Elektroden und in dem Elektrolyten einhergehen. Diese Erscheinungen nennt man elektrolytische Polarisation. Erläuterung: Von der Polung der angelegten Spannung hängt es ab, was bei der Elektrolyse an den beiden Elektroden chemisch passiert. Vertauscht man die Spannungspolung, vertauschen sich auch die chemischen Prozesse. Infolge dieser Prozesse werden die zunächst gleichen Elektroden verändert, d.h. an den beiden Elektroden bilden sich verschiedene GALVANI-Spannungen aus. Das Vorzeichen der Spannungsdifferenz ist dem der angelegten Spannung entgegengesetzt. Wenn die angelegte Spannung nicht groß genug ist, wird sie durch die Gegenspannung kompensiert und ein Stromfluß durch den Elektrolyten verhindert. Sonden sind auch Elektroden. Will man mit Sonden Potentiale in Elektrolyten (der menschlicher Körper kann z.B. als Elektrolyt aufgefaßt werden) abtasten, werden die Meßwerte durch die elektrolytische Polarisation beeinflußt. Die Größe der Beeinflussung hängt auch vom Elektrolyten ab. Die elektrolytische Polarisation ist meist unerwünscht und kann durch die geeignete Wahl des Sondenmaterials ausgeschaltet werden. Manchmal ist sie aber auch erwünscht, weil aus der Größe der Gegenspannung auf den Elektrolyten (z.B. auf seinen ph-Wert) geschlossen werden kann. Seite 62 6.5.5 Grundzüge der Elektrizitätsleitung in Festkörpern Das für den Festkörper charakteristische Kristallgitter kann nicht nur von Atomen, sondern auch von Ionen und Molekülen gebildet werden. Die Gitterbausteine werden im wesentlichen von elektromagnetischen Kräften zusammengehalten. Wegen der unterschiedlichen Anzahl und Anordnung der Ladungsträger binden sich die Gitterbausteine auf verschiedene Weise. Man kennt daher unterschiedliche Bindungsarten, die sich vor allem durch die Einbeziehung der Valenzelektronen charakterisieren lassen. Je stärker die Elektronen an die Gitterbausteine eines Festkörpers gebunden sind, um so weniger leitfähig ist der Festkörper. In Isolatoren stehen keine und in Metallen viele Elektronen zur Elektrizitätsleitung zur Verfügung. Halbleiter sind Festkörper, deren Leitfähigkeitseigenschaften zwischen denen von Isolatoren und Metallen liegt. 6.5.5a Elektrizitätsleitung in Metallen Die Valenzelektronen der Metallatome sind so schwach im Atom gebunden, daß sie im Atomgitter mit allen Gitterbausteinen in Wechselwirkung treten und daher an das gesamte Kristallgitter und nicht mehr an ein einzelnes Atom gebunden sind. Dies hat zur Folge, daß die Elektronen im Atomgitter fast frei beweglich sind. In den meisten Metallen stehen ein oder zwei Elektronen für die Elektrizitätsleitung zur Verfügung. Die Leitfähigkeit von Metallen nimmt mit steigender Temperatur ab, weil die Bewegungsfreiheit der Elektronen durch Stöße mit den Gitteratomen, die durch die thermische Energie in Schwingungen versetzt werden, immer mehr eingeschränkt wird. Anmerkung: Die Bewegungsfreiheit von Ladungsträgern wird in Leitern aus atomphysikalischer Sicht von Energiebedingungen eingeschränkt. In einem Atom entspricht die Orbitale eines Elektrons einem diskreten Energiezustand im elektromagnetischen Wechselwirkungsbereich des Atomkerns. Im Atomgitter bewegt sich ein Ladungsträger im Wechselwirkungsbereich aller Atome. Aus der Überlagerung aller Felder resultiert eine Aufspaltung der diskreten Energiezustände in eng benachbarte Energiezustände, die zusammen einen Energiezustandsbereich, den man Energieband nennt, bilden. Jedem diskreten Energiezustand in einem Atom entspricht ein Energieband im Atomgitter. Das Energiebändermodell, das in der Festkörper-Atomphysik entwickelt wurde, beschreibt die Vorgänge im Festkörper sehr gut; es kann hier nicht weiter erläutert werden. 6.5.5b Elektrizitätsleitung in den wichtigsten Halbleitern Germanium und Silizium sind zur Zeit die bekanntesten Halbleiter. Beide Stoffe haben 4 Valenzelektronen. Im Kristallgitter ist jedes Atom mit 4 benachbarten Atomen über sogenannte Elektronenbrücken, die aus lokalisierten (d.h. an den Ort zwischen benachbarten Atomen gebundenen) Elektronenpaaren bestehen, verbunden. Infolge von Verunreinigungen und Fehlstellen sind nicht alle Elektronen lokalisiert, so daß einige wenige Elektronen zur Elektrizitätsleitung beitragen können. Bei Zufuhr von thermischer Energie brechen einige Brücken auf und Elektronen werden frei. Mit steigender Temperatur nimmt daher die Leitfähigkeit der Halbleiter zu (und zwar exponentiell). Ein Elektron, das sich aus einer Elektronenbrücke gelöst hat, hinterläßt ein so genanntes Loch. Die auf diese Weise zustande kommende Löcherleitung trägt zur Gesamtleitfähigkeit (Eigenleitung) bei. Durch moderne Verfahren gelingt es, Fremdatome sehr genau dosiert in das Halbleitergitter einzufügen. Zur Brückenbildung zwischen Fremdund Halbleiteratomen werden je Fremdatom 4 Valenzelektronen gebraucht. Haben die Fremdatome entweder 5 oder 3 Valenzelektronen (Donatoren und Akzeptoren) ergibt sich je Fremdatom entweder ein überflüssiges Elektron oder eine Elektronenfehlstelle (Loch). Die auf Seite 63 diesen Ladungsträgern beruhende Elektrizitätsleitung heißt Störstellenleitung. Die Halbleiter mit negativen Elektronen abgebenden Fremdatomen heißen n-Leiter; die Halbleiter mit positiven Löcher bildenden Fremdatomen nennt man p-Leiter. Die modernen elektronischen Bauelemente wie Dioden und Transistoren bestehen aus Kombinationen von n- und p-Leitern. Die Eigenschaft einiger Halbleiter, ihre Leitfähigkeit bei Bestrahlung mit monochromatischem Licht proportional zur Intensität des Lichtes zu steigern, nennt man Photoleitfähigkeit (innerer lichtelektrischer Effekt). Dabei wird Strahlungsenergie zur Loslösung von Elektronen benutzt. Der lichtelektrische Effekt bildet die Grundlage von Photozellen (z.B. Selenzellen). Mit Hilfe von Photozellen werden Lichtschwankungen in Stromschwankungen (Leitfähigkeitsschwankungen) umgewandelt. Photozellen werden z.B. bei Alarmanlagen, in Belichtungsmessern, beim Tonfilm, in der Regeltechnik, usw. eingesetzt. 6.5.5c Widerstandsthermometer Temperaturmeßgeräte, bei denen die Temperaturmessung auf eine Messung des elektrischen Widerstandes zurückgeführt wird, heißen Widerstandsthermometer. Erläuterung: Man benutzt den Effekt der Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit von Leitern. Der Widerstand ist gleich dem Kehrwert des Leitwertes, der bei konstanten Abmessungen des Leiters proportional zur Leitfähigkeit ist. Benutzt man einen metallischen Leiter nimmt der Widerstand R mit steigender Temperatur t (in 0 C ) zu. In guter Näherung gilt in gewöhnlichen Temperaturbereichen: R = R0 (1 + bt) in Ω 0 R0: Widerstand bei 0 C in Ω b: Materialkonstante in 1/ C 0 Ein Widerstandsthermometer mit Platin ist im Temperaturbereich von 20 K bis 1200 K einsetzbar. Benutzt man Halbleiter, nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur exponentiell ab. Die Genauigkeit der Temperaturmessung mit Halbleiterwiderstandsthermometern liegt bei 0,0005 0 C (mit Brückenschaltung) im Temperaturbereich von 248 K bis 373 K. Halbleiterthermometer sind damit 10 mal empfindlicher als Metallthermometer. 6.6 Entstehung von Spannungen an Grenzflächen 6.6.1 Entstehung von Diffusionsspannungen an Grenzflächen Unter Konzentration versteht man das Verhältnis von Massen- oder Teilchenmenge einer bestimmten Art in einem Gemisch zur Gesamtmassen- oder Gesamtteilchenmenge des Gemisches. Zur Herstellung einer Gleichgewichtsverteilung der Konzentrationen verlaufen zwischen verschiedenen Konzentrationsgebieten, nachdem sie miteinander in Kontakt gebracht werden, Prozesse ab, die man Diffusionen nennt. Mit einer Diffusion ist ein Massen- oder Teilchentransport verbunden. Beispiel: Seite 64 Bringt man zwei Volumina, in denen die Konzentrationen eines Gases verschieden sind, zusammen, werden so viele Gasteilchen aus dem Volumen hoher Konzentration in das Volumen niedriger Konzentration diffundieren, daß in beiden Volumina die Konzentration des Gases gleich ist. Eine Diffusionsspannung entsteht als Folge von unterschiedlichen Ladungskonzentrationen, die wiederum durch Diffusionsvorgänge, bei denen Teilchen Ladungen mit sich führen, bewirkt werden. Die diffundierenden Teilchen bewegen sich dabei durch die Kontakt- oder Grenzfläche zwischen zwei Konzentrationsbereichen. 6.6.2 Grenzflächenspannung und Seebeck-Effekt (Seebeck 1770-1831) Durch die Kontaktfläche zweier Metalle diffundieren Elektronen. Auf Grund thermischer Energie bewegen sich die im Metall frei beweglichen Elektronen innerhalb eines Metalls regellos. Bei Berührung mit einem zweiten Metall jedoch bewegen sich mehr Elektronen des Metalls (K) mit der für Elektronen kleineren Austrittsarbeit in das Gebiet des anderen Metalls (G) mit der größeren Austrittsarbeit. Das Metall K ist dann gegen das Metall G positiv geladen. Die resultierende Diffusionsspannung heißt in diesem Fall Kontaktspannung. Im Gleichgewicht verhindert die Kontaktspannung eine weitere Veränderung der Elektronenkonzentrationen. Verbindet man zwei Metalldrähte an beiden Enden miteinander, bilden sich an beiden Kontaktpunkten gleiche Spannungen aus, die aber entgegengesetzt gepolt sind. Ein Voltmeter zeigt keine Spannungsdifferenz zwischen den Kontaktpunkten an. Erwärmt man eine Kontaktstelle, erhöht man in diesem Bereich die Bewegungsenergie der Elektronen und ändert damit die Gleichgewichtsverhältnisse. Zwischen den Kontaktstellen entsteht eine Spannungsdifferenz, die für manche Kombinationen (Eisen - Konstantan) bis 600 K ziemlich gut proportional zur Temperaturdifferenz ist. Die Spannung ist an der Kontaktstelle mit der höheren Temperatur Th höher (Uh) als an der Kontaktstelle mit der tieferen Temperatur Tt (Ut). Ein Thermoelement sind zwei aneinander gelötete Drähte, mit denen sich mittels des SeebeckEffektes Temperaturdifferenzen messen lassen. 6.6.3 Peltier-Effekt Der Peltier-Effekt ist die Umkehrung des Seebeck-Effektes. Man schaltet in das Thermoelement eine Spannungsquelle so, daß wieder an der Kontaktstelle, an der bei dem Seebeck-Effekt die Uh entsteht, die höhere Spannung Uh liegt. Der dadurch fließende Strom hat zur Folge, daß eine Kontaktstelle sich erwärmt und die andere erkaltet. Und zwar erwärmt sich die Kontaktstelle, die bei Erzeugung des Thermostromes in gleicher Richtung die kältere ist. Dies läßt sich wie folgt erklären: Die Elektronen haben auf beiden Seiten einer Kontaktstelle unterschiedliche mittlere Energie (potentielle + kinetische). Gelangen sie von dem Metall mit der kleineren Austrittsarbeit, in dem die Elektronen auch die kleinere Energie haben, in das Metall mit der größeren Energie, so werden sie der Kontakstelle Energie entziehen und die Kontaktstelle kühlt sich ab. An der Stelle mit Uh ergibt sich die Temperatur Tt und an der Stelle mit Ut die Temperatur Th. 6.6.4 Membranspannung Membranspannungen entstehen an permeablen Membranen in Elektrolytlösungen, die für verschiedene Ionenarten verschieden durchlässig sind. Die diffundierenden Teilchen sind also Ionen. Seite 65 Erläuterung: Kupferelektroden tauchen z. B. in eine CuSO4-Lösung, die auf beiden Seiten der porösen Membran verschiedene Konzentrationen C1 und C2 aufweist. Zwischen der Cu-Elektrode, die in eine konzentriertere Lösung eintaucht, bildet sich eine kleinere Galvani-Spannung (auch eine Diffusionsspannung) aus, da in die konzentriertere Lösung weniger Cu-Ionen diffundieren. Diese Elektrode bildet gegenüber der anderen Elektrode den +Pol. Unterschiedliche Konzentrationen gleichen sich durch die poröse Membran aus; dies führt zur Diffusion der Ionen aus der höher konzentrierten Lösung in die Lösung kleinerer Konzentration. Den beweglicheren Ionen gelingt der Konzentrationsausgleich durch die permeable Wand schneller als den weniger beweglichen. Es entsteht eine unterschiedliche Ladungsverteilung (auf beiden Seiten der Membran), die wegen der Coulomb-Kräfte die weitere Diffusion stoppt. Zwischen den Ladungen rechts und links von der Membran baut sich ein Feld und damit eine Spannung, die Membranspannung (Membranpotentialdifferenz) heißt, auf. Unter Depolarisation einer Membran versteht man eine Verringerung der Membranspannung. Erläuterung: Zellwände sind permeable Membranen. An ihnen besteht in Ruhe eine Potentialdifferenz von 70 - 80 mV. In diesem Zustand sind sie für K-Ionen viel durchlässiger als für Na-Ionen. Eine Depolarisation der Membran führt zu einer großen Zunahme der Na-Permeabilität. Unter Hyperpolarisation versteht man eine Erhöhung des Membranpotentials. 6.6.5 Gleichgewichtspotential Mit Gleichgewichtspotential ist die Potentialdifferenz U gemeint, bei der die Expansionsarbeit Wi eines Ions - bei der Diffusion durch die Wand - gleich der elektrischen Arbeit We gegen die Spannung U ist. Wi = We We ist leicht berechnet. Hat das Ion die Wertigkeit z (e: Elementarladung), so ist: We = z e U in J 6.6.6 Berechnung des Gleichgewichtspotentials aus der Nernstschen Gleichung Die Nernstsche Gleichung lautet: U= = kT c a ln in V ze c e U: Membranspannung in V k: Boltzmann-Konstante e: Elementarladung in C z: Wertigkeit des Ions ca/ce: Konzentrationsverhältnis Erläuterung Es soll die Arbeit pro Ion Wi berechnet werden. Dazu wird angenommen, daß die Ionen in der Lösung sich ähnlich verhalten wie die Teilchen eines idealen Gases. Für ideale Gase gilt das Gasgesetz: Seite 66 p V = N k T in J p: V: N: T: Druck in Pa 3 Volumen, das die Teilchen einnehmen, in m Zahl der Teilchen Temperatur in K Wenn sich das Gas von einem Anfangsvolumen Va isotherm auf das Volumen Ve ausdehnt, wird die Arbeit W geleistet: W = N k T ln (Ve/Va) in J Im kleineren Anfangsvolumen ist natürlich die Konzentration größer als im größeren Endvolumen. Daher muß gelten: Ve/Va = ca/ce Dies wird in obige Gleichung eingesetzt und auf Ionen angewendet. Je Ion (Division durch N) wird dann die Arbeit Wi geleistet Wi = k T ln (ca/ce) in J Nun ist k = R/L und F = e L (bzw. L=F/e) . Man erhält: zeU= ReT c a ln F ce in J (s.o.) Seite 67 7. MAGNETFELDER UND ELEKTRISCHE STRÖME 7.1. Lorentzkraft (Wiederholung) 7.1.1 Magnetfeld eines geraden Leiters Es gilt für die Lorentz-Kraft: r r r r r r FL =I ⋅s × B in N bzw. FL =q ⋅ v × B in N ( ) In der ersten Form nennt man die Lorentz Kraft auch Biot-Savart Kraft. F: Kraft in N I: Stromstärke in A S: Weg in m v: Geschwindigkeit in mis q: Ladung in C B: Magnetische Induktion in T mit T = Vs Wb = m2 m2 Grundversuche: Wenn sich kleine Magnetnadeln so ausrichten wie im Bild gezeigt, sagt man, der Strom fließt von + nach -. Für das Magnetfeld gilt beim geraden Leiter: r µ 0 I (eri × rr ) B= ⋅ 2π r2 µ 0 : 4π ⋅ 10 − 7 r µ Ir v B = 0 ⋅ ei × r0 2π r N N = 1, 2566 ⋅ 10 −6 2 (magnetische Feldkonstante) 2 A A r ei : Einheitsvektor in Richtung der Stromdichte oder Seite 68 7.1.2 Das Amperesche Gesetz r I: Stromstärke in A G : Stromdichte in A/m2 r r r r µ0 I ∫ Bd s = B∫ d s = 2π ⋅ r 2πr = µ I 0 C r A : Fläche in m2 in Tm C r r I = ∫ GdA A Es ergibt sich das Amperesche Gesetz: r r r r B d s = µ G dA 0∫ ∫ C 7.1.3 A Magnetfeld einer langen Spule Der rechteckige Integrationsweg von 1 über 2, 3, 4 nach 1umfaßt N Windungen. Der Integrationsweg hat die Seiten a und s. Bei einer langen Spule ist B außen << B 0 . r r s 2 r r a 3 r r s4 r r ∫ B d s + ∫ B d s + ∫ B ds + ∫ B ds = B 0 s − Baußen s = B 0 ⋅ s = µ 0 ⋅ I ⋅ N a1 a4 s1 a2 s3 r r Die Terme 1 und 3 auf der linken Seite sind 0, weil B und d s senkrecht zueinander gerichtet sind. Wenn alle Windungen einbezogen werden, entspricht die Seite s des Integrationsweges der Lände der Spule l. Die Stärke der magnetischen Induktion im Innern einer langen Spule ist: B0 = µ0 N⋅I B N⋅I . Definiert man 0 = H , folgt: H = l l µ0 Seite 69 B0: magnetische Induktion in T N: Anzahl der Windungen I: Stromstärke in A l: Länge der Spule in m H: magnetische Erregung oder magnetische Feldstärke in A/m -7 µ 0: magnetische Feldkonstante = 4 ⋅ 10 (Vs)/(Am) Wird das magnetische Feld durch ein Material so verändert, daß sich die Konstante µ 0 um den Faktor µ r ändert, nennt man µ r die relative Permeabilität (dimensionslos). Sobald ein Material für das Magnetfeld eine Rolle spielt, ist in den Formeln µ 0 durch µ 0⋅µ r zu ersetzen. 7.1.4 Halleffekt A v B b I a Wegen der Lorentzkraft werden Elektronen in Richtung der Fläche A abgelenkt. Zwischen A und der gegenüberliegenden Fläche bildet sich eine Potentialdifferenz UHall und damit ein elektrisches Feld aus. Im Gleichgewicht gilt Lorentzkraft = elektrischer Kraft: FL = Fele r r r e v × B=e E E = v⋅⋅b U = E⋅⋅b = v B b 3 Mit n (Zahl der Ladungen/Volumen in 1/m ), e (Elektronenladung in Cb), v (Driftgeschwindigkeit und AQ (Querschnittsfläche) gilt für die Stromstärke I:: I = n e v AQ => v = I/(n e AQ) => U = (I B b)/(e n AQ) wegen AQ = a b folgt: UHall = (I B)/(e n a) a: Breite des Leiters / b: Höhe des Leiters (s. Abb.) / AQ: Querschnittsfläche Seite 70 7.2 Magnetischer Fluß φ r r φ = ∫ BdA in Wb = Vs = T ⋅ m 2 A r r Der Fluß durch eine geschlossene Fläche ist stets 0. Es folgt: ∫ BdA = 0 (Quellenfreiheit)! A 7.3 Kraftwirkungen auf einen magnetischen Dipol F1 = I ⋅ B ⋅ b1 F2 = I ⋅ B ⋅ b 2 ⇒ r r r M = F × a = F ⋅ a sin α r v F1 = − F2 = F b1 = − b 2 = b r r r F = I ⋅B×b Seite 71 ( ( ) ) r r r r M = I⋅B×b ×a r r r r r r M = I⋅B×b ×a = I ⋅B× A Definition: Magnetisches Dipolmoment r r m = N⋅ I ⋅ A I: m: A: N: l: Stromstärke in A 2 Dipolmoment in A m 2 Fläche in m Zahl der Windungen Länge der Spule in m r r r r r r r r M = m × B =N ⋅ I ⋅ A × B mit A = a × b ( ) Achtung: Bei den Vorzeichen der Kreuzprodukte können Ungenauigkeiten auftreten; wenn z.B. (Ar = ar × br ) angegeben wird hängt das Vorzeichen davon ab wie in der Zeichnung die Seiten bezeichnet werden. Da es bei den Überlegungen nicht unbedingt auf das Vorzeichen ankommt, wurde hier nicht alles überprüft, um Zeit zu sparen. Eine lange Spule mit N Windungen stellt einen magnetischen Dipol dar. Ihr magnetischer Moment zeigt von Südpol zum Nordpol. (µ µ steht für das Produkt µ 0⋅µ µ r) B l N ⋅I m = N⋅ I⋅ A ⋅ = ⋅ A ⋅ l = H ⋅ A ⋅ l wegen H = folgt: l l µ m = A⋅ B ⋅l µ r r r r Der magnetische Fluß φ durch die Windungsfläche A ist: φ = ∫ B ⋅dA = B ⋅ A , es folgt: A φ⋅l µ r r r M = r × F , wobei hier r = l ist. r r r r r φ⋅ l r r B M = m×B = × B = l × φ ⋅ . Durch Vergleich findet man: µ µ r r r r B M = l ×φ r B µ Fm = φ . r r r µ M = l ×F m= Seite 72 Rührt nun von einer Spule 1 ein Feld B1 her und bringt man in dieses Feld eine Spule 2 mit φ1 wegen φ = A B und dem magnetischen Feld B2, so wird in großer Entfernung B 1 (r ) = 4π r 2 2 A = 4π π r sein. Fm = φ 2 B 1 φ1 ⋅ φ 2 = µ 4π r 2 µ φ nennt man auch magnetische Polstärke P r Fm = r r 1 P1⋅ P2 r ⋅ 2 ⋅ r0 mit P = φ = ∫ BdA 4πµ 0 r A µ 0 : 4π ⋅ 10 − 7 Fm = φ: N N = 1, 2566 ⋅ 10 −6 2 2 A A φ1 ⋅ φ 2 4π ⋅ r 2 ⋅ µ 0 magnetischer Fluß in Wb = V s. Dimensionsprobe! [Fm ] = B 1 (r ) = V 2s 2 N ⋅ m ⋅ N ⋅ m ⋅ s2 ⋅ A2 = =N A ⋅ s ⋅ A ⋅ s ⋅ m2 ⋅ N m2 ⋅ N 2 A φ1 φ1 ⇒ H 1 (r ) = 2 4π ⋅ r 4π ⋅ r 2 ⋅ µ 0 φ 1 ist sozusagen die felderzeugende Größe und φ 2 der Probepol. Mit H 1 (r ) = φ1 F ⇒ Fm = φ 2 ⋅ H 1 (r ) ⇒ H 1 (r ) = m 2 φ2 4π ⋅ r ⋅ µ 0 Hier wird deutlich, warum H auch magnetische Feldstärke (= Kraft pro Polstärke) heißt. H: 7.4 Magnetische Feldstärke in N/(Vs) = A/m Massenspektroskopie oder spezifische Ladung eines Elektrons Ein geladenes Teilchen wird senkrecht zum Magnetfeld B mit der Geschwindigkeit v in das Feld geschossen. Seite 73 FL = q ⋅ v ⋅ B r Die Lorentzkraft ändert nicht die Geschwindigkeit des Teilchens aber die Richtung von v . ⇒ Kreisbahn. F2 zeigt zum Mittelpunkt der Kreisbewegung. In der Kreisbahn muß gelten: Zentrifugalkraft = Lorentzkraft r r FZ = FC m ⋅ v2 = q⋅ v⋅B r m v⋅B⋅r B⋅r = = q v2 v m⋅ v r= q⋅B r: Radius hängt von Masse m ab (Massenspektroskopie) e/m: Spezifische Ladung eines Elektrons =v/(B r) ω: Zyklotonfrequenz = v/r = B q/m 7.5 Elektromagnetische Induktion v B b W v a Ein Strom wird induziert ! r r Auf eine stromdurchflossene Leiterschleife wirkt im Magnetfeld B ein Drehmoment M . Seite 74 Dreht man die Leiterschleife im Magnetfeld, erzeugt man einen elektrischen Strom. Dies setzt voraus, daß im Leiter ein elektrisches Feld entstanden ist. Die zugehörige Kraft müßte dem Betrage nach gleich der Lorentzkraft sein, denn man arbeitet dabei gegen die Lorentzkraft Fl . Die Lorentzkräfte an den b-Seiten heben sich auf, während sie sich an den a-Seiten addieren: E ind = Fl q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α = = v ⋅ B ⋅ sin α q q a 1 U ind = ∫ E ind ds = E ind ⋅ a = a ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α 2 0 U ind = 2 ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α v = r ⋅ ω b b r= ⇒ U ind = 2a ⋅ ⋅ ω ⋅ B ⋅ sin ω t = A ⋅ ω ⋅ B ⋅ sin ωt 2 2 α = ω ⋅ t r r U ind = ∫ E ind d s Im stationären Feld war das Ringintegral = Null. Jetzt ergibt sich aus der Berechnung dieses Integrals der Wert der induzierten Spannung. Die eingeschlossene Fläche ist die Fläche, die vom Magnetfeld durchsetzt wird. Der magnetische Fluß war wie folgt definiert: r r r r φ=B ⋅ A = B ⋅ A ⋅ cos α φ=B ⋅ A ⋅ cos ωt dφ d = B ⋅ A ⋅ cos ωt = B ⋅ A ⋅ ω ⋅ (− sin ωt ) dt dt dφ = − A ⋅ ω⋅ B ⋅ sin ωt dt U ind = A ⋅ ω⋅ B ⋅ sin ωt dφ ⇒ U ind = − dt Andere Betrachtung: r r r Der Leiter der Länge L mit Elektronen wird mit der Geschwindigkeit v bewegt. B, v und r v r r L stehen senkrecht aufeinander. Auf die Elektronen in L wirkt die Lorentzkraft Fl = q ⋅ v × B. Die Elektronen werden an ein Ende des Leiters L verschoben bis Gleichgewicht mit der Coulombkraft herrscht. Man kann Spannung (induzierte Spannung) feststellen. (In den Formeln sind die Vektorpfeile teilweise weggelassen!) Seite 75 U ind = FL ⋅ L ∆x ∆A ∆φ = B⋅ v ⋅L = B⋅L⋅ = B⋅ = q ∆t ∆t ∆t U ind = − d φ dt r r U ind = ∫ E ind d s r r d E ∫ ind d s = − dt φ Die Gleichungen sind alternative Formulierungen des Induktionsgesetzes! 7.6 Lenzsche Regel Sind die Schienen leitend, fließt ein Induktionsstrom Iind, der auch in dem bewegten Leiterr r r stück fließt. Wegen ei I ind ( e i Einheitsvektor in Richtung des Leiters) senkrecht zu B r r entsteht eine Kraft FC . Wäre diese Kraft parallel zu v , würde die Bewegung immer schneller werden. Da das nicht der Fall ist, hemmt sie die Bewegung (Lenzsche Regel). Das Experiment zeigt, daß, wenn der Leiter L in Richtung des Daumens (rechte Hand) bewegt wird, das Magnetfeld die Richtung des Zeigefingers hat, der Strom in Richtung des abgespreizten Mittelfingers fließt. Zwischen diesem Strom und dem Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung. Beispiel: Wegen der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Metallfläche Am werden in ihr Ströme induziert; die sogenannten Wirbelströme. Die Kraft zwischen Wirbelströmen und Magnetfeld hemmt die Bewegung (Wirbelstrombremse). Seite 76 7.7 Induktivität V Induktionsspule IS Feldspule Feldspule FS Induktionsspule I Feldspule: H FS = N I B FS = in A/m µ0 l N: Zahl der Windungen der Feldspule L: Länge der Feldspule in m I: Stromstärke in A µ 0 : 4π ⋅ 10 − 7 N N = 1, 2566 ⋅ 10 −6 2 2 A A Der Fluß durch Induktionsspule mit NIS Windungen ist: φ IS = N IS ⋅ A IS ⋅ B FS = N IS ⋅ A IS ⋅ µ 0 ⋅ NI 2 2 in m ⋅ (N/A ) ⋅ A/m = (Nm)/A = V s l φ IS = L IS ⋅ I mit der Induktivität L IS = µ 0 ⋅ N IS ⋅ A IS ⋅ N in H (Henry) l Die Dimension der Induktivität ist: [ L IS ] = Vs = H A der Induktionsstrom in IS (Induktionsspule) ist zum Strom der FS (Feldspule) entgegengesetzt. (Lenzsche Regel) Deswegen nennt man LIS auch Gegeninduktivität. 7.8 Selbstinduktion UF = −N dφ Faradaysches Induktionsgesetz! dt UF: Induktionsspannung nach Faraday UF tritt nicht nur dann auf, wenn der sich zeitlich ändernde Fluß von "außen" erzeugt wird. Wenn die Drahtschleife den magnetischen Fluß selbst erzeugt, gilt auch das Induktionsgesetz. Seite 77 Der magnetische Fluß φ ist proportional zum Strom I. Wegen U F = − N d d φ ⇒ U F = − N (L ⋅ I ) dt dt Bei einer langen Spule (Feldspule) ist: φ = B ⋅ A = µ0 A⋅N⋅I ⇒ l d A⋅N N2 d U F = −N µ0 ⋅ I = −µ 0 ⋅ A ⋅ ⋅ ⋅I dt l l dt Die Konstanten kann man zur neuen Konstanten L, die Selbstinduktion heißt, zusammenfassen: L = −µ 0 ⋅ A ⋅ U F = −L N2 L dI dt Es soll ein Stromkreis mit Spule, wobei die Spule auch einen Ohmsche Widerstand hat, betrachtet werden. U Spule = U Q + U ind = U Q − L dI dI ⇒ U Q = RI Spule + L 123 12 dt dt 3 UR UL Seite 78 dI dt mit U L = L Diese Verabredung wird getroffen, damit die Maschenregel gültig bleibt. 7.9 Die Energie des magnetischen Feldes Beim Ladungstransport gegen die induzierte Spannung muß eine zusätzliche Leistung erbracht werden. Um einen Strom von 0 auf I0 (Einschalten) zu bringen, wird die Leistung ∆W ∆I = − U ind ⋅ I = L ⋅ ⋅ I erbracht. Es folgt: ∆t ∆t ∆W = L ⋅ I ⋅ ∆I I0 I0 1 1 N2 2 W = ∫ dW = ∫ L ⋅ I ⋅ dI = L ⋅ I 20 = µ 0 ⋅ A ⋅ I0 2 2 l 0 0 In der Langen Spule gibt es, wenn I = I0 ist, ein Magnetfeld: B = µ0 N ⋅ I0 l 1 N2 2 µ0 ⋅ l W = µ0 ⋅ A ⋅ I0 ⋅ µ0 ⋅ l 2 l also W= 1 µ 20 N2 ⋅ A ⋅ 2 ⋅ l ⋅ I 02 2 µ0 l 2 1 Al 2 N 2 2 1 A⋅l 2 2 2 N W= ⋅B ⋅ µ 0 ⋅ 2 I 0 mit B = µ 0 ⋅ 2 I 20 folgt: W = ⋅ 2 µ0 l l 2 µ0 W 1 B2 = ρ E wobei ρ E die Energiedichte ist. = ⋅ V 2 µ0 Stromkreis mit R und L: Einschalten: U0 = U R + U L I0 − I = C+ L dI R dt also RI 0 = RI + L oder R dI dt = L I0 − I R t = − ln (I 0 − I ) L Zur Zeit to soll I = 0 sein => C = - ln Io und I 0e dI dt R t L − Ie R t L = I0 oder R I t = lnI 0 − ln (I 0 − I ) = ln 0 L I0 − I I 0e R t L − I 0 = Ie R t L es folgt: Seite 79 R − t I = I 0 1 − e L Ausschalten: I = I 0e − R t L Beim Ausschalten fließt nach der Unterbrechung noch Strom. Der Widerstand erwärmt sich um dW dW = R I 2 dt = dE ∞ ∞ E = ∫ R I 2 dt = ∫ R ⋅ I 02 ⋅ e 0 2R t L 0 2R L −Lt e E = I ⋅R⋅ 2R ∞ = 2 0 7.10 − 0 ∞ dt =I 02 ⋅ R ∫ e − 2R t L dt 0 I 20 ⋅ R ⋅ L 1 = L ⋅ I 02 2R 2 Drehspulgalvanometer b ⋅ F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sin α r r r ML = I A × B r Rücktreibendes Drehmoment M R der Aufhängung ist notwendig. Wenn ϕ der Ausschlagwinr kel ist ⇒ M R = D′ϕ (D´: Proportionalitätskonstante) r r r Im Gleichgewicht ist M R = M L und der Ausschlag ein Maß für I. Es ist M R proportional zu r α und M L proportional zu I ist, also I proportional α. Bei Verwendung von Lichtzeigern sind Ströme von 10-7 A meßbar. 7.11 Das Biot-Savartsche Gesetz Theoretisch läßt sich dieses Gesetz herleiten. Es lautet: r µ I r r ∆B = 0 ⋅ 2 ⋅ s 0 × ∆ l 4π s I ist der Strom, der durch einen Leiter der Länge l fließt (I in A). Um den Leiter bildet sich ein Magnetfeld. Der Strom, der durch das Leiterteilstück ∆ l (in m) fließt, verursacht an einem ber liebigen Ort P außerhalb des Leiters einen Beitrag ∆B zum magnetischen Feld am Ort P. Die- Seite 80 sen Beitrag zum Magnetischem Feld läßt sich mit dem Biot-Savartschen Gesetz berechnen. Der Beitrag wird umso kleiner je weiter P von ∆ l entfernt ist. Der Abstand von ∆ l zu P ist s (in m). r r r µ 0 I ⋅ s 0 ⋅ ∆ l ⋅ sin α µ 0 I ⋅ ∆l ⋅ sin α ∆B = ⋅ = ⋅ oder 4π 4π s2 s2 r r r ∆ l ⋅ s 0 ⋅ sin α r µ 0 ⋅ I ∆ l × rs 0 Wb B= B=∫ mit also µ 0 = 4π ⋅ 10 − 7 ∫ 2 2 4π Am s s Bei einem stromdurchflossenen Kreisring ist r senkrecht zu ∆l und r = const. µ 0 ∑ ∆l ⋅ sin 90 µ0 ⋅ I µ0 ⋅ I ⋅I = ⋅ 2 π s = 4π 2s s2 4π ⋅ s 2 o ⇒ B= Für einen langen Leiter hatten wir schon gefunden (r: Abstand vom Leiter): B= µ0I 2πs Dies muß sich aus dem Biot-Savartschen Gesetz durch Berechnung von r r ∆ l ⋅ s 0 ⋅ sin α ableiten lassen: B=∫ s2 Man kann ablesen: e a und sin α = Hilfsformeln: y = cot x und y′ = − cot α = a s 1 sin 2 α daraus folgt: s= a sin α Seite 81 Man kann weiter der Abbildung entnehmen: l = d − a ⋅ cot α daraus folgt: dl a = dα sin 2 α a dl dl ⋅ dα ⋅ sin α ⋅ dα ⋅ sin α ⋅ dα ⋅ sin α 2π 2π µ 0 ⋅ I dα µ 0 ⋅ I dα µ 0 ⋅ I sin 2 α = = B= a 4π ∫0 4π ∫0 4π ∫0 s2 a2 ⋅a 2 sin 2 α sin α 2π µ0 ⋅ I 2π µ ⋅I (hier ist a der Abstand vom Leiter!) B= sin α ⋅ dα = 0 ∫ 4π a 0 2π a
