A 7-9 Baumdiagramme

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 7-9
7. Semester
ARBEITSBLATT 7-9
Was ist Wahrscheinlichkeit
"Ein guter Mathematiker kann berechnen, welche Zahl beim Roulette als
nächstes kommt", ist eine Aussage, die einfach falsch ist. Zwar befassen sich
Mathematiker bereits seit dem 17. Jahrhundert damit, ein gewisses Geschehen abzuschätzen, ob ein gewisses Ereignis eintritt oder nicht, lässt sich jedoch
nicht vorhersagen. Man kann lediglich beurteilen, ob es vielleicht eintritt. Mit
diesem "vielleicht" beschäftigt sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Um dies durch eine Zahl greifbar zu machen, benötigen wir zunächst einige
Definitionen:
Beispiel(1): Als Beispiel einer Modellbildung verwenden wir den Münzenwurf
mit 2 unterscheidbaren aber gleichwertigen Münzen. Den Fall, dass eine Münze beim Wurf auf ihrem Rand stehen bleibt, schließen wir aus.
Lösung:
Mögliche Ergebnisse:
ω1= {Kopf , Kopf } ω 2 = {Kopf , Adler}
ω 3= {Adler , Kopf } ω 4 = {Adler , Adler}
Ergebnismenge: Ω = {ω1,ω 2 ,ω 3,ω 4 }
Die Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Experimentes bildet die Ergebnismenge Ω dieses Experimentes. Jede Teilmenge der Ergebnismenge
nennt man Ereignis E.
Mögliche Ereignisse:
E1 :BeideMünzen zeigen gleicheSeiten :{ω1,ω 4 }
E 2 : Es wird min destenseinmal Kopf geworfen :{ω1,ω 2 ,ω 3 }
E 3: Es wird genaueinmal Adler geworfen :{ω 2 ,ω 3 }
E 4 : Es wird genau zweimal Adler geworfen :{ω 4 }
E 5 : Es wird weder Kopf noch Adler geworfen :{ }
E 6 : Es werdenentweder gleicheoderungleicheSeiten
der Münzengeworfen :Ω
Um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der einzelnen Ereignisse zu berechnen, müssen wir zunächst gewisse Grundannahmen treffen. Ω besteht
aus vier Elementen, wobei jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich eintreten
kann. Also ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergebnisses immer
1/4. Man schreibt: P(ω1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = P(ω 4 ) =
Daraus folgt:
1
1
4
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P(E1 ) = P (ω1 ) + P (ω 4 ) =
1 1 1
+ =
4 4 2
3
P(E 2 ) = P (ω1 ) + P(ω 2 ) + P(ω 3 ) =
4
1
P(E 3 ) = P(ω 2 ) + P(ω 3 ) =
2
1
P(E 4 ) = P (ω 4 ) =
4
P (E 5 ) = 0
P (E 6 ) = 1
Wahrscheinlichkeiten sind stets Zahlenwerte zwischen 0 und 1. Ist P für ein
Ereignis gleich 1, so spricht man von einem sicheren Ereignis, ist P gleich 0
von einem unmöglichen Ereignis.
Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben 76 – 77
Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleich wahrscheinlich, dann
lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A wie folgt berechnen:
P ( A) =
Anzahl der günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
Was bedeutet es aber nun, dass die Wahrscheinlichkeit einen 2er zu würfeln
1/6 beträgt? Bei einer großen Anzahl von Versuchen stabilisiert sich die relative Häufigkeit des Ereignisses um einen festen Wert. Dieser Wert lautet 1/6.
Gesetz der großen Zahlen: Je größer die Anzahl von Versuchen ist, desto
deutlicher stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses um einen
festen Wert - seine Wahrscheinlichkeit.
Beispiel(2): In einer Urne befinden sich Zetteln, die von 10 bis 99 beschriftet
sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich keinen Zettel ziehe, bei dem
beide Ziffern gleich sind?
Lösung:
E ... Es wird kein Zettel gezogen, bei dem beide Zettel gleich sind
¬E ... Ein Zettel mit zwei gleichen Ziffern wird gezogen
P(E) = 1 - P(¬E)
P(E)=1-9/90=1-1/10=9/10
Für die Gegenwahrscheinlichkeit zum Ereignis E gilt: P(¬E ) = 1 − P (E )
(Somit gilt auch: P(E) = 1 − P(¬E)
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Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben 78 - 80
Lösen einfacher Wahrscheinlichkeitsbeispiele mithilfe eines Baumdiagramms
Beispiel(3): Im Zuge einer Werbeaktion wird in einem Kaufhaus folgendes Gewinnspiel angeboten; In einer Urne sind 2 Kugeln, die sich nur in der Beschriftung unterscheiden: O und M. Man zieht eine Kugel, notiert den gezogenen
Buchstaben und legt die Kugel wieder in die Urne zurück. Dies wiederholt man
dreimal. Entsteht dabei das Wort "OMO", so erhält man eine Packung des
Waschmittels gratis. Wie groß ist die Gewinnchance für den Kunden?
Lösung:
Wir zeichnen uns zu diesem Problem ein sogenanntes Baumdiagramm. Ganz
oben zeichnen wir uns die Ausgangssituation (Ein „O“ und ein „M“ befinden
sich in der Urne). Von dieser Ausgangssituation zeichnen wir alle möglichen
Wege ein, die sich bei der Ziehung der ersten Kugel ergeben können. Von
dort ausgehend zeichnen wir abhängig von der 1. Ziehung alle möglichen
Wege ein, die sich bei der 2. Ziehung ergeben können, usw..
1. Ziehung
2. Ziehung
3. Ziehung
Es gibt also 8 verschiedene, gleichberechtigte Spielverläufe, wobei jedoch nur einer günstig ist.
E ... Das Wort OMO entsteht.
Es folgt: P (OMO)=1/8.
Genauso hätten wir aber die Wahrscheinlichkeit zu diesem Ereignis ermitteln können, indem wir uns zunächst den günstigen Fall einzeichnen
und die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Ziehung dieses Weges
eintragen.
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2
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2
1
2
Überlegen Sie dazu: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei der 1. Ziehung
ein „O“ ziehe beträgt ½, da ja 1 Kugel günstig ist (Mit „O“ beschriftet)
und 2 Kugeln möglich sind. Da wir nach der ersten Ziehung die Kugel
wieder in die Urne zurücklegen, sind die Wahrscheinlichkeiten auch bei
der 2. Ziehung ident. Nun brauchen wir also die Wahrscheinlichkeit, dass
wir „OMO“ ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Astes des
Baumdiagramms werden stets multipliziert.
P(OMO ) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
Genauso hätten wir aber sagen können, die Wahrscheinlichkeit, dass
ich „OMO“ ziehe, besteht aus der Wahrscheinlichkeit, dass ich „O“ ziehe und dann „M“ ziehe und dann „O“ ziehe. Das logische Wort „UND“
bedeutet mathematisch eine Multiplikation. Unser Ansatz lautet also
nun:
P(OMO ) = P(O) ⋅ P( M ) ⋅ P(O)
Da die Wahrscheinlichkeit ein „O“ oder ein „M“ zu ziehen stets ½ ist, erhalten wir:
P(OMO ) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
Beispiel(4): In einer Urne befinden sich drei Kugeln: "U","D" und "O". Man zieht
der Reihe nach je eine Kugel, ohne die gezogene Kugel zurückzulegen. Wer
das Wort "UDO" zieht, gewinnt einen Preis. Wie groß ist die Gewinnchance?
Lösung:
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Es gibt 6 verschiedene Spielverläufe, nur einer ist günstig.
E ... Das Wort UDO wird gezogen.
Es folgt: P (UDO)=1/6.
Denken Sie sich auch die anderen Lösungswege durch!!
Beispiel(5): Paul Faul hat sich wieder einmal nicht für die Mathematikwiederholung vorbereitet. Er weiß, dass der Lehrer dafür jede Stunde 2 Schüler zufällig auswählt. Wie groß ist für ihn die Chance, zur Wiederholung dranzukommen, wenn noch 14 andere Schüler anwesend sind?
Lösung:
Wir Schreiben "N" für nicht drankommen, "J" für drankommen.
Vorsicht: Es fällt auf, dass nun die einzelnen Spielverläufe nicht mehr
gleichwahrscheinlich sind. Erfolgreich sind allerdings nur die beiden
Wege, in denen ein "J" vorkommt.
Nun haben wir also zwei Wege, die günstig sind. Hier gilt nun: Die Wahrscheinlichkeiten eines Astes werden multipliziert. Die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Äste werden addiert.
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Wir rechnen uns also jeweils die Wahrscheinlichkeiten für jeden Ast aus
(Stehen unter der Zeichnung) und addieren dann diese Wahrscheinlichkeiten.
P = 0,07 + 0,07 = 0,14
Ein anderer Weg, die beiden Äste zu verbinden, wäre von der Aussagenlogik: Die Wahrscheinlichkeit, einmal „J“ bei zwei Ziehungen zu haben, ist entweder ich ziehe „J“ und dann „N“, oder ich ziehe „N“ und
dann „J“. Hier gilt: Wahrscheinlichkeiten, die mit ODER verbunden sind,
werden addiert. Es folgt daraus:
P = P ( JN ) + P( NJ )
Die Einzelwahrscheinlichkeiten haben wir bereits berechnet:
P( JN ) + P( NJ ) = 0,07
Wir setzen ein und erhalten:
P = 0,07 + 0,07 = 0,14
Beispiel(6): In einer Urne befinden sich 15 Kugeln. 2 Kugeln sind rot, 13 weiß.
Dreimal wird je eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und wieder in die Urne
zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 rote Kugeln zu ziehen?
Lösung:
Es gibt also drei günstige Wege, wobei wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg bereits ausgerechnet haben.
E... genau 2 rote Kugeln ziehen
P(E) = 3*0,0154=0,0462
Beachte:
Hier hätte man auch so vorgehen können.
Die Wahrscheinlichkeit ROT zu ziehen ist immer 2/15.
Die Wahrscheinlichkeit WEISZ zu ziehen ist immer 13/15.
Bei 3 maliger Ziehung gibt es drei Möglichkeiten 2 mal rot
und 1 mal weiß zu ziehen
2
P = 3⋅ 
 15 
2
1
 13 
⋅   = 0,0462
 15 
P=(Möglichkeiten)*(P(rot) Hochzahl: 2mal)*(P(weiß) Hochzahl: 1mal)
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Wichtige Regeln:
• MULTIPLIKATIONSSATZ:
Sind die Ereignisse E1 und E2 voneinander unabhängig, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass E1 und E2 eintritt:
Wahrscheinlichkeit von E1 „mal“ Wahrscheinlichkeit von E2
(Ein Ereignis E2 bezeichnet man als unabhängig von einem Ereignis E1, wenn
die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von E2 unabhängig davon ist, ob
das Ereignis E1 eingetroffen ist oder nicht. Multiplikationssatz gilt auch für
mehrere voneinander unabhängige Ereignisse)
Das bedeutet für das Baumdiagramm:
Entlang eines Astes werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
• SUMMENSATZ:
Sind die Ereignisse E1 und E2 zwei einander ausschließende Ereignisse, so gilt für
die Wahrscheinlichkeit, dass E1 oder E2 eintritt:
Wahrscheinlichkeit von E1 „plus“ Wahrscheinlichkeit von E2
(Gilt auch für mehrere unvereinbare Ereignisse)
Das bedeutet für das Baumdiagramm
Wahrscheinlichkeiten mehrerer Äste werden addiert.
Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben 81 - 92
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