Inhaltsverzeichnis - Wiley-VCH

Inhaltsverzeichnis
Einleitung
25
Über dieses Buch
Konventionen in diesem Buch
Törichte Annahmen über den Leser
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Teil I: Auf die Plätze … Einfache Algebra
Teil II: Analysis
Teil III: Ordnung schaffen in der Zahlenwelt –
Mit Matrizen und Gleichungssystemen
Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Teil V: Finanzmathematik
Teil VI: Der Top-Ten-Teil
Zusatzmaterialien im Internet
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden
Wie es weitergeht
25
25
26
26
26
26
27
27
27
27
27
28
28
Teil I
Auf die Plätze … Einfache Algebra
29
Kapitel 1
Am Anfang stand die Algebra
31
Mit Vorzeichen rechnen
Zahlen mit Vorzeichen addieren und subtrahieren
Zahlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren
Algebraische Eigenschaften – eine Skizze
Bewahren Sie Ordnung – mit dem Kommutativgesetz
Harmonie in der Gruppe – mit dem Assoziativgesetz
Das Distributivgesetz – Werte verteilen
Was Sie über Brüche wissen sollten
Ein paar schnelle Regeln
Brüche multiplizieren
Brüche dividieren
Brüche addieren
Brüche subtrahieren
Prozent berechnen
Steuern und Rabatte beurteilen
Potenzen machen stark
Zu den Wurzeln der Wurzeln
Logarithmen … wirklich keine Hexerei
31
31
32
32
32
33
33
34
35
35
35
36
37
37
38
39
40
41
13
Wirtschaftsmathematik für Dummies
Mehr als einen Term ausmultiplizieren
Binome ausmultiplizieren
Polynom mal Polynom
Besonders verteilt: Manchmal geht es schneller
Kapitel 2
Gleichungen lösen
Ausgeglichene Gleichungen
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Faktorisieren von Trinomen mit der Quadratformel
Faktorisieren von Trinomen mit nur einer Lösung
Bleiben Sie bei Gleichungen mit Brüchen rational!
Rationale Gleichungen mit Proportionen lösen
Machen Sie sich frei von Wurzeln!
Beide Seiten einer Wurzelgleichung quadrieren
Zwei Wurzeln ausgleichen
Exponentialgleichungen lösen
Logarithmische Gleichungen lösen
Log gleich Log setzen
Logarithmische Gleichungen in Exponentialgleichungen umformen
41
42
43
43
45
45
45
47
48
49
50
50
54
55
56
57
59
59
61
Teil II
Analysis
63
Kapitel 3
Ein Leben mit Listen: Folgen und Reihen
65
Die Terminologie der Folgen
Die Notation der Folge
Die Fakultät in Folgen
Alternierende Folgenmuster
Muster in Folgen
Arithmetische und geometrische Folgen
Gemeinsame Grundlagen: Arithmetische Folgen
Der multiplikative Ansatz: Geometrische Folgen
Rekursiv definierte Funktionen
Und jetzt zu den Reihen
Die Notation für die Summenbildung
Arithmetische Summenbildung
Geometrische Summenbildung
Summen von Folgen in der Praxis
Inventur der Lebensmittel
Lohnverhandlungen
Besondere Formeln für Reihen
14
65
66
66
67
68
71
71
73
74
75
76
76
77
80
80
81
81
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4
Fantastische Funktionen
83
Wie sieht eine Funktion aus?
Was es mit Definitions- und Wertebereich auf sich hat
Den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen
Den Wertebereich einer Funktion beschreiben
Geradeheraus – Geraden in der Ebene
Die Steigungen treffen
Die Steigung einer Funktion
Polynome
Die Standard-Polynomform
Vom Verstand geleitet: Rationale Funktionen
Rationale Funktionen erkunden
Definitionsbereiche erweitern
Exponentialfunktionen
Logarithmische Funktionen
Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen
Zusammengesetzte Funktionen
Wachstumsfunktionen
Lineares Wachstum
Exponentielles Wachstum
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
83
85
86
87
88
89
90
91
92
93
93
93
94
95
96
97
98
98
99
100
102
Kapitel 5
Auch Funktionen haben Eigenschaften
105
Schnittpunkte mit den Achsen
Die y-Schnittpunkte finden
Die x-Schnittpunkte
Was ist der Grenzwert?
Die formale Definition eines Grenzwerts
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten
Grenzwerte an der Unendlichkeit – haben Sie gute Schuhe an?
Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen
Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand
Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht
Die überflüssige Mathematik der Stetigkeit aussortieren
Grenzwerte, die Sie sich merken sollten
Grenzwerte bei unendlich auswerten
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten
Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen
Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden
105
105
106
106
107
108
109
109
110
110
112
112
113
114
115
115
15
Wirtschaftsmathematik für Dummies
Kapitel 6
Die Differentialrechnung
Die Ableitung einer Funktion
Der Differenzquotient
Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert
Grundlegende Regeln der Differentiation
Die Konstantenregel
Die Potenzregel
Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten
Die Summenregel – und die kennen Sie schon
Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied
Trigonometrische Funktionen differenzieren
Exponentialfunktionen differenzieren
Logarithmische Funktionen differenzieren
Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs!
Die Produktregel
Die Quotientenregel
Die Kettenregel
Ableitungen höherer Ordnung skalieren
Ein Ausflug mit der Analysisgruppe
Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen
Uns fällt keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung
und Wendepunkte
Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum
Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum
Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben
Von nun an ging's bergab!
Ihr Reisetagebuch
Lokale Extremwerte finden
Die kritischen Werte herausleiern
Der Test der ersten Ableitung
Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests!
Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden
Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich
einer Funktion finden
Krümmung und Wendepunkte bestimmen
Tangenten und Normale: Auf die Spitze getrieben
Die Aufgabenstellung mit der Tangente
Das Normallinienproblem
Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft
Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft
Grenzkosten
Grenzertrag
Grenzgewinn
16
117
118
120
126
127
127
128
128
129
130
130
130
131
132
132
132
133
134
139
140
141
141
142
142
142
142
143
143
143
145
147
150
153
154
156
157
160
163
163
165
165
166
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 7
Mehrdimensionale Funktionen
169
Funktionen mit mehreren Variablen
Zweidimensionale Funktionen darstellen
3-D-Darstellung
Höhenliniendarstellung
Partielle Differentiale
Ableitungen höherer Ordnung
Die Hessematrix bestimmen
Steigungen darstellen und berechnen
Partielle Ableitung nach x1 erster Ordnung
Partielle Ableitung nach x1 zweiter Ordnung
Kreuzableitung nach x1 und x2
Totales Differential
Konvexität, Konkavität
Extrema bestimmen
169
170
170
171
172
173
174
175
176
177
177
179
179
181
Kapitel 8
Integration: Die Rückwärts-Differentiation
185
Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differentiation
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es?
Die müßige Flächenfunktion
Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis
Der Hauptsatz der Analysis: Teil 2
Stammfunktionen finden: Vier grundlegende Techniken
Umkehrregeln für Stammfunktionen
Schätzen und Prüfen
Die Substitutionsmethode
Teilweise Integration: Teilen und Herrschen!
185
187
187
190
193
195
195
197
199
204
Teil III
Ordnung schaffen in der Zahlenwelt
– Mit Matrizen und Gleichungssystemen
211
Kapitel 9
Mit Matrizen durch die Mathe flitzen
213
Die verschiedenen Matrizentypen
Zeilen- und Spaltenmatrizen
Quadratische Matrizen
Null-Matrizen
Einheitsmatrizen
213
214
215
215
215
17
Wirtschaftsmathematik für Dummies
Einfache Operationen mit Matrizen durchführen
Matrizen addieren und subtrahieren
Matrizen mit Skalaren multiplizieren
Zwei Matrizen multiplizieren
Matrizen und Operationen anwenden
Die innerbetriebliche Materialverflechtung
Elementare Zeilenumformungen definieren
Kapitel 10
Lineare Gleichungssysteme lösen
Die Standardform linearer Systeme und ihre möglichen Lösungen
Grafische Lösung von linearen Systemen
Den Schnittpunkt bestimmen
Zweimal dieselbe Gerade
Parallele Geraden
Systeme zweier linearer Gleichungen durch Addition eliminieren
Einen Eliminationspunkt finden
Lösungen für parallele und koexistente Geraden
Systeme mit zwei linearen Gleichungen durch Einsetzen lösen
Variablen einsetzen – leicht gemacht
Parallele und koexistente Geraden erkennen
Mit der Cramer'schen Regel unhandliche Brüche bekämpfen
Das lineare Gleichungssystem für Cramer vorbereiten
Anwendung der Cramer'schen Regel auf ein lineares System
Lineare Systeme auf drei lineare Gleichungen steigern
Systeme mit drei Gleichungen mithilfe der Algebra lösen
Eine verallgemeinerte Lösung für Linearkombinationen einrichten
Wir steigern die Gleichungen noch weiter
Lineare Systeme in der Praxis
Mathe an der Frittenbude
Innerbetriebliche Leistungen verrechnen
Mithilfe von Systemen Brüche zerlegen
Lineare Systeme über die Matrizenschreibweise lösen
Kapitel 11
Matrizen – noch mehr Möglichkeiten
Die Determinante bestimmen
Klein geht's los – mit nur vier Zahlen
Die Steigerung folgt sogleich
Aber Sie können noch viel mehr – grenzenlose Größen
Inverse Matrizen finden
Additive Inverse bestimmen
Multiplikative Inverse bestimmen
Matrizen mithilfe von Inversen dividieren
18
216
216
217
217
220
223
228
231
231
232
232
233
234
235
235
237
237
238
239
240
241
242
242
243
244
246
248
248
249
251
253
257
257
257
258
258
260
261
261
266
Inhaltsverzeichnis
Die erweiterten Matrizenfunktionen auf lineare Gleichungssysteme anwenden
Mit der Determinante die Lösbarkeit eines Gleichungssystems bestimmen
Mit der Cramer'schen Regel ein Gleichungssystem lösen
Mit der Inversen ein Gleichungssystem lösen
Das Leontief-Modell kennenlernen
267
267
268
270
272
Teil IV
Lineare Algebra
277
Kapitel 12
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit
279
Ein Überblick über die Mengennotation
Ergebnisse festhalten: Stichprobenräume
Teilmengen von Stichprobenräumen festhalten: Ereignisse
Die leere Menge
Mengenoperationen: Vereinigung, Schnittmenge und Komplement
Arten der Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsnotation
Marginale Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung
Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge
Komplementäre Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden
Die Komplementärregel
Die Multiplikationsregel
Die Additionsregel
Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse
Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prüfen
Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse nutzen
Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen
Einander ausschließende Ereignisse erkennen
Die Additionsregel mit einander ausschließenden Ereignissen vereinfachen
Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden
Ein Vergleich von Unabhängigkeit und Ausschließlichkeit
Die Unabhängigkeit oder Ausschließlichkeit in einem Kartenspiel
mit 52 Karten prüfen
Kapitel 13
Wahrscheinlichkeit visualisieren:
Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem
279
279
281
281
283
284
284
285
286
286
286
287
289
290
291
292
292
293
294
294
295
296
296
296
297
299
Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren
Mit Venn-Diagrammen nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und visualisieren
300
300
301
19
Wirtschaftsmathematik für Dummies
Umwandlungsregeln für Mengen in Venn-Diagrammen
Die Grenzen von Venn-Diagrammen
Wahrscheinlichkeiten für komplexe Aufgaben mit
Venn-Diagrammen ermitteln
Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen
Mehrstufige Ereignisse mit einem Baumdiagramm visualisieren
Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm visualisieren
Die Grenzen der Baumdiagramme
Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse
ermitteln
Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem
Eine marginale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen
Wahrscheinlichkeit berechnen
Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnen
Kapitel 14
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen
Was ist eine Zufallsvariable?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden
Die kumulative Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden
Die kumulative Verteilungsfunktion interpretieren
Die kumulative Verteilungsfunktion grafisch darstellen
Wahrscheinlichkeiten mit der kumulativen Verteilungsfunktion ermitteln
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion aus der kumulativen
Verteilungsfunktion ableiten
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten
Zufallsvariablen
Den Erwartungswert von X berechnen
Die Varianz von X berechnen
Die Standardabweichung von X berechnen
Kapitel 15
Die Normalverteilung
Die Grundlagen der Normalverteilung
Quantile und Perzentile
Form, Mittelpunkt und Spreizung der Normalverteilung
Die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung)
Wahrscheinlichkeiten für eine Normalverteilung berechnen und anwenden
Den Graphen zeichnen
Eine Aufgabe in die Wahrscheinlichkeitsnotation übersetzen
Die Z-Formel anwenden
Mit der Z-Tabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln
20
303
304
305
307
308
310
313
314
316
316
320
325
325
325
327
332
333
333
334
336
338
338
340
341
343
343
344
345
346
349
350
350
351
352
Inhaltsverzeichnis
Aufgaben zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung
Analyse einer Aufgabe zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung
Die Z-Tabelle rückwärts lesen
Die Z-Formel nach X auflösen, um X-Einheiten zu berechnen
357
358
360
362
Kapitel 16
Bestimmte Verteilungen
365
Diskrete Verteilungen
Die diskrete Gleichverteilung
Binomialverteilung
Poissonverteilung
Stetige Verteilungen
Stetige Gleichverteilung
Exponentialverteilung
Die kumulative Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
365
366
368
372
375
376
379
380
Kapitel 17
Der Zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen
383
Der Zentrale Grenzwertsatz
Das Hauptergebnis des Zentralen Grenzwertsatzes
Warum der Zentrale Grenzwertsatz funktioniert
Das Gesetz der großen Zahlen
Wer will wieder Würfel werfen?
383
383
384
387
388
Teil V
Finanzmathematik
389
Kapitel 18
Zinsrechnung
391
Die Zinsrechnung – aller guten Dinge sind drei
Die Zinsen
Das Kapital
Die Laufzeit
Verzinsungsmodelle
Lineare Verzinsung
Zinseszinsrechnung – verzins mir die Zinsen!
Aus Eins mach Vier: Eine Formel und vier Probleme
Die Frage nach dem Endkapital
Die Frage nach dem Zinssatz
Die Frage nach der Laufzeit
Die Frage nach dem Anfangskapital
Die vier Fragen in der linearen Verzinsung
Den Barwert des Kapitals berechnen
Die unterjährige Verzinsung – kein Untergang
391
391
392
392
393
393
394
396
397
397
398
398
399
400
402
21
Wirtschaftsmathematik für Dummies
Effektiver und nomineller Zinssatz
Gemischte Verzinsung
Variable Verzinsung
Stetige Verzinsung
Kapitel 19
Rentenrechnung
Rentenzahlungen
Vor- und nachschüssige Rente
Vorschüssige Rentenrechnung
Nachschüssige Rentenrechnung
Vergleich von vorschüssiger und nachschüssiger Rente
Aus Eins mach Vier (II): Eine Formel und vier Probleme
Die Frage nach dem Endkapital
Die Frage nach dem Anfangskapital
Die Frage nach der Höhe der Rente
Die Frage nach der Laufzeit
Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode
Unterjährige Rente mit jährlicher Zinsverrechnung
Jährliche Rente mit unterjähriger Zinsverrechnung
Alle Dagobert Ducks aufgepasst! Kapitalaufbau und Kapitalverzehr
Kapitalaufbau: Die Sparerformel
Kapitalverzehr
Wachsende Renten
Arithmetisch veränderliche Rente
Geometrisch veränderliche Rente
Bis zum bitteren Ende: Ewige Renten
Barwert bei ewig gleich bleibender nachschüssiger Rente
Barwert bei ewig gleich bleibender vorschüssiger Rente
Kapitel 20
Tilgungsrechnung
Tilgungsrechnung – Die Zerlegung des Darlehens
Die Bausteine der Tilgungsrechnung
Tilgungsplan
Tilgungsarten
Ratentilgung
Berechnung einzelner Tilgungselemente ohne gesamten Tilgungsplan
Annuitätentilgung
Direkte Berechnung einzelner Tilgungsbausteine
Die Länge des Darlehens
22
403
405
407
408
411
411
412
412
413
414
416
416
416
417
418
418
419
422
423
423
424
425
426
428
429
430
431
433
433
434
435
435
436
438
440
443
445
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 21
Kurs- und Renditenrechnung
447
Wertpapierhandel
Gestatten – Mein Name ist Bond Kurs und Rendite einer Anleihe
Berechnung von Anleihen
Kursermittlung
Renditeermittlung
Zero-Bond
Aktienhandel
Einfache versus logarithmische Rendite
447
448
449
450
452
453
455
455
Kapitel 22
Investitionsrechnung
457
Zahlungsströme bestimmen
Höhe des Kalkulationszinssatzes
Kapitalwertmethode
Beurteilung der Rentabilität mit der Kapitalwertmethode
Interner Zinssatz
Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition
Amortisationsdauer
457
459
460
462
464
465
466
Teil VI
Der Top-Ten-Teil
469
Kapitel 23
Zehn Schritte beim Lösen von Textaufgaben
471
Ein Bild zeichnen
Eine Liste erstellen
Variablen für Zahlen wählen
Wörter in Zeichen übersetzen
Den letzten Satz beachten
Eine Formel finden
Mit Ersetzungen vereinfachen
Eine Gleichung lösen
Den Sinn prüfen
Die Genauigkeit kontrollieren
471
471
471
472
472
472
473
473
473
473
Kapitel 24
Zehn Dinge, mit denen Sie in der Prüfung nicht durchkommen
475
Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an
Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich
Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf
475
475
475
23
Wirtschaftsmathematik für Dummies
Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben
Machen Sie Ihre Lerngruppe für Ihre schlechten Noten verantwortlich
Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie eine gute Note in Wirtschaftsmathematik
brauchen, um Ihre Flamme zu beeindrucken
Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind, weil Sie
ein Morgenmuffel sind
Stellen Sie das gesamte Notensystem infrage
Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus
Verwenden Sie dieses Buch als Entschuldigung
Stichwortverzeichnis
476
476
476
476
476
477
477
479