Inhaltsverzeichnis - Wiley-VCH
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Inhaltsverzeichnis Einleitung 25 Über dieses Buch Konventionen in diesem Buch Törichte Annahmen über den Leser Wie dieses Buch aufgebaut ist Teil I: Auf die Plätze … Einfache Algebra Teil II: Analysis Teil III: Ordnung schaffen in der Zahlenwelt – Mit Matrizen und Gleichungssystemen Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V: Finanzmathematik Teil VI: Der Top-Ten-Teil Zusatzmaterialien im Internet Symbole, die in diesem Buch verwendet werden Wie es weitergeht 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 27 28 28 Teil I Auf die Plätze … Einfache Algebra 29 Kapitel 1 Am Anfang stand die Algebra 31 Mit Vorzeichen rechnen Zahlen mit Vorzeichen addieren und subtrahieren Zahlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren Algebraische Eigenschaften – eine Skizze Bewahren Sie Ordnung – mit dem Kommutativgesetz Harmonie in der Gruppe – mit dem Assoziativgesetz Das Distributivgesetz – Werte verteilen Was Sie über Brüche wissen sollten Ein paar schnelle Regeln Brüche multiplizieren Brüche dividieren Brüche addieren Brüche subtrahieren Prozent berechnen Steuern und Rabatte beurteilen Potenzen machen stark Zu den Wurzeln der Wurzeln Logarithmen … wirklich keine Hexerei 31 31 32 32 32 33 33 34 35 35 35 36 37 37 38 39 40 41 13 Wirtschaftsmathematik für Dummies Mehr als einen Term ausmultiplizieren Binome ausmultiplizieren Polynom mal Polynom Besonders verteilt: Manchmal geht es schneller Kapitel 2 Gleichungen lösen Ausgeglichene Gleichungen Lineare Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen lösen Faktorisieren von Trinomen mit der Quadratformel Faktorisieren von Trinomen mit nur einer Lösung Bleiben Sie bei Gleichungen mit Brüchen rational! Rationale Gleichungen mit Proportionen lösen Machen Sie sich frei von Wurzeln! Beide Seiten einer Wurzelgleichung quadrieren Zwei Wurzeln ausgleichen Exponentialgleichungen lösen Logarithmische Gleichungen lösen Log gleich Log setzen Logarithmische Gleichungen in Exponentialgleichungen umformen 41 42 43 43 45 45 45 47 48 49 50 50 54 55 56 57 59 59 61 Teil II Analysis 63 Kapitel 3 Ein Leben mit Listen: Folgen und Reihen 65 Die Terminologie der Folgen Die Notation der Folge Die Fakultät in Folgen Alternierende Folgenmuster Muster in Folgen Arithmetische und geometrische Folgen Gemeinsame Grundlagen: Arithmetische Folgen Der multiplikative Ansatz: Geometrische Folgen Rekursiv definierte Funktionen Und jetzt zu den Reihen Die Notation für die Summenbildung Arithmetische Summenbildung Geometrische Summenbildung Summen von Folgen in der Praxis Inventur der Lebensmittel Lohnverhandlungen Besondere Formeln für Reihen 14 65 66 66 67 68 71 71 73 74 75 76 76 77 80 80 81 81 Inhaltsverzeichnis Kapitel 4 Fantastische Funktionen 83 Wie sieht eine Funktion aus? Was es mit Definitions- und Wertebereich auf sich hat Den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen Den Wertebereich einer Funktion beschreiben Geradeheraus – Geraden in der Ebene Die Steigungen treffen Die Steigung einer Funktion Polynome Die Standard-Polynomform Vom Verstand geleitet: Rationale Funktionen Rationale Funktionen erkunden Definitionsbereiche erweitern Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen Zusammengesetzte Funktionen Wachstumsfunktionen Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Beschränktes Wachstum Logistisches Wachstum 83 85 86 87 88 89 90 91 92 93 93 93 94 95 96 97 98 98 99 100 102 Kapitel 5 Auch Funktionen haben Eigenschaften 105 Schnittpunkte mit den Achsen Die y-Schnittpunkte finden Die x-Schnittpunkte Was ist der Grenzwert? Die formale Definition eines Grenzwerts Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten Grenzwerte an der Unendlichkeit – haben Sie gute Schuhe an? Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht Die überflüssige Mathematik der Stetigkeit aussortieren Grenzwerte, die Sie sich merken sollten Grenzwerte bei unendlich auswerten Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 105 105 106 106 107 108 109 109 110 110 112 112 113 114 115 115 15 Wirtschaftsmathematik für Dummies Kapitel 6 Die Differentialrechnung Die Ableitung einer Funktion Der Differenzquotient Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert Grundlegende Regeln der Differentiation Die Konstantenregel Die Potenzregel Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten Die Summenregel – und die kennen Sie schon Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied Trigonometrische Funktionen differenzieren Exponentialfunktionen differenzieren Logarithmische Funktionen differenzieren Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs! Die Produktregel Die Quotientenregel Die Kettenregel Ableitungen höherer Ordnung skalieren Ein Ausflug mit der Analysisgruppe Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen Uns fällt keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben Von nun an ging's bergab! Ihr Reisetagebuch Lokale Extremwerte finden Die kritischen Werte herausleiern Der Test der ersten Ableitung Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden Krümmung und Wendepunkte bestimmen Tangenten und Normale: Auf die Spitze getrieben Die Aufgabenstellung mit der Tangente Das Normallinienproblem Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft Grenzkosten Grenzertrag Grenzgewinn 16 117 118 120 126 127 127 128 128 129 130 130 130 131 132 132 132 133 134 139 140 141 141 142 142 142 142 143 143 143 145 147 150 153 154 156 157 160 163 163 165 165 166 Inhaltsverzeichnis Kapitel 7 Mehrdimensionale Funktionen 169 Funktionen mit mehreren Variablen Zweidimensionale Funktionen darstellen 3-D-Darstellung Höhenliniendarstellung Partielle Differentiale Ableitungen höherer Ordnung Die Hessematrix bestimmen Steigungen darstellen und berechnen Partielle Ableitung nach x1 erster Ordnung Partielle Ableitung nach x1 zweiter Ordnung Kreuzableitung nach x1 und x2 Totales Differential Konvexität, Konkavität Extrema bestimmen 169 170 170 171 172 173 174 175 176 177 177 179 179 181 Kapitel 8 Integration: Die Rückwärts-Differentiation 185 Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differentiation Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? Die müßige Flächenfunktion Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis Der Hauptsatz der Analysis: Teil 2 Stammfunktionen finden: Vier grundlegende Techniken Umkehrregeln für Stammfunktionen Schätzen und Prüfen Die Substitutionsmethode Teilweise Integration: Teilen und Herrschen! 185 187 187 190 193 195 195 197 199 204 Teil III Ordnung schaffen in der Zahlenwelt – Mit Matrizen und Gleichungssystemen 211 Kapitel 9 Mit Matrizen durch die Mathe flitzen 213 Die verschiedenen Matrizentypen Zeilen- und Spaltenmatrizen Quadratische Matrizen Null-Matrizen Einheitsmatrizen 213 214 215 215 215 17 Wirtschaftsmathematik für Dummies Einfache Operationen mit Matrizen durchführen Matrizen addieren und subtrahieren Matrizen mit Skalaren multiplizieren Zwei Matrizen multiplizieren Matrizen und Operationen anwenden Die innerbetriebliche Materialverflechtung Elementare Zeilenumformungen definieren Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme lösen Die Standardform linearer Systeme und ihre möglichen Lösungen Grafische Lösung von linearen Systemen Den Schnittpunkt bestimmen Zweimal dieselbe Gerade Parallele Geraden Systeme zweier linearer Gleichungen durch Addition eliminieren Einen Eliminationspunkt finden Lösungen für parallele und koexistente Geraden Systeme mit zwei linearen Gleichungen durch Einsetzen lösen Variablen einsetzen – leicht gemacht Parallele und koexistente Geraden erkennen Mit der Cramer'schen Regel unhandliche Brüche bekämpfen Das lineare Gleichungssystem für Cramer vorbereiten Anwendung der Cramer'schen Regel auf ein lineares System Lineare Systeme auf drei lineare Gleichungen steigern Systeme mit drei Gleichungen mithilfe der Algebra lösen Eine verallgemeinerte Lösung für Linearkombinationen einrichten Wir steigern die Gleichungen noch weiter Lineare Systeme in der Praxis Mathe an der Frittenbude Innerbetriebliche Leistungen verrechnen Mithilfe von Systemen Brüche zerlegen Lineare Systeme über die Matrizenschreibweise lösen Kapitel 11 Matrizen – noch mehr Möglichkeiten Die Determinante bestimmen Klein geht's los – mit nur vier Zahlen Die Steigerung folgt sogleich Aber Sie können noch viel mehr – grenzenlose Größen Inverse Matrizen finden Additive Inverse bestimmen Multiplikative Inverse bestimmen Matrizen mithilfe von Inversen dividieren 18 216 216 217 217 220 223 228 231 231 232 232 233 234 235 235 237 237 238 239 240 241 242 242 243 244 246 248 248 249 251 253 257 257 257 258 258 260 261 261 266 Inhaltsverzeichnis Die erweiterten Matrizenfunktionen auf lineare Gleichungssysteme anwenden Mit der Determinante die Lösbarkeit eines Gleichungssystems bestimmen Mit der Cramer'schen Regel ein Gleichungssystem lösen Mit der Inversen ein Gleichungssystem lösen Das Leontief-Modell kennenlernen 267 267 268 270 272 Teil IV Lineare Algebra 277 Kapitel 12 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit 279 Ein Überblick über die Mengennotation Ergebnisse festhalten: Stichprobenräume Teilmengen von Stichprobenräumen festhalten: Ereignisse Die leere Menge Mengenoperationen: Vereinigung, Schnittmenge und Komplement Arten der Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsnotation Marginale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit der Vereinigung Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge Komplementäre Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden Die Komplementärregel Die Multiplikationsregel Die Additionsregel Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prüfen Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse nutzen Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen Einander ausschließende Ereignisse erkennen Die Additionsregel mit einander ausschließenden Ereignissen vereinfachen Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden Ein Vergleich von Unabhängigkeit und Ausschließlichkeit Die Unabhängigkeit oder Ausschließlichkeit in einem Kartenspiel mit 52 Karten prüfen Kapitel 13 Wahrscheinlichkeit visualisieren: Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem 279 279 281 281 283 284 284 285 286 286 286 287 289 290 291 292 292 293 294 294 295 296 296 296 297 299 Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren Mit Venn-Diagrammen nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten ermitteln Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und visualisieren 300 300 301 19 Wirtschaftsmathematik für Dummies Umwandlungsregeln für Mengen in Venn-Diagrammen Die Grenzen von Venn-Diagrammen Wahrscheinlichkeiten für komplexe Aufgaben mit Venn-Diagrammen ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen Mehrstufige Ereignisse mit einem Baumdiagramm visualisieren Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm visualisieren Die Grenzen der Baumdiagramme Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse ermitteln Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem Eine marginale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnen Kapitel 14 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen Was ist eine Zufallsvariable? Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden Die kumulative Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden Die kumulative Verteilungsfunktion interpretieren Die kumulative Verteilungsfunktion grafisch darstellen Wahrscheinlichkeiten mit der kumulativen Verteilungsfunktion ermitteln Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion aus der kumulativen Verteilungsfunktion ableiten Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen Den Erwartungswert von X berechnen Die Varianz von X berechnen Die Standardabweichung von X berechnen Kapitel 15 Die Normalverteilung Die Grundlagen der Normalverteilung Quantile und Perzentile Form, Mittelpunkt und Spreizung der Normalverteilung Die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) Wahrscheinlichkeiten für eine Normalverteilung berechnen und anwenden Den Graphen zeichnen Eine Aufgabe in die Wahrscheinlichkeitsnotation übersetzen Die Z-Formel anwenden Mit der Z-Tabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln 20 303 304 305 307 308 310 313 314 316 316 320 325 325 325 327 332 333 333 334 336 338 338 340 341 343 343 344 345 346 349 350 350 351 352 Inhaltsverzeichnis Aufgaben zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung Analyse einer Aufgabe zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung Die Z-Tabelle rückwärts lesen Die Z-Formel nach X auflösen, um X-Einheiten zu berechnen 357 358 360 362 Kapitel 16 Bestimmte Verteilungen 365 Diskrete Verteilungen Die diskrete Gleichverteilung Binomialverteilung Poissonverteilung Stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Die kumulative Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung 365 366 368 372 375 376 379 380 Kapitel 17 Der Zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen 383 Der Zentrale Grenzwertsatz Das Hauptergebnis des Zentralen Grenzwertsatzes Warum der Zentrale Grenzwertsatz funktioniert Das Gesetz der großen Zahlen Wer will wieder Würfel werfen? 383 383 384 387 388 Teil V Finanzmathematik 389 Kapitel 18 Zinsrechnung 391 Die Zinsrechnung – aller guten Dinge sind drei Die Zinsen Das Kapital Die Laufzeit Verzinsungsmodelle Lineare Verzinsung Zinseszinsrechnung – verzins mir die Zinsen! Aus Eins mach Vier: Eine Formel und vier Probleme Die Frage nach dem Endkapital Die Frage nach dem Zinssatz Die Frage nach der Laufzeit Die Frage nach dem Anfangskapital Die vier Fragen in der linearen Verzinsung Den Barwert des Kapitals berechnen Die unterjährige Verzinsung – kein Untergang 391 391 392 392 393 393 394 396 397 397 398 398 399 400 402 21 Wirtschaftsmathematik für Dummies Effektiver und nomineller Zinssatz Gemischte Verzinsung Variable Verzinsung Stetige Verzinsung Kapitel 19 Rentenrechnung Rentenzahlungen Vor- und nachschüssige Rente Vorschüssige Rentenrechnung Nachschüssige Rentenrechnung Vergleich von vorschüssiger und nachschüssiger Rente Aus Eins mach Vier (II): Eine Formel und vier Probleme Die Frage nach dem Endkapital Die Frage nach dem Anfangskapital Die Frage nach der Höhe der Rente Die Frage nach der Laufzeit Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode Unterjährige Rente mit jährlicher Zinsverrechnung Jährliche Rente mit unterjähriger Zinsverrechnung Alle Dagobert Ducks aufgepasst! Kapitalaufbau und Kapitalverzehr Kapitalaufbau: Die Sparerformel Kapitalverzehr Wachsende Renten Arithmetisch veränderliche Rente Geometrisch veränderliche Rente Bis zum bitteren Ende: Ewige Renten Barwert bei ewig gleich bleibender nachschüssiger Rente Barwert bei ewig gleich bleibender vorschüssiger Rente Kapitel 20 Tilgungsrechnung Tilgungsrechnung – Die Zerlegung des Darlehens Die Bausteine der Tilgungsrechnung Tilgungsplan Tilgungsarten Ratentilgung Berechnung einzelner Tilgungselemente ohne gesamten Tilgungsplan Annuitätentilgung Direkte Berechnung einzelner Tilgungsbausteine Die Länge des Darlehens 22 403 405 407 408 411 411 412 412 413 414 416 416 416 417 418 418 419 422 423 423 424 425 426 428 429 430 431 433 433 434 435 435 436 438 440 443 445 Inhaltsverzeichnis Kapitel 21 Kurs- und Renditenrechnung 447 Wertpapierhandel Gestatten – Mein Name ist Bond Kurs und Rendite einer Anleihe Berechnung von Anleihen Kursermittlung Renditeermittlung Zero-Bond Aktienhandel Einfache versus logarithmische Rendite 447 448 449 450 452 453 455 455 Kapitel 22 Investitionsrechnung 457 Zahlungsströme bestimmen Höhe des Kalkulationszinssatzes Kapitalwertmethode Beurteilung der Rentabilität mit der Kapitalwertmethode Interner Zinssatz Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition Amortisationsdauer 457 459 460 462 464 465 466 Teil VI Der Top-Ten-Teil 469 Kapitel 23 Zehn Schritte beim Lösen von Textaufgaben 471 Ein Bild zeichnen Eine Liste erstellen Variablen für Zahlen wählen Wörter in Zeichen übersetzen Den letzten Satz beachten Eine Formel finden Mit Ersetzungen vereinfachen Eine Gleichung lösen Den Sinn prüfen Die Genauigkeit kontrollieren 471 471 471 472 472 472 473 473 473 473 Kapitel 24 Zehn Dinge, mit denen Sie in der Prüfung nicht durchkommen 475 Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf 475 475 475 23 Wirtschaftsmathematik für Dummies Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben Machen Sie Ihre Lerngruppe für Ihre schlechten Noten verantwortlich Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie eine gute Note in Wirtschaftsmathematik brauchen, um Ihre Flamme zu beeindrucken Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind, weil Sie ein Morgenmuffel sind Stellen Sie das gesamte Notensystem infrage Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus Verwenden Sie dieses Buch als Entschuldigung Stichwortverzeichnis 476 476 476 476 476 477 477 479
