Word Pro - 11geo-01 Koordinatensysteme - minus-p

Sportgymnasium Dresden
Geometrie: Vektoren, Geraden, Ebenenen
Darstellung geometrischer Objekte und Koordinatensysteme
Das Koordinatensystem im 3-dimensionalen Raum ist untergliedert in 8 Oktanten,
die durch die 3 Koordinatenebenen begrenzt werden.
Für die Lage von Punkten in den 8 Oktanten gilt, dass die Koordinaten
unterschiedliche Vorzeichen besitzen.
Die 8 Oktanten:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
x
+
−
−
+
+
−
−
+
y
+
+
−
−
+
+
−
−
z
+
+
+
+
−
−
−
−
Hinweise: Die ersten vier Oktanten stimmen (bis auf z) mit den vier Quadranten im
2-dimensionalen Koordinatensystem überein. Die ersten 4 Oktanten liegen über der
x-y-Ebene. Die anderen 4 Oktanten unter der x-y-Ebene, wobei der 5. Oktant unter
dem 1. Oktanten liegt usw.
Für die 3 Koordinatenebenen gilt:
x-y-Ebene:
y-z-Ebene:
x-z-Ebene:
z=0
x=0
y=0
Bemerkung: Ein Punkt liegt entweder in einer Koordinatenebene oder in einem
Oktanten. 2 Koordinatenebenen besitzen jeweils eine gemeinsame Achse.
Insofern kann ein Punkt in 2 Koordinatenebenen (sogar in 3) liegen, aber niemals
in mehreren Oktanten.
Für die Koordinatenachsen gilt:
x-Achse:
y-Achse:
z-Achse:
y = 0 und z = 0
x = 0 und z = 0
x = 0 und y = 0.
Zusatzinformation: In höher dimensionalen Räumen spricht man von Orthanten,
insofern sind Quadranten und Oktanten spezielle Orthanten. Die Orthanten werden
durch die sogenannten Hyperebenen getrennt.
Darstellungen von Punkten im Normalbild
Sie kennen bereits das Schrägbild. Dort bilden die x-Achse und die y-Achse einen
Winkel von 135°. Die x-Achse wird verkürzt dargestellt (50 %).
Die Abbildung jedes Punktes erhält man, indem seine Koordinaten X, Y, Z (bzw. in
der Möbelindustrie Breite, Tiefe, Höhe) vom Achsenkreuz aus aufgetragen und
parallel zur jeweiligen Achse gezeichnet werden.
Um einen guten räumlichen Eindruck zu erzielen, haben sich zwei Winkel- bzw.
Maßstabsverhältnisse besonders bewährt:
die Isometrie mit Achsenmaßstab 1 : 1 : 1 und Winkeln von 30°/30°
die Dimetrie mit Achsenmaßstab 1 : 0,5 : 1 und Winkeln von 7°/42°.
die Trimetrie mit drei verschiedenen Maßstäben 9:10, 1:2, 1:1 und Winkeln von
5°/18°
Wenn die y-Achse stattdessen mit dem Anstieg -0,25 gezeichnet wird, erhält man
das Darstellung, die der Dimetrie sehr ähnlich ist. Wir wollen es „Normalbild”
nennen. Es hat den Vorteil, dass die Darstellung realistischer ist.
Wenn Sie aber gern das Schrägbild verwenden möchten, ist das auch zureichend.
Beispiele:
Der Punkt A liegt in der x-z-Ebene.
Der Punkt B liegt im 2. Oktanten.
Der Punkt C liegt auf der z-Achse.
Der Punkt D liegt im 7. Oktanten.
Hinweis: Die Darstellung eines Punktes ist nicht eindeutig. Die Punkte A und D
liegen in der Darstellung scheinbar aufeinander, sie sind aber nicht identisch.
z
B(-2|1|0,75)
1
A(3|0|1)
1
1
D(-1|-2|-1,5)
y
C(0|0|-1,5)
x