Vorbemerkungen

Vorbemerkungen
Zahlenmengen
Mit N bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge N enthält die Zahl
1 und mit jeder Zahl n auch die Zahl n + 1, d.h. N = {1, 2, 3, . . . }. Die Zahl 0 ist in der
Menge N nicht enthalten. Wir definieren daher die Menge N0 := N ∪ {0}.
Mit Z bezeichnen wir die Menge der ganzen Zahlen, mit Q die Menge der rationalen
Zahlen und mit R die Menge der reellen Zahlen. Mit C bezeichnen wir schließlich die
Menge der komplexen Zahlen. Für jede komplexe Zahl z ∈ C existieren zwei eindeutig
bestimmte reelle Zahlen x = ℜ(z) ∈ R und y = ℑ(z) ∈ R, so dass z = x + yi gilt, wobei i
die imaginäre Einheit bezeichnet. Die imaginäre Einheit erfüllt die Gleichung i2 = −1.
In den folgenden Kapiteln verwenden wir das Symbol K als Platzhalter für R oder C.
Der Ausdruck α ∈ K besagt also, dass α entweder eine reelle oder eine komplexe Zahl ist.
Betrags- und Signumfunktion
Die reelle Betragsfunktion R → R, x 7→ |x| ist durch
(
x falls x ≥ 0,
|x| :=
−x falls x < 0
für alle x ∈ R definiert.
Ist x ∈ R eine reelle Zahl, so heißt |x| der Betrag von x. Man kann
√
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zeigen, dass |x| = x für alle x ∈ R gilt.
Die Signum- oder Vorzeichenfunktion sgn : R → R ist durch


 1 falls x > 0,
sgn(x) :=
0 falls x = 0,


−1 falls x < 0
für alle x ∈ R definiert. Ist x ∈ R eine reelle Zahl, so heißt sgn(x) das Vorzeichen von x.
Für jede reelle Zahl x ∈ R gilt x = sgn(x)|x|.
Die komplexe Betragsfunktion C → R, z 7→ |z| ist durch
p
|z| := ℜ(z)2 + ℑ(z)2
für alle z ∈ C definiert.
Man rechnet leicht nach, dass für jede komplexe Zahl z ∈ C die
√
Identität |z| = zz gilt, wobei z := ℜ(z) − ℑ(z)i die konjugierte komplexe Zahl zu z
bezeichnet.
Intervalle
Seien a, b ∈ R zwei reelle Zahlen. Dann nennt man die Mengen
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b},
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b},
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b},
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b},
(−∞, b) := {x ∈ R | x < b},
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(−∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b},
(a, ∞) := {x ∈ R | a < x},
[a, ∞) := {x ∈ R | a ≤ x}
(reelle) Intervalle. Insbesondere wird die Menge (a, b) ein offenes Intervall und die Menge
[a, b] ein abgeschlossenes Intervall genannt. Die Intervalle (a, b), (a, b] und [a, b) sind genau
dann nichtleere Mengen, wenn a < b gilt. Ein abgeschlossenes Intervall [a, b] ist genau
dann nichtleer, wenn a ≤ b gilt. Im Fall a = b gilt [a, b] := {a}. Die Zahlen a und b werden
auch als Intervallgrenzen bezeichnet. Gelegentlich wird auch die Menge der reellen Zahlen
R durch (−∞, ∞) als Intervall dargestellt.
Vektoren und Matrizen
Ist n ∈ N eine natürliche Zahl und x ∈ Kn ein Vektor, dann bezeichnen wir mit xi oder mit
(x)i die i-te Komponente von x, wobei i ∈ {1, 2, . . . , n} gelte. Es gilt also ganz allgemein
 
x1
 x2 
 
x =  . .
 .. 
xn
Für einen Vektor x mit den Komponenten x1 , x2 , . . . , xn wählen wir gelegentlich auch die
etwas kompaktere Darstellung (x1 , x2 , . . . , xn )T .
Sind m ∈ N und n ∈ N zwei natürliche Zahlen, und ist A ∈ Km×n eine Matrix mit m
Zeilen und n Spalten über K, dann bezeichnen wir mit Aij oder (A)ij die Komponente in
der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von A, wobei i ∈ {1, 2, . . . , m} und j ∈ {1, 2, . . . , n}
gelte. Es gilt also ganz allgemein


A11 A12 . . . A1n
 A21 A22 . . . A2n 


A= .
..
..  .
 ..
.
. 
Am1 Am2 . . . Amn
Mit AT bezeichnen wir die transponierte Matrix zu einer Matrix A ∈ Rm×n . Es gilt dann
AT ∈ Rn×m und (AT )ij = Aji für alle i = 1, 2, . . . , n und alle j = 1, 2, . . . , m.
Vektorwertige Funktionen
Sei X eine nichtleere Menge und m ∈ N eine natürliche Zahl. Dann heißt eine Funktion
f : X → Km eine vektorwertige Funktion. Für jeden Index i ∈ {1, 2, . . . , m} bezeichnen
wir dann mit fi oder (f )i die i-te Komponente von f . Die i-te Komponente von f ist dabei
die Funktion fi : X → K, welche durch fi (x) := (f (x))i für alle x ∈ X definiert ist. Man
betrachte hierzu folgendes Beispiel: Die vektorwertige Funktion γ : [0, 2π] → R2 sei durch
cos(t)
γ(t) :=
sin(t)
für alle t ∈ [0, 2π] definiert. Die beiden Komponenten γ1 : [0, 2π] → R und γ2 : [0, 2π] → R
sind dann durch γ1 (t) = cos(t) und γ2 (t) = sin(t) für alle t ∈ [0, 2π] gegeben.
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Gruppen
Sei G eine nichtleere Menge. Unter einer Verknüpfung auf G versteht man eine Funktion
G × G → G, (g, h) 7→ g ∗ h, welche man mit ∗ bezeichnet. Ein Element e ∈ G heißt
neutrales Element bezüglich ∗, wenn g ∗ e = e ∗ g = g für alle g ∈ G gilt. Sind ferner g ∈ G
und h ∈ G zwei Elemente für die g ∗ h = h ∗ g = e gilt, so heißt h das inverse Element
zu g bezüglich ∗. Man bezeichnet das Element h dann mit g −1 . Die Verknüpfung ∗ wird
assoziativ genannt, wenn (g ∗ h) ∗ i = g ∗ (h ∗ i) für alle g, h, i ∈ G gilt. Falls g ∗ h = h ∗ g
für alle g, h ∈ G gilt, nennt man die Verknüpfung kommutativ.
Eine nichtleere Menge G wird eine Gruppe bezüglich einer Verknüfung ∗ auf G genannt, wenn die Verknüpfung ∗ assoziativ ist, wenn ein neutrales Element bezüglich der
Verknüpfung ∗ existiert, und wenn für jedes Element von G ein inverses Element bezüglich
der Verknüpfung ∗ existiert. Ist die Verknüpfung ∗ zusätzlich kommutativ, so spricht man
von einer kommutativen Gruppe.
Die Mengen Z, Q, R und C sind beispielsweise kommutative Gruppen bezüglich der
Addition. Das neutrale Element ist dabei die Zahl 0, und zu jeder Zahl z ist −z das inverse
Element. Für jede natürliche Zahl n ∈ N mit n ≥ 2 ist die Menge der regulären (n × n)Matrizen über R eine nichtkommutative Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation. Das
neutrale Element ist hierbei die n-zeilige Einheitsmatrix 1n . Das zu einer regulären Matrix
A ∈ Rn×n inverse Element ist die so genannte inverse Matrix A−1 .
Körper
Sei K eine Menge, auf der zwei Verknüpfungen K × K → K, (k, l) 7→ k ⊕ l und K × K →
K, (k, l) 7→ k ⊙ l definiert sind, so dass K und K \ {0} kommutative Gruppen bezüglich
⊕ bzw. ⊙ sind. Hierbei bezeichne 0 das neutrale Element bezüglich der Verknüpfung ⊕.
Die Menge K wird ein Körper bezüglich ⊕ und ⊙ genannt, wenn außerdem k ⊙ (l ⊕ m) =
(k ⊙ l) ⊕ (k ⊙ m) für alle k, l, m ∈ K gilt. Die Verknüpfung ⊕ nennt man üblicherweise die
Addition auf K, und die Verknüpfung ⊙ nennt man die Multiplikation auf K.
Die Mengen Q, R und C sind Körper bezüglich der gewöhnlichen Addition + und der
gewöhnlichen Multiplikation · .
Vektorräume
Sei K ein Körper. Eine nichtleere Menge V heißt ein Vektorraum über K, wenn zwei
Verknüpfungen V × V → V, (v, w) 7→ v + w und K × V → V, (α, v) 7→ α · v existieren, so
dass V bezüglich der Verknüpfung + eine kommutative Gruppe ist, und sowohl α·(v+w) =
(α · v) + (α · w) als auch α · (β · v) = (αβ) · v für alle v, w ∈ V und alle α, β ∈ K gilt.
Die Verknüpfung + nennt man dann die Addition oder Vektoraddition auf V , und die
Verknüpfung · nennt man die skalare Multiplikation auf V . Die Elemente von V werden
ganz allgemein als Vektoren bezeichnet. Die Elemente des Körpers K nennt man auch
Skalare. Eine Menge U ⊆ V wird Untervektorraum von V genannt, wenn U selbst ein
Vektorraum ist.
Man nennt eine endliche Anzahl von Vektoren v1 , v2 , . . . , vn ∈ V linear unabhängig,
wenn für alle α1 , α2 , . . . , αn ∈ K aus α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 stets α1 = α2 = · · · =
αn = 0 folgt. Andernfalls werden die Vektoren linear abhängig genannt.
Eine Menge linear unabhängiger Vektoren {v1 , v2 , . . . , vn } wird eine Basis von V genannt, wenn für jeden Vektor v ∈ V eindeutig bestimmte Skalare α1 , α2 , . . . , αn ∈ K
existieren, so dass v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn gilt. Existiert für einen Vektorraum V eine
solche Basis {v1 , v2 , . . . , vn }, so heißt der Vektorraum endlichdimensional. Die natürliche
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Zahl n ∈ N nennt man dann auch die Dimension von V , und bezeichnet sie mit dim(V ).
Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n wird auch n-dimensional genannt.
Für jede natürliche Zahl n ∈ N ist die Menge Rn ein n-dimensionaler Vektorraum
über R. Die Menge Cn ist ein n-dimensionaler Vektorraum über C. Jeweils zwei Vektoren
x, y ∈ Kn sind genau dann linear abhängig, wenn ein α ∈ K existiert, so dass y = αx gilt.
Lineare Funktionen
Seien V und W zwei Vektorräume über demselben Körper K. Eine Funktion f : V → W
wird linear genannt, wenn f (v+w) = f (v)+f (w) und f (αv) = αf (v) für alle v, w ∈ V und
alle α ∈ K gilt. Das Bild Bild(f ) := {w ∈ W | ∃v ∈ V : f (v) = w} einer linearen Funktion
f : V → W ist ein Untervektorraum von W , und der Kern Kern(f ) := {v ∈ V | f (v) = 0}
ist ein Untervektorraum von V . Sind die Vektorräume V und W endlichdimensional, so
gilt darüber hinaus die Gleichung dim(Bild(f )) + dim(Kern(f )) = dim(V ). Eine lineare
Funktion f ist genau dann injektiv, wenn Kern(f ) = {0} gilt.
Für je zwei natürliche Zahlen m ∈ N und n ∈ N ist eine Funktion f : Rn → Rm genau
dann linear, wenn eine Matrix A ∈ Rm×n existiert, so dass f (x) = Ax für alle x ∈ Rn gilt.
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Sei X eine nichtleere Menge. Unter einer (zweistelligen) Relation auf X versteht man eine
Teilmenge R von X × X. Sind x, y ∈ X zwei Elemente, für die (x, y) ∈ R gilt, so sagt
man, dass zwischen x und y die Relation R besteht und schreibt x R y. Eine Relation
R auf X wird reflexiv genannt, wenn x R x für alle x ∈ X gilt. Die Relation R heißt
symmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X aus x R y stets auch y R x folgt. Die Relation heißt
antisymmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X aus x R y und y R x stets x = y folgt. Schließlich
wird eine Relation R auf X transitiv genannt, wenn für alle x, y, z ∈ X aus x R y und
y R z stets auch x R z folgt.
Eine Relation reflexive, symmetrische und transitive Relation heißt Äquivalenzrelation.
Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge X, so nennt man für jedes
Element x ∈ X die Menge [x]∼ := {y ∈ X | x ∼ y} die Äquivalenzklasse von x bezüglich
∼. Die Menge aller Äquivalenzklassen wird die Faktormenge bezüglich ∼ genannt und mit
X/ ∼ bezeichnet.
Auf jeder nichtleeren Menge ist die Relation = ( ist gleich“) eine Äquivalenzrelation.
”
Die Relation k ( ist parallel zu“) ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Geraden
”
in R2 .
Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation heißt Ordnungsrelation. Eine
Ordnungsrelation auf einer nichtleeren Menge X wird Totalordnung genannt, wenn für
je zwei Elemente x, y ∈ X stets x y oder y x gilt.
Die Relation ≤ ( ist kleiner oder gleich“) ist eine Totalordnung auf N, Z, Q und R. Die
”
Relation ⊆ ( ist Teilmenge von“) ist eine Ordnungsrelation, jedoch keine Totalordnung auf
”
P(R), der Potenzmenge von R. Die Potenzmenge P(X) zu einer Menge X ist dabei als
die Menge aller Teilmengen von X definiert.
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