STOCHASTIK

matheⓈkript A
STOCHASTIK
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
STATISTIK
PFLICHT- und WAHLBEREICH
GRUNDLAGEN
12. – 13. Klasse
ABI 2015
© Jens Möller
Autor:
Jens Möller
88 696 Owingen
Tel. 07551-68289
[email protected]
2. erweiterte Auflage
Owingen 2014
Bestellung bei folgender Adresse
matheⓈkript
Simon Geiger
Sonnenhalde 6
88 699 Frickingen-Leustetten
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Email:
0700-53 87 83 88
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ACHTUNG
Der Pflichtteil muss ohne TR und ohne Formelsammlung bewältigt werden,
d.h. insbesondere elementare Bruchrechenregeln müssen beherrscht werden.
STOCHASTIK
IM ÜBERBLICK
STOCHASTIK
STATISTIK und WAHRSCHEINLICHKEIT
EREIGNIS
GEGENEREIGNIS
Null-Hypothese
ZIEHEN mit Zurücklegen
Baumdiagramme
Alternativ-Hypothese
ZIEHEN ohne Zurücklegen
rechtsseitiger TEST
ERWARTUNGSWERT
Hypothesentest
linksseitiger TEST
Ablehnungsbereich
Annahmebereich
Bernoulli-Experiment
Irrtumswahrscheinlichkeit
Bernoulli-Kette
Binominalverteilung
Bernoulli-Formel
ERWARTUNGSWERT
Fehler 1. Art
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
LAPLACE-EXPERIMENTE
sind Zufallsexperimente, bei denen alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs gleichwahrscheinlich sind.
BEISPIELE
Würfeln, Münzwurf, Glücksrad mit gleich großen Sektoren etc.
GEGENBEISPIELE
Reißnagel werfen, Pferderennen, Fußballspiele etc.
KLASSISCHE WAHRSCHEINLICHKEITSDEFINITION
E
 Ereignis oder Experiment
P
 Wahrscheinlichkeit
günstige Fälle
PE 
mögliche Fälle
ELEMENTARE REGELN
0  PE  1
E  Ereignis
PE  0
E  unmögliches Ereignis
PE  1
E  sicheres Ereignis
 
PE  P E  1
E  Gegenereignis
P  A und B   P  A   P  B 
P  A oder B   P  A   P  B 
 
PE  1 P E
1 1 1
P  eine 5 würfeln und eine 2 würfeln    
6 6 36
1 1 2 1
P  eine 5 würfeln oder eine 2 würfeln     
6 6 6 3
1 5
P  keine 5 würfeln   1  
6 6
KOMBINATORIK
n!  1  2  3  ....  n
Anzahl der Permutationen (Vertauschungen ) von n Elementen
n!
Permutationen mit Wiederholungen
p1 !  p2 !
n
n!
 
 k  k !   n  k !
sprich : n über k
Beispiele :
Anzahl der Kombinationen ( Auswahl ) von k Elementen aus n Elementen
7  7  6  5
 10  10  9
 8  8 7  6  5
 35 ;   
 45 ;   
 70
 
 3  1 2  3
 2  1 2
 4  1 2  3  4
-1-
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
GLÜCKSRAD
4
Bei einem Glücksrad sind 90° mit der Zahl 1
1
belegt, 60° mit der Zahl 2, 180° mit der Zahl 3
und der Rest mit der Zahl 4.
3
2
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten.
P  1 
90 1
60 1
180 1
30
1

; P 2 

; P  3 

; P 4 

360 4
360 6
360 2
360 12
BESONDERE EREIGNISSE, Signalworte
mindestens 2  2 oder 3 oder 4 = alle außer 1
P  mindestens 2   P  2   P  3   P  4   1  P  1
1 1 1 2  6 1 9 3
  
 
6 2 12
12
12 4
1 3
P  mindestens 2   1  P  1  1  
über das Gegenereignis
4 4
P  mindestens 2  
höchstens 3  1 oder 2 oder 3 = alle außer 4
P  höchstens 3   P  1  P  2   P  3   1  P  4 
1 1 1 3  2  6 11
  

4 6 2
12
12
1 11
P  höchstens 3   1  P  4   1  
über das Gegenereignis
12 12
P  höchstens 3  
weniger als 3  1 oder 2 = alle unter 3
P  weniger als 3   P  1  P  2 
P  weniger als 3  
1 1 3 2 5
 

4 6
12
12
mehr als 2  3 oder 4  alle oberhalb von 2
P  mehr als 2   P  3   P  4 
P  mehr als 2  
1 1 6 1 7
 

2 12 12 12
-2-
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE
URNE
mit Zurücklegen
Gegeben ist eine Urne mit 4 grünen und 6 blauen Kugeln, insgesamt sind es 10 Kugeln.
Wird eine Kugel gezogen, so soll diese anschließend wieder zurückgelegt werden, so dass bei
jeder weiteren Entnahme wieder 10 Kugeln im Gefäß sind.
Das hat zur Folge,
dass die Wahrscheinlichkeiten bei der 1. und der 2. Entnahme gleich bleiben.
RECHENBEISPIELE
4 4 16
4
 

10 10 100 25
4 6
24
6

P  grün / blau    
10 10 100 25
P  grün / grün  
P  mindestens einmal grün   P  gr / bl   P  bl / gr   P  gr / gr  
6
6
4 16
 

25 25 25 25
oder mit dem Gegenereignis rechnen
P  mindestens einmal grün   1  P  bl / bl   1 
36
9 16
 1

100
25 25
BAUMDIAGRAMM
4
6
10
10
gr
4
6
4
10
10
10
gr
gr
bl
-3-
bl
6
10
bl
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
URNE
ohne Zurücklegen
Gegeben ist dieselbe Urne mit 4 grünen und 6 blauen Kugeln.
Wird eine Kugel gezogen, so soll diese anschließend nicht wieder zurückgelegt werden, so
dass sich bei jeder weiteren Entnahme eine Kugel weniger im Gefäß befindet.
Das hat zur Folge,
dass sich die Wahrscheinlichkeiten bei der 2. Entnahme ändern.
RECHENBEISPIELE
4 3 2 1 2
   
10 9 5 3 15
4 6 2 2 4
P  grün / blau      
10 9 5 3 15
6 4 3 4 4
P  blau / grün      
10 9 5 9 15
6 5 3 5 5 1
P  blau / blau       
10 9 5 9 15 3
P  grün / grün  
P  mindestens einmal grün   P  gr / bl   P  bl / gr   P  gr / gr  
4 4 2 10 2
   
15 15 15 15 3
oder mit dem Gegenereignis rechnen
1 2
P  mindestens einmal grün   1  P  bl / bl   1  
3 3
BAUMDIAGRAMM
4
6
10
10
gr
3
6
4
9
9
9
gr
gr
bl
-4-
bl
5
9
bl
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
RECHNEN MIT DEM GEGENEREIGNIS
P  E   1  P  nicht E 
NOTENGEBUNG
Studienrat Mildemann praktiziert folgende Art der Notenfindung:
Er würfelt 3-mal und nimmt die kleinste der Augenzahlen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erteilt er die Note 1 ?
5/6
1/6
1
1
1/6
1. Wurf
5/6
1
1
1/6
1
2. Wurf
5/6
1
3. Wurf
RECHNUNG
5 5 5 125
P  keine 1 würfeln     
 58%
6 6 6 216
125 91
P  eine 1 würfeln   1  P  keine 1  1 

 42%
216 216
oder
1 5 1 5 5 1 36  30  25 91
P  eine 1 würfeln   +  +   =

 42%
6 6 6 6 6 6
216
216
ANMERKUNG
Es geht bei dem Prozess darum, bei dreimal Würfeln überhaupt eine 1 zu erhalten, wobei
diese beim 1. oder 2. oder 3. Wurf zum ersten Mal auftreten kann.
-5-
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
DREI JÄGER
Drei Jäger schießen auf einen Hasen.
Der erste trifft mit der Wahrscheinlichkeit 1/3, der zweite mit der Wahrscheinlichkeit 1/4, der
dritte mit der Wahrscheinlichkeit 1/5.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Hase getroffen?
2/3
1/3
T
T
1/4
1. Jäger
3/4
T
T
1/5
T
RECHNUNG
2. Jäger
4/5
T
3. Jäger
2 3 4 2
P  nicht getroffen       40%
3 4 5 5
2 3
P  getroffen   1    60%
5 5
oder
1 2 1 2 3 1 20  10  6 36 6
P  getroffen        

  60%
3 3 4 3 4 5
60
60 10
oder
1 3 1 3 2 1 15  15  6 36 6
P  getroffen        

  60%
4 4 3 4 3 5
60
60 10
oder
1 4 1 4 2 1 12  16  8 36 6
P  getroffen        

  60%
5 5 3 5 3 4
60
60 10
ANMERKUNG
Offensichtlich spielt die Reihenfolge, mit der die Jäger schießen, keine Rolle. Die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden, ist jedes Mal 60%, während die Wahrscheinlichkeit zu
überleben 40% beträgt. Man kann auch sagen: Von 100 Hasen überleben 40% die Schießerei.
-6-
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
GEBURTSTAGSPROBLEM
Ein Klassiker unter den Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das sogenannte Geburtstagsproblem. Es sind beispielsweise 30 Personen in einem Raum versammelt. Jemand
stellt die Geburtstage der Personen fest.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
Alle Geburtstage werden in einem Kalender markiert. Das führt zu folgendem
GEBURTSTAGSBAUM
frei  nicht belegter
Platz im Kalender
365
0
365
365
frei
1. Geburtstag
2. Geburtstag
3. Geburtstag
4. Geburtstag
5. Geburtstag
-7-
belegt
364
1
365
365
frei
belegt
363
2
365
365
frei
belegt
362
3
365
365
frei
belegt
361
4
365
365
frei
belegt
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
RECHNUNG
Bei 30 Personen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Tag doppelt belegt ist:
P (kein Tag ist doppelt belegt ) =
365 364 363 362
336
⋅
⋅
⋅
⋅ .........⋅
= 0, 294 = 29, 4%
365 365 365 365
365
Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Tag doppelt belegt ist:
P (mindestens 1 Tag ist doppelt belegt ) = 1 - P (kein Tag ist doppelt belegt )
P (mindestens 1 Tag ist doppelt belegt ) = 1- 0, 294 = 0, 706 = 70, 6%
ERGEBNIS
Bei 30 zufällig ausgewählten Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen
am gleichen Tag Geburtstag haben, 70,6%.
ERGEBNISSE FÜR VERSCHIEDENE PERSONENZAHLEN
Personen
p in %.
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
75
2, 7 11, 7 25,3 41,1 56,9 70, 6 81, 4 89,1 94,1 97 98,6 99, 4 » 100
ZUSATZFRAGE
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen mindestens eine mit mir zusammen Geburtstag hat.
30
Antwort:
æ 364 ö÷
p = 1- çç
= 1- 0,92 » 8%
çè 365 ÷÷ø
Im Vergleich zur ersten Fragestellung ist diese Wahrscheinlichkeit sehr gering.
AUFGABE
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von 5 zufällig ausgewählten Personen mindestens
zwei im selben Monat Geburtstag?
P (kein gemeinsamer Geburtstag) =
........
P (gemeinsamer Geburtstag) =
........
ERGEBNIS
62%
-8-
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
DIE BEIDEN PFADREGELN
Erste Pfadregel  Produktregel
Längs eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert .
Beispiel
P  zuerst grün und dann blau   P  grün   P  blau 
Zweite Pfadregel  Summenregel
Müssen mehrere Pfade berücksichtigt werden, so werden die Wahrscheinlichkeiten addiert .
Beispiel
P  gleiche Farben   P  grün / grün oder blau / blau   P  grün / grün   P  blau / blau 
BEISPIEL SCHÜTZE
Ein Schütze trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 87%.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer bei drei Versuchen.
BAUMDIAGRAMM
87 %
13 %
T
87 %
T
13 %
T
T
87 %
T
87 %
13 %
13 %
87 %
13 %
T
T
T
87 %
T
entlang eines Pfades,
multiplizieren
T
T
13 %
87 %
13 %
T
T
T
mehrere Pfade,
addieren


P  mindestens 2 Treffer   P T , T , T   3  P T , T , T  0,87 3  3  0,87 2  0,13  0,95
-9-
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ZOLLKONTROLLE
In einem Zugabteil befinden sich unter 9 Personen 4 Schmuggler. Ein Zollbeamter wählt 3
Personen zur Kontrolle aus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Schmuggler zu erwischen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 Schmuggler zu erwischen?
ERGEBNIS
(siehe folgende Seite)
KLASSENFAHRT
Bei einer Klassenfahrt sollen nach dem Abendessen in der Jugendherberge vom 5-köpfigen
Küchendienst zwei Personen spülen.
Zur Verfügung stehen 2 Mädchen (M), 2 Jungen (J) und 1 Lehrer (L).
Jeder wirft einen Zettel mit seinem Namen in einen Topf. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit spülen
a) zwei Mädchen,
b) zwei männliche Personen?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Lehrer spülen?
Zunächst zeichne ein geeignetes Baumdiagramm.
BAUMDIAGRAMM
(2 M / 2 J / 1 L)
2
2
1
5
5
5
J
(2 / 1 / 1)
M
(1 / 2 / 1)
L
(2 / 2 / 0)
1
2
1
2
1
1
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
M
J
L
M
J
- 10 -
L
M
J
1. Stufe
2. Stufe
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
EINZELEREIGNISSE
2 1 1
P  M / M      10%
5 4 10
2 1 2
P  M / J      20%
5 2 10
2 1 1
P  M / L      10%
5 4 10
usw. . . .
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
M /M
M /J
M /L J /M
J/J
10%
20%
10%
10% 10%
20%
J /L L/M
10%
L/ J
10%
ERGEBNISSE
a) P  zwei Mädchen   P  M / M   10%
b) P  zwei männliche Personen   P  J / L   P  L / J   P  J / J   10%  10%  10%  30%
c) P  Lehrer   P  M / L   P  J / L   P  L / M   P  L / J   10%  10%  10%  10%  40%
ERGEBNIS ZOLLKONTROLLE
P  drei Schmuggler  
4 3 2
1
 4,8%
  
9 8 7 21
P  mindestens ein Schmuggler   1  P  kein Schmuggler  
5 4 3
5 1 1
5 37
1    1    1

 88%
9 8 7
3 2 7
42 42
- 11 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ÜBUNGEN A
1.
EINMAL WÜRFELN
a)
P (eine 6 oder eine 1 werfen)
=
b)
P (keine 2 werfen)
=
c)
P (eine gerade Zahl werfen)
=
d)
P (eine Primzahl werfen)
=
e)
P (eine durch drei teilbare Zahl werfen)
=
f)
P (eine nicht gerade Primzahl werfen)
=
g)
P (eine von 2 verschiedene gerade Primzahl werfen)
=
2.
ZWEIMAL WÜRFELN
a)
P (zweimal eine gerade Zahl werfen)
=
b)
P (zweimal die Zahl 6 werfen)
=
c)
P (eine ungerade und eine gerade Zahl werfen)
=
d)
P (zweimal eine von 5 verschiedene Zahl werfen)
=
e)
P (mindestens eine ungerade Zahl werfen)
f)
P (die Summe der Augenzahlen soll höchstens 4 sein)
=
g)
P (zwei verschiedene Zahlen werfen)
=
h)
P (die Differenz der Zahlen soll 3 sein)
=
i)
P (höchstens einmal die Zahl 6 werfen)
j)
P (das Produkt der Augenzahlen soll kleiner als 10 sein)
3.
DREIMAL MÜNZE WERFEN
a)
P (dreimal die Ziffer werfen)
=
b)
P (höchstens zweimal die Ziffer werfen)
=
c)
P (weder 3-mal Ziffer noch 3-mal Wappen werfen)
=
d)
P (nicht genau zweimal dasselbe werfen)
=
4.
VIERMAL WÜRFELN
(mit Gegenw. rechnen)
(mit Gegenw. rechnen)
=
Ein WÜRFEL wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
keinmal (d.h. jedes Mal nicht) die Zahl 6 zu werfen?
- 12 -
=
=
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
5.
VIERMAL KUGEL ENTNEHMEN
In einer URNE liegen 4 verschieden gefärbte Kugeln. Es wird viermal eine Kugel heraus genommen und dann wieder zurück gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass man alle 4 Kugeln nacheinander herausgenommen hat (d.h. jede Kugel einmal herausgenommen wurde)?
LÖSUNGEN A
1.
EINMAL WÜRFELN
a)
P  eine 6 oder eine 1 werfen   P  6   P 1 
b)
P  keine 2 werfen  
c)
P  eine gerade Zahl werfen  
d)
P (eine Primzahl werfen) = P (2 oder 3 oder 5)
1/2
e)
P (eine durch drei teilbare Zahl werfen)
1/3
f)
P (eine nicht gerade Primzahl werfen) = P (3 oder 5)
1/3
g)
P (eine von 2 verschiedene gerade Primzahl werfen) (geht nicht)
2.
ZWEIMAL WÜRFELN
a)
3 3 1 1 1
P  zweimal eine gerade Zahl werfen   P  g / g      
6 6 2 2 4
1/4
b)
1 1 1
P  zweimal die Zahl 6 werfen   P  6 / 6    
6 6 36
1/36
c)
1 1 1 1 1 1 1
P  g / u   P u / g        
2 2 2 2 4 4 2
1/2
d)
5 5 25
P  zweimal eine von 5 verschiedene Zahl werfen    
6 6 36
25/36
e)
1 1
1 3
1 P  g / g   1   1 
2 2
4 4
3/4
f)
1 1 6
P 1/1  P 1/ 2   P 1/ 3  P  2 /1  P  2 / 2   P  3 /1  6   
6 6 36
1/6
g)
6 5 5
P  beliebige Zahl   P  andere Zahl    
6 6 6
5/6
1 1 2 1
  
6 6 6 3
5
6
1/3
5/6
3 1

6 2
1/2
- 13 -
0
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
h)
P  6 / 3  P  5 / 2   P  4 /1  P  3 / 6   P  2 / 5  P 1/ 4   6 
i)
1 1
1 35
1  P  6 / 6  1    1  
6 6
36 36
1
36
1/6
35/36
P 1/1  P 1/ 2   P 1/ 3  P 1/ 4   P 1/ 5   P 1/ 6   P  2 /1 
j)
P  2 / 2   P  2 / 3  P  2 / 4   ..etc..  P  6 /1 
(6  4  3  2  1  1)
36
17/36
3.
DREIMAL MÜNZE WERFEN
a)
1 1 1 1
P  dreimal die Ziffer werfen   P  Z / Z / Z     
2 2 2 8
1/8
b)
1 7
P  höchstens zweimal die Ziffer werfen   1  P  Z / Z / Z   1  
8 8
7/8
c)
1 1 6
1  P  Z / Z / Z   P W / W / W   1   
8 8 8
3/4
d)
4.
1 1 2 1
P  dreimal dasselbe werfen   P  Z / Z / Z   P W / W / W     
8 8 8 4
3
P  genau zweimal dasselbe werfen   1  P  dreimal dasselbe werfen  
4
3 1
P  nicht genau zweimal dasselbe werfen   1  
4 4
VIERMAL WÜRFELN
4
625
5
P  bei 4-mal Werfen keinmal die 6 werfen     
 48, 2%
 6  1296
5.
VIERMAL ZIEHEN
4 3 2 1 3
P  4 verschiedene Kugeln ziehen      
4 4 4 4 32
- 14 -
1/4
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ÜBUNGEN B
1.
ZWEI GEFÄSSE
In einem ersten GEFÄSS befinden sich eine weiße und drei schwarze, in einem zweiten
GEFÄSS zwei weiße und drei schwarze, sonst gleiche Kugeln. Aus jedem GEFÄSS
wird je eine Kugel genommen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a)
P (weiße Kugel und weiße Kugel)
=
b)
P (1. Kugel weiß, 2. Kugel schwarz)
=
c)
P (1. Kugel schwarz, 2. Kugel weiß)
=
d)
P (beide Kugeln schwarz)
=
e)
P (zwei gleiche Kugeln)
=
f)
P (zwei verschiedene Kugeln)
=
2.
KARTENSPIEL
Aus einem Kartenspiel von 32 Karten wird eine Karte gezogen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
EINE KARTE ZIEHEN
a)
P (Herzkönig)
=
b)
P (Herzkarte)
=
c)
P (As)
=
d)
P (kein König)
=
e)
P (eine Bildkarte)
=
f)
P (eine Zahl)
=
ZWEI KARTEN ZIEHEN (ohne Zurücklegen)
g)
P (zwei Asse)
=
h)
P (zwei rote Karten)
=
i)
P (zwei Kreuzkarten)
=
j)
P (zwei Bilder)
=
k)
P (Herzehepaar)
=
l)
P (Ehepaar)
=
m)
P (irgendein König, irgendeine Dame)
=
- 15 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
3.
ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN
In einem Kasten befinden sich zwei weiße und drei schwarze Kugeln. Zwei Kugeln
werden - ohne Zurücklegen - nacheinander entnommen.
Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a)
P (zwei weiße Kugeln) =
b)
P (zwei schwarze Kugeln) =
c)
P (zwei verschiedene Kugeln) =
(Kontrolle?)
DREI KUGELN ENTNEHMEN
d)
P (drei schwarze Kugeln) =
e)
P (zwei schwarze Kugeln) =
f)
P (eine schwarze Kugel) =
g)
Welche Fälle gibt es, wenn – ohne Zurücklegen – drei Kugeln genommen werden?
Erstelle ein BAUMDIAGRAMM.
4.
ZWEI KUGELN ENTNEHMEN
In einem Gefäß befinden sich sechs weiße, drei blaue und eine rote Kugel.
Zwei Kugeln werden – ohne Zurücklegen – entnommen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Fälle.
(Kontrolle?)
Erstelle ein BAUMDIAGRAMM.
LÖSUNGEN B
1.
2.
3.
a) 1/10
b) 3/20
c) 3/10
e) 11/20
f) 9/20
Σ=1
a) 1/32
b) 1/4
g) 3/248
h) 15/62
a) P  w / w  
d) 9/20
Σ=1
c) 1/8
d) 7/8
e) 3/8
f) 1/2
i) 7/124
j) 33/248
k) 1/496
l) 1/124
2 1 1
 
5 4 10
3 2 3
b) P  s / s    
5 4 10
c) P  verschiedene Kugeln   1 
4
6

10 10
- 16 -
Kontrolle: Σ = 1
m) 1/31
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
3 2 1 1
d) P  s / s / s     
5 4 3 10
2 3 2 6
e) P  w / s / s   P  s / w / s   P  s / s / w  3    
5 4 3 10
f) P  eine schwarze Kugel   1 
g)
w
1
4
7
3

10 10
2
3
5
5
3
2
4
4
s
w
s
2
4
s
w
1
2
1
2
2
1
3
3
3
3
3
3
3
s
w
s
w
s
w
s
3
 w / w / s    w / s / w   w / s / s    s / w / w   s / w / s    s / s / w   s / s / s 
4.
6
1
3
10
10
10
w
b
5
9
w
6
3
1
9
9
b
r
9
w
r
2
1
6
9
3
9
9
9
b
r
a) blau, blau 6/90
b) blau, rot 3/90
c) blau, weiß 18/90
d) weiß, blau 18/90
e) weiß, rot 6/90
f) weiß, weiß 30/90
g) rot, weiß 6/90
h) rot, blau 3/90
Σ=1
- 17 -
w
b
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ÜBUNGEN C
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten werden verdeckt zwei Karten gezogen
[mit Zurücklegen und Mischen]
P  Bauer / Bauer  
P  Bildkarte / Ass  
Urne A mit 3 weißen und 2 blauen Kugeln / Urne B mit 2 weißen und 4 blauen Kugeln
[Es wird zuerst eine Kugel aus A, dann eine aus B entnommen.]
P  weiß / weiß  
P  blau / blau  
P  weiß / blau  
Familienplanung
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie zunächst drei Mädchen und dann
ein Junge geboren werden (vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt
oder eine Mädchengeburt gleich groß sind)?
PM / M / M / J  
Aufgrund von Stichproben mit sehr großem Umfang weiß man, dass weltweit unter 1000
Neugeborenen 514 Jungen und 486 Mädchen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
in einer Familie mit drei Kindern alle drei Mädchen sind?
PM / M / M  
Klassengemeinschaft
In einer Klasse sind 30 Kinder, darunter 18 Jungen. Drei Kinder werden für den Klassendienst
ausgelost.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es drei Jungen?
PJ / J / J  
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es drei Mädchen?
PM / M / M  
Drei Jäger
Drei Jäger mit den Trefferwahrscheinlichkeiten
1
2
,
1
3
und
1
6
schießen gleichzeitig auf eine
Flasche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche getroffen?
P  getroffen  
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche genau einmal getroffen?
P  genau einmal getroffen  
- 18 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
LÖSUNGEN C
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten werden verdeckt zwei Karten gezogen
1 1 1
P  Bauer / Bauer    
8 8 64
3 1 3
P  Bildkarte / Ass    
8 8 64
Urne A mit 3 weißen und 2 blauen Kugeln / Urne B mit 2 weißen und 4 blauen Kugeln
3 2 1
P  weiß / weiß    
5 6 5
2 4 4
P  blau / blau    
5 6 15
3 4 2
P  weiß / blau    
5 6 5
Familienplanung
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie zunächst drei Mädchen und dann
ein Junge geboren werden (vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt
oder eine Mädchengeburt gleich groß sind)?
1 1 1 1 1
PM / M / M / J      
2 2 2 2 16
PM / M / M  
486 486 486


 0, 4863  11, 48%
1000 1000 1000
Klassengemeinschaft
In einer Klasse sind 30 Kinder, darunter 18 Jungen. Drei Kinder werden für den Klassendienst
ausgelost.
P J / J / J  
18 17 16
   20,1%
30 29 28
PM / M / M  
12 11 10
   5, 42%
30 29 28
Drei Jäger
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche getroffen?
1 2 5
5 13
P  getroffen   1  P  nicht getroffen   1     1    72, 2%
2 3 6
18 18
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche genau einmal getroffen?
1 2 5 1 1 5 1 2 1 10  5  2 17
P  genau einmal getroffen           

 47, 2%
2 3 6 2 3 6 2 3 6
36
36
- 19 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ÜBUNGEN D
1. Berechne für den zweifachen Wurf mit einem fairen Würfel die Wahrscheinlichkeit für die
folgenden Ereignisse:
a)
Im ersten Wurf fällt eine 6, im zweiten Wurf keine 6.
b)
In beiden Würfen fällt dieselbe Augenzahl.
c)
In beiden Würfen fallen verschiedene Augenzahlen.
d)
Im ersten Wurf fällt eine gerade, im zweiten eine ungerade Augenzahl.
e)
In beiden Würfen fällt eine gerade Zahl oder in beiden Würfen fällt eine ungerade Zahl.
f)
Es fällt höchstens eine 6.
g)
Es fällt mindestens eine 6.
2. Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 beschriftet
sind. Man dreht das Rad zweimal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Drehen eine größere Zahl als beim ersten
Drehen zu erreichen?
3. Bei einem Wurfspiel soll auf jede von drei Kreisscheiben ein Hartgummiball geworfen
werden. Da die Scheiben unterschiedlich groß sind, ist die Trefferwahrscheinlichkeit für jede
Scheibe verschieden. Norbert trifft die große Scheibe mit p = 2/3, die mittlere mit p = 1/2 und
die kleine mit p = 1/4. Er wirft zunächst auf die große, dann auf die mittlere und zuletzt auf
die kleine Scheibe. Bei einem Treffer notiert er 1, bei einem Fehlwurf 0. Die Ergebnisse sind
dann dreistellige Ziffernfolgen mit den Ziffern 0 oder 1.
(0/1/0) bedeutet z.B.: Scheibe 2 wurde getroffen, Scheibe 1 und Scheibe 3 nicht.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse mit der Pfadregel und stelle
fest, für welche Fälle die Wahrscheinlichkeit am größten ist.
4. Ein Flugzeug verfügt über zwei Möglichkeiten, im Landeanflug hydraulisch das Fahrwerk
auszufahren. Normalerweise wird das Fahrwerk über das Hydrauliksystem ausgefahren. Dieses System fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,001 während eines Fluges aus. Wird
durch einen Sensor der Ausfall des Hydrauliksystems gemeldet, so wird automatisch ein Nothydrauliksystem aktiviert. Dieses wiederum fällt nach der Aktivierung während eines Fluges
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass das Fahrwerk hydraulisch nicht ausgefahren werden kann?
- 20 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
LÖSUNGEN D
1.
a)
1 5 5
P  6   P  keine 6    
6 6 36
b)
P  zwei gleiche  
c)
P  zwei verschiedene   1 
d)
1 1 1
P  gerade / ungerade    
2 2 4
e)
P  g / g   P u / u  
f)
P  höchsten eine 6   1  P  6 / 6   1 
g)
P  mindestens eine 6   1  P 6 / 6  1 
6 1

36 6
6 5

36 6
1 1 1
 
4 4 2

1 35

36 36

25 11

36 36
P  E   P 1/ 2  3  4   P  2 / 3  4   P  3 / 4 
2.
1 3 1 2 1 1 6 3
PE        
4 4 4 4 4 4 16 8
3.
A
1
2
Es gibt
23  8
Pfade.
2
1
3
3
1
1
2
2
B
A
1
2
B
B
B
1
3
1
3
1
3
1
3
4
4
4
4
4
4
4
4
C
C
C
C
C
C
C
C
1 1 3 3
P  0 / 0 / 0    
3 2 4 24
1 1 1 1
P  0 / 0 /1    
3 2 4 24
1 1 3 3 1

P  0 /1/ 0     
3 2 4 24 8
1 1 1 1
P  0 /1/1    
3 2 4 24
2 1 3 6
P 1/ 0 / 0     
3 2 4 24
2 1 1 2
1

P 1/ 0 /1    
3 2 4 24 12
2 1 3 6
P 1/1/ 0     
3 2 4 24
2 1 1 2
P 1/1/1    
3 2 4 24
2 1 3 1
größter Wert bei : P 1/ 0 / 0   P 1/1/ 0     
3 2 4 4
4. P  Hydraulikversagen   0, 001  0, 01  0, 00 001 
- 21 -
1
100 000
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
SCHATZSUCHE
Goldschatz
Durchgang
Aus einem Kartespiel
falls
rote Karte
mit 32 Karten wird
Durchgang
falls
GELB
eine Karte gezogen
Ein Gefäß enthält 1 gelbe,
2 rote, 4 blaue Kugeln,
eine Kugel wird gewählt.
Durchgang
falls
gerade Zahl
Eine Würfel wird
1 - mal geworfen
Durchgang
falls
Bildkarte
Durchgang
falls
ROT
Durchgang
falls
1 oder 6
ANFANG
Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt; man gelangt zu einer Höhle, in der ein kostbarer
Schatz verborgen ist, auf zwei Wegen, die je durch 3 Tore führen. Beim 1. Tor wird mit einem Würfel geworfen. Beim 2. Tor wird aus einer Schale mit 1 gelben, 2 roten, 4 blauen Kugeln, eine gezogen; beim 3. Tor schließlich zieht man aus einem Spiel von 32 Karten eine
Karte.
Linker Weg:
Man gelangt zur Höhle, wenn man eine gerade Zahl würfelt, dann eine gelbe Kugel zieht und
schließlich eine rote Karte zieht.
Rechter Weg:
Man gelangt zur Höhle, falls man eine 1 oder 6 würfelt, dann eine rote Kugel zieht und
schließlich eine Bildkarte (König, Dame oder Bube) zieht.
Frage
Welcher Weg führt mit der größeren Wahrscheinlichkeit zum Schatz in der Höhle?
- 22 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
Rechnung
1 1 16 1 1 1 1
P  links    
   
2 7 32 2 7 2 28
1 2 12 1 2 3 1
P  rechts        
3 7 32 3 7 8 28
Ergebnis
Beide Wege führen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zum Ziel.
GLÜCKSRAD
4
Bei einem Glücksrad sind 90° mit der Zahl 1
1
belegt, 60° mit der Zahl 2, 180° mit der Zahl 3
und der Rest mit der Zahl 4.
3
2
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten.
P  1 
FRAGE
90 1
60 1
180 1
30
1




; P 2 
; P  3 
; P 4 
360 4
360 6
360 2
360 12
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei zweimaligem Drehen jedes
Mal eine gerade Zahl erhält?
ANTWORT
1 1 1 1 1 1 1 1 4  2  2 1 1
P  2 / 2   P  2 / 4  P  4 / 2  P  4 / 4         

6 6 6 12 12 6 12 12
144
16
- 23 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ZUFALLSVARIABLEN UND ERWARTUNGSWERTE
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die den Ereignissen E eines Zufallexperimentes
bestimmte Werte k zuordnet. Das findet häufig bei Glücksspielen Anwendung.
BEISPIEL GLÜCKSRAD (siehe vorherige Seite)
Wird das oben beschriebene Glücksrad gedreht, so können die folgenden
Ereignisse auftreten:
Zufallsvariable :
E = 1 ; 2 ; 3 ; 4 
X  Auszahlungen beim Glücksrad
ANMERKUNG
Ereignisse
Auszahlungen
E
1
X k
2
3
4
0 € 0 € 1€ 5 €
eigentlich müsste man
schreiben : X  E   k
Betrachtet man auch noch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, so erhält man:
Zufallsvariable :
Ereignisse
Auszahlungen
X  Auszahlungen beim Glücksrad
E
X k
Wahrscheinlichkeiten P  X  k 
1
2
3
4
0 € 0 € 1€ 5 €
1
1
1
1
4
6
2 12
Wenn man zuvor einen Einsatz von 1 € zahlen muss, dann ergibt sich eine andere Zufallsvariable Y für den Gewinn:
Zufallsvariable :
Ereignisse
Gewinne
Y  Gewinn beim Glücksrad
E
Y k
Wahrscheinlichkeiten P Y  k 
1
2
3
4
1 € 1 € 0 € 4 €
1
1
1
1
4
6
2 12
ERWARTUNGSWERT
Der Erwartungswert ist die Summe aller Werte, die zuvor mit den zugehörigen Wahrschein-
lichkeiten multipliziert worden sind:
E  X   k1  P  X  k1   k2  P  X  k2   . . . kn  P  X  kn 
ki  Einzelwerte ;
P  X  ki   Einzelwahrscheinlichkeiten
- 24 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
Für unser Beispiel ergibt sich damit:
Zufallsvariable : Y  Gewinn beim Glücksrad
1
1
1
1 3  2  4
1
E Y   1 €   1 €   0 €   4 €  
   0, 08 € (Verlust )
4
6
2
12
12
12
Oder man berechnet zuerst die Auszahlung und zieht dann den Einsatz ab:
Zufallsvariable : X  Auszahlung beim Glücksrad
1
1
1
1 6  5 11

E  X  Auszahlung   0 €   0 €   1 €   5 €  
€
4
6
2
12
12
12
E Y  Gewinn  
11
1
€ 1 €  
€
12
12
FAIRES SPIEL Ein Spiel ist fair, wenn die Gewinnerwartung Null Euro beträgt.
ERGEBNIS
Pro Spiel wird ein Spieler im Durchschnitt 8 Cent verlieren.
Daher handelt es sich bei unserem Glücksrad um kein faires Spiel.
BEISPIEL URNE
In einer Urne befinden sich 4 grüne und 6 blaue Kugeln. Wird eine Kugel gezogen, so soll
diese anschließend wieder zurückgelegt werden. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen und folgende Spielregeln vereinbart:
Wer zwei blaue Kugeln gezogen hat, erhält 2 €, wer nur eine blaue Kugel gezogen hat, erhält
1 € ausgezahlt. Der Einsatz pro Spiel soll 1,20 € betragen.
FRAGE
Zufallsvariable :
Ereignisse
Auszahlungen
Ist das Spiel fair?
X  Auszahlungen pro Spiel
E
X k
Wahrscheinlichkeiten P  X  k 
Zufallsvariable :
g/g
g /b
b/ g
b/b
0€
1€
1€
2€
4 4
4
4 6
6
6
6 6
9
 
 
 
10 10 25 10 10 25 25 10 10 25
X  Auszahlung pro Spiel
4
6
6
9 6  6  18 30
1 € 1 €  2 €


 1, 2 €
25
25
25
25
25
25
E  Gewinn   E  Auszahlung   Einsatz  1, 2 €  1, 2 €  0 €
EX  0 €
ANTWORT
Das Spiel ist also fair.
- 25 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ÜBUNGEN ZU ERWARTUNGSWERTEN
WÜRFELN
Um seine wirtschaftliche Lage zu verbessern, gibt Herr Maier demjenigen, der eine 6 würfelt,
1.-€, demjenigen, der eine 3 würfelt, 50 Cent und demjenigen, der eine 1 würfelt, 30 Cent.
Andernfalls wird nichts ausgezahlt.
Für dreimaliges Würfeln verlangt er 1,- €.
Wie hoch wird der durchschnittlich erzielte
Ereignis
6
3
Auszahlung
1, 00 €
0, 50 €
1
0, 30 €
prozentuale Gewinn sein?
URNE
In einem Gefäß befinden sich 1 gelbe, 1 rote, 2 grüne und 4 blaue (sonst gleiche) Kugeln.
Eine Kugel wird jeweils heraus genommen und anschließend wieder zurück ins Gefäß gelegt.
Einmal eine Kugel herausnehmen kostet 0,25 €. Für acht Kugeln werden also 2 € verlangt.
Folgende Gewinne werden ausgezahlt:
Ereignis Gewinn
gelb
1, 00 €
rot
0, 50 €
grün
0, 10 €
4 blaue, 2 grüne, 1 rote,
1 gelbe Kugel
blau
nichts
Wie viel kann mit diesem Spiel verdient werden?
KARTENSPIEL
Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten
Ereignis
Herzkönig
Gewinn
1, 00 €
Herzdame
1, 00 €
Herzbube
Herzass
1, 00 €
1, 00 €
Kreuzkarte
0, 30 €
Piquekarte
0, 10 €
wird eine Karte gezogen.
Der Einsatz für das Ziehen
einer Karte beträgt 0,25 €.
Wie hoch wird der zu erwartende prozentuale Gewinn sein?
- 26 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
OKTAEDER
Auf den Flächen eines Oktaeders werden die Zahlen
Ereignis
Gewinn
1 bis 8 geschrieben. Die oben liegende Zahl zählt.
1
1, 00 €
Ein Wurf kostet 0,25 €.
2
0, 40 €
ungerade
0, 10 €
Wie viel verdient die Kasse voraussichtlich bei 500 Würfen?
PENTAGONDODEKAEDER
Auf den Flächen eines Pentagondodekaeders werden die
Zahlen 1 bis 12 geschrieben. Die oben liegende Zahl zählt.
Der Einsatz pro Wurf beträgt 0,25 €.
Ereignis Gewinn
12
1, 50 €
6
0, 60 €
8; 4 ; 2
0, 10 €
Wie viel verdient die Kasse voraussichtlich bei 400 Würfen?
TETRAEDER
Ereignis Gewinn
wird geworfen. Es zählt die Zahl,
die unten liegt. Einsatz 0,40 € pro Wurf.
Wie hoch ist der zu erwartende prozentuale Gewinn?
1
1, 00 €
2
0, 25 €
4
0, 25 €
Ereignis
Gewinn
gerade
2, 00 €
ungerade
nichts
IKOSAEDER
mit 20 Ziffern, rollt sehr schön.
Wie viel Euro muss man pro Wurf verlangen,
damit das Spiel fair ist?
LÖSUNG-WÜRFELN
Ereignisse
Auszahlungen
E
X k
Wahrscheinlichkeiten P  X  k 
6
3
1
sonst
1 € 0,50 € 0,30 € 0 €
1
1
1
3
6
6
6
6
- 27 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Wurf
EX   1 €
1
1
1
3 1, 80
 0, 50 €   0, 30 €   0 €  
€  0 , 30 €
6
6
6
6
6
E  Gewinn bei 3 Würfen   Einsatz  3  E  X   1, 00 €  0, 90 €  0, 10 €
ERGEBNIS
Nimmt Herr Maier für 3-maliges Würfeln jeweils 1.- Euro, so wird sein Gewinn auf lange
Sicht voraussichtlich 10% betragen.
LÖSUNG-URNE
Ereignisse
Auszahlungen
E
X k
Wahrscheinlichkeiten P  X  k 
gelb
rot
grün blau
1 € 0,50 € 0,10 € 0 €
1
1
2
4
8
8
8
8
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Entnahme
1
1
2
4 1, 70
E  X   1 €   0, 50 €   0, 10 €   0 €  
€
8
8
8
8
8
E  Gewinn bei 8 Entnahmen   Einsatz  8  E  X   2, 00 €  1, 70 €  0, 30 €
Gewinn in Prozent
ERGEBNIS
0,30 € von 2, 00 € 
p=
0,30 ⋅100%
= 15%
2, 00
Wird nur häufig genug gespielt, so ist ein Gewinn von 15% zu erwarten.
LÖSUNG-KARTENSPIEL
Ereignisse
Auszahlungen
E
X k
Wahrscheinlichkeiten P  x  k 
HKö HDa HBu
1€
1€
1€
1
1
1
32
32
32
HAss Kreuz Pique
1 € 0,30 € 0,10 €
1
1
1
32
4
4
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Wurf
1
1
1 4  2, 40  0, 80
7 , 20
E  X   4 €   0, 30 €   0, 10 €  
€
€  0, 225 €
32
4
4
32
32
E  Gewinn   Einsatz  E  X   0, 250 €  0, 225 €  0, 025 €
Gewinn in Prozent
ERGEBNIS
0,025 € von 0, 250 € 
p=
0, 025 ⋅100%
= 10%
0, 25
Es ist ein Gewinn von 10% zu erwarten.
- 28 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
LÖSUNG-OKTAEDER
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Wurf
1
1
4 1  0, 40  0, 40
1, 8
E  X   1 €   0, 40 €   0, 10 €  
€
€
8
8
8
8
8
E  Gewinn bei 8 Würfen   Einsatz  8  E  X   2, 00 €  1, 80 €  0, 20 €
500- mal werfen
500  0, 20 €
 12, 50 € Gewinn
8
ERGEBNIS
Bei 500 Würfen verdient die Kasse 12,50 €.
LÖSUNG-PENTAGONDODEKAEDER
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Wurf
1
1
3 1, 50  0, 60  0, 30
2, 4
€
€  0, 20 €
 0, 60 €   0, 10 €  
12
12
12
12
12
E  Gewinn   Einsatz  E  X   0, 25 €  0, 20 €  0, 05 €
E  X   1, 50 € 
400- mal werfen
400  0, 05 €  20, 00 € Gewinn
ERGEBNIS
Bei 400 Würfen verdient die Kasse 20 €.
LÖSUNG-TETRAEDER
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Wurf
1
1
1 1, 00  0, 25  0, 25
1, 50
E  X   1 €   0, 25 €   0, 25 €  
€
€
4
4
4
4
4
E  Gewinn bei 4 Würfen   Einsatz  E  X   1, 60 €  1, 50 €  0, 10 €
Gewinn in Prozent
0,10 € von 1, 60 € 
p=
0,10 ⋅100%
= 6, 25%
1, 60
LÖSUNG-IKOSAEDER
Zufallsvariable : X  Auszahlung pro Wurf
10
EX   2 €
 1, 00 €
20
E  Gewinn   Einsatz  E  X   0  Einsatz  1, 00 €
ERGEBNIS
Bei einem Einsatz von 1 € pro Wurf ist das Spiel fair.
- 29 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
BERNOULLI-EXPERIMEMTE
Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert nur, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht.
So ist es beim Elfmeterschießen nur wichtig, ob getroffen wird oder nicht, bei einer Qualitätskontrolle nur, ob ein Produkt in Ordnung ist oder nicht. Als erster beschäftigte sich Jakob
Bernoulli (1654-1705) ausführlich mit solchen Experimenten. Sie tragen daher seinen Namen.
DEFINITION
1.
Ein Zufallsversuch mit nur zwei Ausgängen (Erfolg und Misserfolg) heißt
Bernoulli-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man die Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Für die Misserfolgs-Wahrscheinlichkeit q gilt dann q = 1 - p.
2.
Wird ein Bernoulli-Experiment n-fach wiederholt, ohne dass sich dabei p und q verändern, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.
ANMERKUNG
Erfolg und Misserfolg werden häufig als Treffer und Niete bezeichnet.
BERNOULLI-KETTEN
BEISPIEL WÜRFELN
Man möchte bei dreimaligem Werfen eines Würfels wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit
ist, genau 2-mal eine 4 zu werfen.
Wir machen uns die Situation an einem BAUMDIAGRAMM klar.
- 30 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
BAUMDIAGRAMM
1
5
6
6
1
5
1
5
6
6
6
6
n
4
1
6
4
Ereignisse . . .
1. Wurf
n
4
5
6
n
n
4
1
5
6
6
4
n
5
1
5
6
6
6
6
4
n
4
n
1
(4,4,n) (4,n,4) . . . .
2. Wurf
....
(n,4,4)
3. Wurf
....
1
Alle Pfade, die genau zweimal die 4 enthalten, haben die Wahrscheinlichkeit  
6 
2
1
5
  .
6 
Im Baumdiagramm erkennt man, dass es drei solche Pfade gibt.
Beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Vieren, so ergibt sich als die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Vieren zu erhalten:
1
P  X  zweimal die 4   3   
6 
2
1
5
    0, 069  6 , 9 %
6 
Wie aber geht man vor, wenn z.B. gefragt ist, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 10
Würfen genau 3-mal eine 4 zu würfeln.
Eine Lösung über das Baumdiagramm wird in diesem Fall doch zu aufwändig. Immerhin ist
klar, dass in jedem der entsprechenden Pfade 3-mal eine 4 und 7-mal keine 4 vorkommen.
1
Jeder dieser Pfade hat also die Wahrscheinlichkeit  
6 
3
7
5
  .
6 
Aber wie viele solcher Pfade gibt es?
Die Antwort findet man mit Hilfe der KOMBINATORIK.
 10  10  9  8
 120 Pfade . [Wähle 3 aus 10 Würfen aus.]
Es gibt   
 3  1 2  3
- 31 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
WAHRSCHEINLICHKEIT bei BERNOULLI-KETTEN
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei n Durchführungen eines Bernoulli-Experiments genau
k-mal ein Treffer ergibt, ist gegeben durch
n
nk
P  X  k      p k  1  p 
k 
X  Zufallsvariable
n  Anzahl der Versuche
k  Trefferzahl
p  Wahrscheinlichkeit
Kommen wir auf unser Beispiel zurück:
Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, bei 10-maligem Würfeln genau 3-mal eine 4 zu
erhalten? Mit n = 10, k = 3 und p 
1
ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
6
3
7
 10   1   5 
P  X  3            0, 155  15, 5 %
 3  6  6 
BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSVARIABLEN
Ist eine Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p gegeben, so kann zu
jeder Trefferzahl deren Wahrscheinlichkeit P  X  k  berechnet werden. Die Zuordnung, die
jeder möglichen Trefferzahl k (k = 0; 1; 2; …; n) ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Bi-
nomialverteilung mit den Parametern n und p.
n
nk
Die Zufallsvariable X nennt man binomialverteilt: P  X  k   B n , p  k      p k   1  p 
k 
Mit dem GTR lässt sich die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei einem n-stufigen BernoulliExperiment mit dem Befehl binom pdf (n, p, k) direkt ermitteln.
Rufe dazu über die Tastenkombination 2nd VARS das Menü DISTR auf. Wähle den
Befehl binom pdf und gib dann die bekannten Werte für n, p und k ein.
1
Für das obige Beispiel mit n = 10, k = 3 und p =   ergibt sich P  X  3   0, 155  15, 5 % .
6 
ANM ERKUNG
Die Zufallsvariable P  X  k  heißt binomialverteilt, weil man bei der Entwicklung des
Binoms  p  q  ganz ähnliche Ausdrücke bekommt:
n
- 32 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
n
n
n
n
n
    p n     p n  1  q1     p n  2  q 2  .....     p n  k  q k  .....    q n
0
1
 2
k 
n
wobei q  1  p ist.
 p  q
n
Die Koeffizienten werden übersichtlich zusammengefasst im sogenannten
PASCAL‘SCHES DREIECK
0
  1
0
1
  1
0
 2
  1
0
 3
  1
0
 4
  1
0
5
  1
0
2
 2
1
 3
 3
1
 4
 4
1
5
 5
1
 1
  1
 1
 2
  1
 2
 3
 3
 2
 4
 6
 2
5
   10
 2
 3
  1
 3
 4
 4
 3
5
   10
 3
 4
  1
 4
5
 5
 4
5
  1
5
RECHENBEISPIELE
 4
 4 4
 4 43
 4 4 3 2
 4  4  3  2 1
6  
4  
1
4. Zeile :    1     4   
0
1 1
 2  1 2
 3  1 2  3
 4  1 2  3  4
 5 5 4
5 5 4 3
 10   
 10
5. Zeile :
 
 2  1 2
 3  1 2  3
MERKE
n
 
k 
n
  1
0
n
  1
n
Anzahl der Pfade, die zu k Treffern bei n Versuchen führen
1 Pfad führt zu 0 Treffern : 0  0  0  0  .....
1 Pfad führt zu n Treffern : 1  1  1  1  .....
n
n Pfade führen zu 1 Treffer : Treffer im 1. oder 2. oder 3. ..... oder n. Versuch
 n
1
 n 

  n n Pfade führen zu n  1 Treffern
 n  1
- 33 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
DARSTELLUNG von BINOMIALVERTEILUNGEN durch HISTOGRAMME
Binomialverteilungen werden vielfach in sogenannten Histogrammen graphisch dargestellt.
Das Histogramm bei einer Binomialverteilung besteht aus (n + 1) aneinandergrenzenden
Rechtecken auf der waagerechten k-Achse. Dabei ist das k-te Rechteck um den Wert k zentriert und hat die Höhe P(X = k) und die Breite 1. Damit stimmt die Maßzahl der Fläche dieses Rechtecks mit der Wahrscheinlichkeit P(X = k) überein.
Die Maßzahl der Gesamtfläche aller Rechtecke ist immer gleich 1.
Begründung:
Man würfelt 5-mal hintereinander und hat entweder genau 5 oder 4 oder 3 oder 2 oder 1 oder
0 Treffer, damit sind alle möglichen Ereignisse erfasst, die Gesamtwahrscheinlichkeit muss
also 1 sein.
1
HISTOGRAMM für die Binomialverteilung mit n = 10 und p =  
6 
0,35
P ( X = k )
0,3
0,25
0,2
MERKE
Fläche aller Balken  1
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
ERWARTUNGSWERT bei BINOMIALVERTEILUNGEN
Nimmt eine Zufallsvariable X die Werte k1 , k2 , . . . kn mit den Wahrscheinlichkeiten
P  X  k1  , P  X  k 2  , . . . P  X  k n  an, so gilt für den Erwartungswert
E  X   k1  P  X  k1   k2  P  X  k2   . . . kn  P  X  kn 
ki  Einzelwerte ;
P  X  ki   Einzelwahrscheinlichkeiten
Vielfach wird statt E  X  auch  geschrieben.
Wir wollen dies nun auf die Binomialverteilung anwenden.
- 34 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ERWARTUNGSWERT BERECHNEN
Bestimme für n = 5 und p = 0,4 den Erwartungswert der zugehörigen Binomialverteilung.
Begründe, warum das Ergebnis auch ohne Rechnung plausibel ist.
[Die einzelnen Rechnungen werden mit dem GTR durchgeführt.]
LÖSUNG
Werte Wahrscheinlichkeiten
P X  k
k
k P X  k
0
1
0, 07776
0, 2592
0
0, 2592
2
3
0,3456
0, 2304
0, 6912
0, 6912
4
5
0, 0768
0, 01024
0,3072
0, 0512
E  X   2, 0000
Begründung:
p = 0,4 bedeutet, dass auf jeder Stufe mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% ein Erfolg eintritt. Wird dieses Bernoulli-Experiment sehr oft wiederholt, so kann man 5·0,4 = 2 als Durchschnittswert für diese Experimente erwarten. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert, der sich
E  X     5  0, 4  2
P ( X = k )
auch im Histogramm bei k = 2 zeigt:
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
k
Für den Erwartungswert bei einem n - stufigen
MITTELWERT Bernoulli - Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit p gilt
E X     n p
- 35 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
BEISPIELE
Binomialverteilung für n = 20 und p = 0,2
0,25
P ( X = k )
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
k
Wird ein Bernoulli-Experiment, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 20-mal
durchgeführt, dann erwartet man im Mittel 4 Treffer.
Binomialverteilung für n = 30 und p = 0,2
P ( X = k )
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
k
Wird ein Bernoulli-Experiment, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 30-mal
durchgeführt, dann erwartet man im Mittel 6 Treffer.
Weitere Beispiele sind denkbar.
- 36 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
EIGENSCHAFTEN von HISTOGRAMMEN
Es soll nun untersucht werden, wie die Graphen (Histogramme) der Binomialverteilung von
den sie bestimmenden Parametern n und p abhängen.
Abhängigkeit von n, wir variieren n und halten p = 0,7 fest.
- 37 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ERGEBNISSE
1.
Mit zunehmendem n werden die Histogramme flacher und breiter.
(Grund: Die Summe der Flächeninhalte bleibt immer gleich 1.)
Mit zunehmendem n nähern sich die Histogramme immer mehr einer Glockenform an.
2.
Sie werden immer achsensymmetrischer.
Die Stelle der maximalen Wahrscheinlichkeit liegt beim Erwartungswert μ, wenn p
3.
eine ganze Zahl ist, ansonsten bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte.
Die Stelle mit maximaler Wahrscheinlichkeit rückt, ebenso wie μ mit wachsendem n
4.
nach rechts.
Abhängigkeit von p, wir variieren p und halten n = 20 fest.
0,4
n = 20 / p = 0,1
μ = 2
0,35
P ( X= k )
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
0,4
n = 20 / p = 0,3
μ = 6
0,35
P ( X= k )
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
- 38 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
0,4
n = 20 / p = 0,5
μ = 10
0,35
P ( X= k )
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
0,4
n = 20 / p = 0,7
μ = 14
0,35
P ( X= k )
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
0,4
n = 20 / p = 0,9
μ = 18
0,35
P ( X= k )
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
- 39 -
GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH
ERGEBNISSE
1.
Für p = 0,5 ergibt sich ein achsensymmetrisches Histogramm, Glockenform.
2.
Für p → 0 und p → 1 werden die Histogramme etwas asymmetrischer.
3.
Für p < 0,5 ist die Verteilung linksschief.
4.
Für p > 0,5 ist die Verteilung rechtsschief.
5.
Die Stelle der maximalen Wahrscheinlichkeit liegt beim Erwartungswert μ, wenn p eine ganze Zahl ist, ansonsten bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte von k.
6.
Die Histogramme für die Wahrscheinlichkeiten p und (1 - p) liegen symmetrisch zur Geraden
k
n
(siehe nachfolgendes Beispiel).
2
p = 0,1 p = 0,9 0,4
0,35
P ( X= k )
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
KUMULIERTE WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI BINOMIALVERTEILUNGEN
(siehe 2. Teil)
Häufig treten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung Fragestellungen auf, bei denen
nicht nur die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Trefferzahl gefragt ist. Vielmehr interessiert man sich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Trefferzahl einen bestimmten
Wert nicht überschreitet bzw. unterschreitet oder in einem bestimmten Intervall liegt.
HYPOTHESENTESTS
(siehe 2. Teil)
- 40 -
PFLICHTBEREICH
MUSTERAUFGABEN
PFLICHTBEREICH
AB 2013
- 41 -
PFLICHTBEREICH
Aufgabe 1
Eine Urne enthält 5 rote, 3 weiße und 2 gelbe Kugeln.
a)
Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man keine gelbe Kugel?
b)
Nun werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe?
(4 P)
Aufgabe 2
In einem Behälter befinden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurück-
legen gezogen.
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist.
b)
Wie viele rote Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen p = 0,84 betragen hätte?
(5 P)
Aufgabe 3
In einem Behälter befinden sich 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6.
Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine gerade Nummer gezogen wird.
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst im dritten Zug eine gerade
Nummer gezogen wird.
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht?
(3 P)
Aufgabe 4
Bei einem Glücksspiel wird das abgebildete Glücksrad benutzt.
Als Einsatz bezahlt man 3 €. Das Glücksrad wird einmal gedreht.
4€
2€
Man erhält den Betrag ausbezahlt, dessen Sektor über dem Pfeil
3€
zu stehen kommt.
Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn.
(3 P)
Aufgabe 5
Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Sektor
1
2
3
Wahrscheinlichkeit 0, 2 0,3 0,5
Das Glücksrad wird zu folgendem Glücksspiel verwendet:
- 42 -
PFLICHTBEREICH
Der Spieler zahlt zunächst 1 € Einsatz. Dann wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sind die
drei ermittelten Zahlen verschieden, bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück. Kommt
dreimal die „1“, erhält der Spieler 100 €. Sonst erhält er nichts.
Ist dieses Spiel fair?
(3 P)
Aufgabe 6
(4 P)
Aufgabe 7
Ein Basketballspieler übt Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er bei 80% seiner Würfe.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Würfen zweimal?
b)
Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt:
P  A  0, 2 10 und
 50 
P  B      0,8 40  0, 2 10
 40 
(3 P)
- 43 -
PFLICHTBEREICH
LÖSUNGEN
Lösung 1
3
a)
512
 8
P  keine gelbe     
 0,512
 10  1000
P  zwei gleiche   P  r r   P  w w   P  g g  
b)

5 4 3 2 2 1 20  6  2 28 14
     


10 9 10 9 10 9
90
90 45
(4 P)
Lösung 2
2
a)
4 5
4
P  mindestens eine rote Kugel   1  P  keine rote Kugel   1     1  
9 9
6
b)
Es sind 4 blaue und n rote Kugeln, insgesamt n + 4 Kugeln.
P  mindestens eine rote Kugel   1  P  keine rote Kugel 
2
16
 4 
 1 
 0,84
  1
2
n4
 n  4
1
16
 n  4
2
 0,84  
100   n  4 
2
16
 n  4
2
  0,16  16  0,16   n  4 
 4  10  6
  10  n  4  n 1/2  
4  10  14
2
| : 0,16
n6
entfällt
Ergebnis: Es hätten 6 rote Kugeln im Behälter sein müssen.
(5 P)
Lösung 3
a)
3 2 3 3
P u , u , g     
6 5 4 20
b)
3 2 1
1 19
P  höchstens drei Züge   1  P  u , u , u   1     1 

6 5 4
20 20
(3 P)
Lösung 4
ERWARTUNGSWERT
1
3
3
869
23
E  Auszahlung    4 €   2 €   3 € 
€
€  2,875 €
4
8
8
8
8
E  Gewinn   2,875 €  3, 00 €   0,125 € (Verlust pro Spiel )
- 44 -
(3 P)
PFLICHTBEREICH
Lösung 5
FAIRES SPIEL
P 1 , 1 , 1  0, 2 3  0, 008
P  drei verschiedene Zahlen   3!  P 1 , 2 , 3  6  0, 2  0,3  0,5  0,18
GEWINNBERECHNUNG
E  Auszahlung   0,18 1 €  0, 008 100 €  0,18 €  0,80 €  0,98 €
E  Gewinn   0,98 €  1, 00 €   0, 02 €
ERGEBNIS
(Verlust pro Spiel )
Das Spiel ist nicht fair.
(3 P)
Lösung 6
a)
Für den Erwartungswert gilt:
E  n  p  10  0, 6  6 , also muss P(X = 6) maximal sein.
Daher zeigt Abbildung 3 die Verteilung von X.
b)
P  4  X  7   P  5   P  6   0, 2  0, 25  0, 45
P  X  5   1  P  5   1  0, 2  0,8
(4 P)
Lösung 7
a)
P  zwei Treffer   0,8 2  0, 64 P
b)
Ereignis A:
Er wirft 10-mal und trifft nie.
Ereignis B:
Er wirft 50-mal und erzielt dabei genau 40 Treffer.
(3 P)
- 45 -
PFLICHTBEREICH
PRÜFUNGSAUFGABEN
2013-H
Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem
Tisch.
a)
Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A:
Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch.
B:
Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch.
b)
Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun
so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an.
Welche Werte kann X annehmen?
Berechnen Sie P  X  2  .
(4 P)
2013-N
Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90% aller Elfmeter.
a)
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern

nur den letzten?

mindestens einen
Für ein Ereignis C gilt:
 30 
P  C      0,9 b  c 7 .
a
Geben Sie geeignete Werte für a, b und c an.
Beschreiben Sie das Ereignis C in Worten.
(4 P)
2014-H
An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele.
a)
Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt:
8
10   2 
P  A      
 8  3
b)
2
9
10
1
2 1 2
    10       
 3
3 3 3
Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal?
- 46 -
(3 P)
PFLICHTBEREICH
2014-N
Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei dreimal die gleiche Augenzahl?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Augenzahl größer
als 4 zu werfen?
c)
Notiert man die Ziffern in der gewürfelten Reihenfolge von links nach rechts, erhält
man eine dreistellige Zahl.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Zahl kleiner als 661?
(3 P)
LÖSUNGEN
Lösg 2013-H
a) P  A  P  kein Ass bei 9 Karten  und P  kein Ass bei 8 Karten  
5 4 5
 
9 8 18
2 4 4 2 2
P  B   P  Dame / Ass  oder P  Ass / Dame      
9 8 9 8 9
b) Da spätestens die 6. Karte ein Ass sein muss, kann die Zufallsvariable X die
Werte k = 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.
P  X  2   P  Ass bei X  1 oder P  Ass bei X  2  
4 5 4 4 5 13
   

9 9 8 9 18 18
(4 P)
Lösg 2013-N


a) P  A   P T , T , T  0, 1  0, 1  0, 9  0, 009  0, 9%


P  B   P  mindestens ein Treffer   1  P T , T , T  1  0 , 13  1  0 , 001  0 , 999  99 , 9 %
 30 
b) P  C      0, 9 b  c 7
a
b  7  30  b  23
 c  1  0, 9  0, 1
a  b  a  23

 30 
P  C      0, 9 23  0, 1 7
 23 
Ereignis C: Der Schütze verwandelt von 30 Elfmetern genau 23.
(4 P)
- 47 -
PFLICHTBEREICH
Lösg 2014-H
a)
Das Ereignis A bedeutet:
Man verliert von 10 Spielen 8 oder 9 oder 10 Spiele, also mindestens 8 Spiele.
n4 ,
b)
p
 4  2 
P  X  2      
 2  3 
2
2
1
, q
, k 2
3
3
2
43 4 1 8
1
  
  
 3  1 2 9 9 27
(3 P)
Lösg 2014-N
P  dreimal die gleiche Zahl   P 1/ 1/ 1  P  2 / 2 / 2   P  3 / 3 / 3  ......P  6 / 6 / 6  
a)
1 1 1 1
 6   
6 6 6 36
3
b)
8 19
2
P  mindestens einmal größer 4   1  P  höchstens 4   1     1 

27 27
3
P  Zahl kleiner als 661 
c)
1 1 35
P  die ersten beiden Ziffern dürfen nicht gleichzeitig 6 sein   1   
6 6 36
(4 P)
- 48 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
GRUNDLAGEN
WAHLBEREICH
mit GTR-VERWENDUNG
- 49 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
KUMULIERTE WAHRSCHEINLICHKEITEN bei BINOMIALVERTEILUNGEN
Häufig treten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung Fragestellungen auf, bei denen
nicht nur die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl gefragt ist. Vielmehr interessiert man sich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Trefferzahl einen bestimmten Wert
nicht überschreitet bzw. unterschreitet oder in einem bestimmten Intervall liegt.
BEISPIEL
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim zehnmaligen Werfen einer Laplace-Münze
höchstens sechsmal Wappen? Nach unseren bisherigen Betrachtungen müssten wir nun die
Wahrscheinlichkeiten für die Trefferzahlen von 0 bis 6 addieren:
P ( X= k )
P  X  6   P  X  0   P  X  1  P  X  2   P  X  3   P  X  4   P  X  5   P  X  6 
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
n = 10 / p = 0,5
μ = 5
0
1
Wahrscheinlichkeiten
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
k
zusammenfassen
P ( X ≤ 6 )
n = 10 / p = 0,5
kumuliert
k
0
1
2
3
4
5
- 50 -
6
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
Aus dem oberen Histogramm ergibt sich das untere Histogramm durch Aufsummieren der
einzelnen Balkenflächen von 0 bis 6. Würde man die Summe bis zum 10-ten Balken bilden,
so erhielte man im unteren Diagramm den 10-ten Balken mit der Fläche 1.
BERECHNUNGEN mit dem GTR
Mithilfe des GTR lassen sich die kumulierten Wahrscheinlichkeiten leicht ermitteln.
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X erhält man die Summe der Wahrscheinlichkeiten
bis zu einer bestimmten Trefferzahl k mit dem Befehl binom cdf (n, p, k).
Man ruft dazu über die Tastenkombination 2nd VARS das Menü DISTR auf, wählt den
Punkt binom cdf und gib dann die gewünschten Werte ein. Für unser Beispiel (höchstens
sechsmal Wappen bei 10-maligem Münzwurf) ergibt sich damit:
P  X  6   0, 828125  82, 81 %
VERSCHIEDENE FÄLLE
PX  k
0
höchstens k Treffer
PX  k
0
k
n
k
n
k-1
weniger als k Treffer
PX  k
k-1
0
k
mindestens k Treffer
k+1 P  X
0
k
k1
0
P  k1  X  k 2 
mindestens k1 und höchstens k2
- 51 -
n
 k
mehr als k
Treffer
n
k2
n
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
SIGNALWÖRTER
Hierbei bietet es sich besonders an, mit dem GEGENEREIGNIS zu rechnen.
Mindestens 1 Treffer:
P  X  1  1  P  X  0 
Höchstens (n – 1) Treffer:
P  X  n  1  1  P  X  n 
MERKE
Der GTR liefert immer nur die Werte für P  X  k  , nicht aber die Werte für P  X  k  ,
Um diese zu bestimmen, muss man mit dem GEGENEREIGNIS rechnen.
GTR - Einsatz
P  X  k  berechnet man mit
binom pdf (n, p, k )
P  X  k  berechnet man mit
binom cdf (n, p, k )
P  X  k   1- P  X  k 
1 - binom cdf (n, p, k )
P  X  k   1- P  X  k  1
1 - binom cdf (n, p, k  1)
P  k1  X  k2   P  X  k2   P  X  k1  1 binom cdf (n, p, k2 )  binom cdf (n, p, k1  1)
TYPISCHE FRAGESTELLUNGEN
Ein Laplace-Würfel wird 100-mal geworfen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich
(1)
genau 10-mal eine Sechs,
(2)
höchstens 20-mal eine Sechs,
(3)
mindestens 10-mal aber weniger als 20-mal eine Sechs?
b)
Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit
von mehr als 90% mehr als eine Sechs zu erhalten?
- 52 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
LÖSUNGEN
a)
10
(1)
 100   1   5 
P  X  10   
   
 10   6   6 
90
 2, 14 %
Die einfache Wahrscheinlichkeit (Bernoullikette)
berechnet man per GTR mit binom pdf (n,p,k).
(2)
P  X  20   ....  84, 81 %
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit (Bernoullikette)
berechnet man per GTR mit binom cdf (n,p,k).
(3)
P  10  X  20   P  X  19   P  X  9  ....  75, 9 %
Differenz kumulierter Wahrscheinlichkeiten
b)
Mindestens  mehr als  mehr als  Aufgabe
Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mehr als 90% mehr als eine Sechs zu würfeln?
VERFAHRENSWEISE
EREIGNIS
mehr als eine Sechs würfeln
P  X  1
ANSATZ
Wahrscheinlichkeit über 90 %
P  X  1  0 , 9
Der GTR kennt nur P  X  1 , daher muss umgeformt werden.
GEGENEREREIGNIS höchstens eine Sechs würfeln
P  X  1
UMFORMUNG
P  X  1  1  P  X  1 
ANSATZ mit dem GEGENEREIGNIS
1  P  X  1  0 , 9
- 53 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
Gesucht ist die Größe n (wie oft muss gewürfelt werden?)
Man definiert nun eine Funktion für den GTR, wobei Y1 die kumulierte Wahrscheinlichkeit
und X die Anzahl der Würfe sein soll.
FUNKTION
(im Formeleditor Y1 = eingeben)
TABELLE
(über TABLE aufrufen)
Man durchsucht nun die Tabelle, bis die Bedingung Y1  0, 9 erfüllt ist, dabei muss die
Schrittweite der Tabelle auf ΔTbl = 1 eingestellt sein, ansonsten erhält man bei den Zwischenwerten die Anzeige Error in der Y1-Spalte.
Wie man sieht, ist die Bedingung ab n = 22 erfüllt. Man muss also mindestens 22-mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mehr als eine Sechs zu erhalten.
VARIATION
Mindestens  mindestens  mindestens  Aufgabe
Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 90% mindestens eine Sechs zu würfeln?
P  X  1  1  P  X  0   0, 9
ERGEBNIS
Das Ereignis würde bereits nach 13 Würfen (also schneller)
eintreten.
- 54 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
HYPOTHESENTESTS bei Binomialverteilungen / SIGNIFIKANZTEST
Ein statistisches Testverfahren lässt sich im Prinzip mit einem Gerichtsverfahren vergleichen.
Das Verfahren hat (meistens) den Zweck festzustellen, ob es ausreichend Beweise gibt, den
Angeklagten zu verurteilen. Es wird dabei immer von der Unschuld eines Verdächtigen ausgegangen. So lange große Zweifel an den Belegen für ein tatsächliches Vergehen bestehen,
wird ein Angeklagter freigesprochen. Nur wenn die Indizien für die Schuld eines Angeklagten
deutlich überwiegen, kommt es zu einer Verurteilung. Es gibt demnach zu Beginn des Verfahrens
ZWEI HYPOTHESEN
H0 „der Verdächtige ist unschuldig“
(Nullhypothese)
H1 „der Verdächtige ist schuldig“
(Gegenhypothese / Alternativhypothese)
Man wird versuchen stets, die Gegenhypothese zu beweisen.
Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen, wird die Hypothese der Unschuld erst
dann verworfen, wenn ein Irrtum sehr unwahrscheinlich ist. Aufgrund der stochastischen
Struktur des Testproblems lassen sich aber - wie in einem Gerichtsverfahren - Fehlentscheidungen grundsätzlich nicht vermeiden.
BEISPIEL LOSVERKÄUFER / LINKSSEITIGER TEST
Ein Losverkäufer behauptet, dass sich in einer Urne unter 100 Losen mindestens 40 Gewinne
befinden.
Ein Spieler ist skeptisch und will die Aussage prüfen.
Dazu entnimmt er der Urne 20 Lose (mit Zurücklegen).
Bei wie vielen Gewinnlosen kann er der Behauptung des Losverkäufers widersprechen, wenn
die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll?
WIE WIRD VERFAHREN?
HYPOTHESE und GEGENHYPOTHESE aufstellen
(unverzichtbar)
H 0 : p  0, 4 ( Nullhypothese)
Anzahl der Gewinne mindestens 40%
H 1 : p  0, 4 (Gegenhypothese)
Anzahl der Gewinne geringer als 40%
- 55 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
UNTERSCHEIDUNG
(unverzichtbar)
steht bei H1 das Kleinerzeichen,
so wird ein linksseitiger Test gemacht
 
steht bei H1 das Größerzeichen,
  
so wird ein rechtseitiger Test gemacht
PARAMETER auflisten
(unverzichtbar)
n  20
Stichprobenumfang :
Wahrscheinlichkeit :
Anzahl der Gewinne :
Irrtumswahrscheinlichkeit :
p  0, 4
k ?
  0, 05
HISTOGRAMM für n = 20 und p = 0,4
MERKE
Irrtumswahrscheinlichkeit  Signifikanzniveau
(Anschauung ist hilfreich)
Wie man sieht, liegt der Erwartungswert bei 8 Gewinnen in der Mitte des Histogramms.
Mit 7 oder weniger Gewinnen landet man im linken Bereich des Histogramms. Dieser soll
5% der Gesamtfläche nicht überschreiten, damit H1 angennommen werden kann.
Man sagt: Irrtumswahrscheinlichkeit bzw. Signifikanzniveau dürfen höchstens 5% betragen.
RECHNUNG
P  X  k   0, 05 k ist gesucht
FUNKTION eingeben
TABELLE k ablesen
- 56 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
ENTSCHEIDUNG
Ablehnungsbereich
für H 0  0 ; 3  , d.h. H1 wird angenommen.
Annahmebereich
für H 0  4 ; 20  , d.h. H1 wird abgelehnt.
ERGEBNIS
Bei nur 3 Gewinnlosen erscheint die Aussage des Losverkäufers unglaubwürdig.
Wir dürfen vermuten, dass die Gewinnchancen in Wirklichkeit kleiner ist 40% sind.
Wenn wir das Signifikanzniveau allerdings vorsichtiger auf 1% festgelegt hätten, dann hätten
wir die Null-Hypothese nicht abgelehnt und damit der Aussage des Losverkäufers geglaubt.
IRRTUM NICHT AUSGESCHLOSSEN:
Allerdings können wir uns mit der Ablehnung der Null-Hypothese auch irren, da die Werte
für X  0 bis X  3 bei korrekter Null-Hypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,6%
eintreten. Das ist die sogenannte Irrtumswahrscheinlichkeit (oder Fehler 1. Art).
BEMERKUNG
Der obige Test heißt linksseitiger Test, da der Ablehnungsbereich auf der linken Seite der
Verteilung liegt. Das kann man daran erkennen, dass die Verteilungen der Alternative ihr
Maximum weiter links haben würde.
BEISPIEL WÜRFELN / RECHTSSEITIGER TEST
Ein Würfelspieler behauptet, dass er mit einem fairen Würfel spielt, es kommen aber erstaunlich oft Sechser vor.
Bei einer Stichprobe der Größe 100 treten 22 Sechser auf. Das Signifikanzniveau soll 5% betragen.
Ist der Würfel fair?
HYPOTHESE und GEGENHYPOTHESE aufstellen
1
( Nullhypothese)
6
1
H 1 : p  (Gegenhypothese)
6
H0 : p 
- 57 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
UNTERSCHEIDUNG
steht bei H1 das Kleinerzeichen,
so wird ein linksseitiger Test gemacht
 
steht bei H1 das Größerzeichen,
  
so wird ein rechtseitiger Test gemacht
PARAMETER auflisten
Stichprobenumfang :
Wahrscheinlichkeit :
Anzahl der Sechser :
Irrtumswahrscheinlichkeit :
n  100
p  1/ 6
k ?
  0, 05
HISTOGRAMM für n = 100 und p = 1/6
(Anschauung ist hilfreich)
Wie man sieht, liegt der Erwartungswert bei ca. 16 Sechsen in der Mitte des Histogramms.
Mit 17 oder mehr Sechsen landet man im rechten Bereich des Histogramms.
Dieser soll 5% der Gesamtfläche nicht überschreiten, damit H1 angennommen werden kann.
Man sagt: Irrtumswahrscheinlichkeit bzw. Signifikanzniveau dürfen höchstens 5% betragen.
RECHNUNG
P  X  k   0, 05
1  P  X  k  1  0, 05
k gesucht
FUNKTION eingeben
ERGEBNIS
TABELLE k ablesen
Der Ablehnungsbereich für Ho ist A  24 / ...... /100 .
- 58 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
Da k = 22 nicht im Ablehnungsbereich liegt, wird die Gegenhypothese abgelehnt.
Die Null-Hypothese wird daher weiterhin als richtig angenommen.
Bei einem Signifikanzniveau von 5% wird es für möglich gehalten, dass der Würfel fair ist.
* * *
TEA TASTING LADY (klassisches Beispiel)
Eine englische Lady trinkt ihren Tee stets mit einem Zusatz von Milch. Eines Tages verblüfft
sie ihre Tischrunde mit der Behauptung, sie könne allein am Geschmack unterscheiden, ob
zuerst die Milch oder zuerst der Tee eingegossen worden sei. Ihr Geschmack sei zwar nicht
unfehlbar, aber gegenüber dem blinden Raten seien ihre Ergebnisse deutlich besser.
Die Teerunde geht davon aus, dass die Lady ihre Entscheidung rein zufällig trifft und will
aufgrund dieser Überzeugung, dass also p = 0,5 gilt, die Behauptung der Lady überprüfen.
In einem Versuch werden ihr nun 18-mal zwei Tassen Tee hingestellt, von denen eine vom
Typ „Tee vor Milch“ und die andere vom Typ „Milch vor Tee“ ist.
Wenn sie 13-mal die richtige Entscheidung fällt, so ist die Runde bereit, der Lady zu glauben.
Betrachten wir uns die Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Annahme, dass die Lady nur
rät, dass also p = 0,5 gilt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der richtig zugeordneten Tassen:
Es könnte natürlich auch sein, dass die Lady mit bloßem Raten 13 oder mehr Treffer erzielt.
- 59 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
WIE GROSS IST DIE WAHRSCHEINLICHKEIT, 13 ODER MEHR TREFFER ZU ERZIELEN?
P  X  13  1  P  X  12   0, 481  4,8%
Bei der vorliegenden Entscheidungsregel könnte man der Lady also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 5% Recht geben, obwohl sie nur geraten hat.
ALTERNATIV
Die Teerunde könnte auch im Vorfeld eine maximale Irrtumswahrscheinlichkeit (ein
Signifikanzniveau) von 5% vorgeben. Diese Vorgehensweise entspricht der Praxis beim
Testen von Hypothesen.
HYPOTHESE und GEGENHYPOTHESE aufstellen
Gäste
H 0 : p  0, 5 ( Nullhypothese)
Lady
H 1 : p  0 , 5 (Gegenhypothese)  rechtsseitiger Test
PARAMETER auflisten
Stichprobenumfang :
Wahrscheinlichkeit :
Anzahl der Treffer :
Irrtumswahrscheinlichkeit :
n  18
p  0,5
k ?
  0, 05
RECHNUNG
P  X  k   0, 05
1  P  X  k  1  0, 05
k gesucht
FUNKTION eingeben
TABELLE k ablesen
ERGEBNIS
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  13 / ...... /18 . Damit kann der Behauptung der Lady
mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von ca. 5% zugestimmt werden.
- 60 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
ÜBERBUCHUNG BEI DER LUFTHANSA
Im Jahr 2001 erschienen bei der Lufthansa 13,9% der Fluggäste, die gebucht
hatten, nicht zum Einchecken. Viele
Fluggesellschaften
sind
daher
dazu
übergegangen, ihre Flüge zu überbuchen, d.h. es werden mehr Tickets
verkauft, als Sitzplätze zur Verfügung
stehen.
Solange nicht alle Passagiere erscheinen, geht dieses Kalkül auch auf. Allerdings kann es
dann für einen Passagier auch denied boarding heißen und er muss am Boden bleiben.
a)
Wie groß war 2001 die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Lufthansa Airbus A320 mit 150
Sitzplätzen, der zu 10% überbucht wurde, mindestens ein Fluggast am Boden bleiben musste?
b)
Die Lufthansa möchte das Risiko, dass bei einem Airbus A320 aufgrund von Überbuchungen
Passagiere am Boden bleiben müssen, unter 0,1% halten. Mit wie vielen Personen kann unter
diesen Voraussetzungen ein Airbus A320 überbucht werden?
LÖSUNGEN
a)
PARAMETER auflisten
Anzahl der Buchungen :
Wahrscheinlichkeit :
n  165
p  0,861
Anzahl der Passagiere :
Irrtumswahrscheinlichkeit :
k  150
 ?
RECHNUNG
P  X  150   1  P  X  150   0, 0235  2,35%
ERGEBNIS
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person am Boden bleiben
muss, betrugt 2,35%.
- 61 -
GRUNDLAGEN WAHLBEREICH
b)
PARAMETER auflisten
Anzahl der Buchungen :
n?
Wahrscheinlichkeit :
p  0,861
Anzahl der Passagiere :
k  150
Irrtumswahrscheinlichkeit :
  0, 001
HISTOGRAMM für n = 165 und p = 0,861
RECHNUNG
P  X  150   1  P  X  150   0, 001
n ist gesucht
FUNKTION eingeben
TABELLE n ablesen
ERGEBNIS
Man erhält n  160 , d.h. dass maximal 10 Plätze überbucht werden dürfen, wenn die
Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner als 0,1% sein soll.
- 62 -
WAHLBEREICH
MUSTERAUFGABEN
WAHLBEREICH
AB 2013
- 63 -
WAHLBEREICH
Aufgabe 1
In einem Gefäß U1 sind zwei blaue Kugeln, in einem weiteren Gefäß U2 sind acht rote Kugeln. Lisa darf mit verbundenen Augen eines der beiden Gefäße wählen und daraus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel rot, dann gewinnt Lisa einen Preis.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lisa einen Preis gewinnt?
Lisa hat 50 weitere rote Kugeln zur Verfügung und darf nun bestimmen, wie viele zusätzliche
rote Kugeln in U1 gelegt werden. Allerdings werden dann genauso viele blaue Kugeln in U2
gelegt. Lisa wählt fünf zusätzliche rote Kugeln.
Hat sich dadurch ihre Gewinnwahrscheinlichkeit vergrößert?
Wie viele von den 50 zusätzlichen roten Kugeln hätte Lisa wählen müssen, um ihre Gewinnchancen zu maximieren?
(7 P)
Aufgabe 2
Eine Klasse will für einen guten Zweck beim Schulfest ein Glücksrad betreiben. Dieses besteht aus drei Sektoren mit den folgenden Mittelpunktswinkeln:
rot: 180°, gelb: 90° und blau: 90°.
Bei einem Spiel dreht der Kunde das Glücksrad dreimal und bezahlt dafür einen Euro.
Er erhält zwei Euro, wenn er dreimal dieselbe Farbe erreicht, er bekommt seinen Einsatz zurück, wenn genau zweimal dieselbe Farbe angezeigt wird, in allen anderen Fällen wird sein
Einsatz einbehalten. Welchen Gewinn erzielt die Klasse mit diesem Glücksrad pro Spiel
durchschnittlich?
Die Klasse will im nächsten Jahr durch eine Veränderung der Sektorengrößen die Wahrscheinlichkeit der Fälle, in denen der Einsatz einbehalten wird, erhöhen. Dabei sollen die
Spielregeln erhalten bleiben und der rote Sektor soll weiterhin doppelt so groß sein wie der
gelbe.
Für welche Mittelpunktswinkel der drei Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit für den Einbehalt
des Einsatzes am größten?
(6 P)
- 64 -
WAHLBEREICH
Aufgabe 3
a)
Eine Urne enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Franz und Hilde ziehen abwechselnd ohne Zurücklegen eine Kugel, wobei Franz beginnt. Gewonnen hat, wer zuerst eine
schwarze Kugel zieht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse
A: Franz gewinnt,
B: Hilde gewinnt.
(2 P)
b)
In einer anderen Urne sind drei weiße und n schwarze Kugeln.
Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Für welche Werte von n ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen,
gleich
3
?
8
(4 P)
Aufgabe 4
Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Sektor
1
2
3
Wahrscheinlichkeit 0, 2 0,3 0,5
a)
Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 95% wenigstens einmal die Zahl 1 zu bekommen?
(2 P)
b) HYPOTHESENTEST
Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1 größer als 0,2 ist. Daher
wird die Hypothese H 0 : p  0, 2 durch 100 Versuche getestet.
Wenn mehr als 28 Mal die 1 erscheint, wird die Hypothese abgelehnt.
Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit?
(4 P)
Aufgabe 5
Eine Firma stellt Solartaschenrechner her. Die Herstellungskosten eines Rechners betragen
15 €. Die Firma verkauft ihn für 25 € an den Händler.
- 65 -
WAHLBEREICH
14,5% aller produzierten Rechner sind defekt. Jeder defekte Rechner wird vom Händler entdeckt. Die Firma erstattet den Kaufpreis und nimmt den defekten Rechner zurück.
Bei der Rücknahme entstehen der Firma zusätzlich Kosten in Höhe von 5 €.
a) (leicht)
Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn der Firma pro Rechner?
(2 P)
b) (schwer)
Durch eine Kontrolle kann die Firma 95% der defekten Rechner herausfinden, hält aber auch
1% der intakten Rechner für defekt. Die beanstandeten Rechner werden dann nicht an den
Händler verkauft, sondern ohne weitere Kosten entsorgt.
Wie viel darf die Kontrolle eines Rechners höchstens kosten, damit sie sich für die Firma rentiert?
(4 P)
Aufgabe 6
HYPOTHESENTEST
Eine Firma, die Handys herstellt, behauptet, dass höchstens 4% der Geräte defekt seien. Die
Behauptung soll mit einer Stichprobe von 250 Stück getestet werden. Man erhält 10 defekte
Handys.
Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% schließen, dass die
Firmenangabe nicht zutrifft?
(4 P)
Aufgabe 7
Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips.
Erfahrungsgemäß sind 95% der Chips einwandfrei.
a) (leicht)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips
 mehr als 26 einwandfrei,
 mindestens zwei defekt ?
(2 P)
b) HYPOTHESENTEST
Der Computerhersteller überprüft die Hypothese, dass mindestens 95%
der Chips einwandfrei sind, mit einer Stichprobe vom Umfang 100.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 10% betragen.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich.
(3 P)
- 66 -
WAHLBEREICH
Aufgabe 8
Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips.
a) (leicht)
Erfahrungsgemäß sind 80% der Chips einwandfrei.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips mehr als 20 einwandfrei?
(2 P)
b) (schwer)
Wie groß dürfte die Defektwahrscheinlichkeit eines Chips höchstens sein, damit von 10 Chips
mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit alle einwandfrei sind?
(3 P)
Alternativ (kann weggelassen werden)
b*) Die Chips, die zu 80% einwandfrei sind, werden in Viererpackungen geliefert.
Ab welcher Anzahl Viererpackungen muss mit mehr als 50% Wahrscheinlichkeit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Packung alle Chips defekt sind?
(4 P)
Aufgabe 9
Bei einem Test gibt es 10 Fragen mit jeweils 4 Antworten, von denen nur eine richtig ist.
a) (leicht)
Ein Kandidat kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er
A: genau 3 richtige Antworten,
B: mindestens 3 richtige Antworten,
C: mehr als 3, aber weniger als 8 richtige Antworten?
(3 P)
b) (mittelschwer)
Es soll nun festgelegt werden, wie viele richtige Antworten zum Bestehen des Tests ausreichen sollen. Bei zufälligem Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen des Testes höchstens 5% betragen.
Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden?
(3 P)
- 67 -
WAHLBEREICH
Aufgabe 10
HYPOTHESENTEST
Ein Labor entwickelt einen neuen Impfstoff und testet ihn in einem Tierversuch mit 900
Mäusen. Mit dem Impfstoff dürfen keine klinischen Studien an Menschen durchgeführt werden, wenn sich im Tierversuch in mindestens 2% der Fälle unerwünschte Nebenwirkungen
zeigen.
Bestimmen Sie für die Nullhypothese H0: p ≥ 2% die Entscheidungsregel für den Test mit
900 Mäusen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1%.
(4 P)
Aufgabe 11 (schwer)
Für einen Flug stehen zwei Flugzeuge zur Verfügung, der zweimotorige „Adler“ und die
viermotorige „Juhu“. Der „Adler“ fliegt auch noch, wenn nur ein Motor intakt ist. Die „Juhu“
braucht mindestens zwei intakte Motoren. p ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor während des gesamten Fluges einwandfrei arbeitet.
a)
Welches Flugzeug ist sicherer, wenn p = 0,95 gilt?
(3 P)
b)
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass der „Adler“ bzw. die „Juhu“ das Ziel erreicht, jeweils als Funktion von p dar.
Für welche Werte von p ist der „Adler“ sicherer als die „Juhu“?
(4 P)
- 68 -
WAHLBEREICH
LÖSUNGEN
Lösung 1
WAHL ZWISCHEN ZWEI URNEN
Da die Wahl des Gefäßes über den Gewinn entscheidet, ist die Wahrscheinlichkeit
p
1
 0,50 .
2
FÜNF ZUSÄTZLICHE ROTE KUGELN
Wahrscheinlichkeit, aus U1 eine rote Kugel zu ziehen:
5
5

25 7
Wahrscheinlichkeit, aus U2 eine rote Kugel zu ziehen:
8
8

8  5 13
Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen:
1 5 1 8 121
   
 0, 665
2 7 2 13 182
ERGEBNIS
Lisas Gewinnchance hat sich verbessert.
MAXIMIERUNG DER GEWINNCHANCE
Lisa legt x (x ≤ 50) rote Kugeln in U1 und x blaue Kugeln in U2, damit ist
die Wahrscheinlichkeit, aus U1 eine rote Kugel zu ziehen:
p1 
x
,
2 x
die Wahrscheinlichkeit, aus U2 eine rote Kugel zu ziehen:
P2 
8
8 x
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt damit:
p ( x) 
1 x
1 8

 
2 2 x 2 8 x
ERGEBNIS
im Y -Editor eingeben

xmax  4 und
pmax  0, 667
Lisa maximiert mit 4 zusätzlichen Kugeln ihre Gewinnchancen.
(7 P)
- 69 -
WAHLBEREICH
Lösung 2
gelb
VORBETRACHTUNGEN
rot
blau
P  rot  
1
2
P  gelb  
3
1 1
P r r r     
2 8
1
4
P  blau  
3
1
1
Pg g g    
 4  64
1
4
3
1
1
P b b b    
 4  64
1 1
1 8  1  1 10 5
P  drei gleiche   P  r r r   P  g g g   P  b b b    



8 64 64
64
64 32
1 1 1 6
21
P  drei verschiedene   3!  P  r g b   6    
P  zwei gleiche  
2 4 4 32
32
ERWARTUNGSWERT
Ereignis
PX 
3 gleiche 2 gleiche sonst ( 3 verschiedene)
5
21
6
32
32
32
Gewinn für
die Klasse
EX  
1 €
0€
1€
5
6
1
€  0, 03 €
  1€    1 €  
32
32
32
ERGEBNIS
Pro Spiel werden durchschnittlich
ca. 3 Cent Gewinn gemacht.
rot
x
MAXIMALER GEWINN DER KLASSE
Setzt man die Wahrscheinlichkeit für den roten Sektor gleich x,
x
2
gelb
blau
dann ergibt sich:
x
x
3x
P  blau   1  x   1 
2
2
2
P  der Einsatz wird einbehalten  soll maximal werden . . .
P  rot   x
P  gelb  
x  3x 
9 x3
 3x 
P  drei verschiedene   3!  P  r g b   6  x   1    3  x 2  1    3  x 2 
2 
2 
2 
2

mit GTR  xmax  0, 44   rot  0, 44  360  160 ,  gelb  80 ,  blau  120
- 70 -
(6 P)
WAHLBEREICH
Lösung 3
Franz beginnt .
P  Franz gewinnt   P  s   P  w, w, s  
a)
2 3 2 2 2 1 3
   

5 5 4 3
5
5
3 2 3 2 1 2 62 2
P  Hilde gewinnt   P  w, s   P  w, w, w, s        

5 4 5 4 3 2
20
5
alternativ
3 2
P  Hilde gewinnt   1  P  Franz gewinnt   1  
5 5
(2 P)
P  genau eine schwarze  
b)
6n
3  n
2

3 ( weiße) n ( schwarze)
3
6n
3
n





2
3 n
3 n
3  n 3  n 3  n 
8
9
 n 2  10 n  9  0  n1/ 2  
1
3
2
 48 n  3   3  n 
8
ERGEBNIS
Für eine bzw. neun schwarze Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit, ge-
nau eine schwarze Kugel zu ziehen, gleich 3/8.
(4 P)
Lösung 4
P  Sektor 1  0, 2  P  Sektor 2 oder 3  1  0, 2  0,8
a)
P  X  1  1  P  X  0   1  0,8 n  0,95
1  0,8 n  0,95  Funktion eingeben  Tabelle  n  14
ERGEBNIS
Das Glücksrad muss mindestens 14 Mal gedreht werden.
(2 P)
b)
 rechtsseitig 
H 0 : p  0, 2 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 2 (Gegenhypothese)
Kontrolle für :
n  100
Sektor
p  0, 2
:
1
HYPOTHESENTEST
Ablehnung bei :
k  28
Irrtumswahrscheinlichkeit :   ?
RECHNUNG
P  X  28   1  P  X  28   1  0,97998  0, 02 mit GTR
ERGEBNIS
Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt etwa 2%,
wenn die Hypothese abgelehnt wird.
- 71 -
(4 P)
WAHLBEREICH
Lösung 5
a)
ERWARTUNGSWERT FÜR DEN GEWINN
E  0,855 10 €  0,145   20 €   5,65 €
ERGEBNIS
Der durchschnittliche Gewinn pro Rechner beträgt 5,65 €.
(2 P)
b)
ÜBERSICHT (schwer)
Rechner
Kontrolle
Wahrscheinlichkeit
Gewinn
ok
korrekt
0,855  0,99  0,84645
10  k
ok
falsch
0,855  0, 01  0, 00855
15  k
defekt
korrekt
0,145  0,95  0,13775
15  k
defekt
falsch
k  Kontrollkosten
0,145  0, 05  0, 00725 20  k
ERWARTUNGSWERT FÜR DEN GEWINN
Eneu  0,84645  10  k   0, 00855   15  k   0,13755   15  k   0, 00725   20  k  
  6,125  k  €
neuer Gewinn  alter Gewinn  6,125  k  5, 65  k  0, 475 €
ERGEBNIS
Die Kontrolle eines Rechners darf höchstens 0,47 € kosten,
damit sich die Kontrolle lohnt.
(4 P)
Lösung 6
HYPOTHESENTEST
 rechtsseitig 
H 0 : p  0, 04 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 04 (Gegenhypothese)
Kontrolle für :
n  250
Defektwahrscheinlichkeit :
p  0, 04
defekte Geräte :
k  10
Irrtumswahrscheinlichkeit :
 ?
RECHNUNG
P  X  10   1  P  X  9   0, 544 mit GTR
ERGEBNIS
Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt mehr als 50 %, ist also zu groß.
Daher kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden.
- 72 -
(4 P)
WAHLBEREICH
Lösung 7
a)
Wahrscheinlichkeit für mehr als 26 einwandfreie Chips:
gegeben : n  30 ;
p  0,95 (einwandfreie Chips ) ; k  26
RECHNUNG
P  X  26   1  P  X  26   0,939 mit GTR
Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei defekte Chips
gegeben : n  30 ;
p  0, 05 ( defekte Chips ) ; k  2
RECHNUNG
P  X  2   1  P  X  1  0, 446 mit GTR
(2 P)
b)
HYPOTHESENTEST
 linksseitig 
H 0 : p  0, 95 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 95 (Gegenhypothese)
Stichprobenumfang :
n  100
Wahrscheinlichkeit :
p  0,95
einwandfreie Chips :
k ?
Irrtumswahrscheinlichkeit :
  0,1
RECHNUNG
P  X  k   0,1
k ist gesucht
FUNKTION eingeben:
ERGEBNIS
Ablehnungsbereich für H0 ist A  0 ; 91 .
(4 P)
- 73 -
WAHLBEREICH
Lösung 8
a)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der einwandfreien Chips unter 30 Chips an.
Wahrscheinlichkeit für mehr als 20 einwandfreie Chips:
gegeben : n  30 ;
p  0,8 ; k  20
RECHNUNG
P  X  20   1  P  X  20   0,939 mit GTR
ERGEBNIS
Mit ca. 94% Wahrscheinlichkeit sind mehr als 20 Chips einwandfrei.
(2 P)
b)
Es sei p die Defektwahrscheinlichkeit eines Chips.
P  Chip defekt   p
P  Chip intakt   1  p
oder FKT eingeben, TABELLE benutzen
P  zehn Chips intakt   1  p   0,9
10
Rechnung 1  p  10 0,9 
p  1  10 0,9  0, 0105
Die maximale Defektwahrscheinlichkeit dürfte höchstens etwa 1% betragen.
(3 P)
b*)
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Viererpackung alle Chips defekt sind, beträgt jetzt
P  Chip intakt   0,8  P  Chip defekt   0, 2
P  alle vier Chips defekt   0, 24  0, 0016
P  nicht alle vier Chips defekt   1  0, 24  1  0, 0016  0,9984
Mit der Wahrscheinlichkeit von 99,84% sind nicht alle vier Chips einer Packung defekt.
Für die Anzahl n der Viererpackungen muss daher gelten:
P  in 1 Packung nicht alle vier Chips defekt   0,9984
P  in n Packungen nicht alle vier Chips defekt   0,9984n
P  in mindestens 1 Packung alle vier Chips defekt   1  0,9984n
Rechnung 1  0,9984n  0,5  0,9984n  0,5  n 
ln 0,5
 433
ln 0,9984
Ab 433 Viererpackungen muss mit mehr als 50% Wahrscheinlichkeit mit mindestens einer
Viererpackung gerechnet werden, in der alle Chips defekt sind.
- 74 -
(4 P)
WAHLBEREICH
Lösung 9
a)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der richtigen Antworten an.
gegeben : n  10 ;
p  0, 25 ; k  verschiedene Werte einsetzen
RECHNUNG
P  A   P  X  3  0, 25 mit GTR
binom pdf (10, 0.25,3)
P  B   P  X  3  1  P  X  2   0, 474 mit GTR
P  C   P  3  X  8   P  X  7   P  X  3  0, 224 mit GTR
(3 P)
b)
Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl k mit P  X  k   0, 05 :
n  10 ,
RECHNUNG
p  0, 25 ,   0, 05 , k ist gesucht
P  X  k   0, 05
1  P  X  k  1  0, 05
FUNKTION
ERGEBNIS
TABELLE
Es müssen mindestens 6 richtige Antworten verlangt werden.
(3 P)
- 75 -
WAHLBEREICH
Lösung 10
HYPOTHESENTEST
 linksseitig 
H 0 : p  0, 02 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 02 (Gegenhypothese)
Stichprobenumfang :
n  900
Wahrscheinlichkeit :
p  0, 02
Entscheidungsregel :
k ?
Irrtumswahrscheinlichkeit :
  0, 01
HISTOGRAMM
RECHNUNG
P  X  k   0, 01 k ist gesucht.
FUNKTION
TABELLE
Ablehnungsbereich für H0 0 ; 8  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für H 0  9 ; 900  , d.h. H1 wird abgelehnt.
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Wenn bei 900 Mäusen höchstens 8-mal Nebenwirkungen auftreten, dürfen klinischen Studien
an Menschen durchgeführt werden.
(4 P)
- 76 -
WAHLBEREICH
Lösung 11 (schwer)
a)
ZWEIMOTORIGER ADLER
P  ein Motor läuft einwandfrei 
p
P  ein Motor fällt aus 
 1 p
P  zwei Motoren fallen aus 
 1  p 
2
der Adler stürzt ab
P  keine zwei Motoren fallen aus   1   1  p 
2
der Adler fliegt
RECHNUNG :
P  der Adler fliegt   1   1  p   1  0, 05 2  0,9975  99, 75%
2
VIERMOTORIGER JUHU
P  vier Motoren laufen 

P  drei Motoren laufen, einer fällt aus 
 4
    p 3   1  p   der Juhu fliegt
 3
 4
2
    p 2   1  p   der Juhu fliegt
 2
 der Juhu stürzt ab
P  zwei Motoren laufen, zwei fallen aus 
P  nur ein Motor läuft  
p4
RECHNUNG :
P  der Juhu fliegt   p 4  4   1  p   p 3  6   1  p   p 2  0,9995
2
ERGEBNIS
Der ADLER kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,75% an.
Die JUHU kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,95% an.
Also ist die „Juhu“ sicherer als der „Adler“.
(3 P)
b)
Wahrscheinlichkeit, dass der „Adler“ ankommt:
f ( p )  1  1  p 
2
Wahrscheinlichkeit, dass die „Juhu“ ankommt:
g ( p)  p 4  4  1  p   p 3  6  1  p   p 2
2
Schnittstelle der Graphen von f und g im Intervall ]0;1[ ist bei p  0, 67.
ERGEBNIS
Für p < 0,67 ist der „Adler“ sicherer ist als die „Juhu“.
(4 P)
- 77 -
WAHLBEREICH
PRÜFUNGSAUFGABEN
1-2013-H (leicht)
Bei einer Lotterie sind 10% der Lose Gewinnlose. Jemand kauft drei Lose.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinnlose?
Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose über 50% liegt?
(4 P)
2-2013-H
Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils
sechs gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie
laufen dann unabhängig voneinander aus und
bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein
Feld im Rahmen sichtbar ist.
a) ERWARTUNGSWERTE
Zunächst werden die Räder als ideal angenommen.
Bei einem Einsatz von 0,20 € sind folgende Auszahlungen vorgesehen:
Stern - Stern
2,00 €
Diamant - Diamant
0,85 €
Kleeblatt - Kleeblatt
0,20 €
In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.
Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist.
Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen.
Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für ,,Diamant – Diamant“ geändert werden.
Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag.
(3 P)
b) HYPOTHESENTEST
Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für ,,Stern - Stern" geringer als 1/36
ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden.
Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese H 0 : p 
tumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll.
- 78 -
1
36
, wenn die Irr(3 P)
WAHLBEREICH
1-2013-N
Ein Händler erhält Handys in Packungen zu je 20 Stück. Erfahrungsgemäß
sind 3% der Handys defekt.
a) (leicht)
Der Händler untersucht eine gelieferte Packung.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens zwei defekte Handys?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darin mehr als 17 Handys einwandfrei?
(3 P)
b) (schwer)
Der Händler erhält eine größere Sendung Handypackungen.
Er überprüft zunächst eine Packung. Sind darin mindestens zwei Handys defekt, schickt er die
ganze Sendung zurück. Andernfalls überprüft er eine zweite Packung. Wenn er dann bei beiden Überprüfungen insgesamt mindestens drei defekte Handys findet, schickt er die Sendung
zurück.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit schickt er die Sendung zurück?
(4 P)
2-2013-N
HYPOTHESENTEST
Ein Unternehmer stellt Bauteile her. Er behauptet, dass davon höchstens 3% defekt sind.
Diese Behauptung soll mit einer Stichprobe von 200 Bauteilen überprüft werden.
Die Nullhypothese lautet H 0 :
p  3 % , die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5%
betragen. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
(4 P)
1-2014-H
In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln.
In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln.
a)
Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird.
Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen.
(4 P)
- 79 -
WAHLBEREICH
b)
Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt.
Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?
(3 P)
2-2014-H
Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5%.
a)
Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe.
Berechnen Sie P  X  30  .
ERWARTUNGSWERT
Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X ab?
(3 P)
b) HYPOTHESENTEST
Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2% der von
ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H0 soll mithilfe eines Tests an 800
zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden.
Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die
Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% betragen soll?
(3 P)
1-2014-N
Ein Betrieb produziert Mikrochips, die mit der Wahrscheinlichkeit 20% fehlerhaft sind.
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Kiste mit 120 Chips mindestens
100 fehlerfreie sind.
Wie viele Chips müssen mindestens hergestellt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mehr als 750 fehlerfreie Chips sind?
b)
(3 P)
Zur Qualitätskontrolle der produzierten Chips wird ein Gerät verwendet, das fehlerhafte
Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% aussortiert. Leider sortiert das Gerät auch
fehlerfreie Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von p aus.
Untersuchen Sie, wie groß p höchstens sein darf, damit bei maximal 5% aller getesteten
Chips eine falsche Entscheidung getroffen wird.
- 80 -
(3 P)
WAHLBEREICH
2-2014-N
a)
Ein Medikament wirkt erfahrungsgemäß bei 80% aller Patienten.
Das Medikament wird 15 Patienten verabreicht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirkt es bei mindestens 12 dieser Patienten?
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei allen 15 Patienten wirkt, soll mindestens 90% betragen.
Wie hoch müsste dazu seine Wirkungswahrscheinlichkeit mindestens sein?
b)
(3 P)
Von einem neuen Medikament wird behauptet, dass es bei mindestens 85% der Patienten wirkt. Diese Hypothese H0 soll mithilfe eines Testes an 210 Patienten überprüft
werden.
Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich zum Signifikanzniveau von 1%.
(3 P)
1-2015-H
2-2015-H
- 81 -
WAHLBEREICH
LÖSUNGEN
Lösg 1-2013-H
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen (Gewinn oder Niete), außerdem ändert sich p bei Wiederholung des Experimentes nicht. Somit liegt eine BernoulliKette mit einer binomialverteilten Zufallsvariabel X vor.
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR MINDESTENS ZWEI GEWINNLOSE
RECHNUNG
n  3 , p  1 / 10 , k  2
Typ :
kumuliert
P  X  2   1  P  X  1  1  0, 972  0, 028  2, 8%
(2 P)
MINDESTZAHL DER LOSE GESUCHT
RECHNUNG
n? ,
p  1/10 , k  2 ,   0,5
Typ :
kumuliert
P  X  2   1  P  X  1  0,5
n ist gesucht
Dazu wird im Formeleditor eine Funktion definiert:
Y1  1  binom cdf ( X , 1 / 10, 1 )
Zur Funktion Y1 ruft man die Tabelle auf, wobei Tbl  1 sein
muss. Für n = 17 ist die Bedingung erfüllt.
ERGEBNIS
Man muss also mindestens 17 Lose kaufen,
damit die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose über 50 % liegt.
(2 P)
- 82 -
WAHLBEREICH
Lösg 2-2013-H
a)
ERWARTUNGSWERT
Ereignisse Stern  Stern Diamant  Diamant
Werte x i

P X  xi
E( X ) 

Kleeblatt  Kleeblatt
2€
0, 85 €
0, 20 €
1
36
4
36
9
36
1
4
9
2  4  0, 85  9  0, 20
 2 €   0, 85 €   0, 20 € 
 0, 20 €
36
36
36
36
Der Erwartungswert ist so groß wie der Einsatz: Das Spiel ist also fair.
EX  
1
4
9
 2   a   0, 20  0, 20  0, 05  0, 15
36
36
36
1
4
9
 2   a   0, 20  0, 15  2  4 a  1, 8  5, 4
36
36
36
4 a  1, 6
 a  0, 40 €
Damit der Veranstalter pro Spiel 0,05 € gewinnt, muss die Auszahlung für Diamant-Diamant
auf 0,40 € abgeändert werden.
(3 P)
b)
HYPOTHESENTEST
 linksseitig 
H0 : p 
1
36
( Nullhypothese)
H1 : p 
1
36
(Gegenhypothese)
RECHNUNG
n  500 ,
p  1/ 36 ,   0, 05
P  X  k   0, 05
k ist gesucht.
Da die Wahrscheinlichkeit p als zu klein vermutet wird, macht man einen linksseitigen Test.
Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binom cdf) als Funktion eingegeben und dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den
ersten Wert, der unter 5% liegt.
Ablehnungsbereich für H 0 0 ; 7  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für
H 0  8 ; 500  , d.h. H1 wird abgelehnt.
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Wenn bei 500 Spielen höchstens 7-mal Stern-Stern erscheint,
wird H0 abgelehnt, ansonsten wird H0 angenommen.
- 83 -
(3 P)
WAHLBEREICH
Lösg 1-2013-N
a) (leicht)
n  20 , p  0, 03 , k  2 ,   ?
Typ :
kumuliert
P  X  2   1  P  X  1  0,1198  12 %
n  20 , p  0,97 , k  17 ,   ?
Typ :
kumuliert
P  X  17   1  P  X  17   0,97899  97,9 %
(3 P)
b) (schwer)
0 defekt
≥ 3 defekt
1 defekt
≥ 2 defekt
zurück
zurück
≥ 2 defekt , zurück
P  Rückgabe   P  X  0   P  X  3  P  X  1  P  X  2   P  X  2 
P  Rückgabe   0,011  0,040  0,120  0,172  17, 2 %
(4 P)
Lösg 2-2013-N
HYPOTHESENTEST
 rechtsseitig 
H 0 : p  0, 03 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 03 (Gegenhypothese)
RECHNUNG
n  200 ,
p  0, 03 ,   0, 05
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 05
k ist gesucht.
- 84 -
WAHLBEREICH
FUNKTION
TABELLE
ERWARTUNGSWERT
E  200  0, 03  6
dient zur Orientierung.
Da die Wahrscheinlichkeit p als zu groß vermutet wird, macht man einen rechtsseitigen Test.
Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung ( binom cdf ) als Funktion eingegeben und dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen.
Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten Wert, der unter 5% liegt.
ERGEBNIS
Ablehnungsbereich für H0 11 ; 200  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für
H 0 0 ; 10  , d.h. H1 wird abgelehnt.
(4 P)
Lösg 1-2014-H
a)
Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
6
 0, 6 , k  12
10
P  X  12   1  P  X  11  0,5955  59, 6%
n  20 ,
p
Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
3
 0,3 / q  0, 7 / 7 Paare
10
P  zwei aufeinander folgende sind schwarz   7  0,32  0, 7 6  7, 4%
n8 /
p
(4 P)
b)
Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt.
Anzahl der gezogenen schwarzen
Kugeln im 1. Gefäß
2
1
0
Wahrscheinlichkeiten
6 5 1
 
10 9 3
6 4 8
2  
10 9 15
4 3 2
 
10 9 15
- 85 -
schwarze Kugeln
im 2. Gefäß
3 2  5
3 1  4
3 0  3
WAHLBEREICH
Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?
1 5 8 4 2 3
7
P  schwarz        
3 12 15 12 15 12 20
(3 P)
Lösg 2-2014-H
a)
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt
mit n = 800 und p = 0,05.
P  X  30   0, 057  5,7%
ERWARTUNGSWERT
E  X   800  0, 05  40
Abweichung davon  9 :
P  31  X  49   P  X  49   P  X  30   0,878  87,8%
(3 P)
b)
Nullhypothese
HYPOTHESENTEST
H 0 : p  0, 02
Gegenhypothese
H1 : p  0, 02  rechtsseitiger Test
Stichprobenumfang
n  800
Wahrscheinlichkeit
p  0, 02
Irrtumswahrscheinlichkeit   0, 05
Erwartungswert
E  800  0, 02  16
Ablehnungsbereich
RECHNUNG
A  k / ...... / 800  k  ?
P  X  k   0, 05
1  P  X  k  1  0,05
k ist gesucht
FUNKTION eingeben
ERGEBNIS
TABELLE k ablesen
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  24 / ...... / 800 .
Bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese.
- 86 -
(3 P)
WAHLBEREICH
Lösg 1-2014-N
a)
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt
mit n = 120 und p = 0,8.
P  X  100   1  P  X  99   0, 215  21, 5%
Die Zufallsvariable Y ist binomialverteilt
mit p = 0,8. Gesucht ist n.
Ansatz: P Y  750   1  P Y  750   0, 95
(3 P)
b)
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR FALSCHE ENTSCHEIDUNG
0,99
richtig erkannt
0,01
falsch erkannt
1-p
richtig erkannt
p
falsch erkannt
Chip defekt
0,2
0,8
Chip intakt
Es muss gelten: P  defekt / falsch  oder P  intakt / falsch   0, 05
0, 2  0, 01  0,8  p  0, 05
0, 002  0,8  p  0, 05
0,8  p  0, 048
p  0, 06
Fehlerfreie Chips dürfen höchstens mit der Wahrscheinlichkeit von 6% als fehlerhaft aussortiert werden.
(3 P)
- 87 -
WAHLBEREICH
Lösg 2-2014-N
a)
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt
mit n = 15 und p = 0,8.
P  X  12   1  P  X  11  0, 648  64, 8%
Die neue Wirkungswahrscheinlichkeit soll nun p sein. Dann gilt:
P Wirkung bei allen 15 Patienten   0,90
p15  0,90 
p  15 0,9  0,993  99,3%
(3 P)
b)
HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0,85
Gegenhypothese
H1 : p  0,85  linksseitiger Test
Stichprobenumfang
n  210
Wahrscheinlichkeit
p  0,85
Irrtumswahrscheinlichkeit   0, 01
Erwartungswert
E  210  0,85  178,5
Ablehnungsbereich
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
P  X  k   0,01
k ist gesucht
FUNKTION eingeben
TABELLE k ablesen
ERGEBNIS
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  0 / ...... /165 .
Erst bei mehr als 165 positiven Wirkungsnachweisen wird die Nullhypothese angenommen.
(3 P)
- 88 -
FORMELN
KLASSISCHE WAHRSCHEINLICHKEITSDEFINITION
E
 Ereignis oder Experiment
P
 Wahrscheinlichkeit
günstige Fälle
PE 
mögliche Fälle
ELEMENTARE REGELN
0  PE  1
E  Ereignis
PE  0
E  unmögliches Ereignis
PE  1
E  sicheres Ereignis
 
PE  P E  1
E  Gegenereignis
P  A und B   P  A   P  B 
P  A oder B   P  A   P  B 
 
PE  1 P E
1 1 1
P  eine 5 würfeln und eine 2 würfeln    
6 6 36
1 1 2 1
P  eine 5 würfeln oder eine 2 würfeln     
6 6 6 3
1 5
P  keine 5 würfeln   1  
6 6
KOMBINATORIK
n!  1  2  3  ....  n
Anzahl der Permutationen (Vertauschungen ) von n Elementen
n!
Permutationen mit Wiederholungen
p1 !  p2 !
n
n!
Anzahl der Kombinationen ( Auswahl ) von k Elementen aus n Elementen
 
 k  k !  n  k !
sprich : n über k
7  7  6  5
 10  10  9
 8  8 7  6  5
 35 ;   
 45 ;   
 70
 
 3  1 2  3
 2  1 2
 4  1 2  3  4
ERWARTUNGSWERT
Der Erwartungswert ist die Summe aller Werte, die zuvor mit den zugehörigen WahrscheinBeispiele
lichkeiten multipliziert worden sind:
E  X   k1  P  X  k1   k2  P  X  k2   . . . kn  P  X  kn 
ki  Einzelwerte ;
P  X  ki   Einzelwahrscheinlichkeiten
FAIRES SPIEL
Ein Spiel ist fair, wenn die Gewinnerwartung Null Euro beträgt.
- 89 -
FORMELN
MODELLIEREN MIT DER BERNOULLI-FORMEL
Kettenlänge n
Trefferwahrscheinlichkeit p
n
nk
P  X  k      p k  1  p 
k 
Wahrscheinlichkeit
für genau k Treffer
Trefferzahl k
Kettenlänge n
Gegenwahrscheinlichkeit
Trefferwahrscheinlichkeit p
n k
nk
P  X  k       p  1  p 
0 k 
k
Wahrscheinlichkeit
kumuliert bis k Treffer
Trefferzahl k
Gegenwahrscheinlichkeit
Für den Erwartungswert bei einem n - stufigen
Bernoulli - Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit p gilt
MITTELWERT
E X     n p
BEDEUTUNG der VARIABLEN
X
k
p
1- p
Zufallsvariable
Trefferzahl
Wahrscheinlichkeit für Treffer
Wahrscheinlichkeit für Nicht  Treffer
P X  k
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer
P X  k
Wahrscheinlichkeit für 0 bis k Treffer
GTR - Einsatz
P  X  k  berechnet man mit
binompdf (n, p, k )
P  X  k  berechnet man mit
binomcdf (n, p, k )
P  X  k  berechnet man mit
1 - binomcdf (n, p, k )
P  X  k  berechnet man mit
1 - binomcdf (n, p, k  1)
P  k1  X  k2  berechnen....
binomcdf (n, p, k2 )  binomcdf (n, p, k1  1)
- 90 -