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Vektorrechnung
(Version 25.06.02)
1. Begriffsklärung
S. 02
1.1 linear abhängig
S. 02
1.2 kollinear
S. 02
1.3 geschlossener Vektorzug
S. 02
1.4 komplanar
S. 02
1.5 Nullvektor, Neutrales Element
S. 02
1.6 Gegenvektor, Inverses Element
S. 02
1.7 Betrag/Länge eines Vektors
S. 02
1.8 Einheitsvektor
S. 02
1.9 Spurpunkte – Spurgeraden
S. 03
1.10Projektion einer Geraden auf die x1x2-Ebene
S. 03
1.11kartesisches Koordinatensystem
S. 03
2. Beispiele
S. 03
2.1 Beispiel zur Angabe einer Lösung eines linearen Gleichungssystem
S. 03
2.2 Beispiel für einen Beweis mit den Mitteln der Vektorrechung – Pythagoras
S. 03
3. Skalarprodukt
S. 04
3.1 Definition des Skalarprodukts
S. 04
3.2 Algebraische Eigenschaften des Skalarprodukts
S. 04
3.3 Rechtwinkligkeit von Vektoren
S. 04
3.4 Winkel zwischen zwei Vektoren
S. 04
3.5 Spezialfälle
S. 04
4. Geraden
S. 05
4.1 Zweipunkteform der Geraden
S. 05
4.2 Punkt-Richtungsform der Geraden – Parameterform der Geraden
S. 05
4.3 Umformen von zweidimensionalen Geradenfunktionen
S. 05
4.4 Schnitt zweier Geraden
S. 05
5. Ebenen
S. 06
5.1 Parameterform der Ebene
S. 06
5.2 Koordinatenform der Ebene
S. 06
5.3 Achsenabschnittsform der Ebene
S. 06
5.4 Normalenform der Ebene
S. 06
5.5 Hessesche Normalenform
S. 06
5.6 Umformen der Parameterform in die Koordinatenform
S. 07
5.7 Umformen der Parameterform in die Normalenform
S. 07
5.8 Umformen der Koordinatenform in die Parameterform
S. 07
5.9 Umformen der Koordinatenform in die Normalenform
S. 07
5.10 Umformen der Normalenform in die Parameterform
S. 08
5.11 Umformen der Normalenform in die Koordinatenform
S. 08
5.12 Schnitt zweier Ebenen
S. 08
6. Abstandsberechnung
S. 09
6.1 Abstand windschiefer Geraden
S. 09
6.2 Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt (=kürzeste Strecke)
S. 09
7. Geraden, Punkte und Ebenen
S. 11
7.1 Schnittmengen von Gerade und Ebene
S. 11
7.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
S. 11
7.3 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
S. 11
7.4 Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene (kürzeste Strecke)
© Marc Engelbrecht 2001
1
1. Begriffsklärung
1.1 linear abhängig
r
r
Erfüllen Vektoren a1 , a2 … (≠ o ) des R3 oder des R2 die Gleichung k1 a1 + k 2 a2 + ... = o mit
mindestens zwei ki ≠ 0, dann heißen die Vektoren a1 , a2 … linear abhängig.
1.2 kollinear (linear abhängig)
Zwei Vektoren sind kollinear zueinander, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des Anderen
ist.
r
r
r
r
z.B.: a = 2b oder a = −2b
1.3 geschlossener Vektorzug (linear abhängig)
r
r
r
c = 2a + 3a
1.4 komplanar (linear abhängig)
Drei Vektoren a, b, c heißen komplanar, wenn sich ein Vektor als Linearkombination der
anderen darstellen lässt. Æ Sie liegen auf einer Ebene. Komplanare Vektoren liegen auf einer
Ebene.
r
r
r
a = r ⋅b + s ⋅c
r, s ∈ ℜ \ {0}
Mit drei nicht komplanaren Vektoren lässt sich der vierte Vektor im dreidimensionalen Raum
immer darstellen.
1.5 Nullvektor, Neutrales Element
0
r  
Der Vektor o =  0  heißt Nullvektor. (Beispiel angegeben für drei Dimensionen)
0
 
1.6 Gegenvektor, Inverses Element
r
r
r
r
Zu jedem a ∈ V existiert ein a′ ∈ V mit a + a′ = o . Æ a′ = − a
1.7 Betrag/Länge eines Vektors
 a1 
r  
a =  a2 
a 
 3
r
a = a12 + a22 + a32
1.8 Einheitsvektor
r
a
Der Einheitsvektor a 0 besitzt die Länge 1.
a0 = r
a
(ar )2 = ar • ar = a12 + a22 + a32 = ar ⋅ ar
© Marc Engelbrecht 2001
r2
r 2 r2
= a Æ (a ) = a
2
1.9 Spurpunkte - Spurgeraden
Die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen heißen Spurpunkte der Geraden.
Die Punkte, in denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet, heißen auch Spurpunkte.
Die Verbindungsgeraden dieser Punkte sind die Spurgeraden der Ebene.
1.10
Projektion einer Geraden auf die x1x2-Ebene
 2
 4 
 
r  
g : x =  3 + r ⋅  − 6 Æ
7
 5 
 
 
1.11
 2
 4 
 
r  
h : x =  3 + r ⋅  − 6
 0
 0 
 
 
kartesisches Koordinatensystem
Im kartesischen Koordinatensystem stehen drei Achsen orthogonal zueinander und das
Koordinatensystem ist „positiv orientiert.“
2. Beispiele
2.1 Beispiel zur Angabe einer Lösung eines linearen Gleichungssystems
1
 2
 
 
x ⋅  2 + y ⋅  4 = 0
 3
6
 
 
L = {x, y / x = −2 y}
;
2.2 Beispiel für einen Beweis mit den Mitteln der Vektorrechnung – Pythagoras
Behauptung:
Vorraussetzung:
Beweis:
© Marc Engelbrecht 2001
2
2
2
BC + AC = AB ; da
r r
r r
a ⊥ b ⇔ a • b = 0 und
r
r
r2 r
r
a = a 2 gilt: a 2 + b 2 = c 2
r r r
c = a −b
r
rr r
c 2 = a 2 − 2ab + b 2
r r
a •b = 0
r
r
r
c 2 = a2 + b 2
3
3. Skalarprodukt
3.1 Definition des Skalarprodukts
r r
a • b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3
v
r
Skalarprodukt der Vektoren a und b im dreidimensionalen Raum.
Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl.
Dem Vektorraum wird eine reelle Zahl zugeordnet. V → ℜ
3.2 Algebraische Eigenschaften des Skalarprodukts
r r r r
a •b = b •a
r r r r r r r
a • b + c = a •b + a •c
r r
r r
r ⋅ a • b = (r ⋅ a ) • b
r
r
(r ⋅ ar ) • s ⋅ b = (r ⋅ s ) ⋅ ar • b
(
(
)
Kommutativ-Gesetz
(ar • br )• cr = ar • (br • cr )
Distributiv-Gesetz
r
r • c = ...
)
( )
3.3 Rechtwinkligkeit von Vektoren
a-b
r r
r r
a
a ⊥ b ⇔ a •b = 0
0
b
r r
a ⊥ b ⇔ a12 + a22 + a32 + b12 + b22 + b32 = (a1 − b1 ) 2 + (a2 − b2 ) 2 + (a3 − b3 ) 2 = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
3.4 Winkel zwischen zwei Vektoren
r r
a •b
cos α = r r
a⋅b
a
c
α
Abgeleitet wird dieser Satz durch gleichsetzen
r2
von
c
mit
dem
Kosinussatz
r
r
2
r2 r2
r
c = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos α .
b
Der Schnittwinkel zweier Vektoren ist immer der kleinere Winkel! Æ Der Betrag des
Skalarprodukts bedingt, dass der kleiner Winkel berechnet wird, denn es gilt:
cos α = − cos(180° − α ) .
Bei der Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden ist die Vorraussetzung, dass sie sich
schneiden!!!
3.5 Spezialfälle
r r
r r
α = 0° ⇔ a • b = a ⋅ b ⋅ 1
r r
r r
Vektoren sind gleichgerichtet
α = 180° ⇔ a • b = − a ⋅ b
Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet
α = 90° ⇔ a • b = 0
Vektoren stehen senkrecht aufeinander
r r
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4
4. Geraden
4.1 Zweipunkteform der Geraden
r r
r r
g : x = a + r ⋅ (b − a ); r ∈ ℜ
4.2 Punkt-Richtungsform der Geraden – Parameterform der Geraden
r r
r
g : x = a + r ⋅u
r
Der Vektor a ist der Ortsvektor des Punktes A. Der Vektor u ist der Richtungsvektor.
„r“ ist der Parameter.
4.3 Umformen von zweidimensionalen Funktionen von Geraden
1
r  0
y = m ⋅ x + c ÅÆ g : x =   + r ⋅  
c
m
4.4 Schnitt zweier Geraden
Berechnung durch Gleichsetzen der Geraden und bestimmen der Parameter r und s.
 a1 
 b1 
 
r  
g : x =  a 2  + r ⋅  b2  und
a 
b 
 3
 3
 c1 
 d1 
 
r  
h : x =  c2  + s ⋅  d 2  ; g ∩ h
c 
d 
 3
 3
a) windschief
Die Geraden haben unterschiedliche Richtungen und sind nicht parallel. Sie besitzen
r
v
b und d sind linear unabhängig.
keinen Schnittpunkt ( L = { }).
b) parallel
r
v
Die Geraden besitzen keinen Schnittpunkt ( L = { }) b und d sind linear abhängig.
c) identisch
Die Geraden besitzen „unendlich viele“ Schnittpunkte.
r
v
( L = {r , s ∈ ℜ / r = v ⋅ s + w} für v, w ∈ ℜ ); b und d sind linear abhängig.
d) Schnittpunkt
Die Geraden besitzen einen Schnittpunkt ( L = {r = v, s = w} für v, w ∈ ℜ )
r
v
b und d sind linear unabhängig.
g ∩ h = S ( x; y; z )
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5
5. Ebenen
5.1 Parameterform der Ebene
r r
E : x = a + r ⋅ AB + s ⋅ AC
A, B, C sind Punkte der Ebene
r r
r
r
E : x = a + r ⋅u + s ⋅v
r r
r
A sei ein Punkt mit dem Ortsvektor a . u und v sind linear unabhängige Vektoren. Die
r
r r
r
r
Punkte X mit den Ortsvektoren x = a + r ⋅ u + s ⋅ v bilden eine Ebene durch den Punkt A. a
r
r
heißt Stützvektor (Aufpunktvektor). u und v nennt man die Spannvektoren der Ebene.
5.2 Koordinatenform der Ebene
E :a⋅ x +b⋅ y + c⋅ z = d
a, b, c, d ∈ ℜ
5.3 Achsenabschnittsform der Ebene
Die Achsenabschnittsform erleichtert die Angabe der Spurpunkte und das Zeichnen der
Ebene, da die Schnittpunkte mit den Achsen direkt angegeben werden können.
x y z
+ + =1
a b c
a, b, c ∈ ℜ
Schnittpunkt mit x-Achse:
Schnittpunkt mit y-Achse:
Schnittpunkt mit z-Achse:
P(a;0;0)
P(0;b;0)
P(0;0;c)
5.4 Normalenform der Ebene
r r r
E : ( x − p) • n = 0
r
r r r
p ∈ E; n ≠ 0; n ⊥ E
Beispiel:
oder alternativ

 1   − 1 
 r    
 x −  2  •  2  = 0
 3   − 4 

   
5.5 Hessesche Normalenform
r r r r
r r
E : x •n − d = 0 (E : x •n − p•n = 0)
entspricht
r r
E : ( x − p) • n 0 = 0
 −1
r  
x • 2  +9 = 0
 − 4
 
; Einheitsnormalenvektor!
r r
n x + n2 x2 + n3 x3 − r
= 0 ⇔ E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 − r = 0
E : ( x − p) • n 0 = 0 ⇔ E : 1 1
n12 + n22 + n32
Um den Abstand eines Punktes P zur Ebene zu berechnen, wird der Punkt in die Hessesche
Normalenform eingesetzt, das Ergebnis gibt die Strecke d(P;E) an.
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6
5.6 Umformen der Parameterform in die Koordinatenform
x = a1 + r ⋅ b1 + s ⋅ c1
 a1 
 b1 
 c1 
 
 
r  
E : x =  a 2  + r ⋅  b2  + s ⋅  c2  Æ y = a 2 + r ⋅ b2 + s ⋅ c2
a 
b 
c 
z = a3 + r ⋅ b3 + s ⋅ c3
 3
 3
 3
Durch eliminieren von r und s erhält man die Koordinatenform.
5.7 Umformen der Parameterform in die Normalenform
 a1 
 b1 
 c1 
 
 
r r
r r
r
r  
E : x =  a 2  + r ⋅  b2  + s ⋅  c2  Es gilt n • b = 0 und n • c = 0 ! a ist Aufpunktvektor von E!
a 
b 
c 
 3
 3
 3
Das Gleichungssystem der Skalarprodukte wird zu den Koordinaten n1, n2, n3 des
Normalenvektors aufgelöst. Für n1 (bzw. n2 oder n3)=v (v ∈ ℜ) ergeben sich die anderen
Koordinaten eines Normalenvektors.
r r r
Æ E : [x − a ] • n = 0
5.8 Umformen der Koordinatenform in die Parameterform
E :a⋅ x +b⋅ y + c⋅ z = d Æ x =
d b
c
− ⋅y− ⋅z Æ y = r ;
a a
a
b
c
d

L = ( x; y; z ) =  − r ⋅ − s ⋅ ; r ; s 
a
a
a

b
c d 
d
 b
 c
− 
− 
 x  a − r ⋅ a − s⋅ a   a 
  
 a
 a
r   
E : x =  y = 
r
0
r
1
s
=
+
⋅
+
⋅
  


 0 
z 
 0
 0 
 1 
s
  
  





  




z = s; x =
d
b
c
−r⋅ −s⋅
a
a
a
Man stellt nach x um und setzt
y=r
und
z=s.
In
der
Parameterform ergibt sich die
angegebene Gleichung. y=1r und
z=1s (s.o.), x=…(mit r, s) werden
wie genannt eingesetzt. Welche
Koordinate durch r und s ersetzt
wird ist grundsätzlich egal.
5.9 Umformen der Koordinatenform in die Normalenform
a
a
r  
r r  
E : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = d ⇔ x •  b  − d = 0 ⇔ [x − p ] •  b  = 0
c
c
 
 
Ist
E : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = d die Koordinatengleichung der Ebene, so ist
a
r  
n =  b  ein
c
 
Normalenvektor der Ebene.
r
Ein Aufpunktvektor p wird durch Einsetzten zweier Zahlen in die Koordinatenform
bestimmt.
© Marc Engelbrecht 2001
7
5.10
Umformen der Normalenform in die Parameterform
r r r
E : [x − a ] • n = 0
Æ
r r
r
r
E : x = a + r ⋅u + s ⋅v
a) Koordinatenform bilden
3 Punkte (mit der Koordinatenform) bestimmen Æ 3 Punkte-Form der Ebene
b) Lineares Gleichungssystem der Skalarprodukte des Normalen- mit den Spannvektoren
r r
r r
u • n = 0 und v • n = 0
u1n1 + u 2 n2 + u3 n3 = 0
Æ Bestimmen zweier Spannvektoren durch Einsetzen
Der Aufpunktvektor der Normalenform wird für die Parameterform übernommen.
5.11
Umformen der Normalenform in die Koordinatenform
 x1   a1   n1 
r r r
     
E : [x − a ] • n = 0 Æ E :  x2  −  a 2  •  n2  = 0 ⇔ n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = a1n1 + a2 n2 + a3 n3
 x3   a3   n3 
5.12
Schnitt zweier Ebenen
a) Parameterform
 a1 
 b1 
 c1 
 
 
r  
E1 : x =  a 2  + r ⋅  b2  + s ⋅  c2  ;
a 
b 
c 
 3
 3
 3
 d1 
 e1 
 f1 
 
 
r  
E 2 : x =  d 2  + t ⋅  e2  + u ⋅  f 2 
d 
e 
f 
 3
 3
 3
a1 − d1 + r ⋅ b1 + s ⋅ c1 − t ⋅ e1 − u ⋅ f1 = 0 Zwei Parameter einer Geraden eliminieren und nach
a 2 − d 2 + r ⋅ b2 + s ⋅ c2 − t ⋅ e2 − u ⋅ f 2 = 0 einem verbliebenen Parameter auflösen. Dieser
a3 − d 3 + r ⋅ b3 + s ⋅ c3 − t ⋅ e3 − u ⋅ f 3 = 0 Parameter in die Ebenengleichung eingesetzt, gibt
die Parameterform der Schnittgeraden an.
b) Koordinatenform
E1 : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = 1
;
E2 : d ⋅ x + e ⋅ y + f ⋅ z = 1
x = ... ⋅ r + ...
 ... 
 ... 
 
r  
y=r
⇔ x = ... ⋅ y + ... ⇒ z = ... ⋅ y + ... ⇒
⇔ g : x =  0  + r ⋅ 1 
d ⋅ x + e⋅ y + f ⋅ z =1
 ... 
 ... 
z = ... ⋅ r + ...
 
 
a⋅ x +b⋅ y + c⋅ z =1
Im Gleichungssystem wird eine Koordinate eliminiert. Man erhält z.B. x in
Abhängigkeit von y. Setzt man diesen Term in eine Ursprungsgleichung ein, erhält
man z.B. z in Abhängigkeit von y. Die Koordinaten können dann alle in Abhängigkeit
von z.B. y ausgedrückt werden. Setzt man y = r erhält man durch ausklammern von r
die Parameterform der Schnittgeraden.
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8
6. Abstandsberechnung
6.1 Abstand windschiefer Geraden
r r
r
r r
r
g : x = p + r ⋅u
h: x = q + s⋅v
g ∈ Eg
r r
r
r
E g : x = p + r1 ⋅ u + s1 ⋅ v
h ∈ Eh
r r
r
r
Eh : x = q + r2 ⋅ u + s2 ⋅ v
E g Eh
r
n : Normalenvektor der Ebenen
Der Abstand zwischen den beiden am Nähesten gelegenen Punkten der Geraden ist gleich
der Strecke eines beliebigen Punktes zur anderen Ebene.
r r
d (g ; h ) = d ( E g ; Eh ) = d (Q; E g ) = d (P; Eh ) = ( p − q ) • n 0
6.2 Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt (=kürzeste Strecke)
 a1 
 b1 
 
r  
g : x =  a2  + r ⋅  b2  ;
a 
b 
 3
 3
R(r1; r2; r3)
a) Formel mit cos und Kosinussatz hergeleitet
RF =
[
(rr − ar )2 − (rr − ar ) • b 0
]
2
abgeleitet von: cos α =
r
r
r : Punkt R a : Aufpunkt der Geraden
F : Fußpunkt (des Lots)
AF
AR
und Kosinussatz
b 0 : Einheitsrichtungsvektor der Geraden
b) Schnitt der Geraden mit der senkrecht zur Geraden stehenden Ebene, die R enthält,
mit Hilfe der Normalenform
 x1   r1   b1 
     
E :  x2  −  r2  •  b2  = 0
 x3   r3   b3 
g ∩ E : Einsetzen der Geraden in die Ebenengleichung.
 a1 
 b1   r1   b1 
     
 
+
⋅
a
r


 b2  −  r2  •  b2  = 0
2

 b   r   b 
 a3 
 3   3   3 
Æ r = … Æ P(…) Fußpunkt/Schnittpunkt Æ d ( P; g ) = PR
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9
c) Schnitt zwischen der zur Geraden senkrechten Ebene durch R mit der Geraden mit
Hilfe der Koordinatenform
E : b1 x + b2 y + b3 z = c = b1r1 + b2 r2 + b3 r3
c: Konstante; Koordinatenform der Ebene
Die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebene bilden die Koordinaten der
Normalen der Ebene und umgekehrt. Der Richtungsvektor der Geraden ist ein
Normalenvektor der Ebene.
g ∩ E : b1 (a1 + r ⋅ b1 ) + b2 (a 2 + r ⋅ b2 ) + b3 (a3 + r ⋅ b3 ) ⇔ r = ...
Die Koordinaten des Fußpunkts F erhält man durch Einsetzen von r in die
Geradengleichung. FR = d ( F ; R) = d ( g ; R)
d) Schnitt zwischen den Senkrechten zur Geraden g und dem Punkt R
r r
r r
r = a + r ⋅b + n
r
n : Vektor von der Geraden zu R (senkrecht zur Geraden; Vektor von Fußpunkt zu R)




n1
r


r
r
− b1 n1 − b2 n 2
n2
n ⊥ b ⇔ b1 n1 + b2 n 2 + b3 n 3 = 0 ⇔ n 3 =
⇔ n=

b3
 − b1 n1 − b2 n 2 


b3


r1 = a1 + r ⋅ b1 + n1
r2 = a2 + r ⋅ b2 + n2
−bn −b n
r3 = a3 + r ⋅ b3 + 1 1 2 2
b3
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Das Gleichungssystem nach r, n1 und n2 auflösen.
Setzt man r in die Geradengleichung ein, erhält man
die Koordinaten des Fußpunkts F. Mit n1 und n2 lässt
r
r
sich der Vektor n bestimmen. n = d ( F ; R ) = d ( g ; R )
10
7. Geraden, Punkte und Ebenen
7.1 Schnittmengen von Gerade und Ebene
r r
r
r
E : x = a + r ⋅u + s ⋅v
r r
r
g : x = b +t⋅w
a) Gerade schneidet Ebene
Schnitt-/Durchstoßpunkt
L = {r = w, s = v, t = w} für u, v, w ∈ ℜ
b) Gerade liegt parallel zur Ebene
r
r r r
r
r r
u , v , w sind komplanar ( p ⋅ u + q ⋅ v = w für p, q ∈ ℜ ) und b ∉ E
L ={ }
c) Gerade liegt in der Ebene
r
r r r
r
r r
u , v , w sind komplanar ( p ⋅ u + q ⋅ v = w für p, q ∈ ℜ ) und b ∈ E
L = {r , s, t ∈ ℜ / 0 = ... ⋅ r + ... ⋅ s + ... ⋅ t}
7.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
r r
r
r
E : x = a + r ⋅u + s ⋅v
r r
r
g : x = b +t⋅w
r r
u•n
sin α = r r = cos β
u⋅n
α : Winkel zwischen Geraden und Ebene
β : Winkel zwischen Geraden und Normalen
7.3 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Schnittwinkel der beiden Normalenvektoren
der Ebenen.
cos α =
n1 • n2
n1 ⋅ n2
7.4 Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene (kürzeste Strecke)
r r r
r
E : ( x − p) • n = 0 ; R ist der Punkt mit dem Vektor r .
r r
d ( R; E ) = (r − p) • n 0
Der Abstand einer Ebene zu einer parallelen Geraden oder Ebene erfolgt durch Wahl eines
Punktes der Geraden bzw. Ebene, von dem der Abstand bestimmt wird.
© Marc Engelbrecht 2001
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