Übungsblatt 4

PDGL MSE
SS13
Übungsblatt 4
Rechenaufgaben
Aufgabe 13 (Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren)
Man bestimme diejenigen α ∈ R\ {0} für welche das Jacobi-Verfahren zur Lösung eines
linearen Systems mit der Matrix


α 0 1
A =  0 α 0 ,
1 0 α
konvergiert. Desweiteren ermittle man alle α ∈ R\ {0} für welche das Gauß-Seidel-Verfahren
zur Lösung eines linearen Systems mit der angegebenen Matrix konvergiert.
Aufgabe 14 (Vergleich von direkten und iterativen Verfahren)
Gegeben sei eine vollbesetzte Matrix Avoll ∈ Rn×n und eine dünnbesetzte Matrix Asparse ∈
Rn×n mit (m,m)-Bandstruktur und Bandbreite m ≪ n.
a) Bestimmen Sie mit kurzer Begründung den Aufwand einer LU-Zerlegung der voll
besetzten Matrix Avoll bzw. der dünnbesetzten Matrix mit Bandstruktur Asparse .
b) Bestimmen Sie mit kurzer Begründung den Aufwand eines Schrittes des JacobiVerfahrens für Avoll bzw. Asparse
c) Vergleichen Sie das Jacobi-Verfahren mit einer LU-Zerlegung sowohl im Fall einer
dünnbesetzten Matrix mit (m, m)-Bandstruktur als auch einer vollbesetzten Matrix.
Wann lohnt sich ein iteratives Verfahren? Wann ist ein direkter Löser zu √
bevorzugen?
Nehmen Sie im Fall der dünnbesetzten Matrix N ∈ O(n) und m ∈ O( n) an.
Quiz
Aufgabe 15 (Konvergenzgeschwindigkeit)
Gegeben seien die folgenden drei Matrizen:



0.1 0
0
0
11 8

 π 0.8 0
 8 11
1
0


A1 = 
 e 0.3 0.6 0  A2 = 10  0 0
π 2 0.4 0.1 0.2
0 0
0
0
9
3

0
0

3
9


11 8 0
0
1 
0

 8 11 0
A3 =
10  0 0 0.5 0 
0 0 0 1.1
Zur Lösung der Gleichungssysteme Ai x = bi , i ∈ {1, 2, 3} mit geeigneten rechten Seiten
bi wird das ungedämpfte Richardson-Verfahren verwendet. Ordnen Sie die Matrizen nach
der Konvergenzgeschwindigkeit des Richardson-Verfahrens, beginnend mit der höchsten
Konvergenzgeschwindigkeit.
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Abgabe: 4.6.2013
Modellierung
Aufgabe 16 (Fachwerk)
Es sei das folgende statisch bestimmte Fachwerk gegeben:
Zur Bestimmung der Stabkräfte kann das sog. Knotenpunktverfahren angewendet werden.
Dabei nützt man aus, dass an jedem Knoten die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein
müssen, d.h. die Summe aller Kräfte muss gleich Null sein. Bei Fachwerken wirken nur
Normalkräfte in Achsenrichtung der Stäbe.
Bei statisch bestimmten Systemen führt das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
auf ein lineares Gleichungssystem, das eindeutig lösbar ist.
a) Stellen Sie ein LGS der Form Ax = b zur Bestimmung der Stab- und Auflagerkräfte
auf. Die Knotenabstände betragen jeweils in horizontaler Richtung 2l, in vertikaler
Richtung l. Die Kraft F betrage 1 kN.
b) Lösen Sie das Gleichungssystem in Matlab.
c) Welche Bandbreite hat die von Ihnen aufgestelle Matrix? Ließe sich die Bandbreite
verbessern? Falls ja, wie?
d) Kann das Cholesky-Verfahren auf dieses Gleichungssystem angewendet werden, um
die Lösung zu bestimmen? Begründen Sie!
e) Eignet sich das Jacobi-Verfahren oder das Gauß-Seidel-Verfahren? Begründen Sie!
f) Zusatzaufgabe: Schreiben Sie ein Programm in Matlab, dass beliebige statisch bestimmte Fachwerke berechnen kann (Aufstellen und Lösen eines der Geometrie und
den angreifenden Kräften entsprechenden Gleichungssystems).
Hinweise: Führen Sie die Auflagerkräfte in x- und y- Richtung getrennt als Unbekannte
ein. Betrachten Sie die Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten jeweils in x- und yRichtung getrennt.
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Abgabe: 4.6.2013