Technische Mechanik Kinematik und Kinetik
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Technische Mechanik Kinematik und Kinetik Günther Holzmann • Heinz Meyer Georg Schumpich Technische Mechanik Kinematik und Kinetik 11., überarbeitete Auflage Mit 315 Abbildungen, 138 Beispielen und 172 Aufgaben Überarbeitet von Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller und Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller Hochschule Niederrhein Krefeld, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer Hamburg, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Günther Holzmann Esslingen, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich (verst.) Hannover, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyer (verst.) Osnabrück, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller vertritt die Lehrgebiete Mechanik und Finite-Element-Methoden im Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Hochschule Niederrhein, Krefeld. Seine Forschungsinteressen liegen auf dem Gebiet der statischen und dynamischen Stabilität mechanischer Strukturen. Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer lehrte Technische Mechanik, Leichtbaustatik und Finite Elemente im Fachbereich Fahrzeugtechnik der Hochschule für Angewandte Wissenschaften und außerdem Technische Mechanik im hochschulübergreifenden Studiengang Schiffbau in Hamburg. ISBN 978-3-8348-1816-4 DOI 10.1007/978-3-8348-2239-0 ISBN 978-3-8348-2239-0 (eBook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden 1969, 1972, 1976, 1979, 1983, 1986, 1990, 2000, 2006, 2010, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Thomas Zipsner, Ellen Klabunde Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-vieweg.de Vorwort Der vorliegende Teil 2 des dreibändigen Lehrbuches „Technische Mechanik“ behandelt die Kinematik und Kinetik. Das Buch richtet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften sowie an den in der Berufspraxis stehenden Ingenieur. Großer Wert wurde auf eine klar strukturierte und verständliche Darstellung des Lehrstoffes gelegt. Anschaulichen Herleitungen galt dabei der Vorzug gegenüber rein theoretischen Ableitungen. Die Kinematik und Kinetik bilden die Grundlage für die Behandlung zeitvarianter Problemstellungen der Mechanik. Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen, wobei die während des Bewegungsvorgangs wirkenden Kräfte nicht berücksichtigt werden. In der Kinetik hingegen werden die durch die einwirkenden Kräfte verursachten Bewegungsänderungen verfolgt. Im vorliegenden Band werden zunächst die Grundgleichungen der Kinematik des Massenpunktes und des starren Körpers entwickelt. Ergänzt werden diese Betrachtungen durch die kinematischen Beziehungen zur Beschreibung der Relativbewegung. Ein zentrales Problem der Kinetik ist das Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Dem Anfänger bereitet die zweckmäßige Wahl eines Koordinatensystems und die damit verbundene Festlegung der Vorzeichen in den Bewegungsgleichungen vielfach Schwierigkeiten. Ausgehend vom 2. Newtonschen Grundgesetz bzw. dem daraus abgeleiteten Prinzip von d´Alembert werden die einzelnen Schritte erläutert, die zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen führen. Zahlreiche Problemstellungen der Kinetik lassen sich vorteilhaft mit Hilfe der Erhaltungssätze (Energiesatz, Impulserhaltungssatz, Impulsmomenterhaltungssatz) lösen. Die genannten Sätze werden ausführlich hergeleitet und ihre Anwendung in der Kinetik anhand von aussagekräftigen Beispielen dokumentiert. Eine besondere Bedeutung in der Ingenieurpraxis besitzen die mechanischen Schwingungen, die im letzten Kapitel behandelt werden. Nach der Einführung in die freien und erzwungenen Schwingungen von einfachen Feder-Masse-Systemen werden die Untersuchungen auf Koppelschwinger erweitert. Hieran anschließend werden die Torsions- und Biegeschwingungen von Wellen behandelt, und der für den Ingenieur wichtige Begriff der biegekritischen Drehzahl wird erklärt. Das didaktische Konzept des vorliegenden Buches besteht darin, dass jeweils nach einer verständlichen Einführung in die theoretischen Grundlagen der Lehrstoff anhand von aussagekräftigen Beispielen erklärt und vertieft wird. Die zahlreichen Übungsbeispiele am Ende jedes Abschnittes bieten die Möglichkeit, den erlernten Stoff im Selbststudium zu vertiefen. Hamburg / Krefeld, im Juli 2005 Hans-Joachim Dreyer Conrad Eller Vorwort zur 11. Auflage Im Vordergrund der Bearbeitung zur vorliegenden 11. Auflage des Bandes Kinematik und Kinetik stand die weitere Verbesserung des Buchlayouts. Die bereits in der 10. Auflage begonnene Überarbeitung der Bilder wurde fortgesetzt, so dass nun alle Darstellungen der Abschnitte 1 bis 7 als Computergrafiken vorliegen. Sämtliche Abschnitte des Buches wurden sorgfältig durchgesehen und die dabei entdeckten Fehler korrigiert. Konstruktive Anregungen der Leser wurden bei der Überarbeitung berücksichtigt. Wir danken allen Benutzern des Buches, von denen wir Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung erhielten. Für weitere Anregungen zur Weiterentwicklung des Buches sind wir stets dankbar. Ein besonderer Dank gilt auch dem Verlag Springer Vieweg für die gewährte Unterstützung und insbesondere Herrn Thomas Zipsner vom Lektorat Grundlagen Technik für die angenehme Zusammenarbeit. Hamburg / Krefeld, im September 2012 Hans-Joachim Dreyer Conrad Eller Inhalt Vorwort ................................................................................................................................. Vorwort zur 10. Auflage ....................................................................................................... Formelzeichen (Auswahl) .................................................................................................... V VI XI 1 Kinematik des Punktes ................................................................................................. 1 1.1 Eindimensionale Kinematik, Bewegung eines Punktes auf gegebener Bahn ........ 1.1.1 Bogenlänge, Bahngeschwindigkeit, Bahnbeschleunigung .......................... 1.1.2 Kinematische Diagramme ............................................................................ 1.1.3 Gleichförmige Bewegung ............................................................................ 1.1.4 Gleichförmig beschleunigte Bewegung ....................................................... 1.1.5 Ungleichförmige Bewegung ........................................................................ 1.1.6 Aufgaben zu Abschnitt 1.1 .......................................................................... 1.2 Allgemeine Bewegung eines Punktes ..................................................................... 1.2.1 Ortsvektor, Bahnkurve ................................................................................. 1.2.2 Geschwindigkeitsvektor ............................................................................... 1.2.3 Beschleunigungsvektor ................................................................................ 1.2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung .............................................................. 1.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.2 .......................................................................... 1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn ......................................................................... 1.3.1 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung ........................................ 1.3.2 Beschreibung der Kreisbewegung in kartesischen Koordinaten ................. 1.3.3 Gleichförmige Kreisbewegung .................................................................... 1.3.4 Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung ............................................... 1.3.5 Anwendungen der Kreisbewegung .............................................................. 1.3.6 Aufgaben zu Abschnitt 1.3 .......................................................................... 1.4 Beschreibung der ebenen Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten .............. 1 1 4 6 9 16 20 23 23 24 27 32 37 38 38 39 42 44 46 52 55 2 Kinetik des Massenpunktes ......................................................................................... 59 2.1 Das Newtonsche Grundgesetz ................................................................................ 59 2.1.1 Das Grundgesetz und die Axiome der Kinetik ............................................ 59 2.1.2 Das Grundgesetz in Komponentenform ...................................................... 64 2.1.3 Bemerkungen zum Lösen von Aufgaben der Kinetik ................................. 65 2.1.4 Bewegung bei konstanter Bahnkomponente der Kraft ................................ 66 2.1.5 Prinzip von d’Alembert ................................................................................ 69 2.1.6 Bahnkomponente der Kraft abhängig vom Ort, freie Schwingungen ......... 74 2.1.7 Aufgaben zu Abschnitt 2.1 .......................................................................... 81 2.2 Arbeit, Energie, Leistung ........................................................................................ 84 2.2.1 Arbeit einer Kraft ......................................................................................... 84 2.2.2 Energie ......................................................................................................... 93 2.2.3 Arbeitssatz und Energieerhaltungssatz ........................................................ 96 2.2.4 Leistung einer Kraft, Wirkungsgrad ............................................................ 106 2.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 2.2 .......................................................................... 113 2.3 Bewegung eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium ............................... 115 VIII Inhalt 2.3.1 Widerstandsgesetze ...................................................................................... 2.3.2 Fall eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium ............................... 2.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 2.3 ........................................................................... 2.4 Impulssatz, Impulsmomentsatz ............................................................................... 2.4.1 Impuls, Impulssatz ....................................................................................... 2.4.2 Impulsmoment, Impulsmomentsatz ............................................................. 115 118 122 122 123 126 3 Kinematik des Körpers ................................................................................................. 128 3.1 Ebene Bewegung eines starren Körpers ................................................................. 3.1.1 Momentanpol, Polbahnen ............................................................................ 3.1.2 Aufgaben zu Abschnitt 3.1 ........................................................................... 3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand einer Scheibe ............................ 3.2.1 Momentanpol als Geschwindigkeitspol ....................................................... 3.2.2 Satz von Euler .............................................................................................. 3.2.3 Maßstäbe und Konstruktion der Normalbeschleunigung ............................ 3.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.2 ........................................................................... 3.3 Kinematik der Relativbewegung ............................................................................ 3.3.1 Führungs- und Relativbewegung ................................................................. 3.3.2 Absolut- und Coriolisbeschleunigung .......................................................... 3.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.3 ........................................................................... 128 128 132 133 133 136 139 142 143 143 145 153 4 Kinetik des Massenpunktsystems ................................................................................ 154 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Schwerpunktsatz ..................................................................................................... Impuls- und Impulserhaltungssatz .......................................................................... Impulsmoment, Impulsmomentsatz ........................................................................ Bewegung bei veränderlicher Masse – Raketenbewegung .................................... Aufgaben zu Abschnitt 4 ........................................................................................ 154 156 159 161 167 5 Kinetik des Körpers ...................................................................................................... 168 5.1 Allgemeine Bewegung. Körper als Grenzfall eines Massenpunktsystems ............ 5.2 Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse .............................................. 5.2.1 Grundgesetz für die Drehbewegung, Impulsmomentsatz ............................ 5.2.1.1 Grundgesetz für die Drehung um eine feste Achse ........................ 5.2.1.2 Massenträgheitsmomente einfacher Körper ................................... 5.2.1.3 Massenträgheitsmomente um parallele Achsen, Satz von Steiner .............................................................................. 5.2.1.4 Reduzierte Masse, Trägheitsradius ................................................. 5.2.1.5 Anwendungen des Grundgesetzes für die Drehbewegung ............. 5.2.1.6 Impulsmomentsatz bei Drehung um eine feste Achse ................... 5.2.1.7 Zentrifugalmomente, Hauptachsen, Hauptträgheitsmomente ....... 5.2.1.8 Anwendungen des Impulsmomentsatzes. Dynamische .................. Auflagerreaktionen. Auswuchten ................................................... 5.2.1.9 Resultierende Trägheitskraft, Trägheitsmittelpunkt ....................... 5.2.1.10 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.1 .......................................................... 168 171 171 171 173 176 179 180 188 190 194 203 209 5.3 5.4 5.5 5.6 Inhalt IX 5.2.2 Arbeit, Energie und Leistung bei der Drehbewegung ................................. 5.2.2.1 Arbeit .............................................................................................. 5.2.2.2 Kinetische Energie ......................................................................... 5.2.2.3 Arbeitssatz ...................................................................................... 5.2.2.4 Potenzielle Energie, Energieerhaltungssatz ................................... 5.2.2.5 Leistung .......................................................................................... 5.2.2.6 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.2 .......................................................... Ebene Bewegung eines starren Körpers ................................................................. 5.3.1 Bewegungsgleichungen ............................................................................... 5.3.2 Impulsmomenterhaltungssatz ...................................................................... 5.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.3 .......................................................................... Kinetik der Relativbewegung ................................................................................. 5.4.1 Aufgaben zu Abschnitt 5.4 .......................................................................... Energie, Arbeit und Leistung bei allgemeiner und ebener Bewegung ................... 5.5.1 Kinetische Energie ....................................................................................... 5.5.2 Leistung ........................................................................................................ 5.5.3 Arbeit ........................................................................................................... 5.5.4 Arbeitssatz, Leistungssatz, Energieerhaltungssatz ...................................... 5.5.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.5 .......................................................................... Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ........................................... 5.6.1 Impulsmomentsatz ....................................................................................... 5.6.2 Der geführte symmetrische Kreisel ............................................................. 5.6.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.6 .......................................................................... 214 214 215 216 222 225 227 228 228 233 235 238 242 245 245 247 248 248 252 253 253 256 257 6 Stoß ................................................................................................................................. 259 6.1 Allgemeines, Definitionen ...................................................................................... 6.2 Gerader zentraler Stoß ............................................................................................ 6.2.1 Elastischer Stoß ............................................................................................ 6.2.2 Plastischer Stoß ............................................................................................ 6.2.3 Wirklicher Stoß ............................................................................................ 6.3 Gerader exzentrischer Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper, Stoßmittelpunkt ....................................................................................................... 6.4 Aufgaben zu Abschnitt 6 ........................................................................................ 259 260 261 266 268 272 274 7 Mechanische Schwingungen ........................................................................................ 278 7.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 7.2 Freie ungedämpfte Schwingungen ......................................................................... 7.3 Freie Schwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung ................... 7.3.1 Aperiodische Bewegung .............................................................................. 7.3.2 Freie gedämpfte Schwingung ...................................................................... 7.3.3 Aperiodischer Grenzfall ............................................................................... 7.4 Erzwungene Schwingungen .................................................................................... 7.4.1 Erregung über eine Feder ............................................................................. 7.4.2 Erzwungene Schwingungen durch Fliehkrafterregung ............................... 7.4.3 Koppelschwingung. Schwingungstilger ...................................................... 278 283 287 289 291 298 299 299 305 311 X Inhalt 7.5 Schwingungen von Wellen ..................................................................................... 7.5.1 Torsion einer einfach besetzten Welle ......................................................... 7.5.2 Biegekritische Drehzahl der mit einer Scheibe besetzten Welle ................. 7.5.3 Die mit mehreren Scheiben besetzte Welle ................................................. 7.5.4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme ..................................................... 7.6 Aufgaben zu Abschnitt 7 ........................................................................................ 315 315 316 320 325 330 Anhang ................................................................................................................................. 331 Lösungen zu den Aufgaben ............................................................................................ Abschnitt 1.1 ........................................................................................................... Abschnitt 1.2 ........................................................................................................... Abschnitt 1.3 ........................................................................................................... Abschnitt 2.1 ........................................................................................................... Abschnitt 2.2 ........................................................................................................... Abschnitt 2.3 ........................................................................................................... Abschnitt 3.1 ........................................................................................................... Abschnitt 3.2 ........................................................................................................... Abschnitt 3.3 ........................................................................................................... Abschnitt 4 .............................................................................................................. Abschnitt 5.2.1 ........................................................................................................ Abschnitt 5.2.2 ........................................................................................................ Abschnitt 5.3 ........................................................................................................... Abschnitt 5.4 ........................................................................................................... Abschnitt 5.5 ........................................................................................................... Abschnitt 5.6 ........................................................................................................... Abschnitt 6 .............................................................................................................. Abschnitt 7 .............................................................................................................. Weiterführende Literatur ................................................................................................ 331 331 333 334 336 336 337 338 339 341 342 342 345 347 348 350 351 352 353 355 Stichwortverzeichnis .......................................................................................................... 356 Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Abschluss des Manuskriptes. Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Institut für Normung e.V. im Format A 4, die durch den Beuth-Verlag GmbH, Berlin und Köln, zu beziehen sind. – Sinngemäß gilt das Gleiche für alle in diesem Buche angezogenen amtlichen Bestimmungen, Richtlinien, Verordnungen usw. Formelzeichen (Auswahl) A A, B, C a G a G aabs G G aB , aC , ... G aCB G aCor G aF an ar G arel G aS at ax, ay, az aM c cd cg cW d E Ek Ep Epf Eph G G G er , eM , ez G G G et , en , eb G G G ex , ey , ez G F, F FA FF G FG , FG Fh , Fr Fq Fläche Integrationskonstanten Beschleunigung Beschleunigungsvektor absolute Beschleunigung Beschleunigung der Punkte B, C, ... Rotationsbeschleunigung des Punktes C bezüglich B Coriolisbeschleunigung Führungsbeschleunigung Normal- oder Zentripetalbeschleunigung Radialbeschleunigung Relativbeschleunigung Schwerpunktbeschleunigung Tangential- oder Bahnbeschleunigung skalare Komponenten des Beschleunigungsvektors Umfangsbeschleunigung Federkonstante Drehfederkonstante Ersatzfederkonstante Widerstandsbeiwert Durchmesser Energie, Elastizitätsmodul kinetische Energie potenzielle Energie potenzielle Energie der Feder potenzielle Energie der Lage Einsvektoren des Zylinderkoordinatensystems Einsvektoren des natürlichen Koordinatensystems, Tangenten-, Normalen- und BinormalenEinsvektor Einsvektoren des kartesischen Koordinatensystems Kraft, Kraftvektor Auftriebskraft Fliehkraft Gewichtskraft Haft-, Gleitreibungskraft Querkraft G FR, FR FS Ft, Fn FW Fx, Fy, Fz fst G g H h I Ip Ix, Iy, Iz i i J Jred JS Jx, Jy, Jz ½ ¾ J[, JK, J] ¿ Jxy, Jyz, Jzx J[K, JK], J][ j kG LG G L0 , LS l lred G M, M MK Mx , My , Mz m resultierende Kraft Seilkraft Bahn- und Normalkomponente der Kraft Widerstandskraft skalare Komponenten der Kraft statische Auslenkung einer Feder Gleitmodul Fallbeschleunigung Heizwert Höhe axiales Flächenmoment 2. Grades polares Flächenmoment 2. Grades Flächenmoment bezüglich der x-, y- und z-Achse Trägheitsradius Übersetzungsverhältnis Massenträgheitsmoment reduziertes Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt Massenträgheitsmoment bezüglich der x-, y- und z-Achse bzw. der [-, K- und ]-Achse Zentrifugalmoment Zentrifugalmoment imaginäre Einheit (s. DIN 1302) Dämpfungskonstante Impulsmoment Impulsmoment bezüglich eines festen Punktes 0 und bezüglich des Schwerpunktes Länge reduzierte Pendellänge Drehmoment, Drehmomentvektor Kreiselmoment Komponenten des Drehmomentvektors Masse XII Formelzeichen (Auswahl) ma mL mred mv mK Beschleunigungsmaßstabsfaktor Längenmaßstabsfaktor reduzierte Masse Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor Maßstabsfaktor für die Durchbiegung n = 1/T Drehzahl, Frequenz, Schwingungszahl P Leistung effektive und indizierte Leistung Pe , Pi Pn, Pv, Pz Nutz-, Verlust- und zugeführte Leistung G p, p Impuls, Impulsvektor px, py, pz skalare Komponenten des Impulsvektors G q Ortsvektor von bewegtem Bezugspunkt aus R Erdradius G r Ortsvektor r Radius rS Schwerpunktabstand Sa, Sv, S1 ... Strecke, durch die eine Beschleunigung, eine Geschwindigkeit, eine Länge usw. in der Zeichnung dargestellt ist s T t u G v, v vA G vabs G G vB , vC ... G vCB G G vF , vrel vP, vE, vW vr, vM Ortskoordinate Schwingungsdauer Zeit Geschwindigkeit, Treibstrahlgeschwindigkeit Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeit am Anfang des ersten Stoßabschnitts absolute Geschwindigkeit Geschwindigkeit der Punkte B, C, ... Rotationsgeschwindigkeit des Punktes C bezüglich B Führungs- und Relativgeschwindigkeit Geschwindigkeit nach dem plastischen, elastischen und wirklichen Stoß Radial- und Umfangsgeschwindigkeit G vS, vS vx,vy,vz W WN Wn, Wv Wz w x, y, z D = M D, E, J, G, H D = 1/c G K Km, Kth - = G / Z0 / O P P0 Pr Pz [, K, ] U U UF1, UK, UL V W M \ Z = M Z0 Zd Zr stationäre Sinkgeschwindigkeit, Schwerpunktgeschwindigkeit skalare Komponenten des Geschwindigkeitsvektors Arbeit Arbeit der Kräfte ohne Potenzial Nutz- und Verlustarbeit zugeführte Arbeit Durchbiegung, Auslenkung eines Balkens Koordinaten Winkelbeschleunigung Winkel Einflusszahl Abklingkonstante Wirkungsgrad mechanischer, thermischer Wirkungsgrad Dämpfungsgrad logarithmisches Dekrement Schubstangenverhältnis Gleitreibungszahl Haftzahl Roll- bzw. Fahrwiderstandszahl Zapfenreibungszahl Koordinaten Krümmungsradius Dichte Dichte von Flüssigkeit, Körper, Luft Normalspannung Integrationsvariable Drehwinkel, Nullphasenwinkel Winkel, Neigungswinkel der Biegelinie Winkelgeschwindigkeit, auch kritische konstante Winkelgeschwindigkeit, Kennkreisfrequenz Eigenkreisfrequenz Resonanzfrequenz
