Thermische Elektronenemission

Versuch 504
Thermische Elektronenemission
Thorben Linneweber∗
Marcel C. Strzys∗∗
11.11.2008
Technische Universität Dortmund
Zusammenfassung
Protokoll zum Versuch der Untersuchung des Elektonenaustritts
aus einem Metall durch thermische Energie.
Inhaltsverzeichnis
1 Theoretische Grundlagen
1.1 Das Sättigungsstromgebiet . . . . . . .
1.2 Hochvakuumdiode . . . . . . . . . . .
1.3 Das Raumladungsgebiet . . . . . . . .
1.4 Das Anlaufstromgebiet . . . . . . . . .
1.5 Die Kennlinie einer Hochvakuumdiode
2 Messsaufgaben und Durchführung
.
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1
2
2
3
3
4
5
3 Auswertung
7
3.1 Bestimmung des Sättigungsstroms . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2 Bestimmung des Exponenten im LANGMUIR-SCHOTTKYRaumladungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3 Ermittlung der Kathodentemperatur über das Anlaufstromgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Ermittlung der Kathodentemperatur über die Leistungsbilanz 12
3.5 Bestimmung der Austrittsarbeit für Wolfram . . . . . . . . . 13
4 Literatur
∗
∗∗
14
[email protected]
[email protected]
1
1
1
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
1
Theoretische Grundlagen
In diesem Versuch sollen mittels thermischer Energie freie Elektroenen aus
einem Metall erzeugt werden. Entscheidend ist hierbei der Begriff der Austrittsarbeit. Der Aufbau von Metallen als kristalline Festkörper ist Grundlage dieses Versuches. Metalle bestehen aus einem Gitter von ionisierten
Atomen, die von einem Elektronengas umhüllt werden. Die Elektronen, aus
denen dieses Elektronengas besteht, lassen sich keinem speziellen Atom mehr
zuordnen, sondern werden von dem Kraftfeld des gesamten Metalls gebunden. Innerhalb dieses Feldes sind die Elektronen nahezu kräftefrei. Für diese
Elektronen kann die Potentialdifferenz φ, welche sie gegenüber dem Außenmedium besitzen (hier Vakuum), als konstant betrachtet werden (Potentialtopfmodell Abbildung 1). Um aus dem Metall austreten zu können, muss
das Elektron also dieses Potential überwinden. Die dabei geleistete Arbeit
e0 φ wird als Austrittsarbeit bezeichnet.
φ
Vakuum
Metall
Vakuum
Abbildung 1: Darstellung des Potentialtopfs eines Metalls [1]
Mit Hilfe der Quantenmechanik kann nun ermittelt werden, in wie fern Elektronen durch ihre innere Energie diese Arbeit verrichten können. Dem gemäß
haben die Elektronen selbst am absoluten Nullpunkt eine maximale Energie
von ζ, die als Fermische Grenzenergie bezeichnet wird. Die Fermi-Dirac’sche
Verteilungsfunktion gibt dabei die Wahrscheinlichkeit für den möglichen
Energiezustand E (welcher aus dem Pauli-Verbot resultiert) eines Elektrons
an; sie lautet (mit der Boltzmannkonstanten k):
1
f (e) =
e
E−ζ
kT
(1)
+1
Trägt man den Verlauf dieser Verteilung auf, so ergibt sich der Verlauf in
Abbildung 2. Es ist dabei erkennbar, dass ein Elektron die Energie ζ + e0 φ
besitzen muss, um aus dem Metall austreten zu können.
Bei großen Temparaturen E >> kT ist die Exponentialfunktion sehr viel
größer als 1 und man kann die Formel nähern durch:
94
(2)
1
23
9 Bζ
− E 922 E33
92 F3
f (E ) ≈ exp 2929 3C3C
THEORETISCHE GRUNDLAGEN29 3D k T 92A F30
2
gerechnet werden.
f(E)
1
T=0
1
2
T >> 0
E
e0 φ
ζ
Abb.2: Der Verlauf der Fermi-Diracschen Verteilungsfunktion am absoluten Nullpunkt (durchgezogene
Abbildung 2: Verlauf der Fermi-Dirac’schen Verteilungfunktion für T=0
bei T >> 0 (gestrichelte Linie)
(durchgezogene Linie) Linie)
und und
T >>
0 (gestrichelte Linie) [1]
3. Berechnung der Sättigungsstromdichte bei der thermischen Elektronenemission
ζ−E
Auf Grundlage der Gleichung (2) soll fnun
jS(T), das heißt,
(E)die
≈ Sättigungsstromdichte
e kT
(2)die
Zahl der Elektronen, die pro Zeit- und Flächeneinheit aus einer Metalloberfläche austreten,
Abhängigkeit
von der Temperatur errechnet werden. Zu diesem Zwecke wird
1.1 in Das
Sättigungsstromgebiet
ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt, dessen Z-Achse senkrecht zur (ebeMitMetalloberfläche
dieser Gleichung
kann
dieZahl
sogenannte
Sättigungsstromdichte
jS errechnen)
steht.
Die
dα der Elektronen
aus dem Volumenelement
net
werden,
also
wie
viele
Elektronen
pro
Fläche
und
Zeit
das
Metall
beidie
dpxdpydpz des Impulsraumes, die pro Zeit- und Flächeneinheit (von innen) auf
einer bestimmten
Temparatur emittiert:
Oberfläche
treffen, beträgt
(3)
dα = vz n (E) dpx dpy dpz
.
e0 m0 k 2 2 −e0 φin Richtung der OberflächenHierin bedeuten vz die Geschwindigkeit
T e kT
jS (T ) = 4π der 3Elektronen
(3)
normalen und n(E) die Zahl der Elektronenhpro Volumeneinheit ihres Phasenraumes,
welcher
ihre ImpulsundRichardson-Gleichung
Ortskoordinaten aufgespannt
wird. Wegen
Diese durch
Gleichung
wird als
bezeichnet.
h ist hierbei das
Planck’sche Wirkungsquantum,
e
die
Elementarladung
eines
Elektrons und
m
1
0
E =
p 2x + p 2y + p 2z = 0 v 2x + v 2y + v 2z
m0 seine Ruhemasse.
2 m0
2
(
)
(
)
(m0 = Elektronenmasse)
1.2sich Hochvakuumdiode
lässt
(3) umformen in
∂E
) d E in
(4)Möchte man diesen
dα =
n (E ) d p x messen,
d p y d p z so= ist
n (Edies
d pAnwesenheit
Sättungsstrom
von
x dpy .
∂ pz
Gasmolekülen, mit denen die emittierten Elektronen wechselwirken würden,
3
Man benutzt
folglich eine Hochvakuumdiode
wieVolumen
z.B. in hAbDanicht
jedermöglich.
Quantenzustand
im (sechsdimensionalen)
Phasenraum das
ein5
bildung
3. sich für n(E) der Ausdruck
nimmt
, ergibt
Diese besteht aus einem Glühdraht in einem evakuierten Glaskörper. Zu5 dem wird gegenüber der Glühkathode eine Anode positioniert, sodass die
siehe z.B. Weizel, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd. II (Struktur der Materie)
Elektronen mittels einer Saugspannung“ durch das entstehende E-Feld von
”
dieser abgesaugt“ werden. Man kann durch die Messung des Stromes an
”
der Anode somit die Sättungsstromdichte bestimmen.
96
man als Hochvakuum-Diode. Sie besteht aus einem evakuierten Glaskörper, in den ein
Draht eingeschmolzen ist (siehe Abb.3). Durch einen Strom kann dieser auf eine Temperatur von 1000 bis 3000 K erhitzt werden (Glühkathode). Die aus der Drahtoberfläche
austretenden Elektronen werden durch ein elektrisches Feld, das man zwischen der
Kathode und1 einer
ihr gegenüberstehenden
durch
THEORETISCHE
GRUNDLAGEN zweiten Elektrode, der Anode,
3
Anlegen einer äußeren Spannung erzeugt, abgesaugt.
Kathode
Anode
= Heizspg.
Saugspg.
-
=+
Abb. 3: Grundsätzliche Beschaltung einer Hochvakuum-Diode
Abbildung 3: Beschaltung einer Hochvakuumdiode mit einer Heiz- und einer
Saugspannung [1]
Man benutzt die Hochvakuum-Diode in der Technik zur Gleichrichtung von Wechselströmen; denn es kann nur dann ein Strom durch die Diode fließen, wenn die Anode
1.3 Das Raumladungsgebiet
positiv gegenüber der Kathode vorgespannt ist, da die emittierten Elektronen nicht in
Misst man diesen Strom, so stellt man fest, dass die Anodenspannung einen
der Lage sind,
gegen
Gegenfeld
anzulaufen.
Weiterhin
ist die
Einfluss
aufein
den hohes
Stom hat.
Erst wenn die
Anodenspannung
über einem
be-Emission der
Wert liegt,Temperatur
erhält man einen
Spannung unabhängigen
Anode wegenstimmten
ihrer niedrigen
um von
vielederGrößenordnungen
geringer als die
Stom, d.h. es erreichen alle emittierten Elektronen auch wirklich die Anode.
der Kathode.
Das Ohmsche Gesetz ist in diesem Bereich nicht gültig, weil die emittierten
Elektronen das E-Feld zur Kathode hin zunehmend abschirmen und da5. Die Langmuir-Schottkysche
Raumladungsgleichung
durch die Beschleunigung
der Elektonen vom Abstand zur Anode abhängig
ist. Man spricht von dem Raumladungsgebiet, in welchem sich die StromBei der Messung
mit Raumladungsgleichung
einer Versuchsanordnung
dichte des
j aus Anodenstromes
der Langmuir-Schottky
berechnetnach
(mit Abb.3 stellt
der er
Elektrischen
Feldkonstanten
0 und dem Abstand
Kathode-Anode
a):
man fest, dass
bei gegebener
Kathodentemperatur
noch
von der Anodenspannung
abhängt. Bei zu niedriger Spannung erreichen offenbar nicht alle emittierten Elektronen
r
3
2e0 V 2
die Anode. Erst bei hinreichend hoher4 Anodenspannung
erhält man einen von der
j = 0
(4)
2
9
m0 Erreichen
a
Spannung unabhängigen Strom. Aber auch
vor
des Sättigungswertes ist das
Ohmsche Gesetz (d.h. die Proportionalität von Strom und Spannung) bei einer Diode
1.4 liegt
Das daran,
Anlaufstromgebiet
nicht gültig. Das
dass die Geschwindigkeit v der Elektronen nicht konstant
dereine
Langmuir-Schottky
Raumladungsgleichung
müsste auf
bei einer
Anist; denn sie Nach
führen
beschleunigte
Bewegung in Richtung
die Anode
aus. Das
odenspannung U = 0 auch der Anodenstrom gleich 0 sein. Experimentelle
hat zur Konsequenz, dass die Raumladungsdichte ρ der Elektronen eine Funktion des
Messungen ergeben jedoch auch in diesem Bereich einen Anodenstrom, der
Ortes ist, undsich
zwar
nimmt
sie zur Anodeder
hinElektronen
ab. Daserklären
folgt aus
der
Tatsache,
dass aufmit der
Eigengeschwindigkeit
lässt.
Diese
resultiert aus der Tatsache, dass
Elektronenj bei
Emission
größere ist; j ist aber
grund der Kontinuitätsbedingung
dieeinige
Stromdichte
an der
jeder
Stelleeine
konstant
Energie als die Austrittsarbeit besitzen. Durch diesen Energieüberschuss
gegeben durch
sind die Elektronen in der Lage sogar gegen ein Gegenfeld geringer Stärke an(8)
zulaufen, weshalb man von einem Anlaufstrom spricht. Sie müssen dabei die
j = -ρv .
Potentieldifferenz V , sowie die Austrittsarbeit an der Anode φA überwinden.
Die Raumladungsdichte ρ beeinflusst offenbar den Verlauf der Feldstärke zwischen Anode und Kathode, und zwar schirmt sie das Feld von der Kathode ab; das bedeutet
anschaulich gesprochen: die von der Anode ausgehenden Feldlinien reichen nicht mehr
alle bis zur Kathode, sondern sie enden schon an den Raumladungselektronen vor der
Kathode. Die emittierten Elektronen werden dann nicht mehr alle vom Anodenfeld
erfasst. Der gemessene Diodenstrom ist daher kleiner als der nach (7) zu erwartende
aus dem Potential berechnen lässt, verläuft proportional zu x . An der Anode (x = a)
erreicht E den Wert
4 V ( a)
. ρ gehorcht schließlich einem
3 a
x
−
2
3
-Gesetz, wie man aus (9)
und (11) ableiten kann. Diese Gesetzmäßigkeiten sind in Abb.4 dargestellt. Der
raumladungsfreie Fall ist gestrichelt eingezeichnet. Aus (11) entnimmt man den Zusammenhang zwischen Stromdichte j und Anodenspannung V. Es gilt
j =
(12)
4
ε0
9
3
2 e 0 m0
V2
a2
.
3
1
Anstelle des ohmschen Gesetzes (j ~ V) wächst hier j mit V 2 . Die Gleichung (12) be7
zeichnet man auch als
das Langmuir-Schottkysche Raumladungsgesetz. Seinen
THEORETISCHE
GRUNDLAGEN
Gültigkeitsbereich im j-V-Diagramm einer Hochvakuum-Diode nennt man das
Raumladungsgebiet .
99
Potential V(x)
Feldstärke E(x)
4 V (a)
3 a
4
Raumladungsdichte ρ(x)
6. Das Anlaufstromgebiet einer Hochvakuumdiode
V (a)
a
~ x 4/3
Aus (12) folgt, dass für V = 0 auch j = 0 ist. Tatsächlich beobachtet man aber bei V=0
1/3
-2/3
~x
~x
noch einen geringen Anodenstrom. Dieser entsteht durch die Eigengeschwindigkeit der
Elektronen, die sie beim Verlassen der Kathode besitzen. Gemäß (1) gibt es bei T > 0
x
x
x
a
a
a
endlich viele Elektronen, deren
Energie größer als
die Austrittsarbeit
ist. Den EnergieAnode
Kathode
überschuss
Abb.4: Ortsabhängigkeit des Potentials V, der Feldstärke E und der Raumladungsdichte ρ im
∆E = E
-Hochvakuumdiodenkennlinie
(ζ + e0φ)
Raumladungsgebiet
einerPotentials
Abbildung 4: Ortsabhängigkeit
des
V, der Feldstärke E und der
Raumladungsdichte
r im Raumladungsgebiet
einer Hochvakuumdiodenkennfindet man
als kinetische Energie
der emittierten Elektronen
wieder. Diese sind in der
linie
[1]
Lage, sogar gegen
ein geringes Gegenfeld anzulaufen. Daher bezeichnet man diesen
7
benannt nach dem amerikanischen Chemiker und Physiker Irving Langmuir (1881 – 1857) und dem
deutschen
Physiker Walter .Schottky
– 1976)
Strom auch als Anlaufstrom
Die(1886
Energieverhältnisse
im Anlaufstromgebiet (V ≤ 0)
Dafür
benötigen
die
Elektronen
eine
Energie
größer
e0 φAauch
+ e0das
V . Die
Enersind in Abb.5 wiedergegeben. Es ist zu berücksichtigen, dass
Anodenmaterial
gieverhältnisse
in Abbildung
5 wiedergegeben.
Somit
ergibt mit
sichφfürbezeichnet.
die
eine (zumeist
größere)sind
Austrittsarbeit
besitzt.
Sie werde im
folgenden
A
Stromdichte in diesem sogenannten Anlaufstromgebiet mit Formel 2:
Durch die elektrisch leitende Verbindung zwischen Anode und Kathode außerhalb der
Diode werden die Fermi-Oberflächen (d.h. die Stelle E = ζ auf der Energieachse) der
e0 φ0 +e0 V
−e0 V
kT
j(V ) gebracht.
= j0 e− kTSchaltet
= const
(5)
Metalle auf die gleiche Höhe
man· enoch
ein äußeres Potential
V
dazwischen, so verschieben sie sich um e0V gegeneinander.
e0 φA
ζA
e0 φk
ζk
Kathode
e V
0
Anode
Abb.Abbildung
5: Potentialverhältnisse
in einer Hochvakuumdiode
im Bereich ihres Anlaufstromgebietes
5: Potentialverhältnisse
in einer Hochvakuumdiode
im Bereich
ihres Anlaufstromgebietes [1]
Man erkennt an Abb.5, dass Elektronen, die die Anode erreichen können, eine Energie,
die größer als e0φA + e0V ist, besitzen müssen. Da die Zahl der Leitungselektronen,
1.5 Die
Kennlinie
deren Energie
zwischen
E undeiner
E+dEHochvakuumdiode
liegt, gemäß (2) angenähert exponentiell von E
abhängt,
besteht
auch eine kann
entsprechende
Abhängigkeit der IAnlaufstromstärke
vom
Aus
der Stromdichte
nun die Anodenstromstärke
A ermittelt weräußeren
Potential
V: diese gegen die angelegte Anodenpannung U auf, so ergibt
den.
Trägt man
sich bei konstanter Temperatur
der Kathode die Kennlinie
der Diode. Ei23
23
9B
9B
e φA + e0 V 292 3E3
e0 V 292 3E3
23
92 F3 dargestellt.
92 C3− Kennlinie
92 F3
. lässt
j (V )ist=inj0Abbildung
exp 2929 3C3C− 06 exemplarisch
=
const
exp
ne solche
Diese
9F
9C
23
23
23
kT
k T 92A F30
9D
A0
9D
sich nun in drei Bereiche unterteilen: Das Anlaufstromgebiet, das Raumladungsgebiet und das Sättigungstromgebiet, in denen die Kennlinie den oben
beschriebenen
Gleichungen folgt.
7. Die Kennlinie
der Hochvakuumdiode
Den Zusammenhang zwischen der Stromdichte j bzw. Anodenstrom I A und dem von
außen angelegten Potential bezeichnet man als Kennlinie einer Hochvakuumdiode.
Nach den in den Kapiteln 3, 5 und 6 gemachten Ausführungen lässt sie sich in 3 Abschnitte gliedern: Anlaufstrom-, Raumladungs- und Sättigungsstromgebiet. Das erstere
ist durch einen exponentiellen Zusammenhang zwischen I und V gekennzeichnet. Es
V -Abhängigkeit zu beobachten ist. Da die Zahl der pro Zeiteinheit emittierten Elektronen gemäß der Richardson-Gleichung (7) nur von der Temperatur und nicht von der
Anodenspannung abhängt, kann die Raumladungsgleichung (12) nicht für beliebig hohe
Anodenspannungen gültig sein. Vielmehr muss der Anodenstrom mit wachsendem V
asymptotisch einem Sättigungswert zustreben, welcher durch (7) gegeben ist. Somit
wird das Raumladungsgebiet allmählich durch das Sättigungsstromgebiet abgelöst.
2 MESSSAUFGABEN
DURCHF
ÜHRUNG (das heißt für eine 5bestimmte
Eine typische
Kennlinie für eineUND
gegebene
Temperatur
Heizleistung der Kathode) ist in Abb.6 wiedergegeben.
I
I
S
Anlaufstromgebiet
Raumladungsgebiet
Sättigungsstromgebiet
U
Abb.6: Kennlinie einer Hochvakuumdiode
Abbildung 6: Kennlinie einer Hochvakuumdoide [1]
Teile der Kennlinie können dazu benutzt werden, um die Kathodentemperatur und die
Austrittsarbeit
der Kathode zu bestimmen.
Das istührung
unter anderem Aufgabe der im Fol2 Messsaufgaben
und Durchf
genden beschriebenen Experimente.
• Bei 5 unterschiedlichen Kathodenströmen (2,2A;2,4A;2,6A;2,8A;3,0A)
8. Aufgaben sollen die Kennlinie einer Hochvakuumdiode erstellt und der Sättigungsstrom
IS ermittelt werden. Der Aufbau entspricht dabei Abbildung 7. Es
wird
für Variation
die einzelnen
der eine
Anodenstrom
in Abhängigkeit
a) Man erstelle
durch
derHeizströme
Heizleistung
Kennlinienschar
einer Hochvakuvon
der
Anodenspannung
notiert.
Dabei
wurde
im
Breich
U
<
60V
dieden jeweiumdiode aus mindestens 5 Kennlinien und lese daraus (soweit möglich)
Anodenspannung in 10V Schritten erhöht. Ab U > 60V wurden eine
ligen Sättigungsstrom I S ab.
Schrittweite von 20V gewählt. Die maximale Anodenspannung beträgt
b) Für die maximal
Heizleistung
versuche man ungefähr den Gültigkeitsbebei dermögliche
verwendeten
Apparatur 240V.
reich des Langmuir-Schottkyschen Raumladungsgesetzes zu finden. Dort bestimI
me man aus den fgemessenen Wertepaaren den Exponenten der Strom-Spannungs-Beziehung.
Vf
=
c) Für die maximal mögliche
Heizleistung
untersuche man das Anlaufstromgebiet der
Diode und bestimme aus den erhaltenen Wertepaaren
die Kathodentemperatur T.
regelbares Konstantspannungsgerät
d) Aus einer Leistungsbilanz+ des Heizstromkreises schätze man die Kathodentemregelbares
V
Konstantperatur bei den unter
8a verwendeten Heizleistungen ab.
spannungsgerät
IA
e) Aus den verschiedenen T- und zugehörigen I S-Werten errechne
man die Austritts+
= Wolfram).
arbeit für das verwendete Kathodenmaterial (hier:
0 - 250 V
0 - 2 mA
Abbildung 7: Schaltung zur Aufnahme der Kennlinienscharr einer Hochvakuumdiode [1]
2
MESSSAUFGABEN UND DURCHFÜHRUNG
6
102
• Mit dem Aufbau der ersten Messung wird nun bei maximalem Heizstark beeinflusst. Wegen der hier vorliegenden exponentiellen Spannungsabhängigkeit
strom (3,1A) das Raumladungsgebiet untersucht und der Exponent des
können dadurch beträchtliche Schwankungen von I A entstehen. Vor Beginn der MesStrom-Spannungsverhältnisses bestimmt. Es werden die Werte analog
sungen ist daher der Übergangswiderstand durch mehrmaliges Drehen des Bananenzur ersten Messung aufgenommen, wobei die Schrittweite hier über
steckers in seiner Buchse zu minimieren. 3. Die vorliegende Diode besitzt eine sogeden gesamten Messbereich
10V beträgt.
8
nannte direkte Heizung . Das heißt, das emittierende Kathodenmaterial wird vom
Heizstrom
durchflossen,
längs Heiztrom
des Heizdrahtes
eineAnlaufstrommgebiet
Spannungsabfall von
• Ebenfalls
für denwelcher
maximalen
wird das
mehreren
Volt
erzeugt.
Dieser
Effekt
kann
die
Anlaufstromkurve
total
verfälschen,
untersucht, wobei der Aufbau nach Abbildung 8 erfolgt.
Mit Hilfewenn
diedie Schaltung ungeschickt aufgebaut wird. Bei der in Abb.8 angegebenen Polung funkser Daten soll die Kathodentemparatur gemessen werden. Die Gegentioniert die Messung angenähert. 4. Das hier verwendete Nanoamperemeter hat einen
spannung wird bei dieser Messung von 0 auf ca. 1V gesteigert und
Innenwiderstand von Ri = 1MΩ. Der hindurchfließende Anlaufstrom erzeugt dort einen
der jeweilige Anodenstrom gemessen. Die Schrittweite der Messungen
Spannungsabfall. Dadurch liegt zwischen Anode und Kathode eine andere Spannung
beträgt 0,1V.
als diejenige, die vom Voltmeter im Konstantspannungsgerät angezeigt wird.
If
=
Konstantspannungsgerät
+
IA
regelbares Konstantspannungsgerät, 0 - 1V
+
LO
nA-Meter
HI
Abb.8: Schaltung zur Aufnahme einer Anlaufstromkurve
Abbildung 8: Schaltung zur Untersuchung des Anlaufstromgebietes [1]
10. Hinweise zur Auswertung
• Mit den Werten der ersten Messung lassen sich die entsprechenden Ka-
zu 8b: Es wird dringend eine geeignete graphische Darstellung der Ergebnisse empthodentemperaturen ermitteln. Mit diesen ist auch eine Bestimmung
fohlen.
der Austrittsarbeit möglich.
zu 8c: Durch den Spannungsabfall, den der Anlaufstrom am Innenwiderstand Ri = 1MΩ
des Nanoamperemeters hervorruft, wird die zwischen Anode und Kathode liegende
Spannung verändert. Vor Beginn der Ausgleichsrechnung zur Bestimmung von T muss
die vom Voltmeter im Konstantspannungsgerät angezeigte Spannung unbedingt korrigiert werden.
Man überlege sich, warum man bei der in Abb.8 angegebenen Polung den Einfluss des
Spannungsabfalls längs des Heizfadens weitgehend ausschalten kann.
zu 8d: Die Kathodentemperatur T lässt sich aus einer Leistungsbilanz des Heizstromfadens errechnen: Die zugeführte Leistung beträgt
Nzu = Vf • I f
8
.
im Gegensatz zur indirekten Heizung, wo Heizfaden und emittierende Kathode galvanisch getrennt sind
3
AUSWERTUNG
3
3.1
7
Auswertung
Bestimmung des Sättigungsstroms
Es werden fünf Kennlinien der Diode mit unterschiedlichem Heizstrom aufgenommen. Die Anodenspannungen VA und Ströme IAi der iten Kennlinie
finden sich in Tabelle 1. Die zugehörigen gemessenen Heizspannungen Vf
und Heizströme If in Tabelle 2. Der dazugehörige Graph ist in Abbildung
9 dargestellt.
VA [V ]
0
10
20
30
40
50
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
IA1 [mA]
0,000
0,017
0,023
0,026
0,027
0,028
0,029
0,030
0,030
0,031
0,031
0,031
0,032
0,032
0,032
0,032
IA2 [mA]
0,000
0,035
0,072
0,095
0,106
0,112
0,115
0,119
0,121
0,123
0,125
0,127
0,128
0,125
0,125
0,125
IA3 [mA]
0,000
0,052
0,121
0,202
0,282
0,355
0,401
0,446
0,470
0,482
0,490
0,496
0,500
0,504
0,508
0,511
IA4 [mA]
0,000
0,062
0,143
0,243
0,356
0,480
0,621
0,851
1,078
1,242
1,345
1,402
1,435
1,461
1,485
1,502
IA4 [mA]
0,000
0,067
0,158
0,260
0,386
0,533
0,715
1,044
1,385
1,809
2,210
2,590
2,950
-
Tabelle 1: Fünf Kennlinien der Diode bei unterschiedlicher Heizspannung.
Kennlinie
1
2
3
4
5
Vf [V ]
3,600
4,050
4,600
5,150
5,750
If [A]
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Tabelle 2: Heizspannungen und Ströme der Kennlinien.
Aus Tabelle 1 kann der jeweilige Sättigungsstrom der ersten vier Kennlinien
abgeschätzt werden. Für den höchsten Heizstrom If = 3, 0A, der sein Maximum nicht im Messbereich erreicht, muss das Maximum der Sättigungskurve
geschätzt werden. Die für den Sättigungsstrom Is abgelesenen Werte sind in
Tabelle 3 dargestellt.
1 ,5
0 ,0
0 ,5
1 ,0
2 ,0
2 ,5
3 ,0
[m A ]
A n o d e n s tro m
0
K e n
K e n
K e n
K e n
K e n
n lin
n lin
n lin
n lin
n lin
5 0
ie 1
ie 2
ie 3
ie 4
ie 5
1 5 0
2 0 0
2 5 0
AUSWERTUNG
Abbildung 9: Graphische Darstellung der Kennlinien
A n o d e n s p a n n u n g [V ]
1 0 0
3
8
3
AUSWERTUNG
9
Kennlinie
1
2
3
4
5
Is [mA]
0,032
0,125
0,511
1,502
3,00 (geschätzt)
Tabelle 3: Abschätzung der Werte für den Sättigungsstrom Is
3.2
Bestimmung des Exponenten im LANGMUIR-SCHOTTKYRaumladungsgesetz
Zur Bestimmung des Exponenten wird zunächst die Kennlinie der Diode
wie 3.1 bestimmt. Hier allerdings bei einem maximalem Heizstrom von
If = 3, 1A. Die Werte für diese Messung finden sich in Tabelle 4. Um
den Exponenten bestimmen zu können werden Strom und Spannung logarithmiert. Der Logarithmus aus dem Anodenstrom wird gegen den Logarithmus der Anodenspannung aufgetragen und anschließend eine lineare
Ausgleichsrechnung durchgeführt, um die Steigung der bestimmten Gerade zu finden. Dieser ist dann der Exponent im LANGMUIR-SCHOTTKYRaumladungsgesetz.
VA [V ]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
IA [mA]
0,000
0,065
0,157
0,278
0,440
0,585
0,725
0,907
1,092
1,281
1,490
1,705
1,915
2,130
2,350
2,570
2,800
ln(VA /[V ])
2,30
3,00
3,40
3,69
3,91
4,09
4,25
4,38
4,50
4,61
4,70
4,79
4,87
4,94
5,01
5,08
ln(IA /[mA])
-2,733
-1,852
-1,280
-0,821
-0,536
-0,322
-0,098
0,088
0,248
0,399
0,534
0,650
0,756
0,854
0,944
1,030
Tabelle 4: Kennlinie zur Bestimmung des Exponenten im LANGMUIRSCHOTTKY-Raumladungsgesetz.
3
AUSWERTUNG
10
Es wird nun versucht anhand der graphischen Darstellung (Abbildung 10)
den Gültigkeitsbereich des LANGMUIR-SCHOTTKY-Raumladungsgesetzes
zu bestimmen. Dies bedeuted, dass die lineare Ausgleichsrechnung nur für
solche Werte durchgeführt wird, die auf einer Geraden liegen. Welche Werte
hier für die Ausgleichsrechnung benutzt werden, ist ebenfalls Abbildung 10
zu entnehmen.
Mit Hilfe des Programms Origin8 Pro“ wird nun der linearer Fit mit der
”
Funktion y = ax + b (a entspricht der Steigung, b dem Y-Achsenabschnitt
des Graphens) durchgeführt.
1 ,5
K e n n lin ie
L in e a r e A n p a s s u n g v o n ln ( A n o d e n s tr o m /[V ])
1 ,0
ln ( A n o d e n s tr o m /[V ])
0 ,5
0 ,0
-0 ,5
-1 ,0
-1 ,5
-2 ,0
-2 ,5
-3 ,0
2
3
4
5
ln ( A n n o d e n s p a n n u n g /[V ])
Abbildung 10: Graphische Darstellung der Kennlinie mit linearem Fit
Die von Origin8“ berechneten Werte finden sich in Tabelle 5.
”
a
b
Wert
1,393
-6,007
Standardfehler
0,019
0,073
Tabelle 5: Von Origin8“ berechnete Werte für linearen Fit.
”
Dabei entspricht a dem Exponenten im LANGMUIR-SCHOTTKY-Raumladungsgesetz.
Es ergibt sich also für den Exponenten:
a = 1, 39 ± 0, 02
3
AUSWERTUNG
11
Die Abweichung vom theoretisch zu erwartenden Wert von 32 beträgt 7, 3%.
Der statistische Fehler liegt nicht in diesem Bereich. Daraus kann gefolgert werden, dass ein systematische Fehler vorliegt. Dieser könnte durch das
Abschätzen der Maximalwerte der Sättigungskurve oder durch eine andere
uns unbekannte Ursache entstanden sein.
3.3
Ermittlung der Kathodentemperatur über das Anlaufstromgebiet
Die Bestimmung der Kathodentemperatur geschieht hier über die Bestimmung des Anlaufstromgebietes. Der Spannungsabfall durch den Innenwiderstand Ri = 1M Ω muss in der Rechnung berücksichtigt werden. Es gilt also
UKorrektur = U + I · M Ω
Es ergibt sich nun Tabelle 6 für das Anlaufstromgebiet.
U [V ]
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,97
I [nA]
290,0
240,0
190,0
150,0
117,5
90,0
58,0
40,0
28,0
17,0
11,0
UKorrektur [V ]
0,290
0,340
0,390
0,450
0,518
0,590
0,658
0,740
0,828
0,917
0,981
ln(I/[nA])
5,670
5,481
5,247
5,011
4,766
4,500
4,060
3,689
3,332
2,833
2,398
Tabelle 6: Messwerte für den Anlaufstrom.
Es wird der Logarithmus aus der Anodenspannung gegen die Gegenspannung aufgetragen. Die Steigung der Geraden aus der Ausgleichsrechnung
entspricht dann dem gesuchten Exponenten. Der Graph mit den logarithmierten Werten und dem Fit nach der Gleichung y = ax + b (a entspricht
der Steigung, b dem Y-Achsenabschnitt) findet sich in Abbildung 11.
Die Ergebnisse von Origin8“ sind in Tabelle 7 dargestellt.
”
a
b
Wert
-4,64
7,100
Standardfehler
0,1124
0,073
Tabelle 7: Von Origin8“ berechnete Werte für linearen Fit.
”
3
AUSWERTUNG
12
6 ,0
ln ( A n o d e n s tr o m /[n A ])
L in e a r e A n p a s s u n g v o n ln ( A n o d e n s tr o m /[n A ])
5 ,5
ln ( A n o d e n s tr o m /[n A ])
5 ,0
4 ,5
4 ,0
3 ,5
3 ,0
2 ,5
2 ,0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1 ,0
G e g e n s p a n n u n g [V ]
Abbildung 11: Linearer Fit der halb-logarithmierten Kennlinie des Anlaufstrombereichs.
Nach Gleichung 5 kann die Temperatur nun nach
T =−
e0
kB a
(6)
bestimmt werden. Mit Hilfe Gaußscher Fehlerrechnung
σT = σb
∂T
e0
= σb
∂b
kB a2
(7)
erhalten wir für die Temperatur T den Wert:
T = (2501 ± 61)K
3.4
Ermittlung der Kathodentemperatur über die Leistungsbilanz
Die Kathodentemperatur soll nun auch über die Leistungsbilanz des Heizstromfadens berechnet werden. Hierfür verwenden wir folgende Formel:
T4 =
If Uf − NW L
f ησ
3
AUSWERTUNG
13
NW L ist hier die Wärmeleitung (die mit 0, 95W abgeschätzt werden soll),
f die emittierende Kathodenoberfläche (angegeben mit 0.35cm2 ), η der Emissionsgrad der Oberfläche (angegeben mit 0,28) und σ die Stefan-Boltzmannsche
Strahlungskonstante (σ = 5, 7 ∗ 10−12 W/cm2 K 4 ). If und Uf der Heizstrom
bzw. die Heizspannung. Die errechneten Werte aus den sechs Messungen
finden sich in Tabelle 8.
If [A]
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,1
Uf [V ]
3,60
4,05
4,60
5,15
5,75
6,00
T [K]
1879,46
1990,56
2107,03
2215,98
2324,19
2370,89
Tabelle 8: Aus Leistungsbilanz ermittelte Temperaturen
Vergleicht man nun die bestimmte Kathodentemperatur für einen Heizstrom von 3, 1A aus der Leistungsbilanz mit der Kathodentemperatur, die
über das Anlaufstromgebiet berechnet wurden, so fällt eine doch recht hohe Abweichung der Werte auf. (2501K − 2371K = 130K, Abweichung von
5, 5%.) Die Diskrepanz kann durch Messungenauigkeiten oder durch falsche
Abschätzung der obigen Parameter für die Diode erklärt werden.
3.5
Bestimmung der Austrittsarbeit für Wolfram
Über die Richardson-Gleichung kann die Austrittsabreit der Elektronen bestimmt werden:
e0 Φ = −ln
h3 I s
2 T 2 f kB T
4πe0 m0 kB
Die berechneten Werte der Austrittsarbeit hierfür sind in Tabelle 9 aufgeführt.
Is [mA]
0,032
0,125
0,511
1,502
T [K]
1879,46
1990,56
2107,03
2215,98
e0 φ [eV ]
4,72
4,79
4,83
4,90
Tabelle 9: Berechnete Austrittsarbeit von Wolfram
Die Austrittsarbeiten, die in der Tabelle 9 aufgeführt sind weisen eine Tendenz auf: Um so höher der anliegende Strom ist, umso höher erscheint hier
4
LITERATUR
14
die Austrittsarbeit. Die Austrittsarbeit ist allerdings eine Materialkonstante
- eine Mittlung der Werte ist somit nicht sinnvoll.
Der Literaturwert für die Austrittsarbeit von Wolfram liegt bei 4, 5eV [2].
Die Kennlinien eher geringer Anodenströme ergeben Austrittsarbeiten, die
näher am Literaturwert liegen. Daraus folgt unsere Annahme, dass beim
Ablesen des Sättigungsstroms dieser noch nicht ganz erreicht war und somit
ein (nicht errechenbarer) systematische Fehler vorliegt.
Für die Austrittsarbeit nehmen wir folglich den niedrigsten Wert mit unbekanntem Fehler:
e0 φ = 4, 72eV ± ∆e0 φ
4
Literatur
1 Skript zum Versuch 504 des physikalischen Anfängerpraktikums an der
TU Dortmund zu finden unter:
http://praktikum.physik.uni-dortmund.de/neu/a-praktikum/anleitungen.html
(Stand 16.11.2008)
2 http://e3.physik.uni-dortmund.de/ suter/Vorlesung/Medizinphysik 06/6 Folien.pdf