Skript_Grundelemente..

Grundelemente der Mathematik
Frank Förster, Andreas Eichler und Boris Girnat
Technische Universität Braunschweig
Institut für Didaktik der Mathematik und
Elementarmathematik
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
VII
Vorwort
1
Einführung: Gauß als Schüler
2
Mengen
2.1 Beispiele aus der Schulmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Was ist eine Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Erste mathematische Präzisierungen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Zugehörigkeit zu Mengen und die leere Menge . . . . .
2.3.2 Definitionmöglichkeiten für Mengen . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Vergleich von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Teilmengenbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Mächtigkeit einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Vereinigung zweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Durchschnitt zweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Differenz zweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Komplement einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Cartesisches Produkt von Mengen . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Gesetze der Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Symmetrische Differenz zweier Mengen (Zusatz) . . . .
2.6 Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Exkurs: Russells Antinomie oder der Barbier von Sevilla
2.7 Elemente der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
IX
1
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Aussagenlogik
3.1 Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Quantifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Namen und Quantoren: Von Aussageformen zu Aussagen
3.2 Verknüpfungen von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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IV
Inhaltsverzeichnis
3.3
3.4
3.5
4
5
3.2.1 Wahrheitswerttafeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gesetze der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Verkettungen aussagenlogischer Verknüpfungen
3.3.2 Logische Implikation und logische Äquivalenz . .
3.3.3 Gesetze der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . .
Negation quantifizierter Aussagen . . . . . . . . . . . . .
Zwei Anwendungen aussagenlogischer Gesetze . . . . .
3.5.1 Inzidenztafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Notwendige und hinreichende Bedingung . . . .
Aufbau mathematischer Theorien
4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Eigenschaften einer mathematischen Definition
4.1.2 Definitionstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ausweitung in Richtung Axiomatik . . . . . . .
4.2 Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Direkte Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Indirekte Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Beweis durch vollständige Induktion . . . . . .
4.3.4 Beweis durch Fallunterscheidung . . . . . . . .
Relationen
5.1 Definition der Relationen . . . . . . . . . .
5.2 Darstellungen und Beispiele für Relationen
5.2.1 Mengendarstellung . . . . . . . . . .
5.2.2 Relationstafeln . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Relationsgraphen . . . . . . . . . . .
5.2.4 Pfeildiagramme . . . . . . . . . . . .
5.3 Eigenschaften von Relationen . . . . . . . .
5.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen . . .
5.4.1 Äquivalenzrelation . . . . . . . . . .
5.4.2 Ordnungsrelationen . . . . . . . . .
5.5 Das Hassediagramm . . . . . . . . . . . . .
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72
Inhaltsverzeichnis
6
7
Funktionen
6.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Formale Darstellung . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Wertetabelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Funktionsgraph . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Pfeildiagramm . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . .
6.3.1 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv . . . . . . . . .
6.3.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Nullstellen einer Funktion . . . . . . . . .
6.3.5 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.6 Umkehrbarkeit . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Beispiele von Funktionen . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Polynom- bzw. ganzrationale Funktionen
6.4.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . .
6.4.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . .
6.4.4 Trignonometrische Funktionen . . . . . .
V
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85
Literaturhinweise
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7.1 Fachliteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Unterhaltsame Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VI
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Grafische Darstellung einer Menge .
Teilmenge: M1 ⊆ M2 . . . . . . . . .
Vereinigungsmenge zweier Mengen
Schnittmenge zweier Mengen . . . .
Differenz zweier Mengen . . . . . .
Komplement . . . . . . . . . . . . . .
Fußballtoto . . . . . . . . . . . . . . .
Pferdetoto . . . . . . . . . . . . . . .
Lotto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15
15
20
20
21
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
Relationsgraph der Kleiner-Relation . . . . . . . . . . .
Relationsgraph der Teilbarkeitsrelation . . . . . . . . .
Relationsgraph der Gleichheitsrelation . . . . . . . . . .
Kleiner-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teilerrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichheitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strecken des Quadrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerlegung von M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hassediagramm zu < in N . . . . . . . . . . . . . . . .
Hassediagramm zu | in T36 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hassediagramm zu ⊂ in der Menge der Zahlenmengen
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6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
Funktionsgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pfeildiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionsgraph von f : x → 3x + 1, D f = R . . . .
Pfeildiagramm einer surjektiven Funktion . . . . . .
Funktionsgraph von f : x → 3x + 4, D f = N . . . .
Pfeildiagramm einer injektiven Funktion . . . . . .
Pfeildiagramm einer bijektiven Funktion . . . . . .
Funktionsgraph von f : x → 1x , D f = R \ {0} . . .
Funktionsgraphen der Sinus- und Kosinusfunktion
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VIII
Abbildungsverzeichnis
Vorwort
Die „Grundelemente der Mathematik“ stellen eine Anfängervorlesung dar, die für den
Studiengang „Mathematik und ihre Vermittlung“ konzipiert ist. Sie führt in den Formalismus der wissenschaftlichen Mathematik ein und stellt ihre grundlegenden Theorien
dar: Mengenlehre, Logik und elementare Funktionentheorie. Dabei wird stets berücksichtigt, dass der Adressatenkreis aus zukünftigen Lehrern und Lehrerinnen besteht,
die an Grund-, Haupt- und Realschulen unterrichten werden. Die Stoffauswahl orientiert sich daher am Curriculum der Sekundarstufe I und versucht, mit Beispielen und
Veranschaulichungen an die Schulmathematik dieser Klassenstufen anzuknüpfen. Trotz
dieser Zielrichtung stellt das Skript keine Schulmathematik dar, sondern den wissenschaftlichen Hintergrund, über den man die Schulmathematik der Sekundarstufe I und
zum Teil auch der gymnasialen Oberstufe wissenschaftlich exakt nachvollziehen kann.
Ohne eine fachwissenschaftliche Fundierung ist es kaum möglich, an der Schule ein angemessenes Bild der Mathematik zu vermitteln und für Herausforderungen gerüstet zu
sein, die Schüler und Schülerinnen durch „philosophische“ Fragen an das Lehrpersonal
stellen und damit über eine naive Kenntnis der Mathematik hinausgehen. Ist es Ihnen
noch nie vorgekommen, dass ein Schüler fragt, was eine Funktion von ihrem Graphen
unterscheidet oder warum man unbedingt beweisen, und nicht bloß glauben sollte, dass
die Winkelsumme in einem Dreieck gleich 180◦ ist? Ist die Winkelsumme überhaupt
in jedem Dreieck gleich 180◦ – auch in Dreiecken auf einer Kugeloberfläche? In diesem
Skript werden sie es erfahren – und darüber hinaus, ob sich der Barbier von Sevilla
rasiert.
Das Skript ist zu einer gleichnamigen Vorlesung entstanden, die Andreas Eichler im
Wintersemester 2004/05 an der Technischen Universität Braunschweig gehalten hat.
Dabei hat er zum ersten Mal dieses Skript zusammenhängend ausformuliert, die jetzige thematische Reihenfolge festgelegt und die Grafiken angefertigt. In den Wintersemestern 2005/06 und 2006/07 hat Boris Girnat dieselbe Veranstaltung erneut in Braunschweig gehalten und das Skript dabei überarbeitet, erweitert und mit diesem motivierenden Vorwort versehen. In beiden Fällen wurden Vorlesungen zu Rate gezogen, die
Frank Förster an derselben Universität in früheren Jahren gehalten und teilweise schriftlich ausgearbeitet hat. Die Stoffauswahl und Gesamtkonzeption gehen größtenteils auf
ihn zurück.
Wir hoffen, dass mit diesem Skript ein Text entstanden ist, der sich nicht nur dazu
eignet, eine Vorlesung zu begleiten, sondern der es auch erlaubt, sich im Selbststudium
die Themen, Inhalte und Methoden unserer Vorlesungen anzueignen. Dadurch ist das
Skript ein wenig umfangreich geworden. Das sehen wir jedoch nicht als Nachteil an:
Gerade der Einstieg in die wissenschaftliche Mathematik ist nicht einfach und gelingt
X
Vorwort
eher durch einen ausführlichen Text und durch zahlreiche Beispiele als durch knappe
Skizzen – besonders, wenn man von einer Schule kommt, in der man nur das Rechnen,
aber keine Mathematik hat lernen können. Wir wünschen Ihnen viel Spaß und Erfolg
mit diesem Skript und einen guten Einstieg ins Studium!
Kapitel 1
Einführung: Gauß als Schüler
Der Legende nach soll sich im Jahre 1786 in der mit 100 Schülern überfüllten Klasse der
Braunschweiger Katharinenschule Folgendes ereignet haben. Der Lehrer dieser Bürgerschule gab die Aufgabe aus, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Nur Sekunden später
sagt ein Schüler „Ligget se“ (Da liegt sie, die Lösung). Die Lösung, nämlich 5050, war
richtig, der Schüler, Carl Friedrich Gauß, wurde später zu einem berühmten Mathematiker, Physiker, Astronom und Geodät und gilt heute als einer, wenn nicht als der
berühmteste Mathematiker überhaupt.
Was hatte Gauß gemacht? Er hatte offenbar nicht die Zahlen einzeln addiert, sondern
einen Weg gefunden, das mühsame Rechnen erheblich zu erleichtern. Wenn die Legende stimmt, dann hat Gauß sicher nicht nur einen Weg gefunden, die Zahlen von 1 bis
100 sondern ganz allgemein die Zahlen von 1 bis n schnell zu addieren (wobei n eine
natürliche Zahl ist).
Findet man solch einen Weg, so hat man eine Eigenschaft der natürlichen Zahlen oder
viel allgemeiner eine Eigenschaft einer bestimmten Menge mathematischer Objekte entdeckt oder erfunden. Aus solch einer Entdeckung kann man einen mathematischen Satz
formulieren, der dann genau beschreibt, welche Eigenschaft man entdeckt hat. Damit
eine Entdeckung anerkannt werden kann, gibt es in der Mathematik ein festes Verfahren, nämlich den mathematischen Beweis, der eine (streng-logische) Verbindung von
bereits bekannten Eigenschaften der zu Grunde liegenden mathematischen Objekte zu
der neu entdeckten Eigenschaft schafft.
In unserem Beispiel hat Gauß möglicherweise folgende Eigenschaft der natürlichen
Zahlen entdeckt:
Satz 1 Wenn n eine natürliche Zahl ist, die größer als 1 ist, dann gilt für Summe s der Zahlen
von 1 bis n:
n
n · ( n + 1)
s = 1+2+3+···+n = ∑ i =
2
i =1
So ein Satz fällt meistens nicht vom Himmel, sondern ist eher das Ergebnis von
Vorüberlegungen, Irrtümern und Versuchen. Man nennt solche Gedankengänge häufig
Heuristiken. Beispielsweise könnte Gauß seine Betrachtungen damit begonnen haben,
dass er einige kleinere natürliche addiert hat:
2
Kapitel 1 Einführung: Gauß als Schüler
1
1 + 2
1 + 2 + 3
1 + 2 + 3 + 4
+
+
+
+
2
3
4
5
=
=
=
=
3
6
10
15
Vermutlich hilft dieser Ansatz nicht weiter, um eine Systematik zu erkennen oder gar
den oben dargestellten Satz zu entdecken. Daran sollte man sich als Mathematiker gewöhnen: Nicht jede Überlegung führt zum Ziel; nicht jede Heuristik ist gleichermaßen
brauchbar.
Besser ist die folgende Überlegung, die auch gleichzeitig der Beweis ist: Wenn man
die Zahl 1 mit n addiert (die erste mit der letzten Zahl), dann erhält man ebenso die
Zahl n + 1, als wenn man die 2 mit n − 1 (die zweite mit der vorletzten Zahl), die 3 mit
n − 2 (die dritte mit der drittletzten Zahl) und immer so weiter addiert. Das kann man
ausnutzen. Man schreibt die zu addierenden Zahlen zweimal untereinander auf, einmal
vor- und einmal rückwärts:
1
+
2
+
3
+ . . . + ( n − 2) + ( n − 1) +
n
n
+ ( n − 1) + ( n − 2) + . . . +
3
+
2
+
1
n+1
n+1
n+1
...
n+1
n+1
n+1
Für je zwei der untereinander geschriebenen Zahlen ergibt sich die Summe n + 1.
Insgesamt entsteht diese Summe genau n-mal. Damit ist die Summe aller Zahlen dieser
untereinander stehenden Zahlenreihen n · (n + 1). In dieser Summe sind aber die Zahlen
von 1 bis n jeweils zwei Mal enthalten. Darum muss man die erhaltene Summe halbieren
und hat damit den oben stehenden Satz bewiesen.
Zum Abschluss kann man jetzt noch einmal zeigen, dass Gauß wirklich recht hatte:
100 · 101
= 50 · 101 = 5050
2
Mit diesem kleinen Beispiel ist man schon vollständig in die Grundelemente der Mathematik eingetaucht. Viele Elemente, die in dieser Veranstaltung besprochen werden,
sind dort bereits enthalten – zum Beispiel:
1 + 2 + 3 + . . . + 100 =
• Was ist eigentlich ein mathematischer Satz, welche Bestandteile muss er enthalten? Er soll beispielsweise so formuliert sein, dass er von jedem (der die notwendigen mathematischen Kenntnisse hat) verstanden werden kann. Dazu gehören
z. B. fest umrissene Begriffe, denen Definitionen zu Grunde liegen; dazu gehören
aber auch Standards, nach denen man Argumentationen als Beweise anerkennt. In
dieser Vorlesung wird erläutert, wie eine Definition aufgebaut sein muss oder sein
kann; aber auch drei grundsätzliche Verfahren, einen Beweis zu führen, werden
Gegenstand der Vorlesung sein.
3
• Wenn der Satz, den Gauß formuliert hat, auch für die natürlichen Zahlen gilt, so
ist er für Bruchzahlen bzw. rationale Zahlen ist er wertlos. Bestimmte mathematische Eigenschaften gelten also nur für bestimmte mathematische Objekte. Die elementarste Möglichkeit, solche mathematischen Objekte zu fassen ist die Definition
einer Menge. Der Mengenbegriff wird einen Teil dieser Veranstaltung ausfüllen
• Für die Vereinheitlichung des babylonischen Sprachengewirrs hat sich die Mathematik auf eine einheitliche, formale Sprache geeignet, die nach dieser Veranstaltung ebenfalls zu Ihrem Rüstzeug gehören sollte. Z. B. könnte man den oben
stehenden Satz auch so formulieren:
^
n
∑i=
n∈N,n>1 i =1
oder aber
∀n ∈ N, n > 1 :
n · ( n + 1)
2
n
∑i=
i =1
n · ( n + 1)
2
In dieser Vorlesung werden verschiedene Stufen und Möglichkeiten der Formalisierung behandelt.
• Als letzter Punkt dieser Veranstaltung wird geklärt, wie man mathematische Objekte miteinander in Beziehung (oder Relation) setzt, z. B. indem man ein < zwischen zwei mathematische Objekte bzw. zwei Zahlen setzt. Die Relationen und
spezielle Relationen, die Funktionen werden am Ende des Semesters besprochen
werden.
Die Beispiele werden weitgehend aus der Schulmathematik der Klassen 1 bis 10 stammen, zum Teil aber auch schon einen Vorausblick auf die Veranstaltungen geben, die Ihnen in weiterführenden Veranstaltungen des Mathematikstudiums begegnen werden.
Insgesamt sollen Sie einen Eindruck davon bekommen, aus welchen Elementen die
Mathematik aufgebaut ist. Etwas, was ein wichtiger Aspekt der Mathematik ist, werden
Sie in dieser Veranstaltung weitgehend vermissen, nämlich die Anwendung der Mathematik auf reale Probleme. Dieser Aspekt wird höchstens begleitend an wenigen Stellen
aufblitzen. Sie werden später in Ihrem Studium den Anwendungsaspekt der Mathematik aber noch intensiv kennen lernen.
Dafür werden Ihnen aber zwei der drei zentralen Aspekte der Mathematik begegnen,
wenn man Mathematik so beschreibt, wie es vielfach in der Fachmathematik, aber auch
der Mathematikdidaktik gemacht wird. So ist Mathematik . . .
1. . . . ein streng logisches, formales und deduktiv aufgebautes System von Axiomen,
Definitionen, Sätzen und Beweisen. Dieses System ermöglicht prinzipiell den Aufbau theoretischer Welten, die nicht unbedingt eine Entsprechung in der Realität
haben müssen.
4
Kapitel 1 Einführung: Gauß als Schüler
2. . . . ein Mittel um die Realität zu beschreiben und reale Problemstellungen lösen
zu können. Manchmal entwickelt sich Mathematik aus der Notwendigkeit, Lösungen für reale Probleme finden zu müssen, manchmal haben sich erst sehr viel
später Anwendungen für zunächst völlig realitätsfern erscheinende Mathematik
ergeben.
3. . . . eine Tätigkeit, das Entdecken von Strukturen, das Bilden und Überprüfen von
Hypothesen. Mathematik ist kein fertiges Gebilde, sondern ein Prozess, der immer
neue Ergebnisse hervorbringt. Bei dem Teil der Mathematik, den wir im Folgenden betrachten werden, hat man schon mal das Gefühl, hier sei alles fertig durchdacht. Aber dass die Mathematik in Zukunft kaum an eine Grenze stoßen wird,
zeigen vielleicht die mehr als 60 000 mathematischen Sätze, die jährlich veröffentlicht werden. Nebenbei, damit gibt es auch schon lange niemanden mehr, der die
Mathematik kann, sondern es gibt manche, die den Prozess der Mathematik verstanden haben und damit zumindest potenziell in der Lage sind, alle die neuen
Sätze und deren Beweise zu verstehen.
Kapitel 2
Mengen
Immer wenn man Mathematik betreibt, Sätze oder Definitionen formuliert, dann liegt
dem eine bestimmte Anzahl mathematischer Objekte zugrunde. Eine ganz elementare
und natürliche Möglichkeit, diese Objekte zusammenzufassen, führt auf den Begriff der
Menge (die Menge ist selbst wieder ein mathematisches Objekt).
2.1 Beispiele aus der Schulmathematik
Sie kennen aus Ihrem Schuluntericht eine ganze Anzahl verschiedener Mengen:
1. Aus der Arithmetik und Algebra:
die Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
die Menge der ganzen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
die Menge der rationalen Zahlen Q = m
n | m ∈ Z und n ∈ Z \ {0} .
die Menge der reellen Zahlen R.
die Menge der komplexen Zahlen C = { a + bi | a ∈ R und b ∈ R}, wobei i
die sogenannte imaginäre Zahl mit i2 = −1 ist.
• die Menge der Teiler der Zahl 24 (T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}).
• die Menge der Primzahlen P.
•
•
•
•
•
2. Aus der Geometrie:
• die Menge der Quadrate Q, Dreiecke D, Rauten R, Kreise K etc.
3. Aus der Algebra und Analysis
• die Menge der Lösungen einer Gleichung, z. B.
L = { x ∈ Q | x 2 − 4 = 0}
Dabei ist L zugleich die Menge der Nullstellen der Funktion
f : R → R : x 7→ f ( x ) = x2 − 4
• die Mengen der Extrema, Wende- oder Polstellen einer Funktion
6
Kapitel 2 Mengen
4. Aus der Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung:
• die Menge der Elementarereignisse, die beim Würfeln möglich sind: Ω =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
• die Menge der Ergebnisse, mit zwei Münzwürfen wenigstens einmal Wappen
zu werfen:
M = {(W, Z ), (W, W ), ( Z, W )},
wobei W Wappen und Z Zahl bedeutet und die Stelle des Buchstabens angibt,
beim wievielten Wurf sich das Ergebnis eingestellt hat.
Was hat man von Mengen und was kann man mit Ihnen anfangen? Ganz salopp gesagt, kann man mit Mengen zunächst eingrenzen, worüber man überhaupt spricht. Das
ist wichtig, da bestimmte mathematische Eigenschaften nur für bestimmte mathematische Objekte bzw. bestimmte Mengen solcher mathematischen Objekte gelten. So gilt
der Satz von Gauß, den wir in der Einführung kennen gelernt haben, beispielsweise für
natürliche Zahlen, nicht aber für reelle, rationale oder komplexe.
Wenn wir uns hier mit Mengen beschäftigen, dann stehen dabei die folgenden Fragen
im Vordergrund:
1. Was ist eine Menge und woraus besteht sie?
2. Wie kann man Mengen vergleichen?
3. Welche Operationen kann man mit Mengen ausführen?
2.2 Was ist eine Menge?
Im 19. Jahrhundert haben Mathematiker versucht, eine Definition des Mengenbegriffes zu geben. All diese Versuche haben ihre Schwierigkeiten. Die moderne Mathematik
verzichtet darauf, den Begriff der Menge zu definieren, und listet stattdessen auf, welche mathematischen Operationen mit Mengen zulässig bzw. unzulässig sind, und verwendet dabei den Ausdruck „Menge“ als undefinierten Grundbegriff, ohne genauer zu
sagen, was er „nun eigentlich“ bedeutet.
Dieses Verfahren ist auch für unsere Veranstaltung von Vorteil. Es reicht, wenn wir
von unserem alltäglichen Verständnis einer Menge ausgehen: Man kann sagen, dass eine Menge aus ihren Elementen besteht (wobei keines ihrer Elemente doppelt vorkommt)
und dass man eine Menge als Einheit dieser Elemente wie ein relativ eigenständiges
Objekt behandeln kann, das aber nicht ganz den Bezug zu seinen Bestandteilen verliert. So kann man beispielsweise Völker als Mengen von Menschen oder Sandhaufen
als Mengen von Sandkörnern auffassen.
2.3 Erste mathematische Präzisierungen
7
2.3 Erste mathematische Präzisierungen
Diese „naive“ Vorstellung reicht für den Einstieg in die Mathematik aus. Bei Bedarf
wird sie präzisiert. Beispielsweise verlangt man in der Mathematik, dass jedes Element
entweder einer Menge angehört oder nicht angegehört (während es die Alltagssprache
offen lässt, ob ein Sandkorn, das 5 cm von einem Haufen entfernt ist, noch dazugehört
oder nicht). Diese und andere Präzisionen werden wir nun kennen lernen.
2.3.1 Zugehörigkeit zu Mengen und die leere Menge
Für alle mathematischen Objekte x bzw. für alle x aus einer Grundmenge G ist genau
eine der folgenden Aussagen hinsichtlich einer Menge M erfüllt:
x∈M
x∈
/M
Das Symbol „∈“ wird benutzt, um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen,
und „/
∈“, um die Nichtzugehörigkeit.
Eine nützliche Ergänzung ist die Definition der leeren Menge
∅ oder {}
Sie enthält kein Element.
Mit diesen beiden Festlegungen haben wir genau das getan, was in der mathematischen Begriffsbildung üblich ist: Statt eine Definition des Ausdrucks „Menge“ zu geben
haben wir näher bestimmt, was für mathematische Beziehungen zwischen Mengen und
anderen mathematischen Objekten bestehen, nämlich dass die Zugehörigkeit von Objekten zu einer Menge eindeutig festgelegt ist. Damit wird des Mengenbegriff präzisiert,
ohne endgültig definiert zu werden. Nach diesem Muster werden wir den Mengenbegriff im Folgenden noch weiter ergänzen.
Außerdem haben wir mit der der leeren Menge ein Objekt eingeführt, das in der
Alltagssprache nicht (oder nur selten) vorkommt. Diese Freiheit nehmen sich Mathematiker. Wir werden sehen, dass solche „Absonderlichkeiten“ wie leere Mengen große
Vorteile bieten, einfache oder leistungsfähige mathematische Theorien zu entwickeln.
2.3.2 Definitionmöglichkeiten für Mengen
Eine Menge lässt sich auf unterschiedliche Weisen darstellen bzw. definieren:
• Explizit-aufzählend: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oder ∅ = {}.
• Quasi-aufzählend: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
8
Kapitel 2 Mengen
• Angabe einer Eigenschaft, die hinsichtlich einer Grundmenge G besteht, z. B. M =
{ x ∈ Q | x2 − 4 = 0}. Durch die zusätzliche Eigenschaft wird die Grundmenge
G, in diesem Fall die Rationalen Zahlen, eingeschränkt (dabei bedeutet | „für die
gilt“, also alle rationalen Zahlen x, für die gilt, dass das Quadrat von x abzüglich
4 gleich 0 ist).
• grafisch (ikonisch), siehe Abbildung 2.1. Abbildungen dieser Art sind eine besondere Form von Mengendiagrammen. Man nennt sie nach dem englischen Mathematiker John Venn (1834 bis 1923) auch Venn-Diagramme, obwohl er sie nicht erfunden hat. Leonhard Euler (1707 bis 1783) hat sie mehr als hundert Jahre vor Venn
benutzt.
Abbildung 2.1: Grafische Darstellung einer Menge
2.3.3 Intervalle
Besonders in der Analysis spielen sogenannte Intervalle eine wichtige Rolle. Sie sind
Mengen reeller Zahlen.
Definition 1 Es seien a und b reelle Zahlen. Dann ist
1. [ a, b] := { x ∈ R | a ≤ x ≤ b} das abgeschlossene,
2. ( a, b] :=] a, b] := { x ∈ R | a < x ≤ b} das linksoffene,
3. [ a, b) := [ a, b[:= { x ∈ R | a ≤ x < b} das rechtsoffene und
4. ( a, b) :=] a, b[:= { x ∈ R | a < x < b} das offene
Intervall bezüglich a und b. Links- und rechtsoffene Intervalle werden zusammenfassend als
halboffene Intervalle bezeichnet.
Für offene oder halboffene Intervalle haben sich (wie in der Definition ersichtlich)
zwei Schreibweisen eingebürgert: Entweder verwendet man runde Klammern oder nach
außen gedrehte eckige Klammern. Die erste Notation ist gebräuchlicher; die zweite verwendet man, um Verwechslungen mit Paaren zu vermeiden. Paare werden weiter unten
definiert.
Man kann den Begriff des Intervalls analog auch für andere Zahlbereiche (z. B. für Q)
definieren. Üblicherweise begnügt man sich aber mit R.
2.4 Vergleich von Mengen
9
Definition 2 Es sei a eine reelle Zahlen. Dann ist
1. [ a, ∞) := [ a, ∞[:= { x ∈ R | a ≤ x },
2. ( a, ∞) :=] a, ∞[:= { x ∈ R | a < x },
3. (∞, a] :=]∞, a] := { x ∈ R | x ≤ a} und
4. (∞, a) :=]∞, a[:= { x ∈ R | x < a}.
Man nennt diese Mengen uneigentliche Intervalle.
2.4 Vergleich von Mengen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Mengen zu vergleichen:
1. die Untersuchung auf Gleichheit,
2. die Untersuchung auf Teilmengenbeziehungen und
3. die Untersuchung der Anzahl von Elementen einer Menge.
2.4.1 Gleichheit von Mengen
Definition 3 Zwei Mengen M1 und M2 heißen gleich (in Zeichen M1 = M2 ) genau dann,
wenn für alle x ∈ M1 gilt x ∈ M2 und umgekehrt.
Bemerkung:
• „umgekehrt“ bedeutet: für alle x ∈ M2 gilt x ∈ M1 .
• Zwei Mengen sind auch dann gleich, wenn Sie auf unterschiedliche Arten definiert bzw. beschrieben sind. Z. B. handelt es sich in der folgenden Liste immer um
ein- und dieselbe Menge, die nur auf unterschiedliche Art definiert bzw. beschrieben wird (so wie „der Abendstern“, „der Morgenstern“ und „der Planet Venus“
drei unterschiedliche Bezeichnungen für ein- und dasselbe Objekt sind).
1.
2.
3.
4.
5.
{ x ∈ N | 2 − x = 0}
{ y ∈ N | y2 = 4}
{ z ∈ N | 1 < z < 3}
{r ∈ R | r 3 = 8}
{2}
An dieser Stelle wird deutlich, dass ein Ausdruck wie „{2}“ oder „{ x ∈ N |
2 − x = 0}“ nicht die Menge selbst, sondern nur ein Name oder eine Bezeichnung
für ein mathematisches Objekt ist, nämlich für die einelementige Menge, die als
einziges Element die Zwei enthält, ebenso wie die Zeichenkette „der Abendstern“
10
Kapitel 2 Mengen
nicht etwa die Venus selbst ist, sondern nur etwas Druckerschwärze, die als Name
für den Planeten benutzt wird.
Diese Unterscheidung zwischen Zeichen und Bezeichneten ist eigentlich völlig
selbstverständlich (wer würde schon „Abendstern“ für einen Planeten halten?).
In der Mathematik jedoch scheint man diesen einfachen Sachverhalt häufig zu
vergessen und die Zeichen auf dem Papier für mathematische Objekte zu halten.
Ein beträchtlicher Teil systematischer Fehler hat darin seinen Ursprung. Beispielsweise lässt es sich bei dieser Verwechslung schlecht verstehen, warum {2} und
{z ∈ N | 1 < z < 3} identisch sind (d. h. dieselbe Menge, also ein- und dasselbe mathematische Objekt), wo doch die beiden Beschreibungen auf dem Papier
unterschiedlich aussehen.
• Wenn man nun verstanden hat, dass {2} ein mathematisches Objekt ist, das nicht
mit der Zeichenkette „{2}“ auf dem Papier identisch ist, sondern unabhängig davon existiert und man den Ausdruck „{2}“ benutzt, um sich auf die Menge {2}
zu beziehen, so wie man den Ausdruck „Angela Merkel“ benutzt, um sich auf unsere Kanzlerin zu beziehen, so wirft das die Frage auf, wo und wie mathematische
Objekte existieren. Bei Angela Merkel kann man sich ihre reale Existenz einigermaßen gut vorstellen. Wo und wie die Menge {2} existiert, ist jedoch nicht so
offensichtlich. Diese Frage beschäftigt die Philosophie der Mathematik seit Jahrtausenden und hat eher noch mehr Fragen als eine Antwort produziert. Für den
praktischen Umgang ignoriert man sie am besten und stellt sich vor, dass Mengen,
Zahlen, Funktionen oder Quadrate irgendwo in einem platonischen Ideenhimmel,
in Kants Welt der reinen Ideen oder bei Alice im Wunderland existieren und wir
mit mathematischen Symbole auf sie Bezug nehmen können.
• Sind zwei Mengen M1 und M2 nicht gleich, so bezeichnet man das formal durch
M1 6= M2 .
• Es ist in der Mathematik prinzipiell sehr schön, wenn man die Gleichheit von
zweier mathematische Objekte (in diesem Fall von Mengen) nachweisen kann,
weil man alle weiteren Eigenschaften nur für eines der mathematischen Objekte
nachweisen muss.
2.4.2 Teilmengenbeziehungen
Zwei Mengen sind gleich, wenn das „umgekehrt“ in der Definition gilt. Ist dies nicht
der Fall und gilt nur die eine Richtung, so liegt eine Teilmengenbeziehung vor (grafisch
veranschaulicht in Abbildung 2.2).
Definition 4 Eine Menge M1 heißt Teilmenge von M2 (in Zeichen M1 ⊆ M2 ) genau dann,
wenn für alle x ∈ M1 gilt: x ∈ M2 .
2.4 Vergleich von Mengen
11
Abbildung 2.2: Teilmenge: M1 ⊆ M2
Bemerkungen:
• Die Teilmengendefinition stellt eine schwächere Forderung an die beiden Mengen
als die Gleichheit (da das „umgekehrt“ nicht gelten muss, aber gelten kann).
• Wenn sowohl M1 ⊆ M2 als auch M2 ⊆ M1 gilt, dann gilt M1 = M2 .
• Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. Ebenso gilt für alle Mengen M: ∅ ⊆ M.
Definition 5 Eine Menge M1 heißt echte Teilmenge von M2 (in Zeichen M1 ⊂ M2 oder auch
M1 M2 bzw. M1 $ M2 ) genau dann, wenn M1 ⊆ M2 und M2 6⊆ M1 gilt.
Beispiele:
• N⊂Z⊂Q⊂R
• P⊂N
• Q⊂R
• T12 ⊂ T24
• Eine Teilmenge A einer Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments nennt man Ereignis. Ein mögliches Ereignis beim Würfeln ist etwa das Auftreten einer geraden
Zahl, als A = {2, 4, 6} ⊂ Ω
2.4.3 Mächtigkeit einer Menge
Wir unterscheiden hier zunächst zwischen endlichen und unendlichen Mengen. Z. B.
hat die Menge der natürlichen Zahlen (N) unendlich viele Elemente, die Menge der
Elementarereignisse beim Würfeln (Ω) endlich viele Elemente.
Definition 6 Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Mächtigkeit der Menge (in Zeichen | M|).
12
Kapitel 2 Mengen
Bemerkung: Ist die Menge M endlich, so ist | M| eine natürliche Zahl. Beispielsweise
ist
√
• |{1, 2, π, Otto von Bismarck, 3}| = 5
• |{1, 2, 4, 2, 2, 1, 3}| = 4
• |{r ∈ R | r2 = 4}| = 2
• |{r ∈ N | r2 = 4}| = 1
Ist M hingegen unendlich, so schreibt man | M| = ∞. Beispielsweise gilt
• |Z| = ∞
• |{ x ∈ R | sin( x ) = 0}| = ∞
Definition 7 Zwei endliche Mengen heißen gleichmächtig, wenn Sie die gleiche Elementenanzahl haben.
Bemerkungen:
• Gleichmächtige Mengen müssen nicht gleich sein. So ist M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6=
M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, aber | M1 | = | M2 |.
• Die oben stehenden Definition setzen voraus, dass man den Begriff „Anzahl der
Elemente“ kennt. Man kann die Mächtigkeit einer Menge (mathematisch präziser,
aber unanschaulicher) auch ohne diesen Begriff definieren. Wir verzichten hier
darauf.
• Bei unendlichen Mengen (deren Mächtigkeit ∞ ist) wird die Gleichmächtigkeit
anders definiert. Dort sind zwei Mengen M1 , M2 gleichmächtig, wenn man jedem
Element x ∈ M1 genau ein Element y ∈ M2 zuordnen kann und umgekehrt. Man
sagt dann, es gibt eine bijektive (eineindeutige) Abbildung zwischen den Mengen
M1 und M2 . Der Begriff „Abbildung“ (oder gleichbedeutend „Funktion“) wird
später definiert.
• Unendliche Menge haben eine paradox erscheinende Eigenschaft: Sie enthalten
echte Teilmengen, die zur Gesamtmenge gleichmächtig sind. So sind etwa N und
Z gleichmächtig, obwohl N ⊂ Z, also insbesondere N 6= Z gilt.
• Bei unendlichen Mengen unterscheidet man unterschiedliche Stufen der Unendlichkeit. Die natürlichen Zahlen sind abzählbar unendlich (nämlich 1, 2, 3, . . .). Die
Mengen der ganzen und rationalen Zahlen sind ebenfalls abzählbar unendlich,
also gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen. Abzählbar unendlich
heißt, man kann die Zahlen in eine festgelegte (nicht endende) Reihe stellen und
dann durchnummerieren. Die Menge der reellen Zahlen ist dagegen überabzählbar unendlich, denn hier gibt es keine solche Reihenfolge. Ebenso ist jedes Intervall der reellen Zahlengerade eine überabzählbar unendliche Menge.
2.5 Mengenoperationen
13
• Nun zu einem Beispiels aus dem Alltag: Die Lottozahlen sind eine sechselementige Teilmenge der Menge M = {1, 2, 3, . . . , 49}. Die Mächtigkeit der Menge aller sechselementigen Teilmengen von M ist deswegen interessant, weil aus ihr
die verschwindende Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen, hervorgeht (die
Mächtigkeit dieser Menge beträgt rund 14 Millionen).
2.5 Mengenoperationen
Mit verschiedenen Operationen können Mengen verknüpft werden, d. h. es werden
Operationen definiert, durch die man mit Mengen „rechnen“ kann. Dieser Aspekt der
Mengentheorie wird als Mengenalgebra bezeichnet. Es gibt folgende Fragestellungen
bzw. Operationen:
1. Beim Kegeln/Bowling wirft man einen Pudel/eine Fahrkarte, wenn man die Kugel links oder rechts der Laufbahn versenkt. Stellt man die beiden Rinnen neben
der Bahn modellhaft als Strecken S1 und S2 dar, so besteht der Pudel (P) aus der
Vereinigung beider Mengen S1 , S2 , die jeweils aus unendlich vielen Punkten bestehen P = S1 ∪ S2 .
2. Von Interesse sind die Schnittpunkte zweier Kreise K1 , K2 . Die beiden Kreise sind
unendliche Mengen von Punkten. Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind der
Durchschnitt der beiden Mengen (K1 ∩ K2 ). Wie mächtig kann diese Menge sein?
3. Hat man eine Gleichung mit einer Quotientenbildung vorliegen, z. B.
x2 + 2 · x + 1
= 0,
x+1
so muss man die Grundmenge G, in der x enthalten ist, einschränken, um zu verhindern, dass der Nenner im linken Term der Gleichung 0 ergibt. Die Grundmenge oder Definitionsmenge der Gleichung könnte hier etwa Z sein, aber nur ohne
−1 (weil −1 + 1 = 0 ist). Solch eine Einschränkung gibt man durch die Differenz
(Z \ {−1}) an. Dementsprechend hätte die vorliegende Gleichung keine Lösung.
4. Beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel ist es zu Anfang entscheidend ob man eine
Sechs würfelt oder nicht. Man betrachtet die beiden Ereignisse A = {6} und (A =
{1, 2, 3, 4, 5}). Die Menge A ist das Komplement der Menge A.
In den Erläuterung sind die Fachbegriffe „Durchschnitt“, „Vereinigung“ und „Differenz“ gefallen, und Sie haben sicherlich aus dem Alltag oder aus der Schule ein Vorverständnis dieser Begriff. Sie werden nun formal präzisiert.
2.5.1 Vereinigung zweier Mengen
Definition 8 Unter der Vereinigungsmenge zweier Mengen M1 , M2 versteht man diejenige
Menge, die alle Elemente enthält, die in M1 oder M2 enthalten sind (grafisch in Abbildung 2.3
14
Kapitel 2 Mengen
veranschaulicht):
M1 ∪ M2 = { x | x ∈ M1 oder x ∈ M2 }
Abbildung 2.3: Vereinigungsmenge zweier Mengen
2.5.2 Durchschnitt zweier Mengen
Definition 9 Unter der Schnittmenge (oder dem Durchschnitt) zweier Mengen M1 , M2 versteht man diejenige Menge, die alle Elemente enthält, die sowohl in M1 als auch in M2 enthalten
sind (grafisch in Abbildung 2.4 veranschaulicht):
M1 ∩ M2 = { x | x ∈ M1 und x ∈ M2 }
Abbildung 2.4: Schnittmenge zweier Mengen
2.5 Mengenoperationen
15
2.5.3 Differenz zweier Mengen
Definition 10 Unter der Differenzmenge (oder Differenz) zweier Mengen M1 , M2 versteht
man diejenige Menge, die alle Elemente enthält, die in M1 , aber nicht in M2 enthalten sind
(grafisch in Abbildung 2.5 veranschaulicht):
M1 \ M2 = { x | x ∈ M1 und x 6= M2 }
Abbildung 2.5: Differenz zweier Mengen
2.5.4 Komplement einer Menge
Definition 11 Unter dem Komplement einer Menge M1 versteht man diejenige Menge, die alle
Elemente der Grundmenge G enthält, die nicht in M1 enthalten sind (grafisch in Abbildung 2.6
dargestellt):
M1 = { x ∈ G | x ∈
/ M1 }
Abbildung 2.6: Komplement
Das Komplement einer Menge hängt von der jeweiligen Grundmenge ab. So gilt beispielsweise für die Menge {1, 3, 4}:
16
Kapitel 2 Mengen
• {1, 3, 4} = {2, 5}, falls die Grundmenge {1, 2, 3, 4, 5} ist,
• {1, 3, 4} = {0, 2, 5, 14}, falls die Grundmenge {0, 1, 2, 3, 4, 5, 14} ist.
• {1, 3, 4} = {. . . , −2, −1, 0, 2, 5, 6, . . .}, falls die Grundmenge Z ist.
2.5.5 Cartesisches Produkt von Mengen
Definition 12 Unter einem geordneten Paar ( a, b) versteht man die Menge {{ a}, { a, b}}, bei
der die Reihenfolge der Elemente a, b festgelegt ist:
{ a, b} = {b, a}
( a, b) 6= (b, a) falls a 6= b
(2.1)
(2.2)
Bemerkungen:
• Entsprechend nennt man geeordnete Mengen mit 3 Elementen ( a, b, c) 3-Tupel,
mit vier Elementen ( a, b, c, d) 4-Tupel usw.
• Die Stellen innerhalb eines Tupels nennen wir Komponenten.
Definition 13 Die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente Element einer Menge A und deren zweite Komponente Element einer Menge B ist, heißt Cartesisches Produkt der
Mengen A und B:
A × B = {( a, b) | a ∈ A und b ∈ B}
Beispiele:
• Eine grafische Darstellung von R × R ist das Cartesische Koordinatensystem.
• M × M lässt sich für M = {1, 2, 3, 4} beispielsweise durch die folgende Tabelle
darstellen:
M
1
2
3
4
M
1
2
3
4
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
• Die möglichen Ergebnisse beim zweifachen Würfeln mit einem Tetraeder sind die
Elemente von Ω × Ω mit Ω = {1, 2, 3, 4}.
• Das kartesische Produkt [1, 3] × [2, 5] lässt sich in der reellen Zahlenebene als
Rechteck mit den Eckpunkten (1, 2), (1, 5), (3, 2) und (3, 5) darstellen.
2.5 Mengenoperationen
17
Bemerkungen:
• Genau dann, wenn A 6= B gilt, gilt A × B 6= B × A
• Kurzschreibweise: A × A × A = A3 ,
A × A × A × A = A4 usw.
2.5.6 Gesetze der Mengenalgebra
Ähnlich wie bei der Addition und Multiplikation von Zahlen gibt es Rechengesetze für
der Operationen der Mengenalgebra. Für Teilmengen A, B, C einer Menge M gilt:
1. A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C (Assoziativgesetz)
2. A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C (Assoziativgesetz)
3. A ∪ B = B ∪ A (Kommutativgesetz)
4. A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz)
5. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) (Distributivgesetz)
6. A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) (Distributivgesetz)
7. A ∪ ∅ = A (neutrales Element)
8. A ∩ M = A (neutrales Element)
9. A ∪ A = M
10. A ∩ A = ∅
Generell versteht man unter Gesetzen in der Mathematik allgemeingültige Aussageformen. Dieser Begriff wird später präzisiert. Er besagt im Wesentlichen, dass man für
Variablen beliebige Werte einsetzen kann und dabei stets eine wahre Aussage erhält. So
gilt beispielsweise:
• Die Aussageform ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ist (z. B. für reelle Zahlen) allgemeingültig und damit ein Gesetz oder eine Rechenregel (für reelle Zahlen), da sie bei jeder
beliebigen Ersetzung von a und b durch konkrete Zahlen in eine wahre Aussage
übergeht (das wird in der Zahlentheorie bewiesen).
• Die Aussageform ( a + b)2 = a2 ist hingegen nicht allgemeingültig, da sie für a = 1
und b = 1 die falsche Aussage 4 = 1 ergibt. Damit ist diese Aussageform kein
Gesetz bzw. keine Rechenregel für reelle Zahlen.
2.5.7 Symmetrische Differenz zweier Mengen (Zusatz)
Definition 14 Unter der symmetrischen Differenz zweier Mengen M1 , M2 versteht man diejenige Menge, die alle Elemente enthält, die entweder in M1 oder in M2 enthalten sind:
M1 ∆M2 = { x | ( x ∈ M1 oder x ∈ M2 ) und x ∈
/ M1 ∩ M2 }
18
Kapitel 2 Mengen
2.6 Potenzmenge
Definition 15 Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge von M:
P ( M) = { A | A ⊆ M}
Bemerkungen:
• Die leere Menge (∅) und die Menge M selbst sind Elemente von P ( M ).
• Die Potenzmenge ist eine Menge von Mengen.
Beispiele:
• M = {1, 2, 3} und P ( M ) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, M }.
• P ( ∅ ) = { ∅ }.
• P ({∅}) = {∅, {∅}}.
2.6.1 Exkurs: Russells Antinomie oder der Barbier von Sevilla
Auf der Möglichkeit, Mengen von Mengen zu definieren, beruht die so genannte Russellsche Antinomie, die gegen die naive Auffassung von Mengen spricht. Diese Antinomie, die der Mathematiker Russell formuliert hat, kommt folgendermaßen zustande: MM sei eine Menge, die sich nicht selbst enthält (z. B. M = {1, 2}). Weiterhin sei
M = {M | M ∈
/ M} die Menge aller solchen Mengen M. Nun entsteht aber ein Widerspruch (eine Antinomie), denn es gilt M ∈ M, aber auch M ∈
/ M. Das kann man sich
durch folgende Überlegung klar machen:
• Nimmt man an, dass M ∈ M ist, dann ist M eine Menge, die sich nicht selbst
enthält. Also gilt M ∈
/ M.
• Nimmt man umgekehrt an, dass M ∈
/ M ist, so ist M gerade eine solche Menge,
die sich nicht selbst enthält. Also gilt M ∈ M.
Dieser Widerspruch ist nicht sehr schön, denn aus einer widersprüchlichen Theorie
kann man nach einem Grundgesetz der Logik jede beliebige Aussage ableiten, z. B. dass
der Mond aus grünem Käse ist. Und was soll man schon mit einer Theorie anfangen, in
der sich jeder Unsinn beweisen lässt?
Als Russell diese Antinomie entdeckt hatte, geriet die Mathematik anfang des 20. Jahhunderts in eine schwere Grundlagenkrise. Aber seien Sie beruhigt: Solche Antinomien
kann man vermeiden, wenn man die Möglichkeit, Mengen von Mengen zu definieren,
hinreichend stark einschränkt.
Eine nette Veranschaulichung der Russellschen Antinomie erhält man, wenn man
nicht von der Menge spricht, die alle Mengen enthält, die sich selbst nicht enthalten,
sondern vom Barbier, der alle Menschen rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Überlegen Sie: Rasiert der Barbier sich selbst?
2.7 Elemente der Kombinatorik
19
2.7 Elemente der Kombinatorik
Die Kombinatorik befasst sich mit dem Abzählen von Möglichkeiten der Anordnung
und Auswahl endlicher Mengen.
Satz 2 Die Anzahl der k-Tupel des k-fachen cartesischen Produkts einer Menge der Mächtigkeit
| M| = n beträgt nk .
„Beweis“: Wenn man jedes der n Elemente der Menge M mit jedem Element der gleichen Menge verbinden, so erhält man n2 geeordnete Paare, usw. Einen formalen Beweis
nehmen wir später auf.
Satz 3 Die Anzahl der k-elementigen geordneten Teilmengen V einer Menge M der Mächtigkeit
n mit vi 6= v j , vi , v j ∈ V, i 6= j beträgt
n!
(n − k)!
Satz 4 Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge M der Mächtigkeit n beträgt
n!
(n − k)! · k!
„Beweis“: In einer k-elementigen Teilmenge von M sind k unterscheidbare Elemente
von M enthalten. Allgemein hat man für das erste Element n Möglichkeiten der Auswahl, für das zweite Element (n − 1) Möglichkeiten der Auswahl, . . . und für das k-te
Element (n − k + 1) Möglichkeiten der Auswahl. Daraus ergibt sich Satz 3. Bei dieser
Auswahl entstehen geordnete Mengen von k Elementen (k-Tupel). Nun ist für Satz 4
noch die Frage, wie viele dieser k-Tupel aus derselben Menge von Komponenten bestehen. Aus Satz 3 ergibt sich die Anzahl der k-elementigen geordneten Teilmengen einer
Menge der Mächtigkeit k durch k!. Es gibt also k! geordnete k-Tupel mit identischen (nur
in der Reihenfolge unterschiedlichen) Elementen. Daraus ergibt sich Satz 4.
Beispiele:
• Fußballtoto: Die Anzahl der Tipps entspricht der Anzahl V der 3-Tupel (Tripel)
aus dem M11 , M = {0, 1, 2}. Es gilt also V = 311 .
• Pferdetoto: Man setzt auf die (genaue) Reihenfolge der ersten drei einlaufenden
Pferde bei 15 startenden Pferden. Die Anzahl möglicher Tipps entspricht der Anzahl V der 3-elementigen geordneten Teilmengen von M = {1, 2, . . . , 15}, die nur
20
Kapitel 2 Mengen
Abbildung 2.7: Fußballtoto
verschiedene Komponenten haben:
V=
15!
n!
=
= 15 · 14 · 13
(n − k)!
12!
Abbildung 2.8: Pferdetoto
• Lotto: Eine Ziehung entspricht der Bestimmung einer 6-elementigen Teilmenge
aus M = {1, 2, . . . , 48, 49}. Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist damit die
Anzahl K der 6-elementigen Teilmengen von M:
M=
n!
49!
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
=
=
(n − k)! · k!
43! · 6!
6·5·4·3·2·1
2.7 Elemente der Kombinatorik
21
Abbildung 2.9: Lotto
22
Kapitel 2 Mengen
Kapitel 3
Aussagenlogik
In der Alltagssprache versucht man, Meinungen oder Lösungen irgendwelcher Probleme als richtig, angemessen, passend usw. zu begründen. Dabei bemüht man sich, mit
bestimmten Argumentationsregeln verschiedene Aussagen zu verknüpfen, damit dem
Gesprächspartner am Ende möglichst klar wird, dass man Recht hat. Man kann bei
diesem Verfahren zwei Aspekte unterscheiden, die bei einer gültigen Argumentation
zugleich erfüllt sein müssen:
• Die Voraussetzungen (oder Prämissen) der Argumentation müssen wahr sein.
• Die Schlussregeln bzw. Argumentationsmethoden, die von den Prämissen auf die
Schlussfolgerung (oder Konklusion) führen, müssen gültig bzw. korrekt sein.
Die Logik kümmert sich allein um die Gültigkeit bzw. Korrektheit der Schlussregeln.
Sie lässt offen, ob die Voraussetzung wahr sind. So ist die folgende Argumentation zwar
logisch korrekt, aber dennoch falsch:
P1
P2
K
Alle Genies sind unsterblich.
Alle Mathematiker sind Genies.
Also sind alle Mathematiker unsterblich.
Die Folgerung von den Prämissen P1 und P2 auf die Konklusion K ist korrekt: Wenn
P1 und P2 wahr wären, so wäre auch K wahr. Die Konklusion K ist falsch und auch wenigsten eine der Prämissen (vermutlich P1 , Gerüchten zufolge auch P2 ). Das herauszufinden, ist jedoch nicht Aufgabe der Logik, sondern eine Angelegenheit der empirischen
Wissenschaften. Die Logik kümmert sich allein um die logischen oder argumentativen
Beziehungen zwischen Sätzen, nicht um den Wahrheitsgehalt der Sätze selbst.
Jedes Individuum hat unterschiedlich Vorstellungen über den Wahrheitswert bestimmter Aussagen und damit über eine Argumentation, die aus einer Kette von Aussagen
besteht.
Beispiele:
• „Braunschweig ist eine Metropole“ ist eine Aussage, die wohl sehr subjektiv als
wahr oder falsch bezeichnet wird. „Braunschweig ist größer als Peine“ wird dagegen allgemein als wahr bezeichnet.
24
Kapitel 3 Aussagenlogik
• „Heute Abend kommt das Sandmännchen“ ist eine zutreffende Aussage. Für meine Cousine ist auch die daraus entstehende Argumentation „Ich kann nicht aufräumen, weil ich heute Abend Sandmännchen sehen muss“ völlig logisch, für
mich weniger.
• „Wenn der Lichtschalter gedrückt ist, dann brennt das Licht“ ist ein Satz, der aus
zwei Aussagen besteht, nämlich aus der Aussage „der Lichtschalter ist gedrückt“
und „das Licht brennt“. Die Verbindung der beiden Aussagen geschieht durch
einen Wenn-Dann-Satz.
Die Alltagssprache hat bei der Formulierung von Aussagen und deren Verknüpfung
zu einer Argumentation Schwächen. Es können auf Grund der nicht genau festgelegten
Regeln und Begriffsfestlegungen Unsicherheiten, Zweifel oder Widersprüchlichkeiten
auftreten, die man in der Mathematik vermeiden will. Das alltäglich Argumentieren wird
in der Mathematik zum Beweisen verschärft, indem man Schlussregeln genauer vereinbart und strengeren Bedingungen unterwirft und indem man von mathematischen Begriffe mehr Klarheit verlangt als von denen der Umgangssprache. Im vorangegangenen
Kapitel haben wir gesehen, wie man den alltäglichen Begriff der Menge durch mathematische Definitionen präziser fassen kann. Damit haben wir den begrifflichen Aspekt
der Mathematik schon kennen gelernt. In diesem Kapitel werden wir theoretisch reflektieren, was wir bisher praktisch getan haben und uns neben der Begriffsbildung auch
um die Schlussregeln, d. h. um das Beweisen kümmern.
Die mathematischen Regeln und Begriffe, die einer Argumentation zu Grunde gelegt
werden, werden in der Logik, vor allem in der so genannten Aussagenlogik beschrieben. Die Regeln der Aussagenlogik legen dabei fest, welchen Standards Definitionen
mathematischer Begriffe, Formulierungen mathematischer Sätze und schließlich auch
mathematische Beweise genügen müssen. Bei Definitionen und Sätzen kann man das
in der Regel gut nachvollziehen. Bei Beweisen, insbesondere den komplexeren, gibt es
aber häufig Passagen, in denen die Aussagenlogik in den Hintergrund tritt, weil hier die
Ideen wichtiger sind als der Formalismus. Prinzipiell muss es aber möglich sein, von einer Voraussetzung eines Satzes allein mit Hilfe der Aussagenlogik zu der Behauptung
eines Satzes zu gelangen. Andernfalls ist eine Argumentation kein gültiger Beweis.
3.1 Aussagen und Aussageformen
Verkürzt kann man sagen: Logik ist die Wissenschaft von den gültigen Schlüssen oder
Argumentationen. Bevor man sich aber mit kompletten Schlüssen beschäftigen kann,
muss man zunächst ihre Bestandteile, die Aussagen und Aussageformen untersuchen.
3.1.1 Aussagen
Definition 16 In der Mathematik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr
(w) oder falsch ( f ) ist.
3.1 Aussagen und Aussageformen
25
Bemerkungen:
• Eine Aussage ist damit nicht „ein bisschen wahr“ und auch nicht gleichzeitig wahr
und falsch und erst recht nicht „unbestimmt“. Diese Forderung nennt man Wahrheitsdefinitheit von Aussagen – oder wie der Lateiner sagt: tertium non datur („Ein
Drittes gibt es nicht“; gemeint ist damit eine dritte Möglichkeit außer wahr oder
falsch).
• Alle Begriffe in einer mathematischen Aussage müssen so festgelegt sein, dass
man unabhängig von der Person eindeutig den Wahrheitsgehalt einer Aussage
bestimmen kann.
• Eine Aussagen wird in Zukunft mit einem Großbuchstaben (A, B, A1 , . . .) bezeichnet.
Beispiele:
Einige Aussagen mit ihren Wahrheitswerten
Aussage
Wahrheitswert
1 ist eine Primzahl
2 ist eine Primzahl
Beethoven hat neun Sinfonien geschrieben
3∈N
|Z| = |R|
f
w
w
w
f
Gegenbeispiele:
• Hol’ mir ’mal ’ne Flasche Bier! (Imperative sind nicht wahrheitsfähig)
• Ach! (Interjektion ebenfalls nicht)
• Ich bin durstig. (Nicht unabhängig von Personen)
• Rekischucken wachsen in Afrika. (enthält unklare Begriffe)
• x < 6. (weil es Elemente von Zahlenmengen gibt, die die Ungleichung erfüllen,
und andere, die die Ungleichung nicht erfüllen; die Wahrheitsbedingungen sind
also nicht eindeutig festgelegt, weil „x“ kein Name ist, sondern eine Variable, und
der Ausdruck „x < 6“ seinen Wahrheitswert ändert, je nachdem auf worauf sich
„x“ bezieht).
• 13 ist eine Unglückszahl. (weil „Unglückszahl“ mathematisch nicht definiert ist.
Würde man das machen, was durchaus möglich wäre, also „Def.: Alle Elemente
der Menge M = {7, 13} heißen Unglückszahl“, so wäre die Aussage wahr – aber
welcher Mathematiker wäre so abergläubisch, einen derartigen Unfug zu definieren?)
26
Kapitel 3 Aussagenlogik
Bemerkung: Eine Aussage besteht aus einem Subjekt (z. B. „Die Zahl 1“) und einem
Prädikat (z. B. „ist eine Primzahl“).
Bemerkung: Bei manchen Aussagen, die auch mathematische Aussagen sind, weiß
man nicht, ob sie wahr sind, z. B. :
• Für alle x ∈ Z mit x > 2 gilt 2 · x = (2 · x1 + 1) + (2 · x2 + 1) und (2 · x1 + 1), (2 ·
x2 + 1) Primzahlen (x1 , x2 ∈ Z) (Goldbachsche Vermutung).
• Sehr lange war etwa auch der Wahrheitswert der Aussage: „Die Gleichung x n +
yn = zn hat für n > 3 keine Lösungen in der Menge der natürlichen Zahlen“ nicht
bekannt. Erst der Beweis des englischen Mathematikers Andrew Wiles hat dazu
geführt, dass man dieser Aussage als wahr bezeichnet (auch wenn der schier endlos lange Beweis von höchstens einer handvoll Menschen nachvollzogen wurde
bzw. werden kann.)
3.1.2 Aussageformen
Weiter oben war folgendes Beispiel eines sprachlichen Gebildes, das keine Aussage ist,
genannt worden:
• x<6
Man kann hier von keiner Aussage sprechen, da das Subjekt „x“ aus einer Variablen
besteht und damit unbestimmt ist, worauf sich „x“ bezieht. Wenn man die Variable mit
einem Wert belegt, so ergibt sich eine Aussage; z. B. entsteht dann für x = 5 eine wahre,
für x = 9, 3 ein falsche Aussage. Wir treffen folgende Begriffsfestlegung:
Definition 17 Ein sprachliches Gebilde heißt Aussageform, wenn es mindestens eine Variable
enthält, die durch Belegung mit einem Wert bzw. mehreren Werten das sprachliche Gebilde in
eine Aussage überführt.
Bemerkungen:
• Nicht alle sprachlichen Gebilde mit einer Variablen sind eine Aussageformen, z. B.
ist „x“ keine Aussageform, weil es durch die Festlegung etwa mit x = 3 keine
Aussage ergibt. Dasselbe gilt für den Ausdruck „x + y“, wogegen „x + y = 3“
eine Aussageform ist.
• Für Aussageformen ist es üblich, eine Grundmenge G zu festzulegen, z. B. G = N.
Dann gilt stets, dass eine Teilmenge von G die Aussageform zu einer wahren Aussage, und eine Teilmenge von G die Aussageform in eine falsche Aussage überführt. Diese Teilmengen können durchaus leere Mengen sein. Dieser Fall ist sogar
besonders wichtig (wie sich später zeigen wird), denn darüber kann man Begriffe
wie „allgemeingültig“ oder „unerfüllbar“ definieren.
3.1 Aussagen und Aussageformen
27
• Aussageformen werden mit Großbuchstaben und der Abhängigkeitsbeziehung
von einer oder mehreren Variablen gekennzeichnet (A( x ), A1 (y, z), B(k ) etc.).
Definition 18 Die Menge L = { x ∈ G | A( x ) ist wahr} heißt Lösungs- oder Erfüllungsmenge der Aussageform A( x ) hinsichtlich der Grundmenge G. Für
• L = ∅ heißt die Aussageform unerfüllbar bzw. Kontradiktion.
• L = G heißt die Aussageform allgemeingültig bzw. Tautologie.
• und sonst heißt die Aussageform teilgültig bzw. Kontingenz.
Beispiele:
• Für G = N ist die Aussageform x2 = 2 unerfüllbar (kontradiktorisch), da es keine
natürliche Zahl gibt, deren Quadrat Zwei ist.
• Für G = R ist die Aussageform x2 = 2 hingegen teilerfüllbar
(kontingent), denn
√
sie wird durch jedes Element aus L = { x ∈ R | x = ± 2} in eine wahre Aussage
und für jedes Element aus L = G \ L in eine falsche Aussage überführt.
• Für G = N ist die Aussageform x ≥ 0 allgemeingültig (tautologisch), denn jede
natürliche Zahl ist größer als Null oder gleich Null.
3.1.3 Quantifizierung
Aussageformen kann man also durch Angabe einer Grundmenge G in Aussagen überführen. Diese Angabe ist eine Voraussetzung, um den Wahrheitsgehalt der entstehenden Aussage bestimmen zu können. Bei diesen Voraussetzungen gibt es in der Mathematik drei wichtige Aspekte, die Allaussage, die Existenz und die Eindeutigkeit. Die
Aspekte werden formal durch so genannte Quantoren ausgedrückt:
Definition 19
• Allquantor: ∀ x ∈ G : A( x ), „Für alle x in G gilt A( x )“ (das Zeichen
tend mit ∀).
V
ist gleichbedeu-
• Existenzquantor: ∃ x ∈ G : A( x ), „Es existiert ein x in G, für das A( x ) gilt“ (ob A( x ) für
W
ein oder mehrere x gilt ist dabei völlig nebensächlich), (das Zeichen ist gleichbedeutend
mit ∃).
• Eindeutigkeitsquantor: ∃◦ x ∈ G : A( x ), „Es existiert genau ein x in G, für das A( x )
gilt“.
Beispiele:
• ∀ x ∈ N : x ∈ Z.
• ∃ x ∈ N : x > 4 und x < 7.
• ∃◦ x ∈ Z : x + 1 = 1.
28
Kapitel 3 Aussagenlogik
Bemerkung: Quantoren können verknüpft werden: ∀ x ∈ G : ∃y ∈ G : . . . usw. Dabei
kommt es auf die Reihenfolge der Quantoren an.
Beispiele: Die folgenden Sätze sagen nicht dasselbe aus (dabei sei B die Menge der
Übungsblätter, S die Menge der Studenten und „A( x, y)“ bedeute „x bearbeitet y“):
1. ∀ x ∈ S : ∃◦ y ∈ B : A( x, y).
2. ∃◦ y ∈ B : ∀ x ∈ S : A( x, y).
Im ersten Fall bearbeitet jeder Student ein eigenes Übungsblatt, im zweiten sitzen alle
nur an einem einzigen Blatt Papier.
In der Mathematik ist die Reihenfolge der Quantoren nicht nur für die Kopierkosten
eines Institutes wichtig. Man betrachte beispielsweise
∀ x ∈ Z \ {0} : ∃ y ∈ Z :
x
=1
y
Das bedeutet: Für alle ganzen Zahlen außer der Null existiert eine ganze Zahl, sodass
die Aussageform yx = 1 wahr ist. Diese Aussage ist wahr, denn wenn man y = x setzt,
erhält man für jedes x ein passendes y, sodass yx = 1 erfüllt ist. Die Reihenfolge der
Quantoren ist dabei entscheidend, denn die Aussage
∃ y ∈ Z : ∀ x ∈ Z \ {0} :
x
=1
y
ist falsch. Es gibt nämlich keine ganze Zahl y, sodass die Aussageform
ganze Zahl x außer Null wahr ist.
x
y
= 1 für jede
3.1.4 Namen und Quantoren: Von Aussageformen zu Aussagen
Es gibt drei Wege, eine Aussageform in eine Aussage zu überführen:
• Man ersetzt die Variablen der Aussageform durch Namen.
– So kann man die Aussageform „x hat ein Violinkonzert geschrieben“ in eine
Aussage überführen, indem man die Variable „x“ beispielsweise durch den
Namen „Franz Schubert“ oder „Antonín Dvořák“ ersetzt. In dem einen Fall
entsteht dadurch eine wahre, in dem anderen eine falsche Aussage (schauen
Sie in Ihrer CD-Sammlung nach, um die Wahrheitswerte zu ermitteln).
– Ebenso entsteht aus der Aussageform „x < 3“ eine Aussage, indem man die
Variable „x“ durch den Namen „1“ oder „7“ ersetzt. Namen erkennt man
in der Mathematik (wie überall sonst) daran, dass sie anders als Variablen
immer genau ein Objekt bezeichnen. So sind beispielsweise „1“ und „Eins“
Namen der Zahl 1 oder „N“ ein Name der Menge der natürlichen Zahlen.
3.1 Aussagen und Aussageformen
29
• Man quantifiziert die Aussageform.
– So entsteht aus der Aussageform „x hat ein Violinkonzert geschrieben“ die
Aussage „Es gibt ein x ∈ K, so dass x ein Violinkonzert geschrieben hat“
oder „Für alle x ∈ K gilt, dass x ein Violinkonzert geschrieben hat“. Dabei sei
K die Menge der Komponisten.
– Auf analoger Weise erhält man aus der Aussageform „x < 3“ durch Allquantifizierung die (falsche) Aussage „∀ x ∈ N : x < 3“, durch Existenzquantifizierung die (wahre) Aussage „∃ x ∈ N : x < 3“ und durch die eindeutige
Existenzquantifizierung die (falsche) Aussage „∃◦ x ∈ N : x < 3“. Statt N
hätte man auch eine andere Grundmenge wählen können und erhielte dann
andere Aussagen, z. B. die (wahre) Aussage „∃◦ x ∈ {2, 3} : x < 3“. Sie sehen: Der Wahrheitswert einer quantifizierten Aussage hängt nicht nur von
der Form der Quantifizierung ab, sondern auch von der Grundmenge.
• Man ersetzt die Variablen der Aussageform durch Kennzeichnungen. Kennzeichnungen sind Formulierungen der Art „Dasjenige x, sodass A( x )“, wie z. B. „Dasjenige x ∈ Q : ∀y ∈ Q : x · y = 0“ (dieses x ist die Null). Kennzeichnungen
bezeichnen ebenso wie Namen genau ein Objekt und können daher genau so wie
Namen verwendet werden. Sie spielen in dieser Skript keine Rolle und werden
hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt.
Bemerkung: Man kann die drei Methoden gemischt verwenden. Man betrachte die
Aussageform „x · y = z“. Man erhält daraus beispielsweise die folgenden Aussagen,
indem man Namen einsetzt oder quantifiziert oder beides tut (überlegen Sie nebenbei,
welche der Aussagen wahr sind):
• 2 · 3 = 6.
• 2 · 3 = 7.
• ∀ x ∈ Z : x · 3 = 6.
• ∃ x ∈ Z : x · 3 = 6.
• ∀ x ∈ Z : ∃y ∈ Q : x · y = 7.
• ∀ x ∈ Z : ∃y ∈ Q : x · y = x.
• ∃ x ∈ Z : ∀y ∈ R : x · y = 0.
• ∃ x ∈ Z : ∀y ∈ R : x · y = 1.
• ∀ x ∈ Z : ∃y ∈ Q : ∀z ∈ Z : x · y = z.
• ∃◦ x ∈ Z : ∃z ∈ Z : ∀y ∈ Q : x · y = z.
30
Kapitel 3 Aussagenlogik
3.2 Verknüpfungen von Aussagen
Bei Verknüpfungen von Aussagen bzw. Aussageformen kommt es nicht auf den Sinnzusammenhang zwischen den verknüpften Bestandteilen an, sondern allein auf den
Wahrheitswert der Aussagen. Der Wahrheitswert einer Aussage A wird im Folgenden
durch eine Variable beschreiben. Diese Variable wird mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet (p, q, r, . . .). Es bedeutet also p( A) = w, dass die Aussage A wahr ist. (Im Folgenden werden teilweise sofort mit p, q, . . . solche Aussageformen beschrieben, deren
Variablen die Aussagen selbst sind.)
3.2.1 Wahrheitswerttafeln
Man kann die möglichen Wahrheitswerte von Aussagen und verknüpften Aussagen
übersichtlich mit so genannten Wahrheitstabellen oder -tafeln beschreiben. Dabei nimmt
man die bestehenden Möglichkeiten der Wahrheitswerte in die Wahrheitstabellen auf.
Untersucht man etwa die Aussage A, B auf ihren Wahrheitsgehalt p, q, dann ergibt sich
die Wahrheitstafel mit allen möglichen Variationen der Wahrheitswerte:
p q
w w
w f
f w
f f
Es gibt folgende Verknüpfungen von Aussagen bzw. Aussageformen:
• die Konjunktion „und“: ∧
• die Disjunktion „oder“: ∨
• die Negation „nicht“: ¬
• Subjunktion oder Implikation „wenn-dann“: ⇒ und die
• Bijunktion oder Äquivalenz „genau-dann-wenn“: ⇔
3.2.2 Konjunktion
Definition 20 Die Konjunktion p ∧ q von p und q ist genau dann wahr, wenn sowohl p als
auch q den Wert w haben:
p q p∧q
w w
w
w f
f
f w
f
f f
f
3.2 Verknüpfungen von Aussagen
31
Es ist beispielsweise völlig nebensächlich, dass p den Wert w hat, denn solange q den
Wert f hat, hat auch p ∧ q den Wert f .
Beispiele:
Es sei A die Aussage „7 ist eine Primzahl“.
• B: nur 1 und 7 sind Teiler von 7: A ∧ B ist wahr.
• B: 3 ist Teiler von 6: A ∧ B ist wahr, obwohl ein sinnhafter Zusammenhang hier
verborgen ist.
• B: 7 ist die größte Primzahl: A ∧ B ist falsch.
3.2.3 Disjunktion
Definition 21 Die Disjunktion p ∨ q von p und q hat genau dann den Wert w, wenn p oder q
den Wert w haben. Dabei ist das „oder“ nicht ausschließend, d. h. es können sowohl p als auch q
den Wert w haben:
p q p∨q
w w
w
w f
w
w
f w
f f
f
Bemerkung: Die Disjunktion von p und q hat also nur dann den Wert f , wenn sowohl
p als auch q den Wert f haben.
Beispiele:
Es sei A die Aussage „7 ist eine Primzahl“.
• B: nur 1 und 7 sind Teiler von 7: A ∨ B ist wahr.
• B: 3 ist Teiler von 6: A ∨ B ist wahr, obwohl ein sinnhafter Zusammenhang hier
verborgen ist.
• A: 7 ist die größte Primzahl: A ∨ B ist wahr.
• A: 7 ist keine Primzahl, B: 7 ist die größte Primzahl: A ∨ B ist falsch.
3.2.4 Negation
Definition 22 Eine Negation von p hat genau dann den Wert w, wenn p den Wert f hat und
genau dann den Wert f , wenn p den Wert w hat:
p ¬p
w f
f w
32
Kapitel 3 Aussagenlogik
Beispiele:
• A: 7 ist Primzahl: ¬ A ist falsch.
• B: 7 ist die größte Primzahl: ¬ B ist wahr.
3.2.5 Implikation
Eine Bemerkung vorneweg: Bei der Implikation muss man seinen Bauch aus- und seinen Kopf einschalten, d. h. die Implikation kann dem, was man so häufig als den gesunden Menschenverstand bezeichnet, widersprechen. Das liegt daran, dass der umgangssprachliche Wenn-Dann-Satz nicht identisch ist mit der Implikation. Man sollte sich hier
allein auf die Festlegung für die Implikation zurückziehen.
Definition 23 Die Implikation p ⇒ q von p und q ist genau dann falsch, wenn p den Wert w
und q den Wert f hat, andernfalls ist sie wahr.
p q p⇒q
w w
w
w f
f
w
f w
f f
w
Beispiele:
• A: 7 ist die größte Primzahl:
– B: 7 ist Primzahl: A ⇒ B ist wahr, obwohl A falsch ist. Das entspricht der
alltagssprachlichen Argumentation „Wenn 7 die größte Primzahl ist, dann ist
7 eine Primzahl“.
– B: 7 ist nicht die größte Primzahl: A ⇒ B ist wahr, d. h. A ⇒ ¬ A ist wahr,
was dem Bauch vielleicht noch größere Probleme bereitet.
– B: 6 ist Primzahl: A ⇒ B ist wahr. Zusammengefasst kann man sagen, dass
man aus einer falschen Voraussetzung alles folgern kann. Stellen Sie sich mal
vor, irgendwo in den Grundlagen der Mathematik steckt ein Fehler, d. h. eine falsche Aussage. Dann bricht das ganze Gebäude von Folgerungen, die
auf dieser Aussage beruhen in sich zusammen. So ein Fall ist mit der russellschen Antinomie eingetreten, die wir auf Seite 18 geschildert haben. Sie hat
die Mathematik in eine schwere Grundlagenkrise gestürzt, da sie in der Mengenlehre aufgetreten und jeder Zweig der Mathematik auf der Mengenlehre
aufbaut. Sie drohte daher, der gesamten Mathematik den Boden unten den
Füßen wegzuziehen.
• A: 7 ist Primzahl:
3.3 Gesetze der Aussagenlogik
33
– B: 7 ist nicht die größte Primzahl: A ⇒ B ist wahr.
– B: 6 ist Primzahl: A ⇒ B ist falsch, d. h. man kann aus einer wahren Aussage nichts Falsches folgern. Solange also alle Aussagen in den Grundlagen
der Mathematik wahr sind, kann man auch kein Hirngespinst „Mathematik“
hergestellt haben.
3.2.6 Äquivalenz
Definition 24 Die Äquivalenz p ⇔ q von p und q sind genau dann wahr, wenn p und q
denselben Wahrheitswert haben:
p q p⇔q
w w
w
w f
f
f w
f
f f
w
Beispiele:
• A: 7 ist die größte Primzahl:
– B: 7 ist Primzahl: A ⇔ B ist falsch.
– B: 6 ist Primzahl: A ⇔ B ist wahr. Beide Aussagen haben denselben Wahrheitswert, nämlich „falsch“.
• A: 7 ist Primzahl:
– B: 7 ist nicht die größte Primzahl: A ⇔ B ist wahr.
– B: 6 ist Primzahl: A ⇔ B ist falsch.
3.3 Gesetze der Aussagenlogik
3.3.1 Verkettungen aussagenlogischer Verknüpfungen
Aus der Schulmathematik wissen wir: · bindet stärker als +. Etwas Ähnliches muss
man beachten, wenn man logische Verknüpfungen verkettet: Hier bindet ¬ stärker als
∧ und ∨ (wobei ∧ und ∨ gleichstark binden), und ∧ und ∨ binden stärker als ⇒ und
⇔, und diese beiden stärker als ⇔.
Beispiele:
• p ∧ q ⇒ r ist äquivalent zu ( p ∧ q) ⇒ r, aber nicht zu p ∧ (q ⇒ r ).
• p ∧ q ⇔ r ∨ s ist äquivalent zu ( p ∧ q) ⇔ (r ∨ s), aber nicht zu p ∧ (q ⇔ r ) ∨ s.
34
Kapitel 3 Aussagenlogik
• p ⇒ q ⇒ r ist nicht eindeutig, erst ( p ⇒ q) ⇒ r oder p ⇒ (q ⇒ r ) sind eindeutig.
• p ∧ q ∨ r ist nicht eindeutig, erst ( p ∧ q) ∨ r oder p ∧ (q ∨ r ) sind es.
3.3.2 Logische Implikation und logische Äquivalenz
Über die Verknüpfungen von Aussagen bzw. Aussagenformen hinaus kann man wiederum Aussagen über aussagen machen – also Aussagen zweiter Stufe. Man befindet
sich damit auf einer höheren Ebene der Betrachtung – also auf einer Metaebene. Auf
dieser Metaebene verwendet man die Implikation und die Äquivalenz in sprachlicher
Form: „Aus der Aussage A folgt die Aussage B“ und „die Aussagen A und B sind
äquivalent“. Diese ist nicht zu verwechseln mit der aussagenlogischen Implikation und
Äquivalenz, die Verknüpfungen von Aussagen auf derselben sprachlichen Stufe sind,
und nicht auf einer höheren Metaebene stehen.
Allerdings besteht ein enger Zusammenhang zwischen Grundsprache und Metasprache: Man kann metasprachliche Aussagen zum Teil in die Grundsprache „zurückübersetzen“. Das ist besonders für den Begriff der logischen Folgerung wichtig. Ein zentrales
Theorem der Logik besagt:
Satz 5 Aus der Aussage α folgt genau dann logisch die Aussage β, wenn die Implikation α ⇒ β
allgemeingültig (also eine Tautologie) ist.
Dabei können die Aussagen α und β aus einer aussagenlogischen Verknüpfung elementarer Aussagen p, q, r . . . bestehen.
Dieser Satz ist für die Beweistechnik überaus wichtig: Wenn man beweisen will, dass
β aus α logisch folgt, braucht man nicht unbedingt einen Beweis dazu schreiben, sondern kann stattdessen eine Wahrheitswerttabelle für α ⇒ β aufstellen. Wenn sich dabei
α ⇒ β als Tautologie herausstellt, dann ist damit bewiesen, dass β aus α logisch folgt –
und damit ist alles bewiesen, was man beweisen wollte.
Beispiel:
• Es sei p: A ist Quadrat und q: A ist Rechteck.
• Wir betrachten (¬ p) ⇒ ( p ⇒ q) bzw. „Wenn A kein Quadrat ist, dann ist A dann
ein Rechteck, wenn A Quadrat ist.“ Es ist hier α = ¬ p und β = p ⇒ q.
• In der Wahrheitstafel sieht das folgendermaßen aus:
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
¬p
f
f
w
w
p⇒q
w
f
w
w
(¬ p) ⇒ ( p ⇒ q)
w
w
w
w
3.3 Gesetze der Aussagenlogik
35
Damit ist α ⇒ β allgemeingültig. Nach Satz 5 heißt das: Aus dem Aussagenkomplex α folgt der Aussagenkomplex β.
Die logische Äquivalenz funktioniert analog. Man zeigt, dass α ⇔ β allgemeingültig
ist.
Ein Beispiel, wobei A und B analog zum obigen Beispiel gewählt werden. Wir untersuchen ob die Aussage aus Wenn A Quadrat ist, dann ist B Quadrat logisch gleichwertig
bzw. äquivalent ist zu der Aussage wenn A kein Rechteck ist, dann ist A kein Quadrat:
( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p).
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
¬p
f
f
w
w
¬q
f
w
f
w
p⇒q
w
f
w
w
¬q ⇒ ¬ p
w
f
w
w
( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p)
w
w
w
w
Damit gilt also, dass α ⇔ β eine allgemeingültige Aussage ist.
3.3.3 Gesetze der Aussagenlogik
Eben haben wir mit der Methode der Wahrheitstafeln bewiesen, dass
( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p)
allgemeingültig ist. Solche Aussagen nennt man Gesetze der Aussagenlogik.
Definition 25 Ist eine Aussage α aussagenlogisch allgemeingültig, so ist α ein Gesetz der Aussagenlogik.
Es gibt eine ganze Fülle aussagenlogischer Gesetze, von denen im Folgenden einige
aufgezählt sind. Man kann wiederum zeigen, dass die Gesetze G1 , G2 , . . . jeweils Tautologien sind, wenn man etwa mit Hilfe von Wahrheitstafeln zeigt, dass Gi eine allgemeingültige Aussage ist, d. h. dass die Spalte der Wahrheitstafel zu Gi allein die Einträge w
aufweist.
• p ∨ q ⇔ q ∨ p (Kommutativgesetz)
• p ∧ q ⇔ q ∧ p (Kommutativgesetz)
• p ∨ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∨ r (Assoziativgesetz)
• p ∧ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∧ r (Assoziativgesetz)
• p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r ) (Distributivgesetz)
• p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) (Distributivgesetz)
• p ∨ f ⇔ p und p ∨ w ⇔ w (neutrales Element)
36
Kapitel 3 Aussagenlogik
• p ∧ f ⇔ f und p ∧ w ⇔ p (neutrale Elemente)
• ( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) (Kontrapositionsregel)
• p ∧ ¬ p ⇔ f (Widerspruch)
• ¬( p ∨ q) ⇔ (¬ p ∧ ¬q) und
¬( p ∧ q) ⇔ (¬ p ∨ ¬q) (Regeln von De Morgan)
Bemerkung: Es gibt noch eine ganze Anzahl weiterer aussagenlogischer Regeln bzw.
Gesetze, genauer gesagt unendlich viele. Die oben genannte sind für praktische Zwecke
einige der wichtigsten.
3.4 Negation quantifizierter Aussagen
In der Mathematik ist es häufig von Vorteil, statt einer Aussage ihre Negation zu betrachten. Daruaf baut beispielsweise das Verfahren des indirekten Beweises systematisch auf, das wir in Abschnitt 4.3.2 auf Seite 49 kennen lernen werden. Dieser Beweismethode liegt folgendes Schema zugrunde: Statt zu beweisen, dass eine Aussage A
wahr ist, wird gezeigt, dass ihre Negation ¬ A falsch ist (dadurch ist „automatisch“ bewiesen, dass A wahr, denn wie wir eben gelernt haben, ist A genau dann wahr, wenn
¬ A falsch ist). Dieser Weg hört sich vielleicht etwas abwegig an, ist aber aus zwei Gründen oft sehr vorteilhaft:
1. In manchen Fällen hat ¬ A eine einfachere Struktur als A und lässt sich daher
leichter verarbeiten.
2. Man zeigt, dass ¬ A falsch ist, im Allgemeinen dadurch, dass ¬ A im Widerspruch
zu einer anderen Aussage B steht, die man bereits als wahr bewiesen hat. Wenn
man nachweisen will, dass ¬ A falsch ist, hat man daher mehr „Material“ zur Verfügung, als wenn direkt beweisen wollte, dass A wahr ist: Man kann sich nämlich
bei ¬ A zusätzlich auf B stützen.
Aus diesen und anderen Gründen ist wichtig, die Negation einer Aussage bilden zu
können. Wie macht man das aber, wenn man eine komplexe, quantifizierte Aussage vor
sich hat? Man betrachte beispielsweise
∀ a ∈ A : ∃b ∈ B : ∀c ∈ C : S( a, b) ⇒ T ( a, b, c)
Man kann zwar vor den gesamten Ausdruck ein Negationszeichen setzen:
¬(∀ a ∈ A : ∃b ∈ B : ∀c ∈ C : S( a, b) ⇒ T ( a, b, c))
Damit ist aber nichts gewonnen. Die Aussage ist dadurch nur noch komplexer gewonnen. Außerdem kann man sie wegen der Klammerung nicht zerlegen.
3.4 Negation quantifizierter Aussagen
37
Man kann diese Aussage in eine logisch äquivalente umformen, die eine einfachere
Struktur hat und darüber hinaus nicht als unzerlegbare Einheit erscheint. Man geht
dabei in zwei Schritten vor:
1. Zuerst lässt man die Klammerung durch die Negation weg und „zieht“ das Negationszeichen von der Stelle vor den Quantoren direkt hinter die Quantoren und
„dreht“ dabei alle Quantoren um, d. h. aus jedem Allquantor wird ein Existenzquantor und aus jedem Existenzquantor ein Allquantor. Die Klammern stehen danach nicht mehr um den gesamten Ausadruck, sondern nur noch um den quantorenfreien Teil.
2. Nun steht das Negationszeichen vor einem Ausdruck, der keine Quantoren enthält, sondern allein mit aussagenlogischen Verknüpfungen und elementaren Aussagen gebildet ist. Nun ersetzt man diesen Ausdruck durch einen aussagenlogisch
äquivalenten, bei dem Negationszeichen nur noch vor den elementaren Aussagen
stehen. Diesen äquivalenten Ausdruck kann man aus den Gesetzen der Aussagenlogik ablesen oder (wenn er dort nicht steht) selbst konstruieren. Man muss dann
beispielsweise mit einer Wahrheitstabelle nachweisen, dass er tatsächlich aussagenlogisch äquivalent zum Ursprungsausdruck ist.
Nach diesem Schema formen wir nun unsere komplexe, quantifizierte Aussage
¬(∀ a ∈ A : ∃b ∈ B : ∀c ∈ C : S( a, b) ⇒ T ( a, b, c))
um. Zuerst „ziehen“ wir das Negationszeichen an den Quantoren vorbei, bis es vor
dem aussagenlogischen Teil des Ausdrucks steht, und „kehren“ dabei jeden Quantor
um. Damit erhalten wir
∃ a ∈ A : ∀b ∈ B : ∃c ∈ C : ¬(S( a, b) ⇒ T ( a, b, c))
Danach ersetzen wir den Teilausdruck, vor dem nun das Negationszeichen steht, durch
einen aussagenlogisch äquivalenten, bei dem Negationszeichen nur noch vor den elementaren Aussagen stehen. Danach haben wir
∃ a ∈ A : ∀b ∈ B : ∃c ∈ C : S( a, b) ∧ ¬ T ( a, b, c)
Dabei wurde benutzt, dass ¬( p ⇒ q) zu p ∧ ¬q äquivalent ist. Durch eine Wahrheitstabelle kann man diese Äquivalenz nachprüfen.
Bemerkung: Es müsste an dieser Stelle bewiesen werden, dass man mit den beiden
Umformungsregeln eine komplexe negierte Aussage in eine äquivalente einfachere überführt. Dazu reichen die Mittel der Aussagenlogik nicht aus. Man muss dazu Ergebnisse
der Prädikatenlogik verwenden, die wir nicht betrachten.
38
Kapitel 3 Aussagenlogik
Der zweite Schritt des Verfahrens ist unter Umständen nicht nötig, wenn der quantorenfreie Teil bereits nach dem ersten Schritt ausreichend einfach ist. Ob das so ist, hängt
allerdings davon ab, wofür man die Aussage verwenden will.
3.5 Zwei Anwendungen aussagenlogischer Gesetze
An dieser Stelle stellen wir zwei Methoden vor, mit denen man aussagenlogische Gesetze im „mathematischen Alltag“ einsetzen kann.
3.5.1 Inzidenztafeln
Eine Form der Wahrheitstabellen für Aussageformen p : x ∈ M sind Inzidenztafeln. In
diesen Tafeln wird statt der Aussageformen p, q, . . . die Menge M sowie der Wahrheitswert der Aussageformen aufgenommen. Mit Hilfe dieser Inzidenztafeln kann man die
Gleichheit von Mengen überprüfen.
Beispiel:
Begründen Sie, dass für alle Mengen A, B, C gilt:
A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C )
Das zeigen wir nun anhand einer Inzidenztafel:
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
B∩C
w
f
f
f
w
f
f
f
A \ (B ∩ C)
f
w
w
w
f
f
f
f
A\B
f
f
w
w
f
f
f
f
A\C
f
w
f
w
f
f
f
f
( A \ B) ∪ ( A \ C )
f
w
w
w
f
f
f
f
3.5.2 Notwendige und hinreichende Bedingung
Die Begriffe „notwendig“ und „hinreichend“ sind aus der Schule wahrscheinlich aus
der Kurvendiskussion der Oberstufe bekannt. Dort galt als „notwendige“ Bedingung
für eine Extremstelle x E einer Funktion f , dass f 0 ( x E ) = 0 gilt, und als „hinreichende“
Bedingung, dass f 00 ( x E ) 6= 0 ist. Das ist leider nicht richtig: Nur f 0 ( x E ) = 0 ist tatsächlich eine notwendige Bedingung, eine hinreichende Bedingung ist etwas komplizierter
als die eben genannte.
3.5 Zwei Anwendungen aussagenlogischer Gesetze
39
Lassen wir das jedoch für einen Augenblick aus und konzentrieren wir uns auf die
notwendige Bedingung. Sie lautet formal
x E ∈ { x ∈ R | x ist Extremstelle von f } ⇒ f 0 ( x E ) = 0
• Hier gilt also: Wenn x eine Extremstelle der Funktion f ist, dann gilt f 0 ( x ) = 0.
Diese Tatsache ist also hinreichend für das Vorliegen einer Nullstelle der Ableitung
von f . Andererseits ist die Existenz der Nullstelle der Ableitungsfunktion an der
Stelle x nur notwendig dafür, dass an dieser Stelle ein Extremum existiert.
• Man kann sich merken: Die hinreichende Bedingung steht vor dem Implikationszeichen, die notwendige dahinter.
• Notwendig und hinreichend für die Existenz der Nullstelle ist schließlich
f 0 ( x ) = 0 ∧ f 00 ( x ) 6= 0
Diese Aussage ist äquivalent zu der Aussage x ist Extremstelle von f .
Ein anderes Beispiel: Wir betrachten die Aussagen A: „V ist ein Viereck mit gleich
langen Kanten“ und B: „V ist ein Quadrat“. Wenn B gilt, dann gilt auch A. Die Aussage
B ist damit hinreichend für A, weil alle Quadrate die Aussage A erfüllen. Andersherum
gesehen ist A notwendig für B, da A eine wahre Aussage sein muss, wenn B wahr ist.
B ist dagegen nicht notwendig für A, da es Vierecke mit gleich langen Seiten gibt, die
keine Quadrate sind.
Formuliert man eine dritte Aussage C: „das Viereck hat einen rechten Winkel“, so
folgt wiederum aus B die Aussage C. B ist hinreichend für C und C ist notwendig für
B. Verknüpft man nun A und C, so hat man eine hinreichende und notwendige Bedingung für B formuliert. D. h. die beiden Aussagen A ∧ B und C sind äquivalent (gleichbedeutend). Die Verknüpfung von A und C ergibt damit eine Definition des Begriffes
„Quadrat“. Damit ist bereits gesagt, was man in der Mathematik unter „Definitionen“
versteht: die Angabe notwendiger und hinreichender Bedingungen. Damit werden wir
uns später ausführlich beschäftigen.
40
Kapitel 3 Aussagenlogik
Kapitel 4
Aufbau mathematischer Theorien
Eine mathematische Theorie besteht aus Axiomen, Definitionen, Sätzen und deren Beweisen. Die Axiomatisierung einer Theorie ermöglicht es, Sätze auf Axiome zurückzuführen, indem durch Beweise gezeigt wird, dass die Sätze logisch aus den Axiomen
folgen.
Eine Axiomatisierung hat mehrere Vorteile. Die Wahrheitswert der Axiome überträgt
sich durch die logische Ableitung auf die Sätze. Man braucht daher nur die Wahrheit
oder Gültigkeit der Axiome zu überprüfen. Die Wahrheit oder Gültigkeit der restlichen
Sätze folgt dann „von selbst“.
Dieser Umstand ist vor allem dann wichtig, wenn man überprüfen möchte, ob sich
eine mathematische Theorien in den Erfahrungswissenschaften anwenden lässt. Man
braucht dann nur zu untersuchen, ob die Axiome auf den Anwendungsfall zutreffen,
und kann dann – falls es so ist – den gesamten mathematischen Apparat benutzen, den
die Theorie zu bieten hat. Einstein hat sehr davon profitiert, dass Riemann Mitte des
19. Jahrhundert nicht-euklidische Geometrien entwickelt hat (also solche, die unseren
alltäglichen Vorstellungen vom Raum widersprechen; beispielsweise haben in manchen
riemannschen Geometrien Parallelen Schnittpunkte). Riemanns Arbeiten wurden lange Zeit als „mathematische Spielereien“ belächelt. Erst mit Einsteins Relativitätstheorie
wurde deutlich, dass sich nicht-euklidische Geometrien in der Physik anwenden lassen.
In Riemanns Arbeiten fand man ein gut ausgearbeitetes System bewiesener Sätze und
konnte sie dank der axiomatischen Methode bedenkenlos in die Physik übernehmen.
In dieser Funktion trägt die Axiomatisierung zur Systematisierung und Weiterentwicklung der Mathematik bei: Auch hier kann man prüfen, ob Axiome bestimmter mathematischer Theorien auf mathematische Objekte außerhalb dieser Theorien zutreffen.
So hat man beispielsweise im 20. Jahrhundert bemerkt, dass Funktionen den Axiomen
der Vektorräume genügen, und konnte dadurch mit großem Erkenntnisgewinn eine
mathematische Theorie in der Analysis benutzen, die ursprünglich für die Geometrie
gedacht war.
Auch wenn – logisch gesehen – die Axiome den Anfang einer mathematischen Theorie darstellen, so ist die Axiomatisierung häufig ein vorläufiger Endpunkt in der Geschichte einer Theorie. Aus Definitionen und Sätzen bildet sich meistens erst eine „naive“ mathematische Theorie, die sich etabliert und dann möglicherweise auch axiomatisiert wird. Die Bestandteile einer mathematischen Theorie sind Gegenstand dieses Kapitels.
42
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
4.1 Definitionen
Sie haben sich in Ihrer Schulzeit an einigen Definitionen versucht, und zwar bestimmt
für die folgenden Begriffe:
• Quadrat
• größter gemeinsamer Teiler
• rechtwinklig
• Kreiszahl π
• Menge der Rationalen Zahlen Q
• Punkt (geometrisch)
Ziel der mathematischen Definition ist es, einen Begriff durch invariante Merkmale so
zu beschreiben, dass man für jedes mathematische Objekt eindeutig entscheiden kann,
ob dieses Objekt der Definition genügt oder nicht. In der Sprache der Logik heißt das:
Man muss in einer Definition notwendige und hinreichende Bedingungen angeben. Erst
dann ist die Invarianz der Merkmale garantiert.
Kommen wir nun zu den Formalien: Eine mathematische Definition besteht aus dem
Definiendum (dem zu definierenden Begriff) und dem Definiens (dem System von invarianten Merkmalen bzw. notwendigen und hinreichenden Bedingungen, die dem Begriff zugeschrieben werden). Zwischen Definiendum und Definiens besteht die definierte oder schlicht festgelegte Äquivalenz. Eine Definition sieht schematisch also folgendermaßen aus:
Defiendum :⇔ Definiens
Der Doppelpunkt wird gesetzt, damit man erkennen kann, auf welcher Seite das Definiendum steht.
Beispiel: x ist ein Quadrat :⇔ x ist (1) ein konvexes Viereck mit (2) gleichlangen Seiten und (3) einem rechten (Innen-)Winkel zwischen zwei Seiten. Oder etwas umgangssprachlicher: Ein Quadrat ist (1) ein konvexes Viereck mit (2) gleichlangen Seiten und
(3) einem rechten (Innen-)Winkel zwischen zwei Seiten.
4.1.1 Eigenschaften einer mathematischen Definition
Eine mathematische Definition muss folgende Eigenschaften haben:
1. Eindeutigkeit: Man kann eindeutig entscheiden, ob ein mathematisches Objekt die
Definition erfüllt, d. h. die invarianten Merkmale enthält oder nicht.
2. Minimalität: Es werden nur so viele Eigenschaften benutzt, wie für den Begriff unbedingt notwendig sind. Eine Definition, die diese Eigenschaft nicht hat, ist nicht
unbedingt unbrauchbar oder inkorrekt, aufgrund der Ökonomiebestrebung der
Mathematik wird aber die Minimalität gefordert.
4.1 Definitionen
43
3. Definiendum und Definiens sind austauschbar.
4. Das Definiendum darf nicht Bestandteil des Definiens sein. Sonst entsteht ein Zirkelschluss.
5. Alle Begriffe im Definiens müssen wiederum definiert oder Grundbegriffe der
Theorie sein.
Fehlerbeispiele:
• Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten und vier rechten Winkeln
(keine Minimalität: Man muss nur einen rechten Winkel voraussetzen. Die dritte
Eigenschaft ergibt sich aus der Äquivalenz, z. B. gilt: Quadrat :6⇔ konvexes Viereck mit vier gleichlangen Seiten, weil eine Raute auch diese Eigenschaften hat.)
• Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem die Ausfälle zufällig sind (häufig anzutreffende zirkuläre Definition).
• x ist der Graph einer Funktion :⇔ x ist die bildliche Darstellung einer Funktion. (Das ist ein Beispiel aus einem Schulbuch. Hier müsste der Begriff „bildliche
Darstellung“ noch definiert werden. Würde man das machen, dann könnte man
die Eigenschaften der bildlichen Darstellung auch gleich äquivalent zum Begriff
„Graph einer Funktion“ setzen.)
4.1.2 Definitionstypen
Prinzipiell kann man mathematische Objekte (Quadrat, Kreiszahl π) oder aber Relationen zwischen Objekten (größter gemeinsamer Teiler, senkrecht) definieren. Definiert
man eine Relation, so gehören zum Definiendum natürlich die (bereits definierten) mathematischen Objekte, die in Beziehung/Relation zueinander stehen.
Weiterhin besteht das Definiendum prinzipiell aus einer Menge mathematischer Objekte, die anhand der Merkmale des Definiens gebildet wird. Eine Menge kann man (wie
Sie wissen) durch eine Mengenvorschrift, die den Inhalt der Menge angibt, oder durch
Aufzählung, die den Umfang der Menge bescheibt, darstellen. Entsprechend können
Definitionen intensional, auf den Begriffsinhalt analog zur Mengenvorschrift, oder extensional, auf den Begriffsumfang analog zur Aufzählung einer Menge, bezogen sein. Die
extensionale Definition ist in der Schule gebräuchlich, in der wissenschaftlichen Mathematik die Ausnahme. Bei ihr muss man darauf achten, dass häufig nur Beispiele ohne
den Anspruch auf Vollständigkeit genannt werden (reelle Funktionen sind die Potenzfunktionen, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktionen . . .). In der
wissenschaftlichen Mathematik sind unvollständige Aufzählungen unbrauchbar. Man
vermeidet daher extensionale Definitionen.
Es gibt drei Möglichkeiten mathematischer Definitionen:
1. die klassische Definition: Ein neuer Begriff wird aus einem Oberbegriff mit zusätzlichen Eigenschaften konstruiert:
44
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
Ein konvexes Viereck (Oberbegriff, Grundmenge) mit vier gleichlangen Seiten (Merkmal 1) und einem rechten Winkel (Merkmal 2) heißt Quadrat (Definiendum, neuer
Begriff).
Analog gibt es auch folgende Formulierung: Genau dann, wenn (sprachlicher Ausdruck der Äquivalenz) ein konvexes Viereck (Oberbegriff) vier gleichlange Seiten
(Merkmal 1) und einen rechten Winkel (Merkmal 2) hat, heißt es Quadrat (Definiendum, neuer Begriff).
2. die genetische Definition: Das Produkt einer Zahl x mit sich selbst heißt Quadrat
dieser Zahl: x · x =: x2 .
Bei dieser Definition gibt es keinen Oberbegriff, der durch zusätzliche Eigenschaften eingeschränkt wird, sondern der Begriff entsteht aus der Operation mit bekannten Begriffen.
Ein anderes Beispiel ist etwa: π ist der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 1.
3. die induktive oder rekursive Definition: Als Fakultät einer Zahl n + 1 bezeichnet
bezeichnet man die Zahl (n + 1)! = (n + 1) · n! mit 0! := 1.
Durch diese Definition erhält man für eine beliebige Zahl m die gesuchte Zahl,
indem man die Definition auf (m − 1)!, dann auf (m − 2)! usw. anwendet, bis man
bei 0! angelangt ist, z. B.:
5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3! = 5 · 4 · 3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 0! = 5 · 4 · 3 · 2 ·
1·1 = 5·4·3·2·1
Bemerkung: Insbesondere für eine klassische Definition kann es äquivalente Definitionen geben.
4.1.3 Ausweitung in Richtung Axiomatik
Ein Problem gibt es bei den mathematischen Definitionen: Jeder Begriff im Definiens
soll seinerseits definiert sein. Man geht dann also zurück auf die entsprechenden Definitionen, die wiederum durch bereits definierte Begriffe beschrieben sind. Das führt
aber prinzipiell zu einem unendlichen Regress, der praktisch unmöglich ist.
Eine Lösung für dieses Problem ist, dass man grundlegende Begriffe undefiniert lässt,
von denen man einerseits ausgeht, dass diese mit einer Vorstellung verbunden werden
können (abstrakt oder auch gegenständlich) und dass der in den Axiomen festgelegte
Umgang mit diesen undefinierten Begriffen als Grundlage genommen werden kann,
auf dem sich die gesamte darunterstehende mathematische Theorie widerspruchsfrei
aufbauen lässt. Die Axiome enthalten eigentlich Aussagen, die unbewiesen sind, die
aber als wahr postuliert werden.
Beispiele für solche undefinierten Begriffe sind:
• „Punkt“ und „Gerade“ in der Geometrie
4.2 Sätze
45
• „Wahrscheinlichkeit“ in der Stochastik
• „Natürliche Zahlen“ in der Arithmetik. Diese Menge kann man zwar aufschreiben, die Eigenschaften der Menge werden allerdings durch Axiome angegeben.
• „Menge“ und „∈“ in der Mengenlehre. Aber das wissen Sie schon.
4.2 Sätze
Was ist ein mathematischer Satz?
• Ein mathematischer Satz verbindet zwei Aussagen A und B durch eine Implikation zur Aussage A ⇒ B.
• Die Aussagen A und B können wiederum aus einem System verknüpfter Aussagen bestehen.
• Bisher haben wir Verläufe von Wahrheitswerten zu Verknüpfungen von Aussageformen p, q, . . . bestimmt. Wir haben aussagenlogische Gesetze nach Satz 5 als
Tautologien identifiziert oder Äquivalenzen von Wahrtheitwertverläufen festgestellt. Nun geht es um etwas anderes: Ein mathematischer Satz sagt aus: Wenn die
Aussage A wahr ist, dann ist auch die Aussage B wahr. D. h. ausgehend von als
wahr bewiesenen Aussagen (A) bzw. als wahr festgelegten Aussagen (Axiomen)
wird die Behauptung aufgestellt, dass eine weitere Aussage B wahr ist.
• Die als wahr bewiesenen oder festgelegten Aussagen beruhen in der Regel auf
Voraussetzungen (Prämissen), die den Gegenstandsbereich festlegen, in dessen
Rahmen eine Behauptung aufgestellt wird.
Beispiel: Für alle Dreiecke ABC gilt: α + β + γ = 180 Grad. Dieser Satz hat als
Voraussetzung, dass man Dreiecke in der Ebene betrachtet. Man kann nämlich
auch Dreiecke z. B. auf der Kugel betrachten, und dann stimmt dieser Satz nicht
mehr.
Prinzipiell kann man die Prämissen auch in das System von Aussagen A übernehmen. In der Regel wird, wenn die Prämissen vorher nicht allgemein geklärt
werden, eine Einschränkung in der Form: „Es sei ABC ein Dreieck in der euklidischen Ebene. Für alle Dreiecke ABC gilt: α + β + γ = 180◦ “.
• Manchmal möchte man in einem Satz zwei Implikationen gleichzeitig behaupten,
nämlich „wenn A gilt, dann gilt auch B“ (A ⇒ B) und „wenn B gilt, dann gilt auch
A“ (B ⇒ A). Das fasst man zu einer Äquivalenz zusammen: „Genau dann, wenn
A gilt, gilt auch B“ (A ⇔ B).
• Auf „beiden Seiten“ eines Satzes werden allein Grundbegriffe oder definierte Begriffe verwendet!
46
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
• Wie man nun auf einen Satz kommt, ist unbestimmt. Prinzipiell geht man von
einer Ahnung aus, die man möglicherweise durch Beobachtung mathematischer
Phänomene unterfüttert. Ein Satz ist aber zunächst immer ein willkürliches Produkt, ein abduktiv gewonnenes sprachliches Gebilde, etwas Neues, das aus der
Kombination von Bekanntem entsteht.
Wir nehmen an, Sie hätten die Aufgabe erhalten, zu folgenden drei Gegenstandsbereichen einen Satz zu formulieren:
1. Eine Strecke s kann man messen, indem man ausgehend von einer Einheitsstrecke
p
e eine Maßzahl a = q mit p ∈ Z, q ∈ Z \ 0 bestimmt, so dass s = a · e ergibt. „Messen“ Sie einer der Diagonalen im Einheitsquadrat. Die Seitenlänge des Quadrats
ist e = 1.
2. Gegeben sind die ganzen Zahlen b und c. Wann können Sie sicher davon ausgehen, dass a ∈ Z die Summe, die Differenz, das Produkt von b und c teilt?
3. In welchem Verhältnis stehen 2n und n2 ?
Zu den drei Gegenstandsbereichen könnte man folgende Sätze formulieren:
1. Wenn a eine rationale Zahl ist mit a =
mit a · a = 2.
p
q
und p ∈ Z, q ∈ Z \ 0, dann gibt es kein a
2. Wenn a | b ∧ a | c, dann gilt a | (b + c) und a | (b − c) und a | (b · c). Die
Umkehrung dieses Satzes gilt nicht!
3. ∀n ∈ N \ {0, 1, 2, 3} : 2n ≥ n2 oder anders formuliert: ∀n ∈ N : n ≥ 4 ⇒ 2n ≥ n2
(an diesem Beispiel kann man etwas Interessantes beobachten: Die Aussageform
2n ≥ n2 ist über N nicht allgemeingültig, sondern gilt nur für alle natürlichen
Zahlen ab Vier. Man kann die Aussageform dennoch allquantifizieren, indem man
sie auf diese Teilmenge der natürlichen Zahlen einschränkt. Dafür gibt es zwei
Methoden: Entweder verwendet man als Grundmenge N \ {0, 1, 2, 3}, und nicht
N, oder man bleibt bei N und formuliert die einschränkende Bedingung im WennTeil einer Implikation).
Viele der Sätze, die Sie in Ihrem Studium kennen lernen, sind vielfach vorgekaut und
in den verschiedensten Formen bewiesen. Das liegt einfach daran, dass sich schon sehr
viele Leute einfache mathematische Strukturen angeschaut haben, bestimmte Struktureigenschaften entdeckt und als Satz formuliert haben. Es gibt aber sicherlich auch immer noch viele Sätze zu entdecken, die vielleicht nicht die Mathematik revolutionieren
werden, die Ihnen aber die Genugtuung geben können, ein Stück eigene Mathematik
entwickelt zu haben. Nehmen Sie das zum Anlass, die mathematischen Strukturen, die
wir behandeln, oder auch ganz andere mathematische Strukturen von Zahlen oder geometrischen Objekten zu untersuchen und eigene Sätze zu entdecken. Wenn Sie etwas
entdeckt haben, dann dürfen Sie jederzeit in der Veranstaltung solch eine Entdeckung
4.3 Beweise
47
präsentieren und wir versuchen dann gemeinsam, solch eine Entdeckung als allgemeingültig zu beweisen. Sie können auch solche Entdeckungen an mich mailen, dann werde
ich diese präsentieren.
4.3 Beweise
Ist schon das Aufstellen von Sätzen eine kreative Tätigkeit, so gilt dies erst recht für das
Führen eines Beweises. Prinzipiell besteht ein Beweis aus der (deduktiven) Ableitung
einer wahren Aussage aus bereits als wahr geltenden Aussagen.
Prinzipiell muss es möglich sein, mit Hilfe der Aussagenlogik diese Ableitung Stück
für Stück zu bewältigen. Für Mathematiker ist aber nicht die kleinschrittige Ausführung entscheidend (wenn Sie praktisch überhaupt möglich ist), sondern der möglichst
elegante, „schöne“ Beweis, der geschickt das Bekannte zum Neuen verknüpft. In dieser
Verknüpfung können beispielsweise verschiedenste Sätze verschiedenster mathematischer Teildisziplinen vorkommen.
Dennoch kann die Aussagenlogik eine Hilfe darstellen um ein Problem, z. B. eine Implikation als allgemeingültig zu beweisen, in ein äquivalentes Problem zu übersetzen.
Mit solchen „Übersetzungen“ haben Sie sich in der Vorlesung oder insbesondere den
Übungen beschäftigt. Es gilt z. B.:
• ( p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q)
• ( p ⇒ q) ⇔ ¬( p ∧ ¬q)
• ( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) (Kontraposition)
• ¬( p ⇒ q) ⇔ ( p ∧ ¬q)
• ¬( p ∨ q) ⇔ (¬ p ∧ ¬q) (de Morgan)
• ¬( p ∧ q) ⇔ (¬ p ∨ ¬q) (de Morgan)
• ¬(∀ x ∈ G : A( x )) ⇔ (∃ x ∈ G : ¬ A( x ))
• ¬(∃ x ∈ G : A( x )) ⇔ (∀ x ∈ G : ¬ A( x ))
Es gibt einige prizipielle Beweistechniken und damit verbundene, auf der Aussagenlogik beruhende Schlussregeln:
1. den direkten Beweis
2. den indirekten Beweis
3. die vollständige Induktion
4. der Beweis durch Fallunterscheidung
48
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
4.3.1 Direkte Beweise
Im „einfachsten“ Fall zeigen Sie direkt, dass A wahr ist und dass ebenso A ⇒ B wahr
ist und können daraus schließen, dass B wahr ist. Allgemein verwenden Sie dabei den
modus ponens :
p ∧ ( p ⇒ q) ⇒ q
(die Verknüpfung dieser Aussageformen ist eine Tautologie).
Beispiele:
• Satz: (Für alle n ∈ N gilt:) Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist auch n2 eine
gerade Zahl.
• A: n ist eine gerade Zahl; B: n2 ist eine gerade Zahl.
• A ist wahr, wenn man n folgendermaßen schreiben kann: n = 2 · q q ∈ N.
• Dann ist n2 = 4 · q2 .
• Da 2|(4 · q2 ), ist der Satz bewiesen.
• Man hat also gezeigt, dass B eine notwendige Bedingung für A ist bzw. dass A
eine hinreichende Bedingung für B ist.
Aus der Aussagenlogik wissen wir, dass ( p ⇒ q) ⇔ (¬q ∧ ¬ p) und ( p ⇒ q) ⇔
(¬ p ∨ q) ist. Man kann also die im Satz gegebene Implikation durch eine äquivalente
Aussagenverknüpfung, z. B. die Kontraposition der Implikation ausdrücken.
Ein Beispiel für diesen Weg ist der modus tollens, bei dem allgemein folgende Verknüpfung von Aussageformen betrachtet wird:
¬q ∧ (¬q ⇒ ¬ p) ⇒ ¬ p
Beispiele:
• Satz: Wenn n2 eine gerade Zahl ist, dann ist auch n eine gerade Zahl.
• Mit der Bezeichnung von oben B: n2 ist eine gerade Zahl; A: n ist eine gerade Zahl.
Satz: B ⇒ A.
• Verwendung der Kontraposition: ¬ A: n ist eine ungerade Zahl; ¬ B: n2 ist eine
ungerade Zahl; ¬ A ⇒ ¬ B: wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist auch n2 eine
ungerade Zahl.
• ¬ A ist wahr, wenn man n folgendermaßen schreiben kann: n = 2 · q + 1.
• Dann ist n2 = (2 · q + 1)2 = 4 · q2 + 2 · q + 1.
• Wegen 2|(4 · q2 ) ∧ 2|(2 · q) muss n2 eine ungerade Zahl sein (die Addition zweier
geraden Zahlen ergibt eine gerade Zahl, die Addition einer geraden Zahl mit 1
ergibt eine ungerade Zahl), d. h. ¬ A ⇒ ¬ B ist wahr.
4.3 Beweise
49
• Damit ist auch die äquivalente Implikation B ⇒ A wahr. Also ist auch B eine
hinreichende Bedingung für A, bzw. A eine notwendige Bedingung für B.
• Insgesamt kann man einen neuen Satz formulieren: Genau dann wenn n eine gerade Zahl ist, ist n2 eine gerade Zahl (( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ A) oder A ⇔ B).
In der Regel wendet man bei einem direkten Beweis den modus barbara (nach Art der
Barbaren) an, indem man den direkten Beweis in mehreren Schritten erledigt:
A ⇒ A1
∧( A1 ⇒ A2 )
∧( A2 ⇒ A3 )
∧...
∧( An ⇒ B)
⇒ ( A ⇒ B)
Sie könnten nun den zweiten oben gegebenen Satz zu der Teilbarkeit zusammengesetzter Zahlen direkt beweisen.
4.3.2 Indirekte Beweise
Beim indirekten Beweis oder auch Widerspruchsbeweis ist man möglicherweise vorher
mit einem direkten Beweis gescheitert, d. h. man schafft es nicht A ⇒ B als allgemeingültig nachzuweisen. Wie geht man vor?
• Man negiert wider besseren Wissen die Aussage A ⇒ B.
• Man führt die Aussage ¬( A ⇒ B) zu einem Widerspruch.
• Damit ist die Aussage ¬( A ⇒ B) falsch.
• Damit ist die Aussage A ⇒ B wahr – und genau das wollte man zeigen.
Beispiel:
• Satz: Für alle n ∈ N gilt: Wenn n gerade ist, dann ist auch n2 gerade.
(Das haben wir zwar oben schon direkt bewiesen, aber wir nehmen an, dass man
mit dem direkten Beweis nicht weiterkommt, bzw. wir zeigen, dass man dieselbe
Aussage auch indirekt beweisen kann.)
• A: n ist eine gerade Zahl; B: n2 ist eine gerade Zahl.
• Aus der Aussagenlogik wissen wir:
( p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q) ⇔ (¬( p ∧ ¬q))
¬( p ⇒ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ q) ⇔ ( p ∧ ¬q)
50
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
• Negierung: Man beachte noch den Quantor! Es gilt nicht, dass für alle n ∈ N
gilt: wenn n gerade ist, dann ist auch n2 gerade. Das ist gleichbedeutend mit: Es
existieren n ∈ N, für die nicht gilt: A ⇒ B.
• Negierung der Implikation: ¬( A ⇒ B) ⇔ ( A ∧ ¬ B)
• Insgesamt: ∃n ∈ N: n gerade ∧ n2 ungerade.
• also gilt: ∃n ∈ N: n = 2 · q ∧ n2 ungerade.
• also gilt: ∃n ∈ N: n2 = n · n = 4 · q2 ∧ n2 ungerade.
• also gilt: ∃n ∈ N: n2 gerade ∧ n2 ungerade.
• Widerspruch
• also gilt ¬(∀n ∈ N : A ⇒ B) ist falsch.
• also gilt ¬¬(∀n ∈ N : A ⇒ B) ist wahr.
• also gilt ∀n ∈ N : A ⇒ B ist wahr.
Ein Ihnen wahrscheinlich aus der Schulzeit bekanntes „klassisches“
Beispiel für einen
√
Widerspruchsbeweis ist der Beweis der Irrationalität von 2.
p
p
Satz: Wenn a eine rationale Zahl ist mit a = q , p ∈ Z, q ∈ Z \ {0} und q ein vollständig
gekürzter Bruch ist, dann gibt es kein a mit a · a = 2.
Indirekter Beweis:
• A: a eine rationale Zahl mit a =
gekürzter Bruch.
p
q,
p ∈ Z, q ∈ Z \ {0} und
p
q
ist ein vollständig
B: Es gibt kein a mit a · a = 2.
Satz: A ⇒ B
• Negation: ¬( A ⇒ B) ⇔ ( A ∧ ¬ B)
• ¬ B: Es existiert ein a mit a · a = 2.
• Wir schreiben nun a2 , basierend auf der wahren Aussage A anders auf:
2
p
p2
• a 2 = q = q2 = 2
• Damit erhält man: p2 = 2 · q2
• Damit erhält man: p2 ist gerade und damit (mit dem vorhin bewiesenen Satz) ist
auch p gerade. Wir schreiben nun p mit diesem Wissen anders: p = 2 · n.
• Damit erhält man: 2 · n · 2 · n = 2 · q2 , d. h. 2 · n2 = q2
• Damit erhält man mit der gleichen Argumentation wie oben: auch q2 bzw. q ist
gerade.
• Damit erhält man: p und q sind gerade, haben also beide den Teiler 2. Das ist aber
p
ein Widerspruch zu A: . . . und q ist ein vollständig gekürzter Bruch.
• Damit ist also A ∧ ¬ B falsch und A ⇒ B wahr, was man zeigen wollte.
4.3 Beweise
51
Bemerkung: Bei einem indirekten Beweis muss eine Aussage verneint werden. Im
Abschnitt 3.4 auf Seite 36 wird erläutert, wie man komplexere, quantifizierte Aussagen
negiert, und angedeutet, worin oft der Vorteil eines indirekten Beweises besteht: Man
kann mehr Prämissen benutzen als bei einem direkten Beweis – nämlich, mit denen
man, ¬( A ⇒ B) zu einem Widerspruch führen möchte. Im letzten Beweis waren das
unter anderem die Aussagen, dass 2 ein Teiler von p2 ist, wenn die Beziehung p2 = 2 · q
gilt, dass man rationale Zahlen als gekürzte Brüche darstellen kann und dass der Beweis nicht ungültig wird, wenn man sich für die gekürzte Darstellung des Bruches entscheidet, und nicht für eine ungekürzte (gerade dieses Argument macht Schüler immer
wieder Schwierigkeiten und weckt bei ihnen anscheinend den Verdacht, an dieser Stelle
habe der Lehrer einen faulen Trick eingesetzt).
Beispiel Man kann die Methode des indirekten Beweises nicht nur benutzen, um die
Wahrheit von Aussagen zu zeigen, sondern auch, um zu beweisen, dass eine Aussage falsch ist. Meistens kann man das durch ein Gegenbeispiel zeigen. Bei komplexeren
Sätzen (in der Regel solchen, in den All- und Existenzquantoren gemischt vorkommen)
funktioniert diese Methode leider nicht. Hier bietet sich dann der Beweis durch Widerspruch an: Man nimmt die Wahrheit des (falschen) Satzes an und zeigt, dass diese
Annahme zu einem Widerspruch (mit anderen wahren Aussagen) führt. Daraus kann
man schließen, dass der Satz tatsächlich falsch ist.
Im Abschnitt über Aussagen haben wir behauptet, dass der Satz
∃ y ∈ Z : ∀ x ∈ Z \ {0} :
x
=1
y
falsch ist. Dies soll nun durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt werden.
Widerspruchsbeweis: Man nehme an, dass ∃y ∈ Z : ∀ x ∈ Z \ {0} : yx = 1 gelte,
d. h. dass es eine ganze Zahl y gebe, so dass für alle ganzen Zahlen x außer Null yx = 1.
Also sei y die ganze Zahl mit dieser Eigenschaft. Da dann yx = 1 für jede ganze Zahl x
außer Null gilt, gilt diese Aussageform insbesondere für x = 1, also y1 = 1. Daraus folgt
durch Multiplikation mit y, dass 1 = y ist. Da aber yx = 1 wirklich für jede ganze Zahl
x außer Null gilt, gilt diese Aussageform ebenso für x = 2, also 2y = 1. Daraus folgt
durch Multiplikation mit y, dass 2 = y ist. Nun ist also y = 1 und y = 2. Das ist ein
Widerspruch zur wahren Aussage 1 6= 2. Also ist der Satz ∃y ∈ Z : ∀ x ∈ Z \ {0} : yx =
1. So ein y gibt es nicht.
4.3.3 Beweis durch vollständige Induktion
Sowohl bei dem direkten als auch dem indirekten Beweis zeigt man die Allgemeingültigkeit einer Aussage für unendlich viele mathematische Objekte, ohne einzelne konkrete Objekte näher zu betrachten:
52
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
• Man zeigt direkt, dass wenn n gerade ist, dann auch n2 gerade ist, ohne die Zahlen
n oder n2 „aufzuzählen“ oder ein konkretes Beispiel zu betrachten.
√
• Bei dem Beweis zur Irrationalität von 2 spricht man von allen vollständig gekürzten Brüchen, ohne einen konkreten Bruch zu betrachten.
In diesen Beweisformen wird sozusagen die Allgemeingültigkeit einer Aussage für
unendlich viele mathematische Objekte in einem Schritt untersucht.
Vorgehen bei der vollständigen Induktion Ein Beweisverfahren, dass die Unendlichkeit bzw. die Allgemeingültigkeit einer Aussage für unendlich viele mathematische Objekte in mehreren Schritten untersucht, ist die vollständige Induktion.
Die vollständige Induktion ist beschränkt auf den Beweis von Eigenschaften natürlicher Zahlen und geht dabei in exakter und formalisierter Weise so vor, wie man eventuell naiv an einen Beweis herangehen könnte:
• Es gibt eine Aussageform A(n), die von einer natürlichen Zahl abhängt, d. h. (Erinnerung an den Beginn der Vorlesung): Für alle natürlichen Zahlen n gilt: (A(n):)
n
1+2+3+...+n =
∑i=
i =1
n · ( n + 1)
2
• Ein „naives“ Vorgehen wäre jetzt: Man zeigt die Wahrheit des Satzes für A(1),
dann für A(2), dann für A(3), dann für . . .
• Dieses naive Vorgehen hat den Nachteil, dass man die die Allgemeingültigkeit
von A(n) nicht zeigen können wird, d. h. nicht unendlich viele natürliche Zahlen
in A(n) einsetzen kann.
• Die vollständige Induktion umschifft diese Hürde folgendermaßen:
Man zeigt, dass für einen Anfangswert A(n0 ) wahr ist (in unserem Beispiel ist das
A(1)). Diesen Schritt nennt man Induktionsanfang.
Man zeigt, dass A(n) ⇒ A(n + 1) wahr ist. Diesen Schritt nennt man Induktionsschritt, und A(n) heißt Induktionsvoraussetzung. Hier muss man noch einmal einhaken. Der Induktionsschritt bedeutet: „Wenn A(n) wahr ist, dann ist A(n + 1)
wahr“. Es wird aber keinesfalls ausgesagt, dass A(n) oder A(n + 1) wahr ist. Das
wäre auch unsinnig, weil man ja gerade das erst mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen will.
• Hat man die Wahrheit des Induktionsschrittes nachgewiesen, so hat man auch
den Satz bewiesen. Warum ist das so? Stellen Sie sich eine unendliche Reihe von
Dominosteinen vor:
– Der Induktionsanfang besagt: Ein Anfangsstein (der erste oder auch der vierte, der 10. etc.) fällt.
4.3 Beweise
53
– Der Induktionsschritt besagt: Wenn Stein n fällt, dann fällt auch Stein n + 1,
ohne auszusagen, dass der Stein n tatsächlich fällt.
– Zusammen bedeutet das aber: Man weiß, dass der Anfangsstein fällt. Mit
dem Induktionsschritt weiß man dann: Wenn der Anfangsstein fällt, dann
fällt auch der nächste, wenn der nächste fällt, dann auch der übernächste, . . .
– Damit weiß man dann, dass die gesamte unendliche Reihe der Dominosteine
fällt.
Formales Vorgehen
formal:
Wir betrachten das Vorgehen der vollständigen Induktion nun
• Induktionsanfang: Zu zeigen: Aussageform A(n) ist eine wahre Aussage für n0 ,
d. h. A(n0 ) ist wahr.
• Induktionsschritt: Zu zeigen: A(n) ⇒ A(n + 1) ist wahr (dabei nutzt man also
die Eigenschaft der Implikation, bei der der Fall A(n) wahr und A(n + 1) falsch
ausgeschlossen ist).
Beispiel:
• Der zu beweisende Satz lautet:
n
∀ n ∈ N \ {0} ∑ i =
i =1
n · ( n + 1)
2
Die Aussageforn A(n) ist hier also
n
A(n) :⇔
∑i=
i =1
n · ( n + 1)
2
• Induktionsanfang: Da N \ {0} betrachtet wird, ist n = 1 als Induktionanfang zu
wählen, d. h. man zeigt, dass A(1) wahr ist. A(1) lautet ausgeschrieben
1
∑ i=
i =1
1 · (1 + 1)
.
2
Die Wahrheit eines Aussage, die aus einer Gleichung besteht, zeigt man in der
Regel dadurch, dass man nachweist, dass die Terme auf den beiden Seiten des
Gleichheitsszeichen denselben Wert haben. Das ist hier einfach, denn einerseits
ist ∑1i=1 i = 1 (es wird nur die Zahl Eins aufsummiert, und die hat zweifelsohne
1·(1+1)
den Wert Eins), und andererseits ist
= 1, wie man es durch elementare
2
1·(1+1)
Termumformungen zeigt, nämlich
= 12·2 = 22 = 1 (diesen Schritt müssen
2
Sie nicht notieren, jeder Mensch mit ein wenig mathematischer Erfahrung wird
Ihnen das auch so glauben).
54
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
• Induktionsschritt: Nun ist die Gültigkeit von ∀n ∈ N \ {0} : A(n) ⇒ A(n +
1) nachzuweisen. Wie immer bei Implikationen zeigt man das, indem man A(n)
als gültig annimmt und daraus A(n + 1) folgert. Die Annahme von A(n) wird
bei Beweisen durch vollständige Induktion Induktionsvoraussetzung genannt. In
diesem Fall kann man also A(n), d. h.
n
∑i=
i =1
n · ( n + 1)
2
als gültig annehmen und muss daraus A(n + 1), also
n +1
∑i=
i =1
(n + 1) · ((n + 1) + 1)
2
folgern. Bei Gleichungen geht man üblicherweise so vor, dass man eine der beiden
Seiten so umformt, dass man in ihr einen Term dank der Induktionsvoraussetzung
durch einen anderen ersetzen kann, sodass nach einer weiteren Umformung diese
Seite der Gleichung in die andere überführt werden kann. Genau das tun wir hier
mit der linken Seite:
n +1
∑i
i =1
= 1| + 2 +{z
3 + . . . n} +(n + 1)
=∑in=1 i
n
= n+1+ ∑i
i =1
Was hier geschehen ist: Die Zahlen, aufsummiert von 1 bis n + 1, sind nichts anderes als die Zahlen, aufsummiert von 1 bis n plus n + 1. Also kann man ∑in=+11 i
durch der Term n + 1 + ∑in=1 i ersetzen. Dieser enthält den Teilterm ∑in=1 i, der
auch in der Induktionsvoraussetzung vorkommt. Da die Induktionsvoraussetn·(n+1)
als gültig angenommen wird, kann man nun ∑in=1 i durch
zung ∑in=1 i =
2
n·(n+1)
2
ersetzen. Damit erhält (zur Wiederholung wird alles noch einmal von vorn
aufgeschrieben):
n +1
∑i
i =1
= 1 + 2 + 3 + . . . n + ( n + 1)
n
= n+1+ ∑i
i =1
4.3 Beweise
55
n · ( n + 1)
2
2 · ( n + 1) n · ( n + 1)
+
2
2
2 · ( n + 1) + n · ( n + 1)
2
2 · n + 2 + n · ( n + 1)
2
2 · n + 2 + n2 + n )
2
n2 + 3 · n + 2
2
= n+1+
=
=
=
=
=
(n+1)·((n+1)+1)
Damit ist A(n + 1) bewiesen, also ∑in=+11 i =
2
der Gleichung
n +1
(n + 1) · ((n + 1) + 1)
∑i=
2
i =1
kann man ebenfalls zu
n2 +3· n +2
2
, denn die rechte Seite
umformen:
(n + 1) · ((n + 1) + 1)
2
( n + 1) · ( n + 2)
=
2
n2 + n + 2 · n · 2
=
2
n2 + 3 · n · 2
=
2
(n+1)·((n+1)+1)
Insgesamt erhält man also ∑in=+11 i =
. Damit ist der Beweis abge2
schlossen: Man hat A(1) und „Wenn A(n), dann auch A(n + 1)“ bewiesen. Nach
dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt daraus die Gültigkeit des Satzes
∀ n ∈ N \ {0} : A ( n ).
Ein Beispiel für den Fall, dass die Allgemeingültigkeit einer Ungleichung bewiesen werden soll:
• Satz: ∀n ∈ N, n ≥ 4 :
A ( n ) : n 2 ≤ 2n .
• Beweis:
Induktionsanfang: A(4) : n4 = 16 ≤ 24 = 16 ist wahr.
Induktionsschritt: A(n) ⇒ A(n + 1)
56
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
Betrachten und umformen von A(n + 1):
( n + 1)2 = ( n2 + 2 · n + 1) = n2 + (2 · n + 1)
2n +1 = 2 · 2n = 2n + 2n
Man benötigt einen Zwischenschritt, der auf folgendes Führen soll: n2 + n2 ≤
2n + 2n . Dazu muss man noch zeigen, dass n2 ≥ (2 · n + 1) eine wahre Aussage
ist, wobei man sich auf Grund der Formulierung des Satzes auf die natürlichen
Zahlen n beschränken kann, für die gilt: n ≥ 4.
Wir formen wieder die noch bestehende Ungleichung um, wobei man wegen n 6=
0 durch n teilen kann: n2 ≥ (2 · n + 1) ⇔ n ≥ (2 + n1 ). Das ist eine wahre Aussage
für n ≥ 3, da für alle natürlichen Zahlen größer 1 gilt 1 > n1 .
Man erhält damit die Abschätzung: n2 + (2 · n + 1) ≤ n2 + n2 ≤ 2n + 2n .
Wenn nun A(n) wahr ist, dann ist auch A(n + 1) wahr, weil man durch das Addieren von n2 bzw. 2n die Ungleichheit der beiden Terme vergrößert.
Sollen Ungleichungen bewiesen werden, ist im Induktionsschritt eine weitere Abschätzung zumeist sinnvoll.
Ein komplexeres Beispiel:
• Satz: Für alle n ∈ N \ {0} : ∑nk=0 (nk) = 2n .
• Induktionsanfang: n = 1:
1
1
n
1
!
∑ k = 0 + 1 = 2 = 21
k =0
• Induktionsschritt:
n +1 ∑
k =0
n+1
k
!
= 2n +1 = 2 · 2n
4.3 Beweise
57
n
+1 n +1
n
Man versucht nun zu zeigen, dass ∑nk=
0 ( k ) = 2 · ∑k =0 ( k ) gilt.
1
n +1
n +1
n
n
= (nn+
+1 ) + ∑ k =0 ( k ) = 1 + ∑ k =0 ( k )
letzter Summand herausgezogen
= 1 + 1 + ∑nk=1 (n+k 1)
erster Summand herausgezogen
= 1 + 1 + ∑nk=1 (nk) + ∑nk=1 (k−n 1)
Satz aus einer Übung
= ∑nk=0 (nk) + 1 + ∑nk=1 (k−n 1)
in der ersten Summe die 1 wieder hineingezogen
= 2 · ∑nk=0 (nk)
n
+1 n
n
weil 1 = (nn) und ∑nk=
1 ( k −1 ) = ∑ k =0 ( k )
+1
∑nk=
0 (
n +1
k )
Damit ist der Satz bewiesen.
Es geht bei komplexeren Darstellungen immer um die Suche nach einem Weg,
dessen Ziel bekannt ist.
4.3.4 Beweis durch Fallunterscheidung
• Es ist der Satz A ⇒ B gegeben.
• Es kann günstig sein, für die hinreichende Bedingung A mehrere Fälle zu unterscheiden. Die Fälle enthalten damit Zusatzbedingungen C und D. Die Zusatzbedingungen sind dann so formuliert, dass A ⇒ C ∨ D bzw. A ⇔ C ∨ D.
• Man zeigt nun bei der Fallunterscheidung
1. A ∧ C ⇒ B und
2. A ∧ D ⇒ B und hat damit insgesamt bewiesen
3. A ⇒ B.
• Aussagenlogisch ist ( A ⇒ B ∨ C ) ∧ ( A ∧ C ⇒ B) ∧ ( A ⇒ D ) ⇒ ( A ⇒ B) eine
Tautologie.
Beispiel:
• Satz: Ist die Gleichung a · x + b · y = c gegeben und gilt
¬( a = 0 ∧ b = 0) ⇔ ( a 6= 0 ∨ b 6= 0, dann beschreibt die Gleichung eine Gerade.
• A : a · x + b · y = c ∧ ¬( a = 0 ∧ b = 0); B : Es gibt unendlich viele Punkte P( x, y),
die die Gleichung erfüllen.
• Fallunterscheidung:
58
Kapitel 4 Aufbau mathematischer Theorien
1. a = 0 ∧ b 6= 0
ax + by = c ⇔ y =
c
b
alle Punkte mit P( x, bc ) mit x ∈ R erfüllen die Gleichung.
2. a 6= 0 ∧ b = 0:
c
ax + by = c ⇔ x =
a
alle Punkte mit P( ac , y) mit y ∈ R erfüllen die Gleichung.
3. a 6= 0 ∧ b 6= 0:
a
c
ax + by = c ⇔ y = − x +
b
b
alle Punkte mit P(− ba x, y) mit y ∈ R erfüllen die Gleichung.
• Damit ist der Satz bewiesen.
• Man kann den Satz nicht in einem Zug beweisen, da man im dritten Fall bei der
Umformung ausschließen muss, dass b = 0 ist.
Kapitel 5
Relationen
Wir haben bislang mit mathematischen Objekten gearbeitet und verschiedene Objekte
mit mathematischen Symbolen verbunden, z. B. haben wir Zahlen mit „<“ der Größe
nach sortiert oder mit „∈“ Elemente mit Mengen in Beziehung gesetzt. In diesem Kapitel soll die Struktur solcher Beziehungen bzw. ihre mathematische Grundlage betrachtet
werden.
Zunächst ist es sinnvoll, nicht allgemein von Beziehungen zu reden, sondern Verknüpfungen und Relationen zu unterscheiden:
• Verknüpfungen verbinden zwei mathematische Objekte einer Menge M, wodurch
(genau) ein drittes mathematisches Objekt der Menge M nach den Verknüpfungsregeln entsteht, d. h. liefert die Verknüpfung 2 + 3 den Wert 5. Solche Operationen
oder Verknüpfungen sind etwa +, −, ·, /, ×, ∩, ∪, . . .
• Relationen (Beziehungen im engeren Sinn) beschreiben das Verhältnis zwischen
zwei mathematischen Objekten, d. h. a = b. Dabei ist = eine Relation, die die
Gleichheit zweier mathematischer Objekte (Zahlen, Mengen, . . .) ausdrückt. Relationen sollen im Folgenden genauer untersucht werden.
Man kann Verknüpfungen und Relationen leicht unterscheiden: Relationen bilden
mit Namen oder Variablen Aussagen bzw. Aussageformen (z. B. ergeben die Namen „2“
und „3“ zusammen mit dem Relationszeichen „≥“ die (falsche) Aussage „2 ≥ 3“). Verknüpfungen liefern mit Namen oder Variablen Werte, und keine Aussagen oder Aussageformen (so wie es oben an „2 + 3“ deutlich geworden ist).
5.1 Definition der Relationen
Bei der formalen Definition der Relationen geht man wie bei vielen grundsätzlichen
Begriffen der Mathematik auf Mengen zurück:
Definition 26 Ist M eine Menge, dann heißt eine Teilmenge R des cartesischen Produkts M ×
M Relation in M:
R ⊆ M × M = {( x, y) | x ∈ M ∧ y ∈ M}
60
Kapitel 5 Relationen
Bemerkungen:
• Ist ( x, y) Element der Relation R, so sagt man x steht in Relation zu y, bzw. drückt
das in Symbolen folgendermaßen aus:
( x, y) ∈ R oder xRy
Nehmen wir z. B. die Relation < in der Menge der natürlichen Zahlen N, dann ist
<= {( x, y) ∈ N × N | ∃n ∈ N \ {0} : y = x + n}
eine Teilenge des cartesischen Produkts der natürlichen Zahlen. Es gilt dann unter
anderem: 1 ist kleiner als 2 (weil x + n = 1 + 1 = 2 ist), also steht 1 in Relation zu
2 bezüglich <, formal geschrieben (1, 2) ∈< oder 1 < 2.
• Die Relationen, von denen wir hier sprechen, sind zweistellige Relationen in einer Menge. Es gibt durchaus auch mehrstellige bzw. n-stellige Relationen in einer
Menge M, die dann Teilmenge des n-fachen cartesischen Produkts von M sind
(Mn ). Ebenso kann man statt M × M allgemein A × B betrachten.
• Schließlich kann man bei Relationen auch von Zuordnungen sprechen. Durch die
Relation < wird die 1 der 2 zugeordnet (und ebenso der 3, der 4, . . .).
• Viele Relationen werden durch ein Symbol wie < ausgedrückt, prinzipiell ist aber
jede Teilmenge von M × M eine Relation in M.
• Da es sich bei Relationen um Mengen handelt, sind alle Operationen bzw. Mengenverknüpfungen auch bei Relationen möglich.
Definition 27 Die Teilmenge DR von M, die die Elemente x ∈ M enthält, die in Relation zu
Elementen y ∈ M stehen (xRy), heißt Vor- oder Definitionsbereich der Relation:
DR = { x ∈ M | ∃y ∈ M : xRy}
Die Teilmenge WR von M, die die Elemente y ∈ M enthält, zu denen Elemente x ∈ M in
Relation stehen (xRy), heißt Nach- oder Wertebereich der Relation:
WR = {y ∈ M | ∃ x ∈ M : xRy}
5.2 Darstellungen und Beispiele für Relationen
Wir betrachten M = {1, 2, 3, 4} bzw.
M × M = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), . . . , (4, 4)}
und die Beispiele der Kleiner-, der Teilbarkeits- und der Gleichheitsrelation.
5.2 Darstellungen und Beispiele für Relationen
61
5.2.1 Mengendarstellung
Man kann diese Relation gemäß ihrer Definition als Teilmenge von M × M darstellen.
• Kleiner-Relation <:
R = {( x, y) ∈ M × M | ∃n ∈ M : y = x + n}
= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
• Teilbarkeitsrelation |:
R = {( x, y) ∈ M × M | ∃n ∈ M : y = n · x }
= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}
• Gleichheitsrelation =:
R = {( x, y) ∈ M × M | y = x }
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
5.2.2 Relationstafeln
Ebenfalls für die Untersuchung von Relationseigenschaften ist die Relationstafel geeignet. Dort wird ein Kreuz eingetragen, wenn xRy wahr ist.
Betrachten wir zunächst die Kleiner-Relation (Tabelle 5.1 auf Seite 61).
<
1
2
3
4
1
2
x
3
x
x
4
x
x
x
Tabelle 5.1: Kleiner-Relation <
Typisch für die Kleiner-Relation ist die Eigenschaft, dass nur die Kästchen rechtsoberhalb der Diagonalen, und zwar lückenlos besetzt sind.
Kommen wir nun zur Teilbarkeitsrelation (Tabelle 5.2 auf Seite 61).
|
1
2
3
4
1
x
2
x
x
3
x
4
x
x
x
x
Tabelle 5.2: Teilbarkeitsrelation |
62
Kapitel 5 Relationen
Bei der Teilbarkeitsrelation ist die Diagonale voll besetzt (denn jede Zahl teilt sich
selbst). Aller anderen Einträge stehen rechts-oberhalb der Diagonalen (denn nur eine
kleinere Zahl teilt eine größere). Hier gibt es anders als bei der Kleiner-Relation Lücken
(denn nicht jede Zahl teilt jede größere).
Kommen wir nun zur Gleichheitsrealtion (Tabelle 5.3 auf Seite 62).
=
1
2
3
4
1
x
2
3
4
x
x
x
Tabelle 5.3: Gleichheitsrelation =
Für die Gleichheitsrelation ist es typisch, dass nur die Diagonale, und zwar lückenlos
besetzt ist (denn jede Zahl ist genau mit sich selbst gleich). Diese Eigenschaft besitzt jedoch nicht allein die Gleichheitsrelation, sondern auch ein Typ von Relationen, den wir
später als Äquivalenzrelationen kennen lernen werden. Sie werden wegen der Ähnlichkeit zur Gleichheitsrelation oft auch verallgemeinerte Gleichheitsrelationen genannt.
5.2.3 Relationsgraphen
Eine letzte Darstellungsmöglichkeit ist der Relationsgraph. Die drei oben aufgeführten Relationen werden nun mit Relationsgraphen dargestellt. Ein Relationsgraph ist im
Prinzip nichts anderes als eine gespiegelte Relationstabelle, die in ein Koordinationensystem aufgetragen wird.
Abbildung 5.1: Relationsgraph der Kleiner-Relation
5.2.4 Pfeildiagramme
Die konkrete Angabe der Teilmenge von M × M ist umständlich, insbesondere wenn
| M| sehr groß oder unendlich ist. Eine grafische Darstellungsart, die später für die Untersuchung von Eigenschaften der Relationen wichtig ist, ist das Pfeildiagramm. Gilt
5.2 Darstellungen und Beispiele für Relationen
63
Abbildung 5.2: Relationsgraph der Teilbarkeitsrelation
Abbildung 5.3: Relationsgraph der Gleichheitsrelation
xRy, so wird das durch einen Pfeil von x nach y gekennzeichnet. Eine Schlinge wird
ohne Pfeil verwendet.
Bei den Pfeildiagrammen lassen ähnlich wie bei Realtionsgraphen oder -tafeln typische Merkmale ablesen. Beispielsweise enthält das Pfeildiagramm der Gleichheitsrelation nur Schlingen. Dies entspricht in den anderen beiden Darstellungsarten den Einträgen auf der Diagonalen. Diese Eigenschaft einer Relation nennt man Reflexivität: Jedes
Element steht in Relation zu sich selbst. Diese Eigenschaft ist bei der Gleichheits- und
der Teilbarkeitsrelation erfüllt, nicht jedoch bei der Kleiner-Relation (denn keine Zahl
ist kleiner als sie selbst).
Bei den Pfeildiagrammen der Kleiner- und Teilbarkeitsrelation ist es hingegen typisch, dass ein Pfeil zu einem Objekt führt und von dort aus ein Pfeil zu einem nächsten
und immer so weiter. Diese Eigenschaft nennt man Transitivität. Bei der Kleiner-Relation drückt sie sich im Sachverhalt aus, dass wenn a < b und b < c ist, auch a < c ist. Im
weiteren werden wir Relationen nach solchen Eigenschaften wie der Transitivität oder
der Reflexivität untersuchen und klassifizieren.
Abbildung 5.4: Kleiner-Relation
64
Kapitel 5 Relationen
Abbildung 5.5: Teilerrelation
Abbildung 5.6: Gleichheitsrelation
5.3 Eigenschaften von Relationen
Betrachtet man die letzten drei Darstellungsformen, dann fallen einige Struktureigenschaften der Relationen auf. So kann etwa in der Relationstafel die Diagonale vollständig besetzt sein oder nicht, ebenso können Spalten vollständig besetzt sein. Verschiedene solche Eigenschaften werden im Folgenden als Eigenschaften von Relationen angesprochen. Dazu brauchen wir zunächst noch die Definition der Diagonalen ∆M des
cartesischen Produktes M × M:
∆M = {( x, x ) ∈ M × M | x ∈ M}
Definition 28 Eine Relation R in einer Menge M heißt:
1. Reflexiv, wenn gilt: ∀ x ∈ M : xRx
2. Symmetrisch, wenn gilt: ∀ x, y ∈ M : xRy ⇒ yRx
3. Transitiv, wenn gilt: ∀ x, y, z ∈ M : ( xRy ∧ yRz) ⇒ xRz
4. Irreflexiv, wenn gilt: ∀ x ∈ M : ¬ xRx
5. Asymmetrisch, wenn gilt: ∀ x, y ∈ M : xRy ⇒ ¬yRx
6. Antiymmetrisch, wenn gilt: ∀ x, y ∈ M : ( xRy ∧ yRx ) ⇒ x = y
7. Linkstotal, wenn gilt: DR = M
8. Rechtstotal, wenn gilt: WR = M
9. Bitotal, wenn gilt: R ist links- und rechtstotal
10. Linkseindeutig, wenn gilt: x1 Ry ∧ x2 Ry ⇒ x1 = x2 , d. h. jedes y ∈ WR ist durch R
eindeutig einem x ∈ DR zugeordnet.
11. Rechtseindeutig, wenn gilt: xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2 , d. h. jedes x ∈ DR ist durch R
eindeutig einem y ∈ WR zugeordnet.
Die genannten Eigenschaften kann man anhand der Form der Relationstafel, der Relationsgraphen bzw. des Pfeildiagramms erkennen.
5.3 Eigenschaften von Relationen
65
Eigenschaft
Relationstafel
Pfeildiagramm
Reflexivität
Diagonale ist voll besetzt
Jeder Punkt besitzt eine Schleife
Symmetrie
Diagonale ist Spiegelachse
Jeder Pfeil besitzt Gegenpfeil
Transitivität
—
Zu je zwei aneinanderhängenden Pfeile gibt es einen Überbrückungspfeil
Irreflexivität
Kein Element in der Diagonalen
Kein Punkt besitzt eine Schleife
Asymmetrie
Es gibt keine symmetrischen
Es gibt keine Gegenpfeile oder
Einträge zur Diagonalen
Schleifen
Es gibt keine symmetrischen
Es gibt keine Gegenpfeile
Antisymmetrie
Einträge zur Diagonalen bis auf
die Diagonale selbst
Linkstotalität
Rechtstotalität
Bitotalität
In jeder Zeile steht mindestens
Von jedem Element geht min-
ein Eintrag
destens ein Pfeil aus
In jeder Spalte steht mindestens
Auf jedes Element zeigt min-
ein Eintrag
destens ein Pfeil
In jeder Spalte und Zeile steht
Jedes Element ist Start- und
mindestens ein Element
Endpunkt
mindestens
eines
Pfeils
Linkseindeutigkeit
In jeder Spalte steht nur ein Ein-
Auf jedes Element zeigt nur ein
trag
Pfeil
Rechtseindeutigkeit In jeder Zeile steht nur ein Eintrag
Von jedem Element geht nur ein
Pfeil aus
Beispiele:
• Die Kleiner-Relation < ist transitiv, irreflexiv, asymmetrisch und antisymmetrisch.
• Die Teilbarkeitsrelation | ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und bitotal.
• Die Gleichheitsrelation = ist reflexiv, symmetrisch, transitiv, bitotal, rechts- und
linkseindeutig.
Anmerkungen:
• Die Transitivität erkennt man an der Dreiecksform innerhalb der Relationstafel.
Dabei kann das Dreieck durchaus Lücken enthalten. Beispielsweise ist die Teilbarkeitsrelation transitiv.
Sind in einer Zeile (Spalte) zwei Einträge, so gibt es in der Spalte (Zeile) mindestens eines Eintags einen weiteren Eintrag.
66
Kapitel 5 Relationen
Teilbarkeitsrelation |:
| 1 2 3 4
1 x x x x
2
x
x
3
x
4
x
Tabelle 5.5: Die Teilbarkeitsrelation als Beispiel einer transitiven Relation
Sind nur Einträge in der Hauptdiagonalen vorhanden, so existiert eine triviale
Transitivität. Die Dreiecksform schmilzt dabei quasi auf den Eintrag in der Diagonalen zusammen.
Weitere Beispiele:
1. R = {( x, y) ∈ Z2 | y = x + 2}
Relationstafel:
R
...
...
−1
0
1
2
...
...
−1
...
0
1
2
3
4
...
...
...
x
...
...
...
...
x
...
...
x
x
...
...
...
...
...
...
Irreflexiv, asymmetrisch, bitotal, rechts- und linkseindeutig
2 | x ⊥ y } mit M = { a, b, c, d, d , d } für die Strecken in einem
2. R = {( x, y) ∈ MQ
1 2
Q
Quadrat:
Abbildung 5.7: Strecken des Quadrats
3. Irreflexiv, symmetrisch, bitotal
5.3 Eigenschaften von Relationen
67
⊥
a
b
c
d
d1
d2
a
b
x
x
c
d
x
d1
d2
x
x
x
x
x
x
x
4. R = {( x, y) ∈ N2 | y ist Nachfolger von x }
Relationstafel
R
0
0
1
2
3
4
...
1
2
3
4
...
x
...
x
...
x
x
x
...
...
...
irreflexiv, asymmetrisch, rechtstotal, links- und rechtseindeutig
5. R = {( x, y) ∈ (N \ {0})2 | x ist kleinster Teiler von y}
Relationstafel:
R
1
2
3
4
...
1
2
3
4
...
x
x
x
x
x
...
...
...
...
...
rechtstotal, linkseindeutig.
6. M = {1, 2, 3, 4} und R = {( x, y) ∈ M2 | x + y = 5}
Relationstafel:
R
1
2
3
4
1
2
3
4
x
x
x
x
symmetrisch, irreflexiv, bitotal, rechts- und linkseindeutig
68
Kapitel 5 Relationen
7. R = {( x, y) ∈ (N \ {0})2 | x ist Quersumme von y}.
Relationstafel:
R
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
reflexiv, symmetrisch, transitiv, bitotal
5.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Im Folgenden sollen zwei in der Mathematik wichtige Relationen, die Äquivalenz- und
die Ordnungsrelation genauer betrachtet werden.
5.4.1 Äquivalenzrelation
Definition 29 Eine Relation R in der Menge M heißt Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
[ x ] R := {y ∈ M | xRy}
heißt Äquivalenzklasse von x in M bezüglich R und x heißt ein Repräsentant der Äquivalenzklasse [ x ] R .
Beispiele:
1. = ist eine Äquivalenzrelation.
2. Es sei N∗ := N \ {0}. Dividiert man eine Zahl x ∈ Z durch eine Zahl m ∈ N∗ , so
ergibt sich stets ein Rest r ∈ N. Dann gilt x = q · m + r für ein passendes q ∈ Z.
Beispiele:
• 6 = 2 · 3 + 0, d. h. beim Teilen der 6 durch 3 ergibt sich der Rest 0.
• 7 = 2 · 3 + 1, d. h. beim Teilen der 7 durch 3 ergibt sich der Rest 1.
5.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
•
•
•
•
69
8 = 2 · 3 + 2, d. h. beim Teilen der 8 durch 3 ergibt sich der Rest 2.
9 = 3 · 3 + 0, d. h. beim Teilen der 9 durch 3 ergibt sich der Rest 0.
10 = 3 · 3 + 1, d. h. beim Teilen der 10 durch 3 ergibt sich der Rest 1.
−2 = −1 · 3 + 1, d. h. beim Teilen der −2 durch 3 ergibt sich der Rest 1.
Haben zwei Zahlen x, y ∈ Z beim Teilen durch m denselben Rest r so schreibt man
das folgendermaßen:
x ≡ y mod m
sprich „x ist kongruent y modulo m“. Die Relation „Kongruenz modulo m“ ist
eine Äquivalenzrelation. Beispiel zur Kongruenz modulo 3 in der Menge M =
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}:
R
−3
−2
−1
0
1
2
3
Bemerkung:
−3
x
−2
x
x
x
x
−1 0 1 2 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Eine Äquivalenzklasse [ x ] R ist eine Teilmenge von M: [ x ] R ⊂ M.
Satz 6 Es sei M 6= ∅ eine Menge und R eine Äquivalenzrelation in M. Für x, y ∈ M gilt
dann:
1. [ x ] R 6= ∅
2. [ x ] R = [y] R ⇔ xRy
3. [ x ] R 6= [y] R ⇒ [ x ] R ∩ [y] R = ∅
Beweis:
1. Direkt, mit Definition der Äquivalenzrelation: Da die Äquivalenzrelation nach Definition reflexiv ist, d. h. ∀ x ∈ M 6= ∅ : xRx gile, kann keine Äquivalenzklasse
bezüglich R und M leer sein.
2. Direkt, mit Definition der Äquivalenzklasse: x und y sind beides Repräsentanten
der gleichen Äquivalenzklasse. Für die Elemente x, y einer Äquivalenzklasse gilt
nach Definition xRy.
3. Direkt, mit Definition der Äquivalenzklasse: Wenn die Äquivalenzklassen ungleich
sind, dann gilt für alle Elemente x der ersten und y der zweiten Äquivalenzklasse
x Ry.
6 Damit ist der Schnitt der Äquivalenzklassen leer.
70
Kapitel 5 Relationen
Definition 30 Es seien M1 , M2 , . . . , Mn Teilmengen von M, die paarweise disjunkt sind, d. h.
es gilt Mi ∩ M j = ∅ für i 6= j. Genau dann, wenn auch M = M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mn gilt, heißt
die Aufteilung von M in die Teilmengen M1 , M2 , . . . , Mn Zerlegung oder Partition von M.
Abbildung 5.8: Zerlegung von M
Satz 7 Genau dann wenn R eine Äquivalenzrelation in M ist, gibt es eine Zerlegung Z R von
M.
Beweis:
• „⇒“: Es sei M 6= ∅. Man bildet mit einem beliebigen x ∈ M eine Äquivalenzklasse
[ x ] R . Mit einem weiteren Element y mit y 6∈ [ x ] R eine weitere Äquivalenzklasse
[y] R usw.
D. h., jedes Element von M ist zumindest Element der von ihm selbst repräsentierten Äquivalenzklasse oder in einer bereits definierten. Man muss jetzt noch zeigen,
dass die verschiedenen Äquivalenzklassen disjunkt sind, d. h. kein Element aus M
in mehr als einer Äquivalenzklase enthalten ist (indirekter Beweis):
Gegenannahme: R ist Äquivalenzrelation mit den oben beschreibenen Äquivalenzklassen und [ x ] R ∩ [y] R 6= ∅.
Also ist R Äquivalenzrelation mit den oben beschriebenen Äquivalenzklassen und
∃z ∈ M : zRx ∧ zRy.
Also ist R Äquivalenzrelation mit den oben beschriebenen Äquivalenzklassen und
xRy (da eine Äquivalenzrelation symmetrisch und transitiv ist), d. h. xRz ∧ zRy ⇒
xRy.
Das ist ein Widerspruch, da dann y ∈ [ x ] R gelten müsste.
• „⇐“: Man betrachte die Relation R in M mit
n
o
2
R = ( x, y) ∈ M | x gehört zur selben Klasse (Teilmenge) wie y
R ist eine Äquivalenzrelation.
5.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
71
Beispiele:
Relation
Äquivalenzklasse
Gleichmächtigkeit von Mengen
Menge der Mengen mit der gleichen Mächtigkeiten (Kardinalzahlen)
Menge der Strecken mit gleicher
Länge
Menge der Strecken mit gleicher
Länge und gleicher Richtung (Vektor)
Menge der zueinander parallelen
Geraden
Menge der Zahlen, die bei Division
mit m den gleichen Rest lassen.
Länge einer Strecke
Länge und Richtung einer Strecke
Parallelen (Geraden)
Kongruenz modulo m
5.4.2 Ordnungsrelationen
Während es bei der Äquivalenzrelation Gemeinsamkeiten von Elementen einer Menge M hervorgehoben werden, werden in einer Ordnungsrelation die Unterschiede von
Elementen einer Menge M betont.
Definition 31 Eine Relation R in M heißt strenge Ordnung, wenn sie transitiv und asymmetrisch ist.
Beispiel:
• Das klassische Beispiel ist die Relation < in einer beliebigen Zahlenmenge, z. B. in
N:
<
0
1
2
3
...
0
...
1
2
3
...
x
x
x
x
x
x
...
...
...
x
x
x
x
...
Definition 32 Eine Relation R in M heißt Ordnung, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.
72
Kapitel 5 Relationen
Beispiel:
• Das klassische Beispiel ist die Relation ≤ in einer beliebigen Zahlenmenge, z. B. in
N:
≤
0
1
2
3
...
0
1
2
3
...
x
x
x
x
x
x
...
...
...
x
x
x
x
...
x
x
x
x
x
5.5 Das Hassediagramm
Für Ordnungen bzw. strenge Ordnungen verwendet man ein besonderes Pfeildiagramm,
das sogenannte Hassediagramm. Das Hassediagramm wird folgendermaßen konstruiert:
• die Überbrückungspfeile, die die Transitivität visualisieren, werden weggelassen.
• die Elemente werden so angeordnet, dass die Pfeile stets nach oben weisen (Rückpfeile gibt es nicht).
• die Pfeilspitzen werden weggelassen.
• Ringpfeile/Schleifen werden weggelassen.
Beispiele:
Die Grafiken 5.9 bis 5.11 sind Beispiele für Hassediagramme.
• Hassediagramm zur Relation < in N.
Abbildung 5.9: Hassediagramm zu < in N
• Hassediagramm zur Relation | in T36 mit T36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
• Hassediagramm zur Relation ⊂ in der Menge der Zahlenmengen.
5.5 Das Hassediagramm
Abbildung 5.10: Hassediagramm zu | in T36
Abbildung 5.11: Hassediagramm zu ⊂ in der Menge der Zahlenmengen
73
74
Kapitel 5 Relationen
Kapitel 6
Funktionen
Wir haben im Kapitel über Relationen beispielsweise die Relation
n
o
R = ( x, y) ∈ Z2 | y = x + 2
betrachtet. Diese Relation war u. a. bitotal, d. h. rechts- und linkstotal, rechts- und linkseindeutig. Durch zwei dieser Eigenschaften, die Linkstotalität sowie die Rechtseindeutigkeit wird ein mathematisches Objekt, die Funktion, definiert, die in der Mathematik
und ebenso in der Schulmathematik große Bedeutung hat. Eine Funktion ist ein Werkzeug um Abhängigkeiten zwischen zwei (oder mehreren) Größen X und Y zu beschreiben, z. B.
• die Abhängigkeit von Geschwindigkeit bzw. des Wegs von der Zeit bei einem
Fahrzeug.
• die Abhängigkeit von Preis und Dauer eines Telefongesprächs.
• die Abhängigkeit von Größe und Gewicht eines Menschen.
• die Abhängigkeit von erreichter Punktzahl und der Zensur in einer Klausur.
6.1 Der Funktionsbegriff
Eine Funktion ist also eine linkstotale und rechtseindeutige Relation. Das bedeutet, dass
jedem Element einer Menge X (Linkstotalität) mit genau einem Element der Menge Y in
Relation steht (Rechtseindeutigkeit).
Bei der Verwendung des Funktionsbegriffs wird allerdings nicht mehr die Sprache
der Relationen verwendet, sondern es hat sich ein direkt auf Funktionen zugeschnittener Sprachgebrauch eingebürgert. Die Relationen hatten wir bereits als Zuordnungen
beschrieben, demnach ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung, durch die jedem
Element einer Menge X genau ein Element der Menge Y zugeordnet wird, oder
Definition 33 Es seien X und Y beliebige Mengen. Ordnet man jedem Element von X genau
ein Element der Menge Y zu, so heißt diese Zuordnung f Funktion von X in Y:
f :
X→Y
x 7→ f ( x )
76
Kapitel 6 Funktionen
oder etwas kürzer geschrieben: f : X → Y : x 7→ f ( x ).
Bemerkungen:
• Funktionen werden in der Regel mit Kleinbuchstaben f , g, . . . bezeichnet.
• Ähnlich zu den Relationen nennt man D f = X den Definitionsbereich bzw. die
Definitionsmenge, W f ⊆ Y den Wertebereich bzw. die Wertemenge der Definition
f . Die Elemente x von D f heißen Argumente der Funktion f .
• Im Gegensatz zu der allgemeinen Definition der Relationen gilt bei Funktionen
(Linkstotalität) immer D f = X. Dagegen muss die Wertemenge von f nicht unbedingt gleich der Menge Y sein.
• Die Eindeutigkeit der Zuordnung f besagt, dass einem x ∈ D f nicht zwei Werte
y1 , y2 ∈ W f mit y1 6= y2 zugeordnet sein können (denn dann würde es sich nur
um eine Zuordnung oder Relation handeln).
• Häufig ist allein der untere Teil der Funktionsdefinition und zusätzlich die Definitionsmenge der Funktion angegeben.
• Statt Funktion verwendet man auch die Begriffe Abbildung (hauptsächlich in der
Geometrie) oder Operator.
• Die Operationen +, −, ×, /, . . ., die wir im letzten Kapitel von den Relationen unterschieden haben, sind also auch Funktionen, häufig abhängig von zwei Variablen, d. h. durch den Operator (die Funktion) + wird dem Paar (2, 3) ∈ N2 der
Definitionsmenge D f = N2 = N × N eindeutig der Wert 5 ∈ N zugeordnet. Damit ist die Trennung von Operationen und Relationen nicht ganz korrekt, sondern
man muss besser sagen, dass Operationen spezielle Relationen sind.
• Aus der Verwendung des Begriffs Abbildung stammen noch zwei Begriffe, die
im Zusammenhang mit Funktionen verwendet werden. Gilt für ein bestimmtes
Element x0 der Definitionsmenge D f die Zuordnung x0 7→ f ( x0 ), so heißt f ( x0 )
Bild von x0 bzw. x0 Urbild von f ( x0 ).
Beispiele:
N→N
f :
x → f ( x ) = 3x + 1
Definitionsmenge: D f = N
Wertemenge: W f = {1, 4, 7, 10, . . .} ⊂ N
f ( x ) = 3x + 1 heißt Funktionsgleichung, 3x + 1 heißt Funktionsterm.
x 7→ f ( x ) = 3x + 1 heißt Zuordnungsvorschrift oder Funktionsvorschrift.
Jeder natürlichen Zahl wird durch die Funktionsgleichung genau eine zweite natürliche Zahl zugeordnet.
6.2 Darstellung von Funktionen
77
Jede natürliche Zahl x ist damit ein Argument der Funktion f .
Beispielsweise ist 7 das Bild des Arguments 2 bzw. 2 das Urbild des Wertes 7.
Sie kennen sicherlich eine Menge Funktionen aus der Schule. In der Mathematik werden Funktionen allerdings sehr viel universeller gesehen als in der Schule. In der Schule
haben Sie in der Regel N, Z, Q oder R als Grundmenge für die Definitions- und Wertemenge verwendet. Durch die Beliebigkeit der Mengen X, Y in der Definition der Funktion kann dieser Begriff auch andere Bereiche von Mengen, die z. B. keine Zahlen enthalten, erfassen. Eine Funktion dieser Art ist beipielsweise die Mächtigkeitsfunktion, die
jeder Menge einen Wert aus dem Bereich N ∪ {∞} zuordnet.
Weiterhin haben Sie in der Regel Funktionen betrachtet, die von einem Argument
x ausgehen. Wie schon bei den Operationen angedeutet, kann ein Argument auch ein
Zahlenpaar ( x, y) sein oder allgemein ein n-Tupel ∈ X n bestehen.
6.2 Darstellung von Funktionen
Die möglichen Darstellungsweisen werden an einem Beispiel besprochen.
6.2.1 Formale Darstellung
Die erste Darstellungsweise kennen Sie bereits, nämlich die formale Definition der Funktion:
X→Y
f :
x 7→ f ( x ) = 3x + 1
Alternativ dazu kann man die formale Definition auch so schreiben:
f : X → Y : x 7→ f ( x ) = 3x + 1
oder auch
f : x 7→ 3x + 1, D f = N
oder (in der Schule gebräuchlich):
f ( x ) = 3x + 1, D f = N
6.2.2 Wertetabelle
Eine weitere Darstellungsweise ist die Tabellierung einiger Argumente und zugehöriger
Werte der Funktion f in der so genannten Wertetabelle:
x ∈ Df
0
1
2
10
100
1000
f (x) ∈ W f
1
4
7
31
301
3001
78
Kapitel 6 Funktionen
Im Allgemeinen kann die Wertetabelle nur einen Überblick geben, da nicht alle Argumente eingetragen werden können (es sei denn man interessierte sich nur für Funktion
über endliche Mengen, deren Mächtigkeit nicht das menschliche Vorstellungsvermögen
oder die Breite des Din-à-4-Papieres überschreitet).
6.2.3 Funktionsgraph
Der Funktionsgraph besteht aus einer Menge G von Punkten im cartesischen Koordinatensystem:
G := {( x, f ( x )) | x ∈ D f }
Abbildung 6.1: Funktionsgraph
6.2.4 Pfeildiagramm
Das Pfeildiagramm ist vor allem zur Visualisierung bestimmter Funktionseigenschaften wertvoll. Die Eigenschaften, die man in folgender Skizze (Abbildung 6.2) erkennen
kann, sind:
• Von jedem Element der Menge X geht genau ein Pfeil aus (sonst wäre es keine
Funktion).
• Nicht alle Elemente von Y sind durch einen Pfeil mit einem Element aus X verbunden.
• Die Elemente aus Y sind höchstens durch einen (also entweder durch keinen oder
genau einen) Pfeil mit einem Element aus X verbunden.
6.3 Eigenschaften von Funktionen
79
Abbildung 6.2: Pfeildiagramm
6.3 Eigenschaften von Funktionen
6.3.1 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
Wir gehen noch einmal auf den Begriff der Relation zurück. Eine Funktion ist danach
eine linkstotale und rechtseindeutige Relation. Kommen zusätzlich die Eigenschaften
der Rechtstotalität und der Linkseindeutigkeit hinzu, so erhalten diese Eigenschaften in
der Begrifflichkeit der Funktionen neue Bezeichnungen:
Definition 34 Eine linkstotale, rechtseindeutige Relation die ebenso rechtstotal ist, heißt surjektive Funktion, d. h. eine Funktion f : X → Y heißt surjektiv, wenn W f = Y gilt.
Bemerkung und Beispiele:
• Die Definition einer surjektiven Funktion kann man auch so deuten: Zu jedem
y ∈ Y findet man mindestens ein x ∈ D f = X mit f : x → y.
• Die bisher als Beispiel genannte Funktion f : x → 3x + 1, D f = N ist nicht
surjektiv.
• Verändert man die Definitionsmenge und betrachtet die Funktion f : x → 3x +
1, D f = R, so ist die Funktion surjektiv, d. h. zu jedem Wert y ∈ R findet man ein
Argument x ∈ R mit x → y (Funktionsgraph vgl. Abb. 6.3, S.80):
• Pfeildidagramm (vgl. Abb. 6.4, S. 80
Definition 35 Eine linkstotale, rechtseindeutige Relation die ebenso linkseindeutig ist, heißt
injektive Funktion. D. h. eine Funktion f : X → Y heißt injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ D f
gilt: f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Bemerkung und Beispiele:
• Die Definition einer injektiven Funktion kann man auch so deuten: Zu jedem Bild
f ( x ) findet man höchstens ein Urbild x.
• Die bisher als Beispiel genannte Funktion f : x → 3x + 1, D f = N ist injektiv
(Funktionsgraph vgl. Abb. 6.5, S. 81).
• Pfeildiagramm (vgl. Abb. 6.6, S. 81)
80
Kapitel 6 Funktionen
4
3
y2
1
–4
–3
–2
0
–1
–1
1
2
x
3
4
–2
–3
–4
Abbildung 6.3: Funktionsgraph von f : x → 3x + 1, D f = R
Abbildung 6.4: Pfeildiagramm einer surjektiven Funktion
Definition 36 Eine linkstotale, rechtseindeutige Relation die ebenso rechtstotal und linkseindeutig ist, heißt bijektive Funktion. D. h. eine Funktion f , die surjektiv und injektiv ist, heißt
bijektiv (oder eineindeutig).
Bemerkung und Beispiele:
• Die Funktion f : x → 3x + 1, D f = R ist bijektiv.
• Pfeildidagramm vgl. Abb. 6.7, S. 82.
6.3.2 Monotonie
Definition 37 Eine Funktion f : X → Y heißt:
• monoton steigend, wenn für alle x1 , x2 ∈ X gilt: x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ).
• streng monoton steigend, wenn für alle x1 , x2 ∈ X gilt: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ).
• monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ X gilt: x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ).
• streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ X gilt: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ).
6.3 Eigenschaften von Funktionen
81
Abbildung 6.5: Funktionsgraph von f : x → 3x + 4, D f = N
Abbildung 6.6: Pfeildiagramm einer injektiven Funktion
Beispiele:
• Die Funktion f : x → x, D f = R ist streng monoton steigend.
• Die Funktion f : x → − x, D f = R ist streng monoton fallend.
6.3.3 Beschränktheit
Definition 38 Eine Funktion f : X → Y heißt:
• nach oben beschränkt, wenn es einen Wert so gibt, so dass alle Funktionswerte kleiner oder
gleich diesem Wert sind, d. h. ∃so ∈ Y : ∀ x ∈ X : f ( x ) ≤ so
• nach unten beschränkt, wenn es einen Wert su gibt, so dass alle Funktionswerte größer
oder gleich diesem Wert sind, d. h. ∃su ∈ Y : ∀ x ∈ X : f ( x ) ≥ su
• beschränkt, wenn die Funktion sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Beispiele:
• Die Funktion f : x → x2 , D f = R ist nach unten beschränkt.
• Die Funktion f : x → − x2 , D f = R ist nach oben beschränkt.
82
Kapitel 6 Funktionen
Abbildung 6.7: Pfeildiagramm einer bijektiven Funktion
6.3.4 Nullstellen einer Funktion
Definition 39 Ist f eine Funktion mit D f ⊆ R, dann heißt jede Zahl x ∈ D f mit f ( x ) = 0
Nullstelle der Funktion f .
Bemerkungen:
• Die Nullstellen einer linearen oder quadratischen Funktion können Sie berechnen.
• Ganz allgemein kann es schwierig oder sogar unmöglich sein, die Nullstellen einer
Funktion zu berechnen, man kann diese aber stets annähern.
6.3.5 Symmetrie
Definition 40 Die beiden Arten von Symmetrien sind folgendermaßen definiert:
• Eine Funktion f heißt gerade, wenn für alle x ∈ D f gilt: f (− x ) = f ( x ).
• Eine Funktion f heißt ungerade, wenn für alle x ∈ D f gilt: f (− x ) = − f ( x ).
Bemerkungen:
• Eine gerade Funktion hat einen Funktionsgraphen, der achsensymmetrisch hinsichtlich der y-Achse ist. Beispielsweise ist die Funktion f : x → x2 , D f = R
gerade: Es gilt f (− x ) = (− x )2 = x2 = f ( x ) für alle x ∈ D f .
• Eine ungerade Funktion hat einen Funktionsgraphen, der punktsymmetrisch hinsichtlich des Punktes P(0, 0) ist. Beispielsweise ist die Funktion f : x → x, D f = R
ungerade: Es gilt f (− x ) = − x = − f ( x ) für alle x ∈ D f .
6.3.6 Umkehrbarkeit
Definition 41 Es sei f eine injektive Funktion mit:
f :
X→Y
x → f (x)
6.4 Beispiele von Funktionen
83
dann heißt f −1 mit:
f
−1
:
Y→X
f (x) → x
Umkehrfunktion der Funktion f .
Bemerkungen:
• Nur injektive Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.
• Will man nicht injektive Funktionen umkehren, muss man den Definitionsbereich
so einschränken, dass die Funktion injektiv wird.
• Die Gleichung der Umkehrfunktion erhält man, indem man
1. die Funktionsgleichung y = f ( x ) nach x auflöst und
2. x und y vertauscht.
Beispiele:
• Die Funktion f : x → −2x, D f = R ist injektiv.
Umkehrfunktion: y = −2x ⇔ x = − 21 y, d. h. die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet y = f ( x ) = − 12 x
• Die Funktion f : x → x2 , D f = R ist nicht injektiv, aber die Funktion f : x →
x 2 , D f = { x ∈ R | x ≥ 0}.
√
Umkehrfunktion: y = x2 ⇔ x = y, d. h. die Funktionsgleichung der Umkehr√
funktion lautet y = f ( x ) = x
6.4 Beispiele von Funktionen
6.4.1 Polynom- bzw. ganzrationale Funktionen
Definition 42 Eine Funktion f heißt ganzrational bzw. Polynomfunktion mit dem Grad n ∈
N, wenn es a0 , a1 , . . . , an ∈ R mit an 6= 0 gibt, sodass für alle x ∈ D f ⊆ R gilt:
f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . . . + a 1 x + a 0
Beispiel:
Lineare (n = 1) oder quadratische (n = 2) Funktionen.
84
Kapitel 6 Funktionen
6.4.2 Rationale Funktionen
Definition 43 Eine Funktion f heißt rational, wenn es ganzrationale Funktionen u und v gibt,
sodass für alle x ∈ D f gilt:
u( x )
f (x) =
v( x )
Bemerkung: Bei rationalen Funktionen muss man auf die Definitionsmenge achten
und diejenigen Elemente ausschließen, die Nullstelle von v sind.
Beispiel:
f : x → 1x , D f = R \ {0} (vgl. Abb. 6.8, S. 84)
4
3
y2
1
–4
–3
–2
–1
0
–1
1
2
x
3
4
–2
–3
–4
Abbildung 6.8: Funktionsgraph von f : x → 1x , D f = R \ {0}
6.4.3 Exponentialfunktionen
Definition 44 Eine Funktion der Form:
N→R
f :
x → ax , a ∈ R
heißt Exponentialfunktion.
Bemerkung:
• In dieser Definition besteht der Funktionsgraph aus einzelnen, nicht zusammenhängenden Punkten.
• Die Funktion ist stets zu einer Seite beschränkt und streng monoton fallend bzw.
streng monoton steigend für a 6= 0 bzw. a 6= 1
• Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.
6.4 Beispiele von Funktionen
85
6.4.4 Trignonometrische Funktionen
Die wichtigsten Kreisfunktionen oder trigonometrischen Funktionen werden hier geometrisch definiert. Es gibt auch arithmetische Definitionen, die aber einen breiteren
theoretischen Unterbau benötigen, als hier eingeführt wurde. Die geometrischen Definitionen nehmen ihren Ausgangspunkt vom Einheitskreis her.
Definition 45 Der Einheitskreis der reellen Zahlenebene ist die Menge
n
o
K = ( x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1
Bemerkungen:
• Die Menge K ist anschaulich ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius 1.
• Der Umfang des Kreises K beträgt 2π.
• Statt Winkel im Bereich von 0◦ bis 360◦ anzugeben, kann man dies auch im Bereich
von 0 bis 2π tun. Man nennt diese Winkelangabe Bogenmaß: Hat eine Halbgerade, die vom Ursprung U (0, 0) ausgeht, zur x-Achse den Winkel α und wird α in
Bogenmaß angeben, dann ist α zugleich die Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis, der vom Punkt I (1, 0) und dem Schnittpunkt S der Halbgerade mit dem
Einheitskreis begrenzt wird.
Definition 46 Es sei D ein rechtwinkliges Dreieck und α ein Winkel an der Hypotenuse H von
D im Bogenmaß. Weiterhin sei A die Ankathete und G die Gegenkathete bezüglich α. Dann sind
die Werte Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan) und Kotangens (cot) von α folgendermaßen
definiert:
|G|
Gegenkathete
=
|H|
Hypotenuse
| A|
Ankathete
cos(α) =
=
|H|
Hypotenuse
sin(α)
tan(α) =
cos(α)
cos(α)
1
cot(α) =
=
sin(α)
tan(α)
sin(α) =
Diese Werte sind für tan(α) und cot(α) nur definiert, wenn cos(α) bzw. sin(α) nicht Null sind.
Schränkt man α nicht auf 0 ≤ α ≤ 2π ein, so sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens als
Kreisfunktionen auf ganz R definiert (Abb. 6.9).
86
Kapitel 6 Funktionen
Abbildung 6.9: Funktionsgraphen der Sinus- und Kosinusfunktion
Bemerkung:
genschaften:
Die beiden Kreisfunktionen Sinus und Kosinus haben die folgenden Ei-
• Die Funktionen sin und cos sind periodisch zur Periode 2π, d. h. für alle x ∈ R
gilt
sin( x + 2π ) = sin( x )
cos( x + 2π ) = cos( x )
• Die Funktion sin ist ungerade symmetrisch, die Funktion cos gerade symmetrisch,
d. h. für alle x ∈ R gilt
sin( x ) = − sin(− x )
cos( x ) = cos(− x )
• Die Kosinuskurve ist eine um 12 π nach links verschobene Sinuskurve, d. h. für alle
x ∈ R gilt
π
= cos( x )
sin x +
2
In der Abbildung 6.9 kann man gut sehen, wie der Kosinus dem Sinus um π2 „hinterherhinkt“.
• Für Sinus und Kosinus existieren die so genannten Additionstheoreme: Für alle
x, y ∈ R gilt
sin( x + y) = sin( x ) cos(y) + cos( x ) sin(y)
sin( x − y) = sin( x ) cos(y) − cos( x ) sin(y)
cos( x + y) = cos( x ) cos(y) − sin( x ) sin(y)
cos( x − y) = cos( x ) cos(y) + sin( x ) sin(y)
6.4 Beispiele von Funktionen
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• Aus den Additionstheoremen lässt sich ableiten, dass für alle x ∈ R
cos( x ) cos( x ) + sin( x ) sin( x ) = 1
gilt.
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Kapitel 6 Funktionen
Kapitel 7
Literaturhinweise
7.1 Fachliteratur
• Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn. Braunschweig (Vieweg) 1998.
• Kirsch, A: Mathematik wirklich verstehen. Köln (Aulis) 1994.
• Lehmann, I., Schulz, W.: Mengen - Relationen - Funktionen. Leipzig (Teubner)
1997.
• Scharlau, W.: Schulwissen Mathematik: Ein Überblick. Braunschweig (Vieweg)
2001.
• Warlich, L.: Grundlagen der Mathematik für Studium und Lehramt I. Wiesbaden
(Aula) 1996.
7.2 Unterhaltsame Literatur
• Beutelspacher, A.: In Mathe war ich immer schlecht ... Braunschweig (Vieweg)
1996.
• Beutelspacher, A.: Das ist o.B.d.A. trivial! Braunschweig (Vieweg) 1992.
• Dahl, K., Nordquist, S.: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate. Hamburg (Oetinger) 1996.
• Enzensberger, H.M.: Der Zahlenteufel. München (Hanser) 1997.
• Singh, S.: Fermats letzter Satz. München (dtv) 1997.
• Stewart, I.: Die Zahlen der Natur. Springer 2000.