Gleichungslehre

Gleichungslehre -
2. Teil
Kapitel 3 aus meinem Lehrgang ALGEBRA
Ronald Balestra
CH - 7028 St. Peter
www.ronaldbalestra.ch
28. März 2010
Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen:
1 Mengenlehre
1.1 Die Menge im mathematischen Sinne
1.2 Darstellungsformen
1.3 Teilmengen
1.4 Rechnen mit Mengen
1.5 Mengen im Koordinatensystem
1.6 Rechnen in Mengen
2 Termumformungen
2.1 Grundbegriffe
2.2 Einfache Termumformungen
2.3 Das Rechnen mit Polynomen
2.4 Das Rechnen mit Brüchen
3 Gleichungslehre
3.1 Aussagen, Aussageformen & Gleichungen
3.2 Das Lösen von Gleichungen
3.3 Lineare Gleichungen & deren Diskussion
3.4 Bruchgleichungen
I
Inhaltsverzeichnis
3.5
3.6
3.7
3.8
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bruchgleichungen & Biquadratische Gleichungen . . . . .
3.5.2 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Quadratische Gleichungen mit Parametern und deren Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Textaufgaben - ein Unterrichtspuzzle . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
103
109
114
117
120
133
136
3.5
Quadratische Gleichungen
Einfache und gut konditionierte quadratische Gleichungen haben wir schon kennen und lösen gelernt. Um sie zu lösen gehen wir wie folgt vor:
1. Schritt:
2. Schritt:
3. Schritt:
Unser Ziel in diesem Kapitel ist, uns von den einfachen Gleichungen zu lösen
und eine Lösungsformel herzuleiten, die es uns ermöglicht, die Lösungsmenge
jeder quadratischen Gleichung zu bestimmen.
Zuerst noch eine Definition:
Def.:
Eine Gleichung heisst quadratisch, genau dann wenn sie von der
folgenden Form ist:
ax2 + bx + c = 0
mit a, b, c ∈ R ∧ a 6= 0
Bem.:
•
•
•
Jetzt noch einige einfache, schon lösbare Beispiele:
Beispiel 3.5.1
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:
i. x2 − 49 = 0
ii. x2 = 64
103
iii. x2 = 12
iv. x2 + 4 = 0
v. 6x = 3x2 − 9
vi. x2 − 9x = −18
vii. 2x2 + 28x − 294 = 0
.
viii. x2 + 0, 6x − 2, 8 = 0
104
Und nun zur Herleitung der Lösungsformel:
ax2 + bx + c
b
c
x2 + x +
a
a
2
b2
c
b
b
2
− 2 +
x + x+
a
4a2
4a
a
2
b2
c
b
b
− 2+
x2 + x +
a
2a
4a
a
2
2
b − 4ac
b
−
x+
2a
4a2
!2
√
2
b
b2 − 4ac
x+
−
2a
2a
"
# "
#
√ 2
√ 2
b
b − 4ac
b
b − 4ac
x+
·
x+
−
+
2a
2a
2a
2a
⇔
⇔
⇔
√ 2
b
b − 4ac
x+
=0 ∨
−
2a
√ 2a
b − b2 − 4ac
x+
=0 ∨
2a√
2
−b + b − 4ac
∨
x1 =
2a
Aufgaben :
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
√ 2
b − 4ac
b
x+
=0
+
2a√
2a
b + b2 − 4ac
x+
=0
2a
√
2
−b − b − 4ac
x2 =
2a
1. Versuche jede Umformung zu verstehen.
2. Löse die folgende Gleichung mit Hilfe der
Lösungsformel:
x2 + 0, 6x − 2, 8 = 0
105
Wir wollen die Lösungsformel in folgendem Satz zusammenfassen:
Satz:
Eine quadratische Gleichung der Form
ax2 + bx + c = 0
hat die Lösungen x1,2
Beispiel 3.5.2
mit a, b, c ∈ R ∧ a 6= 0
√
−b ± b2 − 4ac
=
2a
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen
mit Hilfe der Lösungsformel:
i. 2x2 − 5x − 3 = 0
ii. x2 = x + 35156
106
iii. x2 = 12x − 36
iv. 4x2 − 12x = −11
Wir können feststellen, dass ob eine quadratische Gleichung der Form
ax2 + bx + c = 0
• keine,
• genau eine
oder
• zwei Lösungen hat,
abhängig ist von . . .
(Aufg.: 1 - 12 und 35 - 76 ; 1a, 4b, 10c, 35b, 38b, 39b, 51a, 53c, 55c, 59c, 61a, 62a,
71, 76a,b )
107
Mit Hilfe der Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichungen lässt
sich das zugehörige Polynom 2. Grades in Linearfaktoren zerlegen.
Es gilt der folgende Satz: (Der Faktorisierungssatz)
Mit x1 und x2 als die Lösungen der folgenden Gleichung
ax2 + bx + c = 0
folgt:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
Aufgaben :
Beispiel 3.5.3
Beweise den Fakorisierungssatz
Zerlege die folgenden Terme vollständig in Linearfaktoren:
1. x2 + 10x + 21
2. 3x2 + 30x + 63
3. 2x2 + 2.3x − 4.95
4. x4 − 0.1025x2 + 0.0025
108
3.5.1
Bruchgleichungen & Biquadratische Gleichungen
Du wirst im Folgenden zwei Gleichungstypen kennenlernen, die auf ihrem Weg
zur Lösung auf quadratische Gleichungen führen und mit Hilfe der Lösungsformel gelöst werden können:
Bruchgleichungen
Biquadratische Gleichungen
• Die Gleichungstypen werden vorgestellt,
• der Lösungsweg kurz beschrieben
und
• einige Beispiele mit den zugehörigen Lösungsmengen angegeben.
Deine Aufgabe besteht nun darin, dass du, in dem du die Beispiel mit Hilfe
der beschriebenen Lösungswege durcharbeitest, dich mit den Gleichungen und
den zugehörigen Lösungsverfahren selbständig vertraut machst.
(Für weitere Übungen ist wieder eine Auswahl an passenden Aufgaben angegeben.)
Du hast wieder 60 Minuten Zeit und kannst anschliessend freiwillig eine Kurzprüfung ablegen.
• Bruchgleichungen
Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen, werden gleich
wie die bisherigen gelöst:
1. Schritt: Definitionsbereich bestimmen.
2. Schritt: Gleichung vereinfachen/ Bruchterme zum Verschwinden bringen.
Der Unterschied zu den bisherigen Bruchgleichungen besteht nun darin,
dass durch die Vereinfachung keine lineare Gleichung, sondern eine quadratische Gleichung entsteht, welche wir wie folgt lösen:
3. Schritt: Gleichung gleich 0 setzen.
4. Schritt: Vollständige Faktorzerlegung und die Lösungen herauslesen
oder
mit Hilfe der Lösungsformel die Lösungen direkt bestimmen.
109
Beispiel 3.5.4
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
i.
60
20
=5+
x+2
x
ii.
x−1
x+3 x−1
+
=
+1
x−3 x+4
x−4
(Aufg.: 141 - 151 ; 143a,b, 146b)
110
⇒ L = {2, 4}
⇒ L = {6, 10}
• Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen der folgenden Form:
ax4 + bx2 + c = 0
Durch eine einfache Substitution lässt sich eine biquadratische Gleichung in
eine quadratische Gleichung überführen und dann mit der Lösungsformel
weiter bearbeiten.
Beispiel :
x4 + 3x2 = 28
Durch die Substitution a := x2 erhalten wir
a2 + 3a = 28
eine quadratische Gleichung, welche wir gleich
0 setzen
a2 + 3a − 28 = 0
und mit vollständiger Faktorzerlegung oder
der Lösungsformel lösen können:
⇒
La = {4, −7}
Wir haben somit die Lösungsmenge für a, also für die substituierte Gleichung bestimmt.
Durch eine Rücksubstitution können wir nun
auch die Lösungsmenge für x, also für die ursprüngliche Gleichung, bestimmen:
√
Rücksubstitution : x = ± a
√
⇒
x1,2 = ±√4 = ±2
x3,4 = ± −7
⇒
L = {±2}
111
Beispiel 3.5.5
Bestimme die Lösungsmengen der folgenenden Gleichungen:
√
iii. x4 + 12 = 7x2 ⇒ L = {±2, ± 3}
iv. 32x4 − 82x2 − 405 = 0
(Aufg.: 157 - 162 ; 158b, 159b)
112
⇒ L = {± 94 }
Aufgaben :
Beweise, die folgende Aussage:
Wenn die drei Koeffizienten einer biquadratishen Gleichung dasselbe Vorzeichen
haben, dann gilt: L = { }
113
3.5.2
Wurzelgleichungen
Die Wurzelgleichung ist ein Typ, in welchem die Lösungsvariable im Radikanden
(dem Term unter der Wurzel) vorkommt. Durch (eventuell mehrmaliges) beidseitiges Quadrieren lassen sich die Wurzelteme zum Verschwinden bringen. Es
gilt dabei zu beachten, dass beim beidseitigen Quadrieren beidseitig mit einem
Term multipliziert wird, welcher die Lösungsvariable beinhaltet, d.h., dass eine
Gewinnumformung vorliegen kann und wir das Schlussresultat auf alle Fälle
überprüfen müssen.
Beispiel 3.5.6
||2
⇒
⇔
⇔
||:(−10)
⇔
√
√
√
5 x − 1 − 2 2x + 5 = 3x − 5
√
√
25(x − 1) − 2 · 5 x − 1 · 2 2x + 5 + 4(2x + 5) = 3x − 5
p
33x − 5 − 20 (x − 1)(2x + 5) = 3x − 5
p
−20 (x − 1)(2x + 5) = −30x
p
2 (2x2 + 3x − 5) = 3x
||2
⇒
4(2x2 + 3x − 5)
=
9x2
⇔
x2 − 12x + 20
=
0
⇔
x1 = 10
∧
x2 = 2
Durch Einsetzen der Lösungen in der ursprünglichen Gleichung können wir
feststellen, dass x1 die Aussagform in eine wahre Aussage überführt und x2 die
Aussageform in eine falsche Aussage überführt.
Wir haben somit die folgende Lösungsmenge: L = {10}
114
Beispiel 3.5.7
•
•
√
√
2x − 5 = 7
2x + 8 −
√
⇒ L = {27}
5+x=1
(Aufg.: 171 - 188 ; 171a, 173a, 182a, 183a)
115
⇒ L = {4}
Zum Lösen von Wurzelgleichungen kann auch ein uns schon bekanntes Verfahren hilfreich sein: Die Substitution.
r
Beispiel 3.5.8
x−1
+
x+1
r
x+1 5
− =0
x−1 2
(Aufg.: 189 - 196)
116
3.5.3
Quadratische Gleichungen mit Parametern
und deren Diskussion
Ob mit oder ohne Parameter, quadratische Gleichungen lassen sich immer wie
folgt lösen:
1. Schritt:
2. Schritt:
3. Schritt:
Beispiel 3.5.9
Verifiziere die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
i. x2 + 4ax + 3a2 = 0
⇒ L = {−3a, −a}
ii. x2 + (p − q)x = pq
⇒ L = {−p, q}
iii.
x + a x − 2a
+
= 2, 25
x−a
x+a
⇒ L = {−7a, 3a}
(Aufg.: freie Wahl aus 89 - 102 ; 152, 153, 156 ; 163, 164)
117
Die Diskussion halten wir sehr kurz:
Wir wissen bereits, dass eine quadratische Gleichung entweder
•
•
•
hat und die Mächtigkeit der Lösungsmenge von der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
abhängig ist.
Aufgaben :
Bestimme bei den folgenden Gleichungen die Anzahl
Lösungen:
1. x2 + 100x + 1 = 0
2. 2x2 − x = 3
3. 4x − 7 = 2x
4. 0, 3x2 + 4, 8 = 2, 4x
5. Bestimme k so, dass die folgende Gleichung
2x2 + 6x + k = 0
(a) keine,
(b) genau eine,
(c) zwei
Lösungen hat.
(Aufg.: freie Wahl aus 85 - 88, 103 - 106)
118
Wir schliessen diesen Abschnitt mit einem Beispiel zur Anwendung der Substitutionsmethode:
√
Beispiel 3.5.10
2x − 5 x − 12 = 0
und einem Beispiel zur Diskussion einer Gleichung:
√
√
√
a+x− a−x=2 a−x
Beispiel 3.5.11
(Aufg.: freie Wahl aus 189 - 196)
119
3.6
Textaufgaben - ein Unterrichtspuzzle
Der folgende Abschnitt, der sich mit den Textaufgaben beschäftigt, ist als ein
sog. Unterrichtspuzzle gestaltet.
Aufgeteilt in fünf Gruppen sollt ihr in einer ersten Runde, der Aktivierungsrunde, die Musteraufgabe durcharbeiten.
Das Ziel ist, die notwendigen Kenntnisse für die nächste Runde zu aktivieren.
In einer Zwischenrunde werden wir, falls erwünscht oder notwendig, jeweils
die erste Aufgabe der fünf Themenkreise in der Gruppe besprechen.
In der zweiten Runde, der Expertenrunde, sollt ihr euch in eurer Gruppe
intensiv mit den euch zugeteilten Aufgaben beschäftigen, um eure Fähigkeiten
im Lösen von Textaufgaben zu vertiefen und zu festigen.
Das Ziel ist, dass jedes Mitglied der Gruppe jede Aufgabe lösen und die Lösung
auch präsentieren kann.
Die Aufgaben sind in folgende Themen gegliedert:
1. Bestimmung von Zahlen
2. Altersbestimmungen
3. Prozentaufgaben
4. Mischungsaufgaben
5. Leistungsaufgaben
In der letzten Runde, der Unterrichtsrunde, werden die Gruppen neu gebildet, und zwar so, dass aus jeder Expertengruppe mindestens ein Vertreter/ eine
Vertreterin anwesend ist.
In dieser Runde präsentieren und erklären die ExpertInnen ihre Aufgaben den
übrigen Gruppenmitglieder.
Es folgt abschliessend noch eine Schlussrunde im Klassenverband, in welcher
die letzten offenen Fragen besprochen werden.
Zur Verfügung stehen euch ausführliche Musterlösungen zu den jeweils ersten
Aufgaben der Themen und die numerischen Lösungen aller übrigen Aufgaben.
120
Gruppeneinteilung: (Aktivierungs- und Expertenrunde)
1. Gruppe
...
...
...
...
2. Gruppe
...
...
...
...
3. Gruppe
...
...
...
...
4. Gruppe
...
...
...
...
5. Gruppe
...
...
...
...
Themenzuteilung:
1.
2.
3.
4.
5.
Gruppe:
Gruppe:
Gruppe:
Gruppe:
Gruppe:
Bestimmung von Zahlen & Altersbestimmungen
Altersbestimmung & Prozentaufgaben
Prozentaufgaben & Mischungsaufgaben
Mischungsaufgaben & Leistungsaufgaben
Leistungsaufgaben & Bestimmung von Zahlen
Gruppeneinteilung: (Unterrichtsrunde)
1. Gruppe
...
...
...
...
2. Gruppe
...
...
...
...
3. Gruppe
...
...
...
...
4. Gruppe
...
...
...
...
Zeitrahmen: Aktivierungs- und Expertenrunde:
Zwischenrunde:
Unterrichtsrunde:
5. Gruppe
...
...
...
...
3 Stunden
10min pro Gruppe
2 Stunden
Beachtet, dass ihr wahrscheinlich in der Unterrichtsrunde nicht genügend
Zeit haben werdet, um alle eure Aufgaben aus der Expertenrunde zu präsentieren. Trefft also vorgängig eine Auswahl an Aufgaben, die für euch wichtig sind
und die ihr in der euch zur Verfügung stehenden Zeit erklären wollt.
121
Für den Einstieg verwenden wir eine Aufgabe von Adam Ries (1492 - 1559):
Im heutigen Deutsch liest sich die Aufgabe etwa wie folgt:
Einer hat Geld, verspielt davon 1/3. Von dem, was ihm übriggeblieben ist, verbraucht er 4 Gulden. Mit dem Rest handelt er und verliert
ein Viertel. Es bleiben ihm 20 Gulden.
Wie viele Gulden hat er anfänglich besessen?
Wenn wir eine solche Textaufgabe algebraisch lösen wollen, müssen wir sie
zuerst aus der Umgangssprache in die Sprache der Algebra übersetzen, wo wir
das Problem mit den uns schon bekannten Verfahren lösen können:
1. Schritt: Definieren/ Festlegen der Unbekannten
Setze x := Anzahl Gulden, die der Mann anfänglich
besessen hat.
2. Schritt: Aufstellen der Gleichung
3 2
· ( · x − 4) = 20
4 3
3. Schritt: Auflösen der Gleichung
3 2
· ( · x − 4) = 20
4 3
⇔
6
x − 3 = 20
12
6
x = 23
12
x = 46
4. Schritt: Formulieren der Antwort
Der Mann hat anfänglich 46 Gulden besessen.
122
Die Themen mit den zugehörigen Aufgaben für die Expertenrunde
• Bestimmung von Zahlen
1. Eine dreiziffrige Zahl hat die Quersumme 13. Ihre Einerziffer ist doppelt so gross wie ihre Hunderterziffer. Wird die Einer- mit der Zehnerziffer vertauscht, so entsteht eine um 27 kleinere Zahl.
Wie lautet die zugehörige Zahl.
Wir definieren unsere gesuchten Grössen:
x := Anzahl Hunderter, y := Anzahl Zehner und
z := Anzahl Einer.
Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen:
i x + y + z = 13
ii z = 2x
iii 100x + 10y + z = 100x + 10z + y + 27
Das Auflösen des Gleichungssystems liefert uns z = 4, y = 7
und x = 2 und somit als Lösung: 274
2. Welche Zahl hat die folgende Eigenschaft:
Wird von ihr 9 subtrahiert und zur Hälfte dieser Differenz 5 addiert,
entsteht die ursprüngliche Zahl.
(1)
3. Welche drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen bilden addiert
die Summe 33.
( 9, 11, 13 )
4. Welche Zahl ändert ihren Wert nicht, auch wenn sie mit 13 multipliziert oder durch 13 dividiert wird?
(0)
123
5. Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist 4. Wird diese links
weggestrichen und rechts wieder angesetzt, so entsteht eine um 243
grössere Zahl.
Berechne die ursprüngliche Zahl.
( 471 )
6. Welche zweiziffrige Zahl ist durch 11 teilbar und hat die Quersumme
8?
( 44 )
7. Die Summe zweier Zahlen ist 56, ihre Differenz 22.
Wie heissen die beiden Zahlen?
( 17 und 39 )
8. Eine Zahl hat im binären System die folgende Form: 1010010001
Wie lautet die Zahl im 10er-System?
( 657 )
Stelle die Zahl im 5er-System dar.
( 10112 )
124
• Altersbestimmung
1. Eine Mutter ist heute dreimal so alt wie ihre Tochter. In vier Jahren
wird sie achtmal so alt sein wie ihre Tochter heute vor 7 Jahren war.
Wie alt sind Mutter und Tochter heute?
Wir definieren unsere gesuchten Grössen:
M := Alter der Mutter heute, T := Alter der Mutter heute.
(jeweils in Jahre)
Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen:
i M =3·T
ii M + 4 = 8 · (T − 7)
Das Auflösen des Gleichungssystems liefert uns T = 12 ,
M = 36
2. Ein Vater ist heute doppelt so alt wie sein Sohn. Vor 24 Jahren war
er 32 Jahre älter als dieser.
Wie alt sind beide heute?
( 32 und 64 )
3. Heute ist Max 16 Jahre und sein Bruder Moritz 12 Jahre alt.
(a) Vor wie vielen Jahren war Max doppelt so alt wie Moritz?
( vor 8 Jahren )
(b) In wie vielen Jahren werden sie gleich alt sein?
( nie )
4. Ein Onkel ist heute dreimal so alt wie sein Neffe und viermal so alt,
wie sein Neffe vor 5 Jahren war.
Wie alt sind beide heute?
( 20 und 60 )
125
5. Karl ist heute 27 Jahre alt. Er ist dreimal so alt, wie Inge war, als
Karl doppelt so alt war, wie Inge heute ist.
Wie alt ist Inge heute?
( 12 )
6. (Löse ohne Bestimmungsgleichung, nur durch Knobeln)
Platon war ein Schüler Sokrates, Aristoteles ein Schüler Platons. Der
Schüler war jeweils um 43 Jahre jünger als sein Lehrer. Die Zahl
der Lebensjahre hat bei jedem dieser Philosophen die Quersumme
8. Das von Platon erreichte Alter wird durch die grösste zweistellige
Zahl mit dieser Eigenschaft angegeben. Sokrates starb im 8.ten, Aristoteles im 7.ten Jahrzehnt seines Lebens. Wird die doppelte Summe
der drei Lebensalter um 1 vergrössert, so erhält man das Geburtsjahr
von Platon.
Bestimme für jeden dieser drei Philosophen das Geburts- und Todesjahr.
( Sokrates: 470 - 399 vChr, Platon: 427 - 347 vChr, Aristoteles:
384 - 322 vChr )
126
• Prozentaufgaben
1. Fritz hat einen gewissen Betrag als Einlage in ein Geschäft eingebracht. Nach einem Jahr erhält er 10% davon als Gewinn. Er erhöht
seinen Geschäftsanteil um diesen Betrag. Im darauffolgenden Jahr
erzielt er aber nur einen Gewinn von 5% seiner Einlage. Immerhin
hat er nun Fr.12’000.- mehr als anfangs.
Wie gross war seine ursprüngliche Einlage?
Wir definieren unsere gesuchte Grösse:
x := Ursprüngliche Einlage in Fr.
Der Text liefert uns die folgende Gleichung:
1.1x + 0.05 · 1.1x = x + 120 000.−
Das Auflösen der Gleichung liefert uns x = 770 419.35
2. Ein Grossist verkauft das direkt aus einer Fabrik bezogene Tuch mit
15% Gewinn an den Händler, der seinerseits noch 25% Gewinn daraufschlägt. Nun ist der Meter um Fr.17,50 teurer als der Fabrikpreis.
Bestimme die Höhe des Fabrikpreises.
( Fr. 40.- )
3. Zu wieviel Zins sind Fr.2’662,50 ausgeliehen, wenn sie in 144 Tagen
Fr.49,70 Zins einbringen?
(Das Zinsjahr hat 360 Tage.)
( 4.667% )
127
4. Ein Kapital von Fr.6’000.- wird zu 3% verzinst. Nach einem Jahr
wird der Zins zum Kapital geschlagen. Gleichzeitig ändert die Bank
den Zinsfuss. Nach einem weiteren Jahr ist das Kapital samt Zinsen
auf ein Guthaben von Fr.6’427,20 angewachsen.
Wie hoch war der Zinsfuss im zweiten Jahr?
( 4% )
5. Sepp spekuliert mit seinem Vermögen und gewinnt dadurch 7%, verbraucht aber Fr.20’000.-. Mit seinem jetzigen Vermögen gewinnt er
im darauffolgenden Jahr 6%, verbraucht aber Fr.20’900.-, so dass er
schliesslich um 5% mehr Vermögen als am Anfang besitzt.
Wieviel hatte er am Anfang?
( Fr. 500’000.- )
6. Zwei Kapitalien brachten gleichviel Zins, obwohl das erste um 0,5%
höher verzinst wurde als das zweite.
Wie hoch waren sie verzinst, wenn das erste Fr.3’000.- und das zweite
Fr.3’375.- betrug?
( 4% und 4.5% )
128
• Mischungsaufgaben
1. Aus einer 10%igen und aus einer 4%igen Salzlösung sollen durch Mischen 2kg einer 7,6% Salzlösung hergestellt werden.
Wie viele Kilogramm von jeder Ausgangslösung müssen verwendet
werden?
Wir definieren unsere gesuchten Grössen:
x := Anzahl kg der 4%igen Salzlösung,
y := Anzahl kg der 10%igen Salzlösung.
Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen:
Die Gesamtmenge betreffend: x + y = 2,
Nur das Salz betreffend: x · 0.04 + y · 0.1 = 2 · 0.076
Das Auflösen des Gleichungungssystems liefert uns x = 0.8
und y = 1.2
2. 800g einer 10%igen Sole werden mit 400g Wasser verdünnt.
Wieviel % Salz enthält die Mischung?
( 6.667% )
3. Bei starken Blutverlusten wird häufig eine 32 %ige Kochsalzlösung in
die Blutbahn eingeführt.
Mit wie vielen Kilogamm reinen Wassers müssen 539g 2%ige Kochsalzlösung verdünnt werden, um die erforderliche Konzentration herstellen zu können?
( 1’078g )
129
4. 180g einer Sole werden durch Verdampfen 125g Wasser entzogen,
wodurch ihr Salzgehalt auf 12% ansteigt.
Bestimme den Salzgehalt der Lösung vor dem Verdampfen.
( 3.667% )
5. Von einer Kaffeesorte kosten 16kg Fr.368.-, von einer zweiten Sorte
kostet das Kilogramm Fr.30.-.
Bestimme die Menge der ersten Sorte, welche mit 26kg der zweiten
Sorte gemischt werden muss, um ein Kilogramm der Mischung für
Fr.26.- verkaufen zu können.
( 34.667kg )
6. Mit wieviel Gramm Kupfer müssen 234g Feingold gemischt werden,
um eine Legierung mit dem Feingehalt 585 zu erhalten?
(Feingehalt ist der in Promille es Gesamtgewichtes ausgedrückte Gehalt an
reinem Edelmetall.
Bsp.: 1kg Gold mit dem Feingehalt 600 enthält 600g reines Gold.)
( 166g )
7. In welchem Verhältnis muss Silber vom Feingehalt 750 mit Silber
vom Feingehalt 600 gemischt werden, um Silber vom Feingehalt 700
zu erhalten?
( 2:1 )
130
• Leistungsaufgaben
1. Einem Teich führen 5 Kanäle Wasser zu. Der erste Kanal benötigt
1/3 Tag, um den Teich zu füllen, der zweite braucht für die Füllung
1 Tag, der dritte 2 21 Tage, der vierte 3 Tage und der letzte benötigt
5 Tage.
In wie vielen Tagen füllen die Kanäle gemeinsam den Teich?
Wir definieren unsere gesuchte Grösse:
x := Zeit (in Tagen), welche zur Füllung benötigt wird.
Der Text liefert uns die folgenden Gleichungen:
1. Kanal: pro Tag 3 Füllungen,
2. Kanal: pro Tag 1 Füllung,
3. Kanal: pro Tag 2/5 Füllung,
4. Kanal: pro Tag 1/3 Füllung,
5. Kanal: pro Tag 1/5 Füllung.
⇒ alle Kanäle zusammen liefern pro Tag 74/15 Füllungen
74
⇒ x · 15
=1
Das Auflösen der Gleichung liefert uns x = 15/74
2. Ein Gasherd mit zwei Brennern wird aus einer Propangasflasche gespiesen. Mit einer Füllung kann der eine Brenner 30 Stunden, der
andere 20 Stunden bei voller Flamme versorgt werden.
Wie lange reicht der Flascheninhalt, wenn beide Brenner gleichzeitig
in Betrieb sind?
( 12Std )
131
3. Ein Wasserbehälter hat zwei Zuflussröhren. Mittels der ersten Röhre
allein kann der Behälter in 6 Stunden, mittels der zweiten Röhre allein in 4 Stunden gefüllt werden.
Wie lange dauert das Füllen, wenn beide Röhren gleichzeitig in Betrieb sind?
( 2.4Std )
4. Zum Ausheben einer Baugrube wird ein Bagger verwendet, der die
gesamte Arbeit in 8 Tagen erledigen würde. Um schneller voranzukommen, wird nach drei Tagen noch ein zweiter Bagger eingesetzt,
der den ganzen Aushub in 12 Tagen alleine bewältigen könnte.
Wieviel Tage müssen beide Maschinen noch in Betrieb sein?
(3)
5. Zum Schluss noch eine Aufgabe aus einem byzantischen Rechenbuch
des frühen 14. Jahrhunderts:
Einer hatte ein Schiff mit fünf Segeln. Mit dem ersten Segel wurde es
an das beabsichtigte Ziel in der Hälfte eines Tagens hingebracht, mit
dem zweiten aber in 1/3 Tag, mit dem dritten in 1/5, den vierten in
1/7 und dem fünften in 1/9 Tag.
Nachdem nun die 5 Segel gleichzeitig gehiesst waren, in welchem Teil
des Tages wurde das Schiff hingebracht?
( 1/26 )
(Aufg.: freie Wahl aus 124 - 169 ; 219 - 230)
132
3.7
Der Satz von Vieta
Wir wollen uns noch mit einigen interessanten Aufgabenstellungen zu den quadratischen Gleichungen beschäftigen und hierfür Eigenschaften der Lösungen
verwenden, welche im Satz von Vieta dargestellt werden.
Aufgaben :
Formuliere und beweise den Satz von Vieta.
133
Aufgaben :
1. Bestimme eine Gleichung der Form
x2 + px + q = 0 ,
welche die Lösungsmenge L = {2, −5} hat.
2. Bestimme zwei verschiedene Gleichungen der
Form
ax2 + bx + c = 0 ,
welche die Lösungsmenge L = {−5, 2} haben.
134
3. Bestimme für die folgende Gleichung
x2 + 4x + u = 0 ,
mit x1 = 7
den Parameter u und die zweite Lösung x2 .
4. Bestimme für die folgende Gleichung
x2 − 5x + w = 0
die Lösungen und w so, dass eine Lösung doppelt so gross wie
die andere ist.
5. Beweise den Faktorisierungssatz mit Hilfe des Satzes von Vieta.
(Aufg.: freie Wahl aus 107 - 126)
135
3.8
Kubische Gleichungen
Wir schliessen das Kapitel Gleichungslehre ab, mit einem Ausblick auf das Lösen
von Gleichungen dritter Ordnung und werden dabei ein Verfahren kennen lernen, das sog. Abspalten von Nullstellen, was auch bei Gleichungen noch höherer
Ordnung zur Anwendung kommen kann.
Eine Gleichung der Form
ax3 + bx2 + cx + d = 0
mit a, b, c, d ∈ R und a 6= 0
heisst eine kubische Gleichung/ Gleichung dritter Ordnung in x.
Wenn eine Lösung bekannt ist, lässt sich durch Abspalten dieser Lösung die
kubische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zurückführen, so dass sich
mögliche weitere Lösungen mit Hilfe der Lösungsformel bestimmen lassen.
Die folgenden Umformungen führten im 16. Jahrhundert durch Geronimo CARDANO (1501-1576) und Francois VIETA (1540-1603) zu dieser Ueberlegung:
Sei x0 eine Lösung der Gleichung ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Dann gilt:
ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx + d − 0
= ax3 + bx2 + cx + d − (ax30 + bx20 + cx0 + d)
= ax3 + bx2 + cx + d − ax30 − bx20 − cx0 − d
= a(x3 − x30 ) + b(x2 − x20 ) + c(x − x0 )
=
∗
(x − x0 )[a(x2 + xx0 + x20 ) + b(x + x0 ) + c]
=
(x − x0 )[ax2 + (ax0 + b)x + ax20 + bx0 + c]
=
(x − x0 )(Ax2 + Bx + C)
mit A = a , B = ax0 + b und C = ax20 + bx0 + c.
Zusammengefasst gilt der folgende Satz:
Satz
Ist x0 eine Lösung der Gleichung
ax3 + bx2 + cx + d = 0,
so lässt sich die linke Seite faktorisieren zu
ax3 + bx2 + cx + d = (x − x0 )(Ax2 + Bx + C)
mit A = . . . , B = . . . . . . und C = . . . . . . . . ..
136
• Erkläre jede Umformung in der obigen Herleitung.
∗
• Für die Gleichung = wurde
∗
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
verwendet.
Beweise die Gleichung ∗.
• Überlege, wie die Aussage des Satzes für das Lösen von kubischen Gleichungen verwendet werden kann.
Verwende dazu das folgende Zahlenbeispiel:
Von der folgenden Gleichung
x3 − x2 − 81x + 81 = 0
ist eine Lösung bekannt: xo = 1.
Durch das Abspalten der Lösung folgt:
x3 − x2 − 81x + 81 = (x − 1)(x2 − 81)
was sich mit Hilfe der 3. binomischen Formel weiter zerlegen lässt zu
(x − 1)(x + 9)(x − 9)
und somit die folgende Lösungsmenge liefert:
L = {1, −9, 9}
Aufgaben :
1. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden
Gleichung:
x3 + 2x2 − 5x − 6 = 0
Ein Element der Menge A = {1, 2, 3} ist auch
Element der gesuchten Lösungsmenge.
2. Löse die folgenden Gleichungen:
(a) x3 + 7x2 + 4x − 12 = 0
(b) x3 = 14x2 + 51x
(c) x4 − 0, 5x3 − 218x2 + 217, 5x = 0
3. Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion: f (x) = x3 + x2 − 14x − 24
137