Arbeitsblatt Wahrscheinlichkeitsrechnung

Arbeitsblatt Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dies zuerst lesen!! Wahrscheinlichkeit ist ein schwieriger Begriff; es gibt eigentlich keine
Definition, die in der Schule geeignet ist. Eine axiomatische Definition von Kolmogoriov hat
am Anfang des zwanzigsten Jahrhundert viele Probleme zum Verständnis vom Wahrscheinlichkeitsbegriff gelöst, aber diese Definition ist sehr schülerunfreundlich. Daher werden wir Wahrscheinlichkeit anhand drei Begriffsbereiche behandeln; (1) theoretische Wahrscheinlichkeit, (2)
empirische Wahrscheinlichkeit und (3) subjektive Wahrscheinlichkeit. Es ist sinnvoll diese drei
Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffs überlegt zu haben, da später bei verschiedenen Anwendungen (und Matura-Aufgaben) diese drei Rollen der Wahrscheinlichkeit oder Blickwinkel
auf Wahrscheinlichkeit einander abwechseln; hast du nur einen Aspekt der Wahrscheinlichkeitsbereiche verstanden, dann kann das Probleme beim Verstehen des Paradigmenwechsels geben.
Die Grenze zwischen den verschiedenen Zugängen zu Wahrscheinlichkeit sind nicht immer klar;
die Aspekte gehen eher in einander über.
Aufgabe 1. Was ist Wahrscheinlichkeit laut dir? Was heißt es, dass du bei einem Lottospiel
1% Gewinnchance hast? Was heißt es, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet 60%
ist? Ist beim Würfeln wirklich Zufall im Spiel? Wann nennst du etwas Zufall?
Theoretische Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiten werden oft mit Zahlen zwischen 0 und 1 angegeben; 0 heißt dann, dass
das Ereignis sicher nicht auftritt, 1 heißt dann, dass das Ereignis sicher auftritt. Auch häfig ist
die Notation mit Prozentzahlen: Wahrscheinlichkeit Null ist dann 0% und Wahrscheinlichkeit
1 ist dann 100%. Die Wahrscheinlichkeit auf ein Ereignis A wird oft mit P (A) angedeutet.
Aufgabe 2. Beim Werfen mit einer Münze können bei einem Wurf nur zwei Ausgänge auftreten; Kopf (K) oder Münze (M). Wir nehmen an, dass unsre Münze ehrlich ist, was heißt, dass
die Wahrscheinlichkeit auf M und die Wahrscheinlichkeit auf K gleich sind; P (M ) = P (K).
(a) Erkläre warum bei einer ehrlichen Münze gelten muss, dass P (M ) = 1/2.
(b) Wenn du zweimal würfelst, wie viele Ausgänge sind dann möglich?
(c) Wenn der Würfel ehrlich ist, muss das Ereignis ‘zuerst Kopf, dann Münze’ genau so
wahrscheinlich sein als ‘zuerst Münze, dann Kopf’, oder ‘zuerst Kopf, dann wieder Kopf’.
Erkläre.
(d) Begründe, dass P (KK) = 41 , wobei KK für ‘zweimal Kopf’ steht. Berechne auch
P (KM ), P (M K) und P (M M ).
(e) Berechne P (M M ) + P (M K) + P (KM ) + P (KK). Erkläre das Ergebnis.
Aufgabe 3. Wir bleiben noch beim Werfen mit einer ehrlichen Münze. Dass P (M ) = 1/2
läßt sich auch interpretieren als: ‘wenn ich oft werfe, wird in etwa die Hälfte der Fälle Münze
geworfen werden’. Um dann P (M M ) auszurechnen kann ich wie folgt argumentieren: in der
Hälfte der Fälle werfe ich zuerst M , und dann in der Hälfte der Fälle, wo ich M geworfen habe,
kommt wieder M heraus. Also in der Hälfte der Hälfte der Fälle kommt M M heraus, wenn ich
zweimal werfe. Also P (M M ) = 1/4.
(a) Begründe auf ähnliche Weise, dass P (KM ) = 1/4.
(b) Begründe auf ähnliche Weise, dass P (KKM ) = 1/8.
1
Obiges kann man dann mitAnfang
tels eines Baumdiagramms
darstellen, so wie hierneben.
Bei jedem Pfeil kann man
die Wahrscheinlichkeit dazu
schreiben; also von K geht
K
M
(c)
ein Pfeil nach KK, und die
1
2
Wahrscheinlichkeit, dass du
nach einem K noch einmal
K wirfst ist 1/2. Schreibe KK
KM
MK
MM
die anderen Wahrscheinlichkeiten zu den Pfeilen dazu!
(d) Mache auch ein Baumdiagramm wie bei (c), aber dann für da dreimal Werfen einer
ehrlichen Münze.
(e) Benutze deine Argumentation bei (b), um zu begründen, dass man ‘Wahrscheinlichkeiten
beim Diagramm hinunter mit einander multipliziert’.
(f ) Berechne P (M M K) mittels Baumdiagramm.
(g) Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit wissen, mit der das Ereignis B =‘beim dreimal Werfen werfen wir zweimal Münze’ eintritt. Dazu machen wir zuerst eine Liste der
möglichen Ereignisse mit der Eigenschaft, dass wir zweimal Münze würfeln. Das sind
dann: M M K, M KM , KM M . Begründe, dass P (B) = 3/8.
(h) Begründe warum man sagt, dass man bei einem Baumdiagramm ‘die Wahrscheinlichkeiten horizontal nur addiert’.
(i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimal Werfen einmal Kopf geworfen wird.
(j) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimal Werfen wir mindestens zweimal Kopf
werfen.
Aufgabe 4. Noch eine Aufgabe mit einer ehrlichen Münze. Stellen wir vor, wir werfen fünf
mal.
(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit P (M M KKK)?
(b) Wie wahrscheinlich ist es, dass wir bei fünf mal werfen genau zweimal Kopf werfen?
Siehst du, dass Kombinatorik wichtig ist?
(c) Wie wahrscheinlich ist es, dass wir höchstens einmal Kopf werfen?
(d) Definiere zwei Ereignisse A =‘wir werfen mindestens zweimal Kopf’ und B =‘wir werfen
höchstens einmal Kopf’. Warum muss gelten, dass P (A) + P (B) = 1?
(e) Berechne mit dem vorigen Ergebnis P (A) so effizient wie möglich.
(f ) Auf diese Weise können wir auch leicht die Wahrscheinlichkeit, dass wir höchstens vier
Mal Kopf werfen, berechnen. Das komplementäre Ereignis ist dann, dass wir fünf Mal
Kopf werfen, weil entweder werfen wir höchstens vier Mal Kopf, oder wir werfen fünf Mal
Kopf. Die sogenannte Gegenwahrscheinlichkeit ist dann, die Wahrscheinlichkeit, mit der
wir fünf Mal Kopf werfen. Berechne diese Gegenwahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit, dass wir höchstens vier Mal Kopf werfen.
Aufgabe 5. Begründe, dass allgemein gelten muss P (A) + P (‘nicht′ A) = 1. Meistens wird
dies benutzt als P (A) = 1 − P (‘nicht′ A), wenn P (‘nicht′ A) leichter als P (A) auszurechnen ist.
Aufgabe 6. Beim Würfeln sieht man auch den theoretischen Aspekt des Wahrscheinlichkeitsbegriffs; wir nehmen dazu an, dass der Würfel ehrlich ist. Wir bezeichnen mit X die Variable,
die das Ergebnis eines Wurfes beschreibt; also X = 1 heißt, man würfelt 1, X = 2 heißt,
man würfelt 2, usw. Die Variable X kann also nur sechs Werte annehmen, und eine Variable,
die den Ausgang eines Zufallsexperiments - wie des Würfelns - beschreibt, nennt man eine
Zufallsvariable.
2
(a)
Begründe, dass aus der Ehrlichkeit des Würfels folgt, dass P (X = 1) = P (X = 2) =
. . . = P (X = 6) = 1/6.
(b) Mache ein Baumdiagramm für ein Zufallsexperiments, bei dem wir zweimal würfeln.
(c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass wir zuerst einen sechser und dann einen fünfer
würfeln.
(d) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenanzahlen bei zweimal würfeln
sieben beträgt. Hinweis: welche Möglichkeiten gibt es, um in zwei Würfen insgesamt sieben zu würfeln?
(e) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass du in zwei Würfen insgesamt mindestens 3 wirfst.
Hinweis: Gegenwahrscheinlichkeit - was musst du werfen, sodass du nicht mindestens
drei würfelst?
(f ) Wenn wir zehn mal würfeln, was ist wahrscheinlicher: das Ereignis 1 − 5 − 3 − 6 − 2 −
2 − 3 − 1 − 6 − 6 oder 6 − 6 − 6 − 6 − 6 − 6 − 6 − 6 − 6 − 6?
(g) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei zehnmal würfeln
fünfmal einen Einzer
gewürfelt haben und fünf mal einen Sechser? Hinweis: 10
siehe
Kombinatorik.
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(h) BONUS: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei zehn mal würfeln fünfmal einen
Einzer gewürfelt haben und dreimal
einen Zweier und zweimal einen Dreier? Hinweis:
Die Verallgemeinerung von nk - siehe Kombinatorik.
Aufgabe 7. Wenn wir davon ausgehen, dass der Geburtstag von Personen mit Zufall - also
ehrlich - verteilt ist, was ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 26 Schülern
mindestens zwei Schüler am selben Tag Geburtstag haben? Hinweis: hier kannst du Aufgabe 4
vom Kombinatorikblatt benutzen.
Aufgabe 8. [BONUS NOTORIOUS]
Forsche etwas im Internet und erkläre, was die Rolle der Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik ist, sodass du mir erklären kannst, warum Einstein sagte, dass Gott nicht würfele.
Empirische Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 9. Manche Wahrscheinlichkeiten werden empirisch bestimmt. Zum Beispiel, die
Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ungeborenen Trisomie-21 (Down-Syndrom) vorliegt, ist empirisch auf etwa 1/500 festgelegt. Das heißt, dass bei etwa eins auf 500 Ungeborenen Trisomie-21
festgestelt wird.
(a) Wie würdest du die Wahrscheinlichkeit, dass du mit einer wirklichen Münze Münze wirfst
bestimmen, wenn du weißt, dass die Münze vielleicht nicht ehrlich ist?
(b) Bestimme aus obigen Daten die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Familie mit drei
Kindern (und Abtreibung ist in der Familie nicht vorgekommen), mindestens ein Kind
Trisomie-21 hat.
(c) Es existiert natürlich einen Test auf Trisomie-21 Ungeborenen. Wir nehmen einen hypothetischen Test, um die Zahlen etwas übersichtlicher zu machen. Stellen wir uns also
folgende Zahlen vor: wenn Trisomie-21 vorliegt, dann ist das Testergebnis mit 95% positiv, wenn Trisomie-21 nicht vorliegt, dann ist das Testergebnis mit 98% negativ. Diese
Zahlen sind natürlich empirisch bestimmt; man hat viele Testergebnisse gesammelt, und
nachher nachgefragt, ob das Kind wirklich (bzw. wirklich nicht) Trisomie-21 hatte.
3
Wir können diese Daten in
Anfang
einem Baumdiagramm bearbeiten; T heißt ‘Trisomie21 liegt vor’, N T heißt
‘Trisomie-21 liegt nicht vor’,
EP heißt ‘Testergebnis poT
NT
sitiv’ und EN heißt ‘Testergebnis negativ’, - siehe hierneben. Deine Aufgabe ist es,
die Wahrscheinlichkeiten zu EP
EN
EP
EN
den Pfeilen dazu zu schreiben.
(d) Betrachte jetzt eine Probe von 100.000 Ungeborenen. Bei wie vielen wird das Testergebnis
positiv sein, obwohl doch kein Trisomie-21 vorhanden sein wird? Und bei wie vielen wird
das Testergebnis positiv sein, wo auch Trisomie-21 vorhanden sein wird?
(e) Berechne den Ratio von der Anzahl der Fälle, wo Testerebnis positiv war, obwohl kein
Trisomie-21 vorliegt, zu der Anzahl der Fälle, wo Testerebnis positiv war.
(f ) Ändert sich dieser Ratio, wenn wir statt 100.000 Proben 1.000.000 Proben nehmen?
(g) Du hast bei den vorigen Aufgaben eine bedingte Wahrscheinlichkeit ausgerechnet: du
hast die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass kein Trisomie-21 vorliegt, unter der Bedingung, dass der Test positiv ist. Begründe diese Aussage mit dem Begriff der empirischen Wahrscheinlichkeit.
(h) Berechne die Wahrscheinlichkeit dass Trisomie-21 vorliegt, unter der Bedingung, dass
der Test negativ ist.
Aufgabe 10. Betrachte unterstehende Tabelle (mit hypothetischen Zahlen), die wie folgt zu
verstehen ist: von der Bevölkerung ist 15% rothaarig und hat viele Sommersprossen,
von der Bevölkerung ist
Rothaarig Nicht rothaarig
15% nicht rothaarig und hat
Viel Sommersprossen
15%
15%
(trotzdem) viele SommerWenig Sommersprossen
5%
65%
sprosse, usw.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewählte Person rothaarig ist.
(b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewählte Person viele Sommersprossen hat.
(c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewählte rothaarige Person viele
Sommersprossen hat. Hinweis: Nimm eine Probe von 100.000 Menschen und betrachte
einen bestimmten Ration.
Subjektive Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 11. Manchmal behaupten Personen, eine Wahrscheinlichkeit zu wissen, die schwierig
oder gar nicht empirisch nachzuweisen sind.
(a) Wenn ein Techniker behauptet, dass bei einem Modell AKW die Wahrscheinlichkeit
eines Supergaus 0, 001% ist, wie könnte er das meinen? Wie wird er seine Behauptung
begründen können?
(b) Wenn ich behaupte, dass eine Aufgabe 50% Wahrscheinlichkeit hat, bei einer SA in
bestimmter Form vorzukommen, was werde ich damit meinen?
(c) Nenne einige Beispiele, wo du selbst eine subjektive Wahrscheinlichkeit benutzt.
(d) Finde Aussagen von Politikern, die eher subjektiv als empirisch zu begründen sind.
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