M-Ordnerinhalte Kl_ 8-10 _07-10

RS Überlingen, Straub
A
Zahlbereiche
1.
2.
3.
4.
B
Algebra
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
C
Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
Prozentrechnen [ G+, G-, Verknüpfung von Prozentsätzen, Schaubilder ]
Zinsrechnen, Zinseszins, Zuwachssparen, Ratensparen [ z.B.
Daten und Zufall
1.
2.
F
Dreieckstypen, Viereckstypen
Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken und Vielecken
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Höhe, Seitenhalbierende
Winkelsumme und Konstruktionen
Kreis, Kreisberechnungen [ π ]
Zentrische Streckung, Strahlensätze
Satzgruppe des Pythagoras [ z.B. a² + b² = c² ]
Trigonometrie [ sin, cos, tan ]
Würfel, Quader, Gerade Prismen
Zylinder, Kugel
Pyramide, Kegel
Zusammengesetzte Körper, Drehkörper
Sachrechnen
1.
2.
3.
E
Terme
Binomische Formeln
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungssysteme
Quadratische Gleichungen
Bruchterme, Bruchgleichungen
Lineare Funktionen [ y = mx + b ]
Quadratische Funktionen [ z.B. y = (x – d)² + c ]
Geometrie, Stereometrie
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
D
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Potenzen (große/kleine Zahlen, Potenzgesetze)
Wurzeln, reelle Zahlen
Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit
Statistik
Sonstiges
Wiederholung
Vermischtes
Prüfungsvorbereitung
G
Schriftliche Arbeiten
Klassenarbeiten
Kurztests
Verbesserungen
n
Kn = K0 q ]
Begriffe
Zur Darstellung und Beschreibung von Temperaturangaben unter Null, Schulden oder
Tiefenangaben setzt man ein Minuszeichen vor die natürliche Zahl, z.B. -8; -17; -35. Diese Zahlen
heißen negative ganze Zahlen. Zur deutlicheren Unterscheidung kann man vor positive ganze
Zahlen das Vorzeichen + setzen, z.B. +8; +17; +35
Die Menge der positiven ganzen Zahlen Z + entspricht der Menge der natürlichen Zahlen N:
Z + = N = {0;1; 2; 3 ;...}
Die Menge der positiven ganzen Zahlen Z + = {0; 1; 2; 3; ...} und
A 1. Ganze Zahlen
A 1. Ganze Zahlen
die Menge der negativen ganzen Zahlen Z − = {− 1; − 2; − 3; ...} bilden zusammen
die Menge der ganzen Zahlen Z = {...; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; ...}
Soll die Zahl 0 ausgeschlossen werden, so schreibt man Z*
Den Abstand einer ganzen Zahl zur Zahl 0 nennt man ihren Betrag
Wir schreiben dafür z.B. − 5
(lies "Betrag von minus 5")
Es gilt z.B. − 5 = 5 oder + 12 = 12
Zwei verschiedene Zahlen, die den selben Abstand zur Zahl 0 besitzen, nennt man Gegenzahlen
z.B. -16 und +16 sind Gegenzahlen
Gegenzahlen haben den gleichen Betrag, z.B. − 34 = + 34 = 34
Darstellung
Man erweitert den Zahlenstrahl zur Zahlengeraden
+3
-7
-6
-5
-4
-4
-3
negative ganze Zahlen
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
positive ganze Zahlen
Rechts der Null stehen die positiven ganzen Zahlen mit dem Vorzeichen +
Links der Null stehen die negativen ganzen Zahlen mit dem Vorzeichen Die kleinere von zwei ganzen Zahlen liegt auf der Zahlengeraden weiter links, z.B. –5<2
Auf der Zahlengeraden bedeutet eine Zunahme eine Bewegung nach rechts, eine Abnahme eine
Bewegung nach links:
Zunahmen lassen sich durch positive Zahlen beschreiben (z.B. +3)
Abnahmen lassen sich durch negative Zahlen beschreiben (z.B. -4)
Rechnen mit ganzen Zahlen
Für die ganzen Zahlen gelten die gleichen Rechengesetze wie für die rationalen Zahlen (siehe A. 2)
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Begriffe
Die Menge der ganzen Zahlen Z = {...; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; ...} erweitert durch die Menge der
3
positiven und negativen Bruchzahlen (z.B. − 4,7; − 2 10
; − 0,5; + 34 ; + 3,9 ) bezeichnet man als die
Menge der rationalen Zahlen Q
Für die rationalen Zahlen gelten die gleichen Begriffe wie für die ganzen Zahlen (siehe A. 1)
Darstellung
Alle rationalen Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, z.B.
-2 103
-4,7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-0,5
-1
+
0
3
4
+1
+2
+2
1
5
A 2. Rationale Zahlen
A 2. Rationale Zahlen
+3,9
+3
+4
+5
+6
+7
positive rationale Zahlen
negative rationale Zahlen
Allgemeine Begriffe und Rechengesetze
Addition:
Summand + Summand = Summe
Subtraktion:
Minuend - Subtrahend = Differenz
Multiplikation: Faktor ⋅ Faktor = Produkt
z.B. ( +5,2) + ( −12) = ( −6,8)
z.B. ( −6,8) − ( +5,2) = ( −12)
z.B. ( −7) ⋅ ( +0,5) = ( −3,5)
Division:
Dividend : Divisor = Quotient
z.B. ( −3,5) : ( +0,5) = ( −7)
Für die Rechenreihenfolge gilt immer “Klammer vor Punkt vor Strich”:
Klammern berechnen (von innen nach außen) Punktrechnungen ( ⋅ : ) Strichrechnungen ( + − )
Bei Brüchen ersetzt der Bruchstrich die Klammern um Zähler und Nenner
Ein Rechenausdruck wird stets nach der Rechenart benannt, die zuletzt ausgeführt wird
Beim Rechnen sind folgende Gesetze hilfreich:
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) a + b = b + a
a ⋅b = b ⋅a
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
(a + b) + c = a + (b + c )
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Rechengesetze für rationale Zahlen
Für die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen kann die Schreibweise vereinfacht werden:
a + ( + b) = a + b
z.B. ( +17) + ( +24) = 17 + 24 = 41
a − ( +b) = a − b
z.B. ( +17) − ( +24) = 17 − 24 = −7
a + ( −b) = a − b
z.B. ( +17) + ( −24) = 17 − 24 = −7
a − ( −b) = a + b
z.B. ( +17) − ( −24) = 17 + 24 = 41
Beim Auflösen einer “Plusklammer” bleiben die Vorzeichen in der Klammer gleich
z.B. 42 + ( −26,3 + 19 − 2,91) = 42 − 26,3 + 19 − 2,91
Beim Auflösen einer “Minusklammer” ändern sich die Vorzeichen in der Klammer
z.B. 42 − ( −26,3 + 19 − 2,91) = 42 + 26,3 − 19 + 2,91
Bei der Multiplikation oder Division zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv,
bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ
+ ⋅ + = +
z.B. ( +7) ⋅ ( +4) = +28
+ : + = +
z.B. ( +16) : ( +8) = +2
+ ⋅ − = −
z.B. ( +6) ⋅ ( −2) = −12
+ : − = −
z.B. ( +36) : ( −9) = −4
− ⋅ + = −
z.B. ( −1,5) ⋅ ( +3) = −4,5
− : + = −
z.B. ( −7,5) : ( +3) = −2,5
− ⋅ − = +
z.B. ( −4) ⋅ ( −2,5) = +10
− : − = +
z.B. ( −6) : ( −1,5) = +4
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Die Potenz a 2 ist ein Produkt mit n gleichen Faktoren a, z.B. 3 7 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
Im folgenden Beispiel ist 5 die Basis (Grundzahl), 4 der Exponent (Hochzahl) und 625 der
Potenzwert: 5 4 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625
A 3. Potenzen
A 3. Potenzen
Eigenschaften
Bei einer negativen Basis gilt für einen
geraden Exponenten positiver Potenzwert, z.B. ( −2) 4 = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = 16
ungeraden Exponenten negativer Potenzwert, z.B. ( −2) 5 = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = −32
Potenzen der Form a 2 heißen Quadratzahlen, Potenzen der Form a 3 heißen Kubikzahlen
Für den Exponenten 1 gilt bei jeder Basis a ≠ 0 : a1 = a , z.B. 171 = 17
Für den Exponenten 0 gilt bei jeder Basis a ≠ 0 : a 0 = 1, z.B. ( −42) 0 = 1
Ein negativer Exponent über einer ganzzahligen Basis a bedeutet, dass der Kehrbruch der Potenz
gebildet werden muss: a − n = 1 [a ≠ 0 ]
a
n
Dies gilt auch für negative Exponenten über einem Bruch:
(ab )−n = (ba )n [a,b ≠ 0]
Große Zahlen
Große Zahlen lassen sich als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz
10 n darstellen, z.B. 65200000 = 6,25 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 6,26 ⋅ 107
Im Zusammenhang mit Größen werden bei Zehnerpotenzen, deren Exponenten ein Vielfaches von 3
sind, oft Vorsilben benutzt, z.B.
10 3 Ω
= 1 000 Ω
= 1 Kiloohm (k Ω )
10 6 Hz
9
10 GB
10
12
Tm
=
1 000 000 Hz
=
1 Megaherz (MHz)
=
1 000 000 000 GB
=
1 Gigabyte (GB)
=
1 000 000 000 000 Tm =
1 Terameter (Tm)
Kleine Zahlen
Kleine Zahlen lassen sich als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz 10 n
1
darstellen, z.B. 0,000 025 8 = 2,58 ⋅ 100000
= 2,58 ⋅ 1015 = 2,58 ⋅ 10 −5
Im Zusammenhang mit Größen werden häufig Vorsilben benutzt, die den Exponenten der
Zehnerpotenz bestimmen, z.B.
10 −1 m
=
1
10
10 −2 m
=
1
100
10 −3 l
=
1
1000
10 −6 g
=
1
1000000
10 −9 s
=
1
1000000000
10 −12 F
=
1
1000000000 000
=
0,1 m
=
1 Dezimeter (dm)
m
=
0,01 m
=
1 Zentimeter (cm)
l
=
0,001 l
=
1 Milliliter (ml)
=
0,000 001 g
=
1 Mikrogramm (g)
=
0,000 000 001 s
=
1 Nanosekunde (ns)
=
0,000 000 000 001 F =
m
g
s
F
1 Picofarad (pF)
Potenzgesetze
Für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen gilt bei
gleicher Basis
a m ⋅ a n = a m +n
und
am
an
gleichen Exponenten
a n ⋅ b n = (a ⋅ b )n
und
an
bn
( )
Für das Potenzieren von Potenzen gilt a m
n
= a m−n
= (ba )
n
[a ≠ 0]
[a,b ≠ 0]
= a m⋅n
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Die n-te Wurzel einer positiven Zahl b ist die Zahl a, deren n-te Potenz gleich der Zahl b ist:
n
b = a , wenn a n = b und b ≥ 0 (z.B.
Im Term
Statt
n
n
3
64 = 4 , da 4 3 = 64 )
b bezeichnet man b als Radikand und n als Wurzelexponent
1
b kann man auch die Schreibweise b n verwenden (z.B.
4
1
16 = 16 4 = 2 )
Bei Quadratwurzeln kann man auf den Wurzelexponent verzichten: 2 5 = 5
Das Berechnen des Wurzelwertes nennt man Radizieren oder Wurzel ziehen
Die Zahlen aus Menge der rationalen Zahlen Q lassen sich als abbrechende oder periodische
Dezimalbrüche darstellen. Zahlen, die sich nicht so darstellen lassen (z.B. 2 = 1,414... ,
π = 3,141... ), heißen irrationale Zahlen. Die Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen bilden
zusammen die Menge der reellen Zahlen R.
A 4. Wurzeln, reelle Zahlen
A 4. Wurzeln, reelle Zahlen
Eigenschaften/Rechengesetze
Eine Wurzel ist immer positiv
Es gilt 0 = 0
Da man statt der Wurzelschreibweise immer auch die Potenzschreibweise verwenden kann, gelten
auch hier die Gesetze für Potenzen (siehe A 3).
Für das Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln gilt daher bei
a ⋅ n a = m +n a
und
a ⋅n b = n a⋅b
und
m
a
a
= m−n a
a
b
=n
a≥0
gleichen Radikanden
m
gleichen Wurzelexponenten
n
Beim teilweisen Wurzelziehen (teilweisen Radizieren) wird der Radikand so in ein Produkt
umgewandelt, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist, z.B.
n
n
n
a
b
a,b ≥ 0
75 = 25 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 5 3
Wurzeln im Nenner eines Bruchs können durch Erweitern mit einer Wurzel beseitigt werden. Man
nennt dies Rationalmachen des Nenners, z.B.
28
7
=
28
7
⋅
7
7
=
( 7)
28⋅ 7
2
=
28⋅ 7
7
=4 7
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Terme sind Rechenausdrücke, in denen Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vorkommen
können
z.B. (x + 2 ) − x
Ersetzt man die Variablen durch Zahlen, so lassen sich Termwerte berechnen
z.B. für a = 7 und b = 3 ist der Termwert von 5 ⋅ a + 4 ⋅ b ⇒ 5 ⋅ 7 + 4 ⋅ 3 = 35 + 12 = 47
In einem Term wie 6 ⋅ x ist 6 der Zahlfaktor (Koeffizient)
Unterscheiden sich Terme wie 5x, 6x und 13x nur in ihrem Koeffizienten, nennt man sie gleichartig
Die Terme w + 4 w und 5 w liefern den selben Wert, das heißt sie sind gleichwertig (äquivalent)
Termumformungen wandeln einen Term in einen äquivalenten Term um
B 1. Terme
B 1. Terme
Rechengesetze
Zwischen dem Koeffizienten und der folgenden Variablen und zwischen Variablen darf der Malpunkt
wegfallen, z.B. 3 ⋅ y ⋅ z = 3yz
Malpunkte zwischen Faktoren und nachfolgenden Klammern dürfen wegfallen, z.B.
7 ⋅ ( e + f ) = 7( e + f )
Der Koeffizient 1 darf wegfallen, z.B. 1 ⋅ b = 1b = b oder ( −1) ⋅ c = −1c = −c
Gleichartige Terme lassen sich durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen,
verschiedenartige dagegen nicht, z.B. 5a + 2b − a + 9b = 4a + 11b
Ein Produkt aus Termen lässt sich vereinfachen, indem man die Zahlfaktoren und die Variablen
getrennt multipliziert, z.B. 2x ⋅ 9y = ( 2 ⋅ 9) ⋅ x ⋅ y = 18xy
Beim Dividieren durch eine Zahl wird nur der Koeffizient dividiert
Kommen beim Multiplizieren von Termen gleiche Variablen vor, werden sie als Potenz geschrieben,
z.B. 3ab ⋅ 4ab ⋅ 5ac = (3 ⋅ 4 ⋅ 5) ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ b ⋅ b⋅ = 60a 3b 2 c
Beachte den Unterschied zwischen z.B. a + a = 2a und a ⋅ a = a 2
Es gelten das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (siehe Kap. A),
z.B. Addition einer Summe:
a + (b + c ) = a + b + c (Auflösen einer Plusklammer)
a − (b + c ) = a − b − c (Auflösen einer Minusklammer)
Subtraktion einer Summe:
Multiplikation einer Summe: a ⋅ (b + c ) = ab + ac
(Ausmultiplizieren)
Division einer Summe:
(a + b) : c = a : c + b : c
Das Ausklammern (Faktorisieren) ist der umgekehrte Vorgang des Ausmultiplizierens,
z.B. 6ab + 8ac = 2a ⋅ 3b + 2a ⋅ 4c = 2a(3b + 4c )
Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Summe
mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert, z.B.
(a + 2b) ⋅ (3c + d) = 3ac + ad + 6bc + 2bd
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Da Terme wie (a + b) oder (a – b) aus zwei Summanden bestehen, bezeichnet man diese Ausdrücke
als Binome
binomis (lat.): zweinamig
Bei der 1. und 2. binomischen Formel wird das „2ab-Glied“ als gemischtes Glied bezeichnet
Formeln
Die 1. binomische Formel lautet
Die 2. binomische Formel lautet
Die 3. binomische Formel lautet
B 2. Binomische Formeln
B 2. Binomische Formeln
(a + b)(a + b) = (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)(a – b) = (a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b)
= a² – b²
Für Vergessliche: Die Formeln können durch Ausmultiplizieren und anschließendes Zusammenfassen hergeleitet werden
Beispiele
Beispiele zur 1. binomischen Formel:
(x + 3)² = x² + 6x + 9
(d + 2e)² = d² + 4de + 4e²
(3p + 4q)² = 9p² + 24pq + 16q²
Beispiele zur 2. binomischen Formel:
(x – 5)² = x² – 10x + 25
(d – 5e)² = d² – 10de + 25e²
(3p – 8q)² = 9p² – 48pq + 64q²
Beispiele zur 3. binomischen Formel:
(x + 3)(x – 3) = x² – 9
(m + 5n)(m – 5n) = m² – 25n²
(7p + 8q)(7p – 8q) = 49p² – 64q²
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind
z.B. 4a = 26
Bei einer linearen Gleichung kommt die Variable nur in der ersten Potenz vor, z.B. x 1 = x
Die Zahlen, die für die Variable einer Gleichung eingesetzt werden dürfen, bilden die Grundmenge
G
z.B. G = die Menge aller ungeraden Zahlen oder G = IN (Menge der natürlichen Zahlen)
Setzt man Zahlen aus der Grundmenge in eine Gleichung ein, so entsteht eine wahre (w) oder eine
falsche (f) Aussage
Die Zahl oder die Zahlen, die zu einer wahren Aussage führen, bilden die Lösungsmenge L
z.B. ist bei der Gleichung 3 x + 6 = 22 − x mit G = IN die Lösungsmenge L = {4}
B 3. Lineare Gleichungen
B 3. Lineare Gleichungen
Für eine unerfüllbare Gleichung gilt L = { }
Für eine allgemeingültige Gleichung gilt L = G
Gleichungen mit gleichen Lösungsmengen nennt man äquivalent (gleichwertig)
Lösungsverfahren
Einfache Gleichungen kann man durch gezieltes Probieren lösen
Zur rechnerischen Lösung einer Gleichung wendet man Äquivalenzumformungen an:
Man darf auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Zahl addieren oder subtrahieren
Man darf beide Seiten der Gleichung mit der selben Zahl (außer 0) multiplizieren oder dividieren
Vor den Äquivalenzumformungen ist es manchmal nötig, die Gleichung durch Termumformungen
zu vereinfachen (z.B. durch Ausmultiplizieren, Klammern auflösen oder Zusammenfassen der
Terme)
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem
Die Lösungsmenge L des linearen Gleichungssystems LGS erfüllt beide Gleichungen
Lösungsverfahren
Grafische Lösung: Die Koordinaten des Schnittpunkts S(xs|ys) der beiden Geraden geben die
Lösungsmenge L={(xs;ys)} des LGS an
Rechnerische Lösung:
Zunächst ermittelt man mit einem der drei nachfolgend beschriebenen Verfahren (abhängig von der
Aufgabenstellung) den Wert für die erste Variable. Dieser Wert wird zur Bestimmung des zweiten
Variablenwerts in eine der angegebenen Gleichungen eingesetzt.
Gleichsetzungsverfahren:
(1)
y = 5x − 7
(2)
y = 2x + 2
| Gleichsetzen von (1) und (2)
| Term- und Äquivalenzumformungen
5 x − 7 = 2x + 2
x=3
Einsetzen in (1)
y = 5 ⋅3 − 7 = 8
B 4. Lineare Gleichungssysteme
B 4. Lineare Gleichungssysteme
L = {(3;8)}
Einsetzungsverfahren:
(1)
5 x + 3y = 4
(2)
y = 1 − 2x
| Einsetzen von (2) in (1)
5 x + 3(1 − 2x ) = 4 | Term- und Äquivalenzumformungen
x = −1
Einsetzen in (2)
y = 1 − 2 ⋅ ( −1) = 3
L = {( −1;3)}
Additionsverfahren:
(1)
3 x + 2y = 14
5 x − 2y = 2
8 x + 0 = 16
x=2
Einsetzen in (1)
3 ⋅ 2 + 2y = 14
y=4
(2)
| Addieren von (1) und (2)
| Term- und Äquivalenzumformungen
L = {( 2;4)}
Eigenschaften
Die Lösungsmenge eines LGS kann grafisch veranschaulicht werden: Ein LGS hat
genau eine Lösung L={(xs;ys)}, wenn sich die Geraden in einem Punkt S(xs|ys) schneiden
keine Lösung L={ }, wenn die beiden verschiedenen Geraden parallel verlaufen
unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden zusammen fallen
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Begriffe
Bei rein-quadratischen Gleichungen kommt die Lösungsvariable x ausschließlich im Quadrat vor:
ax 2 + c = 0
Bei gemischt-quadratischen Gleichungen tritt Lösungsvariable x sowohl im Quadrat als auch in
der ersten Potenz auf: ax 2 + bx + c = 0
Dividiert man diese gemischt-quadratische Gleichung durch a und ersetzt man die entstehenden
Brüche durch p und q, so entsteht die Normalform: x 2 + px + q = 0
In der p,q-Lösungsformel x1,2
= −
p
±
2
()
p 2
−q
2
bezeichnet man den Radikanden
()
p 2
−
2
q als
Diskriminante
Lösungsverfahren
Lösungsschritte für die grafische Lösung:
Die zugehörige Funktionsgleichung bilden: y = x 2 + px + q
Diese Funktionsgleichung auf die Scheitelform umstellen: y = x +
()
(
)
p 2
2
+q−
B 5. Quadratische Gleichungen
B 5. Quadratische Gleichungen
()
p 2
2
2
Die Scheitelkoordinaten S − p2 | q − p2  ablesen und die verschobene Normalparabel zeichnen


Die x-Werte der Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) ablesen
Die Lösungsmenge angeben
Lösungsschritte für die rechnerische Lösung:
Die gemischt-quadratische Gleichung auf die Normalform umstellen: x 2 + px + q = 0
Die p,q-Lösungsformel anwenden: x1,2
Die Lösungsmenge angeben
= −
p
±
2
()
p 2
−q
2
Eigenschaften
Ist die Diskriminante größer als Null, so hat die Gleichung zwei Lösungen
⇒ L = {x1; x 2 } ⇒ zwei Nullstellen
Ist die Diskriminante gleich Null, so hat die Gleichung eine Lösung
⇒ L = {x 0 } ⇒ eine Nullstelle
Ist die Diskriminante kleiner als Null, so hat die Gleichung keine Lösung
⇒ L = { } ⇒ keine Nullstelle
Der Satz von Vieta: Sind x1 und x2 Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 , dann gilt:
x 1 + x 2 = −p und x 1 ⋅ x 2 = q
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Terme, die im Nenner eine Variable enthalten, heißen Bruchterme
Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen der Grundmenge, die in einen Bruchterm eingesetzt
werden dürfen
Bei Bruchgleichungen kommt die Lösungsvariable in mindestens einem Nenner vor
Lösungsverfahren
Bestimmung der Definitionsmenge: Setzt man den bzw. die Nenner gleich Null, kann man die
auszuschließenden Zahlen bestimmen
Die Lösungsschritte für das Lösen einer Bruchgleichung sind:
Den Hauptnenner bestimmen:
z.B. Nenner1: 2 x − 3 , Nenner2: 4 x − 6 , Nenner3: 2x ⇒ HN: 2 x( 2 x − 3 )
Die Definitionsmenge festlegen:
z.B. D = R\ {2;−5}, wenn die Zahlen 2 bzw. 5 zu Nennern gleich 0 führen
Die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren
Durch Kürzen eine Gleichung ohne Bruchterme herstellen
Die Gleichung lösen
Die in der Definitionsmenge enthaltenen Lösungen angeben (die Lösungsmenge L bestimmen)
B 6. Bruchterme, Bruchgleichungen
B 6. Bruchterme, Bruchgleichungen
Beispiele
Bestimmung der Definitionsmenge
3
4 x −3
4x − 3 = 0
x = 34
| + 3 |: 4
⇒ D = Q\ {34 }
lies „Die Definitionsmenge ist die Menge aller rationalen Zahlen ohne die Zahl
3
4
“
Lösen einer Bruchgleichung
x +8
3
3
=
−
x( x + 2 )
x
x +2
Bestimmung des Hauptnenners durch Faktorisieren:
x( x + 2)
Nenner1:
Nenner2:
x
x+2
Nenner3:
⇒ HN:
x( x + 2)
Bestimmung der Definitionsmenge:
x( x + 2) = 0
x 1 = 0 ; x 2 = −2
D = Q\ {0;−2}
lies „Die Definitionsmenge ist die Menge aller rationalen Zahlen ohne die Zahlen 0 und –2“
Lösung der Gleichung:
x +8
3
3
=
−
x( x + 2 )
x
x +2
| ⋅ HN | Kürzen
x + 8 = 3( x + 2) − 3 | Termumformungen
| −8
x+8 =6
x = −2
L = { } d.h. die Lösungsmenge ist leer, da –2 nicht zur Definitionsmenge gehört
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Lineare Funktionen sind eindeutige Zuordnungen, bei denen die Variable nur in der ersten Potenz
vorkommt
Hauptform:
y = mx + b
Punkt-Steigungs-Form: m =
y − y1
x − x1
Zwei-Punkte-Form:
m=
y − y1
x − x1
=
y 2 − y1
x 2 − x1
Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade mit
der Steigung m
dem y-Achsenabschnitt b und dem Schnittpunkt (0|b)
dem x-Achsenabschnitt und der Nullstelle (xN|0)
B 7. Lineare Funktionen
B 7. Lineare Funktionen
Eigenschaften
Für b = 0 verläuft das Schaubild durch den Ursprung O(0|0). Man spricht in diesem Fall von einer
proportionalen Funktion
Die Gerade verläuft für
m = 0 parallel zur x-Achse
m > 0 von links unten nach rechts oben
m < 0 von links oben nach rechts unten
Beispiele
a) y = 3 x − 1
b) y = −2 x + 1
c) y =
2
3
x−3
a)
b)
c)
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Funktionen, bei denen die Variable im Quadrat vorkommt, werden als quadratische Funktionen
bezeichnet: y = ax 2 + bx + c bzw. in der Scheitelformdarstellung y = a(x +
Die Schaubilder quadratischer Funktionen heißen Parabeln
)
b 2
2a
+c−
b2
4a
Das Schaubild der einfachsten quadratischen Funktion y = x 2 heißt Normalparabel
Bei rein-quadratischen Funktionen kommt die Variable ausschließlich im Quadrat vor: y = ax 2 + c
Das Schaubild der Funktion y = x 2 + px + q (ohne Faktor a) ist eine verschobene Normalparabel
(
Umgestellt auf die Scheitelform lautet diese Funktionsgleichung y = x +
)
p 2
2
+q−
()
p 2
2
Vereinfacht wird die verschobene Normalparabel auch mit y = (x − d ) + c dargestellt,
wobei d die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung angibt
Den tiefsten bzw. höchsten Punkt einer Parabel bezeichnet man als Scheitel S
2
B 8. Quadratische Funktionen
B 8. Quadratische Funktionen
Eigenschaften
Der Scheitel der Normalparabel ist der Punkt S(0 | 0)
Der Scheitel der rein-quadratischen Funktion ist der Punkt S(0 | c )
Der Scheitel der verschobenen Normalparabel mit der Funktionsgleichung y = x 2 + px + q ist der
Punkt S −

p
2
|q−
( )  bzw. mit der Funktionsgleichung y = (x − d)
p 2
2
2
+ c der Punkt S(d | c )
(
Der Scheitel der allgemeinen quadratischen Funktion ist der Punkt S −
b
2a
|c−
b2
4a
)
Bei quadratischen Funktionen bestimmt
a die Form und die Öffnungsrichtung der Parabel:
| a | > 1 ⇒ die Parabel wird schlanker,
| a | < 1 ⇒ die Parabel wird breiter
a > 0 ⇒ die Parabel ist nach oben geöffnet,
a < 0 ⇒ die Parabel ist nach unten geöffnet
c die Lage der Parabel:
c > 0 ⇒ die Parabel ist nach oben verschoben, c < 0 ⇒ die Parabel ist nach unten verschoben
Beispiele
y = x²
y = –3x² + 4
y = 2x²-12x – 13
RS Überlingen, Straub
Dreiecktypen
Einteilung der Dreiecke nach der Größe ihrer Winkel:
Ein Dreieck, dessen Winkel alle kleiner als 90° sin d, heißt spitzwinklig
Ein Dreieck mit einem 90°-Winkel heißt rechtwinklig
Ein Dreieck mit einem Winkel, der größer ist als 90°, heißt stumpfwinklig
C
C
γ
C
γ
α
β
A
γ
β
α
B
B
A
spitzwinklig
α
A
rechtwinklig
β
B
C 1. Dreieckstypen, Viereckstypen
C 1. Dreieckstypen, Viereckstypen
stumpfwinklig
Einteilung der Dreiecke nach der Größe ihrer Seiten:
Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse, zwei gleich lange Seiten und zwei
gleich große Winkel
Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen, drei gleich lange Seiten und drei gleich
große Winkel
Spitze
C
C
Schenkel
Schenkel
b
b
a
a
B
A
c
B
A
c
B
Basis
gleichschenklig
gleichseitig
RS Überlingen, Straub
Fortsetzung zu C 1. Dreieckstypen, Viereckstypen (Rückseite)
Viereckstypen
Vierecke können eine, zwei oder vier Symmetrieachsen und/oder ein Symmetriezentrum haben:
Drachen
Parallelogramm
gleichschenkliges
Trapez
Rechteck
Raute, Rhombus
Quadrat
Zwei Vierecke ohne Symmetrie sind das allgemeine Trapez (ein Paar paralleler Seiten) und das
allgemeine Viereck
allgemeines Trapez
allgemeines Viereck
RS Überlingen, Straub
Begriffe, Abkürzungen
Der Flächeninhalt wird mit A abgekürzt und z.B. in km², Hektar, Ar, dm² oder cm² angegeben. Die
Umrechnungszahl ist 100
Der Umfang u ist die Länge des Streckenzuges um die Figur und setzt sich aus der Summe der
einzelnen Seitenlängen zusammen. Die Einheiten sind z.B. dm oder mm, die Umrechnungszahl ist
10
Diagonalen sind Strecken zwischen gegenüber liegenden Punkten und werden mit e und f
bezeichnet
Die Mittelparallele m verläuft genau zwischen zwei parallelen Seiten
Als Höhe h bezeichnet man beim Dreieck den Abstand eines Eckpunktes von der
gegenüberliegenden Seite bzw. beim Viereck den Abstand der parallelen Seiten
Formeln
Allgemeines Dreieck:
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
, u=a+b+c
A=
2
2
2
a
ha
b
Rechtwinkliges Dreieck ( χ = 90° ):
C 2. Umfang und Flächeninhalt
C 2. Umfang und Flächeninhalt (von Dreiecken und Vierecken)
hb
hc
a ⋅b
, u=a+b+c
A=
2
c
Gleichseitiges Dreieck:
A=
a2
⋅ 3 , u = 3a
4
Quadrat:
e
a
a
2
A = a ² , u = 4a , e =
2
e
a
Rechteck:
a
A = a ⋅ b , u = 2(a + b ) , e = a ² + b ²
ha
Parallelogramm:
A = a ⋅ h a = b ⋅ hb , u = 2(a + b )
hb
b
Trapez:
b
d
m
a
f
b
e
Drachen:
e⋅f
A=
, u = 2(a + b)
2
c
h
a
a+c
A = m ⋅h , m =
, u =a+b+c +d
2
Raute:
e⋅f
A=
, u = 4a
2
b
a
f
e
a
RS Überlingen, Straub
Mittelsenkrechte und Umkreis
Der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt, r ist der Umkreisradius
C
mb
b
a
M ma
r
mc
A
c
B
Winkelhalbierende und Inkreis
Der Schnittpunkt W der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt, ρ (lies “rho“) ist der Inkreisradius
C
γ
wγ
b
a
W
wβ
wα ρ
α
A
β
c
B
Höhen
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H
C
H
b
hb
ha
C 3. Mittelsenkrechte, Höhen, Winkel- und Seitenhalbierende
C 3. Mittelsenkrechte, Höhen, Winkel- und Seitenhalbierende
a
hc
A
c
B
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Verhältnis 2:1
C
sc
b
sa
A
S
c
a
sb
B
RS Überlingen, Straub
C 4. Winkelsumme und Konstruktionen
C 4. Winkelsumme und Konstruktionen
Winkelsumme
Für die Summe der Winkel α,β und γ eines jeden Dreiecks gilt: α + β + γ = 180°
α
C
γ
β
α
A
β
B
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360°
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n − 2) ⋅ 180°
Konstruktionen
Das Zeichnen einer geometrischen Figur mit Lineal (Geodreieck) und Zirkel nennt man Konstruktion
In den Grundkonstruktionen werden nur Seiten und Winkel benutzt
Vorgehensweise bei Konstruktionsaufgaben:
Die gegebenen Maße werden notiert und - wenn nötig - umgerechnet.
Zum Konstruieren eines Dreiecks müssen mindestens drei Stücke gegeben sein
In einer Planfigur (Skizze) werden die Maße noch nicht berücksichtigt und die gegebenen Stücke
farblich hervorgehoben
Die Konstruktionszeichnung wird durch eine sinnvolle Reihenfolge der Konstruktionsschritte erstellt
Das Ergebnis kann sein:
eine Lösung (eine bestimmte geometrische Figur)
mehrere Lösungen (zueinander nicht kongruente Figuren)
keine Lösung (die Konstruktion ist mit den gegebenen Maßen nicht durchführbar)
Gegeben
Planfigur
Konstruktion
Ergebnis
RS Überlingen, Straub
C 5. Kreis, Kreisberechnungen
C 5. Kreis, Kreisberechnungen
Begriffe und Abkürzungen
F
b
r
Radius r
M
Durchmesser AB
A
C
Sehne CD
α
d
B
D
Sekante
s
h
E
Tangente
Eigenschaften
Der Durchmesser eines Kreises ist doppelt so groß wie der Radius ( d = 2r )
u
Der Kreisumfang ist zum Kreisdurchmesser proportional:
≈ 3,1415926535897932384626...
d
Diese irrationale Kreiszahl wird mit dem griechischen Buchstaben π („pi“) bezeichnet.
Für den Kreisumfang gilt u = πd = 2πr
Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt A = πr 2 =
Für die Länge des Kreisbogens gilt b =
π 2
d
4
2πrα
πrα
=
360° 180°
Für den Umfang eines Kreisausschnitts (Sektor) gilt u = 2r + b
Für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts gilt A =
πr 2 α b ⋅ r
=
360°
2
Für den Umfang eines Kreisabschnitts (Segment) gilt u = b + s
Für den Umfang eines Kreisrings gilt u = 2π ⋅ (raußen + rinnen )
Für den Flächeninhalt eines Kreisrings gilt A = π ⋅ (raußen − rinnen )
2
2
Für die Winkel α (Mittelpunktswinkel), β (Umfangswinkel) und γ (Sehnentangentenwinkel) gilt:
α = 2β
γ =β
β
β
t
α
γ
s
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Bei einer Streckung werden alle Streckenlängen des
Originals mit dem selben Faktor k multipliziert, z.B.:
AB ⋅ k = A' B'
Die Vergrößerung oder Verkleinerung von einem festen
Punkt Z aus heißt zentrische Streckung
3,2
1,6
Z
k = 2
Eigenschaften
Jede Originalgerade hat als Bild eine parallele Gerade
Jeder Originalwinkel hat als Bild einen gleich großen Winkel
Bei einer Streckung mit dem Faktor -1 < k < 1 verkleinert sich das Bild gegenüber dem Original
Bei einer Streckung mit einem negativen Streckfaktor k < 0 trägt man das Bild auf der Halbgeraden
in entgegengesetzter Richtung von Z ab. Beim Faktor k = -1 erhält man somit eine Punktspiegelung
Wird eine Strecke AB durch einen Punkt T geteilt, so wird die Bildstrecke A ' B' durch T’ im selben
Verhältnis geteilt
Für die Flächeninhalte A von Original und Bild gilt A Original ⋅ k 2 = A Bild
Strahlensätze
Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw.
A' und B' geschnitten, so gilt
C 6. Zentrische Streckung, Strahlensätze
C 6. Zentrische Streckung, Strahlensätze
B‘
1. Strahlensatz:
2. Strahlensatz:
Ähnlichkeit
ZB'
ZB
A ' B'
AB
=
=
ZA '
B
ZA
ZA '
ZA
=
ZB'
ZB
Z
A
A‘
Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch zentrische Streckung und Kongruenzabbildung
ineinander überführt werden können. Sie stimmen überein
in entsprechenden Winkeln
in den Verhältnissen entsprechender Seiten
Für Dreiecke gelten drei Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen
in zwei Winkeln
in einem Winkel und dem Verhältnis der anliegenden Seiten
in zwei Seitenverhältnissen
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die beiden
Seiten, die den rechten Winkel einschließen, als Katheten
(hier die Seiten a und b)
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt
Hypotenuse (hier die Seite c)
Die dazugehörige Höhe (hier hc) teilt die Hypotenuse in die
zwei Hypotenusenabschnitte p und q
C
Kathete
b
hc
A
Kathete
a
q
p
Hpotenuse c
B
Eigenschaften
Höhensatz
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich mit dem Rechteck aus den
beiden Hypotenusenabschnitten
2
hc = p ⋅ q
Kathetensatz (Satz des Euklid)
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich mit dem Rechteck aus
der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt
C 7. Satzgruppe des Pythagoras
C 7. Satzgruppe des Pythagoras
a 2 = c ⋅ p und b 2 = c ⋅ q
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathetenquadrate flächengleich mit dem
Quadrat über der Hypotenuse
a2 + b2 = c 2
Kathentensatz und
Satz des Pythagoras
Höhensatz
C
b2
2
C
hc
hc
a2
B
p
A
q
p
p
A
q·p
B
c
c ·q
q
c ·p
c · q + c · p = c²
c
Abgeleitete Formeln
Im Koordinatensystem gilt für die Entfernung P1P2 von zwei Punkten P1(x1|y1) und P2(x2|y2) die
Formel P1P2 =
(x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2
Für die Diagonalen e im Quadrat gilt: e = a 2
Für die Höhen h im gleichseitigen Dreieck gilt: h =
a
3
2
RS Überlingen, Straub
C 8. Trigonometrie
C 8. Trigonometrie
Begriffe
Das griechische Wort Trigonometrie bedeutet Dreiecksmessung
Die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck mit Winkel α werden mit
Sinus von α , Kosinus von α und Tangens von α bezeichnet
Eigenschaften
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit χ = 90° gilt:
a Gegenkathete von α
sin α = =
c
Hypotenuse
a
β
α
b Ankathete von α
cos α = =
c
Hypotenuse
tan α =
b
c
a Gegenkathete von α
=
b
Ankathete
Zwischen den Winkelfunktionen gibt es folgende Beziehungen:
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tan α =
für 0° ≤ α ≤ 90°
cos α
sin α = cos(90° − α )
cos α = sin(90° − α )
Besondere Werte
α
0°
30°
sin α
0
1
2
cos α
1
1
2
3
tan α
0
1
3
3
45°
1
2
2
1
2
2
60°
1
1
2
90°
3
1
1
2
0
3
∞
Eigenschaften im allgemeinen Dreieck
Sinussatz:
a sin α
=
b sin β
a sin α
=
c sin χ
b sin β
=
c sin χ
Kosinussatz:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos χ
Umkreisradius r:
2r =
a
b
c
=
=
sin α sin β sin χ
Flächeninhalt:
A = 21 ab ⋅ sin χ = 21 ac ⋅ sin β = 21 bc ⋅ sin α
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Bei einem Würfel sind alle drei Kanten a gleich lang und stehen zueinander senkrecht. Die
Oberfläche besteht aus sechs gleich großen Quadraten
Bei einem Quader stehen die drei Kanten a, b und c senkrecht zueinander. Die Oberfläche besteht
aus sechs Rechtecken, wobei die gegenüberliegenden Flächen jeweils zueinander kongruent sind
Ein Körper, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind, heißt
senkrechtes Prisma
Formeln
Würfel:
V = a3
O = 6a 2
e=a 3
a
e
Quader:
V = a⋅b⋅c
O = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc )
d = a2 + b2
e = a +b +c
2
2
C 9. Würfel, Quader, gerades Prisma
C 9. Würfel, Quader, gerades Prisma
a
a
2
Prisma (G = Grundfläche):
V = G ⋅h
O = 2⋅G+ M
M = u ⋅h
e
d
c
b
a
h
a
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Ein Zylinder ist ein Körper, der aus zwei zueinander parallel liegenden und kongruenten Kreisen
hervorgeht
Der Mantel bildet in der Ebene ein Rechteck
Das Netz eines Zylinders setzt sich zusammen aus einem Rechteck und zwei kongruenten Kreisen
Jeder Punkt der Kugeloberfläche hat den gleichen Abstand r zum Kugelmittelpunkt M
Nicht einmal ein kleines Stück der Kugeloberfläche lässt sich zu einem ebenen Flächenstück glätten
d.h. es ist nicht möglich, das Netz einer Kugel zu zeichnen
C 10. Zylinder, Kugel
C 10. Zylinder, Kugel
Eigenschaften
Für die Mantelfläche des Zylinders gilt M = u ⋅ h = 2πrh
Für die Oberfläche des Zylinders gilt O = 2 ⋅ A + M = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
Für das Volumen des Zylinders gilt O = A ⋅ h = πr 2h
4 3 1 3
πr = πd
3
6
2
Für die Oberfläche der Kugel gilt O = 4 πr = πd 2
Für das Volumen der Kugel gilt V =
d
r
h
M
r
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Verbindet man den Rand eines ebenen Flächenstücks mit einem Punkt außerhalb des
Flächenstücks durch Strecken, dann entsteht ein (allgemeiner) Kegel
Oft versteht man unter einem Kegel nur einen solchen, bei welchem die Grundfläche ein Kreis ist
(Kreiskegel)
Ist das Flächenstück ein n-Eck (Polygon), dann nennt man den Kegel eine (allgemeine) Pyramide
Meistens beschäftigen wir uns mit geraden quadratischen Pyramiden und geraden Kreiskegeln:
h
s
hs
h
C 11. Pyramide, Kegel
C 11. Pyramide, Kegel
s
α
r
r
a
Eigenschaften
Pyramide
allgemein
1
V = ⋅ A ⋅h
3
U ⋅ hs
2
O = A +M
M=
hs = h² +
a²
4
s = h² + r²
quadratisch
1
V = ⋅ a² ⋅ h
3
M = 2 ⋅ a ⋅ hs
O = a ⋅ (a + 2 ⋅ hs )
a²
hs = h² +
4
s = h² +
a²
2
dreiseitig, regelmäßig
sechsseitig, regelmäßig
a²
V=
⋅ 3 ⋅h
12
V=
3
⋅ a ⋅ hs
2
a
O = a 3 + 6 ⋅ hs
4
M=
(
h s = h² +
a²
12
a²
⋅ 3 ⋅h
2
M = 3 ⋅ a ⋅ hs
)
(
3a
a ⋅ 3 + 2 ⋅ hs
2
3a²
hs = h² +
4
O=
)
s = h² + a²
a²
s = h² +
3
Kreiskegel
π
V = ⋅ r² ⋅ h
3
O = π ⋅ r ⋅ (r + s)
M = π ⋅r ⋅s
s = h² + r²
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Vereint man geometrische Grundkörper zu einem Gesamtkörper, so spricht man von einem
zusammengesetzten Körper.
Hier z.B. ist der Körper aus einem Zylinder und einem zylindrisch durchbohrten Würfel
zusammengesetzt:
Wird eine Fläche um eine Achse gedreht, so entsteht ein Drehkörper (auch „Rotationskörper“),
hier z.B. ein Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel
C 12. Zusammengesetzte Körper, Drehkörper
C 12. Zusammengesetzte Körper, Drehkörper
Eigenschaften
Das Volumen V zusammengesetzter oder ausgehöhlter Körper berechnet man aus der Summe oder
der Differenz der Einzelkörper
Die Oberfläche O zusammengesetzter oder ausgehöhlter Körper berechnet man aus der Summe
aller Einzelflächen
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Bei Zuordnungen gehört zu jeder Größe aus einem ersten Bereich eine Größe aus einem zweiten
Bereich
Wenn bei einer Zuordnung zum 2-fachen (3-fachen, 4-fachen ...) der ersten Größe das 2-fache
(3-fache, 4-fache ...) der zweiten Größe gehört, spricht man von einer proportionalen Zuordnung,
z.B. 1 kg Käse kostet 8,50 €; 2 kg kosten 17,00 €; 3 kg kosten 25,50 €
Wenn bei einer Zuordnung zum 2-fachen (3-fachen, 4-fachen ...) der ersten Größe die Hälfte (der
3. Teil, der 4. Teil ...) der zweiten Größe gehört, spricht man von einer umgekehrt proportionalen
Zuordnung (man sagt auch antiproportional),
z.B. der Futtervorrat für 4 Pferde reicht 24 Tage, für 8 Pferde 12 Tage, für 12 Pferde 8 Tage
Eigenschaften
Alle Quotienten der einander zugeordneten Werte sind bei einer proportionalen Zuordnung immer
gleich (Quotientengleichheit)
Alle Produkte der einander zugeordneten Werte sind bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung
immer gleich (Produktgleichheit)
Darstellung
Beschreibung mit einer Tabelle, z.B. eine Notentabelle:
Punkte 69 - 80 58 - 68 47 - 57 36 - 46 18 - 35 0 - 17
Zensur
1
2
3
4
5
6
Beschreibung mit einem Schaubild, z.B. in einem Mengen-Preis-Schaubild:
Preis
60
50
40
30
20
10
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
D 1. Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
D 1. Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
Menge
Preis
Das Schaubild (der Graph) einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Halbgerade (ein Strahl),
die im Ursprung O(0 | 0) des Koordinatensystems beginnt
Die erste Größe wird auf der Rechtsachse (x-Achse), die zugehörige zweite Größe auf der
Hochachse (y-Achse) abgetragen
Beschreibung mit einer Rechenvorschrift, z.B. Körpergröße a Normalgewicht: Körpergröße in cm
minus 100 ergibt das Normalgewicht in kg eines Erwachsenen
Lösungsverfahren
Beim Zweisatz schließt man von der gegebenen Größe auf das Vielfache der Größe
Bei Dreisatzaufgaben mit proportionalen Zuordnungen schließt man erst auf die Einheit durch
Dividieren, dann auf das Vielfache durch Multiplizieren
:5
⋅7
Anz. Pakete
Preis
5
4,00 €
1
0,80 €
7
5,60 €
:5
⋅7
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Das Wort Prozent kann mit „von hundert“ übersetzt werden und wird mit dem Zeichen % abgekürzt
Das Wort Promille kann mit „von tausend“ übersetzt werden und wird mit dem Zeichen %0 abgekürzt
1
100
50
1
Wichtige Prozentsätze sind:
1% =
= 0,01 100% =
= 1 50% =
= = 0,5
100
100
100 2
10
200
25
1
10% =
= 0,1 200% =
= 2 25% =
= = 0,25
100
100
100 4
Der Grundwert G entspricht immer 100% = 1
Der Prozentwert P entspricht dem Prozentsatz p%
Die Zahl p wird als Prozentzahl bezeichnet
Der veränderte Prozentsatz q erleichtert die Berechnung des vermehrten Grundwerts G+ bzw. des
verminderten Grundwerts G-
D 2. Prozentrechnen
D 2. Prozentrechnen
Beispiele
Ein Mountainbike kostet netto € 450,00. Hinzu kommt noch die Mehrwertsteuer von 19%, also
€ 85,50. Der Kunde muss also 119% des Nettopreises bezahlen. Dies sind € 535,50 (Bruttopreis).
andere
Begriff
Abkürzung
im Bsp.
Schreibweise
Grundwert
G
€ 450,00
Prozentwert
P
€ 85,50
Prozentsatz
p%
19%
0,19
Prozentzahl
p
19
Veränderter Prozentsatz q
119%
1,19
Vermehrter Grundwert
G+
€ 535,50
Ein Fahrrad kostete ursprünglich € 325,00. Der Händler gewährt einen Rabatt von 15%. Das Rad
wird also um € 48,75 günstiger angeboten. Der Kunde muss also noch 85% bezahlen, also € 276,25.
andere
Begriff
Abkürzung
im Bsp.
Schreibweise
Grundwert
G
€ 325,00
Prozentwert
P
€ 48,75
Prozentsatz
p%
15%
0,15
Prozentzahl
p
15
Veränderter Prozentsatz q
85%
0,85
Verminderter Grundwert G€ 276,25
Formeln
P = G ⋅ p% = G ⋅
p
p
P
100
p
p% =
=
G = P⋅
q = 1 ± p% = 1 ±
G± = G ⋅ q
100
100 G
p
100
Wiederholte prozentuale Veränderungen lassen sich durch das Produkt der einzelnen veränderten
Prozentsätzen angeben (Verknüpfung von Prozentsätzen): qGesamt = q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qn
Bsp.: Ohne 19% MwSt und 2% Skonto kostet ein Fahrrad € 450,00. Gesucht ist der Endpreis x.
x = 450 ⋅ 1,19 ⋅ 0,98 = 450 ⋅ 1,1662 = 524,79 €
Darstellung
Prozentstreifen/Streifendiagramm
Prozentkreis/Kreisdiagramm (1% entspricht 3,6°)
55%
55%
30%
15%
0
50
100
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Beim Zinsrechnen werden folgende Begriffe verwendet:
Kapital K bzw. Anfangskapital K0 (vgl. Grundwert G)
Zinssatz p% (vgl. Prozentsatz p%) und
Zinsen Z (vgl. Prozentwert P)
+
Endkapital Kn (vgl. vermehrter Grundwert G )
Der Zinssatz p% bezieht sich in der Regel auf ein Jahr (p.a. = pro anno) bzw. in Ausnahmefällen auf
einen Monat (p.M. = pro Monat), wobei im Bankwesen folgende Vereinbarungen gelten:
1 Jahr = 12 Monate = 360 Tage; 1 Monat = 30 Tage
Für eine Laufzeit t, die kürzer ist als der Vorgabezeitraum, muss der Zeitfaktor i als Bruchteil
berücksichtigt werden, z.B.
5
t = 5 Monate: i = 12
t = 67 Tage:
i=
67
360
Legt man einen Geldbetrag länger als ein Jahr an, dann werden die Zinsen mitverzinst. Die
zusätzlich entstandenen Zinsen bezeichnet man als Zinseszinsen
Beim Zuwachssparen werden in der Regel von Jahr zu Jahr unterschiedlich hohe Zinssätze
angeboten (z.B. für das erste Jahr 4,5%, für das zweite Jahr 5%, für das dritte Jahr 6% ...)
Beim Ratensparen wird in gleich bleibenden Zeitabständen stets dieselbe Rate R eingezahlt. Der
Zinssatz bleibt während der Laufzeit in der Regel unverändert
D 3. Zinsrechnen, Zinseszins
D 3. Zinsrechnen, Zinseszins
Formeln
Zur Berechnung der Zinsen innerhalb des Vorgabezeitraums gelten folgende Formeln:
t
Z = K ⋅ p% ⋅ i = K ⋅ p% ⋅ 360
Zur Berechnung des Endkapitals Kn für eine beliebige Anzahl n von ganzen Jahren und konstantem
Zinssatz p% gilt die Zinseszinsformel K n = K 0 ⋅ qn
[ mit q = 1 + p% und n ∈ N ]
Die Zinseszinsformel gilt nur für volle Jahre. Wird ein Kapital länger als ein Jahr, jedoch nicht über
volle Jahre hinweg verzinst, dann ist das Endkapital getrennt für Jahre und Monate zu berechnen
Beim Zuwachssparen gilt die Formel K n = K 0 ⋅ q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qn
Beim Ratensparen gilt die Formel
K n = R(qn + qn−1 + qn−2 + ... + q)
Beispiel
400,00 € werden bei einem Zinssatz von 5% angelegt. Wie hoch ist das Endkapital nach zwei Jahren
und acht Monaten?
Geg.:
Anfangskapital K0 = 400,00 €, Zinssatz p% = 5%, Anlagezeitraum t = 2 Jahre und 8 Monate
Ges.:
Endkapital K2J8M
Ber.:
q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05
K2J = K 0 ⋅ qn = 400,00 ⋅ 1,05 2 = 441,00
i=
8
12
8
Z8M = K 2 J ⋅ p% ⋅ i = 441,00 ⋅ 0,05 ⋅ 12
= 14,70
K2J8M = K2J + Z8M = 441,00 + 14,70 = 455,70
Erg.:
Das Endkapital beträgt 455,70 €.
RS Überlingen, Straub
Begriffe
Alle möglichen Ausgänge heißen Ergebnisse
Die Ergebnismenge wird in Mengenklammern geschrieben, z.B. Würfel: {1; 2; 3; 4; 5; 6} ,
Münze: {Wappen; Zahl} {W; Z}
Die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen wird mit P abgekürzt, z.B. Würfel: P(3) = 61
Ein Ereignis umfasst die für die Fragestellung günstigen Ergebnisse, z.B. Würfel: Ereignis
„Augenzahl ist durch 3 teilbar“ 3 und 6. Wahrscheinlichkeit P(3;6) = 26 = 31
Ein sicheres Ereignis E tritt stets ein: P(E) = 1
Ein unmögliches Ereignis E tritt nie ein: P(E) = 0
Das Gegenereignis E erlaubt manchmal eine elegantere Lösung: P(E) = 1 − P(E)
Die Ergebnisse zweistufiger Zufallsversuche sind geordnete Paare.
Lösungsverfahren
Das Gesetz der großen Zahlen: Eine Versuchsreihe mit möglichst vielen Wiederholungen liefert
einen guten Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit
Sehr anschaulich ist die Lösung mit Hilfe eines Baumdiagramms. Die Summe der
Wahrscheinlichkeiten am Ende der Äste ist immer 1. Die Wahrscheinlichkeit am Ende eines Astes
ergibt sich aus dem Produkt seiner Einzelwahrscheinlichkeiten (Pfadregel).
z.B. Münzwurf mit 2 Stufen: P(w;w) = 21 ⋅ 21 = 14
2. Wurf
1. Wurf
1
2
z
w
z
1
2
w
1
2
w
z
1
2
1
2
E 1. Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit
E 1. Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
RS Überlingen, Straub
E 2. Satistik
E 2. Statistik
RS Überlingen, Straub
Wiederholung
Prüfungsvorbereitung
...
E Sonstiges
F Sonstiges
RS Überlingen, Straub
Klassenarbeiten
Kurztests
Verbesserungen
...
G Schriftliche Arbeiten
G Schriftliche Arbeiten
RS Überlingen, Straub