Folien

Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Statistik für Biologen
3. Grundlagen aus der
Wahrscheinlichkeitstheorie
Matthias Birkner & Dirk Metzler
http://www.zi.biologie.uni-muenchen.de/evol/StatGen.html
30. April / 4. Mai 2009
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
Warnung
Diese Folien enthalten nur eine
Zusammenfassung. Details werden an der
Tafel ausgeführt.
Zufallsvariablen und Verteilung
Inhalt
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
Zufallsvariablen und Verteilung
Zufallsvariablen und
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Zufallsgröße X besitzt einen
Wertebereich S , also die Menge aller möglichen Ausgänge,
und eine
(Wahrscheinlichkeits-) Verteilung . Letztere definiert definiert für
alle Teilmengen A ⊆ S die Wahrscheinlichkeit
Pr(X ∈ A), dass X einen Wert in A annimmt.
Üblicherweise verwendet man Großbuchstaben für
Zufallsgrößen und Kleinbuchstaben für konkrete Ausgänge und
Beobachtungen (also Daten).
Zufallsvariablen und Verteilung
Rechenregeln
0 ≤ Pr(X ∈ A) ≤ 1
Sind A, B ⊆ S disjunkt, d.h. A ∩ B = ∅,
Pr(X ∈ A ∪ B) = Pr(X ∈ A) + Pr(X ∈ B)
Zufallsvariablen und Verteilung
Rechenregeln
0 ≤ Pr(X ∈ A) ≤ 1
Sind A, B ⊆ S disjunkt, d.h. A ∩ B = ∅,
Pr(X ∈ A ∪ B) = Pr(X ∈ A) + Pr(X ∈ B)
Allgemein gilt
Pr(X ∈ A ∪ B) = Pr(X ∈ A) + Pr(X ∈ B) − Pr(X ∈ A ∩ B)
Zufallsvariablen und Verteilung
Beispiele
Münzwurf: Pr(X = Kopf) = Pr(X = Zahl) = 12 ,
Pr(X ∈ {Kopf, Zahl}) = 1
Uniforme Verteilung auf einer endlichen Menge S:
|A|
Pr(X ∈ A) = |S|
Ziehen zweier Karten aus Skatblatt
1
,
Pr(K1 ist eine 7, K2 ist ein Herz) = 18 · 14 = 32
3
3
1
Pr(K1 ist eine 7, K2 ist eine 7) = 8 · 31 = 248 ,
Details an der Tafel
Zufallsvariablen und Verteilung
In dem Skatbeispiel haben wir verwendet:
Pr(X1 ∈ A, X2 ∈ B) = Pr(X1 ∈ A) · Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A)
Dabei bezeichnet Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A) die Wahrscheinlichkeit
von {X2 ∈ B} unter der Bedingung, dass {X1 ∈ A} eintritt,
kurz:
“bedingte Wahrscheinlichkeit von {X2 ∈ B}, gegeben {X1 ∈ A}”
Zufallsvariablen und Verteilung
In dem Skatbeispiel haben wir verwendet:
Pr(X1 ∈ A, X2 ∈ B) = Pr(X1 ∈ A) · Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A)
Dabei bezeichnet Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A) die Wahrscheinlichkeit
von {X2 ∈ B} unter der Bedingung, dass {X1 ∈ A} eintritt,
kurz:
“bedingte Wahrscheinlichkeit von {X2 ∈ B}, gegeben {X1 ∈ A}”
Bayes-Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A) =
Pr(X1 ∈ A, X2 ∈ B)
Pr(X1 ∈ A)
Zufallsvariablen und Verteilung
In dem Skatbeispiel haben wir verwendet:
Pr(X1 ∈ A, X2 ∈ B) = Pr(X1 ∈ A) · Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A)
Dabei bezeichnet Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A) die Wahrscheinlichkeit
von {X2 ∈ B} unter der Bedingung, dass {X1 ∈ A} eintritt,
kurz:
“bedingte Wahrscheinlichkeit von {X2 ∈ B}, gegeben {X1 ∈ A}”
Bayes-Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
Pr(X2 ∈ B | X1 ∈ A) =
Pr(X1 ∈ A, X2 ∈ B)
Pr(X1 ∈ A)
mehr dazu später im Semester....
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Inhalt
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Sochastische Unabhängigkeit
Definition
Zwei Zufallsgrößen X und Y heißen (stochastisch) unabhängig,
wenn für alle Ereignisse {X ∈ A}, {Y ∈ B} gilt
Pr(X ∈ A, Y ∈ B) = Pr(X ∈ A) · Pr(Y ∈ B)
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Beispiele für stochastische Unabhängigkeit
Werfen zweier Würfel:
X = Augenzahl Würfel 1, Y = Augenzahl Würfel 2.
Pr(X = 2, Y = 5) = Pr(X = 2) · Pr(Y = 5) =
1 1
1
· =
6 6
36
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Beispiele für stochastische Unabhängigkeit
Werfen zweier Würfel:
X = Augenzahl Würfel 1, Y = Augenzahl Würfel 2.
Pr(X = 2, Y = 5) = Pr(X = 2) · Pr(Y = 5) =
Zurück zum Bsp. mit 2 Skatkarten:
W1 = Wert von K1 , F2 = Farbe von K2 .
1 1
1
· =
6 6
36
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Beispiele für stochastische Unabhängigkeit
Werfen zweier Würfel:
X = Augenzahl Würfel 1, Y = Augenzahl Würfel 2.
Pr(X = 2, Y = 5) = Pr(X = 2) · Pr(Y = 5) =
1 1
1
· =
6 6
36
Zurück zum Bsp. mit 2 Skatkarten:
W1 = Wert von K1 , F2 = Farbe von K2 . Obwohl (K1 , K2 )
voneinander abhängig sind, sind (W1 , F2 ) stochastisch
unabhängig:
Pr(W1 = 7, F2 = Herz) = Pr(W1 = 7) · Pr(F2 = Herz)
1 1
1
=
·
=
8 4
32
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es...
1
...immer gelingt?
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es...
1
...immer gelingt?
p · p · p · · · p = pn
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es...
1
...immer gelingt?
p · p · p · · · p = pn
2
...immer scheitert?
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es...
1
...immer gelingt?
p · p · p · · · p = pn
2
...immer scheitert?
(1 − p) · (1 − p) · · · (1 − p) = (1 − p)n
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es...
1
...immer gelingt?
p · p · p · · · p = pn
2
...immer scheitert?
(1 − p) · (1 − p) · · · (1 − p) = (1 − p)n
3
...erst k mal gelingt und dann n − k mal scheitert?
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Angenommen, ein Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf zeigt Kopf),
das mit Wahrscheinlichkeit p gelingt, wird n mal unabhängig
wiederholt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es...
1
...immer gelingt?
p · p · p · · · p = pn
2
...immer scheitert?
(1 − p) · (1 − p) · · · (1 − p) = (1 − p)n
3
...erst k mal gelingt und dann n − k mal scheitert?
pk · (1 − p)n−k
4
...insgesamt k mal gelingt und n − k mal scheitert?
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Sei X die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen mit
Erfolgswahrscheinlichkeit von jeweils p. Dann gilt für
k ∈ {0, 1, . . . , n}
µ ¶
n k
Pr(X = k) =
p · (1 − p)n−k
k
und X ist binomialverteilt, kurz:
X ∼ bin(n, p).
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
Sei X die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen mit
Erfolgswahrscheinlichkeit von jeweils p. Dann gilt für
k ∈ {0, 1, . . . , n}
µ ¶
n k
Pr(X = k) =
p · (1 − p)n−k
k
und X ist binomialverteilt, kurz:
X ∼ bin(n, p).
Erläuterung
¡n ¢
n!
= k!·(n−k)!
ist die Anzahl der Möglichkeiten, die k Erfolge in
k
die n Versuche einzusortieren.
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
0.30
probabilities of bin(n=10,p=0.2)
●
0.20
0.25
●
●
●
0.05
0.10
0.15
●
0.00
●
●
0
2
4
6
k
●
●
8
●
●
10
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
0.10
probabilities of bin(n=100,p=0.2)
●●
●
●
0.08
●
●
●
0.06
●
●
●
0.04
●
0.02
●
●
●
●
●
0.00
●
●
●
●
●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●
●
●
●●●●●●●●●
0
20
40
60
k
80
100
Erwartungswert
Inhalt
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
Erwartungswert
Definition (Erwartungswert)
Sei X eine Zufallsvariable mit endlichem oder aufzählbaren
Wertebereich S = {a1 , a2 , a3 . . . } ⊆ R.
Erwartungswert
Definition (Erwartungswert)
Sei X eine Zufallsvariable mit endlichem oder aufzählbaren
Wertebereich S = {a1 , a2 , a3 . . . } ⊆ R. Dann ist der
Erwartungswert von X definiert durch
X
EX =
a · Pr(X = a)
a
Erwartungswert
Definition (Erwartungswert)
Sei X eine Zufallsvariable mit endlichem oder aufzählbaren
Wertebereich S = {a1 , a2 , a3 . . . } ⊆ R. Dann ist der
Erwartungswert von X definiert durch
X
EX =
a · Pr(X = a)
a
Manche schreiben auch µX statt EX .
Erwartungswert
Rechnen mit Erwartungswerten
Satz (Linearität der Erwartung)
Sind X und Y Zufallsvariablen mit Werten in R und ist a ∈ R, so
gilt:
E(a · X ) = a · EX
E(X + Y ) = EX + EY
Erwartungswert
Rechnen mit Erwartungswerten
Satz (Linearität der Erwartung)
Sind X und Y Zufallsvariablen mit Werten in R und ist a ∈ R, so
gilt:
E(a · X ) = a · EX
E(X + Y ) = EX + EY
Satz (Nur für Unabhängige!)
Sind X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit
Werten in R, so gilt
E(X · Y ) = EX · EY .
Erwartungswert
Rechnen mit Erwartungswerten
Satz (Linearität der Erwartung)
Sind X und Y Zufallsvariablen mit Werten in R und ist a ∈ R, so
gilt:
E(a · X ) = a · EX
E(X + Y ) = EX + EY
Satz (Nur für Unabhängige!)
Sind X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit
Werten in R, so gilt
E(X · Y ) = EX · EY .
Beweise an der Tafel.
Erwartungswert
Was heißt überhaupt aX ?
Ist X eine Zufallsgröße mit Werten in R und a ∈ R, so ist a · X
eine Zufallsvariable, deren Wert von X abhängt.
Erwartungswert
Was heißt überhaupt aX ?
Ist X eine Zufallsgröße mit Werten in R und a ∈ R, so ist a · X
eine Zufallsvariable, deren Wert von X abhängt.
Nimmt X den Wert x ∈ R an, so nimmt a · X den Wert ax an.
Erwartungswert
Was heißt überhaupt aX ?
Ist X eine Zufallsgröße mit Werten in R und a ∈ R, so ist a · X
eine Zufallsvariable, deren Wert von X abhängt.
Nimmt X den Wert x ∈ R an, so nimmt a · X den Wert ax an.
Beispiel: Bei einem Brettspiel ist ein Spieler in Besitz einer
Speed-Karte und darf die doppelte Augenzahl seines
Würfelwurfs vorwärtsgehen.
Erwartungswert
Was heißt überhaupt aX ?
Ist X eine Zufallsgröße mit Werten in R und a ∈ R, so ist a · X
eine Zufallsvariable, deren Wert von X abhängt.
Nimmt X den Wert x ∈ R an, so nimmt a · X den Wert ax an.
Beispiel: Bei einem Brettspiel ist ein Spieler in Besitz einer
Speed-Karte und darf die doppelte Augenzahl seines
Würfelwurfs vorwärtsgehen. Dann ist X die gewürfelte
Augenzahl und a · X mit a = 2 die Anzahl der Schritte.
Erwartungswert
Was heißt überhaupt aX ?
Ist X eine Zufallsgröße mit Werten in R und a ∈ R, so ist a · X
eine Zufallsvariable, deren Wert von X abhängt.
Nimmt X den Wert x ∈ R an, so nimmt a · X den Wert ax an.
Beispiel: Bei einem Brettspiel ist ein Spieler in Besitz einer
Speed-Karte und darf die doppelte Augenzahl seines
Würfelwurfs vorwärtsgehen. Dann ist X die gewürfelte
Augenzahl und a · X mit a = 2 die Anzahl der Schritte. Die
Zufallsgröße a · X nimmt die Werte 2, 4, 6, 8, 10, 12 jeweils mit
Wahrscheinlichkeit 16 an.
Erwartungswert
Und was ist X + Y ?
Sind X und Y R-wertige Zufallsgrößen, ist X + Y ebenfalls eine
Zufallsgröße.
Erwartungswert
Und was ist X + Y ?
Sind X und Y R-wertige Zufallsgrößen, ist X + Y ebenfalls eine
Zufallsgröße.
Nehmen X den Wert x und Y den Wert y an, so nimmt X + Y
den Wert x + y an.
Erwartungswert
Und was ist X + Y ?
Sind X und Y R-wertige Zufallsgrößen, ist X + Y ebenfalls eine
Zufallsgröße.
Nehmen X den Wert x und Y den Wert y an, so nimmt X + Y
den Wert x + y an.
Bespiel: Sind X und Y die Augenzahlen zweier Würfel, so ist
X + Y die zufällige Summe der Augenzahlen.
Erwartungswert
Und was ist X + Y ?
Sind X und Y R-wertige Zufallsgrößen, ist X + Y ebenfalls eine
Zufallsgröße.
Nehmen X den Wert x und Y den Wert y an, so nimmt X + Y
den Wert x + y an.
Bespiel: Sind X und Y die Augenzahlen zweier Würfel, so ist
X + Y die zufällige Summe der Augenzahlen.
X + Y nimmt die Werte 2, 3, 4, . . . , 12 mit den
1
1
1
1
Wahrscheinlichkeiten 36
, 18
, 12
, . . . , 36
an.
Erwartungswert
Frage and Auditorium:
Ist Ihnen nun auch klar, was X · Y ist?
Erwartungswert
Frage and Auditorium:
Ist Ihnen nun auch klar, was X · Y ist?
Oder auch X 2, log(X ), . . . ?
Erwartungswert
Rechnen mit Erwartungswerten
Satz (Linearität der Erwartung)
Sind X und Y Zufallsvariablen mit Werten in R und ist a ∈ R, so
gilt:
E(a · X ) = a · EX
E(X + Y ) = EX + EY
Satz (Nur für Unabhängige!)
Sind X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit
Werten in R, so gilt
E(X · Y ) = EX · EY .
Beweise an der Tafel.
Erwartungswert
Erwartungswert der Binomialverteilung
Seien Y1 , Y2 , . . . , Yn die Indikatorvariablen der n unabhängigen
Versuche d.h.
½
1 falls der i − te Versuch gelingt
Yi =
0 falls der i − te Versuch scheitert
Erwartungswert
Erwartungswert der Binomialverteilung
Seien Y1 , Y2 , . . . , Yn die Indikatorvariablen der n unabhängigen
Versuche d.h.
½
1 falls der i − te Versuch gelingt
Yi =
0 falls der i − te Versuch scheitert
Dann ist X = Y1 + · · · + Yn binomialverteilt mit Parametern
(n, p), wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit der Versuche ist.
Erwartungswert
Erwartungswert der Binomialverteilung
Seien Y1 , Y2 , . . . , Yn die Indikatorvariablen der n unabhängigen
Versuche d.h.
½
1 falls der i − te Versuch gelingt
Yi =
0 falls der i − te Versuch scheitert
Dann ist X = Y1 + · · · + Yn binomialverteilt mit Parametern
(n, p), wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit der Versuche ist.
Wegen der Linearität der Erwartung gilt
EX = E(Y1 + · · · + Yn )
= EY1 + · · · + EYn
Erwartungswert
Erwartungswert der Binomialverteilung
Seien Y1 , Y2 , . . . , Yn die Indikatorvariablen der n unabhängigen
Versuche d.h.
½
1 falls der i − te Versuch gelingt
Yi =
0 falls der i − te Versuch scheitert
Dann ist X = Y1 + · · · + Yn binomialverteilt mit Parametern
(n, p), wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit der Versuche ist.
Wegen der Linearität der Erwartung gilt
EX = E(Y1 + · · · + Yn )
= EY1 + · · · + EYn
= p + · · · + p = np
Erwartungswert
Erwartungswert der Binomialverteilung
Wir halten fest:
X ∼ bin(n, p) ⇒ EX = n · p
Varianz und Kovarianz
Inhalt
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
Varianz und Kovarianz
Definition (Varianz, Kovarianz und Korrelation)
Die Varianz einer R-wertigen Zufallsgröße X ist
£
¤
VarX = σX2 = E (X − EX )2 .
σX =
√
Var X ist die Standardabweichung.
Varianz und Kovarianz
Definition (Varianz, Kovarianz und Korrelation)
Die Varianz einer R-wertigen Zufallsgröße X ist
£
¤
VarX = σX2 = E (X − EX )2 .
√
σX = Var X ist die Standardabweichung.
Ist Y eine weitere reellwertige Zufallsvariable, so ist
Cov(X , Y ) = E [(X − EX ) · (Y − EY )]
die Kovarianz von X und Y .
Varianz und Kovarianz
Definition (Varianz, Kovarianz und Korrelation)
Die Varianz einer R-wertigen Zufallsgröße X ist
£
¤
VarX = σX2 = E (X − EX )2 .
√
σX = Var X ist die Standardabweichung.
Ist Y eine weitere reellwertige Zufallsvariable, so ist
Cov(X , Y ) = E [(X − EX ) · (Y − EY )]
die Kovarianz von X und Y .
Die Korrelation von X und Y ist
Cor(X , Y ) =
Cov(X , Y )
.
σX · σY
Varianz und Kovarianz
10
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
●
8
●
●
●
Y
6
●
4
●
●
● ●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●●
●
●●
●
●●
●
●
●●
● ●
●●
● ●
● ●● ● ●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●●
● ●●
●●
●
●
● ●
● ●
●
●● ●
●
● ●
●●●
●
●
● ●
●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
2
●
0
●
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
10
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
●
8
●
●
●
6
●
●
4
Y
[X−EX]<0
●
● ●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●●
●
●●
●
●●
●
●
●●
● ●
●●
● ●
● ●● ● ●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●●
● ●●
●●
●
●
● ●
● ●
●
●● ●
●
● ●
●●●
●
●
● ●
●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●
[X−EX]>0
●
2
●
0
●
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
10
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
●
8
[Y−EY]>0
●
●
●
6
●
●
4
Y
[X−EX]<0
●
● ●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●●
●
●●
●
●●
●
●
●●
● ●
●●
● ●
● ●● ● ●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●●
● ●●
●●
●
●
● ●
● ●
●
●● ●
●
● ●
●●●
●
●
● ●
●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●
[X−EX]>0
●
2
●
●
0
[Y−EY]<0
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
10
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
●
8
●
●
●
Y
6
[X−EX]*[Y−EY]<0
4
●
●
●
● ●
●
[X−EX]*[Y−EY]>0
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●●
●
●●
●
●●
●
●
●●
● ●
●●
● ●
● ●● ● ●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●●
● ●●
●●
●
●
● ●
● ●
●
●● ●
●
● ●
●●●
●
●
● ●
●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
2
●
[X−EX]*[Y−EY]>0
[X−EX]*[Y−EY]<0
0
●
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
10
Cov(X,Y)= 1.11
●
8
●
●
●
Y
6
[X−EX]*[Y−EY]<0
4
●
●
●
● ●
●
[X−EX]*[Y−EY]>0
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●●
●
●●
●
●●
●
●
●●
● ●
●●
● ●
● ●● ● ●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●●
● ●●
●●
●
●
● ●
● ●
●
●● ●
●
● ●
●●●
●
●
● ●
●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
2
●
[X−EX]*[Y−EY]>0
[X−EX]*[Y−EY]<0
0
●
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
10
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
8
●
[X−EX]*[Y−EY]<0
[X−EX]*[Y−EY]>0
●
●
●
●
6
●
●
●
●
4
Y
●
●
●
●●
●●
● ●●
● ●●●
●
●●●● ● ● ●
●
●● ● ● ●
●
●
●
●
● ●
●
●
● ●
●●
●● ●
●
●● ● ● ●● ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
● ●
●●●
●●
● ●
●
●
●●
● ●●
●
●
●
● ●
●
●
2
●
●
●
[X−EX]*[Y−EY]<0
0
[X−EX]*[Y−EY]>0
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
Wieso Cov(X , Y ) = E([X − EX ][Y − EY ])?
10
Cov(X,Y)= −0.78
8
●
[X−EX]*[Y−EY]<0
[X−EX]*[Y−EY]>0
●
●
●
●
6
●
●
●
●
4
Y
●
●
●
●●
●●
● ●●
● ●●●
●
●●●● ● ● ●
●
●● ● ● ●
●
●
●
●
● ●
●
●
● ●
●●
●● ●
●
●● ● ● ●● ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
● ●
●●●
●●
● ●
●
●
●●
● ●●
●
●
●
● ●
●
●
2
●
●
●
[X−EX]*[Y−EY]<0
0
[X−EX]*[Y−EY]>0
0
2
4
6
8
10
Varianz und Kovarianz
Beispiel: Die empirische Verteilung
Sind x1 , . . . , xn ∈ R Daten und entsteht X durch rein zufälliges
Ziehen aus diesen Daten, so gilt:
EX = x
und
n
Var X =
1X
(xi − x)2
n
i=1
Varianz und Kovarianz
Beispiel: Die empirische Verteilung
Sind x1 , . . . , xn ∈ R Daten und entsteht X durch rein zufälliges
Ziehen aus diesen Daten, so gilt:
EX = x
und
n
Var X =
1X
(xi − x)2
n
i=1
Entsprechend kann man auch für Daten (xi , yi ) die empirischen
Kovarianzen und Korrelationen ausrechen, siehe nächste
Seite...
Varianz und Kovarianz
8
10
σX = 0.95, σY = 0.92
●
●
● ●
● ●
●
●
●●
●
●
● ●●
●●
● ●
● ●
●
● ●●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●●
● ●
●
●
●
●
● ● ●
● ●●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●● ●
●
● ●
● ●
●
● ●●
●●
●●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
Y
6
●
● ●
●
●
●
4
●
●
●
●
●
●
0
2
●
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.95, σY = 0.92
8
10
Cov(X , Y ) = −0.06
●
●
● ●
● ●
●
●
●●
●
●
● ●●
●●
● ●
● ●
●
● ●●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●●
● ●
●
●
●
●
● ● ●
● ●●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●● ●
●
● ●
● ●
●
● ●●
●●
●●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
Y
6
●
● ●
●
●
●
4
●
●
●
●
●
●
0
2
●
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.95, σY = 0.92
Cov(X , Y ) = −0.06
8
10
Cor(X , Y ) = −0.069
●
●
● ●
● ●
●
●
●●
●
●
● ●●
●●
● ●
● ●
●
● ●●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●●
● ●
●
●
●
●
● ● ●
● ●●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●● ●
●
● ●
● ●
●
● ●●
●●
●●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
Y
6
●
● ●
●
●
●
4
●
●
●
●
●
●
0
2
●
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.95, σY = 0.92
Cov(X , Y ) = −0.06
10
●●
8
8
10
Cor(X , Y ) = −0.069
● ●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ●●● ●
●
● ● ●●
●
●●
●●
●
●
●
● ● ● ● ●● ●
●
●
●
●●
●
● ● ●●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
●
● ● ●● ●
●●
●●
●● ● ● ●
●
● ●●●
● ●● ●●
● ● ●
●
●
● ●● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
6
Y
4
4
Y
6
●
● ●
● ●
●
●
●
●●
●
●
●
●
● ●●
●●
● ●
●
● ●
● ●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●●
● ●
●
●
●
●
●
● ● ●
● ●●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●● ●
●
● ●
●
● ●
●
● ●●
●●
●●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
2
0
0
2
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.95, σY = 0.92
σX = 1.13, σY = 1.2
Cov(X , Y ) = −0.06
10
●●
8
8
10
Cor(X , Y ) = −0.069
● ●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ●●● ●
●
● ● ●●
●
●●
●●
●
●
●
● ● ● ● ●● ●
●
●
●
●●
●
● ● ●●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
●
● ● ●● ●
●●
●●
●● ● ● ●
●
● ●●●
● ●● ●●
● ● ●
●
●
● ●● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
6
Y
4
4
Y
6
●
● ●
● ●
●
●
●
●●
●
●
●
●
● ●●
●●
● ●
●
● ●
● ●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●●
● ●
●
●
●
●
●
● ● ●
● ●●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●● ●
●
● ●
●
● ●
●
● ●●
●●
●●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
2
0
0
2
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.95, σY = 0.92
σX = 1.13, σY = 1.2
Cov(X , Y ) = −0.06
Cov(X , Y ) = −1.26
10
●●
8
8
10
Cor(X , Y ) = −0.069
● ●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ●●● ●
●
● ● ●●
●
●●
●●
●
●
●
● ● ● ● ●● ●
●
●
●
●●
●
● ● ●●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
●
● ● ●● ●
●●
●●
●● ● ● ●
●
● ●●●
● ●● ●●
● ● ●
●
●
● ●● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
6
Y
4
4
Y
6
●
● ●
● ●
●
●
●
●●
●
●
●
●
● ●●
●●
● ●
●
● ●
● ●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●
●●●
● ●
●
●
●
●
●
● ● ●
● ●●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●● ●
●
● ●
●
● ●
●
● ●●
●●
●●●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
2
0
0
2
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 1.14, σY = 0.78
σX = 1.13, σY = 1.2
Cov(X , Y ) = −1.26
10
●●
8
8
10
Cor(X , Y ) = −0.92
●
Y
6
● ●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ●●● ●
●
● ● ●●
●
●●
●●
●
●
●
● ● ● ● ●● ●
●
●
●
●●
●
● ● ●●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
●
● ● ●● ●
●●
●●
●● ● ● ●
●
● ●●●
● ●● ●●
● ● ●
●
●
● ●● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
4
4
Y
6
●
●
●
● ●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●● ●
●●
● ●●●
●
●
●
●
● ●●
●
● ● ●●
●
●●
●●
● ●
●●
●● ●
●
●● ●● ●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●● ●
● ●● ● ●
● ●
●
●
● ●
●● ●
●●
●
● ●
●
●
●
2
2
●
0
0
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 1.14, σY = 0.78
σX = 1.13, σY = 1.2
Cov(X , Y ) = 0.78
Cov(X , Y ) = −1.26
10
●●
8
8
10
Cor(X , Y ) = −0.92
●
Y
6
● ●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ●●● ●
●
● ● ●●
●
●●
●●
●
●
●
● ● ● ● ●● ●
●
●
●
●●
●
● ● ●●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
●
● ● ●● ●
●●
●●
●● ● ● ●
●
● ●●●
● ●● ●●
● ● ●
●
●
● ●● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
4
4
Y
6
●
●
●
● ●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●● ●
●●
● ●●●
●
●
●
●
● ●●
●
● ● ●●
●
●●
●●
● ●
●●
●● ●
●
●● ●● ●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●● ●
● ●● ● ●
● ●
●
●
● ●
●● ●
●●
●
● ●
●
●
●
2
2
●
0
0
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
Cov(X , Y ) = 0.78
Cov(X , Y ) = −1.26
Cor(X , Y ) = 0.71
Cor(X , Y ) = −0.92
●●
8
8
10
σX = 1.13, σY = 1.2
10
σX = 1.14, σY = 0.78
●
Y
6
● ●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ●●● ●
●
● ● ●●
●
●●
●●
●
●
●
● ● ● ● ●● ●
●
●
●
●●
●
● ● ●●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
●
● ● ●● ●
●●
●●
●● ● ● ●
●
● ●●●
● ●● ●●
● ● ●
●
●
● ●● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
4
4
Y
6
●
●
●
● ●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●● ●
●●
● ●●●
●
●
●
●
● ●●
●
● ● ●●
●
●●
●●
● ●
●●
●● ●
●
●● ●● ●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●● ●
● ●● ● ●
● ●
●
●
● ●
●● ●
●●
●
● ●
●
●
●
2
2
●
0
0
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 1.14, σY = 0.78
Cov(X , Y ) = 0.78
10
●
8
8
10
Cor(X , Y ) = 0.71
●
●
●●●
Y
6
●
●
●
●●
●●● ●
●
● ●
● ●● ●●
●
●
●
●
●● ●●
●● ●●● ●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●● ●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
4
4
Y
6
●
●
●
● ●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●● ●
●●
● ●●●
●
●
●
●
● ●●
●
● ● ●●
●
●●
●●
● ●
●●
●● ●
●
●● ●● ●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●● ●
● ●● ● ●
● ●
●
●
● ●
●● ●
●●
●
● ●
●
●
●
2
2
●
0
0
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 1.14, σY = 0.78
σX = 1.03, σY = 0.32
Cov(X , Y ) = 0.78
10
●
8
8
10
Cor(X , Y ) = 0.71
●
●
●●●
Y
6
●
●
●
●●
●●● ●
●
● ●
● ●● ●●
●
●
●
●
●● ●●
●● ●●● ●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●● ●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
4
4
Y
6
●
●
●
● ●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●● ●
●●
● ●●●
●
●
●
●
● ●●
●
● ● ●●
●
●●
●●
● ●
●●
●● ●
●
●● ●● ●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●● ●
● ●● ● ●
● ●
●
●
● ●
●● ●
●●
●
● ●
●
●
●
2
2
●
0
0
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 1.14, σY = 0.78
σX = 1.03, σY = 0.32
Cov(X , Y ) = 0.78
Cov(X , Y ) = 0.32
10
●
8
8
10
Cor(X , Y ) = 0.71
●
●
●●●
Y
6
●
●
●
●●
●●● ●
●
● ●
● ●● ●●
●
●
●
●
●● ●●
●● ●●● ●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●● ●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
4
4
Y
6
●
●
●
● ●
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●● ●
●●
● ●●●
●
●
●
●
● ●●
●
● ● ●●
●
●●
●●
● ●
●●
●● ●
●
●● ●● ●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●● ●
● ●● ● ●
● ●
●
●
● ●
●● ●
●●
●
● ●
●
●
●
2
2
●
0
0
●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.91, σY = 0.88
σX = 1.03, σY = 0.32
Cov(X , Y ) = 0.32
10
10
8
8
Cor(X , Y ) = 0.95
●
6
●
●●●
Y
Y
6
●
●
●
●●
●●● ●
●
● ●
● ●● ●●
●
●
●
●
●● ●●
●● ●●● ●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●● ●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
4
●
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
0
0
2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●●●
●●●
●●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
σX = 0.91, σY = 0.88
σX = 1.03, σY = 0.32
Cov(X , Y ) = 0
Cov(X , Y ) = 0.32
10
10
8
8
Cor(X , Y ) = 0.95
●
6
●
●●●
Y
Y
6
●
●
●
●●
●●● ●
●
● ●
● ●● ●●
●
●
●
●
●● ●●
●● ●●● ●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●● ●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
4
●
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
0
0
2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●●●
●●●
●●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
Cor(X , Y ) = 0
Cor(X , Y ) = 0.95
10
Cov(X , Y ) = 0.32
8
Cov(X , Y ) = 0
10
σX = 1.03, σY = 0.32
8
σX = 0.91, σY = 0.88
●
6
●
●●●
Y
Y
6
●
●
●
●●
●●● ●
●
● ●
● ●● ●●
●
●
●
●
●● ●●
●● ●●● ●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●● ●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
4
●
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
0
0
2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●●●
●●●
●●
0
2
4
6
X
8
10
0
2
4
6
X
8
10
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Cov(X , Y )=Cov(Y , X )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Cov(X , Y )=Cov(Y , X )
Cov(X , Y ) = E(X · Y ) − EX · EY
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Cov(X , Y )=Cov(Y , X )
Cov(X , Y ) = E(X · Y ) − EX · EY
Cov(a · X , Y ) = a · Cov(X , Y ) = Cov(X , a · Y )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Cov(X , Y )=Cov(Y , X )
Cov(X , Y ) = E(X · Y ) − EX · EY
Cov(a · X , Y ) = a · Cov(X , Y ) = Cov(X , a · Y )
Cov(X + Z , Y ) = Cov(X , Y ) + Cov(Z , Y )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Cov(X , Y )=Cov(Y , X )
Cov(X , Y ) = E(X · Y ) − EX · EY
Cov(a · X , Y ) = a · Cov(X , Y ) = Cov(X , a · Y )
Cov(X + Z , Y ) = Cov(X , Y ) + Cov(Z , Y )
Cov(X , Z + Y ) = Cov(X , Z ) + Cov(X , Y )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Kovarianzen
Cov(X , Y ) = E[(X − EX ) · (Y − EY )]
Sind X und Y unabhängig, so folgt Cov(X , Y ) = 0
(die Umkehrung gilt nicht!)
Cov(X , Y )=Cov(Y , X )
Cov(X , Y ) = E(X · Y ) − EX · EY
Cov(a · X , Y ) = a · Cov(X , Y ) = Cov(X , a · Y )
Cov(X + Z , Y ) = Cov(X , Y ) + Cov(Z , Y )
Cov(X , Z + Y ) = Cov(X , Z ) + Cov(X , Y )
Die letzten drei Regeln beschreiben die Bilinearität der
Covarianz.
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für die Korrelation
Cor(X , Y ) =
Cov(X , Y )
σX · σY
−1 ≤ Cor(X , Y ) ≤ 1
Cor(X , Y ) = Cor(Y , X )
Cor(X , Y ) = Cov(X /σX , Y /σY )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
VarX = EX 2 − (EX )2
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
VarX = EX 2 − (EX )2
Var(a · X ) =
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
VarX = EX 2 − (EX )2
Var(a · X ) = a2 · VarX
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
VarX = EX 2 − (EX )2
Var(a · X ) = a2 · VarX
Var(X + Y ) =
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
VarX = EX 2 − (EX )2
Var(a · X ) = a2 · VarX
Var(X + Y ) = VarX + VarY + 2 · Cov(X , Y )
Varianz und Kovarianz
Rechenregeln für Varianzen
VarX = E(X − EX )2
VarX = Cov(X , X )
VarX = EX 2 − (EX )2
Var(a · X ) = a2 · VarX
Var(X + Y ) = VarX + VarY + 2 · Cov(X , Y )
Sind (X , Y ) stochastisch unabhängig, so folgt:
Var(X + Y ) = VarX + VarY
Varianz und Kovarianz
Mit diesen Rechenregeln können wir nun endlich beweisen:
Satz
Sind X1 , X2 , . . . Xn unabhängige R-wertige Zufallsgr
ößen mit
P
Mittelwert µ und Varianz σ 2 , so gilt für X = n1 i Xi :
EX = µ
und
Var X =
d.h.
1 2
σ ,
n
σ
σX = √
n
Varianz und Kovarianz
Bernoulli-Verteilung
Eine {0, 1}-wertige Zufallsvariable Y mit Pr(Y = 1) = p und
Pr(Y = 0) = 1 − p heißt Bernoulli-verteilt.
EY = p
Var Y = p · (1 − p)
(s. Tafel)
Varianz und Kovarianz
Bernoulli-Verteilung
Eine {0, 1}-wertige Zufallsvariable Y mit Pr(Y = 1) = p und
Pr(Y = 0) = 1 − p heißt Bernoulli-verteilt.
EY = p
Var Y = p · (1 − p)
(s. Tafel)
Sei Y1 , · · · , Yn unabhängig Bernoulli-verteilt mit Parameter p.
Dann gilt
X
Yi =: X ∼ bin(n, p)
und es folgt:
Var X =
Varianz und Kovarianz
Bernoulli-Verteilung
Eine {0, 1}-wertige Zufallsvariable Y mit Pr(Y = 1) = p und
Pr(Y = 0) = 1 − p heißt Bernoulli-verteilt.
EY = p
Var Y = p · (1 − p)
(s. Tafel)
Sei Y1 , · · · , Yn unabhängig Bernoulli-verteilt mit Parameter p.
Dann gilt
X
Yi =: X ∼ bin(n, p)
und es folgt:
Var X =
X
Var Yi =
Varianz und Kovarianz
Bernoulli-Verteilung
Eine {0, 1}-wertige Zufallsvariable Y mit Pr(Y = 1) = p und
Pr(Y = 0) = 1 − p heißt Bernoulli-verteilt.
EY = p
Var Y = p · (1 − p)
(s. Tafel)
Sei Y1 , · · · , Yn unabhängig Bernoulli-verteilt mit Parameter p.
Dann gilt
X
Yi =: X ∼ bin(n, p)
und es folgt:
Var X =
X
Var Yi = n · p · (1 − p)
Varianz und Kovarianz
Satz (Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung)
Ist X binomialverteilt mit Parametern (n, p), so gilt:
EX = n · p
und
Var X = n · p · (1 − p)
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Ist es nur vom reinen Zufall abhängig, welches Codon
verwendet wird?
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Ist es nur vom reinen Zufall abhängig, welches Codon
verwendet wird?
Dann wäre die Anzahl X der CCT binomialverteilt mit p = 21 und
n = 101844 + 106159 = 208003.
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Ist es nur vom reinen Zufall abhängig, welches Codon
verwendet wird?
Dann wäre die Anzahl X der CCT binomialverteilt mit p = 21 und
n = 101844 + 106159 = 208003.
EX = n · p = 104001.5
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Ist es nur vom reinen Zufall abhängig, welches Codon
verwendet wird?
Dann wäre die Anzahl X der CCT binomialverteilt mit p = 21 und
n = 101844 + 106159 = 208003.
EX = n · p = 104001.5
σX =
p
n · p · (1 − p) ≈ 230
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Ist es nur vom reinen Zufall abhängig, welches Codon
verwendet wird?
Dann wäre die Anzahl X der CCT binomialverteilt mit p = 21 und
n = 101844 + 106159 = 208003.
EX = n · p = 104001.5
σX =
p
n · p · (1 − p) ≈ 230
104001.5 − 101844 = 2157.5 ≈ 9.5 · σX
Varianz und Kovarianz
Auf der menschlichen mtDNA wird die Aminosäure Prolin
101844 mal durch CCT und 106159 mal durch CCA codiert.
Ist es nur vom reinen Zufall abhängig, welches Codon
verwendet wird?
Dann wäre die Anzahl X der CCT binomialverteilt mit p = 21 und
n = 101844 + 106159 = 208003.
EX = n · p = 104001.5
σX =
p
n · p · (1 − p) ≈ 230
104001.5 − 101844 = 2157.5 ≈ 9.5 · σX
Sieht das nach Zufall aus?
Varianz und Kovarianz
¡n ¢
exakt zu berechnen, kann für große n
sehr aufwändig sein, daher wir die
Binomialverteilung oft durch andere
Verteilungen approximiert.
k
Die Normalverteilung
Inhalt
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
0.025
Die Normalverteilung
0.020
●●●
●● ●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.015
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.005
0.010
●
0.000
dbinom(400:600, 1000, 0.5)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
400
450
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●●●
●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
500
400:600
550
600
0.025
Die Normalverteilung
0.020
●●●
●● ●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.015
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.005
0.010
●
0.000
dbinom(400:600, 1000, 0.5)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
400
450
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●●●
●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
500
400:600
550
600
Die Normalverteilung
Dichte der Standardnormalverteilung
Eine Zufallsvariable Z mit der Dichte
x2
1
f (x) = √ · e− 2
2π
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
“Gauß-Glocke”
−3
−2
−1
0
1
2
heißt standardnormalverteilt.
3
Die Normalverteilung
Dichte der Standardnormalverteilung
Eine Zufallsvariable Z mit der Dichte
x2
1
f (x) = √ · e− 2
2π
“Gauß-Glocke”
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
kurz:
Z ∼ N (0, 1)
−3
−2
−1
0
1
2
heißt standardnormalverteilt.
3
Die Normalverteilung
Dichte der Standardnormalverteilung
Eine Zufallsvariable Z mit der Dichte
x2
1
f (x) = √ · e− 2
2π
“Gauß-Glocke”
0.2
0.3
0.4
kurz:
Z ∼ N (0, 1)
0.1
EZ = 0
0.0
Var Z = 1
−3
−2
−1
0
1
2
heißt standardnormalverteilt.
3
Die Normalverteilung
Ist Z N (0, 1)-verteilt, so ist X = σ · Z + µ normalverteilt mit
Mittelwert µ und Varianz σ 2 , kurz:
X ∼ N (µ, σ 2 )
Die Normalverteilung
Ist Z N (0, 1)-verteilt, so ist X = σ · Z + µ normalverteilt mit
Mittelwert µ und Varianz σ 2 , kurz:
X ∼ N (µ, σ 2 )
X hat dann die Dichte
f (x) = √
1
2πσ
·e
−
(x−µ)2
2σ 2
.
Die Normalverteilung
Merkregeln
Ist Z ∼ N (µ, σ 2 ), so gilt:
Pr(|Z − µ| > σ) < 31
Die Normalverteilung
Merkregeln
Ist Z ∼ N (µ, σ 2 ), so gilt:
Pr(|Z − µ| > σ) < 31
Pr(|Z − µ| > 2 · σ) < 0.05
Die Normalverteilung
Merkregeln
Ist Z ∼ N (µ, σ 2 ), so gilt:
Pr(|Z − µ| > σ) < 31
Pr(|Z − µ| > 2 · σ) < 0.05
Pr(|Z − µ| > 3 · σ) < 0.003
Die Normalverteilung
2πσ
·e
−
(x−µ)2
2σ 2
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
f (x) = √
1
0
2
µ−σ
4
µ µ+σ
6
8
10
Die Normalverteilung
Dichten brauchen Integrale
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Sei Z eine Zufallsvariable mit Dichte f (x).
0
2
4
6
a
Dann gilt
Pr(Z ∈ [a, b]) =
8
b
10
Die Normalverteilung
Dichten brauchen Integrale
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Sei Z eine Zufallsvariable mit Dichte f (x).
0
2
4
6
8
a
b
Dann gilt
Z
Pr(Z ∈ [a, b]) =
b
f (x)dx.
a
10
Die Normalverteilung
Beispiel: Sei Z ∼ N (µ = 5, σ 2 = 2.25).
Pr(Z < a) berechnet man dann in R mit
pnorm(a,mean=5,sd=1.5)
Die Normalverteilung
Beispiel: Sei Z ∼ N (µ = 5, σ 2 = 2.25).
Pr(Z < a) berechnet man dann in R mit
pnorm(a,mean=5,sd=1.5)
Berechnung von Pr(Z ∈ [3, 4]):
Die Normalverteilung
Beispiel: Sei Z ∼ N (µ = 5, σ 2 = 2.25).
Pr(Z < a) berechnet man dann in R mit
pnorm(a,mean=5,sd=1.5)
Berechnung von Pr(Z ∈ [3, 4]):
Pr(Z ∈ [3, 4]) = Pr(Z < 4) − Pr(Z < 3)
Die Normalverteilung
Beispiel: Sei Z ∼ N (µ = 5, σ 2 = 2.25).
Pr(Z < a) berechnet man dann in R mit
pnorm(a,mean=5,sd=1.5)
Berechnung von Pr(Z ∈ [3, 4]):
Pr(Z ∈ [3, 4]) = Pr(Z < 4) − Pr(Z < 3)
> pnorm(4,mean=5,sd=1.5)-pnorm(3,mean=5,sd=1.5)
Die Normalverteilung
Beispiel: Sei Z ∼ N (µ = 5, σ 2 = 2.25).
Pr(Z < a) berechnet man dann in R mit
pnorm(a,mean=5,sd=1.5)
Berechnung von Pr(Z ∈ [3, 4]):
Pr(Z ∈ [3, 4]) = Pr(Z < 4) − Pr(Z < 3)
> pnorm(4,mean=5,sd=1.5)-pnorm(3,mean=5,sd=1.5)
[1] 0.1612813
Die Normalverteilung
Sei Z ∼ N (µ, σ 2 ) Frage: Wie berechnet man Pr(Z = 5)?
Die Normalverteilung
Sei Z ∼ N (µ, σ 2 ) Frage: Wie berechnet man Pr(Z = 5)?
Antwort: Für jedes x ∈ R gilt Pr(Z = x) = 0
Die Normalverteilung
Sei Z ∼ N (µ, σ 2 ) Frage: Wie berechnet man Pr(Z = 5)?
Antwort: Für jedes x ∈ R gilt Pr(Z = x) = 0
P
Was wird dann aus EZ = a a · Pr(Z = a) ?
Die Normalverteilung
Sei Z ∼ N (µ, σ 2 ) Frage: Wie berechnet man Pr(Z = 5)?
Antwort: Für jedes x ∈ R gilt Pr(Z = x) = 0
P
Was wird dann aus EZ = a a · Pr(Z = a) ?
Muss reformiert werden:
Z
∞
x · f (x)dx
EZ =
−∞
Die Normalverteilung
Sei Z ∼ N (µ, σ 2 ) Frage: Wie berechnet man Pr(Z = 5)?
Antwort: Für jedes x ∈ R gilt Pr(Z = x) = 0
P
Was wird dann aus EZ = a a · Pr(Z = a) ?
Muss reformiert werden:
Z
∞
x · f (x)dx
EZ =
−∞
Aber zum Glück kennen wir schon das Ergebnis EZ = µ.
Die Normalverteilung
Normalapproximation
Für große n und p, die nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegen, kann
man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit dem
entsprechenden Erwartungswert und der entsprechenden
Varianz approximieren:
Die Normalverteilung
Normalapproximation
Für große n und p, die nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegen, kann
man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit dem
entsprechenden Erwartungswert und der entsprechenden
Varianz approximieren:
Ist X ∼ bin(n, p) und Z ∼ N (µ =
, σ2 =
Pr(X ∈ [a, b]) ≈ Pr(Z ∈ [a, b])
), so gilt
Die Normalverteilung
Normalapproximation
Für große n und p, die nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegen, kann
man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit dem
entsprechenden Erwartungswert und der entsprechenden
Varianz approximieren:
Ist X ∼ bin(n, p) und Z ∼ N (µ = n · p, σ 2 =
Pr(X ∈ [a, b]) ≈ Pr(Z ∈ [a, b])
), so gilt
Die Normalverteilung
Normalapproximation
Für große n und p, die nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegen, kann
man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit dem
entsprechenden Erwartungswert und der entsprechenden
Varianz approximieren:
Ist X ∼ bin(n, p) und Z ∼ N (µ = n · p, σ 2 = n · p · (1 − p)), so gilt
Pr(X ∈ [a, b]) ≈ Pr(Z ∈ [a, b])
Die Normalverteilung
Normalapproximation
Für große n und p, die nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegen, kann
man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit dem
entsprechenden Erwartungswert und der entsprechenden
Varianz approximieren:
Ist X ∼ bin(n, p) und Z ∼ N (µ = n · p, σ 2 = n · p · (1 − p)), so gilt
Pr(X ∈ [a, b]) ≈ Pr(Z ∈ [a, b])
(eine Faustregel: für den Hausgebrauch meist okay, wenn
n · p · (1 − p) ≥ 9)
Die Normalverteilung
0.025
n = 1000, p = 0.5, n · p · (1 − p) = 250
0.020
●●●
●● ●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.015
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.005
0.010
●
0.000
dbinom(400:600, 1000, 0.5)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
400
450
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●●●
●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
500
400:600
550
600
Die Normalverteilung
0.025
n = 1000, p = 0.5, n · p · (1 − p) = 250
0.020
●●●
●● ●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.015
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.005
0.010
●
0.000
dbinom(400:600, 1000, 0.5)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
400
450
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●●●
●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
500
400:600
550
600
Die Normalverteilung
0.30
n = 10, p = 0.2, n · p · (1 − p) = 1.6
●
0.20
●
●
0.05
0.10
0.15
●
●
0.00
dbinom(0:10, 10, 0.2)
0.25
●
●
0
2
4
6
0:10
●
●
8
●
●
10
Die Normalverteilung
0.30
n = 10, p = 0.2, n · p · (1 − p) = 1.6
●
0.20
●
●
0.05
0.10
0.15
●
●
0.00
dbinom(0:10, 10, 0.2)
0.25
●
●
0
2
4
6
0:10
●
●
8
●
●
10
Die Normalverteilung
Theorem (Zentraler Grenzwertsatz)
Die R-wertigen Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . seien unabhängig
identisch verteilt mit Erwartungswert EXi = µ und Varianz
Var Xi = σ 2 , wobei −∞ < µ < ∞ und 0 < σ < ∞. Sei außerdem
Yn :=
X1 +···+Xn
n
−µ
√
.
σ/ n
Dann gilt für alle −∞ ≤ a < b ≤ ∞
lim Pr(a ≤ Yn ≤ b) → Pr(a ≤ Z ≤ d),
n→∞
wobei Z eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.
Der z-Test
Inhalt
1
Zufallsvariablen und Verteilung
2
Von der Unabhängigkeit zur Binomialverteilung
3
Erwartungswert
4
Varianz und Kovarianz
5
Die Normalverteilung
6
Der z-Test
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
CCT kommt k = 101844 mal vor
CCA kommt n − k = 106159 mal vor
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
CCT kommt k = 101844 mal vor
CCA kommt n − k = 106159 mal vor
Null-Hypothese: Alles Zufall.
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
CCT kommt k = 101844 mal vor
CCA kommt n − k = 106159 mal vor
Null-Hypothese: Alles Zufall. d.h. X , die Anzahl der CCT ist
bin(n, p)-verteilt mit n = 208003 und p = 0.5.
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
CCT kommt k = 101844 mal vor
CCA kommt n − k = 106159 mal vor
Null-Hypothese: Alles Zufall. d.h. X , die Anzahl der CCT ist
bin(n, p)-verteilt mit n = 208003 und p = 0.5.
Normalapproximation: X ist ungefähr N (µ, σ 2 )-verteilt mit
µ = n · p = 104001.5
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
CCT kommt k = 101844 mal vor
CCA kommt n − k = 106159 mal vor
Null-Hypothese: Alles Zufall. d.h. X , die Anzahl der CCT ist
bin(n, p)-verteilt mit n = 208003 und p = 0.5.
Normalapproximation: X ist ungefähr N (µ, σ 2 )-verteilt mit
µ = n · p = 104001.5 ≈ 104000
und
σ=
p
n · p · (1 − p) = 228.0367
Der z-Test
Zurück zu dem Beispiel mit den Prolin-Codons in der
menschlichen mtDNA.
CCT kommt k = 101844 mal vor
CCA kommt n − k = 106159 mal vor
Null-Hypothese: Alles Zufall. d.h. X , die Anzahl der CCT ist
bin(n, p)-verteilt mit n = 208003 und p = 0.5.
Normalapproximation: X ist ungefähr N (µ, σ 2 )-verteilt mit
µ = n · p = 104001.5 ≈ 104000
und
σ=
p
n · p · (1 − p) = 228.0367 ≈ 230
Der z-Test
Frage: Ist es plausibel, dass eine Größe X , die den Wert
k = 101844 angenommen hat, ungefähr
N (104000, 2302 )-verteilt ist?
k
Der z-Test
Frage: Ist es plausibel, dass eine Größe X , die den Wert
k = 101844 angenommen hat, ungefähr
N (104000, 2302 )-verteilt ist?
k
Wenn diese Nullhypothese H0 gilt, dann folgt
Pr(X = 101844) =
Der z-Test
Frage: Ist es plausibel, dass eine Größe X , die den Wert
k = 101844 angenommen hat, ungefähr
N (104000, 2302 )-verteilt ist?
k
Wenn diese Nullhypothese H0 gilt, dann folgt
Pr(X = 101844) = 0
Der z-Test
Frage: Ist es plausibel, dass eine Größe X , die den Wert
k = 101844 angenommen hat, ungefähr
N (104000, 2302 )-verteilt ist?
k
Wenn diese Nullhypothese H0 gilt, dann folgt
Pr(X = 101844) = 0
Aber das bedeutet nichts, denn Pr(X = k) = 0 gilt für jeden
Wert k!
Der z-Test
Entscheidend ist die Wahrscheinlichkeit, dass X (unter
Annahme der H0 ) einen mindestens so extremen Wert wie k
annimmt:
k
Der z-Test
Entscheidend ist die Wahrscheinlichkeit, dass X (unter
Annahme der H0 ) einen mindestens so extremen Wert wie k
annimmt:
k
Pr(|X −µ| ≥ |k −µ|)
Der z-Test
Entscheidend ist die Wahrscheinlichkeit, dass X (unter
Annahme der H0 ) einen mindestens so extremen Wert wie k
annimmt:
k
Pr(|X −µ| ≥ |k −µ|) = Pr(|X −µ| ≥ 2156)
Der z-Test
Entscheidend ist die Wahrscheinlichkeit, dass X (unter
Annahme der H0 ) einen mindestens so extremen Wert wie k
annimmt:
k
Pr(|X −µ| ≥ |k −µ|) = Pr(|X −µ| ≥ 2156) ≈ Pr(|X −µ| ≥ 9.37·σ)
Der z-Test
Wir wissen bereits:
Pr (|X − µ| ≥ 3 · σ) < 0.003
Der z-Test
Wir wissen bereits:
Pr (|X − µ| ≥ 3 · σ) < 0.003
(siehe Merkregeln!)
Der z-Test
Wir wissen bereits:
Pr (|X − µ| ≥ 3 · σ) < 0.003
(siehe Merkregeln!)
Also muss Pr(|X − µ| ≥ 9.37 · σ) extrem klein sein.
Der z-Test
Wir wissen bereits:
Pr (|X − µ| ≥ 3 · σ) < 0.003
(siehe Merkregeln!)
Also muss Pr(|X − µ| ≥ 9.37 · σ) extrem klein sein.
In der Tat:
> 2 * pnorm(101844,mean=104000,sd=230)
[1] 6.989218e-21
Der z-Test
Wir wissen bereits:
Pr (|X − µ| ≥ 3 · σ) < 0.003
(siehe Merkregeln!)
Also muss Pr(|X − µ| ≥ 9.37 · σ) extrem klein sein.
In der Tat:
> 2 * pnorm(101844,mean=104000,sd=230)
[1] 6.989218e-21
Ohne Normalapproximation:
> pbinom(101844,size=208003,p=0.5) +
+ pbinom(106158.99,size=208003,p=0.5,lower.tail=FALSE)
[1] 3.098994e-21
Der z-Test
Wir können also argumentieren, dass eine derartig starke
Abweichung vom Erwartungswerte nur durch einen extremen
Zufall zu erklären ist.
Wir werden also die Nullhypothese “alles nur Zufall” verwerfen
und nach alternativen Erklärungen suchen, etwa
unterschiedliche Effizienz von CCA und CCT oder
unterschiedliche Verfügbarkeit von A und T.
Der z-Test
Zusammenfassung z-Test
Nullhypothese H0 (möchte man meistens verwerfen): der
beobachtete Wert x kommt aus einer
Normalverteilung mit Mittelwert µ und bekannter
Varianz σ 2 .
Der z-Test
Zusammenfassung z-Test
Nullhypothese H0 (möchte man meistens verwerfen): der
beobachtete Wert x kommt aus einer
Normalverteilung mit Mittelwert µ und bekannter
Varianz σ 2 .
p-Wert =Pr(|X − µ| ≥ |x − µ|), wobei X ∼ N (µ, σ 2 ), also die
Wahrscheinlichkeit einer mindestens so großen
Abweichung wie der beobachteten.
Der z-Test
Zusammenfassung z-Test
Nullhypothese H0 (möchte man meistens verwerfen): der
beobachtete Wert x kommt aus einer
Normalverteilung mit Mittelwert µ und bekannter
Varianz σ 2 .
p-Wert =Pr(|X − µ| ≥ |x − µ|), wobei X ∼ N (µ, σ 2 ), also die
Wahrscheinlichkeit einer mindestens so großen
Abweichung wie der beobachteten.
Signifikanzniveau α : oft 0.05. Wenn der p-Wert kleiner ist als α,
verwerfen wir die Nullhypothese und suchen nach
einer alternativen Erklärung.
Der z-Test
Grenzen des z-Tests
Der z-Test kann nur angewendet werden, wenn die Varianz der
Normalverteilung bekannt ist oder zumindest in der
Nullhypothese als bekannt angenommen wird.
Der z-Test
Grenzen des z-Tests
Der z-Test kann nur angewendet werden, wenn die Varianz der
Normalverteilung bekannt ist oder zumindest in der
Nullhypothese als bekannt angenommen wird.
Das ist meistens nicht der Fall, wenn die Normalverteilung beim
statistischen Testen verwendet wird.
Der z-Test
Grenzen des z-Tests
Der z-Test kann nur angewendet werden, wenn die Varianz der
Normalverteilung bekannt ist oder zumindest in der
Nullhypothese als bekannt angenommen wird.
Das ist meistens nicht der Fall, wenn die Normalverteilung beim
statistischen Testen verwendet wird.
Meistens wird die Varianz aus den Daten geschätzt. Dann muss
statt dem z-Test der berühmte
t-Test
angewendet werden.