Übungen zur Einführung in die Geometrie

Übungen zur Einführung in die Geometrie
Sommersemester 2016
Universität Heidelberg
Andreas Ott
Benjamin Kupferer
Blatt 10
Abgabetermin: Freitag, 01.07.16, 9.00 Uhr
Aufgabe 1.
Sei H eine Hilbertebene. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(2+2+2 Punkte)
(a) Seien α, α0 , β, β 0 ∈ W mit α ' α0 und β ' β 0 . Dann gilt α < β genau dann, wenn
α0 < β 0 gilt.
(b) Seien α, β, γ ∈ W mit α < β und β < γ. Dann gilt α < γ.
(c) Für zwei Winkel α, β ∈ W gilt genau eine der drei folgenden Aussagen:
α < β, α ' β, α > β.
Aufgabe 2.
(2+2+2 Punkte)
2
In dieser Aufgabe soll das Axiom (K4 ) für R gezeigt werden. Es bezeichne h, i das
Standardskalarprodukt und k k die euklidische Norm auf R2 . Die Notation in dieser
Aufgabe richtet sich nach dem Skript.
(a) Zeigen Sie, dass
] : R2 \{0} × R2 \{0} −→ [0, π]
(v, w) 7−→ arccos
hv, wi
kvkkwk
eine wohldefinierte Abbildung ist.
Für A, B, C ∈ R2 in allgemeiner Lage definiert man dann
]ABC := ](A − B, C − B).
(b) Zeigen Sie, dass ]ABC wohldefiniert ist, d.h. zeigen Sie für A, B, C ∈ R2 und
A0 , B 0 , C 0 ∈ R2 , die jeweils in allgemeiner Lage sind, mit ∠ABC = ∠A0 B 0 C 0 , dass
auch ]ABC = ]A0 B 0 C 0 gilt.
Sind A, B, C sowie A0 , B 0 , C 0 ∈ R2 jeweils drei Punkte in allgemeiner Lage, so
definiert man
∠ABC ' ∠A0 B 0 C 0 :⇐⇒ ]ABC = ]A0 B 0 C 0 .
(c) Zeigen Sie, dass ' auf der Menge der Winkel W eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 3.
(2+2+2+2 Punkte)
Das Ziel dieser Aufgabe ist es ein Beispiel einer Ebene zu geben, die zwar unendlich viele
Punkte enthält, jedoch nicht isomorph zur Ebene A2 (R) ist. Man kann sogar zeigen,
dass die hier eingeführte Ebene eine Hilbertebene ist.
Sei P := {(x, y) ∈ R2 | y > 0} die Punktemenge und sei P1 := {(x, 0)| x ∈ R} ⊆ R2 die
x-Achse. Für A ∈ P1 definiere man
gA := {A + t(0, 1)| t ∈ R+ }.
Für A = (a, 0) ∈ P1 und r ∈ R+ definiere man
hA,r := {(x, y) ∈ R2 |(x − a)2 + y 2 = r2 , y > 0}.
(a) Seien A ∈ P1 und r ∈ R+ . Zeigen Sie, dass gA ⊆ P und hA,r ⊆ P gilt.
Man definiere dann G1 := {gA | A ∈ P1 } und G2 := {hA,r | A ∈ P1 , r ∈ R+ }
und setze G := G1 ∪ G2 . Die Geradenmenge besteht also aus Halbgeraden und
Halbkreisen die senkrecht auf der x-Achse stehen.
(b) Seien A 6= B ∈ P1 und r 6= s ∈ R+ . Zeigen Sie, dass der Schnitt von hA,r mit gB
und der Schnitt von hA,r mit hB,s jeweils höchstens einen Punkt in P enthält.
(c) Seien A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ) ∈ P mit a1 6= b1 . Zeigen Sie, dass es M ∈ P1 und
r ∈ R gibt, sodass A, B ∈ hM,r gilt. Folgern Sie, dass (P, G) eine Inzidenzebene
ist.
(d) Man betrachte nun den Punkt (0, 0) ∈ P1 und die Gerade h(0,0),1 ∈ G2 sowie
den Punkt (3, 4) ∈ P. Finden Sie ein r ∈ R+ , sodass (3, 4) ∈ h(0,0),r gilt. Finden
Sie darüber hinaus ein A ∈ P1 , sodass (3, 4) ∈ gA gilt. Folgern Sie hieraus, dass
die Ebene (P, G) als Inzidenzebene nicht isomorph zur Standardebene A2 (R) sein
kann.