Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel

MK 21.2.2005 BedWahrscheinlichkeitVierFelderT.mcd
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel
Auf den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit kann nach Lehrplan verzichtet werden.
Auf einer Sportveranstaltung sind Fußballpaarungen auszulosen:
Es bewerben sich 15 Vereine, die in einem Turnier in einem bestimmen Stadion spielen wollen.
Darunter sind 6 Zweitligisten und 12 ausländische Vereine. 4 Vereine sind sowohl Zweitligisten als auch
Ausländer. Damit lässt sich die folgende
Vierfeldertafel erstellen:
Ausländer (A)
Einheimische (nA)
Summe
Erstliga (E)
?
?
?
Zweitliga (nE)
4
?
6
12
?
15
Summe
15 Vereine insgesamt, darunter 12 Ausländer: Es gibt also 3 Einheimische.
So wird die Tafel sukzessive ergänzt:
Ausländer (A)
Inländer (nA)
Summe
Erstliga (E)
8
1
9
Zweitliga (nE)
4
2
6
12
3
15
Summe
Man sieht: |Ω| = 15. Da das Los entscheiden soll, sind alle Ziehungen gleichwahrscheinlich.
So beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erstligaverein gezogen wird:
P ( E) =
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einheimscher Zweitligaverein gezogen wird:
9
15
P ( nE∩
∩nA) =
2
15
Der Moderator, der die Auslosung in den Händen hält, macht die Sache spannend:
Er verkündet, dass ein einheimischer Verein gezogen wurde. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass es der
einheimische Erstligist ist?
Man muss also die Wahrscheinlichkeit für den Erstligaverein unter der Bedingung Inländer berechnen:
PnA ( E ) =
nA∩
∩E
nA
=
1
3
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Def.: A und B seien Ereignisse in Ω. Dann nennt man
PA( B) =
A∩
∩B
die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.
Im Normalfall gilt:
PA( B) ≠ P ( B)
A
= "P(B / A)" , andere Schreibweise.
Beispiel:
Seien M = Geschlecht männlich und D = an Diabetes erkrankt Merkmale (Ereignisse) in einer
Vergleichsgruppe. Gegeben sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
D
nD = gesund
M
nM = W
0.035
0.015
0.565
0.385
(1) Ergänzen Sie die Vierfeldertafel um die Summen
D
nD = gesund
M
nM = W
0.035
0.015
0.05
0.565
0.385
0.95
0.60
0.4
1
<---- Hier sollte zu 1 aufsummiert sein!
(2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied dieser Vergleichsgruppe an Diabetes erkrankt ist?
P ( D) = 0.05
(3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied dieser Vergleichsgruppe an Diabetes erkrankt ist,
wenn er ein Mann ist?
PM ( D) =
0.035
0.035
0.6
0.6
= 0.058
(4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied dieser Vergleichsgruppe männlich ist, wenn es
Diabetes hat?
P D ( M) =
0.035
0.035
0.05
0.05
= 0.7