Impuls bei Kreisbewegung

Impuls bei Kreisbewegung - SystemPhysik
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Impuls bei Kreisbewegung
Aus SystemPhysik
Eine Auto, ein Zug oder ein Flugzeug, das eine Kurve fährt bzw. fliegt, muss Impuls mit der Umgebung
austauschen können, damit sich die Bewegungsrichtung ändert. Geht man von einer 90°-Kurve aus und legt
die x-Achse in Richtung der Anfangsgeschwindigkeit, so bewegt sich das Objekt am Ende der Kurvenfahrt in
Richtung der y-Achse. Folglich wird der gesamte x-Impuls abgegeben und gleich viel y-Impuls
aufgenommen. Zugleich bleibt die kinetische Energie erhalten.
Inhaltsverzeichnis
1 Lernziele
2 Missverständnisse
3 Ort und Geschwindigkeit
4 Impuls und Kraft
5 Leistung und Energie
6 Flüssigkeitsbild
7 Beispiele
7.1 Auto
7.2 Flugzeug
7.3 Satellit
8 Kontrollfragen
9 Antworten zu den Kontrollfragen
10 Materialien
Lernziele
In dieser Vorlesung lernen Sie
dass bei einer gleichmässigen Kreisbewegung Impuls ausgetauscht wird, die kinetische Energie aber
erhalten bleibt
dass sich bei einer Kreisbewegung sowohl der x- als auch der y-Impulsinhalt sinusartig ändern und
dass die beiden "Schwingungen" um eine Viertelperiode versetzt sind
dass die resultierende Kraft gegen die Kreismitte zeigt und dass diese Impulsänderungsrate somit
normal zum Impuls gerichtet ist
dass die Beschleunigung gleich dem Quotienten aus dem Quadrat der Geschwindigkeit und dem
Kreisradius ist
dass bei einer Kreisbewegung keine Zentrifugalkraft wirkt und der Begriff Zentripetalkraft nicht nur
veraltet sondern auch völlig überflüssig ist
dass das Auto von der Haftreibungskraft, das Flugzeug von einer Komponente der Auftriebskraft und
der Satellit von der Gewichtskraft auf der Kreisbahn geführt wird
Missverständnisse
Im Zusammenhang mit der Kreisbewegung treten zwei Missverständnisse auf, die kaum aus der Welt zu
schaffen sind
04.12.2008 18:27
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1. die Kreisbewegung wird mit der Rotation verwechselt
2. eine Zentrifugalkraft soll den Körper nach aussen ziehen
Zum ersten Punkt ist zu sagen, dass Fahrzeuge auf der Kreisbahn oft eine synchrone Rotation ausführen,
ihre Drehbewegung also der Verschiebung auf der Kreisbahn anpassen. Andere Objekte, wie ein Satellit oder
die Gondel eines Riesenrades, rotieren dagegen unabhängig von der Kreisbewegung; Translation und
Rotation sind völlig entkoppelt. Der zweite Punkt ist vielschichtiger. Unter einer Zentrifugalkraft versteht
man in der Physik eine gravitationsähnliche Trägheitskraft, die nur in einem rotierenden Bezugssystem
eingeführt werden darf: der Passagier in der rotierenden Kabine muss eine Zentrifugalkraft einführen, der
aussen stehende Beobachter darf keine Zentrifugalkraft postulieren. Mehr dazu in der Vorlesung Gravitation
als Impulsquelle.
Zu den beiden Missverständnissen gesellt sich noch der völlig überflüssige Begriff der Zentripetalkraft. Die
Zentripetalkraft ist eine Altlast der Physik, die es schnellstmöglich zu entsorgen gilt. Ursache für die
Kreisbewegung ist eine gegen das Zentrum des Kreises gerichtete, resultierende Kraft. Diese
Impulsänderungsrate wird in der Regel durch das Zusammenspiel mehrerer Impulsströme (Kräfte) erzeugt.
Weil die meisten Kräfte schon zutreffend bezeichnet werden, erübrigt sich ein weiterer Name, der bloss im
Spezialfall der Kreisbewegung auftritt. Die gegen die Mitte der Kreisbahn gerichtete, resultierende Kraft ist
beim Kurven fahrenden Auto Teil der Haftreibungskraft
beim Flugzeug Teil des Auftriebes
beim Satelliten gleich der Gravitationskraft
bei einem Elementarteilchen im Ringbeschleuniger gleich der elektromagnetischen Kraft.
Ort und Geschwindigkeit
Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn kann mit dem Radius r
und der Winkelgeschwindigkeit ω beschrieben werden. Dabei misst man
den Winkel in Radianten. Diese Winkelmessung bezieht sich auf die
Bogenlänge im Einheitskreis (ein Vollwinkel ist gleich 2 π und ein rechter
Winkel gleich π/2). Folglich entspricht die Winkelgeschwindigkeit, die
Änderungsrate des Winkels, der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem
Einheitskreis. Ändert sich die Winkelgeschwindigkeit nicht mit der Zeit, ist
der Winkel gleich Winkelgeschwindigkeit mal Zeit
Aus der nebenstehend abgebildeten Skizze entnimmt man die x- und die
y-Koordinaten des umlaufenden Radiusvektors
x- und y-Koordinate bei der
Kreisbewegung
Die Geschwindigkeit steht bei der Kreisbewegung zu jedem Zeitpunkt normal zum Radiusvektor. Weil die
Bogenlänge gleich Winkel mal Radius ist, muss der Betrag der Geschwindigkeit, die Schnelligkeit, gleich
Winkelgeschwindigkeit mal Radius sein
v = ωr
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In der zweiten Skizze ist die Zerlegung der Geschwindigkeit in eine x- und
eine y-Komponente eingezeichnet. vx verändert sich mit minus Sinus des
Winkels und vy mit dem Cosinus des gleichen Winkels. Wird der Winkel
durch Winkelgeschwindigkeit mal die Zeit ersetzt, erhält man
Die Geschwindigkeit ist gleich der Änderungsrate des Ortsvektors oder
gleich der Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. Die hier gegebene,
getrennte Darstellung von Ort und Geschwindigkeit ermöglicht uns einen
Einblick in die Regel der Differentialrechnung: leitet man eine
Sinusfunktion ab, erhält man eine Cosinusfunktion; die Ableitung der
Cosinusfunktion liefert eine minus Sinusfunktion. Zudem geht die
Winkelgeschwindigkeit infolge der Ableitung als Faktor in die Amplitude
ein
x- und y-Komponente der
Geschwindigkeit
und
Impuls und Kraft
Das Kapazitivgesetz liefert bei gegebener Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes den Impulsinhalt des
Körpers
Für den Betrag des Impulsvektors gilt somit: p = m v = m ω r
Die Impulsänderungsrate erhält man durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit
Die Impulsänderungsrate, die resultierende Kraft, zeigt gegen den Radiusvektor, also nach innen. Der Betrag
der resultierenden Kraft ist konstant und proportional zum Quadrat der Winkelgschwindigkeit bzw. zum
Quadrat der Geschwindigkeit
Statt den Impuls abzuleiten, hätte man auch aus der Geschwindigkeit die Beschleunigung bilden können
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Die Beschleunigung steht bei einer gleichförmigen Kreisbewegung normal zum Geschwindigkeitsvektor
(Normalbeschleunigung) und zeigt gegen die Kreismitte. Der Betrag der Beschleunigung ist gleich
Winkelgeschwindigkeit im Quadrat mal Radius oder gleich Geschwindigkeit im Quadrat durch Radius. Diese
Formel sollten Sie auswendig wissen. Zudem sollten Sie nun eingesehen haben, dass der Begriff
Zentrifugalkraft bei der Kreisbewegung gar nichts zu suchen hat.
Leistung und Energie
Wird die Kreisbewegung durch eine einzige Kraft verursacht, ist der dem Impulsstrom zugeordnete
Energiestrom, die Leistung dieser Kraft, gleich Null (ein Skalarprodukt liefert den Wert Null, sobald die
beiden Vektoren normal zueinander stehen)
Damit bleibt die kinetische Energie des Körpers erhalten. Generell tauscht ein Körper immer dann keine
Energie mit der Umgebung aus, wenn die resultierende Kraft normal zu Geschwindigkeit steht. Unter diesen
Umständen ändert die Kraft wohl den Impuls und damit die Bewegungsrichtung, nicht aber den Betrag der
Geschwindigkeit.
Ein Körper, der sich mit konstanter Schnelligkeit auf einer Kreisbahn bewegt, ändert seinen Impulsinhalt,
nicht aber seine kinetische Energie, d.h. der Impulsaustausch erfolgt leistungsfrei. Nun unterscheidet man im
Alltag kaum zwischen Impuls und Energie bzw. Kraft (Impulsstromstärke) und Leistung
(Energiestromstärke). So interessiert beim Auto Fahren meist nur der Benzinverbrauch. Deshalb darf man
noch lange nicht behaupten, dass bei einer gleichmässigen Kreisbewegung der Körper keine Beschleunigung
erfährt und dass sich die Kräfte aufheben. Leider werden die Schüler gerade in einführenden Kursen in
ihrem diesbezüglichen Vorurteil noch gestärkt. Im deutschen Sprachraum kann es sogar passieren, dass ein
Schüler für die Behauptung, dass sich bei einer Kurvenfahrt die Zentripetal- und die Zentrifugalkraft im
Gleichgewicht halten, vom Lehrer gelobt statt zu sorgfältigem Nachdenken ermahnt wird.
Flüssigkeitsbild
Das Flüssigkeitsbild zeigt komponentenweise die wesentlichen Elemente
der Translationsmechanik
der Inhalt entspricht der Impulskomponente
die Füllhöhe zeigt die Geschwindigkeit an
die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsoberfläche, des Spiegels,
entspricht der Beschleunigung der zugehörigen Komponente
die Inaltsänderungsrate zeigt, wie gross die entsprechende
Komponente der resultierenden Kraft ist
Kreisbewegung im
Flüssigkeitsbild
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung schwingen die Spiegel in den
Töpfen der beiden Flüssigkeitsbilder harmonisch auf und ab. Die
zugehörige Impulsänderungsrate (Komponente der resultierenden Kraft) ist
dann am grössten oder am kleinsten, wenn der Inhalt gerade gleich Null ist. Umgekehrt ist die
Impulsänderungsrate gleich Null, soblald die Geschwindigkeit oder der Impulsinhalt das Maximum bzw.
Minimum erreicht hat.
Im Flüssigkeitsbild erscheint die kinetische Energie als potentielle (Menge mal halbe Füllhöhe)
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Die kinetische Energie bleibt gesamthaft erhalten, obwohl sich die Anteile der beiden Komponenten
quadratisch mit dem Sinus bzw. Cosinus verändern.
Beispiele
Auto
Ein Auto, das auf Glatteis gerät, fährt geradeaus. Es kann seinen Impuls
nicht mehr mit der Erde austauschen, weil die Eisschicht bezüglich des
Impulsstromes isolierend wirkt. Soll das Auto in der Kurve bleiben, muss es
dauernd Impuls mit der Erde austauschen. Die zugehörige
Impulsstromstärke nennt man Haftreibungskraft.
Die Haftreibung bildet einen Kurzschluss bezüglich den Strömen des
Horizontalimpulses. Anfahren, Bremsen oder Kurven Fahren sind nur
möglich, solange die Haftreibungskraft wirkt. Rennautos werden durch
einen aerodynamisch erzeugten Abtrieb zusätzlich auf die Strasse gedrückt,
damit die maximale Haftreibungskraft möglichst gross wird.
zu schwache Impulsänderung
Das Auto tauscht über die Strasse und über die Luft Impuls mit der Erde
aus. Die zugehörigen Impulsströme heissen Haftreibungskraft und
Luftwiderstand. Der Luftwiderstand wirkt gegen die anströmende Luft, also
in der Regel nach hinten. Soll nun ein Auto einer gekrümmten Strasse folgen, muss die Vektorsumme aus
Haftreibungskraft und Luftwiderstand gegen den momentanen Krümmungsmittelpunkt des Strassenstücks
zeigen. Da die Haftreibungskraft nach oben begrenzt ist, kann es passieren, dass der Sollwert grösser als der
maximal mögliche Istwert wird. Dann kann das Auto der Strasse nicht mehr folgen und gerät an den Rand.
Obwohl nur der Krümmungsradius der Bahn grösser als der Radius der Strasse ist, hat der Autofahrer das
Gefühl, dass er nach aussen getrieben wird. Dieses Gefühl berechtigt uns natürlich noch lange nicht, eine in
diesem Zusammenhang völlig deplatzierte Zentrifugalkraft einzuführen.
Mathematisch ausgedrückt, bestimmt die Summe aus Luftwiderstand und Haftreibungskraft die
Beschleunigung des Fahrzeuges
Soll eine Kurve mit dem Radius r gefahren werden, ist der Betrag der resultierenden Kraft gleich
Die kinetische Energie bestimmt somit den Zusammenhang zwischen resultierender Kraft und Kurvenradius.
Weil diese Kraft nicht grösser als der Maximalwert der Haftreibung werden kann, sollte der Quotient aus
kinetischer Energie und Kurvenradius einen bestimmten Wert nicht überschreiten.
Flugzeug
Das Flugzeug kann nur mit dem Gravitationsfeld und der umgebenden Luft Impuls austauschen. Der
Austausch mit dem Gravitationsfeld wird durch die Gewichtskraft beschrieben. Die Gewichts-, Gravitationsoder Schwerkraft ist gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke. Die Gewichtskraft hängt von der momentanen
Beladung des Flugzeuges und von der Feldstärke der Erde (g) ab, wobei sich letztere kaum mit der Höhe
verändert. Der Impulsaustausch mit der Luft geschieht auf vielfältige Art. Die Triebwerke tauschen mit der
durchströmenden Luft Impuls aus und erzeugen so eine Schubkraft. Der Rumpf erzeugt einen
Luftwiderstand, die Flügel sowohl einen Auftrieb als auch einen induzierten Widerstand. Fasst man alle
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Widerstände zu einer einzigen Kraft zusammen, so darf in guter Näherung behauptet werden, dass die
Schubkraft diese Widerstände kompensiert. Übrig bleiben dann noch der dynamische Auftrieb und die
Gewichtskraft. Die Gewichtskraft zeigt immer gegen unten und der Auftrieb steht normal zur Flügelebene.
Im Horizontalflug ist der Auftrieb gleich gross wie die Gewichtskraft (auch im gleichförmigen Steig- oder
Sinkflug ist die Summe aus Luftwiderstand, Auftrieb, Schub und Gewichtskraft gleich Null; mit diesen
Fragen wollen wir uns in der letzten Vorlesung des Herbstsemesters beschäftigen). Soll nun ein Flugzeug
abdrehen, muss es wie ein Motorrad in die "Kurve hinein gelegt" werden. Durch das seitliche Abkippen
(Rollen) erzeugt das Flugzeug eine Horizontalkomponente des Auftriebs, welche das Flugzeug in die Kurve
drückt. Würde der Pilot das Flugzeug nur in Schieflage legen, bliebe der Betrag der Autriebskraft konstant.
Die Vertikalkomponente würde dabei kleiner und könnte das Gewicht nicht mehr voll kompensieren.
Folglich muss der Auftrieb beim Eintritt in die Kurve vergrössert werden.
Während der Kurvenfahrt heben sich die Kräfte in vertikaler Richtung auf und die Horizontalkomponente
der Auftriebskraft erzwingt die Kreisbahn. Nimmt man an, dass die Auftriebskraft weiterhin normal zur
Flügelebene wirkt, gilt mit der Flügelneigung α
oder
Der Pilot spürt beim Kurvenflug ein lokales Gravitationsfeld, das gleich der Vektorsumme aus erdüblicher
Gravitationsfeldstärke minus der Beschleunigung des Flugzeuges ist. Dieser Idee werden wir in der nächsten
Vorlesung über Gravitation als Impulsquelle nachgehen.
Satellit
Ein antriebsloser Satellit fällt unter der alleinigen Wirkung der Schwerkraft durch den leeren Raum. Isaac
Newton hat als erster entdeckt, dass die gleich Kraft, die den Apfel vom Baum fallen lässt, den Mond an die
Erde bindet. Der Mond und alle künstlichen Trabanten fallen somit gegen die Erde. Nur sorgt die anfänglich
schon vorhandene Tangentialgeschwindigkeit dafür, dass diese Körper nicht längs eines Radius hinunter
fallen, sondern auf einer elliptischen Bahn dauernd an der Erde vorbei fliegen.
Der Satellit tauscht über das Gravitationsfeld andauernd Impuls mit der Erde aus. Diesen Impulsaustausch
nennt man Gewichts-, Gravitations- oder Schwerkraft. Die Stärke dieser Kraft ist gleich Masse mal
Gravitationsfeldstärke
wobei die Gravitationsfeldstärke g gegen die Erdemitte zeigt. Wirkt nur die Gewichtskraft auf einen Körper
ein, kürzt sich in der Impulsbilanz die Masse weg
Für alle antriebslos durch den Weltraum fliegenden Körper gilt demnach
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Die Beschleunigung ist für alle Körper gleich der Stärke des lokal vorhandenen Gravitationsfeldes.
Bewegt sich nun ein Satellit exakt auf einer Kreisbahn - was er in den seltesten Fällen macht - kann die
Beschleunigung durch den Spezialausdruck für die Kreisbahn ersetzt werden
Ein Satellit fällt auf einer Kreisbahn um die Erde, falls man ihm am Anfang die richtige Geschwindigkeit
tangential zu Erdoberfläche erteilt
Die Behauptung, dass ein Satellit nicht auf die Erde fällt, weil die Zentrifugalkraft der Gewichtskraft
entgegen wirkt, ist so ziemlich das Dümmste, was man in diesem Zusammenhang sagen kann.
Kontrollfragen
1. In welche Richtung zeigt die resultierende Kraft auf ein Auto bei einer Kurvenfahrt mit konstanter
Schnelligkeit?
2. Welche mengenartige Grösse bleiben bei der Kreisbewegung konstant, welche ändern sich?
3. Wie ändern sich die beiden Komponenten des Impulses bei einer Kurvenfahrt?
4. Wie stehen Radiusvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer Kurvenfahrt zueinander?
5. Ein Auto fährt mit 72 km/h in eine Kurve hinein. Wie gross muss der Kurvenradius mindestens sein,
damit die Beschleunigung nicht grösser als 6 m/s2 wird?
6. Wer darf und wer muss eine Zentrifugalkraft einführen?
7. Wieso kann man auf den Begriff Zentripetalkraft verzichten?
Antworten zu den Kontrollfragen
1. Fährt ein Auto mit konstanter Tachometeranzeige im Kreis herum, zeigt die resultierende Kraft
bezüglich des Systems Auto gegen die Kreismitte. Die resultierende Kraft steht damit normal zum
Vektor der Geschwindigkeit.
2. Bei der Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit bleibt die kinetische Energie konstant. Die
beiden Komponenten des Impulses ändern sich dagegen andauernd.
3. Die beiden Komponenten des Impulses ändern bei einer gleichmässigen Kreisbewegung sinusartig.
4. Bei einer Kurvenfahrt zeigt der Beschleunigungsvektor zur Kurvenmitte, also gegen den Radiusvektor.
Die Geschwindigkeit steht dann normal zum Radius und zur Beschleunigung.
5. Die Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit durch den Radius. Folglich ist der
Radius gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit durch die Beschleunigung
= 66.67 m.
6. Wer auf einem Karussell steht oder sich in einem andern Bezugssystem befindet, das rotiert, muss eine
ortsabhängige Zentrifugalkraft einführen. Wer seine Bewegungsanalyse von einem nicht rotierenden
System aus vornimmt, darf unter keinen Umständen von einer Zentrifugalkraft reden.
7. Kräfte sind Impulsströme bezüglich eines Systems. Kräfte lassen sich deshalb immer über die Art des
Impulsaustausches benennen: Seilkraft, Unterlagskraft, Schwerkraft, elektromagnetische Kraft, usw..
Spricht man zum Beispiel bei einem um die Erde fallenden Satelliten von einer Zentripetalkraft,
entsteht der Eindruck dass neben der Gewichts-, Schwer-, oder Gravitationskraft noch eine weitere
Einwirkung am Werk ist.
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