19. Wärme und Temperatur

Wärmelehre – Wärme und Temperatur
19.
Wärme und Temperatur
19.1. Einleitung
−
Wärme ist die ungeordnete Bewegung der Teilchen (in Gasen, Flüssigkeiten
oder im Festkörper).
Je nach den gegebenen Bedingungen ist diese Bewegung mehr oder weniger
intensiv.
!
−
Wir beschreiben die „Intensität der ungeordneten Bewegung“ über die mittlere
Translationsenergie der Teilchen und definieren so die Temperatur:
!
m 2 3
v = k BT
2
2
kB ... BOLTZMANN-Konstante (kB = 1,381 ž 10-23 JžK-1)
Wkin =
(1)
Maßeinheit für die Temperatur ist das Kelvin: [T] = K
SI
−
Aus Gl. (1) folgt die Existenz eines nicht unterschreitbaren Nullpunkts der
Temperatur.
!
−
Stoffmengen ν werden meist in Mol gemessen: [ν] = Mol
SI
1 Mol ist die Menge eines Stoffes, die genau so viele Teilchen (Atome, Moleküle) enthält wie 12 g des Kohlenstoffnuklids 12 C. Dies sind:
!
NL = 6,022134 ž 1023 Teilchen
NL (N A) ist die LOSCHMIDT-Zahl (Avogadro’s number).
19.2. Wärmeausdehnung
−
Gase, Flüssigkeiten und Festkörper dehnen sich bei Temperaturerhöhung aus
bzw. es steigt der Druck, wenn das Volumen konstant gehalten wird.
−
Für Festkörper gilt näherungsweise lineare Ausdehnung:
l = l o (1 + α ⋅ ∆T)
mit
!
(2)
α ... linearer Ausdehnungskoeffizient
Beispiele: Glas
Eisen
Kupfer
α = (5 ... 10) ž 10-6 K-1
α=
12,0 ž 10-6 K-1
α=
16,7 ž 10-6 K-1

 bei 100 °C

n
2
Wärmelehre – Wärme und Temperatur
u
Kommentar:
·
·
·
−
Streng genommen ist α = α(T), oft ist jedoch die lineare Näherung ganz gut.
10 ž 10-6 ist eine gute „Hausnummer“ für viele feste Stoffe ⇒ für ∆T = 100 K
∆l
beträgt
= 10 −3 ⇒ merkliche Ausdehnung ∆l von 1 cm pro l = 10 m
l
Beispiele: Bimetallstreifen, Bahnschienen, Dehnungsbogen
Für Flüssigkeiten gilt mit Gl. (2):
V = l (∆T) 3 = l 30 (1 + α ⋅ ∆T ) 3 ≈ l 30 (1 + 3α ⋅ ∆T)
(α 2 , α3 ≈ 0)
V = Vo (1 + γ ⋅ ∆T)
mit
(3)
γ = 3α ... Raumausdehnungskoeffizient
Beispiele: Wasser
Ethanol
γ = 207 ž 10-6 K-1
γ = 1100 ž 10-6 K-1
α ≈ 70 ž 10-6 K-1
α ≈ 370 ž 10-6 K-1

 bei 18 °C

⇒ Wärmeausdehnung bei Flüssigkeiten ist um eine Größenordnung größer!
Beispiel: Flüssigkeitsthermometer ⇒ relativ großer Effekt der Flüssigkeitsausdehnung,
n
!
n
da die der Röhre viel geringer ist.
19.3. Freiheitsgrade
−
−
Moleküle können neben der Translationsenergie auch andere Formen der Bewegungsenergie haben:
·
Rotationsenergie
·
Schwingungsenergie
!
wichtig: 2-atomige Gase (H2 , O2 , N2 , ...) haben 5 Freiheitsgrade, und zwar
3 Freiheitsgrade der Translation + 2 Freiheitsgrade der Rotation.
3
Wärmelehre – Wärme und Temperatur
−
Gleichverteilungssatz: Auf jeden Freiheitsgrad eines Moleküls entfällt im thermischen Gleichgewicht im Mittel die gleiche Energie, und zwar
WFG
⇒
−
=
WTrans =
1
k BT
2
3
k B T , da 3 Freiheitsgrade der Translation
2
!
(4)
≡ Gl. (1)!
Die gesamte Bewegungsenergie eines 2-atomigen Moleküls (bei nicht zu hohen Tempe5
raturen, wenn noch keine Vibration angeregt wird) ist aber gleich k B T , da auch noch
2
zwei Freiheitsgrade der Rotation existieren! Wir werden darauf noch zurückkommen.
19.4. Spezifische Wärmekapazität
−
Erwärmung eines Körpers um ∆T erfordert die Zufuhr einer Energie ∆W
∆W
lt. Gl. (4)
Teilchen ⋅ Freiheitsg rad
ã
ä
M
1
∆W =
⋅ f ⋅ k B ⋅ ∆T
m
2
M ... Masse des Körpers,
m ... Masse eines Teilchens,
f ... Zahl der Freiheitsgrade.
Zahl der Teilchen N
mit
−
Wir definieren die Wärmekapazität des Körpers:
⇒
−
C =
∆W
1
M
1
= N ⋅ f ⋅ kB = ⋅ f ⋅ kB
∆T
2
m
2
(6)
spezifische Wärme(kapazität)
⇒
−
(5)
c ≡
C 1 f ⋅ kB
= ⋅
M 2 m
Kommentar:
·
C ist eine Eigenschaft des Körpers, also große Masse bedeutet große Wärmekapazität (Beispiel: thermische Trägheit).
·
c ist eine Materialeigenschaft. Materialien mit kleinen Atom- bzw. Molekülmassen haben großes c.
(„Weil es eben auf die Anzahl der Teilchen ankommt“)
·
In jedem Fall gilt: C, c ~ f!
·
Flüssiges Wasser hat hohe spezifische Wärme(kapazität) (großes f, kleines m)!
(7)
u
!
!
4
Wärmelehre – Wärme und Temperatur
−
Es ist zweckmäßig (erst recht bei Gasen!), C und c auf die Stoffmenge zu beziehen. Aus Gl. (6) folgt mit N = NL die molare Wärmekapazität
1
C mol = N L ⋅ f ⋅ k B
2
å
æ
[ C]
[Atome ]
Mol
Mol
⇒
(8)
−
Bei Gasen ist zu unterscheiden:
·
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen: cV
·
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck:
cp
−
cV ist die bisher besprochene spezifische Wärmekapazität („Erhöhung der Energie der Einzelteilchen“).
−
cp enthält zusätzlich die vom Gas bei der Ausdehnung geleistete Arbeit.
⇒ cp > cV
!
−
Beispiele für θ = 0 °C (C in J ž (Mol ž K)-1):
n
f
Gas
Cmol, p
Cmol, V
3
He
Ar
O2
N2
H2
N2O
20,9
20,7
29,3
29,0
28,5
34,1
12,6
12,4
21,0
20,7
20,2
26,5
5
6
Cmol,p
C mol,V
1,66
1,67
1,40
1,40
1,41
1,29
1
C mol,V
2
f
4,2
4,1
4,2
4,1
4,0
4,4
Cmol, p - Cmol, V3
8,3
8,3
8,3
8,3
8,3
7,6
(Bei f wurde neben der Translation nur die Rotation berücksichtigt, da dort laut Quantenmechanik die typischen Anregungsenergien ∆E ≈ 0,001 eV sind. Die Anregungsenergien der
Schwingungszustände dagegen sind mit ∆E ≈ 0,1 eV so groß, dass sie bei 0 °C praktisch nicht
angeregt werden. Ebenso ist bei der Rotation um die Molekülachse das Trägheitsmoment so
klein, dass die Energie ∆E ~ J-1 viel zu groß ist, um angeregt zu werden. Daher haben die
zweiatomigen Moleküle nur zwei Rotationsfreiheitsgrade, das N2 O aber drei.)
1
2
3
Cmol, p /Cmol, V ist der später eingeführte Adiabatenexponent γ (vgl. <20.3.>).
Cmol, V ž f-1 = 1/2žNA žkB = 1/2žR (lt. Gl. (6) bzw. (8), vgl. <20.1.>)
Cmol, p - C mol, V ≈ R (vgl. <20.3.>)
5