Zufallsexperimente

WORTSCHATZ zur WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
------------Zufallsexperimente ------------------------------------------------------------die Wahrscheinlichkeitsrechnung : le calcul des probabilités
der Zufall : le hasard
das Zufallsexperiment : l’expérience aléatoire
der Zufallsversuch : l’essai, l'expérience aléatoire
die Erfahrung : l’expérience
das Werfen (warf, geworfen) / der Wurf : le lancer ou jeter
ziehen (zog / gezogen)/ der Zug : tirer , le tirage
zufällig auswählen - eine zufällige Auswahl : choisir au hasard / un choix aléatoire
die Münze : la pièce (de monnaie)
“Wappen” (oder “Kopf”) : “Face” /
“Zahl” : “Pile”
der Rand : le bord
der Würfel : le dé
/ die Kugel : la boule
mehrstufig : à plusieurs étapes, phases
ein mehrstufiges Experiment : zum Beispiel einen Würfel dreimal nacheinander werfen
ein Laplace-Experiment : expérience où toutes les issues sont équiprobables
nacheinander / aufeinanderfolgend : l’un après l’autre - successivement
gleichzeitig : simultanément
mit / ohne Zurücklegen : avec / sans remise
die Reihenfolge : la suite (la série)
1/5
------------Ereignisse ------------------------------------------------------------------das Ergebnis / das Elementarereignis : le résultat / l'issue /l’événement élémentaire
beliebig oft wiederholbar : renouvelable, reproductible aussi souvent que l’on veut
das Ereignis : l’événement
der Ereignisraum /der Ergebnisraum / die Ergebnismenge : l’univers, l’ensemble des résultats,
eintreten - das Ereignis A tritt ein : se produire, se réaliser ; l'événement A est réalisé
das unmögliche Ereignis Ø : l’événement impossible (es tritt niemals ein)
das sichere Ereignis Omega : l’événement certain
nicht A = Gegenereignis zu A / Komplement von A : événement contraire / complémentaire de A
A und B = "A geschnitten mit B", Schnittmenge von A und B : "A inter B", intersection de A et B
A oder B = "A vereinigt mit B", Vereinigungsmenge von A und B : "A union B", réunion de A et B
unvereinbar : disjoints, incompatibles
das Ereignis A und B tritt genau dann ein, wenn A und B gleichzeitig eintreten (si et seulement si)
------------ Menge Theorie ----------------------------------------------------------das Mengendiagramm (Venndiagramm) : le diagram de Venn « en patates »
die Menge : l’ensemble
die Teilmenge : la partie (d’un ensemble)
die Schnittmenge / die Vereinigungsmenge : l'intersection / l'union (ensembles ou événements)
die Mächtigkeit / das Kardinal von einer Menge : le cardinal d'un ensemble (nbre d'éléments)
die Anzahl der Elemente in einer Menge : le nombre d'éléments dans un ensemble
------------ Baumdiagramme -------------------------------------------------------das Baumdiagramm / derWahrscheilichkeitsbaum : l’arbre (diagramme en arbre) de probabilité
der Zweig / der Ast (pl. Äste) : la branche
der Pfad : le chemin
die Pfadregel : la règle des chemins p(A und B) = p(A) x p (A gegeben B)
die Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad entlang werden miteinander multipliziert
ein Pfad stellt die Schnittmenge (Konjunktion) der Ereignisse auf dem Pfad dar
die bedingte Wahrscheinlichkeit pA(B) : W. von B gegeben A / W. von B unter der Bedingung A /
W. von B wenn A eingetreten ist : la probabilité conditionnelle de B sachant A
AUFGABEN zur WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
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Fahrkartekontrolle in der U-Bahn
1. Auf dem Bahnsteig der U-Bahn Station Friedrisch-Straβe in Berlin befindet sich eine
Sitzbank. Auf die Bank setzen sich 10 Personen, von denen 2 keine gültige1 Fahrkarte haben
(es sind also 2 « Schwarzfahrer » ).
Von den 10 Personen werden zwei zufällig aufeinanderfolgend ausgewählt und krontolliert.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich darunter genau ein Schwarzfahrer ?
(Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit zwei Stufen)
2. Nun betrachten wir die Station Alexanderplatz in Berlin.
Aus Erfahrung weiss man, dass 97% aller Fahrgästen2 dieser Station eine gültige Fahrkarte
haben. Drei Fahrgäste werden nun unabhängig voneinander krontolliert.
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich unter den krontrollierten Personen kein
Schwarzfahrer ?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich darunter genau ein Schwarzfahrer ?
(Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit drei Stufen)
3. Ein Krontolleur untersucht in einem Tag 100 Fahrgäste in Station Alexanderplatz.
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich unter den krontrollierten Personen kein
Schwarzfahrer ?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich darunter mindestens ein
Schwarzfahrer ?
(ein Baumdiagramm kann man sich nur ausdenken...)
1 valide
2 voyageur
AUFGABEN zur WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
3/5
Gepäck im Flughafen
Auf einem Flughafen werden die aufgegebenen Gepäckstücke3 unabhängig voneinander auf ein
Förderband4 gelegt.
Ein Viertel der Gepäckstücke haben das Ziel5 Fughafen München.
1. Ein Gepäckstück ist zufällig aus dem Förderband gewählt.
Wie groβ ist die Wahrscheinlichkeit, daβ es nicht das Ziel München hat ?
2. Zwei Gepäckstücke werden zufällig aufeinanderfolgend ausgewählt.
Wie groβ ist die Wahrscheinklichkeit, daβ von den zwei Gepäckstücken mindestens eines
das Ziel München hat ?
(Zeichnen Sie ein zweistufiges Baumdiagramm)
3. Das Gepäck wird mit einem Strichcode6 auf Papieraufklebern7 gekennzeichnet, mit dessen
Hilfe der Zielflughafen bestimmt wird.
Diese Bestimmung scheitert8, wenn mindestens einer von den zwei unabhängigen folgenden
Fehlern eintritt :
• der Aufkleber ist zerrissen9 (Fehler A)
• der Aufkleber ist schmutzig (Fehler B).
Bekannt ist :
- dass der Fehler A mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,085 eintritt .
- dass die Bestimmung insgesamt in 11,5 % der Fälle scheitert.
Berechnen Sie daraus die Wahrscheinlichkeit für den Fehler B.
(Zeichnen Sie ein zweistufiges Baumdiagramm. Wie groβ ist die Wahrscheinklichkeit dafür, dass
kein Fehler eintritt ? )
3
4
5
6
7
8
9
das Gepäck : les bagages (collectif) ; das Gepäckstück : un bagage (une pièce de bagage)
das Förderband : le tapis roulant
das Ziel : but, destination
der Strichcode : code barre
der Aufkleber : l'autocollant
scheitern : échouer
zerreiβen / zerrissen : déchirer / déchiré
LÖSUNG der Aufgabe
4/5
Fahrkartekontrolle in der U-Bahn
(wichtige Worten für die Präsentation sind untergestrichen)
1- In Frage 1 werden zwei Personen zufällig aufeinanderfolgend gewählt. Die Situation wird mit folgendem
Baumdiagramm dargestellt :
- die este Stufe gibt die beiden Möglichkeiten für die erste Person an: Schwarzfahrer S 1 oder nicht S 1
- die zweite Stufe des Baumes gibt die beiden Möglichkeiten für die zweite Person an.
S2
(das Modell ist « zwei Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen ziehen »)
Das Ereignis E 1 « genau ein Schwazfahrer unter den
zwei krontollierten Personen » kann man so beschreiben :
S1
0
2/1
E 1=(S 1 ∩S 2 )∪(S 1 ∩S 2 )
E 1=(S 1 und S 2 )oder (S 1 und S 2 )
1/9
8/9
S2
8/10
Zwei Pfade des Baumes entsprechen diesen Ereignissen.
p ( E 1)= p ( S 1 ∩S 2 )+ p (S 1 ∩S 2 )
S2
2/9
S1
Nach der Pfadregel ergibt sich :
7/9
2 8
8 2 2×2×8 16
p( E 1)= × +
× =
=
10 9
10 9 10×9 45
S2
2- Nun antworten wir auf die Frage 2.
7
0,9
0,03
S3
S3
0,97
0,03
S3
0,97
0,03
S3
S2
S2
0,97
0,03
Die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse in der Disjunktion
sind alle gleich 0,03 mal 0,97^2.
S2
S2
0,97
0,03
E 3= S 1 ∩S 2 ∩S 3 ∪ S 1∩ S 2∩S 3 ∪ S 1∩S 2 ∩S 3
S1
7
0,9
0,03
Wir benennen E 2 das Ereignis « keiner unter den 3
Personen ist Schwarzfahrer » .
E 2 entspricht der folgenden Schnittmenge / Konjunktion :
Mit E 3 bezeichnen wir das Ereignis « genau einmal S »
E 3 entspricht der Vereinigung / Disjunktion :
7
S1
(Das Modell ist nun « drei Kugeln aus einer Urne mit
Zurücklegen ziehen »)
E 2 =S 1∩S 2 ∩S 3
p ( E 2 )= p( S 1 )× p( S 2 )× p (S 3 )=(0,03)3=27.10−6
0,9
0,0
3
Drei Fahrgäste werden in der Alexanderplatz Station krontolliert. Die Fahrgäste sind unabhängig voneinander
(indépendants les uns des autres) . Das heiβt, dass jeder
Fahrgast die gleiche W. hat, Schwarzfaher zu sein.
Die Situation wird mit einem dreistufigen Baumdiagramm
modelliert, mit gleichen Wahrscheinlichkeiten an jeder Stufe.
S3
S3
S3
Also p ( E 3) beträgt dreimal 0,03 mal 0,97^2. Das ergibt : p ( E 3)≃0,085
Daraus können wir schliessen, dass in 8,5% der Kontrolle genau ein Schwazfahrer ertappt (attraper) wird .
3- Die Situation in Frage 3 ist ähnlich der Situation in Frage 2. (ähnlich / gleich + Datif)
Aber, da eine groβe Anzahl von Personen krontrolliert werden, würde ein Wahrscheinlichkeitsbaum hier
unmöglich zu zeichnen. Das Ereignis E 4 « Kein Schwarzfaher wird ertappt » bedeutet, dass alle
krontrollierten Personen nicht S sind. Also : E 4 = S 1 und S 2 und so weiter bis S 100
Die Wahrscheinlichkeit p (S n ) ist immer gleich 0,97 groβ, weil die Personen unabhängig voneinander
sind. Es ergibt sich nochmals :
p( E 4 )= p (S )100=0,97100 ≃0,05
Das Ereignis E 5 « mindestens ein Schwarzfaher wird ertappt » ist das Gegenereignis von dem Ereignis
E 4 . Daraus folgt : p( E 5)=1− p( E 4 )≃0,95 .
Also in etwa 95% der Fälle wird ein Schwazfahrer ertappt.
LÖSUNG der Aufgabe
5/5
Gepäck im Flughafen
(wichtige Worten für die Präsentation sind untergestrichen)
Das Ereignis E 1 « das Gepäckstück hat nicht das Ziel München »
ist also das Gegenereignis von M.
So gilt :
M1
M1
3
p ( E 1)=1− p(M )= =0,75
4
M2
0,75
M2
0,25
0,75
0,25
2- Nun betrachten wir (considérons) das Ereignis E 2 « aus zwei
Gepäckstücke gibt es mindestens eines, das nach München fliegen
wird ».
Das Gegenereignis von E 2 lautet so : « kein Gepäckstück hat
München als Zielflughafen ».
5
0,7
0,2
5
1- Zuerst bezeichnen wir mit M das Ereignis « das Gepäckstück
hat München als Ziel » . Gegeben ist dass p(M) = ¼ = 0,25.
M2
M2
E 2 entspricht dem rechten Pfad von dem Baum :
E 2 =M 1 ∩M 2
Also nicht
p( E 2 )= p( M 1)× p( M 2 )=0,75 2=0,5625
Nach der Negationsregel :
p ( E 2 )=1− p ( E 2 )=1−0,5625=0,4375
Erste Stufe : entweder
nicht A
A (d.h. Fehler A tritt ein)
p ( A)× p ( B)=0,885
p ( B) lösen:
0,885
( A)≃0,967
p
Schlieβlich ergibt sich :
p ( B)=1− p( B)≃0,033 .
Das heiβt, dass der Fehler B in ungefähr 3,3% der Fälle eintritt.
B
B
p
B
1- p
p ( A und B)=0,885
p
1- p
p( B)=
A
A
nicht B .
Insgesamt scheitert die Bestimmung des Zieles in 11,5% der Fälle.
Diese Information entspricht (+D) der W. von dem Ereignis
« mindestens ein Fehler tritt ein »
Daraus können wir die W. des Gegenereignis berechnen :
die W. dafür, dass kein Fehler eintritt, beträgt 1−0,115=0,885
Das ist äquivalent zu :
Daraus kann man auf
0,0
85
oder
Zweite Stufe : entweder B (d.h. Fehler B tritt ein) oder
Die W. von A ist angegeben : p(A) = 0,085
Aber die W. von B ist unbekannt. Wir stellen
p ( B)= p
Es entsteht das nebenliegende Baumdiagramm :
Daraus folgt die folgende Gleichung :
15
0,9
3- In der Frage 3 handelt es sich um (+Akk) zwei mögliche Fehler,
die die Bestimmung des Zielflughafens scheitern lassen.
Die Fehler sind unbahängig voneinander. Die Situation lässt sich
durch ein zweistufiges Baumdiagramm modellieren.
B