O14 „Messung der Lichtgeschwindigkeit“

Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
O14 „Messung der Lichtgeschwindigkeit“
Aufgaben
1. Bestimmen Sie die Lichtgeschwindigkeit cair in Luft nach einem elektronischen Modulationsverfahren
aus der Zeitverschiebung zwischen Sender- und Empfängersignal.
2. Bestimmen Sie die Lichtgeschwindigkeit cair in Luft mit Hilfe von Lissajous-Figuren.
3. Ermitteln Sie die Lichtgeschwindigkeit cw in zwei Flüssigkeiten analog zu Aufgabe 1. Berechnen Sie
den Brechungsindex dieser Flüssigkeiten.
Literatur
Gerthsen Physik, D. Meschede, 22. Auflage, 9.3
Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre, 3.0, 3.1
Zubehör
Messplatz zur Messung der Lichtgeschwindigkeit der Fa. Leybold Didactic bestehend aus Lichtsender
und Lichtempfänger, Zweikanal-Oszilloskop, Rohr mit zwei Endfenstern, Digitalzähler zur
Frequenzkontrolle
Schwerpunkte zur Vorbereitung
- Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 als Grenzgeschwindigkeit, Methoden zur c0-Bestimmung
- Bedeutung von c0 für die Relativitätstheorie
- Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
- Brechzahl, Brechungsgesetz von Snellius, Dispersion
- Prinzip der multiplikativen Mischung, Begründung der konstanten Phasenverschiebung zwischen
Sender- und Empfängersignal
- Messungen mit dem Oszilloskop
Grundprinzip des elektronischen Modulationsverfahrens
Der Sender (mit 60 MHz modulierte rote Leuchtdiode, LED Light Emitting Diode) und der Empfänger
(Fotodiode, Verstärker, Mischer und Netzteil) sind in zwei getrennten Gehäusen untergebracht, die mit
einem langen Koaxialkabel mit BNC-Steckern verbunden werden (siehe Abb. 1). Über dieses wird der
Sender mit Strom aus dem Netzteil des Empfängers versorgt und gleichzeitig gelangt ein mit dem
Sendesignal synchron laufendes Referenzsignal zurück. Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit aus
dem Verhältnis des vom Licht zurückgelegten Wegs und der dafür notwendigen Zeit werden Sender
und Empfänger in verschiedenen Entfernungen gegenübergestellt. Um die für einen Laufweg
erforderliche kurze Zeit mit einem Oszilloskop bestimmen zu können, wird durch die Methode der
multiplikativen Mischung eine ′Zeitdehnung′ um einen Faktor von etwa 600 für Sender- und
Empfangssignal vorgenommen.
1
Zur Konvertierung eines Signals hoher Frequenz in ein Signal mit deutlich tieferer Frequenz unter
Beibehaltung der ursprünglichen Phaseninformation kann die Methode der Signalmischung durch
Multiplikation verwendet werden, bei der mittels einer speziellen elektronischen Schaltung das
hochfrequente Signal uA (t ) = uˆA cos(2π f1t + ϕ ) mit der Frequenz f1 mit einem Signal uB (t ) = uˆB cos(2π f2t )
der Frequenz f2 multipliziert wird, die sich nur wenig von der Frequenz des Originalsignals
unterscheidet. Nach dem multiplikativen Mischen ergibt sich mit dem Additionstheorem für
trigonometrische Funktionen 2cos x cos y = [cos( x + y ) + cos( x − y)] ein Mischsignal uM (t ) mit tieferer (f1
- f2) und höherer Frequenz (f1 + f2):
uM (t ) = uA (t )uB (t ) = uˆA cos(2π f1t + ϕ ) uˆB cos(2π f2t ) ,
(1)
1
(2)
uM (t ) = uˆA uˆB cos ⎡⎣2π ( f1 + f2 )t + ϕ ⎤⎦ + cos ⎡⎣2π ( f1 − f2 )t + ϕ ⎤⎦ .
2
Durch die Abtrennung des hochfrequenten Anteils mittels elektronischer Filterung erhält man nur
noch den tieffrequenten Anteil am Ausgang der elektronischen Mischstufe
1
(3)
uM (t ) = uˆA uˆB cos ⎣⎡2π ( f1 − f2 )t + ϕ ⎦⎤ ,
2
wobei die Phasenverschiebung erhalten bleibt. Jedoch entspricht dieser Phasenverschiebung jetzt eine
andere Zeitskala als diejenige der ursprünglichen Modulationsfrequenz f1, da die Zeitskala um den
Faktor f1/(f1-f2) größer geworden ist. Dementsprechend gilt für eine Zeitdifferenz Δt die Umrechnung
f − f2
(4)
Δt = 1
Δ tM .
f1
Dabei ist ΔtM die nach der Mischung mit einem Oszilloskop gemessene Zeitdifferenz zwischen
Empfänger- und Sendersignal, wobei letzteres in derselben Weise wie das Empfängersignal gemischt
wird.
Durch multiplikatives Mischen eines 59.9 MHz-Signals (f2) mit den 60.0 MHz-Signalen (f1) von Senderund Empfangssignal ergibt sich demzufolge ein Mischsignal mit tieferer Frequenz (Differenzfrequenz
(f1 - f2) von etwa 100 kHz). Zur exakten Bestimmung der ′Zeitdehnung′ soll die Frequenzdifferenz mit
einem Präzisionszähler gemessen werden.
{
}
Justierung des Messplatzes
Lichtsender (Abb. 2) in Sockel oder in Reiter auf einer optischen Bank einspannen. BNC-Buchse (7) des
Senders über das mitgelieferte 6 m lange abgeschirmte Koaxialkabel an BNC-Buchse (12) des
Empfängers (Abb. 3) anschließen.
Die BNC-Buchse (14) des Empfängers ist über ein Koaxialkabel mit dem Kanal I des ZweikanalOszilloskops zu verbinden. Auf diesem Kanal bei allen Versuchen triggern. Empfänger am Netz
anschließen und Netzschalter (8) einschalten. Die Kontrolllampe (9) am Empfänger und die
Leuchtdiode (4) (λ = 670 nm) des Senders leuchten (Abb. 2 und 3).
Oszilloskop ebenfalls einschalten. Auf dem Schirm des Zweikanal-Oszilloskops erscheint auf Kanal I
eine Schwingung von etwa 100 kHz (Referenzsignal). Die Justierung kann im nicht abgedunkelten
Raum durchgeführt werden. Der Eingang zur Fotodiode, Linse und Sender müssen in gleicher Höhe
und in einer Linie stehen. Zur einfacheren Vorjustierung ggf. ein Stück weißes Papier über den Eingang
des Empfängers hängen. Das von der LED emittierte Licht ist mit der Kondensorlinse möglichst parallel
zu machen und anschließend wird der Sender in die Nähe des Empfängers geschoben. Nachdem das
Papier vom Eingang entfernt wurde, wird mit einer Linse (Brennweite f = 150 mm) der parallele
Strahl der LED auf die Empfängerdiode, die sich ca. 13 mm hinter der Empfängervorderfront
befindet, fokussiert. Auf dem Bildschirm des Oszilloskops erscheint auf Kanal II (eventuell noch mit
sehr kleiner Amplitude) ein Sinussignal von ebenfalls 100 kHz. Dieses Arbeitssignal, dessen Amplitude
und Phase proportional der Amplitude bzw. Phase des zwischen Sender und Empfänger übertragenen
optischen Signals sind, bei weiterer Justierung beobachten. Bei geeigneter Justierung ist ein Signal von
mindestens 1Vss einstellbar. Ein zu starkes Empfängersignal kann zur Verformung der sinusförmigen
2
Spannung führen, dann ist die Lichtintensität zu verringern, z.B. mit Hilfe der Rändelschrauben zur
Justierung der LED. Bei ausreichend großen Signalen sind diese mit dem Phasenregler am
Empfängergehäuse zu Beginn der Abstandsvariation in Deckung zu bringen (Phasendifferenz ϕ = 0).
Das erleichtert die Ablesung der Zeitdifferenzen.
Abb. 1
Blockschaltbild
Abb. 2 Lichtsender
1 Lampengehäuse
2 Haltestift
3 Kondensor
4 Leuchtdiode im Einsatz 5 (eingebaut)
5 Verschiebbarer Einsatz mit Sender und Leuchtdiode
6 Rändelschrauben zur Justierung
7 BNC-Buchse zum Anschluss des abgeschirmten
Koaxialkabels (ca. 6 m) an das Netzgerät des Empfängers
Abb. 3 Empfänger und Netzteil
8
9
10
11
12
Netzschalter
Netzkontroll-Leuchte
Steckbuchse für Netzanschlusskabel
Spannungswähler und Sicherungshalter
Eingang (BNC) für Referenzsignal
vom Sender und gleichzeitig Ausgang für
Spannungsversorgung des Senders
13 Phasenschieber
14 Ausgang (BNC) Referenzkanal (100 kHz)
zum Anschluss an Oszilloskop. Dieses Signal
dient zum Triggern. Bei einem 2-KanalOszilloskop kann das Signal auch auf dem
Bildschirm gezeigt werden.
15 Ausgang (BNC) Arbeitskanal (100 kHz)
zum Anschluss an Oszilloskop
16 Eingang für optisches Signal, dahinter
(ca. 13 mm) Fotodiode und Vorverstärker
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Hinweise zum Versuch
Aufgabe 1
Nehmen Sie eine Messreihe von etwa 10 Zeitdifferenzen bei verschiedenen Wegdifferenzen Δd auf.
Wählen Sie dafür eine geeignete Zeitbasis aus. Eventuell ist es günstig, das Signal am Kanal II zu
invertieren.
Stellen Sie die Wegdifferenz Δd als Funktion der Zeitdifferenz Δt dar und bestimmen Sie die
Lichtgeschwindigkeit in Luft cair durch lineare Regression. Vergleichen Sie mit dem Erwartungswert c0.
Aufgabe 2
Es ist die Phasenverschiebung zwischen Sender- und Empfängersignal bei 10 verschiedenen
Wegdifferenzen mit Hilfe von Lissajous-Figuren zu messen. Die Schnittpunkte x0 und y0 der Ellipse mit
der X- bzw. Y-Achse werden in beiden Richtungen abgelesen (auf 1/4 Skalenteil abschätzen) und der
Phasenwinkel ϕ wird unter Verwendung der Gleichung
2
2
⎛ X ⎞ ⎛ Y ⎞ 2 X Y cos ϕ
− sin2 ϕ = 0
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −
A0′ B0′
⎝ A0′ ⎠ ⎝ B0′ ⎠
berechnet. Bilden Sie den Mittelwert der beiden Ablesungen. Es ist die Wegdifferenz als Funktion von
ϕ graphisch darzustellen und über den Anstieg die Lichtgeschwindigkeit zu bestimmen.
Aufgabe 3
Der Abstand zwischen Sender und Empfänger ist größer als die Rohrlänge (ca. 1 m) zu wählen. Stellen
Sie mit dem Phasenregler eine Phasendifferenz ϕ = 0 ein, bringen Sie anschließend das mit einer
Flüssigkeit gefüllte Rohr in den Strahlengang und messen Sie den Laufzeitunterschied Δt. Leiten Sie die
folgende Gleichung für die Berechnung der Brechzahl nx der Flüssigkeit her:
d
c Δt
nx − 1 = air − 2 g (ng − 1)
Δt: Zeitdifferenz (Signal ohne Rohr-Signal mit Rohr)
dx
dx
Dicke der Glasplatten: dg = 3 mm; Länge des Rohres: dx = 994 mm;
Brechzahl Glas: ng = 1.5.
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