Aufg. 1

Uwe Rath
Eckleinjarten 13a . 27580 Bremerhaven
℡ 0471 34126 [email protected]
I m p u ls – K r aft – E ne rg i e
Übungsaufgaben
1
Ein Pkw mit der Masse m = 1350 kg fährt mit der Geschwindigkeit v = 108 km/h.
Wie groß ist der Impuls p (die Bewegungsgröße) des Fahrzeugs?
p = m⋅v
Anmerkung:
Umrechnung einer in km/h gegebenen Geschwindigkeit in m/s:
108 m
3,6 s
m
= 1350 kg ⋅ 30
s
kg m
= 40500
s
= 1350 kg ⋅
2
{v}
1000 m
km
= {v} ⋅
3600 s
h
1 m
= {v} ⋅
3,6 s
{v} m
=
3,6 s
Wie schnell müsste ein Mensch (m = 75 kg) laufen,
wenn er den gleichen Impuls haben wollte wie der Pkw
in Aufg. 1?
p Mensch = p Pkw
m Mensch ⋅ v Mensch = m Pkw ⋅ v Pkw
v Mensch
m ⋅v
= Pkw Pkw =
m Mensch
= 540
3
1350 kg ⋅ 30
m
s
In 1 Sekunde fast 1 1/2 mal um den
Sportplatz! 108 km/h bei Nebel oder
Regen - wer ist bereit, mit 540 m/s
gegen eine Mauer laufen? Das tut weh.
75kg
m
s
Berechnen Sie den Impuls für ein
3.1 Flugzeug, m = 900 t, v = 860 km/h und
3.2 Schiff, L = 200 m, B = 22 m, T = 10,50, δ = 0,92,
ρSeewasser = 1,025 t/m³, v = 18 kn.
3.1 Flugzeug
p = m⋅v
860 m
= 900000 kg ⋅
3,6 s
m
= 1350 kg ⋅ 238, 8
s
kg m
= 215.000.000
s
Hinweis zu 3.1:
Masseneinheit:
1 t = 1 000 kg
rth . Impuls_Kraft_Energie_Uebungsaufgaben_Loeser . 06.06.2008
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3.2 Schiff
Lösungshinweis/e: Archimedisches Prinzip:
Das Archimedische Prinzip wurde vor über 2000 Jahren vom altgriechischen
Gelehrten Archimedes entdeckt. Es lautet: die Auftriebskraft eines Körpers in
einem Medium ist genau so groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. Daraus folgt für einen schwimmenden Körper (Schiff): Die
Gewichtskraft des Schiffes ist gleich der Gewichtskraft des vom Schiff verdrängten Wassers.
1. Schritt:
Masse des Schiffes
Fg _ Schiff = Fg _ Wasser _ Verdrängt
m Schiff ⋅ g = mWasser _ Verdrängt ⋅ g
m Schiff = mWasser _ verdrängt
= VWasser _ vedrängt ⋅ ρ Seewasser
= L ⋅ B ⋅ T ⋅ C B ⋅ ρ Seewasser
= 200 m ⋅ 22 m ⋅ 10,50 m ⋅ 0,92 ⋅ 1,025
= 46200 m 3 ⋅ 0,92 ⋅ 1,025
= 42504 m 3 ⋅ 1,025
t
m3
t
m3
Das Verhältnis des Volumens des
Unterwasserschiffes ΛBH zum umschriebenen Quader (Rechteck L·B·T) wird mit dem
Blockkoeffizienten CB gekennzeichnet
(früher: Verdrängungsvölligkeitsgrad δ):
CB =
Λ BH
L ⋅ B ⋅T
t
m3
= 43566,6 t
2. Schritt
Umrechnung kn in m/s
sm
1852 m
m
= {v} ⋅
= {v} ⋅ 0,514
h
3600 s
s
m
m
18 kn = 18 ⋅ 0,514 = 9,259
s
s
{v} kn = {v} ⋅
3. Schritt
Berechnung des Impulses des Schiffes
In DIN 1301, Teil 2, vom Februar 1978 und
in der internationalen Norm ISO 31-1 aus
dem Jahre 1992 ist 1 Seemeile (sm) auf
1852 m festgelegt.
Bei der Einführung des metrischen Systems
wurde der nominelle Erdumfang (Meridiankreis) als 40 000 Kilometer definiert. Aus
der Rechnung (40 000 km / 360 Grad des
Vollkreises / 60 Bogenminuten) ergibt sich
als theoretisches Maß der Seemeile eine
Länge von 1851,851 m.
p = m⋅v
= 43.566.600 kg ⋅ 9,259
≈ 403.427
m
s
kg m
s
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4
Berechnen Sie die pro Sekunde erforderliche Impulsänderung des Pkw’s aus Aufg. 1, wenn dieser
seine Geschwindigkeit innerhalb von 7 s von
v1 = 72 km/h auf v2 = 144 km/h gleichmäßig ändert.
1. Schritt:
Berechnung der Änderung des Impulses in den 7 Sekunden:
∆p = p 2 − p1
= m2 ⋅v 2 −m1 ⋅ v1
Natürlich wird während der Beschleunigungsphase Treibstoff verbraucht, d.h. m2 < m1. Diese Änderung können wir aber als vernachlässigbar klein betrachten. Wie wäre das aber bei einer Silvesterrakete – oder bei einem Wasserstrahlantrieb?
mit m 2 = m1 =: m fo lg t
∆p = m ⋅v 2 −m ⋅ v1
= m ⋅ (v 2 −v1 )
⎛ 144 m 72 m ⎞
= 1350 kg ⋅ ⎜
−
⎟
⎝ 3,6 s 3,6 s ⎠
m⎞
m
⎛ m
= 1350 kg ⋅ ⎜ 40 − 20 ⎟ = 1350 kg ⋅ 20
s⎠
s
⎝ s
kg m
= 27000
s
2. Schritt:
Berechnung der Änderung des Impulses pro Sekunde
kg m
∆p
s
=
7s
∆t
kg m
kg m
kg m 1
≈ 3857,14 s ≈ 3857,14 s ≈ 3857,14
⋅
s
s
s
s
1
∆p
kg m
≈ 3857,14 2
∆t
s
27000
3. Schritt:
Jeder Körper hat das Bestreben, seinen
Bewegungszustand beizubehalten. Die
Ursache für die Änderung des Impulses
ist das Wirken einer Kraft:
∆p
F=
≈ 3857,14 N
∆t
Ein Newton (1 N) ist die Kraft,
die benötigt wird, um die Geschwindigkeit eines Körpers
der Masse 1 kg jede Sekunde
m
um 1 zu erhöhen.
s
Kraft:
Formelzeichen:
F
Einheit:
1
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kgm
=1N
s2
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5
Bei einem Frontalunfall wird der Kopf eines Menschen
(m = 75 kg) innerhalb von 1/100 s von 36 km/h auf Null
abgebremst. Wie groß ist die durchschnittliche Impulsänderung pro Sekunde für den Kopf?
(Anm.: Die Masse des Kopfes wird mit 1/7 der Masse
des Menschen angenommen)
∆p
∆t
m ⋅ v − m1 ⋅ v1
= 2 2
∆t
Mit m2 = m1 =: m fo lg t :
F=
m ⋅ (v 2 − v1 )
∆t
75
m⎞
⎛ m
kg ⋅ ⎜ 0 − 10 ⎟
7
s⎠
⎝ s
=
0,01 s
F=
m⎞
⎛
m
10,71428... kg ⋅ ⎜ − 10 ⎟
kg
s⎠
⎝
s
=
= −10714,28...
0,01 s
s
kg m
kg m 1
= −10714,28... s = −10714,28...
⋅
s
s
s
1
kg m
= −10714,28... 2
s
≈ −10 714 N
Anmerkung/en:
Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt wirkt: die Geschwindigkeit nimmt ab (negative Beschleunigung).
Die Kraft entspricht der Gewichtskraft Fg einer Masse von ca. 1071 kg (ca. 1 t).
Sind Sie wirklich überzeugt, dass Ihre Halsmuskulatur diese Masse „halten“
könnte? Verlassen Sie sich nicht auf Ihren Airbag. Schleudertrauma lässt grüßen.
Ein Airbag (deutsch „Prallkissen“; wörtlich „Luftbeutel“, „Luftsack“) oder SRS
(Supplemental Restraint System), ist Teil des Insassenrückhaltesystem, vorwiegend von Kraftfahrzeugen. Er wird bei einem Unfall aufgeblasen und dämpft den
Aufprall des Insassen auf harte Fahrzeugteile.
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