Teil II: Lineare Algebra und analytische Geometrie - me

Mathematik LK 12/13, Zusammenfassung des
Stoffs
Sebastian Meiss
9. September 2011
Vorwort
Diese Zusammenstellung soll den vollständigen Stoff eines Mathematik - Leistungskurses enthalten, der abiturrelevant ist. Diesen findet man in den Kapiteln 1 bis 7 (ausgenommen 3).
Außerdem enthält die Zusammenstellung den fakultativen Stoff ”Approximation von Funktionen” sowie ”Differentialgleichungen” und ”Analysis III”, welcher von uns im nicht abiturrelevanten Halbjahr behandelt wurde.
Daher legt die Zusammenstellung keinen Wert auf Vollständigkeit in Bezug auf sämtliche
mögliche Unterrichtsinhalte der Sekundarstufe II, sondern nur im Bezug auf die abiturrelevanten Inhalte.
In den einzelnen Kapiteln wird an den Stellen auf die Herleitungen verzichtet, wo sie nicht
zwingend erforderlich sind. Diese Herleitungen und Beweise werden dann an späterer Stelle im
Kapitel Beweise aufgeführt. Hierbei werden auch Beweise aufgeführt, die nicht im Rahmen
des Schulunterrichts besprochen wurden.
Die vorliegende Zusammenfassung des Lernstoffs gliedert sich in die Kapitel Analysis, Lineare Algebra und analytische Geometrie und Stochastik. Ferner werden Differentialgleichungen und Approximation besprochen sowie die vollständige Induktion als Beweiswerkzeug
vorgestellt.
An den Erläuterungsteil schließt sich das Beweiskapitel sowie das Aufgabenkapitel an. Im
Aufgabenkapitel gibt es die Möglichkeit anhand von Übungsaufgaben, deren mögliche Lösung
angegeben ist, die Anwendung des Lernstoffs zu trainieren.
Anm.(Stand 3/2008) : Das Aufgabenkapitel soll abgeschafft werden, hierfür wird es ein
Kapitel mit Abituraufgaben geben. Die Übungsaufgaben sollen am Schluss der entsprechenden
Kapitel stehen. Es wird Lösungen zu den Aufgaben geben.
Hinweis für den Grundkurs: Soweit verbindlich (Stand 2010) entfallen für den Grundkurs
aus diesem PDF an Stoff die folgenden Abschnitte:
1. Zur Analysis II : Partielle Integration, Uneigentliches Integral, (Integration durch Substitution), Näherungsverfahren
2. Die gesamte Analysis III ist von uns in 13/2 gemacht worden, also nicht abiturrelevant.
3. Vektorrechnung: Vektorräume, Kreuzprodukt, Spatprodukt, alles zu Kugeln
4. Stochastik: Poissonverteilung
5. Alles nach Kapitel 7 ist kein Prüfungsstoff für das schriftliche Abitur.
Ich empfehle, auf diese Abschnitte zumindest mal einen Blick zu werfen, ob nicht doch etwas
davon behandelt wurde, gerade auch im Hinblick auf mündliches Abitur. Außerdem sind
Rechenverfahren (Nährungen des Integrals, Kreuzprodukt) nützlich, wenn man sie kann und
meistens nur Formeln, die man in der Formelsammlung findet.
Diese Zusammenstellung ist abgeschlossen und wird dennoch stets in Bezug auf Fehler und
Unklarheiten weiterentwickelt. Ich bin für jeden gefundenen Fehler und Hinweis dankbar. Falls
es Stellen gibt, die falsch oder unklar sein sollten, dann bitte ich um eine kurze Mail an:
[email protected]
iii
Inhaltsverzeichnis
1 Analysis I
1.1 Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Subtangente,Subnormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ableitungen und Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Kurvendiskussionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Muster für die KVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Stetigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Scharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Finden der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.5 Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion über Verlauf finden
2 Analysis II
2.1 Herleitung des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . .
2.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Regeln für das bestimmte Integral . . . . . . . . . .
2.2 Flächen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fläche zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . .
2.3 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Integration von Potenzfunktionen . . . . . . . . . . .
2.4.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . .
2.4.3 partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 uneigentliches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Drehvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Zusammenstellung von Ableitungen und Stammfunktionen
2.8 Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Sehnentrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Tangententrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Simpsonregel(n gerade) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Aufgaben zur Analysis I und II . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
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26
28
3 Analysis III
29
3.1 Bogenlänge einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv
Inhaltsverzeichnis
3.2
Mantelfläche des Rotationskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Gauß-Verfahren
33
4.1 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Analytische Geometrie und lineare Algebra
5.1 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Addieren/Subtrahieren von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Betrag eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Satz des Kreuzprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lineare Abhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Bedingungen im 1-2-3 dimensionalen Vektorraum . . . . . . . .
5.5 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vektoren spannen einen Vektorraum auf . . . . . . . . . . . . .
5.6 Geraden im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Lage von Geraden im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Spurpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Parameterdarstellung der Ebene mit Umformung . . . . . . . .
5.7.1.1 Umwandlung von Parameter- in Koordinatenform . .
5.7.1.2 Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform
5.7.2 Normalenform der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Schnelles Umformen von Ebenengleichungen . . . . . . . . . . .
5.7.3.1 Hessesche Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Durchstoßpunkte und Spurgeraden von Ebenen . . . . . . . . .
5.7.4.1 Achsenabschnittsform . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Lage von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.6 Schnitt von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7 Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.8 Winkel von Ebenen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Kreise und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Kreis-, bzw. Kugelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Tangenten, Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Schnittkreis zweier Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Parameterdarstellung des Schnittkreises . . . . . . . . . . . . .
5.9 Teilverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Teilverhältnisse in ebenen und räumlichen Gebilden . . . . . .
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6 Statistik
66
6.1 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
v
Inhaltsverzeichnis
7 Stochastik
7.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Einschub: Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Baumdiagramm und Pfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Verknpüfung von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Und-Oder Verknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 vereinbar/unvereinbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Verallgemeinerung des Satzes von Bayes . . . . . . . . . . . . .
7.6 Zufallsgröße X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 σ-Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Tschebyscheff-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Standatisierung und Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.1 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Normalverteilung
7.10.3 Stetigkeitskorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Additivität von Erwartungwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.1 Sammlung wichtiger Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.2 einseitiger/zweiseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.3 Schema zum Aufstellen und Prüfen einer Hypothese: . . . . . .
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83
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86
8 Der Binomialkoeffizient
87
9 Differentialgleichungen
9.1 Lösen von Differentialgleichungen . . . . .
9.2 Prüfen einer speziellen Lösung . . . . . .
9.2.1 Aufstellen der Differentialgleichung
9.3 Numerische Lösung . . . . . . . . . . . . .
9.4 Wachstums- und Schwingungsvorgängen .
9.4.1 Bekannte Differentialgleichungen .
89
89
92
92
93
96
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zu einer
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Funktionsschar
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10 Vollständige Induktion
11 Approximation von Funktionen
11.1 Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Beispiele für Taylorentwicklungen . . . . . . . .
11.1.2 Unendliche Reihenentwicklung von Funktionen
11.1.3 Einschub: Geometrische Reihe . . . . . . . . .
11.1.4 Logarithmische Reihe . . . . . . . . . . . . . .
vi
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Inhaltsverzeichnis
12 Herleitungen und Beweise
12.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Kettenregel . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Produktregel . . . . . . . . . . . .
12.1.3 Quotientenregel . . . . . . . . . . .
12.1.4 Ableiten und Integrieren von ex . .
12.1.5 Ableiten und Integrieren von ln(x)
12.1.6 Regeln von L’Hospital . . . . . . .
12.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . .
12.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . .
12.3.1 Herleitung der Potenzregel . . . .
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111
112
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13 Beispiele
13.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Muster für eine Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Durchgerechnete Aufgabe zur Analysis . . . . . . . . . .
13.2 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Beispiele zur Lagen von Geraden zueinander . . . . . .
13.2.2 Beispielaufgaben zum Schnitt von Ebenen und Geraden
13.2.3 Beispiele zu Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . .
13.2.4 Umfassendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Hypothesentest Metallica . . . . . . . . . . . . . . . . .
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117
117
117
122
128
128
130
132
133
140
140
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142
. 142
. 142
. 146
. 148
. 148
. 152
. 153
. 155
. 157
. 157
. 158
. 161
. 163
. 163
. 167
. 169
. 169
. 180
. 181
. 182
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14 Aufgaben mit Lösungen
14.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Integralrechnung . . . . . . . . . . .
14.1.2 Zusatzaufgaben* . . . . . . . . . . .
14.2 Vektorrechnung und lineare Algebra . . . .
14.2.1 Allgemeine Aufgaben . . . . . . . .
14.2.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Umformen von Ebenengleichungen .
14.2.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . .
14.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . .
14.3.3 Tassenpfand . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Radfahrer . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Schaum . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Umfassende Aufgaben . . . . . . . . . . . .
14.5.1 Kurvenschar,ganzrational . . . . . .
14.5.2 ln-Funktion (Stark LK-Abitur 2007)
14.5.3 Exponentialfunktion . . . . . . . . .
14.5.4 Burghotel . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
Inhaltsverzeichnis
14.5.5 Pharao Seltsamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Tabellenverzeichnis
184
Abbildungsverzeichnis
185
Index
186
viii
4 Gauß-Verfahren
Mit dem Gauß-Verfahren lassen sich Gleichungssysteme übersichtlich und effektiv lösen,
auch wenn diese mehr als 3 Variablen besitzen. Das Additionsverfahren stellt die Grundlage
für das Gauß-Verfahren dar, jedoch wird das Additionsverfahren bei 4 und mehr Gleichungen
sehr schnell sehr unübersichtlich.
Das Gauß-Verfahren ist nach folgendem System aufgebaut:
Es werden lediglich die Koeffizienten notiert, wobei alle Gleichungen derart aufgelöst sind, dass
auf der linken Seite die Variablen und auf der rechten Seite die konstanten Terme stehen.
An einem Beispiel soll das Erstellen eines Gauß-Systems erläutert werden:
3x − 4y + z + 8 = 12
(4.1)
−7x + 8y + 3z = −4
(4.2)
x+y−z+2 = 1
(4.3)
Aus den Gleichungen 1 bis 3 lässt sich nun ein Gauß-System aufstellen:
x
3
-7
1
y
-4
8
1
z
1
3
1
4
-4
-1
Dieses System wird nun folgendermaßen gelöst:
Es muss nun zur Lösung dieses System die sogenannte Stufenform hergestellt werden. Hierbei
werden die einzelnen Zeilen mit dem Additionsverfahren verknüpft, sodass neue Gleichungen
entstehen; die Gleichungen, welche nicht verändert werden, werden in das neue System übernommen. Ziel ist es, eine Gleichung zu erhalten, in der alle Variablen bis auf eine eliminiert
sind (Wert 0), sodass sich eine Variable eindeutig lösen lässt. Die Stufenform hat letztlich
deshalb ihren Namen, da mit jeder Zeile von oben nach unten eine 0 hinzukommt, sodass
man schließlich die letzte Gleichung lösen und immer weiter nach oben einsetzen kann, um
letztlich Lösungen für alle Variablen zu erhalten.
33
KAPITEL 4. GAUSS-VERFAHREN
Am vorliegenden Beispiel wird dies nun erläutert.
x
3
-7
1
y
-4
8
1
z
1
3
1
4
-4
-1
I − III
x
2
-7
1
y
-5
8
1
z
0
3
1
5
-4
-1
II − 3 · III
x
2
-10
1
y
-5
5
1
z
0
0
1
5
-1
-1
I + II
x
-8
-10
1
y
0
5
1
z
0
0
1
4
-1
-1
Die Stufenform ist nun quasi hergestellt, zur übersichtlichen Darstellung sortiert man nun
die Gleichungen um, dies ist bei einem kleinen System nicht zwingend erforderlich.
x y z
1
1 1 -1
-10 5 0 - 1
-8 0 0 4
Aus III ergibt sich nun x = −0, 5.
In II ergibt sich y = −1, 2
Diese Werte in I ergibt z = 0, 7
Führt man dies handschriftlich aus, so setzt man nicht stets eine neue Tabelle auf, sondern
zieht einfach unter der letzten Zeile einen Strich setzt die neuen Gleichungen unten an. Auch
kennzeichnet man die Anwendung des Additionsverfahrens durch Pfeile mit + und - Zeichen,
sodass erkennbar ist, was berechnet wurde. Somit fallen Zwischenzeilen und neues Tabellenaufsetzen weg und das System wird übersichtlich und kompakt.
Je nach Schwierigkeit des Gleichungssystems lassen sich innerhalb einer Zelle mehrere Additionen von Gleichungen durchführen, jedoch führt dies zur Verkomplizierung des System und
erhöht die Gefahr von Rechenfehlern.
34
4.1. SONDERFÄLLE
4.1 Sonderfälle
Es gibt zwei Sonderfälle, die in einem Gauß-System auftreten können:
1. homogenes System
Es entsteht eine Zeile, die ausschließlich Nullen enthält und zwar auf der Ergebnisseite
und auf der Seite der Koeffizienten. Ausgeschrieben bedeuten diese Nullen die Gleichung
0=0
Man nennt dieses System dann ein homogenes System. Ein solches homogenes System
besitzt unendlich viele Lösungen.
2. unlösbares System
Es entsteht eine Zeile, die auf der Koeffizientenseite ausschließen Nullen, auf der Ergebnisseite jedoch einen Term ungleich 0 enthält, diese Zeile stellt die Gleichung
0 = a|a 6= 0
dar. Tritt eine solche Zeile in einem Gauß-System auf, so hat dieses Gleichungssystem
keine Lösung!
35
5 Analytische Geometrie und lineare Algebra
5.1 Rechnen mit Vektoren
In jedem Vektorraum gelten folgende Gesetze:
1. Gesetze der Abelschen Gruppe
• Gesetz der Abgeschlossenheit
~a + ~b = ~c
Werden zwei Vektoren addiert, so entsteht ein neuer Vektor.
• Kommutativgesetz
~a + ~b = ~b + ~a
• Assoziativgesetz
~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c
• Gesetz des neutralen Elements
~a + ~0 = ~a
Der Nullvektor stellt das neutrale Element dar.
• Gesetz des inversen Elements
~a − ~a = ~0
~ Addiert man diese, erhält man
Zu jedem Vektor ~a gibt es einen Gegenvektor −a.
den Nullvektor.
2. Gesetze der S-Multiplikation
Bei der Multiplikation der Vektoren mit einem Skalar gilt:
• Ausmultiplizieren/Ausklammern I
(~a + ~b) · r = r~a + r~b
• Ausmultiplizieren/Ausklammern II
(r + s) · ~a = r~a + s~a
36
5.1. RECHNEN MIT VEKTOREN
5.1.1 Addieren/Subtrahieren von Vektoren
Man addiert/subtrahiert zwei Vektoren, indem man jeweils die Koordinaten
addiert/subtrahiert.
Beispiel:
    
  
3
1
3+1
4
 4 + 0 = 4+0 = 4 
1
6
1+6
7
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar(reelle Zahl)
  
 

 
1
3·1
3
1







2
3·2
6
2 
3·
=
=
=3·
4
3·4
12
4
Man versucht die Koordinaten der Vektoren ganzzahlig und klein zu halten.
5.1.2 Betrag eines Vektors
Den Betrag eines Vektors bestimmt
natenquadrate zieht.


Konkret:
man, indem man die Wurzel aus der Summe der Koordi
a1 q
a2  = a21 + a22 + a23
a3  
2 √
√
 3  = 4 + 9 + 25 = 38
5 Man erhält den Einheitsvektor eines jeden Vektors, indem man den Vektor durch seinen
Betrag dividiert. Der Einheitsvektor hat den Betrag 1.
a~0 =
Konkret

2

3
~a =
5

1
a~0 = √ 
38
~a
|~a|

 , |~a| =
√
 
2

3 =
5
38
√2
38
√3
38
√5
38



Berechnet man nun von a~0 den Betrag, so erhält man logischerweise 1.
r
r
4
38
9
25
|a~0 | =
+
+
=
=1
38 38 38
38
37
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.2 Skalarprodukt zweier Vektoren
Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel zwischen zwei Vektoren ~a und ~b bestimmen. Es
gilt:
~a • ~b
cos α =
|~a| · |~b|
=⇒ ~a • ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
sowie
~a • ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Gesetze für das Skalarprodukt:
1.
~a • ~b = ~b • ~a
2.
(r · ~a) • ~b = r · (~a • ~b)
3.
(~a + ~b) • ~c = ~a • ~c + ~b • ~c
4.
~a • ~a ≥ 0; ~a • ~a = 0 nur für ~a = ~0
38
5.3. VEKTORPRODUKT(KREUZPRODUKT)
5.3 Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
Durch das Vektorprodukt
~a × ~b = ~c
zweier Vektoren finden wir einen gemeinsamen Normalenvektor, das heißt einen Vektor ~c, der
zu beiden Vektoren ~a und ~b senkrecht steht. Es gilt für den neuen Vektor ~c
~c • ~a = 0
~c • ~b = 0
Hieraus ergibt sich nun das Kreuzprodukt in Kurzschreibweise:


a2 b3 − a3 b2
~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3  = ~c
a1 b2 − a2 b1
Zudem ist definiert:
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin α
aus der geometrischen Betrachtung und damit gilt
A = |~a × ~b|
für die Fläche des Parallelogramms, das durch die Vektoren ~a und ~b aufgespannt wird.
39
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.3.1 Satz des Kreuzprodukts
1.
~a × ~b = ~0; ~b = r · ~a
2.
~b × ~a = −~a × ~b
3.
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
4.
~a × (r · ~b) = r · (~a × ~b)
5.
~a × ~b • ~a = 0
~a × ~b • ~b = 0
Bestimme das Vektorprodukt zweier Vektoren ~a und ~b:
 


2
11
~a =  5  , ~b =  1 
3
4

 
17
20 − 3
~a × ~b =  33 − 8  =  25 
−53
2 − 55

Das Vektorprodukt ist bei einer Verknüpfung mit dem Skalarprodukt vorrangig, da sich aus
dem Vektorprodukt erneut ein Vektor ergibt. Aus dem Skalarprodukt ergibt sich eine reelle
Zahl; eine reelle Zahl im Kreuzprodukt mit einem Vektor zu verarbeiten ist nicht möglich!
Daher gilt: Kreuzprodukt vor Skalarprodukt!
5.3.2 Spatprodukt
Mit Hilfe von Skalar- und Vektorprodukt kann das Volumen eines Spats, der durch die Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannt wird, berechnet werden. Bilden die Vektoren ~aund ~b, die Grundseite,
so gilt gemäß der Regel zum Vektorprodukt:
G = |~a × ~b|
Die Raumhöhe des Spats ist gegeben durch
h = cos β · |~c|
Daher folgt für den Spat:
V = |(~a × ~b)| • ~c
40
5.4. LINEARE ABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN
5.4 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Zwei Vektoren sind dann linear voneinander abhängig, wenn sich ein Vektor als ein Vielfaches
des anderen Vektors darstellen lässt. Sind zwei Vektoren linear abhängig, nennt man sie auch
kollinear. Die Bedingung für die Kollinearität ist also:
~b = λ~a|λ ∈ R
Sind die Vektoren nicht voneinander abhängig, dann sind sie komplanar. Sie spannen eine
Ebene auf. Man kann zwei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Ist
λ~a + µ~b = ~0
nur für λ = µ = 0 erfüllt, dann sind die Vektoren ~a und ~b linear unabhängig. Andernfalls,
wenn einer der Parameter eine andere Lösung als 0 hat, sind sie linear abhängig. Ist für drei
Vektoren ~a, ~b, ~c die Gleichung
r~a + s~b + t~c = ~0
nur für r = s = t = 0 erfüllt, dann sind die Vektoren linear unabhängig, sie sind kollokal. Sie
spannen einen Raum auf.
Linear unabhängige Vektoren nennt man Basisvektoren des Vektorraums.
5.4.1 Bedingungen im 1-2-3 dimensionalen Vektorraum
• 1-dimensionaler Vektorraum Hier gilt: Jeder Vektor lässt sich als Linerkombination
des einzigen Basisvektors darstellen. Es gilt also für jeden Vektor ~b:
~b = r~a
• 2-dimensionaler Vektorraum Hier gilt: Jeder Vektor lässt sich als Linerkombination
der zwei Basisvektoren darstellen. Es gilt also für jeden Vektor ~c:
~c = r~a + r~b
• 3-dimensionaler Vektorraum Hier gilt: Jeder Vektor lässt sich als Linerkombination
~
der drei Basisvektoren darstellen. Es gilt also für jeden Vektor d:
d~ = r~a + r~b + t~c
41
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.5 Vektorräume
An dieser Stelle sei kurz auf Vektorräume eingegangen. Ein Vektorraum definiert sich durch
die Gesetze der Abelschen Gruppe und die der S-Multiplikation. Sind diese Gesetze auf alle
Elemente des Vektorraums anwendbar, so ist gezeigt, dass es sich um einen Vektorraum
handelt.
5.5.1 Vektoren spannen einen Vektorraum auf
Wenn z.B. zu zeigen ist, dass drei Vektoren den Vektorraum R3 aufspannen, so sind zwei
Dinge zu zeigen:
1. Die Vektoren müssen Basisvektoren darstellen. Die lineare Hülle der Vektoren, also
alle Vektoren, die Linearkombinationen der drei gegebenen Vektoren sind, müssen eine
Teilmenge des R3 darstellen. Also:
h
i
~a, ~b, ~c = u
u ⊆ R3
Dafür muss die lineare Unabhängigkeit der Vektoren gezeigt werden. Also:
λ~a + µ~b + ν~c = ~0
darf nur für λ = µ = ν = 0 erfüllt sein.
2. Nun ist noch zu zeigen, dass alle Vektoren des R3 ebenfalls in der linearen Hülle der
Basisvektoren enthalten sind.
R3 ⊆ u
Dafür muss ein beliebiger Vektor aus dem R3 genommen werden und durch eine Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.


x1
~x =  x2 
x3


x1
 x2  = λ~a + µ~b + ν~c
x3
ist diese Gleichung so lösbar, dass man λ, µ, ν durch x1 , x2 , x3 ausdrücken kann, so ist
gezeigt, dass die Vektoren ~a, ~b und ~c den R3 aufspannen.
42
5.6. GERADEN IM R3
5.6 Geraden im R3
Allgemeine Definition einer Geraden:
g : ~x = ~a + λ~u|λ ∈ R
Wobei ~a als Orts- oder Stützvektor der Geraden und ~u als Richtungsvektor der Geraden
bezeichnet wird.
5.6.1 Parameterdarstellung
Man kann Geraden im zweidimensionalen Raum auch als
x2 = mx1 + c
darstellen. Diese Form der Darstellung ist die Koordinatengleichungsform. Gleichungen dieser
Form lassen sich in die Parameterdarstellung umformen, indem man nach dem Schema
g : x2 = mx1 + c
0
1
g : ~x =
+λ
c
m
vorgeht, da der Richtungsvektor die Steigung der Geraden darstellt und der Ortsvektor zu
einem Punkt auf der Geraden führt. Beispiel:
x2 = 3x1 − 5
0
1
+λ
=> g : ~x =
−5
3
Man kann eine Parameterdarstellung einer Geraden zweidimensionalen Raum auch in die
Form x2 = mx1 + c bringen.
Die Steigung der Geraden ergibt sich aus dem Richtungsvektor.
Ist dieser zum Beispiel 23 , so ist die Steigung 32 = 1, 5. Der Ortsvektor liefert uns einen Punkt
auf der Geraden. Mit diesem Punkt und m können wir c bestimmen. Beispiel:
1
1
g : ~x =
+r
2
4
4
=4
1
x2 = 4x1 + c
m=
Aus
1
2
folgt ein Punkt P der Geraden mit den KoordinatenP (1/2)
2 = 4 · 1 + c => c = −2
x2 = 4x1 − 2
Dreidimensionale Geraden können nur in Parameterform angegeben werden oder mit Hilfe
zweier Ebenengleichungen. Die Ebenen haben dann diese Gerade als Schnittgerade.
43
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.6.2 Lage von Geraden im Raum
Zwei Geraden können auf verschiedene Weise im Raum liegen. Sie können parallel liegen,
windschief liegen, einen Schnittpunkt haben oder identisch sein. Prüfverfahren, um die Lage
zweier Geraden zueinander zu ermitteln, ist entweder die Prüfung über die lineare Abhängigkeit, und/oder das Aufstellen eines Gleichungssystems:
Es seien
g : ~x = ~a + λ~u
h : ~x = ~b + µ~v
1. Fall: Geraden sind parallel
a) Prüfung über lineare Abhängigkeit
Sind zwei Geraden g und h parallel, so sind die Richtungsvektoren kollinear. Das
heißt:
~v = r~u
ist lösbar.
b) Prüfung mit Gleichungssystem
Sind die Geraden g und h echt parallel, so hat die Gleichung
~a + λ~u = ~b + µ~v
keine Lösung!
2. Fall: Geraden sind identisch
a) Prüfung über lineare Abhängigkeit
Sind zwei Geraden identisch, so sind sie zunächst ebenfalls parallel. Die Bedingung
der Parallelität gilt also auch hier. Es gilt aber für identische Geraden ebenfalls:
(~b − ~a) = r~u
Der Differenzvektor aus den beiden Ortsvektoren ist kollinear zu den Richtungsvektoren. Ist diese Gleichung erfüllt, so sind die Geraden identisch.
b) Prüfung mit Gleichungssystem
Sind die Geraden g und h identisch, so hat die Gleichung
~a + λ~u = ~b + µ~v
unendlich viele Lösungen!
3. Fall: Geraden sind nicht parallel
In diesem Fall müssen die Geraden zum Schnitt gebracht werden, um den Schnittpunkt
der Geraden zu ermitteln.
~a + λ~u = ~b + µ~v
Hat das Gleichungssystem eine Lösung, so kann durch Rückeinsetzen von λ bzw µ der
Ortsvektor des Schnittpunkts ermittelt werden.
Hat das Gleichungssystem keine Lösung, so sind die Geraden windschief.
44
5.6. GERADEN IM R3
5.6.3 Spurpunkte
Spurpunkte sind die Punkte, in denen Geraden die Grundebenen des Koordinatensystems
schneiden. Man bezeichnet den Spurpunkt der x1x2-Ebene mit D12 . Um den Spurpunkt zu
bestimmen, muss die entsprechende dritte Koordinate 0 gesetzt werden. Beispiel:
 


1
−3
g : ~x =  1  + λ  1 
1
2
Gesucht ist D12 : Der Punkt D12 hat die Form D12 (x1 /x2 /0); die dritte Koordinate x3 = 0.
Stelle die Koordinatengleichung aus g auf. Es muss gelten:
0 = 1 + 2λ
λ = −0, 5
Setze nun λ = 0, 5 in g ein und bestimme den

 
1
1
d~12 =  1  − 
2
1
Ortsvektor des Spurpunkts:
 

−3
2, 5
1  =  −0, 5 
2
0
Damit hat der Spurpunkt D12 die Koordinaten D12 (2, 5/ − 0, 5/0).
45
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7 Ebenen
5.7.1 Parameterdarstellung der Ebene mit Umformung
Eine Ebene wird definiert durch einen Ortsvektor und zwei Richtungs- bzw. Spannvektoren.
Man kann eine Ebene auch über drei Punkte definieren, indem man die Differenzvektoren
bildet und diese als Richtungsvektoren benutzt.
• Punkt-Richtungsform der Ebene
E : ~x = ~a + λ~u + µ~v
• Dreipunkteform der Ebene
E : ~x = ~a + λ(~b − ~a) + µ(~c − ~a)
5.7.1.1 Umwandlung von Parameter- in Koordinatenform
Diese Parameterdarstellung der Ebene kann in eine Koordinatengleichungsform überführt
werden. Hierfür muss ein Gleichungssystem mit Koordinatengleichungen aufgestellt werden
und die Parameter der Ebene ersetzt werden. Beispiel:




 
−3
1
3
E : ~x =  0  + λ  1  + µ  1 
2
−4
5

  




x1
3
1
−3
 x2  =  0  + λ  1  + µ  1 
x3
5
−4
2
Stelle die Koordinatengleichungen auf:
x1 = 3 + λ − 3µ
x2 = λ + µ
x3 = 5 − 4λ + 2µ
Nun müssen die Parameter λ und µ entfernt werden. Je nach Art und Schwere des Gleichungssystems ist unterschiedlich vorzugehen. Forme hier mittels Einsetzen um:
x1
=
3 + λ − 3µ
λ = x2 − µ
x3
=
5 − 4λ + 2µ
Zweite Gleichung in erste einsetzen und danach in die dritte einsetzen
x1
=
3 + x2 − µ − 3µ => µ =
3 x2 x1
+
−
4
4
4
λ = x2 − µ
x3
46
=
5 − 4x2 + x2 + 3 + x1 + 1, 5 +
x2 x1
−
2
2
5.7. EBENEN
Nun kann man die Koordinatengleichungsform aufstellen
x1
− + 2, 5x2 + x3 = 9, 5
2
5.7.1.2 Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform
Um die Koordinatenform in die Parameterform umzuwandeln muss man folgendermaßen vorgehen:
E : x1 − 3x2 + 4x3 = 7
Setze nun x2 = r und x3 = s, da ich zwei Parameter in der Parameterform erhalte(r und s)!
Löse nun oben noch nach x1 auf:
x1 = 7 + 3r − 4s
Aus diesen Angaben kann ich mir nun die Parameterform zusammenbauen, da ich ja

  
 
 
x1
E :  x2  =   + r   + s  
x3
als Grundvoraussetzung habe. Jetzt fülle ich die Zeile bei x2 so, dass ich nur rechts r erhalte.
Bei x3 selbes Verfahren, nur erhalte ich hier s. Ich erhalte deshalb schonmal

  
 
 
x1
E :  x2  =  0  + r  1  + s  0 
x3
0
0
1
Jetzt setze ich noch bei x1 so ein, dass diese Zeile die Gleichung ergibt, die ich oben ausgerechnet habe. Deshalb heißt die Parameterform am Ende


 

  
−4
3
x1
7
E :  x2  =  0  + r  1  + s  0 
1
0
0
x3
5.7.2 Normalenform der Ebene
Die Normalenform der Ebene wird durch einen Normalenvektor zur Ebene, d.h. ein Vektor,
der senkrecht auf der Ebene steht, und einen Punkt in der Ebene gebildet. Die Normalenform
der Ebene lautet daher
E : (~x − p~) • ~n = 0
Hierbei wird die Beziehung des Skalarprodukts klar,cos 90◦ = 0.
Die Normalenform kann direkt in die Koordinatenform überführt werden, indem das Skalarprodukt errechnet wird. Gemäß den Rechengesetzen des Skalarprodukts ergibt sich zunächst
(~x − p~) • ~n = 0
~x • ~n = p~ • ~n
Dieses Skalarprodukt kann ausrechnet werden. Beispiel

   
1
2
E : ~x −  2  •  1  = 0
4
5
47
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA

    
2
1
2





1
2
1 
E : ~x •
=
•
5
3
5
E : 2x1 + x2 + 5x3 = 2 + 2 + 15 = 19
Aus der Beziehung
~x • ~n = p~ • ~n
kann man erkennen, dass bei einer Ebene der Form
E : ax1 + bx2 + cx3 = d


a
der Vektor  b  einen Normalenvektor der Ebene darstellt. Somit lässt sich die Ebenenform
c
in die Normalenform relativ schnell überführen, wenn man noch einen Punkt der Ebene kennt,
bzw bestimmt.
48
5.7. EBENEN
Möchte man die Parameterform in die Normalenform überführen, so muss man folgende
Regel anweden: Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene, damit auch senkrecht zu
beiden Richtungsvektoren. Es gilt daher:
E : ~x = ~a + r · ~u + s · ~v
~u • ~n = ~v • ~n = 0
(Möglich ist ebenfalls ~n = ~u × ~v ) Nutzt man diese Beziehung, so kann man leicht einen
Normalenvektor finden. Hat man diesen, kann man mit dem Punkt, der durch den Ortsvektor
der Ebene gegeben wird, die Normalenform aufstellen.
Beispiel:
 
 
 
1
2
5
E : ~x =  1  + r  1  + s  2 
1
3
0
 
2
~n •  1  = 0
3
 
5
~n •  2  = 0
0
Es ergeben sich:
2n1 + n2 + 3n3 = 0
5n1 + 2n2 = 0
Aus II folgt in I:
n2 = 2, 5n1
4, 5n1 + 3n3 = 0
n3 = −1, 5n1
Wähle nun n1 = 2 so ergibt sich:
n1 = 2
n2 = 2, 5n1 = 5
n3 = −1, 5n1 = −3
Stelle nun den Normalenvektor auf:


2
~n =  5 
−3
Die Ebene lautet daher


 

1
2
E : ~x −  1  •  5  = 0
1
−3
49
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7.3 Schnelles Umformen von Ebenengleichungen
Die Ebenengleichung, welche am einfachsten zu handhaben ist, sollte die Koordinatenform
darstellen.
Da Ebenen häufig durch Punkte oder Geraden gegeben werden, ist also zunächst die Parameterform aufzustellen und diese dann umzuformen. Der schnellste Weg hierfür ist folgender:
Forme zunächst die Parameterform in die Normalenform um, danach von der Normalenform
in die Koordinatenform! Einen Normalenvektor der Ebenen benötigt man ohnehin häufig für
weitere Untersuchungen! Beispiel:
E : ~x = ~a + r~u + s~v
~n = ~u × ~v
Bestimme den Normalenvektor direkt über das Vektorprodukt!( Der Weg über das Skalarprodukt ist auch möglich, wenn auch länger, wohingegen das Vektorprodukt sicheres Rechnen
erfordert.)
E : [~x − ~a] • ~n = 0
Direkt in die Koordinatenform
E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = ~a • ~n
Somit sind alle drei Formen der Ebenengleichung direkt aus der Parameterform hergestellt.
Ist bereits die Koordinatenform gegeben, so kann die Parameterform bei Bedarf leicht erstellt
werden, ein Normalenvektor direkt an den Koeffizienten abgelesen werden!
50
5.7. EBENEN
5.7.3.1 Hessesche Normalenform
In der Hesseschen Normalenform wird der Normalenvektor der Ebene ~n durch den Normaleneinheitsvektor n~0 ersetzt. Der Normaleneinheitsvektor wird wie jeder Einheitsvektor bestimmt
durch
~n
n~0 =
|~n|
Die Hessesche Normalenform lautet also:
E : (~x − p~) • n~0 = 0
Wandelt man diese in die Koordinatenform um, ergibt sich letztlich die Koordinatenform:
E:
ax1 + bx2 + cx3 − d
√
=0
a2 + b2 + c2


a
Aus der Beziehung, dass  b  ein Normalenvektor der Ebene ist.
c
Der Weg, die Koordinatenform in die Hessesche Normalenform umzusetzen, ist der schnellere, da kein Normaleneinheitsvektor gebildet werden muss, die Koeffizienten können direkt
eingesetzt werden!
51
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7.4 Durchstoßpunkte und Spurgeraden von Ebenen
Als Durchstoßpunkte einer Ebene werden die Punkte bezeichnet, in denen die Koordinatenachsen die Ebene schneiden(bzw. durchstoßen). Sie lassen sich ermitteln, indem man die
Ebene mit den Koordinatenachsen, bzw. deren Geraden, zum Schnitt bringt. Spurgeraden
sind die Geraden, die entstehen, wenn die Ebene die Koordinatenebenen schneidet. Sie werden bestimmt, indem man die Ebenen zum Schnitt bringt.
Schnitt von Ebenen siehe entsprechendes Kapitel!
5.7.4.1 Achsenabschnittsform
Die Form
x1 x2 x3
+
+
=1
a1
a2
a3
ist dann erfüllt, wenn a1 , a2 , a3 die Achsenabschnitte der Ebenen mit darstellen. Um die
Durchstoßpunkte zu finden, kann diese Form also effektiv genutzt werden. Beispiel: Für den
Achsenabschnitt der x1 -Achse gilt x2 = x3 = 0.
x1
=1
a1
liefert mit a1 diesen Abschnitt. Konkret
3x1
=1
4
Achsenabschnitt bei A1 ( 43 /0/0)!
Der Nenner muss durch den Vorfaktor vor x1 dividiert werden! Nur wenn oben eine 1 davor
steht, darf ich unten direkt den Achsenabschnitt ablesen!
52
5.7. EBENEN
5.7.5 Lage von Ebenen
Zwei Ebenen können parallel zueinander sein oder sich schneiden. Es kann keine windschiefen
Ebenen geben! Ebenen sind unendlich groß! Liegen zwei Ebenen parallel zueinander, besitzen
sie keine gemeinsamen Punkte. Schneiden sie sich, so ergibt sich eine Schnittgerade! Man
bestimmt die Lage zweier Ebenen ähnlich wie die zweier Geraden. Eine Möglichkeit ist es die
Beziehung der Richtungsvektoren zu untersuchen; schneller ist es bei zwei Ebenen jedoch ein
Gleichungssystem aufzustellen. Hat dieses Gleichungssystem
• eine Lösung, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Man kann alle Variablen in
Abhängigkeit einer ausdrücken. Diese wird durch einen Parameter ersetzt, welcher dann
den Parameter der Geraden darstellt.
• unendlich viele Lösungen: Die Ebenen sind identisch!
• keine Lösung: Die Ebenen sind parallel!
Mit Hilfe der Richtungsvektoren lässt sich Parallelität feststellen. Um einen Schnittpunkt
zu bestimmen, muss man ein Gleichungssystem aufstellen. Parallelität wird gezeigt, bzw. ist
vorhanden, wenn bei
E1 : ~x = ~a + λu~1 + µv~1
E2 : ~x = ~a + ru~2 + sv~2
sich die Richtungsvektoren von E1 beide als Linearkombination der Richtungsvektoren von
E2 darstellen lassen. Es müssen also die folgenden zwei Bedingungen gelten:
u~1 = ν u~2 + τ v~2
v~1 = ν u~2 + τ v~2
Sind beide Gleichungen jeweils für einen Wert der Parameter erfüllt, so ist die Parallelität
gezeigt. Sind die Richtungsvektoren nicht linear abhängig, so sind die Ebenen nicht parallel!
Identisch sind die Ebenen dann, wenn der Differenzvektor aus den beiden Stützvektoren ebenfalls noch linear abhängig von den Richtungsvektoren einer der beiden Ebenen ist. Das heißt,
wenn die beiden Bedingungen
~b − ~a = ν u~2 + τ v~2
~b − ~a = ν u~2 + τ v~2
für genau einen Wert der Parameter erfüllt sind.
Es wird deutlich, dass, wenn die Lage der Ebenen untersucht werden soll, der Weg über das
Gleichungssystem schneller und einfacher ist, da das Gleichungssystem im Anschluss an die
Untersuchung der linearen Abhängigkeit ohnehin aufgestellt werden muss, um die Schnittgerade zu finden, falls die Ebenen nicht parallel sind!
53
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7.6 Schnitt von Ebenen
Schnitt von Ebene und Gerade Möchte man eine Ebene und eine Gerade zum Schnitt bringen, so kann man die Ebene in der Parameterform mit der Geraden zum Schnitt bringen.
Schneller ist es, die Koordinatengleichungen der Geraden zu bilden und in die Koordinatenform der Ebenen einzusetzen, falls diese gegeben ist! Man erhält nach Gleichsetzen der
entsprechenden Terme der Parameterformen ein Gleichunssystem mit 3 Unbekannten. Bekommt man eine Lösung, so gibt es einen Schnittpunkt, gibt es keine Lösung, so sind Ebene
und Gerade parallel. Dies kann man auch erkennen, wenn man prüft, ob der Richtungsvektor
der Geraden linear abhängig ist von den Richtungsvektoren der Ebene. In der Regel ist das
Verfahren mit Gleichunssystem schneller. Hat man eindeutige Lösungen für die Parameter so
kann man durch Rückeinsetzen in die Geradengleichung den Ortsvektor des Schnittpunktes
bestimmen.
Setzt man die Koordinatengleichungen der Geraden in die Koordinatenform der Ebenen ein,
erhält man nur eine Gleichung, die entweder unendlich viele, eine oder keine Lösung besitzt;
nun verhält es sich genauso wie oben!
Schnitt zweier Ebenen Man verfährt hierbei am besten so, dass man die Ebenengleichungen
in die Koordinatenform überführt und dann die Gleichungen miteinander verrechnet. Auf
keinen Fall dürfen die Ebenengleichungen auf der rechten Seite auf Null gebracht und die
linken Seiten gleichgesetzt werden!!!
Man kann das Gleichungssystem entweder nicht lösen, dann sind die Ebenen parallel, oder das
Gleichungssystem ist lösbar, so kann man zwei Variablen jeweils in Abhängigkeit der dritten
ausdrücken. Man ersetzt die dritte durch einen Parameter und bildet die Geradengleichung.
Beispiel:
Lösung sei
x1 = 3x3 − 4
x2 = −2x3 + 2
x3 = r
Es ergibt sich die Schnittgerade




−4
3
g : ~x =  2  + r ·  −2 
0
1
Das Finden dieser Parameterform funktioniert genauso wie das Umformen einer Ebenengleichung in Parameterform(s.o.), man benutzt nur eine Geradengleichung als Blankoform und
hat nur einen Parameter.
54
5.7. EBENEN
5.7.7 Abstandsberechnungen
1. Abstand eines Punktes von einer Ebene
Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebenen E zu bestimmen, muss man in der
Hesseschen Normalenform der Ebenen den Vektor ~x durch den Ortsvektor des Punktes
P ersetzen. Hierbei gibt es zwei Formen der Hesseschen Normalenform:
a) Ebene ist in Normalenform gegeben
Ist die Ebene in Normalenform gegeben, so bestimmt man n~0 und setzt für ~x den
Ortsvektor des Punktes ein.
E : [~x − ~a] • n~0 = 0
d(P, E) = | [~
p − ~a] • n~0 |
Auch ist es möglich, die Normalenform in die Koordinatenform umzuwandeln und
dann nach Punkt 2 zu verfahren!(meist schneller)
b) Ebene ist in Koordinatenform gegeben
Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben
E : ax1 + bx2 + cx3 = d
so formt man um nach
E:
ax1 + bx2 + cx3 − d
√
=0
a2 + b2 + c2
Der Abstand ergibt sich nun, wenn man für x1 , x2 , x3 die Koordinaten des Punktes
einsetzt.
Wichtig: −d im Zähler muss stehen, notfalls umformen, da sonst die erste unten
aufgeführte Bedingung nicht gilt!
Ist der Wert in den Betragsstrichen positiv, so liegt P in dem Halbraum von E,
der dem Ursprung abgewandt ist. Ist der Wert negativ, so liegt P in dem Halbraum, in
dem sich auch der Koordinatenursprung befindet.
In jedem Fall befindet sich P, falls der Betrag positiv ist, in dem Halbraum, in den der
Normalenvektor der Ebenen zeigt. Falls der Betrag negativ ist, befindet sich P in dem
Halbraum, in den der Normalenvektor nicht zeigt.
2. Abstand Ebene/Ebene;Ebene/Gerade
Der Abstand zweier Ebenen voneinander wird genauso wie der Abstand einer Gerade
von einer Ebenen so bestimmt wie der Abstand eines Punktes von einer Ebenen. Man
verwendet bei zwei Ebenen einen Punkt, welcher in einer der beiden Ebenen liegt, und
ermittelt dessen Abstand zur anderen Ebene. Bei der Abstandsberechnung von Ebene
und Gerade verwendet man einen Punkt, der auf der Geraden liegt, und bestimmt dessen
Abstand zur Ebenen.
55
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
3. Abstand eines Punktes von einer Geraden
Um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen, muss man die Gleichung der Ebenen finden, in der der Punkt liegt und zu der die Gerade senkrecht steht.
Es muss also der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor der Ebenen sein.
Außerdem liegt der Punkt P in der Ebene, somit folgt für ~u als Richtungsvektor der
Geraden
E : [~x − p~] • ~u = 0
Hat man diese Ebene, so bestimmt man den Fußpunkt der Geraden mit der Ebenen(den
Schnittpunkt). Man überführe die Ebene am besten in Koordinatenform, setze die Geradengleichungen ein und setzt dann die Lösung für den Parameter wieder in die Geradengleichung ein. Dann kann man den Betrag des Differenzvektors F~R bilden und kennt
den Abstand.
Abbildung 5.1: Abstand eines Punktes von einer Ebene
4. Abstand zweier windschiefer Geraden
Den Abstand zweier windschiefer Geraden kann man bestimmen, indem man einen
gemeinsamen Normalenvektor der beiden Geraden sucht, mit diesem kann man die Hessesche Normalenform bilden.
g : ~x = p~ + r · ~u
h : ~x = ~q + s · ~v
~u · ~n = 0, ~v · ~n = 0
d(g, h) = |(~q − p~) • n~0 |
56
5.7. EBENEN
5.7.8 Winkel von Ebenen und Geraden
1. Winkel zweier Geraden
Der Winkel zwischen zwei Geraden, die sich schneiden oder windschief sind
(Winkel der Projektion), lässt sich durch folgende Betrachtung finden:
Der Winkel zwischen den Geraden entspricht dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren u~1 , u~2 der einzelnen Geraden.
Abbildung 5.2: Winkel zwischen zwei Geraden
Wir können ihn mit Hilfe des Skalarprodukts bestimmen:
cos α =
|u~1 • u~2 |
|u~1 | · |u~2 |
2. Winkel zweier Ebenen
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel der Normalenvektoren n~1 , n~2
der Ebenen. Daher gilt für den Winkel zwischen zwei Ebenen:
Abbildung 5.3: Winkel zwischen zwei Ebenen
cos α =
|n~1 • n~2 |
|n~1 | · |n~2 |
57
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
3. Winkel zwischen Ebene und Gerade
Den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden kann folgendermaßen mithilfe
des Richtungsvektors ~u der Geraden und des Normalenvektors ~n der Ebene bestimmt
werden:
Abbildung 5.4: Winkel zwischen Gerade und Ebene
Da uns diesmal cos α nicht den gesuchten Schnittwinkel liefert, sondern gerade den
Winkel α1 , für den
α + α1 = 90◦
gilt, nutzen wir hier geometrisch die Sinusbeziehung und gelangen damit zu
sin α =
58
|~n • ~u|
|~n| · |~u|
5.7. EBENEN
4. Orthogonalität von Geraden und Ebenen
a) Zwei Geraden sind orthogonal zueinander
Zwei Geraden sind dann orthogonal zueinander, wenn die Richtungsvektoren ebenfalls orthogonal zueinander sind.
g : ~x = ~a + λ~u
h : ~x = ~b + µ~v
Es muss also für g senkrecht zu h gelten:
~u • ~v = 0
Ist dies erfüllt, so sind die Geraden orthogonal.
b) Gerade und Ebene sind orthogonal zueinander
Eine Gerade und eine Ebene sind dann orthogonal zueinander, wenn der Richtungsvektor der Geraden g ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene E ist. ~u
und ~n sind dann linear abhängig. Das heißt:
g : ~x = ~a + λ~u
E : (~x − p~) • ~n = 0
und es gilt
~u = r · ~n
c) Ebene und Ebene sind orthogonal
Zwei Ebenen sind dann orthogonal zueinander(bzw. schneiden sich orthogonal)
wenn die Normalenvektoren der beiden Ebenen zueinander orthogonal sind.
E1 : (~x − p~) • n~1 = 0
E1 : (~x − ~q) • n~2 = 0
Es muss hier gelten, damit E1 senkrecht zu E2 ist:
n~1 • n~2 = 0
59
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.8 Kreise und Kugeln
5.8.1 Kreis-, bzw. Kugelgleichung
Die altbekannte Kreisgleichung
(xp − xm )2 + (yp − ym )2 = r2
übertragen auf Vektoren, gilt für zweidimensionale Vektoren
(~x − m)
~ 2 = r2
Für Kugeln gilt nun im Dreidimensionalen als Kugelgleichung
(x1 − m1 )2 + (x2 − m2 )2 + (x3 − m3 )2 = r2
(~x − m)
~ 2 = r2
wobei 2 als Skalarprodukt aufzufassen ist.m
~ ist der Ortsvektor des Kugelmittelpunkts. Um
zu prüfen ob ein Punkt in der Kugel, auf der Kugel oder außerhalb liegt, muss man den
Ortsvektor des Punktes für ~x einsetzen. Es gibt drei Möglichkeiten:
1.
|~
p − m|
~ 2 < r2
Der Punkt liegt in der Kugel.
2.
|~
p − m|
~ 2 = r2
Der Punkt liegt auf der Kugeloberfläche.
3.
|~
p − m|
~ 2 > r2
Der Punkt liegt außerhalb der Kugel.
5.8.2 Tangenten, Tangentialebene
Kreisgleichung bzw. Kugelgleichung
(~x − m)
~ 2 = r2
Gleichung der Tangente bzw. Tangentialebene.
(~x − m)
~ • (~b − m)
~ = r2
Bei zweidimensionalen Vektoren erhält man die Tangente, bei dreidimensionalen Vektoren
die Tangentialebene in Koordinatenform. Satz zur Tangentialebene:
Eine Ebene T ist Tangentialebene an die Kugel K, wenn der Abstand des Mittelpunktes M
von der Ebene E gleich dem Radius r der Kugel ist. Die Gerade durch den Mittelpunkt M
und den Berührpunkt B steht senkrecht auf der Tangentialebene T.
60
5.8. KREISE UND KUGELN
5.8.3 Schnittkreis zweier Kugeln
Bringt man zwei Kugeln zum Schnitt, so sollte man zunächst den Vektor M1~M2 zwischen
den Mittelpunkten der Kugeln ermitteln. Kennt man nämlich Mittelpunkte und Radien der
beiden Kugeln kann man zunächst folgendes untersuchen:
1.
M1¯M2 > r1 + r2
Die Kugeln schneiden sich nicht!
2.
M1¯M2 = r1 + r2
Die Kugeln berühren sich in einem Punkt!
3.
M1¯M2 = r1 + r2
Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis!
4.
r2 − r1 < d < r1 + r2 ; d = |M1¯M2 |
Ist d kleiner oder gleich der Differenz der Radien, dann liegen die Kugeln ineinander!
Schneiden sich die Kugeln, muss man den Schnittkreis ermitteln. Hierfür bringt man die
Kugeln zum Schnitt und man erhält die Trägerebene des Schnittkreises. Dort, wo die Gerade
M1¯M2 diese Ebene schneidet befindet sich der Mittelpunkt des Schnittkreises. Der Radius
des Schnittkreises wird nun durch die Anwendung des Satzes des Pythagoras in dem Dreieck
ermittelt, das sich durch einen Kugelradius, die Strecke vom Schnittkreismittelpunkt zum
zugehörigen Kugelmittelpunkt sowie durch den Radius des Schnittkreises ergibt.
Abbildung 5.5: Berechnung des Schnittkreisradius
61
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.8.4 Parameterdarstellung des Schnittkreises
Kennt man zwei orthogonale Einheitsvektoren, welche die Schnittkreisebene aufspannen, so
kann man den Schnittkreis mit Hilfe dieser zwei Vektoren darstellen als
~ 0 + (r0 cos ϕ)u~0 + (r0 sin ϕ)v~0
~x = m
Wobei X ein Punkt auf der Kreislinie ist und M 0 der Mittelpunkt des Schnittkreises. Über
den Winkel ϕ wird hier der Kreis erzeugt.
Abbildung 5.6: Parameterdarstellung des Schnittkreises
62
5.9. TEILVERHÄLTNISSE
5.9 Teilverhältnisse
Man kann mit Hilfe von Vektoren die Teilverhältnisse von Strecken, die durch einen Punkt
geteilt werden, ermitteln.
¯ die von einem Punkt T geteilt wird.
Der einfachste Fall ist eine Strecke AB,
Abbildung 5.7: Darstellung eines Teilverhältnisses
Hier gilt:
¯ vom Punkt T im Verhältnis m : n geteilt, dann ist
Wird die Strecke AB
~ = m · T~B
AT
n
~ =
AT
m
~
· AB
m+n
63
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.9.1 Teilverhältnisse in ebenen und räumlichen Gebilden
Um die Teilverhältnisse einer Strecke in einem ebenen oder räumlichen Gebilde zu ermitteln,
ist folgendermaßen vorzugehen:
1. Bilde einen geschlossenen Vektorzug, wobei die End- und Teilungspunkte der Strecken
als End- und Teilungspunkte der Vektoren auftreten.
2. Stelle alle Vektoren als Linearkombination von zwei - in der Ebene (drei im Raum) linear unabhängigen Vektoren (~a, ~b, ~c) dar.
3. Stelle eine Gleichung der Form r~a + s~b = 0 her! Da für linear unabhängige Vektoren
r = 0 und s = 0 gilt, gelingt es die Teilverhältnisse zu bestimmen!
Abbildung 5.8: Teilverhältnisse im Dreieck
Beispiel für die Bestimmung der Teilverhältnisse: Beweise, dass der Schwerpunkt des Dreiecks die Seitenhalbierenden stets im Verhältnis 2:1 teilt! (Skizze siehe oben) Geschlossener
Vektorzug wird aufgebaut:
~ + SB
~ + BA
~ = ~0
AS
Wähle nun die zwei linear unabhängigen Vektoren
~ ~b = AC,
~ BC
~ = ~b − ~a
~a = AB,
~ = xAM
~ a = x · (~a + 1 (~b − ~a)
AS
2
~ = y M~b B = y · (~a − 1~b)
SB
2
~ = −~a
BA
64
5.9. TEILVERHÄLTNISSE
Setze in Vektorzug ein:
1
x · (~a + (~b − ~a) + y M~b B = y · (~a −
2
1~
b) − ~a = ~0
2
Vereinfache zu
1
1
1
(x + y − x − 1)~a + ( x − y)~b = ~0
2
2
2
Aus den Bedingungen der linearen Unabhängigkeit folgt:
1
y+ x−1=0
2
1
1
x− y =0
2
2
Löse und erhalte
x=y=
2
3
Daher ist
~ a
~ = 2 AM
AS
3
~ = 2 M~b B
SB
3
So ist gezeigt, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt!
65
Tabellenverzeichnis
184
1.1
Mathematische Eigenschaften einer Funktion bei gegebenen Bedinungen . . . . 14
7.1
c-Werte für häufige Werte von α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
Geometrische Herleitung des Differentialquotienten . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel für Subtangente und Subnormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Näherung der Fläche über Riemann-Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1
3.2
Näherung der Bogenlänge einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Näherung der Mantelfläche des Rotationskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Winkel zwischen zwei Geraden . . . . .
Winkel zwischen zwei Ebenen . . . . . .
Winkel zwischen Gerade und Ebene . .
Berechnung des Schnittkreisradius . . .
Parameterdarstellung des Schnittkreises
Darstellung eines Teilverhältnisses . . .
Teilverhältnisse im Dreieck . . . . . . .
6.1
Unterschiedliche Diagramme zur Darstellung der Urliste . . . . . . . . . . . . . 67
7.1
7.2
7.3
Baumdiagramm für dreifachen Münzwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Baumdiagramm zur Erläuterung der bedingten Wahrscheinlichkeit . . . . . . . 75
Darstellung des Fehlers 1. Art bzw. des Fehlers 2.Art . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1
Das Pascalsche Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1
Numerische Lösung einer Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
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1
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4
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57
57
58
61
62
63
64
11.1 Näherung der Cosinus-Funktion durch Polynome 2.,4.,6.,8. und 10. Grades . . . 102
185
Index
Ebene
Schnitt mit Ebene, 54
Schnitt mit Gerade, 54
186