6 - Gymnasium

M 6.1
Brüche
Brüche beschreiben Bruchteile.
1
3
!"# 100$% = & !"# 100$%' ∙ 3 = (100$% ∶ 4) ∙ 3 = 25$% ∙ 3 = 75$%
4
4
Die Schokoladentafel hat 14 Stückchen, d.h. ein Stückchen entspricht dem Anteil
1
14
M 6.2
Prozentschreibweise
Anteile werden häufig in Prozent angegeben. „Prozent“ heißt „Hundertstel“.
3
= 3%
100
Häufig vorkommende Prozentsätze
1 = 100%
1
= 50%
2
Nenner Nenner .
Nenner 5
Nenner /9
1
= 20%
5
1
= 10%
10
1
= 25%
4
2
= 40%
5
3
= 30%
10
3
= 60%
5
7
= 70%
10
3
= 75%
4
4
= 80%
5
9
= 90%
10
M 6.3
Erweitern und Kürzen
Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Kürzen
Erweitern
3∶;
1
3
=
=
;
15 15 ∶ ; 5
6
6∶3
3∶;
1
=
=
=
=
24 24 ∶ - 12 12 ∶ ; 4
M 6.4
1 1∙>
5
=
=
4 4 ∙ > 20
;
2 2∙;
6
=
=
5 5 ∙ ; 15
Rationale Zahlen
Zahlen, die man durch Brüche angeben kann, heißen Bruchzahlen. Eine
Bruchzahl kann durch verschiedene wertgleiche Brüche angegeben werden.
?
@
A
= =
B
@
?C
=
D
AE
=⋯;
?
A
@
G
G
= = = ⋯;
B
− =−
C
@
I
?A
A
?
Jede Bruchzahl hat einen Platz auf der Zahlengeraden.
−/
−
K
/-
−
/
-
−
>
-9
9
/
.
.
L
@
= ⋯; 2 = = = ⋯
;
.
Die positiven und die negativen Bruchzahlen bilden
zusammen mit der 0 die Menge der rationalen Zahlen ℚ.
/
A
Vergleichen rationaler Zahlen
M 6.5
Brüche können verglichen werden, indem man sie durch Erweitern oder
Kürzen auf denselben Nenner oder auf denselben Zähler bringt:
· Gleiche Nenner: Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer
5 3
>
7 7
· Gleiche Zähler: Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist größer
2 2
>
3 5
5
15
7
14
=
;
=
12 36
18 36
⇉
5
7
>
12 18
Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, die weiter rechts auf der
Zahlengeraden liegt.
Umwandeln von Brüchen in
Dezimalbrüche
M 6.6
Bei Dezimalbrüchen bedeutet die erste Stelle nach dem Komma Zehntel, die
zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel,…
9, 9;- =
32
1000
…
H
Z
T
0
,
,
z
h
t
0
3
2
zt
…
Methoden zum Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche
Erweitern oder Kürzen zu einem
Bruch mit Stufenzahl im Nenner
Schriftliches Dividieren
2
4
=
= 0,04
50 100
1
= 1 ∶ 8 = 0,125
8
Endlicher Dezimalbruch
63
9
=
= 0,9
70 10
1
= 1 ∶ 6 = 0,16666 … = 0,16P
6
Unendlicher periodischer Dezimalbruch
Enthält der Nenner eines vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2
und 5, ergibt sich ein endlicher Dezimalbruch, andernfalls ein unendlicher.
M 6.7
Relative Häufigkeit
Absolute Häufigkeit: Sie gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt.
Relative Häufigkeit: Sie gibt an, bei welchem Anteil aller Versuche das
bestimmte Ergebnis auftritt.
QRSTUVWR XäYZV[\RVU =
T]^_SYUR XäYZV[\RVU
`R^TaUbTcS dRe fRe^YgcR
Zufallsexperiment: 5-mal würfeln
Ergebnisse:
Absolute Häufigkeit für das Ergebnis „2“: -
Relative Häufigkeit für das Ergebnis „2“:
>
= .9%
Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative
Häufigkeit für jedes Ergebnis um einen bestimmten Wert ein (empirisches
Gesetz der großen Zahlen).
M 6.8
Addition und Subtraktion von
Brüchen
" $ "+$
+ =
# #
#
Gleichnamige Brüche
Zähler plus (minus) Zähler, Nenner beibehalten
2 4 6
+ =
7 7 7
" $ "% + $#
+ =
#%
# %
5 3 2
− =
7 7 7
Ungleichnamige Brüche
1.
Brüche gleichnamig machen
2.
Gleichnamige Brüche addieren (subtrahieren)
1 3
2
9
11
+ =
+
=
6 4 12 12 12
5 3
35 9
26 13
−
=
−
=
=
6 14 42 42 42 21
Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner ist das kgV aller Nenner. Er heißt
Hauptnenner.
Gemischte Zahlen
1.
Gemischte Zahlen als Summen schreiben/denken
2.
Ganze Zahlen zusammenrechnen, Brüche zusammenrechnen
2
1
2
1
2 1
4
5
9
3 +2 =3+ +2+ =3+2+ + =5+
+
=5
5
2
5
2
5 2
10 10
10
1
2
1 2
4 2
2
5 −2 =3 − =2 − =2
3
3
3 3
3 3
3
M 6.9
"∙$
"
∙$=
#
#
Multiplikation von Brüchen
Bruch mal natürliche Zahl
Zähler mal Zahl, Nenner beibehalten
2∙3 6
2
∙3=
=
7
7
7
" $ "∙$
∙ =
# % #∙%
Bruch mal Bruch
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
2 3 2∙3 2
∙ =
=
3 5 3∙5 5
Gemischte Zahlen
1. in unechte Brüche umwandeln
2. multiplizieren
3 1 18 5 18 ∙ 5
3 ∙2 =
∙ =
=9
5 2
5 2
5∙2
„Von“ bedeutet in der Bruchteil-Regel „mal“
3
3 ∙ 36
3
'() 36 = ∙ 36 =
= 3 ∙ 9 = 27
4
4
4
M 6.10
"
"
∶$=
#
#∙$
Division von Brüchen
Bruch durch natürliche Zahl
Nenner mal Zahl, Zähler beibehalten
2
2
2
:3 =
=
7
7 ∙ 3 21
" $ "∙%
: =
# % #∙$
Bruch durch Bruch
mit dem Kehrbruch multiplizieren
1
2 3 2 5 2 ∙ 5 10
: = ∙ =
=
=1
9
9
3 5 3 3 3∙3
Doppelbrüche
In Division umschreiben
2
5 = 2 ∶ 3 = 2 ∙ 7 = 14
3
5 7 5 3 15
7
M 6.11
Rechnen mit Dezimalbrüchen
Addieren und Subtrahieren
Zahlen untereinander schreiben, so dass Komma unter Komma steht und stellenweise
rechnen.
23,075
+0,0152
23,0902
Multiplizieren
1. Zahlen ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren
2. Im Ergebnis das Komma so setzen, dass es so viele Nachkommastellen hat wie
beide Faktoren zusammen
0,3 ∙ 0,25 = 0,075
Dividieren
1. In Dividend und Divisor das Komma so weit nach rechts verschieben, bis der
Divisor eine natürliche Zahl ist
2. Überschreitet man beim Dividieren im Dividenden das Komma, wird im Ergebnis
ein Komma gesetzt
0,015 ∶ 0,75 = 1,5 ∶ 75 = 0,02
Echte Brüche
Brüche
Zähler ist kleiner als Nenner
2
3
Unechte Brüche
Zähler ist größer als Nenner
→ Umwandlung in gemischte
Zahlen (=Summe aus ganzer
Zahl und echtem Bruch)
möglich
1
5
=1
4
4
Dezimalbrüche
Einteilung von Brüchen und
Dezimalbrüchen
M 6.12
Endliche
Dezimalbrüche
Unendliche
periodische
Dezimalbrüche
13
= 0,325
40
4
---= 0, 12
33
reinperiodisch
5
---= 0,416
12
gemischtperiodisch
Wichtige Umrechnungen
.
= ;, < = <;%
/
.
= ;, /< = /<%
?
@
= ;, A< = A<%
?
.
= ;, ./< = ./, <%
B
.
C = @@, @
C%
= ;, @
@
/
C = DD, D
C%
= ;, D
@
.
C = .D, D
C%
= ;, .D
D
.
C = .., .
C%
= ;, .
E
.
= ;, / = /;%
<
/
= ;, ? = ?;%
<
@
= ;, D = D;%
<
?
= ;, B = B;%
<
M 6.13
Flächenformeln
Parallelogramm
Dreieck
Trapez
ParallelogrammFläche
DreiecksFläche
1
= ∙ Grundlinie ∙ zugehöriger Höhe
2
TrapezFläche
1
= ∙ (Summe der parallelen Seiten) ∙ Höhe
2
= Grundlinie ∙ zugehöriger Höhe
LM = N ∙ O
W = 2,5XY ∙ 2 ! = 5 !"
M 6.14
LQ =
#=
.
∙R∙U
/
1
∙ 3 ! ∙ 2,5 ! = 3,75 !"
2
LV =
#=
.
∙ (" + $) ∙ O
/
1
∙ (4 ! + 2,5 !) ∙ 2 ! = 6,5 !"
2
Schrägbilder
Die räumliche Darstellung eines Körpers nennt man Schrägbild.
$ = 2 !, % = 1 !, ℎ = 1,5 !
' = 1 !, % = 1 !, = 1,5 !
Beachte:
· Parallele Kanten bleiben parallel
· Senkrechte Kanten stehen im Schrägbild nicht mehr unbedingt senkrecht
M 6.15
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt * eines Körpers ist gleich dem Flächeninhalt seines
Netzes.
Beispiel:
* = -./ + -.- + -.0 = - ∙ (8 ∙ 9 + 9 ∙ : + 8 ∙ :)
$ = 2 !, % = 1 !, ℎ = 1 !
; = 2 ∙ (#< + #" + #> ) = 2 ∙ (2 !" + 1 !" + 2 !" ) = 10 !"
Umrechnung von Länge, Fläche
und Volumen
M 6.16
Länge
Umrechnungszahl /@
1A! = 1000!
1! = 10B!
Fläche
1A!" = 100ℎ'
1 ! = 10!!
Umrechnungszahl /@@
1ℎ' = 100'
1' = 100!"
Volumen
1!" = 100B!" 1B!" = 100 !" 1 !" = 100!!"
Umrechnungszahl /@@@
1!> = 1000B!>
Speziell:
1B! = 10 !
1$ = 1B!>
1B!> = 1000 !>
1!$ = 1 !>
1 !> = 1000!!>
1ℎ$ = 100$
1$ = 1000!$
M 6.17
Volumen des Quaders
CDEFGHIJ8DKGL = MäLNG ∙ OHGPQG ∙ Rö:G
SüHTG8IJ8DKGL = UGPQG ∙ UGPQG ∙ UGPQG
V= 8∙9∙:
V = W ∙ W ∙ W = W0
$ = 2 !, % = 3 !, ℎ = 1,5 !: Z = $ ∙ % ∙ ℎ = 2 ! ∙ 3 ! ∙ 1,5 ! = 9 !>
\ = 3 !:
M 6.18
Z = \ > = (3 !)> = 27 !>
Prozentrechnung
∙
=
0 Aufgabentypen
Prozentsatz gesucht
Grundwert gesucht
Wie viel Prozent sind 8 von 40?
1
20
8
= =
= 20%
40 5 100
Prozentwert gesucht
Wie viel sind 20% von 55A_?
15% vom Grundwert sind 9€
5% vom Grundwert sind 3€
100% vom Grundwert sind:
3€ ∙ 20 = 60€
20% abc 55A_ =
1
= 20% ∙ 55A_ = ∙ 55A_ =
5
= 11A_
M 6.19
Schlussrechnung (Dreisatz)
0dN Äpfel kosten -, e@€. Wie viel
kosten fdN?
M 6.20
0 Dachdecker brauchen für ein Dach f
Stunden. Wie lange brauchen fünf
Dachdecker?
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Kreisdiagramm
Prozentstreifen
/@@% ≙ 0h@°
/% ≙ 0, h°