6. Überblick Vektoren, komplexeZahlen

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5
c 2016 A. Kersch
1
Vektoren
1.1
Vektorrechnung
De…nition 1 Ein Vektor ist eine gerichtete Größ
e welche einen Betrag (1 Zahl) und eine Richtung (1
in 2D, 2 in 3D) hat. Alternativ hat der Vektor Komponenten. Insgesamt ist der Vektor durch 2 Zahlen in
2D und 3 Zahlen in 3 D charakterisiert.
De…nition 2 Besondere Vektoren sind der Nullvektor ~0 und der Einheitsvektor ~e mit dem Betrag j~ej = 1.
Schreibweise:
mit Pfeil über Buchstaben: ~r
oder fett gedrucktem Buchstaben: r
oder in Komponentendarstellung (dafür müssen Basisvektoren ~ex , ~ey , ~ez gegeben sein)
0
1
ax
~a = a = ax~ex + ay ~ey + az ~ez = @ ay A = (ax ; ay ; az )
az
(1)
Die Position eines Punktes im Raum kann als Ortsvektor dargestellt werden, wenn (i) ein Koordinatenursprung O festgelegt wurde und (ii) ein Koordinatensystem mit Einheitsvektoren festgelegt
wurde. Die Komponenten des Ortsvektors beziehen sich dann auf diese Einheitsvektoren
~r = rx ~ex + ry ~ey + rz ~ez = (rx ; ry ; rz ) = (x; y; z)
Rechenregeln mit Vektoren
Vektoraddition
0
1 0
1 0
1
a1
b1
a1 + b1
~a + ~b = @ a2 A + @ b2 A = @ a2 + b2 A
a3
b3
a3 + b3
0
~a = @
Skalarmultiplikation
Skalarmultiplikation
Vektoraddition
Für Vektoren ~a; ~b; ~c und Zahlen ;
1. ~a + ~b = ~b + ~a
4.
~a + ~b = ~a + ~b
( ~a) = (
Skalarprodukt
2 R gilt
(Kommutativität)
2. ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
3.
1
ax
ay A
az
) ~a
(Assoziativität)
( + ) ~a = ~a + ~a
(Distributivität)
(Verträglichkeit der beiden Multiplikationen)
Die Linearkombination
De…nition 3 Zu Zahlen
k
2 R und Vektoren ~vk heiß
t
Linearkombination
Pn
k=1
vk
k~
die Linearkombination der Vektoren
alle Linearkombinationen
Aufgabe:
2
2
und
gegeben. Läß
t sich der Vektor
2
1
darstellen ? Tipp: stelle Gleichungssystem auf
Seien die Vektoren
2
5
als Linearkombination
Skalarprodukt Das Skalarprodukt berechnet aus zwei Vektoren eine Zahl
0
1 0
1
a1
b1
~a ~b = @ a2 A @ b2 A = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = j~aj j~bj cos ]~a; ~b
a3
b3
Beispiel: (Achte auf den Gebrauch von )
2
1
0
3
2
1
= 2 0+1 3 = 3
2
4
Rechenregeln
Für Vektoren ~a; ~b; ~c und eine Zahl
p
2
1. k~ak = ~a ~a bzw. k~ak = ~a ~a
= 2 2+1 ( 4) = 0
0
10
1
1
2
@ 3 A @ 1 A = 1 2+3 ( 1)+0 3 =
0
3
2 R gilt
2. ~a ~b = ~b ~a
3.
~a + ~b
~c = ~a ~c + ~b ~c
4. ( ~a) ~b =
~a ~b = ~a
~b
Mit Hilfe von Vektoren, die auf dem Einheitskreis liegen, läß
t sich zeigen:
~a ~b = j~aj j~bj cos ]~a; ~b
wobei ' der von ~a und ~b eingeschlossene Winkel ist. Damit läß
t sich über das Skalarprodukt der Winkel
zwischen Vektoren bestimmen
Beispiel:
~a =
' =
2
1
; ~b =
3
4
)
arccos ( 0:179) = 1:75:::
Insbesondere gilt dann:
100
cos ' =
2 ( 3) + 1 4
~a ~b
q
=p
=
~
2
j~aj jbj
22 + 12 ( 3) + 42
0:179:::
Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ~a ~b = 0
Beispiel:
2
1
2
4
=0
Geometrische Interpretation: wieviel in einem Vektor von dem anderen enthalten ist. Skalarprodukt
ergibt Null, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Betragsquadrat, die Wurzel daraus ist der
Betrag, welcher immer positiv ist
0
1 0
1
a1
a1
2
~a ~a = @ a2 A @ a2 A = a21 + a22 + a23 = j~aj
a3
a3
q
a = j~aj = a21 + a22 + a23
1
Die Richtung eines Vektors ergibt sich durch den Einheitsvektor in Richtung ~a durch Normierung auf 1
0
1
ax
~a
~a
~a
~a = @ ay A
=)
~ea = =
=p 2
a
j~aj
a1 + a22 + a23
az
Ein Beispiel für den Gebrauch des Skalarproduktes ist die kinetische Energie bei einer Geschwindigkeit ~v
Ekin =
1
1
1
1
2
m ~v ~v = m j~v j = m v 2 = m v12 + v22 + v32
2
2
2
2
Ein weiteres Beispiel ist die Berechnung der Arbeit W bei einer Kraft F~ und einem Weg ~s
W = F~ ~s
Vektorprodukt
tor
Das Vektorprodukt (oder auch Kreuzprodukt) berechnet aus zwei Vektoren einen Vek0
1 0
1 0
1
a1
b1
a2 b3 a3 b2
~ex ~ey ~ez
~a ~b = @ a2 A @ b2 A = @ a3 b1 a1 b3 A = a1 a2 a3
a3
b3
a1 b2 a2 b1
b1 b2 b3
Rechenregeln:
Für Vektoren ~a; ~b und ~c = ~a
~b gilt
1. Der Vektor ~c ist orthogonal zu den Vektoren ~a und ~b Die drei Vektoren ~a; ~b; ~c bilden ein Rechtssystem
2. Ist ' der von den Vektoren ~a und ~b eungeschlossene Winkel, so gilt k~ck = k~ak ~b sin '
Geometrische Interpretation: ~a ~b steht senkrecht auf der von ~a und ~b aufgespannten Ebene. Der Betrag
ist
j~a
Rechenregeln:
Für Vektoren ~a; ~b; ~c und
1. ~a
2.
3. ~a
~b =
~a
~b
~bj = j~aj j~bj sin(]~a; ~b)
2 R gilt
~a
~b = ( ~a)
~b + ~c = ~a
~b = ~a
~b + ~a
~b
~c
Spatprodukt Das Spatprodukt berechnet aus drei Vektoren
0
1 0
1 0
1
a1
b1
c1
a1
~a ~b ~c = @ a2 A @ b2 A @ c2 A = a2
a3
b3
c3
a3
eine Zahl
b1
b2
b3
c1
c2
c3
=
X
"ijk ai bj ck
i;j;k
Geometrische Interpretation: Volumen des Spates, welches durch die drei Vektoren aufgespannt wird.
Vergleich mit Skalarprodukt und weitere Rechenregeln Beweise durch komponentenweises Ausrechnen
~a
~a ~b = ~b ~a
~a
~b + ~c = ~a ~b + ~a ~c
~a
~a
~b
~b = ~b
~a
~b + ~c = ~a
~c = ~b (~a ~c)
~b + ~a
~c
~c ~a ~b
Di¤erenzialrechnung Seien ~r(t) = (rx (t); ry (t); rz (t)) und ~s(t) = (sx (t); sy (t); sz (t)) Ortsvektoren, die
von der Zeit abhängen. Dann gelten folgende Produktregeln
d
d
dr
d~er
~r =
(r ~er ) =
~er + r
dt
dt
dt
dt
d~r
d~s
d
(~r ~s) =
~s + ~r
dt
dt
dt
d
d~r
d~s
(~r ~s) =
~s + ~r
dt
dt
dt
Gradient Ableitungen geben Veränderungen an. Bei einer räumlichen Änderung (z.B. der potentiellen
Energie E(x; y; z) im Raum) benötigt man die Änderung in die Raumrichtungen x, y und z. Insgesamt
ergeben sich die Änderungen dE=dx, dE=dy und dE=dz (Richtungsableitungen), die zu einem Spaltenvektor
zusammengefaß
t werden: der Gradient
0 @E(x;y;z) 1
B
~ r) = rE(x;
~
rE(~
y; z) = grad E = @
@x
@E(x;y;z)
@y
@E(x;y;z)
@z
C
A
Wichtigstes Beispiel ist der Zusammenhang zwischen potentieller Energie und Kraft
F~ (~r) =
~ r)
rE(~
Der Gradient als Vektor gibt die Richtung des steilsten Ansteiges an, der Betrag die Steigung, die Komponenten die Steigungen in die jeweiligen Rictungen.
Wenn an jedem Punkt des Raumes ein Vektor de…niert ist, nennt man das Vektorfeld. So führt eine
potentielle Energie E(~r) im Raume zu einem Vektorfeld der Kraft F~ (~r).
2
2.1
Komplexe Zahlen
Motivation
In den reellen Zahlen haben nicht alle Polynome Nullstellen. Der einfachste Fall einer solchen NullstellenGleichung ist x2 + 1 = 0. Die komplexen Zahlen ("C") sind daraus
entstanden, dass man eine Lösung dieser Gleichung de…niert hat und zu den reellen Zahlen "hinzugefügt"hat. In diesen Zahlen erö¤neten sich neue Perspektiven:
In diesen Zahlen hat jedes Polynom vom Grad n genau n Nullstellen (Fundamentalsatz der Algebra).
In den komplexen Zahlen ergibt sich ein sehr simpler und dennoch sehr nützlicher Zusammenhang
zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen,denn es gilt ei' = cos ' +
i sin '
Auch in der Physik sind die komplexen Zahlen von entscheidender Bedeutung (siehe Schwingungen,
Wechselstrom).
De…nition:
0
Die imaginäre Einheit i (Ingenieure verwenden j statt i) ist eine Lösung der Gleichung x2 +1 =
i :=
p
1
)
i2 =
1
Rechnet man mit i nun wie mit einer Variable und nimmt die bisherigen reellen Zahlen hinzu, so kann man
Zahlen der Form a + i b mit a; b 2 R erzeugen. Die so neu gewonnenen Zahlen de…nieren wir daher wie folgt:
De…nition:
Die Menge der komplexen Zahlen z ist de…niert als
C = fz = a + i b j a; b 2 Rg
hierbei heisst a = Re(z) Realteil und b = Im(z) Imaginärteil der komplexen Zahl z 2 C..Realteil und
Imaginärteil einer komplexen Zahl haben die Eigenschaften von Komponenten eines 2-dim Vektors in der
Ebene
Polarkoordinatendarstellung
konjugiert komplex
Es liegt nahe, die Rechenregeln wie folgt zu de…nieren. Für z; w 2 C mit z = a + i b und w = c + i d gilt
(unter Verwendung von i2 = 1)
z+w
=
(a + c) + i (b + d)
zw
=
(a + i b) (c + i d) = (ac
bd) + i (ad + bc)
Es kann gezeigt werden, dass Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz gelten, daher ist C ganz
ähnlich wie R ein Zahlenkörper.
Das komplex konjugierte z von z ist
z = a + ib
z =a
ib
z
=z
Damit läß
t sich der Betrag einer komplexen Zahl de…nieren
p
p
p
jzj := z z = (a + ib) (a ib) = a2 + b2
Aufgabe: Zeigen Sie, dass gilt: (a) z = z (b) (z + w) = z + w (c) (z w) = z w
Eine komplexe Zahl kann statt durch zwei kartesische Komponenten auch durch Polarkoordinaten r; '
dargestellt werden
z = x + iy = r cos ' + ir sin ' = r (cos ' + i sin ')
Polardarstellung
Eulerformel
2
Aufgabe: (a) z1 = 3 + 2i
z2 = 1 i. Berechne z1 z2 , z1 =z2 , jz1 j
(b) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von (3 + 2i) = ( 1 i)
(c) Machen Sie sich anhand einer Zeichnung klar, dass gilt jz1 + z2 j jz1 j + jz2 j
(d) Berechne i4n , i4n+1 ,i4n+2 ,i4n+3 , n 2 Z
(e) Berechne jzj, wobei z in Polarkoordinatendarstellung z = r (cos ' + i sin ')
(f) Wie lautet z = 1 + i in Polarkoordinaten ?
2.2
Exponentialform komplexer Zahlen nach Euler
Es gilt die Formel von Euler
ei' = cos ' + i sin '
2
Zur Begründung: ei' = ei' ei' = ei' e i' = 1, also liegen alle Werte dieser Funktion auf dem Einheitskreis...
Damit können wir die Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen noch einfacher schreiben
z = x + iy = r (cos ' + i sin ') = r ei'
Damit ergibt sich Multiplikation und Division in Euler-Darstellung als
z1 z2
z1
z2
z1n
= r1 ei'1 r2 ei'2 = r1 r2 ei'1 +i'2
r1 ei'1
r1 i'1 i'2
=
=
e
r2 ei'2
r2
n
= r ei' = rn ein'
Aufgabe: (a) Für z1 = 1 + i und z2 = 1 i berechne man z1 z2 , z1 =z2 in Euler-Darstellung.
(b) Was ist ii ?
(c) Leiten Sie die Additionsgesetz mit Hilfe der Euler-Formel her
cos ( + )
=
cos cos
sin sin
sin ( + )
=
cos sin
+ cos sin