Lösungen Klassenarbeit Nr. 3

Mathematik
Klasse 9a
Verbesserung Klassenarbeit Nr. 3
15.4.15
Aufgabe 1: [5P] Wie lauten der Sinus- und der Kosinsussatz? (Jeweils nur eine Variante angeben.)
Skizziere eine Sinuskurve. Auf der x-Achse soll der Winkel in RAD aufgetragen
werden.
Welche x- und y-Koordinaten hat ein Punkt, der 1 m vom Ursprung entfernt ist
und der den Kreisbogen mit r = 1 m zwischen der x- und y-Achse halbiert?
sin( ) a
Lösungsvorschlag 1: Sinussatz:

sin(  ) b
Kosinussatz: a2  b2  c2  2bc  cos( )
Ein Punkt hat die Koordinaten  r  cos( ) | r  sin( )  . Setzt man r=1 und

1 2 
  45 erhält man
2 4
4

1
 
    1

1 cos  4  |1 sin  4     2 2 | 2 2 
 
  


Aufgabe 2: [4P] Eine Leiter der Länge l = 2,5 m ist gegen eine Wand geneigt. Die Leiterspitze befindet sich in einer Höhe von 2,40 m. (Skizze!)
a) Wie weit ist der Fuß der Leiter von der Wand weg?
b) Wie groß ist der Winkel, den die Leiter mit dem Boden bildet?
Lösungsvorschlag 2: Für die Entfernung des Fußpunktes der Leiter bis zur Wand gilt laut Pythagoras:
2
b2  c2  a 2  2,5  2, 42  0, 49
Also ist der Abstand b = 0,7m
Für den Neigungswinkel der Leiter gilt
a 2, 4
sin(  )  
 0,96
c 2,5
Somit ist   sin 1  0,96   73,74
Aufgabe 3: [6P] In einem rechtwinkligen Dreieck mit   90 ist die Seite a = 9 cm lang, die
Seite c = 20 cm. (Denke an eine Skizze!)
a) Wie lang ist die Seite b?
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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b) Wie groß ist der Winkel α?
c) Berechne die Fläche des Dreiecks
Lösungsvorschlag 3:
2
Zu a) Es gilt b2  c2  a2  20  92  319 also b  17,89
Gk 9
 9 
Zu b) sin( ) 

   sin 1    26, 74
Hy 20
 20 
1
1
Zu c) A  ab   9 17,86  30,37
2
2
1
1
oder A  c  b  sin( )   20 17,86  sin(26, 74)  80,36
2
2
Aufgabe 4: [6P] die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche mit der
Seitenlänge a = 227 m. Die Seitenkanten haben die Länge S = 211m.
a) Berechne die Länge der Diagonale d der Grundfläche.
b) Berechne dann die Höhe h der Cheopspyramide
c) Wie lang ist die Mitte der Seitenfläche, d.h. die „Höhe“ der vier Seitendreiecke?
Lösungsvorschlag 4:
Zu a) Der Satz des Pythaogoras für das grüne Dreieck auf dem Boden der Pyramide im Bild oben liefert:
d 2  2a 2  d  2  2272  321,03
Zu b) Der Satz des Pythaogoras für das grüne aufrechte Dreieck im Bild oben
rechts liefert:
2
2
d 
1

h2  s 2     2112   321  18760, 75 also ist
2
2

h  18760,75  136,97
Zu c) Bezeichnen wir mit hs die Höhe im Sitendreieck, so gilt:
2
2
a
 227 
hs  s 2     2112  
  177,87
2
 2 
Aufgabe 5: [4P] Wie groß ist die Länge eines Kreisbogens, wenn der Radius 3 und der Mittelpunktswinkel 60° ist? Bestimme die Fläche des dazugehörigen Kreisausschnittes.
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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15.4.15
Lösungsvorschlag 5: Es gilt mit x = Winkel in Grad des Bogens b  x  r . Da der Kreisbo1

1
gen x  60
 und r = 3 ist, gilt b  x  r    3  
180 3
3
1
1
Für die Fläche gilt A  b  r    3  1,5  4, 71
2
2
Aufgabe 6: [6P] Berechne aus den gegebenen Stücken des Dreiecks ABC die übrigen Seiten
und Winkel:
a = 5 cm, b = 4cm, γ = 67°
Lösungsvorschlag 6:
Zur Seite c) Der Kosinussatz liefert:
c2  a2  b2  2ab  cos( )  52  42  2  5  4  cos(67)  41  15,63  25,37
Also ergibt sich c  25,37  5,04
Zum Winkel α) Der Sinussatz liefert:
sin( ) a
 und damit gilt
sin( ) c
a
5
sin( )  sin( ) 
sin(67)  0,9132 oder   65,92
c
5, 04
Zum Winkel β) Der Winkelsummensatz ergibt   180      47,08
*Aufgabe: [+3P] Beweise den Kathetensatz: 𝑎2 = 𝑐𝑝
*Lösungsvorschlag:
Oder siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras#Scherungsbeweis
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.