Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
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Mathematik I Blatt 4 Wintersemester 2009/10 Dr. W. Kolbe für Wirtschaftswissenschaftler G 25) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion f (x) := x3 + 3x2 − 22x + 2 monoton wachsend, und die Intervalle, in denen sie monoton fallend ist? (Dabei soll jedes x zu mindestens einem der Intervalle gehören.) V 26) Zeigen Sie, daß die Funktion f (x) := x + sin x auf IR streng monoton wachsend ist. G 27) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion f (x) := x4 + 2x3 − 36x2 + 3x + 6 konvex (Linkskrümmung), und die Intervalle, in denen sie konkav (Rechtskrümmung) ist. (Dabei soll jedes x zu mindestens einem der Intervalle gehören.) Bestimmen Sie, soweit vorhanden, alle Wendestellen. V 28) Wo ist die Funktion f (x) := x3 e2x für − 1 ≤ x < 1 (x − 2)2 für 1 ≤ x ≤ 2 streng monoton, konvex bzw. konkav? Gibt es Wendepunkte? 29) Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen absoluten Extrema in den angegebenen Intervallen besitzen, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls: G a) f (x) := q |5 − 4x| auf [−1, 2], 1+x auf (0, ∞), 1 + x2 V c) f (x) := e−x/2 xα−1 auf (0, ∞), wobei α eine feste reelle Zahl > 1 ist. G b) f (x) := 30) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellt, d.h. die produzierte Menge ist genau q = N(p). Sein Erlös ist dann R = p · q und sein Gewinn g = p · q − K(q), wobei K(q) die Kostenfunktion ist. N und K seien dabei wie folgt gegeben: V a) N(p) = 2.5 − 0.5p, G b) N(p) = 4 · p−0.5 , G c) N(p) = 4 · p−2 , K(q) = 1+q für 0.46 + 1.3q für 2 + 0.7q für 0 ≤ q ≤ 1.8, 1.8 < q ≤ 2, 2 < q ≤ 3.5, K(q) = b + c · q (b, c > 0), K(q) = b + c · q (b, c > 0). Geben Sie g als Funktion von q an: Prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, bei dem der Gewinn maximal wird, und prüfen Sie bei b) und c), unter welcher Bedingung an die Parameter b und c sich die Produktion überhaupt lohnt, d.h. der maximale Gewinn > 0 ist. –2– G 31) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) = 16 · p−2 , p > 0, gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q = N(p). Die Kostenfunktion sei K(q) := 1 + q für 0 ≤ q ≤ 3 , 2 13 + q für 3 < q ≤ 16 . 3 Bestimmen Sie die Umkehrfunktion p = N −1 (q) der Funktion q = N(p), und prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn (p · q − K) maximal wird, und bestimmen Sie gegebenenfalls diesen Preis. 32) Bestimmen Sie G a) √ 3 10 als Nullstelle der Funktion f (x) := x3 − 10, V b) die Lösungen der (transzendenten) Gleichung sin x = x/2 auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt genau, wobei nur die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division und die trigonometrischen Funktionen angewendet werden dürfen . Hinweis zu b): Wählen Sie zwei Stellen a und b im Intervall [0, π] mit sin a > a/2 und sin b < b/2 aus.
