DIN-Formate - Ernst Klett Verlag

II Reelle Zahlen
DIN-Formate
ht
Materialbedarf: DIN-A3/A4-Blätter, Schere
1 Faltungen
sic
a) Falte ein DIN-A4-Blatt so, dass die langen Seiten halbiert werden.
Schneide entlang der Faltlinie ab. Damit hast du zwei DIN-A5-Blätter.
Verfahre mit einem dieser Blätter wieder so. Auf diese Weise
bekommst du die nächstkleineren Formate A6, A7, A8, A9.
Lege die Blätter übereinander wie in der Figur 1 nebenan.
b) Falte ein DIN-A4-Blatt so, dass ein Quadrat entsteht (1).
Falte die lange Seite des Blattes auf die Diagonale (2). Du siehst (Fig.
2), die lange Seite des Blattes ist genauso lang wie die Diagonale des
gefalteten Quadrates. DIN-Formate sind also Rechtecke aus Quadratseite und deren Diagonale.
2 Beziehungen
ra
n
Deine Aufgabe ist es nun, die Beobachtungen aus beiden Faltungen als Beziehungen zwischen den
Seitenlängen a und b zu formulieren.
Zur 1. Faltung: Wenn das A4-Blatt die Länge a4 und die Breite b4 hat,
und Breite b5 =
.
dann gilt für A5:
Länge a5 =
Drücke dies auch allgemein in Worten aus.
Zur 2. Faltung: Die Länge der Diagonalen eines Quadrates kennst du von Schülerbuch Seite 54 Aufgabe 6.
Gib die Beziehung zwischen Länge a und Breite b in einer Formel an:
a=
.
DIN
Länge
Breite
A0
A1
A2
A3
A4
A5
Fig. 3
Vo
Zur eindeutigen Festlegung der DIN-A-Formate wurde noch festgelegt:
Der Flächeninhalt des DIN-A0-Blattes beträt 1 m2.
Daraus kannst du jetzt die Seitenlängen der DIN-A-Blätter berechnen.
Beginne mit A0:
a0 b0 = 1 m2 = 1 000 000 mm2; 2 b0 b0 = 1 000 000 mm2
b0 =
.
Mit weiteren Überlegungen kannst du aus diesem Ergebnis die Maße
der anderen DIN-A-Blätter berechnen. Benutze dazu ein separates
Blatt und notiere deine Ergebnisse in der Tabelle Fig. 3 und kontrolliere
deine Ergebnisse anhand eines A4-Blattes.
3 Anwendungen
Zeichne das Schrägbild eines Würfels mit der Kantenlänge 74 mm.
Konstruiere die wahre Größe der diagonalen Schnittfläche (Fig. 4). Um
welches Format handelt es sich?
4 Taschen und Hüllen
Die Versandtaschen und Briefhüllen für DIN-A-Formate müssen etwas größer sein. Sie sind im DIN-C-Format
festgelegt mit gleichem Seitenverhältnis wie DIN A.
Die Versandtasche DIN C4 für ungeknickte DIN-A4-Blätter hat die Maße 324 mm x 229 mm.
a) Bestimme den Vergrößerungsfaktor.
b) Berechne die Seitenlängen der beiden nächstkleineren DIN-C-Formate.
40 min
Einzelarbeit
978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband
© Als Kopiervorlage freigegeben.
S32
Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006
II Reelle Zahlen
Quadratwurzel-Puzzle: Radixt noch mal! (2)
–0,9
3
4
2,5
8
1,4
4
21
4
0,4
Nicht
lösbar!
–2,5
1
10
1,1
1,8
1,5
ra
n
0,5
13
4
10
sic
1
4
ht
Lege die ausgeschnittenen Puzzelteile von Seite S 26 passend auf dieses Lösungsblatt.
1,44
0,7
19
20
1,3
1
17
1,2
1
20
0,6
Nicht
lösbar!
180
6,4
–0,5
1000
4,9
–2,25
1
5
0
5
3
Vo
49
–11
30 min
0,75
Einzel-/Partnerarbeit
978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband
© Als Kopiervorlage freigegeben.
S27
Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006
II Reelle Zahlen
1 Irrationale Zahlen als Intervallschachtelungen
Von der Zahl x, für die x2 = 2 gilt, kennst
x
2
du die Näherungen 1
1,4
x
1,5
1,41
...
x
...
ht
Rechnen mit Intervallschachtelungen (1)
x ist also in immer enger werdende Intervalle
eingeschlossen, von denen das nachfolgende im
vorangehenden enthalten ist.
Dieses nennt man eine Intervallschachtelung.
1,42
Wenn dadurch eine Zahl eindeutig festgelegt ist, kann man schreiben:
x
2
x
x
x
1,5
1,42
1,415
1
x
2
1,7
1,73
1,732
x
x
x
1,8
1,74
1,733
sic
2
1
1,4
1,41
1,414
oder
3
(Die Intervalle sind natürlich nach unten beliebig oft fortgesetzt zu denken.)
Ermittle selbst mit dem TR diese Darstellung für 3 .
5
Du hast dich vielleicht schon gefragt, welchen Sinn diese umständliche Schreibweise von Zahlen macht. Die
Antwort heißt: Sie ist nützlich um zu verstehen, ob überhaupt und wie man mit irrationalen Zahlen rechnen
kann. Was bedeutet
2
3 oder
2 Wie man damit rechnet
2
3 genau?
ra
n
(Eine der Teilaufgaben b, c oder d kannst du auslassen.)
a) Die Addition
Am Beispiel der Addition von 2 und
1
x
2
2
1,4
x
1,5
2,2
1,41
x
1,42
2,23
1,414
x
1,415
2,236
5 lernst du, wie man vorgehen kann:
x
3
1 2
x
x
2,3
x
2,24
x
2,237
x
Da 2 >1 und 5 >2 gilt, ist die Summe sicher größer als 3. Entsprechendes gilt für die rechten Grenzen der
Intervalle. Verdeutliche dir dies an der Zahlengeraden.
Vo
Berechne nun die ersten vier Intervallgrenzen der Summe.
Ist das Ergebnis eine Zahl? Dies ist dann der Fall, wenn sich die Intervalle auf einen Punkt der Zahlengeraden
zusammenziehen. Dazu müssen die zwei folgenden Bedingungen erfüllt sein:
I
II
Jedes Intervall liegt immer im vorangehenden.
Die Intervalllänge wird beliebig klein.
Untersuche dies am obigen Beispiel in vier Schritten:
– Schreibe die Intervalllängen der ersten vier Intervalle neben das Ergebnis. – Begründe, dass die Intervalllängen weiterhin auf die gleiche Art kleiner werden.
– Vergewissere dich, dass die ersten vier Intervalle die Bedingung I erfüllen. – Begründe, dass dies auch alle folgenden Intervalle erfüllen, indem du beschreibst, wie sich die linken und
rechten Grenzen ändern.
3 .
Berechne auf die gleiche Weise die Summe 7
5
20 min
Einzelarbeit
978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband
© Als Kopiervorlage freigegeben.
S28
Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006
II Reelle Zahlen
Rechnen mit Intervallschachtelungen (2)
valle der Differenz entstehen. Am Beispiel
19
ht
b) Die Subtraktion
Bei der Subtraktion musst du wieder neu überlegen – am besten mithilfe der Zahlengeraden – wie die Inter­
3 siehst du: Da
19 4 und
3
2 ist, ist
19
3 > 4 – 2 = 2. Überlege entsprechend für die rechte Seite des Intervalls und rechne dann die ersten vier Intervalle aus.
Überprüfe auch die Bedingungen I und II in den vier angegebenen Schritten.
sic
21 . Überlege die Vorgehensweise wieder zuerst anhand der Zahlengeraden
Löse auch die Aufgabe 5
und trage dort die drei Intervalle mit Farbe ein.
Überprüfe die Bedingung II mit dem dritten und vierten Schritt.
c) Die Multiplikation
Die Überlegungen beginnen mit der Frage: Über/unter welcher ganzzahligen Grenze liegt das Ergebnis?
Berechne:
2
x
3
4
x
5
Erkläre hier den
Rechenweg
2,2
x
2,3
4,5
x
4,6
( Zahlengera de)
5
19
2,23
x
2,24
4,58
x
4,59
4,582
x
4,583
2,236
x
2,237
Runde an der linken Grenze immer ab, an der rechten immer auf; in der ersten Zeile auf ganze Zahlen, sonst auf so viele Stellen, wie die Ausgangszahlen haben.
ra
n
Rechne noch besondere Beispiele wie 5 5 und 3 12 und leite daraus Rechengesetze ab.
d) Die Division
Die Division von Intervallschachtelungen ist schon eine Herausforderung. Überlege das Beispiel
19 : 5 anhand der Zahlengeraden:
Wenn 4 < 19 < 5 und 2 <
In Kurzschreibweise:
4;5
2; 3
5 < 3, dann ist der Quotient sicher größer als ... und kleiner als ...
4,3 ; 4,4
2,2 ; 2,3
:
4,35 ; 4,36
2,23 ; 2,24
4,358 ; 4,359
2,236 ; 2,237
Erkläre hier den
Rechenweg
Runde
wie in Teilaufgab e c
3 : 3 . Bei der Rechnung gibt es ein Problem, das du sicher lösen kannst.
5
2: 3
kannst du
Fällt dir am Ergebnis etwas auf? Damit und mit weiteren Beispielen wie 20 : 5 und
3 2
Rechenregeln für die Division von Wurzeln finden.
Rechne auch das Beispiel
3 Der Überblick
Vo
Du hast ein anspruchsvolles Arbeitsblatt bearbeitet. Es zeigte, wie man in der Mathematik mit neuen Zahlen
umgeht. Nach dessen Definition – hier durch Intervallschachtelungen – war zu zeigen, dass die üblichen Rechenarten wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden können. Was noch
fehlt, ist der Nachweis, dass man auf diese Art auch zum Beispiel eine rationale Zahl mit einer irrationalen
multiplizieren kann und dass die bisherigen Rechengesetze wie zum Beispiel das Assoziativgesetz weiter
gelten. Die Gültigkeit der Gesetze hast du schon gezeigt, da du oben immer mit abbrechenden Dezimalzahlen, also mit rationalen Zahlen, gerechnet hast. Außerdem kann man auch jede rationale Zahl als
Intervallschachtelung darstellen:
0
x
1
0
x
1
0,6
x
0,7
0,2
x
0,3 wenn man in der Bedingung I
2
oder 1
3
4
0,66
x
0,67
0,25
x
0,26 auch gleiche Grenzen zulässt.
...
...
25 min
Einzelarbeit
978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband
© Als Kopiervorlage freigegeben.
S29
Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006