Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

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Mathematik I
Blatt 4
Wintersemester 2009/10
Dr. W. Kolbe
für Wirtschaftswissenschaftler
G 25) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion
f (x) := x3 + 3x2 − 22x + 2
monoton wachsend, und die Intervalle, in denen sie monoton fallend ist? (Dabei soll jedes
x zu mindestens einem der Intervalle gehören.)
V 26) Zeigen Sie, daß die Funktion f (x) := x + sin x auf IR streng monoton wachsend ist.
G 27) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion
f (x) := x4 + 2x3 − 36x2 + 3x + 6
konvex (Linkskrümmung), und die Intervalle, in denen sie konkav (Rechtskrümmung) ist.
(Dabei soll jedes x zu mindestens einem der Intervalle gehören.) Bestimmen Sie, soweit
vorhanden, alle Wendestellen.
V 28) Wo ist die Funktion
f (x) :=



x3 e2x
für − 1 ≤ x < 1
(x − 2)2
für 1 ≤ x ≤ 2
streng monoton, konvex bzw. konkav? Gibt es Wendepunkte?
29) Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen absoluten Extrema in den angegebenen Intervallen besitzen, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:
G a) f (x) :=
q
|5 − 4x| auf [−1, 2],
1+x
auf (0, ∞),
1 + x2
V c) f (x) := e−x/2 xα−1 auf (0, ∞), wobei α eine feste reelle Zahl > 1 ist.
G b) f (x) :=
30) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) gegenüber, auf die es seine Produktion genau
einstellt, d.h. die produzierte Menge ist genau q = N(p). Sein Erlös ist dann R = p · q
und sein Gewinn g = p · q − K(q), wobei K(q) die Kostenfunktion ist. N und K seien
dabei wie folgt gegeben:
V a)
N(p) = 2.5 − 0.5p,
G b) N(p) = 4 · p−0.5 ,
G c) N(p) = 4 · p−2 ,
K(q) =









1+q
für
0.46 + 1.3q
für
2 + 0.7q
für
0 ≤ q ≤ 1.8,
1.8 < q ≤ 2,
2 < q ≤ 3.5,
K(q) = b + c · q (b, c > 0),
K(q) = b + c · q (b, c > 0).
Geben Sie g als Funktion von q an: Prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, bei dem der
Gewinn maximal wird, und prüfen Sie bei b) und c), unter welcher Bedingung an die
Parameter b und c sich die Produktion überhaupt lohnt, d.h. der maximale Gewinn > 0
ist.
–2–
G 31) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) = 16 · p−2 , p > 0, gegenüber, auf die es
seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q = N(p). Die
Kostenfunktion sei
K(q) :=











1 + q für 0 ≤ q ≤ 3 ,
2
13 + q für 3 < q ≤ 16 .
3
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion p = N −1 (q) der Funktion q = N(p), und prüfen Sie,
ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn (p · q − K) maximal wird, und bestimmen
Sie gegebenenfalls diesen Preis.
32) Bestimmen Sie
G a)
√
3
10 als Nullstelle der Funktion f (x) := x3 − 10,
V b) die Lösungen der (transzendenten) Gleichung sin x = x/2
auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt genau, wobei nur die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division und die trigonometrischen Funktionen
angewendet werden dürfen .
Hinweis zu b): Wählen Sie zwei Stellen a und b im Intervall [0, π] mit sin a > a/2 und
sin b < b/2 aus.
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