Übungen

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT
MÜNCHEN
CRASHKURS MATHEMATIK WS 2016/17
Übungen
Bernhard Emmer
1. Mengen
Skizzieren Sie folgende Mengen im x − y−-Koordinatensystem bzw. im x − y −
z−Koordinatensystem.
(a) A = {(x; y) ∈ R2 : y = x2 }.
(b) B = {(x; y) ∈ R2 : y ≤ x2 und 1 ≤ x ≤ 2 und y ≥ 0}.
(c) C = {(x; y) ∈ R2 : y ≤ x2 oder (1 ≤ x ≤ 2 und y ≥ 0)}.
(d) D = {(x; y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4}.
(e) E = {(x; y; z) ∈ R3 : x2 + y 2 < 4 und −1 ≤ z ≤ 1}.
(f) F = {(x; y; z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 4}. Hinweis: Für z = 0 ergibt sich die
Menge D.
(g) G = {(x; y; z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z = 0}.
2. Vollständige Induktion
Zeigen Sie: Für alle n ∈ N gilt:
(a) n2 + n ist durch 2 teilbar.
(b) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .
(c) (1 − 12 ) · (1 − 31 ) · (1 − 41 ) · . . . · (1 − n1 ) = n1 , falls n ≥ 2.
(d) 1 + x + x2 + . . . + xn =
1−xn+1
1−x
für beliebiges x 6= 1.
3. Rechnen mit Termen
Vereinfachen Sie:
a)
d)
g)
j)
(an )
−2
n
b) bx · a4x · b−5x
2 2 3
a · x2
y
e)
·
2
y
a ·x
x2 · x5
(x4 )3
−2
3 · y2
f)
z
c)
a−2 · b3 · c
a · b−2 · c−1
e4x+2
h) ex · (e2x+1 )
i) (ex+1 )2
e2x−3
"
"
−2 #−1
−1 −1· −3 −2 2 #2
3 x ·y
a2 · b−1 · c3
3−2 · x−2 · y 2
k)
·
−1
2
−5
−2
5
a ·b·c
5 ·x ·y
5−2 · x−2 · y −1
1
4. Logarithmengesetze
Welche der folgenden Gleichungen sind richtig?
a)
c)
a+b
= ln a + ln b − ln c
c
a
b
ln + ln = 0
b
a
b)
ln
ln
a+b
= ln(a + b) − ln c
c
d) p · ln(ln a) = ln(ln ap )
e) p · ln(ln a) = ln(ln a)p
f)
ln a
= ln(a · (b · c)−1 )
ln b + ln c
5. Logarithmengleichungen
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
a) log2 x = −3
c) ln x = −1
e) 2x = 7
g) ln x = 8, 65133
i) log3 (x + 4) = 2
k) 2x+2 = 16
b)
d)
f)
h)
j)
l)
log10 x = 1, 5
logx 121 = 2
log10 x = 27, 3
2x = 4x+2
5x+2 = 1252−x
log2 (x − 4) = 8
6. Lineare Funktionen 1
Für eine lineare Funktion gilt:
a) 3 7→ 7 und 8 7→ 10
b) 4 7→ 9 und 6, 5 7→ 5, 5
Geben sie die zugehörige Funktion an. Welche Zahl ordnet sie der Zahl 5 zu?
Welcher Zahl ist der Funktionswert 6 zugeordnet?
7. Lineare Funktionen 2
(a) Wie lautet die Gleichung der Geraden durch die Punkte P (−2; 1) und
Q(3; −4)? Welche Steigung m hat die Gerade? In welchen Punkten Sx
bzw. Sy schneidet der Graph der Funktion die x- bzw. y-Achse?
(b) Stellen sie f (x) = 2 · x − 3 graphisch dar.
(c) Die Gerade P1 P2 mit P1 (0, 5; −0, 12) und P2 (1, 3; y2 ) soll die Steigung m =
−3, 1 haben. Berechnen sie y2 .
8. Gebrochenrationale Funktionen/Polynomdivision
Bestimmen Sie zu jeder gebrochenrationalen Funktion f diejenige Polynomfunktion g, der sich f für x → ∞ bzw. x → −∞ annähert:
x3 − 12 · x2 + 5 · x + 150
2 · x2 − 4 · x + 3
b) f (x) =
x−5
x−1
3
2
5
2·x −3·x +4·x+2
4 · x − x 4 + 2 · x3 + x2 − 1
c) f (x) =
d) f (x) =
x+2
x2 + 1
6
5
3
6·x −2·x −4·x −3·x+3
e) f (x) =
2 · x3 + 2 · x − 3
a) f (x) =
2
9. Umkehrfunktionen
Bestimmen Sie zur Funktion f mit der Vorschrift x 7→ f (x) die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion f −1 :
b) f (x) = log2 (x2 ) für x > 0
d) f (x) = 52x
a) f (x) = lg x
c) f (x) = 2x
10. Exponential- und Logarithmusfunktionen
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
a) y = ex
c) y = ln
ex − e−x
ex + e−x
x p
d) y = ln
+ (x/a)2 − 1
a
2 /2
x
b) y =
+
p
1 + (x/a)2
a
e) y = −w · ln(1 − k · x)
11. Nullstellen
Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Funktionen:
a) f (x) =
1
2
· x + · x2
2
3
b) f (x) = 2 · x5 − 8 · x3
c) f (x) = 16 · x4 − 40 · x2 + 9
d) f (x) = cos(1 + x) −
1
2
12. Trigonometrische Funktionen 1
(a) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h =
3, 12m und dem spitzen Winkel α = π6 die Längen der Gegenkathete g
und der Ankathete a.
(b) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel
π
und zugehöriger Gegenkathete g = 12m die Längen der Ankathete
α = 2.9
a and Hypotenuse h.
(c) Das Längenverhältnis der Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt
g
= 75 . Berechnen Sie die spitzen Winkel α und β.
a
13. Trigonometrische Funktionen 2
Bestimmen Sie zu folgenden Funktionen (bei jeweils maximaler Definitionsmenge) jeweils die minimale Periodenlänge, die Nullstellen, die Definitionslücken
und den Wertebereich.
a) f (x) = 3 · sin(2 · x)
b) f (x) = 2 cos(π · x) + 2
π
c) f (x) = 10 · tan(x + )
2
d) f (x) = sin2 x
3
14. Symmetrien
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Symmetrien (Hinweis zu Teilaufgabe
f ): Teilaufgabe d)):
a) f (x) = x4 + 15 · x2 − 7
1
2
c) f (x) = · x3 + · x
2
3
2
e) f (x) = x − 2 · x + 2
b) f (x) = (x − 5)4 + 15 · (x − 5)2 − 7
d) f (x) = x3 − 2
f ) f (x) = x3 + 3 · x2 + 3 · x − 1
15. Grenzwerte 1
Gegeben sei die Funktion f : R → R, x 7→ x2 . Bestimmen Sie zu =
1
jeweils ein δ, sodass gilt:
= 10000
1
100
und
| f (x) − 4 |< für alle x ∈ R mit 0 <| x − 2 |< δ.
16. Grenzwerte 2
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
o)
q)
s)
u)
3+2·x
x→−1 x − 1
1
+2
x
d) lim
x→−2
x
sin(x)
f ) lim
x→∞
x
2·x−1
h)
lim
x→+∞ 1 + 5 · x
lim (2 · x2 + 5)3
x→2
(x + 1)5 − x5
x→0
x
√+ 1
2− x
lim
x→4 4 − x
x2 − 2 · x
lim
x→2 x3 − 8
3 − x2
lim
x→+∞ 1 + 2 · x2
sin x
lim
x→0 x
1 − cos 3x
lim
x→0 1 − cos x
x
lim
x→+∞ ln x
1
5
lim
−
x→3
x − 3 x2 − x − 6
1
1
lim
−
x→0
ex − 1 x
lim
b)
lim
j)
lim (−3 · x +
l)
n)
p)
r)
t)
1
lim (1 + x) x
v)
x→0
4
x→+∞
2
x +x−2
x2 − 1
x
lim x
x→+∞ e
ln x
lim
x→1+ x − 1
lim
x→1
lim (x · ln x)
x→0
lim xx
x→0
1
lim (1 + x) x
x→+∞
√
9 · x2 + 4 · x − 5)
17. Stetigkeit
Untersuchen Sie, ob die Funktion f an der Stelle x0 (bzw. x1 und x2 in Aufgabe
j) und k)) stetig ist bzw. bei Definitionslücken stetig fortsetzbar ist. Skizzieren
Sie den Graphen.
(
2·x + 3 x ≤ 1
a) f (x) = | x |; x0 = 0
b) f (x) =
x0 = 1
3·x + 1 x > 1

(
4 · x−7 x < 2


1 x≥0
1 x = 2 x0 = 2
c) f (x) =
x0 = 0
d) f (x) =

0 x<0
 2
x − 4 · x+5 x > 2
(
x2 −1
x2 x ≤ 1
x 6= 1
x−1
e) f (x) = √
x0 = 1
f ) f (x) =
x0 = 1
1
x=1
x x>1
2·x2 −x−3
1
x 6= −1
x+1
g) f (x) =
x0 = −1 h) f (x) =
x0 = 0
−5
x = −1
x
1
x2 + 2 · x − 8
i) f (x) =
x0 = 1
j) f (x) = 2
x1 = 1, x2 = 2
x−1
x −3·x+2
2·x−2
x−1
x1 = −1, x2 = 1
l) f (x) = 2
x0 = 1
k) f (x) = 2
x −1
x −2·x+1
x+2
1
m) f (x) = 3
x0 = −2
n) f (x) =
x0 = −2
x +8
(x + 2)2
18. Ableitungen 1
(a) Gegeben sei die Funktion f : R → R, x 7→ x2 . Stellen Sie zu x0 den
Differenzenquotienten auf und bestimmen Sie daraus die erste Ableitung
von f an der Stelle x0 .
(b) Zeigen Sie: Ist eine Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar, so ist sie
dort auch stetig.
(c) Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung von (b) nicht
gilt.
19. Ableitungen 2
Für die Auslenkung eines schwingenden Systems gilt für jeden Zeitpunkt t:
y(t) = A0 · sin(ω · t + φ0 ) mit geeigneten A0 , ω und φ0 .
(a) Was beschreiben die Größen A0 , ω und φ0 ?
(b) Bestimmen Sie den Differenzen- und Differentialquotienten obiger Auslenkungsfunktion. Welche physikalischen Größen werden dadurch beschrieben?
(c) Bestimmen Sie die Beschleunigung a(t).
20. Ableitungen 3
Berechnen Sie mit den Regeln aus der Vorlesung die erste Ableitung der folgen5
den Funktionen:
1 3
· x + 3 · x2 − x
5
c) f (x) = 2 · x · (x − 3)
b) f (x) =
a) f (x) =
d) f (x) =
1
4 · x4
3
f (x) = (7 · x − 3 · x2 ) · (ln x − 4 · x)
f (x) = (2 − 3 · x) · (1 + x) · (x + 2)
f (x) = (2 · x2 + 4) · x−1
f (x) = sin2 x
2·x−3
x+1
a · x2 + b
f (x) =
c·x+d
a · x + b · x−1
f (x) =
c · x + d · x−1
x
f (x) =
sin x
2
f (x) = eln(x +4·x)
l)
n)
p)
r)
t)
v)
w)
x)
γ)
x2
j) f (x) = (9 · x2 − 2) · (3 · x + 1)
u) f (x) =
α)
1/2 · x
h) f (x) = x2 − 2x + lg x
s) f (x) = x3 · (tan x) · (sin x − cos x)
y)
√
3
f ) f (x) = −3 · x−4
e) f (x) = a · xb
1
g) f (x) = √
x
√
i) f (x) = 3 · 3 x −
k)
m)
o)
q)
p
z)
f (x) = (a · x − b) · (c · x2 )
f (x) = ex · (5 · x − 3)
f (x) = x · ln x
f (x) = tan x
4·x
f (x) =
x+5
ln x
f (x) =
x
√
ex + cos x + x
f (x) =
ln x − sin x + x−2
ex
f (x) =
sin x
β) f (x) = (3 · x2 − 13)3
√
δ) f (x) = 6 · x3 − 3 · x + 2
−x2
) f (x) = e 2
η) f (x) = (a · x + b)4
ι) f (x) = x sin(ω · x + α)
ζ) f (x) = cos(5 · x4 − 3 · x2 + 2)
θ) f (x) = sin(3 · x)
κ) f (x) = ln(sin x) (0 < x < π)
λ) f (x) = sin2 (3 · x)
√
1 3
−1
ν) f (x) = x ·
·x +x
3
r
ln x
o) f (x) =
x2
p
ρ) f (x) = 3 (x2 − 6)2
sin(x2 ) · (6 · x2 − x + 4)
τ ) f (x) =
e3·x2 +2·x
1
φ) f (x) = · (ex + e−x ) =: cosh x
2
ex − e−x
=: tanh x
ψ) f (x) = x
e + e−x
µ) f (x) = e(1−x
6
2)
ξ) f (x) = sin x · cos x
sin(−x) · (1 − x3 )
x2 + 12
σ) f (x) = x · ln(3 · x2 )
q
√
υ) f (x) = x · 2 · x2 − a
π) f (x) =
1
· (ex − e−x ) =: sinh x
2
!
√
x2 + 1 − x
ω) f (x) = ln √
x2 + 1 + x
χ) f (x) =
21. Extremalprinzip
Ein Lichstrahl gelangt vom Punkt A nach Reflexion an einer ebenen Spiegelfläche
g im Punkt P zum Punkt B. Der Winkel zwischen AP und der Lotgeraden auf
g durch P heißt Einfallswinkel 1 , der Winkel zwischen P B und der Lotgeraden
auf g durch P heißt Reflexionswinkel 2 . Der Gesamtweg AP + P B wird dabei
nach dem Minimalprinzip der Optik in der kürzestmöglichen Zeit zurückgelegt.
Zeigen Sie: Der Punkt P liegt so, dass 1 = 2 gilt.
22. Partielle Integration
Berechnen Sie mit Hilfe partieller Integration:
Z
Z
a)
x · ln x · dx
b)
x · sin x · dx
Z
Z
c)
sin x · cos x · dx
d)
ea·x · cos(b · x) · dx
Z 2
Z 1
−2·x
x2 · ln x · dx
x·e
· dx
f)
e)
Z0 1
Z1 2
1
g)
(1 + x) · ex · dx
h)
· ln x · dx
2
0
1 x
23. Partialbruchzerlegung
Berechnen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
Z
Z
4·x−1
x+2
a)
· dx
b)
· dx
2
3
(x + 2) · (x − 1)
x − 3 · x2 − x + 3
Z
Z
7 · x2 − 36 · x + 21
x2 + 11 · x − 36
·
dx
d)
· dx
c)
x3 + 5 · x2 − 13 · x + 7
(x − 1)2 · (x2 − 9)
24. Substitutionsmethode
Berechnen Sie mittels Substitution:
Z
a)
(5 · x − 4)3 · dx
Z
1
√
c)
· dx
7−3·x
Z
e)
cos4 x · sin x · dx
Z
2
g)
x · ex · dx
Z 100 √
i)
e x · dx
Z
b)
Z
d)
h)
0
7
√
2 · x3 + 4 · dx
(x2 + 8)10 · x · dx
2·x+3
· dx
x2 + 3 · x + 5
Z 1
x
· dx
2
0 x +1
Z
f)
x2 ·
25. Kurvendiskussion 1
Gegeben sei die Funktion f : R → R, x 7→ (x2 − 3 · x) · ex .
(a) Bestimmen Sie die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von f .
(b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und Krümmungsverhalten.
(c) Wie verhält sich der Graph von f für x → ∞ und x → −∞?
(d) Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse
einschließt?
R0
(e) Berechnen Sie −∞ f (x) · dx. Was bedeutet dieses Integral geometrisch?
26. Kurvendiskussion 2
Bei einem realen Gas hängen der Druck p, das Volumen V und die Temperatur
T gemäß der sogenannten van-der-Waals-Gleichung
(p +
n2 · a
) · (V − n · b) = nRT
V2
(1)
zusammen. n bezeichnet dabei die Stoffmenge und R die allgemeine Gaskonstante. Der Kohäsionsdruck a und das Kovolumen b sind Materialkonstanten
des entsprechenden Gases und spiegeln die Wechselwirkung der Gasteilchen und
ihr Eigenvolumen wider. Die van-der-Waals-Gleichung beschreibt den Phasenübergang zwischen flüssigem und gasförmigem Zustand.
(a) Lösen Sie (1) nach p auf. Die entstandene Gleichung beschreibt eine Funktionenschar, die den Zusammenhang von p und V in Abhängigkeit von dem
Scharparameter T angibt.
(b) Physikalisch sinnvoll ist dies für V > n · b. Die Funktion hat in diesem
Bereich
i. bei Temperaturen unter der sogenannten kritischen Temperatur Tc
mehrere Extrema,
ii. bei T = Tc einen Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente), den sogenannten kritischen Punkt Pc mit den Koordinaten Vc
und pc und
iii. bei Temperaturen über Tc keine Extrema.
(i) und (iii) brauchen nicht gezeigt zu werden. Wir beschäftigen uns nun
mit dem physikalisch besonders interessanten Fall (ii):
Bestimmen Sie die Vc , pc und Tc .
8
27. Skalar- undVektorprodukt

 
 
3
9
2
Seien x = 1 , y = 3 und z =  0 . Berechnen Sie:
2
6
−3
a)
c)
e)
g)
i)
x·y
y·z
x×z
^(x, y) (= Winkel zwischen x und y)
^(y, z)
b)
d)
f)
h)
x · x (Bedeutung?)
x × x (Bedeutung?)
y×z
^(x, z)
28. Skalarprodukt 1
Finden Sie alle Vektoren, die mit unten stehenden Vektoren jeweils das konstante Skalarprodukt 2 haben.
 
1
1

a) x =
b) y = 2
2
3
29. Skalarprodukt 2
Sei V = {f : [0; 1] → R : f stetig} die Menge aller stetigen Funktionen von
[0, 1] nach R. Für f, g ∈ V lässt sich punktweise eine Addition f + g durch
(f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ [0; 1] definieren. Analog definiert man für
λ ∈ R eine Multiplikation λ · f durch (λ · f )(x) = λ · f (x) ∀x ∈ [0, 1].
(a) Zeigen Sie, dass (V, +, ·) mit obiger Addition und Multiplikation einen
Vektorraum bildet.
(b) Sei nun zusätzlich < ·, · >: V × V → R, (f, g) 7→< f, g > definiert durch
Z 1
< f, g >=
f (x) · g(x) · dx
(2)
0
(2) weist damit
R 1 dem Paar aus den beiden Funktionen f und g den Wert
des Integrals 0 f (x) · g(x) · dx zu.
Zeigen Sie: < ·, · >: V × V → R ist ein Skalarprodukt auf V . (Der
Nachweis von < f, f >= 0 ⇒ f = 0 ist schwierig. Er kann, muss aber
nicht gezeigt werden.)
9
(c) Sei nun für jedes k ∈ N die Funktion fk : [0; 1] → R, x 7→
definiert. Zeigen Sie:
√
2·sin(2·k ·π ·x)
i. fk ∈ V für alle k ∈ N. Welche (minimale) Periodenlänge hat fk (wenn
man fk periodisch zu einer Funktion von R → R fortsetzt)?
ii. < fk ; fk >= 1 für alle k ∈ N
iii. < fj ; fk >= 0 für alle j, k ∈ N mit j 6= k
Hinweis: Sie dürfen ohne Nachweis verwenden, dass für alle a, b ∈ R gilt:
sin(a) · sin(b) = 21 · (cos(a − b) − cos(a + b)).
Anmerkung: Überträgt man die Anschauung des Skalarprodukts auf R3
auf dieses Skalarprodukt, so haben alle fk die Länge 1 (vgl. ii.) und jeweils
zwei verschiedene fj und fk stehen aufeinander senkrecht (vgl. iii.). Eine
Menge von Elementen, die ii. und iii. erfüllen, heißt deshalb Orthonormalsystem.
30. Komplexe Zahlen 1
Seien z1 = 3 + 5i und z2 = 1 − 7i. Berechnen Sie:
b) z1 · z2
d) z̄1
f ) | z1 |
h) Im(z1 )
a)
c)
e)
g)
z1 + z2
z1 · z1
z1 · z̄1
Re(z1 )
i)
| ei·(Re(z1 )) |
π
2
j) ei· 2
31. Komplexe Zahlen 2
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen in C.
a) z 3 = i
b) z 8 = 256
c) z 6 = 729
32. Kombinatorik, Bernoullikette
(a) Unter 200 Losen einer Tombola befinden sich genau 50 Gewinnlose. Sie
kaufen 20 Lose. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter
Ihren Losen
i. genau 5 Gewinnlose befinden.
ii. kein Gewinnlos befindet.
iii. mindestens ein Gewinnlos befindet.
10
(b) Geben Sie zu den folgenden Zufallsexperimenten jeweils einen geeigneten
Ergebnisraum Ω an. Erläutern Sie, welche von ihnen als Bernoullikette
aufgefasst werden können. Geben Sie gegebenenfalls die Bernoullikette
an.
i. Eine ideale Münze wird 20mal geworfen.
ii. Eine nicht-ideale Münze wird 20mal geworfen.
iii. Aus einer Urne mit 20 roten und 30 weißen Kugeln werden 5 Kugeln
hintereinander ohne Zurücklegen gezogen und bei jeder einzelnen Kugel
festgestellt, ob sie weiß oder rot ist.
iv. Der FC Bayern hat gegen Borussia Dortmund eine Gewinnwahrscheinlichkeit von p. Für die nächsten drei Spielen soll die Wahrscheinlichkeit
errechnet werden, dass Bayern Spiel 1 und Spiel 3 gewinnt, Spiel 2
nicht.
(c) Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage: ”Die Wahrscheinlichkeit,
bei drei Würfen eines Laplace-Würfels genau eine Eins zu werfen, beträgt
( 16 )1 · ( 65 )2 .”
33. Binomialverteilung
Der Anteil der Studierenden mit Nebenjob sei 70 Prozent. Es werden 10
Studierende befragt, ob sie einen Nebenjob haben. X sei die Anzahl der Befragten mit Nebenjob.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von folgenden Ereignissen:
i.
ii.
iii.
iv.
Keiner hat einen Nebenjob.
Höchstens einer hat einen Nebenjob.
Genau sechs haben einen Nebenjob.
Sechs oder sieben oder acht haben einen Nebenjob.
(c) Drücken Sie das Ereignis (b)iv. durch einen Ausdruck aus, der Erwartungswert
und Standardabweichung von X enthält.
34. Wahrscheinlichkeitsdichte 1
Sei X eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f . Bestimmen Sie
jeweils die kumulative Verteilungsfunktion, P (X < 1), P (X > 2), P (X = 2),
P (X = 0), E(X) und Var(X).

 1 · (x − 1) für 1 ≤ x ≤ 3
(a) f (x) = 2

0 sonst.

 1 für − 2 ≤ x ≤ −1 oder 1 ≤ x ≤ 2
(b) f (x) = 2

0 sonst.
11
35. Wahrscheinlichkeitsdichte 2
Der Betrag v der Geschwindigkeit von Gasteilchen ist statistisch verteilt und
hat die Wahrscheinlichkeitsdichte

32

m
−m · v 2

2
für 0 ≤ v < ∞
4·π·
· v · exp
(3)
f (v) =
2 · π · kB · T
2 · kB · T


0 sonst.
Dabei ist exp(a) := ea für a ∈ R. (3) heißt Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Sie
lässt sich durch Normierung der Größen m, T und kB jeweils auf 1 vereinfacht
darstellen als (braucht nicht gezeigt zu werden):
r
2

 2 · v 2 · exp −v
für 0 ≤ v < ∞
(4)
f (v) =
π
2


0 sonst.
Der Einfachheit halber arbeiten wir im folgenden mit Gleichung (4).
(a) Zeigen Sie, dass f tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Welche stochastische Größe gibt in diesem Zusammenhang Auskunft über
die mittlere Geschwindigkeit v̄? Berechnen Sie v̄.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Die Gaußsche Normalverteilung
ist Wahrscheinlichkeitsdichte.
12