Übung 3 - TU Chemnitz

22.10.2012
U. Schwerdtfeger
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die diskrete Mathematik
Blatt 3
Aufgabe 1:
Was ist wahrscheinlicher: Bei vier Würfen eines Würfels mindestens eine 6 zu erreichen
oder bei 24 Würfen von zwei Würfeln mindestens eine Doppelsechs (6,6)? Oder sind
sogar beide gleich wahrscheinlich? (2 Punkte)
Aufgabe 2:
In einem Scherzartikelgeschäft wird ein Satz von zwei gezinkten Münzen angeboten.
Beide Münzen zeigen auf einer Seite 1 und auf der anderen 2, jeweils mit Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 und q1 , q2 . Auf der Verpackung liest man, dass beim gleichzeitigen Wurf
beider Münzen jede mögliche Augensumme ∈ {2, 3, 4} mit der Wahrscheinlichkeit 1/3
auftritt. Zeigen Sie, dass das ja nur ein Scherz sein kann! (4 Punkte)
Aufgabe 3:
Ein Zufallsgenerator erzeugt n Zahlen aus {1, . . . , 9}, alle mit derselben Wahrscheinlichkeit. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt dieser n Zufallszahlen
durch 10 teilbar ist. (4 Punkte)
Aufgabe 4:
Viele wahrscheinlichkeitstheoretische Existenzbeweise beruhen auf den folgenden einfachen Beobachtungen. Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) (p(ω) > 0 für
alle ω ∈ Ω) und eine Zufallsvariable X mit X(ω) ≥ 0 für alle ω ∈ Ω und X(ω) > 0 für
mindestens ein ω ∈ Ω. Ferner sei E(X) der Erwartungswert von X. Zeigen Sie:
a) E(X) > 0. (2 Punkte)
b) Es gibt ω1 , ω2 ∈ Ω mit der Eigenschaft X(ω1 ) ≤ E(X) ≤ X(ω2 ). (3 Punkte)
Aufgabe 5:
Seien v1 , . . . , vd ∈ Rd mit vi T vi = 1 (Standardskalarprodukt auf Rd ). Wir betrachten
die Menge
W = {λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λd vd , λi ∈ {−1, 1}} .
Zeigen Sie: Es gibt v, w ∈ W mit v T v ≤ d ≤ wT w. (5 Punkte)
Abgabetermin: 29.10.2012 in der Vorlesung
Tipps zu ausgewählten Aufgaben
Aufgabe 3:
Betrachten Sie für k = 1, . . . , 9 die Zufallsvariable Xk =Anzahl der k.
Aufgabe 5:
Betrachten Sie die Koeffizenten λi als unabhängige Zufallsvariable, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die Werte ±1 annehmen. Sie dürfen (und sollen) die Aussage aus
Aufgabe 4 benutzen.