Kap. 7 - Mathematik, TU Dortmund

38
7
I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit
Komplexe Zahlen
7.1 Einführung. a) Gewisse quadratische Gleichungen wie x2 + 1 = 0 “ besitzen
”
bekanntlich keine reelle Lösung; trotzdem wurden spätestens seit dem 16. Jahrhundert solche Lösungen als zunächst mysteriöse imaginäre und komplexe Zahlen
gefunden“. Für rein relle Probleme konnten auf dem Umweg über das Komplexe“
”
”
reelle Lösungen gefunden werden.
b) Dazu erfindet man zunächst eine ideale“ oder imaginäre“ Zahl i mit i2 = −1 .
”
”
Mit dieser möchte man wie mit einer reellen Zahl rechnen; für x, y ∈ R hat man
daher auch die komplexe“ Zahl x + iy .
”
c) Zahlen dieser Art können addiert, multipliziert und dividiert werden: Man hat
(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) ,
(x + iy) · (u + iv) = xu + i2 yv + ixv + iyu = (xu − yv) + i(xv + yu) ,
x − iy
x − iy
1
=
= 2
für x2 + y 2 6= 0 .
x + iy
(x + iy) (x − iy)
x + y2
7.2 Präzisierung. a) Die komplexen Zahlen aus 7.1 können als Punkte einer Ebe”
ne“ veranschaulicht werden, welche die reelle Zahlengerade als x-Achse enthält; die
präzise Fassung dieser Vorstellung wurde von C.F. Gauß und W.R. Hamilton im
ersten Drittel des 19. Jahrhunderts entwickelt.
b) Man definiert auf C := R2 eine Addition durch
(x, y) + (u, v) : = (x + u , y + v)
(1)
und eine Multiplikation durch
(x, y) · (u, v) : = (xu − yv , xv + yu) ;
(2)
für die imaginäre Einheit i := (0, 1) gilt dann i2 = (−1, 0) . Für (x, y) ∈ C erhält
man daraus (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy mit der Identifizierung R ∋ x ↔ (x, 0) ∈ C . Es ist
z = x + iy ,
x, y ∈ R ,
(3)
die Standardbeschreibung komplexer Zahlen z ∈ C .
7.3 Definitionen und Bemerkungen. a) Für z = x + iy ∈ C heißen
Re z := x und
Im z := y
(4)
Realteil und Imaginärteil von z . Durch
z̄ := x − iy = Re z − i Im z
(5)
wird die zu z komplex konjugierte Zahl definiert. Damit gilt stets z + z̄ = 2 Re z ,
z − z̄ = 2i Im z und z · z̄ = (x + iy) (x − iy) = x2 + y 2 ∈ R .
b) Unter der oben definierten Addition und Multiplikation ist C ein Körper, d. h. es
gelten die Axiome A, M und D aus Abschnitt 1. Dies wird einfach durch Nachrechnen bewiesen; für die Existenz von z1 für z 6= 0 wurde dies in 7.1 c) bereits getan.
7 Komplexe Zahlen
39
c) Die Nenner komplexer Brüche wz können durch Erweitern mit w̄ stets reell gemacht werden: wz = wz w̄w̄ . Ein Beispiel ist etwa
1+2i
(2−i)2
=
1+2i
4−4i−1
=
1+2i
3−4i
=
(1+2i) (3+4i)
(3−4i) (3+4i)
=
3−8+(6+4)i
9+16
=
−5+10i
25
= − 15 + 52 i .
d) Rechnungen in R , die nur die Körperaxiome benutzen, bleiben auch in C gültig,
so etwa die Summenformeln oder der binomische Satz aus Abschnitt 2.
e) Auf C existiert keine Ordnung, die Axiom O genügt. Aus diesem würde nämlich
1 = 12 > 0 und auch −1 = i2 > 0 folgen.
f) Die komplexe Konjugation z 7→ z̄ ist eine Bijektion von C auf C ; stets gilt
z + w = z̄ + w̄ und z · w = z̄ · w̄ . Man hat z̄ = z ⇔ z ∈ R .
g) Der Abstand einer komplexen Zahl z = x + iy ∈ C zum Nullpunkt heißt Betrag
oder Absolutbetrag von z . Aufgrund des Satzes von Pythagoras ist dieser gegeben
durch
q
√
(6)
| z | := x2 + y 2 = z · z̄ .
Offenbar gilt stets | z̄ | = | z | . Weiter gelten die in Feststellung 1.10 formulierten
Eigenschaften des Absolutbetrages auch im Komplexen:
7.4 Satz. Für z, w ∈ C gelten:
|z| ≥ 0;
|z| = 0 ⇔ z = 0,
| zw | = | z | | w | ,
(7)
(8)
|z +w| ≤ |z|+|w|
(Dreiecks-Ungleichung).
(9)
Beweise zu diesem Abschnitt findet man in [K1], Abschnitt 27. Aus (9) folgt für
die Abstände oder Distanzen von Punkten z1 , z2 , z3 ∈ C sofort
| z1 − z2 | ≤ | z1 − z3 | + | z3 − z2 | ,
(10)
wodurch die Bezeichnung Dreiecks-Ungleichung“ auch für (9) motiviert wird.
”
7.5 Polarkoordinaten. a) Komplexe Zahlen können gemäß (3) durch ihre rechtwinkligen oder kartesischen Koordinaten x, y , aber auch durch Polarkoordinaten
r, ϕ beschrieben werden:
b) Für z ∈ C setzt man zunächst r := | z | . Für z 6= 0 liegt dann zr auf der Kreislinie S = {ζ ∈ C | | ζ | = 1} , und aufgrund der Konstruktion von Sinus und Kosinus
in 3.6 gibt es Zahlen ϕ ∈ R mit
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) .
(11)
c) Gilt (11), so gibt ϕ den (im Bogenmaß gemessenen) Winkel an, den die Strecke
[0, z] mit der positiven reellen Achse bildet. Jede solche Zahl ϕ ∈ R heißt ein
Argument der komplexen Zahl z ∈ C\{0} . Ist ϕ0 ein Argument von z , so ist
arg z := {ϕ = ϕ0 + 2kπ | k ∈ Z}
(12)
ϕ = arg z
(13)
die Menge aller Argumente von z . Man schreibt aber oft
statt
ϕ ∈ arg z .
Mit Arg z wird der Hauptwert des Arguments von z ∈ C\{0} , d. h. das eindeutig bestimmte Argument im Intervall (−π, π] bezeichnet. Die Abbildung z 7→ Arg z kann
als Schraubenfläche“ über der gelochten Ebene“ C\{0} veranschaulicht werden.
”
”
40
I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit
Zur Berechnung von Argumenten benötigt man Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen:
7.6 Arcus-Sinus und Arcus-Kosinus. a) Der Sinus
sin : [− π2 , π2 ] 7→ [−1, 1]
(14)
ist streng monoton wachsend und somit injektiv. Zu y ∈ R mit
sin(− π2 ) = −1 ≤ y ≤ 1 = sin π2
gibt es aufgrund des Zwischenwertsatzes ein x ∈ [− π2 , π2 ] mit y = sin x ; folglich ist
die Abbildung aus (14) auch bijektiv. Die Umkehrabbildung
arcsin : [−1, 1] 7→ [− π2 , π2 ]
(15)
heißt Arcus-Sinus. Sie ist ebenfalls streng monoton wachsend und nach Satz 5.9
auch stetig.
b) Für k ∈ Z gilt sin(kπ + x) = (−1)k sin x ; daher liefert der Sinus auch bijektive
Abbildungen
sin : [kπ − π2 , kπ + π2 ] 7→ [−1, 1] .
Die entsprechenden Umkehrabbildungen
arcsink : [−1, 1] 7→ [kπ − π2 , kπ + π2 ]
(16)
heißen Nebenzweige des Arcus-Sinus. Diese lassen sich durch den Hauptzweig
arcsin = arcsin0 ausdrücken:
arcsink (y) = kπ + (−1)k arcsin y ,
y ∈ [−1, 1] , k ∈ Z .
(17)
c) Man hat cos x = sin(x + π2 ) für alle x ∈ R . Für y ∈ [−1, 1] , k ∈ Z und
x ∈ [kπ, (k + 1)π] hat somit die Gleichung cos x = y die eindeutig bestimmte
Lösung
x = arcsink+1 (y) −
π
2
=: arccosk (y) .
Für k = 0 erhält man den Hauptzweig des Arcus-Kosinus, die stetige Umkehrfunktion von cos : [0, π] 7→ [−1, 1] . Wegen (17) gilt
arccos y =
π
2
− arcsin y ,
y ∈ [−1, 1] .
(18)
7.7 Tangens und Arcus-Tangens. a) Der Tangens wird außerhalb der Nullstellen
des Kosinus als Quotient von Sinus und Kosinus erklärt, also
tan x :=
sin x
cos x
,
x ∈ R\{kπ +
π
2
| k ∈ Z} .
(19)
sin(x+π)
sin(−x)
sin x
− sin x
= −cos
= − tan x und tan(x + π) = cos(x+π)
= −
=
Wegen tan(−x) = cos(−x)
x
cos x
tan x ist der Tangens auf seinem Definitionsbereich eine ungerade und π - periodische
Funktion.
b) Der Tangens
tan : (− π2 , π2 ) 7→ R
(20)
7 Komplexe Zahlen
41
ist streng monoton wachsend und somit injektiv. Weiter gilt cos x > 0 auf (− π2 , π2 ) ,
cos x → 0 und sin x → ±1 für x → ± π2 , woraus sich sofort
tan x → −∞ für x → (− π2 )+ , tan x → +∞ für x → (+ π2 )−
ergibt. Für y ∈ R gibt es somit − π2 < a < b < π2 mit tan a < y < tan b , aufgrund
des Zwischenwertsatzes also x ∈ (− π2 , π2 ) mit tan x = y . Folglich ist die Abbildung
aus (20) bijektiv. Die Umkehrabbildung
arctan : R 7→ (− π2 , π2 )
(21)
heißt Arcus-Tangens. Sie ist ebenfalls streng monoton wachsend und nach Satz 5.9
auch stetig.
c) Analog zu (17) sind Nebenzweige des Arcus-Tangens durch die Formel
arctank (y) = arctan y + kπ ,
y ∈ R, k ∈ Z,
(22)
gegeben; diese sind die Umkehrabbildungen von tan : (kπ − π2 , kπ + π2 ) 7→ R .
7.8 Berechnung
von Argumenten. a) Es sei z = x + iy ∈ C\{0} gegeben. Mit
√
r = x2 + y 2 gilt für das Argument ϕ = Arg z dann cos ϕ = xr ∈ [−1, 1] . Für
y ≥ 0 folgt ϕ = arccos xr , für y < 0 hat man ϕ = arccos−1 xr = − arccos xr . Mit
sign y :=
(
1 , y≥0
−1 , y < 0
(23)
erhält man also die Formel
Arg (x + iy) = sign y arccos √
x
x2 +y 2
(24)
.
b) Man kann auch den Arcus-Tangens benutzen: Für x = 0 hat man z = iy und
ϕ = sign y π2 . Für x =
6 0 ist tan ϕ = xy , und man erhält
ϕ = arctan xy
ϕ = arctan xy + π
ϕ = arctan xy − π
für
für
für
< ϕ < π2 ⇔ x > 0 ,
< ϕ < π,
− π < ϕ < − π2 .
−
π
2
π
2
7.9 Beispiel. a) Für z = −1 − i hat man r = | z | =
also ϕ = − arccos(− √12 ) = − 3π
.
4
b) Man kann auch so rechnen: tan ϕ =
c) Man hat also
z = −1 − i =
=
√
√
y
x
√
2 und cos ϕ =
(25)
x
r
= − √12 ,
= 1 , also ϕ = arctan 1−π = π4 −π = − 3π
.
4
2 (cos(− 3π
) + i sin(− 3π
))
4
4
− i sin 3π
).
2 (cos 3π
4
4
Es wird nun zur Abkürzung die Notation (vgl. Satz 30.10)
E(ϕ) := cos ϕ + i sin ϕ für ϕ ∈ R
eingeführt. Aus den Funktionalgleichungen von Sinus und Kosinus ergibt sich:
(26)
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I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit
7.10 Satz. Für komplexe Zahlen z1 = r1 E(ϕ1 ) und z2 = r2 E(ϕ2 ) gilt
z1 · z2 = r1 r2 E(ϕ1 + ϕ2 ) .
(27)
7.11 Beispiele und Bemerkungen. a) Bei der Multiplikation komplexer Zahlen
werden also die Beträge dieser Zahlen multipliziert und ihre Argumente addiert.
Insbesondere liefert die Multiplikation mit E(ϕ) eine Drehung der Ebene um den
Winkel ϕ .
b) Aus Satz 7.10 ergibt sich die Formel
arg (z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 := {ϕ = ϕ1 + ϕ2 | ϕ1 ∈ arg z1 , ϕ2 ∈ arg z2 } .
Insbesondere gilt stets Arg z1 + Arg z2 ∈ arg (z1 · z2 ) ; diese Summe muß aber nicht
= Arg (z1 · z2 ) sein. So gilt etwa Arg i + Arg (−1) = π2 + π = 3π
= Arg (−i) + 2π .
2
Aus Satz 7.10 ergibt sich die Formel von de Moivre:
7.12 Folgerung. Für z = r E(ϕ) und n ∈ N gelten
z n = r n E(nϕ) ,
1
z
=
1
r
(28)
E(−ϕ) .
7.13 Satz. Für n ∈ N und w ∈ C\{0} gibt es genau n Lösungen der Gleichung
zn = w .
Beweis. Für w = | w | E(ϑ) sind diese gegeben durch
zk =
q
n
| w | E(ϕk ) ,
ϕk =
ϑ
n
+
2π
n
·k,
k = 0, . . . , n − 1 .
(29)
7.14 Einheitswurzeln. a) Die Gleichung z n = 1 hat die n verschiedenen Lösungen
zn,k = ǫkn , k = 0, . . . , n − 1 , mit ǫn := E( 2π
) . Diese n-ten Einheitswurzeln bilden
n
die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks mit Umkreis S = {z ∈ C | | z | = 1} .
b) Für n = 3 etwa hat man
ǫ3 = E( 2π
) = cos 2π
+ i sin 2π
= − 12 +
3
3
3
und weiter ergibt sich
ǫ23 = ǫ−1
= ǫ¯3 = − 21 −
3
i
2
√
i
2
√
3,
(30)
3.
7.15 Beispiel.
a) Die Gleichung z 3 = w := √2 + 11i wird gelöst. Man hat hier
√
, also | z | = 5 , und für den Winkel ϕ0 gemäß
| w | = 125 und ϑ = arctan 11
2
1
11
(29) gilt ϕ0 = 3 arctan 2 .
b) Aus (3.13) und (3.14) ergibt sich die Funktionalgleichung
tan(x + y) =
tan x+tan y
1−tan x tan y
(31)
des Tangens und daraus wiederum die des Arcus-Tangens:
x+y
arctan x + arctan y = arctan 1−xy
c) Aus a) und (32) folgt ϕ0 = arctan 12 und
(2 + i)3 = 2 + 11i auch sofort nachrechnen.
sich nach (29) zu
√
z1 = ǫ3 z0 = (− 21 + 2i 3) (2 + i)
√
z2 = ǫ23 z0 = (− 21 − 2i 3) (2 + i)
für | xy | < 1 .
(32)
damit z0 = 2 + i ; in der Tat läßt sich
Die anderen beiden Lösungen ergeben
√
= − 2+2
3
√
= − 2−2
3
√
+ ( 3 − 12 )i ,
√
− ( 3 + 12 )i .
7 Komplexe Zahlen
43
7.16 Komplexe Widerstände. a) In einem elektrischen Stromkreis sei eine Wechselspannung gegeben durch U0 cos(ωt + p) . Es ist bequem, diese als Realteil der
komplexen Spannung
U(t) = U0 (cos(ωt + p) + i sin(ωt + p)) = U0 E(ωt + p)
zu schreiben; hierbei ist U0 = | U(t) | > 0 , ω > 0 die Frequenz und p ∈ R eine
Phase.
b) In dem Stromkreis fließt ein Wechselstrom
I(t) = I0 E(ωt + q) ,
und nach dem Ohmschen Gesetz gilt
I(t) =
U (t)
Z
mit dem konstanten Widerstand Z ∈ C . Man nennt Re Z den Wirkwiderstand,
Im Z den Blindwiderstand und | Z | die Impedanz oder den Scheinwiderstand.
c) Für einen Ohmschen Widerstand ist Z > 0 ; man hat einfach q = p und
U0 = Z I0 .
d) Bei einem idealen Kondensator muß der Strom die Spannung erst aufbauen, bevor diese wirksam wird; dies führt zu einer Phasenverschiebung p = q − π2 . Dies
bedeutet Z = | Z | E(− π2 ) = −i | Z | . Da | Z | proportional zu ω1 ist, schreibt man
i
Z = − ωC
mit der Kapazität C > 0 .
e) Bei einer idealen Spule induziert der Strom über ein Magnetfeld zunächst einen
entgegegesetzt gerichteten Strom; daher tritt eine umgekehrte Phasenverschiebung
q = p − π2 auf. Dies bedeutet Z = | Z | E( π2 ) = i | Z | . Nun ist | Z | proportional zu
ω , und man schreibt Z = iωL mit der Induktivität L > 0 .
f) Bei Reihenschaltung werden die Widerstände addiert: Z = Z1 + Z2 , bei Parallelschaltung ihre Kehrwerte: Z1 = Z11 + Z12 . Schaltet man einen Kondensator, eine
Spule und einen Draht in Reihe, so hat man also
Z = R + i (ωL −
1
).
ωC
Für die Resonanzfrequenz ω =
√1
LC
hat man Z = R .